Capítulo 2 – Movimento Retilíneo 2.1 – Deslocamento, tempo e velocidade média Exemplo:...
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Capítulo 2 – Movimento Retilíneo2.1 – Deslocamento, tempo e velocidade média
Exemplo: Descrever o movimento de um carro que anda em linha reta
Antes de mais nada, temos que: - Modelar o carro como uma partícula- Definir um referencial: eixo orientado e origem
0 x
0
x
0
x
t
x1
t1
x2
t2
0
x
t
x1
t1
x2
t2
x3
t3
0
x
t
x1
t1
x2
t2
x3
t3
x4
t4
0
x
t
x1
t1
x2
t2
x3
t3
x4
t4
x5=
t5
0
x
t
x1
t1
x2
t2
x3
t3
x4
t4
x5=
t5
Deslocamento entre t1 e t2: 12 xxx
Velocidade média:
t
x
tt
xxv x
12
12m
x
tInclinação: 0
t
x
0
x
t
x1
t1
x2
t2
x3
t3
x4
t4
x5=
t5
Entre t3 e t4: 034
34m
t
x
tt
xxv x
0x
t
0
x
t
x1
t1
x2
t2
x3
t3
x4
t4
x5=
t5
Entre t1 e t5: 015
15m
t
x
tt
xxv x
0xt
Atenção: Velocidade média não é a distância
percorrida dividida pelo tempo
2.2 – Velocidade instantâneaQual a velocidade em um instante de tempo?
0
x (m)
20
1
25)( ttx Exemplo:
t (s)2
5
m/s151
520
12
)1()2(
:2s e 1s Entre
m
xx
v
tt
x
0
x (m)
11,25
1
25)( ttx Exemplo:
t (s)1,5
5
m/s151
520
12
)1()2(
:2s e 1s Entre
m
xx
v
tt
x
m/s5,125,0
525,11
15,1
)1()5,1(
:s 1,5 e 1s Entre
m
xx
v
tt
x
0
x (m)
11,25
1
25)( ttx Exemplo:
t (s)1,5
5
m/s151
520
12
)1()2(
:2s e 1s Entre
m
xx
v
tt
x
m/s5,125,0
525,11
15,1
)1()5,1(
:s 1,5 e 1s Entre
m
xx
v
tt
x
0
x (m)
6,05
1
25)( ttx Exemplo:
t (s)1,1
5
m/s151
520
12
)1()2(
:2s e 1s Entre
m
xx
v
tt
x
m/s5,125,0
525,11
15,1
)1()5,1(
:s 1,5 e 1s Entre
m
xx
v
tt
x
m/s5,101,0
505,6
11,1
)1()1,1(
:s 1,1 e 1s Entre
m
xx
v
tt
x
0
x (m)
1
dt
dx
t
xv
tx
0
lim
t (s)
5
Velocidade instantânea:
25)( ttx Exemplo:
m/s 10)1( :s 1 Em
10)(
x
x
vt
tdt
dxtv
Derivada de é nt 1nnt
Graficamente: inclinação da reta tangente no gráfico xt
dt
dx
t
xv
tx
0
lim
Obtendo a velocidade graficamente a partir do gráfico xt :
x
t
vx
t
0xv
dt
dx
t
xv
tx
0
lim
Obtendo a velocidade graficamente a partir do gráfico xt :
x
t
t
maxxv
No ponto de inflexão do gráfico xt, a velocidade é máxima (ou mínima)vx
dt
dx
t
xv
tx
0
lim
Obtendo a velocidade graficamente a partir do gráfico xt :
x
t
t
0xv
No ponto de máximo (ou mínimo) do gráfico xt, a velocidade é nulavx
dt
dx
t
xv
tx
0
lim
Obtendo a velocidade graficamente a partir do gráfico xt :
x
t
t
0xv
vx
dt
dx
t
xv
tx
0
lim
Obtendo a velocidade graficamente a partir do gráfico xt :
x
t
t
minxv
vx
Distinção entre velocidade (“velocity”) e velocidade escalar (“speed”)
Velocidade escalar (média ou instantânea) é a distância
percorrida dividida pelo tempo
• Para a velocidade escalar, usaremos o símbolo • Sempre positiva• Velocidade escalar instantânea é o módulo do vetor
velocidade instantânea
v
2.3 – Aceleração instantânea e aceleração média
Aceleração média:t
v
tt
vva xxx
x
12
12m
0
v1x
t
xv
v2x
t2t1
xv
t
2
2
0lim
dt
xd
dt
dv
t
va xx
tx
Aceleração instantânea:
0
v1x
t
xv
t1
Graficamente: inclinação da reta tangente no gráfico vt , curvatura no gráfico xt
dt
dxvx
Obtendo a aceleração graficamente a partir dos gráficos vt e xt :
2
2
dt
xd
dt
dva x
x
x
t
t
ax
t
vx
2.4 – Movimento com aceleração constante
t
axSe a aceleração é constante, então a aceleração instantânea é igual à aceleração média:
12
12m tt
vvaa xx
xx
Fazendo (velocidade inicial): xx vvttt 0112 e 0,
tavvt
vva xxx
xxx
00
0t
vx
v0x
Se a velocidade varia linearmente com o tempo, então a velocidade média em um intervalo de tempo é igual à media aritmética entre as velocidades inicial e final:
t
vx
v0x
0
20 xx vv
=
Áreas iguais
2000
mxx
x
vv
t
xxv
Assim:
tvv
xx xx
2
00
Sabemos que : tavv xxx 0
ttavv
xx xxx
200
0
200 2
1tatvxx xx
t
x
x0
Inclinação: xv0
Inclinação: xv
Outra equação útil, para problemas que não envolvem o tempo:
x
xxxxx a
vvttavv 0
0
Substituindo em: 200 2
1tatvxx xx
2
0000 2
1
x
xxx
x
xxx a
vva
a
vvvxx
20000 22 xxxxxx vvvvvxxa
200
22000 2222 xxxxxxxx vvvvvvvxxa
020
2 2 xxavv xxx
Equações do movimento com aceleração constante:
tavv xxx 0
tvv
xx xx
2
00
200 2
1tatvxx xx
020
2 2 xxavv xxx
Caso particular: aceleração nula
constante 0 xx vv
tvxx x 0
2.5 – Queda livreAristóteles (séc. IV a.C.): “Quatro Elementos” (Água, Ar, Terra e Fogo), cada um com seu “lugar natural”. Corpos mais pesados deveriam cair mais rapidamente
Galileu: “Discursos e Demonstrações Matemáticas sobre Duas Novas Ciências” (1638), escrito em forma de diálogos
Salviati (Galileu): “Aristóteles diz que uma bola de ferro de 100 libras, caindo de 100
cúbitos, atinge o solo antes que uma bala de uma libra tenha caído de um só cúbito. Eu
digo que chegam ao mesmo tempo. Fazendo a experiência, você verifica que a maior precede a menor por 2 dedos; você não
pode querer esconder nesses 2 dedos os 99 cúbitos de Aristóteles…”
Resultados obtidos apenas através de argumentações lógicas são completamente
vazios de realidade. Porque Galileu enxergou isso, e particularmente porque ele
propagou repetidamente esta idéia pelo mundo científico, ele é o pai da física moderna – de fato, de toda a ciência
moderna.
Einstein
Demonstração: Experimento de Galileu com plano inclinado (trilho
de ar)
Filme: queda livre na Lua (Apolo 15, NASA)http://www.youtube.com/watch?v=5C5_dOEyAfk
Aceleração da gravidade: g ≈ 9,8 m/s2
y2m/s 8,9 gay
g
Equações da queda livre: gtvv yy 0
tvv
yy yy
20
0
200 2
1gttvyy y
020
2 2 yygvv yy
Medição de g: Vídeo “Physics Demonstrations in Mechanics” I.2
Método (1): Medição do tempo de queda por uma altura d partindo do repouso
y
y0
y
0,0 0 yvt
0yv
yyd 0
200 2
1gttvyy y
dyygt 02
2
1
2
2
t
dg
Método (2): Medição da velocidade após cair de uma altura d partindo do repouso
y
y0
y
0,0 0 yvt
0yv
yyd 0
020
2 2 yygvv yy
d
vg y
2
2
gdvy 22
2.6 – Velocidade e posição por integração
Já sabemos calcular: dt
dva
dt
dxvx
Como resolver o problema inverso?
xva
Suponha que a aceleração varie com o tempo da seguinte forma:
t
ax
0
Vamos dividir o intervalo entre t1 e t2 em pequenos intervalos de duração Δt
t1 t2 Δt
t
va x
x
mSabendo que ,
a variação da velocidade em cada intervalo é
tav xx m
t
ax
0 t1 t2 Δt
t
va x
x
mSabendo que ,
a variação da velocidade em cada intervalo é
tav xx m
xam
Note que é a área do retângulo sombreado tav xx m
Desta forma, somando-se todas as pequenas variações de velocidade, obtemos a variação total de velocidade entre t1 e t2 como a soma das áreas de todos os retângulos.
t
ax
0 t1 t2
No limite a soma das áreas dos retângulos torna-se a área sob a curva
0t
xam
Δt
)(tax
xv
Esta área é integral definida da função entre os instantes e
)(tax 1t 2t
2
1
12
t
t
xxxx dtavvv
Se tomamos , então , de modo que:
Podemos executar um procedimento completamente análogo a esse para obter o deslocamento a partir da velocidade:
t
xxx dtavv0
0
01 t xx vv 01
t
xdtvxx0
0
Desta forma, resolvemos o problema inverso:
avx
xva Por
derivação
Por
integração
A integral é a operação inversa da
derivada
Próximas aulas:
6a. Feira 19/08: Aula de Exercícios (sala A-327)
4a. Feira 24/08: Aula Magna (sala A-343)