9. Statica sistemelor materiale 9.1. Statica sistemelor de puncte materiale Considerăm un sistem de „n” puncte materiale, A1, A2, …., An, aflate în interacţiune mecanică. Asupra unui punct Ai (i = 1,…,n) acţionează forţe exterioare a căror rezultantă este iF (i = 1,…,n) şi forţe interioare (de interacţiune mecanică dintre punctele materiale) ijF (j = 1,…,n). S-a

notat cu ijF forţa cu care corpul „j” acţionează asupra corpului „i”. Conform principiului acţiunii şi

reacţiunii, forţele interioare sunt, două câte două, egale şi cu sensuri opuse, adică: jiij FF −= . Generalizând acest principiu pentru toate punctele materiale, obţinem:

∑∑= =

=n

1i

n

1jij 0F (9.1)

Deci rezultanta tuturor forţelor interioare este nulă. Momentul unei perechi de forţe interioare ( jiij F,F ) în raport cu un punct 0, ales arbitrar, este:

( )

( ) 0FAAFrr

FrFrFrFr

ijjiijji

ijjijijijiji

=×=×−=

=−×+×=×+×

Generalizând această relaţie pentru toate punctele materiale, se poate scrie:

Figura 9.1

∑∑= =

=×n

1i

n

1jiji 0Fr . (9.2)

Relaţiile (9.1) şi (9.2) arată că torsorul sistemului de forţe interioare în raport cu un punct oarecare 0 este nul. Prin definiţie, un sistem de puncte materiale este în echilibru dacă fiecare punct din sistem se află în echilibru şi reciproc. Condiţia ca un punct Ai din sistem să fie în echilibru este ca rezultanta forţelor care-l acţionează să fie nulă, adică:

∑=

=+n

1jjii 0FF . (9.3)

Dacă se amplifică vectorial această relaţie cu ir se obţine:

∑=

=×+×n

1jjiiii 0FrFr (9.4)

care arată că momentul în raport cu punctul 0 al forţelor care solicită punctul Ai este nul. Condiţiile necesare şi suficiente pentru ca sistemul de puncte materiale să fie în echilibru se obţin însumând condiţiile de echilibru ale fiecărui punct, adică:

∑ ∑∑= = =

=+n

1i

n

1i

n

1jjii 0FF (9.5)

∑ ∑∑= = =

=×+×n

1i

n

1i

n

1jjiiii 0FrFr . (9.6)

Dacă în relaţiile (9.5) şi (9.6) se ţine seamă de (9.1) şi (9.2) atunci se obţin relaţiile ce definesc teorema solidificării:

∑=

=n

1ii 0F ; ∑

=

=×n

1iii 0Fr , (9.7)

adică torsorul într-un punct oarecare 0 al forţelor exterioare, aplicate sistemului de puncte materiale considerat ca rigid, este nul. 9.2. Statica sistemelor de rigide Să considerăm un sistem de rigide aflate în interacţiune mecanică datorită legăturilor comune (reazeme, articulaţii etc.). Presupunând că sistemul de corpuri este în echilibru, rezultă că fiecare corp din sistem este în echilibru şi reciproc. Asupra fiecărui corp acţionează următoarele tipuri de forţe:

- forţe exterioare direct aplicate, care reprezintă acţiunile corpurilor din afara sistemului studiat;

- forţe de legătură (reacţiuni) exterioare, care sunt recţiunile ce se introduc în locul legăturilor cu exteriorul ale corpurilor sistemului;

- forţe de legătură (reacţiuni) interioare, care reprezintă acţiunile reciproce ale corpurilor din sistem şi care se introduc în locul legăturilor dintre corpurile sistemului. Conform principiului acţiunii şi reacţiunii, forţele de legătură interioare sunt două câte două egale şi de sensuri contrarii, atât în cazul legăturilor ideale cât şi în cazul legăturilor cu frecare.

Metoda de bază în studiul sistemelor de rigide este metoda izolării corpurilor. Conform acestei metode, fiecare corp al unui sistem de corpuri în echilibru, luat izolat şi solicitat de forţele exterioare şi de forţele de legătură (exterioare şi interioare), este în echilibru. În cazul spaţial, pentru fiecare corp din sistemul considerat se pot scrie 6 ecuaţii scalare de echilibru. Pentru un sistem de „n” corpuri se vor scrie deci „6n” ecuaţii de echilibru independente. Dacă sistemul are „6n” necunoscute scalare înseamnă că este static determinat (adică necunoscutele pot fi aflate din cele „6n” ecuaţii de echilibru). Dacă sistemul de corpuri este plan şi forţele care-l acţionează sunt în acelaşi plan, se pot scrie „3n” ecuaţii de echilibru independente. Deci pentru ca sistemul să fie static determinat sunt posibile numai „3n” necunoscute scalare. În Figura 9.2(a) este prezentat un exemplu de sistem plan de corpuri aflate în echilibru având:

- legăturile exterioare: A – articulaţie; C – încastrare; D- rezemare; E – articulaţie; - legăturile interioare: B – legătură prin fir; O – articulaţie; rezemare cu frecare între corpul de

greutate G şi bara DE; legătură prin fir între corpul G şi roata troliului de rază r.

În Figurile 9.2(b,c,d,e,f) sunt prezentate corpurile sistemului, izolate şi solicitate de următoarele tipuri de forţe: a) forţele de legătură (reacţiunile) exterioare – HA, VA, HC, VC, MC, ND, HE, VE; b) forţele de legătură (reacţiunile) interioare – S1, S2, N1, T, H0, V0; c) forţele exterioare direct aplicate – F, G, P, Q, M0, p. Pentru fiecare dintre cele cinci corpuri se pot scrie acum câte trei ecuaţii scalare de echilibru (deci în total 15 ecuaţii) din care vor rezulta cele 14 reacţiuni necunoscute plus unghiul γ la echilibru (sau greutatea P a barei AB dacă unghiul γ este impus).

5 l

3 l 2a

a

3a

R, r, Q

M0

F D G,µ

p(N/m)

EC

β

B

l

lA

γ

α

2aa

3a

N2

p

HE

αO

GxN1

Ty

S1

α

y

xS1

OH0 α

Q

S2V0

l

lγ

HA

y

S2 xP B

A

5 l

3 l

H0 OV0

Fβ

M0

VC

xMC

y

HCC

x

T

yN

1

VE

E

D

(a)

(b)

(c)

(d)(e)

(f)

AV

P

Figura 9.2

• Uneori, pentru evitarea calculului forţelor de legătură interioare, se poate aplica teorema solidificării sau teorema echilibrului părţilor. Metodele de calcul bazate pe aceste teoreme poată numele de metoda solidificării, respectiv metoda echilibrului părţilor. Teorema solidificării demonstrează că dacă un sistem (deformabil), liber sau cu legături exterioare, alcătuit din corpuri rigide, este în echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe direct aplicate atunci el va rămâne în echilibru sub acţiunea acestor forţe şi în cazul în care legăturile interioare ale sistemului ar fi blocate, păstrându-se legăturile exterioare iniţiale. În acest fel, pentru sistemul dat considerat acum ca rigid nedeformabil, se pot scrie 6 ecuaţii de echilibru (în cazul spaţial) sau 3 ecuaţii scalare de echilibru (în cazul plan). De multe ori însă aceste ecuaţii nu sunt suficiente pentru determinarea forţelor de legătură exterioare. Teorema echilibrului părţilor demonstrează că dacă un sistem de corpuri (deformabil), liber sau cu legături exterioare, alcătuit din corpuri rigide, este în echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe direct aplicate atunci o parte oarecare din sistem, considerată ca rigid, va fi de asemenea în echilibru sub acţiunea forţelor care acţionează asupra acestei părţi.

Teorema echilibrului părţilor este folosită de obicei pentru determinarea mai comodă a unor necunoscute sau pentru verificări. Ecuaţiile de echilibru obţinute prin metoda solidificării sau metoda echilibrului părţilor nu sunt independente de ecuaţiile de echilibru obţinute prin metoda izolării corpurilor, fiind combinaţii liniare ale acestora din urmă. Dacă în rezolvarea anumitor probleme ecuaţiile scalare de echilibru nu sunt suficiente atunci este necesar să se scrie relaţii suplimentare, independente, de natură geometrică sau relaţii care dau mărimea forţelor şi momentelor de frecare etc. Dacă şi în această situaţie numărul necunoscutelor este mai mare decât numărul ecuaţiilor atunci sistemul se numeşte static nedeterminat. Numărul necunoscutelor care depăşeşte numărul ecuaţiilor poartă numele de ordinul de nedeterminare al problemei.