12. Maşinile simple – aplicaţii ale staticii în tehnică 12.1. Scripetele fix

Scripetele fix (v. Figura 12.1) este construit dintr-un disc de rază „R”, pe periferia căruia este executat un şanţ de ghidare prin care trece un cablu, o funie sau un lanţ (elemente care au ca model teoretic firul). Scripetele este fixat într-o articulaţie cilindrică al cărui fus are raza „r”, iar coeficientul de frecare în articulaţie este µ΄. Datorită rigidităţii firului, acesta nu se desprinde de scripete în punctele A şi B de pe diametrul orizontal. Ramura conducătoare, acţionată de forţa motoare Fm, se înfăşoară mai mult pe scripete (până în A1) şi se apropie de centrul său cu distanţa e1. Ramura tractată a firului, acţionată de forţa rezistentă Fr, se desfăşoară de pe scripete îndepărtându-se cu e2 de centru. Prin urmare forţa motoare Fm are, faţă de centrul scripetelui, un braţ mai mic decât forţa rezistentă Fr. Distanţele e1 şi e2 au mărimi apropiate. Reacţiunea din articulaţia O este V = Fm + Fr , iar

momentul de frecare din articulaţie este:

Figura 12.1

Mf = µ΄rV = µ΄r(Fm+ Fr ). Scriind condiţia de echilibru la limită obţinem: (Σ M0 = 0): Fm (R - e1) - Fr(R + e2)- µ΄r(Fm + Fr ) = 0 , din care rezultă:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

−−++

+=−−++

=rµ'eRrµ'2ee

1Frµ'eRrµ'eR

FF1

21r

1

2rm .

Dar e1<<R şi µ΄r<<R, de aceea se vor neglija e1 şi µ΄r de la numitorul expresiei de mai sus

şi deci, relaţia dintre forţa motoare şi forţa rezistentă capătă forma:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

+=R

rµ'2R

ee1FF 21

rm (12.1)

Se face notaţia: R

eeλ 21 +

= , (12.2)

şi este coeficientul de rigiditate al firului, proporţional cu diametrul firului şi determinat experimental. El are valori mai reduse pentru funii de cânepă şi valori mai ridicate pentru cabluri de oţel .

Ţinând seamă de (12.2), relaţia (12.1) se scrie astfel:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ µ

+λ+=R

r'21FF rm . (12.3)

Dacă notăm:

++R

rµ'2λ1 = k , (12.4)

acest coeficient reprezintă inversul randamentului scripetelui.

Ţinând seama de (12.4), relaţia (12.3) se scrie astfel: Fm = kFr . (12.5) Deoarece k>1 întotdeauna rezultă că în cazul firelor reale Fm > Fr , spre deosebire de cazul

când firul este perfect flexibil şi se neglijează frecarea din articulaţie, când Fr = Fm. Valorile uzuale ale coeficientului k sunt cuprinse între 1,02 ... 1,05 funcţie de sistemul de

ungere al lagărului axului. Scripetele fix este utilizat pentru ridicarea unei greutăţi pe verticală sau pe un plan înclinat

având avantajul schimbării direcţiei de tragere (direcţie ce poate fi aleasă cât mai comodă posibil pentru cel ce efectuează operaţiunea).

12.2. Scripetele mobil Un astfel de scripete este arătat în Figura 12.2.

Sarcina de ridicat este fixată de fusul O al scripetelui. Ramura pasivă a firului este fixată într-un punct superior, iar de ramura activă se trage cu forţa motoare Fm .

La calculul acestui tip de scripete se folosesc rezultatele din cazul scripetului fix. Scriind relaţia (12.5) între forţa motoare şi tensiune T, obţinem:

kTFm = (12.6)

Figura 12.2

de unde: k

FT m= ,

Ecuaţia de echilibru pe verticală este:

(ΣFy = 0) : 0F-k

FF rm

m =+ (12.7)

din care rezultă:

Fk1

kF rm += . (12.8)

Deci, pentru scripetele mobil real (k > 1), rezultă că rm FF < . Pentru scripetele ideal (k =1)

. Avantajul scripetelui mobil este acela că realizează o demultiplicare a forţei în raportul 2/FF rm =

k1k+

, în schimb pentru ridicarea greutăţii Fr nu se realizează nici o economie de energie (întrucât

punctul de aplicaţie al lui Fm trebuie să se deplaseze cu o distanţă dublă).

12.3. Pârghia

C

B

Fr

Ap

N

0qFm α

Figura 12.5

C

0

N

B A

p

αFm

Fr

q

Figura 12.4

Bq A

FmNFr

0 p

α

Figura 12.3

Pârghia este un corp de o anumită formă, de obicei o bară, articulată în O şi acţionată în A

de forţa motoare Fm iar în B de forţa rezistentă Fr . Funcţie de poziţia relativă a punctelor de aplicaţie ale forţei motoare şi forţei rezistente, pârguia poate fi de trei tipuri:

- pârghia de ordinul întâi, la care punctul de sprijin O este situat între A şi B (v. Figura 12.3); - pârghia de ordinul doi, la care forţa rezistentă este aplicată între O şi A (v. Figura 12.4); - pârghia de ordinul trei, la care forţa motoare este aplicată între O şi B (v. Figura 12.5).

În figurile de mai sus s-au notat: p = braţul forţei motoare; q = braţul forţei rezistente. Aceste braţe au fost definite ca distanţe măsurate pe perpendicularele duse din O pe suporturile forţelor respective.

• Când articulaţia din O este fără frecare, din condiţia de echilibru în raport cu punctul O rezultă:

rm FpqF = . (12.9)

Alegând convenabil se obţine F1p/q < m < Fr însă deplasările sunt AA ́ > BB́. • Dacă articulaţia din O este cu frecare (raza fusului fiind „r” şi coeficientul de frecare

fiind µ΄) atunci în articulaţie acţionează momentul de frecare: αcosFF2FFrµ'rNµ'M rm

2r

2mf ++== . (12.10)

La limita echilibrului pârghiei, putem scrie relaţia următoare: ( ) αcosFF2FFrµ'qF-pF:0ΣM rm

2r

2mrm0 ++== . (12.11)

Ridicând la pătrat şi grupând termenii se obţine: . 0F)r'µ-q(Fα)Fcosr'µpq(2-F)rµ-p( 2

r222

rm222

m22'2 =++

Împărţind la Fr

2 obţinem o ecuaţie de gradul II în Fm/Fr care conduce la:

222

2222222

rm r'µ-pαsinr'µ-αcospq2qpr'µα)cosr'µpq(

FF++±+

= .(12.12)

Valoarea cea mai mare a lui Fm (pentru semnul +) corespunde tendinţei de mişcare în sensul lui Fm , iar valoarea cea mai mică corespunde tendinţei de mişcare imprimată de Fr.

12.4. Palanul

Palanul este un sistem alcătuit din 2n scripeţi, dintre care „n” scripeţi ficşi şi „n” scripeţi mobili. Scripeţii ficşi (ca şi cei mobili) sunt articulaţi pe un fus comun (v. Figura 12.6) sau au axele legate rigid între ele (v. Figura 12.7). În aceste figuri s-au prezentat palane cu n = 3.

Fr

Fm

Figura 12.7

T1T2

T3T4T5

T6

T6 T1T3

T2T5

T4

Fm

Fr Figura 12.6

Să determinăm relaţia dintre forţa motoare Fm şi forţa rezistentă Fr . Se izolează trenul de scripeţi mobili şi se scrie relaţia de echilibru: Fr = T1+T2+T3+T4+T5+T6. (12.13) Aplicând relaţia (12.5) pentru fiecare scripete se obţine:

. (12.14) ⎪⎭

⎪⎬

⎫

======

6554

4332

211m

kTT;kTTkTT;kTTkTT;kTF

Introducând (12.14) în (12.13) obţinem:

r6

6

m F1-k1)-k(k

F = . (12.15)

Generalizând relaţia (12.15) obţinem:

r2n

n2

m F1-k1)-k(k

F = . (12.16)

Dacă se neglijează frecările din articulaţii şi rigiditatea firelor, rezultă:

Fm n2

Fr= . (12.17)

12.5. Palanul exponenţial

Palanul exponenţial este alcătuit dintr-un scripete fix şi „n” scripeţi mobili. În Figura 12.8 este prezentat cazul n = 3. Să determinăm relaţia dintre forţa motoare Fm şi forţa rezistentă Fr. Se izolează fiecare scripete mobil şi se aplică relaţia (12.8):

;Fk1

kT r1 += ;T

k1kT 12 +

= 23 Tk1

kT+

= . (12.18)

Pentru scripetele fix se aplică relaţia (12.5):

Fm = kT3 . (12.19) Înmulţind relaţiile (12.18) şi (12.19) membru cu membru obţinem:

r3

4

m F)k1(

kF

+= . (12.20)

Generalizând relaţia (12.20) pentru „n” scripeţi mobili, rezultă:

rn

1n

m F)k1(

kF

+=

+

. (12.21)

În cazul scripeţilor ideali k = 1 iar din (12.21) se obţine rezultă:

rnm F21

F = . (12.22)

12.6. Şurubul

l

y R P

Ti

Ti cosα

z

x

Nisinα

yAi

Fr

Ai

Ni

α

α

Ticosα

Ni sinαTi sinα

Ni cosα

x

Figura 12.9

Fr

T1

T1T1'

T2

T2

T3

T3 Fm

T2'

T3'

Figura 12.8

Şurubul este un organ de maşină, obţinut prin tăierea pe un corp cilindric a unui filet, care

are forma unei elice cu pas constant. Vom studia şurubul cu filet pătrat utilizat adesea în cazul preselor din tipografii (v. Figura 12.9).

Se presupun cunoscute: pasul şurubului „p”, raza R, momentul motor Mm = Pl, forţa rezistentă Fr, coeficientul de frecare la alunecare µ = tg φ.

• Se consideră un element de suprafaţa Ai de pe filet, pe care acţionează forţa normală Ni şi

forţa de frecare Ti = µNi. Pentru echilibru, la limită în cazul înşurubării, se scrie:

(ΣFz = 0): -Fr + ΣNicosα - ΣµNisinα = 0 (ΣMz = 0): Mm – (ΣNisinα + ΣµNicosα )R = 0, (12.23)

de unde se obţine :

. (12.24) ⎭⎬⎫

Σαµ+α=Σαµ−α=

im

ir

N)cos(sinRMN)sin(cosF

Din relaţiile (12.23) şi (12.24) rezultă momentul motor maxim:

Mm max = FrR µsinα-αcosµcosααsin +

=Fr R tg(α + φ). (12.25)

• În cazul deşurubării, momentul motor şi forţa de frecare îşi schimbă sensul, deci

momentul minim este: Mm min = Fr R tg(α - φ). (12.26)

Rezultă că pentru echilibru este necesar ca: Fr R tg(α - φ) ≤ Mm ≤ Fr R tg(α + φ). (12.27)

Observaţii. Din relaţia (12.25) rezultă că Mm ∞ dacă α + φ 2/π , fenomen numit autoblocare. Din relaţia (12.26) rezultă că Mm < 0 dacă α < φ. Această situaţie se cheamă autofixare. În

acest caz, pentru deşurubare trebuie acţionat cu un moment de sens opus celui folosit pentru înşurubare. Astfel, şurubul nu se desface „de la sine” sub acţiunea forţei rezistente după încetarea momentului motor.

12.7. Planul înclinat Planul înclinat este cea mai veche „maşină simplă” folosită de om pentru ridicarea unor

sarcini (greutăţi) mari în construcţiile civile sau militare. Forţa utilizată la ridicare este întotdeauna mai mică decât sarcina de ridicat, fapt ce va fi demonstrat în continuare.

Să considerăm că unghiul planului înclinat faţă de orizontală este α iar coeficientul de frecare dintre sarcina de ridicat şi planul înclinat este µ = tg(ϕ), unde ϕ este unghiul de frecare.

Se izolează sarcina Q introducându-se reacţiunea normală N a planului şi forţa de frecare Fr = µN orientată în sens opus tendinţei de mişcare.

αµΝ

P

Q N

Figura 12.10

α

µΝ

P

Q N

Figura 12.11

• La ridicarea sarcinii Q pe planul înclinat (v. Figura 12.10) valoarea forţei motoare P se determină din ecuaţiile scalare de echilibru la limită:

0)cos(QN

0N)sin(QP=α−

=µ−α−

din care rezultă: ( ))cos()sin(QP αµ+α= sau )cos(

)sin(QPϕ

ϕ+α= . (12.28)

• La coborârea sarcinii Q pe plan, ecuaţiile scalare de echilibru la limită devin:

0)cos(QN

0N)sin(QP=α−

=µ−α+

din care rezultă: ( ))sin()cos(QP α−αµ= sau )cos(

)sin(QPϕ

α−ϕ= . (12.29)

Când α ≤ ϕ şi P = 0 corpul nu poate aluneca singur pe planul înclinat. Se spune în acest caz că este asigurată condiţia de autofixare pe plan a corpului.