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CAPITOLO 2
POTENZIALE
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2.1 Il concetto di potenziale
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In questo capitolo consideriamo gli aspetti di lavoro ed energia connessi con i campielettrici.
Il lavoro infinitesimo per muovere una carica q0 di uno spostamento infinitesimo ð ðÚ dato da:
POTENZIALE
ð ðŸ = ð â ð ð = ððð¬ â ð ð = ððð¬ð ð ððððœ = ððð¬ð ð ð
con ðœ lâangolo tra ð¬ e ð ð, e con ð¬ð la componente di ð¬ in direzione di ð ð.
Per uno spostamento finito tra A e B quello che si deve fare Ú dividere il camminoad esempio su un cammino curvo C1 in tanti tratti infinitesimi e sommare icontributi del lavoro. Questo significa in altri termini calcolare lâintegrale:
ðŸð = නðªð
ð ðŸð = නðªð
ð â ð ð = ððනðªð
ð¬ â ð ð
A
B
C1
In questo caso il vettore ð ð Ú tangente alla curva C1 in ogni punto e lâintegrale viene detto curvilineo.
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Possiamo definire il rapporto:ðŸððð
= නðªð
ð¬ â ð ð
come tensione elettrica tra i punti A e B e relativa al percorso C1 ed in generale selâagente che sposta le cariche ha natura qualunque il lavoro dipenderà dal percorsoscelto ovvero andando da A a B su un altro percorso C2 si ha
POTENZIALE
නðªð
ð¬ â ð ð â නðªð
ð¬ â ð ð
A
B
C1
C2
Se il percorso Ú chiuso ad esempio percorrendo la curva C1 da A a B e poi tornando in A percorrendo C2 si ottiene che:
ðŸ = රð â ð ð = නðªð
ð â ð ð + නâðªð
ð â ð ð = නðªð
ð â ð ð â නðªð
ð â ð ð = ðŸð âðŸð
da cui lâintegrale su un percorso chiuso (detto circuitazione) Ú in generale diverso da zero e viene posto
ðŸ = රð â ð ð = ððරð¬ â ð ÔŠð = ððâ
2.1 Il concetto di potenziale
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La quantità :
â = රð¬ â ð ð
viene definita forza elettromotrice (f.e.m.) del campo elettrico e malgrado il nomenon Ú una forza.
POTENZIALE
âðŒ = ðŒð â ðŒð = âðŸðð
La forza elettrostatica Ú invece conservativa quindi il lavoro necessario aspostare una carica Ú indipendente dal percorso e il lavoro su un percorso chiusoÚ sempre nullo. Possiamo quindi introdurre lâ energia potenziale elettrica
Di regola lâenergia potenziale Ú riferita ad un livello cui attribuiamovalore di en. potenziale nullo, e spesso si sceglie un punto ad âcome riferimento di potenziale. Ma come in tutte le situazioni chefanno uso del concetto di energia potenziale, sono solo ledifferenze di potenziale quelle che si usano.
2.1 Il concetto di potenziale
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Naturalmente lâenergia potenziale dipende sia dalla carica che genera il campo cheda quella (di prova) che mettiamo in un qualunque punto dello spazio. Se, come peril concetto di campo, definiamo una energia potenziale per unità di carica troviamouna quantità che dipende solo dalla carica che genera il campo.
Definiamo allora il potenziale elettrico o potenziale il rapporto tra
POTENZIALE
ðœ =ðŒ
ðð
Pertanto la differenza di potenziale (d.d.p.) tra due punti dello spazio Ú data da:
âðœ = ðœð â ðœð = âðŸððð
= âනð
ð
ð¬ â ð ð
In altre parole abbiamo che il lavoro svolto dalla forza elettrostatica per portare q0 da âiâ a âfâ
ðŸ = âððâðœ
2.1 Il concetto di potenziale
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Inoltre la scelta tipica per il potenziale di riferimento (nullo ad â) equivale a direche la carica allâinfinito ha Vi = 0
ovvero che il potenziale in un punto qualunque corrisponde al lavoro svolto dalcampo elettrico sulla carica di prova (e diviso per tale valore) per spostarla dainfinito al punto considerato.
POTENZIALE
Lâunità di misura del potenziale nel SI Ú il Volt (V) per cui
ð ðððð =ð ððððð
ð ððððððð
Tramite la nuova unità di misura possiamo ridefinire anche lâunità di misura del campo elettrico. Infatti si ha:
ð¬ =ðµ
ðª=ðµ
ð±ðœ
=ðµ â ðœ
ðµ â ð=ðœ
ð
quindi il campo elettrico può misurarsi anche in V/m.
2.1 Il concetto di potenziale
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2.2 Potenziale di una carica puntiforme
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Il campo elettrostatico Ú conservativo in quanto forza centrale. Il lavoro diconseguenza non dipende dal percorso seguito. Se la carica Ú puntiforme il lavorodella forza ð per un generico spostamento Ú
POTENZIALE
ð¬(ð)
ð ð
ð¬(ð + ð ð)
ð
ð ð
ð ðŸ = ð â ð ð = ððð¬ â ð ð = ððð
ðð ðºð
à·ð â ð ð
ðð=ðªðªððð«
ððððð«ð
con dr che Ú la proiezione dello spostamento infinitesimo nella direzione à·ðdel campo.
ð¬ â ð ð =ðð ð
ðð ðºððð
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2.2 Potenziale di una carica puntiforme
8POTENZIALE
Pertanto la funzione integranda risulta dipendere soltanto dalla variabile r ed integrando
නðš
ð©
ð¬ â ð ð =ð
ðð ðºðනððš
ðð©ð ð
ðð= â
ð
ðð ðºð
ð
ðð©âð
ððš
A
B
ððµ
ððŽ
Per cui
ðœð© â ðœðš = âð
ðð ðºððð©+
ð
ðð ðºðððš
âðœ = âනðš
ð©
ð¬ â ð ð
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2.2 Potenziale di una carica puntiforme
9POTENZIALE
ðœ ð =ð
ðð ðºðð+ ðª
Dal momento che il potenziale Ú definito a meno di una costante possiamo scrivere:
che con la scelta detta prima ðœ â â ð, equivale a dire che ðª = ð
Potenziale elettrico di una carica puntiforme
ðœ ð = නð
â
ð¬ â ð ð = âනâ
ð
ð¬ â ð ð =ð
ðð ðºðð
Energia potenziale di una carica puntiforme
ðŒ ð = ðððœ ð = âððනâ
ð
ð¬ â ð ð =ððððð ðºðð
Lâespressione dellâenergia potenziale si ottiene moltiplicando il potenziale per la carica q0
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2.3 Potenziale di un sistema di cariche
10POTENZIALE
I risultati appena trovati permettono lâestensione alla situazione di un campogenerato da un sistema discreto di cariche utilizzando il principio di sovrapposizione.Infatti il lavoro per uno spostamento da A a B :
ð¬
ðŸ = නðš
ð©
ð â ð ð = ððනðš
ð©
ð¬ â ð ð
A
B
e se consideriamo la somma vettoriale dei campi di ciascuna carica si ottiene:
නðš
ð©
ð¬ â ð ð = නðš
ð©
ð
ð¬ð â ð ð =ð
නðš
ð©
ð¬ð â ð ð =ð
නðš
ð© ðð
ðð ðºððððà·ðð â ð ð
avendo utilizzato per ognuno dei termini lâespressione del potenziale della carica puntiforme.
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2.3 Potenziale di un sistema di cariche
11POTENZIALE
Essendo ogni campo delle singole cariche conservativo, possiamo risolvere i singoliintegrali della sommatoria:
ðŸ = ððනðš
ð©
ð¬ â ð ð = âðð ðœð© â ðœðš =
ð
ðððð ðºððð©,ð
â
ð
ðððð ðºðððš,ð
Per cui per il generico punto nello spazio P(x,y,z)
ðœ(ð, ð, ð) = âනâ
ð·
ð¬ â ð ð =
ð
ðððð ðºððð
che in altre parole dice che il potenziale elettrostatico di un sistema di cariche si ottiene sommando i potenziali di ciascuna delle cariche.
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2.3 Potenziale di un sistema di cariche
12POTENZIALE
Lâestensione a distribuzioni continue di cariche Ú ovvia:
ðœ(ð·) = නð ðœ =ð
ðð ðºðනðœ
ð ð
ðr
avendo inteso lâintegrale sulla forma dellâoggetto carico(volume, superficie, linea) e dq la carica dellâelementoinfinitesimo, r la distanza tra P e lâelemento infinitesimo.
Infine come ultimo risultato per le distribuzioni di cariche (puntiformi e continue), considerando percorsi chiusi si ha
â = රð¬ â ð ð = ð
in altre parole la forza elettromotrice Ú nulla per campi elettrostatici
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Esercizio 2.2
Consideriamo una bacchetta finita dilunghezza L e con carica distribuitauniformemente. Determinare lâespressionedel potenziale nel punto P distante d da unadelle due estremità della bacchetta.
Esercizio 2.1
Calcolare il potenziale nel punto al centro di un quadrato di lato d =1.3 m esupponendo che le cariche sono q1 = +12 nC (in alto a sinistra), q2 = â24 nC(in alto a destra), q3 = +31 nC (in basso a sinistra) e q4 = +17 nC (in basso adestra)
POTENZIALE
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2.4 Energia potenziale elettrostatica
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Per costruire un sistema di cariche collocate in vari punti dello spazio usiamo ladefinizione e concludiamo che lâenergia necessaria (e.potenziale) a creare unsistema di cariche Ú pari al lavoro necessario da parte di un agente esterno perportare il sistema nella configurazione data, ovvero quello necessario a portareciascuna carica dallâinfinito alla posizione finale.
Il lavoro per muovere una carica
ðŸ = +ðâðœ
Supponiamo di voler spostare una carica q > 0 dallâinfinito, dove il potenziale Únullo, verso una regione con V > 0 ovvero in presenza di cariche positive, inquesto caso ÎV > 0 e il lavoro risulterà positivo perché dobbiamo vincere larepulsione tra le due cariche; viceversa se le cariche sono discordi risulterà unlavoro negativo.
La procedura seguita ci dà un criterio per capire qual Ú lâenergianecessaria a creare un sistema di cariche puntiformi:consideriamo un processo di costituzione del sistemaprendendo una carica alla volta e aggiungendolo al resto
POTENZIALE
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2.4 Energia potenziale elettrostatica
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Lâenergia complessiva del sistema sarà :
ðŒð(ððððððð) =ð
ð
ðâ ð
ðððð
ðð ðºðððð
somma estesa a tutte le coppie di punti (il fattore œ tiene conto del fatto chenella sommatoria del doppio conteggio dei termini simmetrici tipo ij e ji).
e lâenergia complessiva del sistema sarà :
Per una carica esterna q0 distinta dalle precedenti, risulterà che la sua energiapotenziale Ú la somma delle energie potenziali dovuta alle cariche del sistema:
ðŒð(ðð) =
ð
ðµðððððð ðºððð
ðŒð = ðŒð ððððððð + ðŒð(ðð)
POTENZIALE
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Esercizio 2.3
Tre cariche sono disposte ai vertici di un triangolo equilatero di lato l = 12cm. Se le cariche sono q1, q2 e q3 qual Ú lâenergia potenziale elettrostaticadi questo sistema? Qual Ú il lavoro necessario a mettere una carica q0 alcentro del triangolo?
POTENZIALE
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2.5 Moto di una carica in un campo elettrostatico
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Supponiamo di avere una carica q0 in un campo elettrostatico ð¬.
Utilizzando il teorema dellâenergia cinetica:
âð¬ð² =ð
ðððð©
ð âð
ððððš
ð = ðŸ
dâaltra parte sappiamo che il lavoro Ú pari a:
eguagliando i termini si ottiene:
ðŸ = ââðŒð = âððâðœ = âðððœð© + ðððœðš
ð
ððððš
ð + ðððœðš =ð
ðððð©
ð + ðððœð©
ovvero che la quantità :
ð
ðððð + ðððœ = ðððð
che rappresenta la conservazione dellâenergiaPOTENZIALE
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2.6 Superfici equipotenziali
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Definiamo superficie equipotenziale il luogo dei punti aventi il medesimopotenziale ovvero una superficie delimitata dalla condizione
Le superfici equipotenziali per una carica puntiforme sono tante sfereconcentriche alla carica stessa.
ðœ(ð, ð, ð) = ðððð
In base alla definizione non Ú necessario compiere alcun lavoro per muoversi su una superficie equipotenziale.
le linee di campo sono perpendicolari alle superficiequipotenziali. Infatti se non fosse così, unacomponente del campo elettrico, che Ú tangente allalinea di forza, si troverebbe lungo la superficieequipotenziale. Ma se fosse così muovendo unacarica lungo la superficie risulterebbe che il lavoroper spostare una carica sarebbe diverso da zero, cosache contraddice la proprietà vista prima dellesuperfici equipotenziali. Questa proprietà consenteanche di ricavare la direzione del campo elettriconota la superficie equipotenziale.POTENZIALE
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2.7 Campo come gradiente del potenziale
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Vediamo come ricavare il campo elettrico se conosciamo lâespressione delpotenziale utilizzando la relazione locale che si può scrivere invece che la versioneintegrale che lega il potenziale al campo elettrico.
Consideriamo due superfici equipotenziali V e V+dV.
Supponiamo di muovere la carica di prova q0 lungo uno spostamento infinitesimo
ð ð = ð ðà·ðð + ð ðà·ðð + ð ðà·ððche intercetta le due superfici equipotenziali.Il lavoro sarà pari a:
ð ðŸ = âððð ðœ
Possiamo però anche dire dalla definizione di lavoro che:
ð ðŸ = ð â ð ð = ððð¬ â ð ð
Unendo le due espressioni:
âððð ðœ = ððð¬ â ð ðPOTENZIALE
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2.7 Campo come gradiente del potenziale
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Se esplicitiamo il prodotto scalare:
ð¬ â ð ð = ð¬ðð ð + ð¬ðð ð + ð¬ðð ð
ð ðœ =ððœ
ððð ð +
ððœ
ððð ð +
ððœ
ððð ð
e scriviamo il differenziale totale della funzione V come:
Lâespressione precedente diventa:
âððœ
ððð ð â
ððœ
ððð ð â
ððœ
ððð ð = ð¬ðð ð + ð¬ðð ð + ð¬ðð ð
che Ú verificata se e soltanto se:
ð¬ð = âððœ
ððð¬ð = â
ððœ
ððð¬ð = â
ððœ
ðð
che permette di trovare tutte le componenti di ð¬ noto ilpotenziale in funzione dello spazio.
POTENZIALE
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2.7 Campo come gradiente del potenziale
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Quelle tre relazioni si possono esprimere sinteticamente utilizzando lâoperatoregradiente:
dove:
ð¬ = âðððð ðœ oppure ð¬ = âððœ
Campo elettrico come gradiente del potenziale
Il campo elettrostatico `e in ogni punto uguale al gradiente del potenziale elettrico in quel punto e cambiato di segno.
ð¬ = âððœ
Lâoperatore gradiente Ú un oggetto che si comporta formalmente comeun vettore ma acquista significato solo se applicato ad una funzionescalare. Applicandolo formalmente al potenziale si ottiene infatti:
ððœ =ððœ
ððà·ðð +
ððœ
ððà·ðð +
ððœ
ððà·ðð = ðððð ðœ
ð =ð
ððà·ðð +
ð
ððà·ðð +
ð
ððà·ðð
POTENZIALE
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Esercizio 2.5
Esercizio 2.4
Si consideri un anello carico di raggio R, avente una carica quniformemente distribuita. Calcolare il potenziale lungo lâasse dellâanello.
Si consideri un disco carico di raggio R, avente una carica quniformemente distribuita. Calcolare il potenziale lungo lâasse del disco.
POTENZIALE
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2.8 Potenziale di un dipolo elettrico
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Calcoliamo il potenziale dovuto al dipolo in un generico punto P del piano deldipolo come in figura.
Il potenziale sarà :
ðœ = ðœ+ + ðœâ =ð
ðð ðºð
ð
ð++âð
ðâ=
ð
ðð ðºð
ðâ â ð+ðâð+
+q
-q
d
x
y
asse del dipolo
P
Ξr-
r+
r
POTENZIALE
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2.8 Potenziale di un dipolo elettrico
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Il dipolo Ú una struttura molto frequente ed Ú ad esempio il campo elettricogenerato da un gran numero di molecole. Normalmente si Ú interessati al campo adistanze relativamente grandi ossia determinate dalla condizione r >> d.
In questo caso possiamo approssimare: ðâ â ð+ â ð ððððœ
+q
-q
d
x
y
asse del dipolo
P
Ξr-
r+
r
Ξ
ðâð+ â ðð
ðœ =ðð ððððœ
ðð ðºððð=ðððððœ
ðð ðºððð
Con queste approssimazioni il potenziale diventa:
POTENZIALE