*Introduccin a las Seales AleatoriasISALCaptulo 1:PROBABILIDAD

Material de partida:Bartolo Luque Departamento Matemtica Aplicada Y EstadsticaE.T.S.I. Aeronuticos, UPM. Plaza Cardenal Cisneros, 3Madrid 28040, Spain. Tf.: 91 336 63 26Bartolo@dmae.upm.eshttp:/matap.dmae.upm.es/bartolo.html

Principios de probabilidad, variables aleatorias y seales aleatoriasPeyton, Z. & Peebles, Jr.(Captulo 1)

*Cmo osamos hablar de leyes del azar? No es, acaso, el azar la anttesis de cualquier ley?Bertrand RusellProbabilidad Dominar la fortunaLa probabilidad de tener un accidente de trfico aumenta con el tiempo que pasas en la calle. Por tanto, cuanto mas rpido circules, menor es la probabilidad de que tengas un accidente.

El 33 % de los accidentes mortales involucran a alguien que ha bebido. Por tanto, el 67 % restante ha sido causado por alguien que no haba bebido. A la vista de esto y de lo anterior, esta claro que la forma ms segura de conducir es ir borracho y a gran velocidad.

*La Probabilidad es una disciplina matemtica cuyos propsitos son de la misma clase que, por ejemplo, los de la Geometra o la Mecnica Analtica. En cada campo debemos distinguir tres aspectos de la teora:

a) el contenido lgico-formal, b) el antecedente intuitivo, c) las aplicaciones.

El carcter y el encanto de toda la estructura no pueden ser apreciados sin considerar los tres aspectos adecuadamente relacionados.

William Feller, Introduccin a la Teora de Probabilidades y sus aplicaciones.

*El hombre del tiempo:

La probabilidad de que llueva este sbado es del 50% y de que llueva en domingo tambin es del 50%. As que la probabilidad de que llueva el fin de semana es del 100%.Cul es la probabilidad de que llueva el fin de semana suponiendo independencia entre los sucesos: "llover el sbado" y "llover el domingo"?

*Si un gato puede ser macho o hembra y hay cuatro gatos, tenemos 24 = 16 posibilidades:

HHHH MMMMProbabilidad de que todos sean del mismo sexo = 2/16 = 1/8

HHHM HHMH HMHH MHHHMMMH MMHM MHMM HMMMProbabilidad descomposicin (3-1) = 8/16 = 1/2

HHMM HMHM HMMH MHHM MHMH MMHHDescomposicin (2-2) = 6/16 = 3/8

Hemos contado los 16 casos posibles y 1/8 + 1/2 + 3/8 = 1.

A casi todo el mundo le sorprende que en familias de cuatro hijos haya tres del mismo sexo.

*Probabilidad de que todos sean del mismo sexo:

Probabilidad descomposicin (3-1):

Probabilidad descomposicin (2-2):

* Es un hecho destacable que una ciencia que empez analizando juegos de azar acabe convirtindose en el ms importante objeto del conocimiento humano.

Pierre Simon Laplace, Thorie Analytique des Probabilits.

La base de la comprensin de la probabilidad no aparece hasta mediados del siglo XVI, y el tema no se discute con profundidad hasta casi un siglo despus. Los historiadores se preguntan por qu el progreso mental en este campo fue tan lento, dados que los seres humanos se han visto confrontados con el azar una y otra vez desde los primeros tiempos.

Deborah J. Bennett, Aleatoriedad.

*Antoine Gambaud, Chevalier de Mre, plante uno de los problemas ms antiguos de la teora de probabilidad al filsofo y matemtico francs Blaise Pascal: Qu es ms probable? Sacar al menos un 6 al tirar 4 veces un solo dado osacar un 12 en 24 tiradas de 2 dados.A pesar de que Pascal haba renunciado a las matemticas por considerarlas una forma de deleite sexual (!), acept resolver el problema:

*Pascal, a raz de esta cuestin, comenz una correspondencia epistolar sobre cuestiones probabilsticas con otros matemticos amigos, sobre todo con Fermat. Esta correspondencia puede considerarse el origen de la teora de probabilidades.Programa DeMere1Programa DeMere2

*Experimento aleatorioEntenderemos por experimento aleatorio () cualquier situacin que, realizada en las mismas condiciones, proporcione un resultado imposible de predecir a priori. Por ejemplo:* Lanzar un dado.* Extraer una carta de una baraja.* Se lanza una moneda. Si sale cara se extrae de una urna U1, con una determinada composicin de bolas de colores, una bola y si sale cruz de extrae de una urna U2, con otra determinada composicin de bolas de colores, una bola.

*Sucesos o eventosCuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados son posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral (W).Experimento aleatorio: lanzar un dado.Espacio muestral W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Se llama suceso o evento a un subconjunto de dichos resultados. Distinguiremos entre sucesos simples (o indivisibles) y compuestos (o divisibles).Por ejemplo: el suceso A = que el resultado sea par: A = {2, 4, 6} es un suceso compuesto.Se llama suceso complementario de un suceso A, al formado por los elementos que no estn en A. ser: que el resultado sea impar, = {1, 3, 5}.

*Se considera el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda. Si sale cara, se extrae de una urna que contiene bolas azules y rojas una bola, y si sale cruz, se extrae una bola de otra urna que contiene bolas rojas y verdes. Cul es el espacio muestral W de dicho experimento aleatorio? W = {(C,R), (C,A), (+,R), (+,V)}

*Frecuencia relativa:experimento, A suceso

Idea (experimental) de ProbabilidadLey del azar:

A medida que n aumenta, fA tiende a estabilizarse alrededor de un valor determinado, denomininado probabilidad de ocurrencia del suceso A:

*Definicin frecuencial

Definicin clsica

Definicin axiomtica

Definiciones de ProbabilidadInterpretacin frecuentista: probabilidad como cualidad objetiva de los fenmenos aleatorios independiente de las expectativas del observador

Otras interpretaciones filosficas: probabilidad subjetiva (bayesiana) (probabilidad lgica, fiducial,...)

*

Probabilidad frecuencial Inconvenientes: Definicin a posteriori n siempre finito

*Laplace define la probabilidad de un suceso A como el cociente:Probabilidad clsica (I) Ventajas: definicin a priorstica Inconvenientes: Slo si |A|, | W | finitos Exige sucesos elementales equiprobables

*Dado: Cul es la probabilidad P(A) de A = un nmero mayor o igual a 5?Y la probabilidad de B = nmero impar?Solucin: Los seis casos posibles son igualmente probables, cada uno tiene probabilidad 1/6.P(A) = 2/6 = 1/3 pues A ={5,6} tiene dos casos favorables.P(B) = 3/6 = 1/2 pues B = {1, 3, 5} tiene tres casos favorables Probabilidad clsica (II)

*Probabilidad clsica (III) A pesar de los inconvenientes la Regla de Laplace puede ser muy til para asignar probabilidades a los sucesos (ajuste del modelo)

Si no se cumple que los sucesos elementales sean equiprobables:

Definir un experimento aleatorio ficticio aadiendo aspectos quizs no observables

* Ejemplo: espacio muestral para sucesos elementales equiprobables y aplicar Regla de Laplace Experimento: lanzar dos dados y obtener la suma de las puntuaciones obtenidasEspacio muestral W = {2, 3, 4, 5, 6,7,8,9,10,11,12}.Sucesos no equiprobable: ej.: suma 12 slo 6 y 6 suma 8, puede ser 6 y 2, 5 y 3 4 y 4Nuevo espacio muestral (quizs no obervable, slo observable la suma) W= {1:1, 1:2, 1:3, 1:4, 1:5, 1:6, 2:2 2:3, 2:4, 2:5, 2:6, 3:3, 3:4, 3:5 3:6, 4:4, 4:5, 4:6, 5:5, 5:6, 6:6}

*Pero estos 21 resultados siguen sin ser equiprobables slo hay una forma de que aparezca 5:5 pero 3:4 puede aparecer 3 en un dado y cuatro en el otro, o al revsNuevo espacio muestral cmo si un dado fuese blanco y otro fuese negroW= { 1:1, 1:2, 1:3, 1:4, 1:5, 1:6, 2:1, 2:2, 2:3, 2:4, 2:5, 2:6, 3:1, 3:2, 3:3, 3:4, 3:5, 3:6, 4:1, 4:2, 4:3, 4:4, 4:5, 4:6, 5:1, 5:2, 5:3, 5:4, 5:5, 5:6, 6:1, 6:2, 6:3, 6:4, 6:5, 6:6}Ahora s puede suponerse que los resultados son equiprobables, probabilidad atribuida 1/36 A = {suma 7}={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}

*Probabilidad clsica (III-cont) A pesar de los inconvenientes la Regla de Laplace puede ser muy til para asignar probabilidades a los sucesos (ajuste del modelo)

Si no se cumple que los sucesos elementales sean equiprobables:

Definir un experimento aleatorio ficticio aadiendo aspectos quizs no observablesPero: para manejarse en este espacio mayor (quizs) con elementos equiprobables es necesariosaber contar -> Combinatoria

*Saber Contar Regla de Laplace (Definicin clsica)

Ejemplo: Espacio muestral W discreto y finito, con n sucesos simples: cantos subconjuntos (sucesos compuestos?) pueden formarse?

*Principio multiplicativo (ilustracin grfica)El primer elemento puede escogerse de dos formas distintas: a1 y a2. El segundo de tres maneras distintas: b1, b2 y b3. El tercer elemento puede escogerse en dos modos distintos: c1 y c2. El total de posibilidades ser: 2 . 3 . 2 = 12

*= {a,b,c} Espacio muestral W discreto y finito, con n=3 sucesos simples Sucesos compuestos: Principio multiplicativoEl total de subconjuntos posibles ser: 2 . 2 . 2 = 8para n elementos : 2n{a,b,c} {a,b} {a,c} {a} {b,c} {b} {c} {}

*Alfabeto Braille Cuntos smbolos distintos pueden representarse?

*La combinatoria trata, ante todo, de contar el nmero de maneras en que unos objetos dados pueden organizarse de una determinada forma.

Introduccin a la combinatoriaIan Anderson CombinatoriaEl arte de contar

*Combinatoria-I (simple)Nmero de formas de colocar n objetos distintos en una fila de r posiciones (...o extraer r elementos de un conjunto de n objetos)Ejemplo: colocar tres objetos {a,b,c} (n=3) en r=2 posiciones

Permutaciones/Variaciones: El orden importa ab es distinto a ba

Combinaciones: El orden no importa ab se considera igual a ba

Tanto las Permutacin, Variaciones como las Combinaciones pueden o no considerar la repeticin (o reposicin) de los objetos o elementos: aa bb Permutaciones/Variaciones/Combinacionescon/sin repeticin

*Combinatoria-II (simple)Variaciones: El orden importa Variaciones sin repeticin: escoger r elementos distintos de entre un total de n segn un determinado orden. Para escoger el primer elemento hay (n) posibilidades, para el segundo (n-1),.... para el elemento r (n-r+1) = n(n-1).....(n-r+1){a,b,c} escoger r=2 de n=3 {ab,ba,ac,ca,bc,cb} 3!/(3-2)!=6{a,b,c} r=2 de n=3 con repeticin {ab,ba,ac,ca,bc,cb,aa,bb,cc} 32=9Variaciones con repeticin: escoger r elementos distintos de entre un total de n segn un determinado orden, y pudiendo repetirse. Ahora hay n posibilidades para escoger cada uno de los r elementos

*Combinatoria-III (simple)Permutaciones sin repeticin (recordad 0! = 1):Permutaciones con repeticin:{a,b,c} Permutaciones sin repeticin {abc,acb,bac,bca,cab,cba} 3!=6{a,b,c} Permutaciones con repeticin {abc,acb,bac,bca,cab,cba,aaa,bbb,ccc,aab,aba,baa,aac,aca,caa,bba,bab,abb,bbc,bcb,cbb,cca,cac,acc,ccb,cbc,bcc} 33=27Permutaciones con n=r : (Permutaciones/Variaciones)

*Combinatoria-IV (simple)Combinaciones: El orden no importaCombinaciones sin repeticin: escoger r elementos distintos de entre un total de n sin que importe el orden {a,b,c} escoger r=2 de n=3 sin que importe el orden- {ab,ac,bc} 3!/2!(3-2)!=3En las Combinaciones, al no importar el orden, el nmero de Variaciones se reduce en un factor igual al nmero de ordenaciones de los r elementos:

*Combinatoria-V (simple)Combinaciones: El orden no importa{a,b,c} r=2 de n=3 con repeticin {ab,ac,bc,aa,bb,cc} 4!/(2!.2!)=6Combinaciones con repeticin: escoger r elementos distintos de entre un total de n sin que importe el orden, y pudiendo repetirse.

*Ejemplos

*Si se producen aleatoriamente n accidentes de coche en n das, cul es la probabilidad de que cada da se produzca un accidente?(Sucesos equiprobables)N casos posibles:El accidente 1 puede ocurrir en n posibles das. El accidente 2 en n das, idem el 3, etc... De modo que existen nn maneras posibles de que sucedan n accidentes en n das (casos posibles).

N casos favorables:Nmero de formas de colocar n accidentes en n das, un accidente cada da....

*Si se producen aleatoriamente n accidentes de coche en n das, cul es la probabilidad de que cada da se produzca un accidente?Para siete accidentes de trfico en una semana:p(7) = 7! / 77 = 0.00612 (anti-intuitivamente baja) N casos posibles: nnEl accidente 1 puede ocurrir en n posibles das. El accidente 2 en n das, idem el 3, etc... De modo que existen nn maneras posibles de que sucedan n accidentes en n das (casos posibles).N casos favorables:Nmero de formas de colocar n bolas en n celdas, una bola por celda.... Permutaciones sin repeticin de n-elementos tomados de n en n: n!

*Cul es el nmero de posibles ordenaciones de una baraja de pker de 52 cartas? El resultado es 52!, que es aproximadamente 8 1067. Observa que a partir de una simple baraja obtenemos un nmero enorme, superior, por ejemplo, al cuadrado del nmero de Avogadro: 6,02 1023.

Explosin combinatoria Nota: 0! = 1

*Frmula de StirlingLa demostracin de la frmula de Stirling puede encontrarse en la mayora de textos de anlisis. Vamos a verificar la bondad de la aproximacin usando el programa StirlingApproximations, que imprime: (a) n!, (b) la aproximacin de Stirling y (c) el cociente de ambos valores. Observemos como ese cociente se acerca a 1 a medida que n crece. Se dice entonces que la aproximacin es asinttica.A veces, al resolver un problema de combinatoria, es mejor encontrar una aproximacin asinttica formada por funciones cuyo comportamiento es fcil de comprender que la solucin exacta, cuyo comportamiento escapa a nuestra intuicin. James Stirling present su frmula en Methodus Differentialis publicado en 1730.

*Un ascensor sube con 7 pasajeros y se detiene al cabo de 10 pisos. Cul es la probabilidad de que dos pasajeros no bajen en el mismo piso? (Supongamos que todas las posibles maneras de descender son igualmente probables).Casos posibles: VR10,7 = 107Casos favorables: V10,7 = 10987654n objetos : 10 pisos escogidos de 7 en 7El orden importa VariacionesFavorables: Dos no en el mismo piso -> no repeticin

*Algunas Propiedades

El binomio de Newton(a + b)2 = (a + b) (a + b). Todos los posibles productos son: aa, ab, ba, bb.(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

(a + b)3 = (a + b) (a + b) (a + b).Todos los posibles productos son: aaa, aab, aba, baa, abb, bab, bba, bbb.(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4. C(4,0) = 1; C(4,1) = 4; C(4,2) = 6; C(4,3) = 4; C(4,4) = 1

*Teorema del binomioDemostrar:

*

*

*

*

*

*

*

*Recapitulacin:Experimento aleatorio () resultado imposible de predecir a priori.Espacio muestral (W). El conjunto de todos los resultados posiblesSuceso o evento (A) a un subconjunto de dichos resultados. Probabilidad frecuencial

Probabilidad clsica

*.... avanzar hacia una Teora Matemtica completa .....

*Sucesos o eventosEspacio muestral (W) : conjunto de todos los resultados posibles se Espacio muestral W discreto (finito o infinito numerable)Lanzar un dado W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Espacio muestral W continuo (infinito no numerable)Tiempo en pararse el dado W = {tR / t>=0} A=[t1,t2 ]A suceso o evento a un subconjunto de dichos resultados.sucesos simples (o indivisibles) compuestos (o divisibles).

*Relaciones y operaciones entre sucesos

*Relaciones entre sucesosImplicacin o inclusin () : A B : siempre que se verifica A se verifica B(todos los resultados de A pertenecen a B) (En A B al menos un elemento de B no exite en A; sino A BIgualdad (=) :A = B : si A B y B A (A B y B A )

*Operaciones entre sucesos(Diagramas de Venn)Sigamos con el dado:Sucesos A= Un nmero impar, B= Un nmero mayor que 4. Suceso contrario a A : ={2, 4, 6} ={1, 2, 3, 4} A B ={1, 3, 5, 6} A B = {5} ={2, 4} = {1, 2, 3, 4, 6}

*Se llama suceso unin de A y B, A B, al formado por los resultados experimentales que estn en A o en B (incluyendo los que estn en ambos).Se llama suceso interseccin de A y B, A B, al formado por los resultados experimentales que estn simultneamente en A y B. suceso imposible (no contiene resultados) A = A y A = para cualquier suceso posible ADos sucesos son mutuamente excluyentes o incompatibles si A B = (no contienen resultados comunes)

Observemos que un suceso y su complementario son siempre mutuamente excluyentes y su unin es todo el espacio W. A = , A = WLa unin y la interseccin de mltiples sucesos se define de forma similar:

*Cul ser la probabilidad de dos sucesos mutuamente excluyentes?

*La diferencia bsica en el papel de la Probabilidad matemtica en 1946 y en 1988 es que hoy en da es aceptada como Matemtica, mientras que en 1946, para la mayora de los matemticos, la Probabilidad era a las Matemticas como el mercado negro es al mercado: esto es, la Probabilidad era una fuente de matemticas interesantes, pero el anlisis del contexto de fondo era algo poco recomendable.

J. L. Doob, A Century of Mathematics in America, Part II (Peter Duren, ed.)

* La Teora de la Probabilidad, como disciplina matemtica, puede y debe ser desarrollada a partir de unos axiomas, de la misma manera que la Geometra o el lgebra.

Andrei Kolmogorov, Foundations of the Theory of Probability.

*-lgebra de sucesosEspacio muestral (W) : conjunto de todos los resultados posibles se (A) suceso o evento a un subconjunto de dichos resultados.F conjunto de sucesos no genera problemas para W discreto (finito o numerable), pero s para W continuo (espacio eucldeo Rk, problema de la medida-subconjuntos rea nula)F debe ser -lgebra de Borel : F lgebra de sucesosSi F => F Si F => F F cerrada por cualquier secuencia de operaciones conjuntistas entre sus miembros ( es un algebra de Boole)

*Precisamos como definicin de probabilidad una que sea independiente del experimento concreto bajo estudio, lo cual permite elaborar a partir de ella una Teora Matemtica completa que permita el estudio de cualquier fenmeno aleatorio

*Definicin axiomtica de probabilidad Espacio muestral (W) ligado a e experimento aleatorioF lgebra de sucesos Se llama probabilidad a cualquier funcin P que asigna a cada suceso A del F lgebra de sucesos un valor numrico P(A) ( R), P: F RA F P(A) Rverificando los siguientes axiomas:

(1) No negatividad: 0 P(A)

(2) Normalizacin: P(W) = 1

(3) Aditividad: P(A B) = P(A) + P(B) si A B = (donde es el conjunto vaco) Kolmogorov, 1933 (!)

*Definicin axiomtica de probabilidad(1) No negatividad: 0 P(A)

(2) Normalizacin: P(W) = 1

(3) Aditividad: P(A B) = P(A) + P(B) si A B = (donde es el conjunto vaco)

F -lgebra (lgebra de sucesos)Si F y

< W ,F , P> Espacio de probabilidad o espacio probabilstico

*Demostrar que: P( )= 0 (Utilizar: W = )

P(W) = P(W U )=P(W )+P() = 1+ P() P( )= 0 Demostrar que: 0 P(A) 11= P(W) = P(A U )=P(A )+ P( ) P(A ) 1Demostrar que: A B =>P(A) P(B)B= A (B )

*Sabiendo la probabilidad P(A) de un suceso A, cul ser la de su complementario ?Teorema de la probabilidad complementariaPara un suceso A y su complementario en el espacio muestral W :P( ) = 1 - P(A)Demostracin: Por definicin de complementario W = A y A = . A partir de los axiomas 2 y 3

1 = P(W) = P(A )= P(A) + P( ) de modo que P( ) = 1 - P(A)

*El suceso Ac (ninguna cara) tiene solo una posibilidad. Entonces P(Ac) = 1/32 y la respuesta es: P(A) = 1 - P( ) = 31/32.Lanzamiento de monedasCinco monedas se lanzan simultneamente. Encuentra la probabilidad del suceso A: Al menos sale una cara. Asumimos que las monedas no est cargadas.Solucin: Puesto que cada moneda puede aparecer como cara o cruz, el espacio muestral consiste en 25 = 32 posibilidades. Como las monedas no estn cargadas cada posibilidad tiene la misma probabilidad de 1/32.

*Probabilidad Conjunta y CondicionalProbabilidad ConjuntaProbabilidad CondicionalProbabilidad TotalTeorema de BayesTeorema de la multiplicacin

*Otras maneras de visualizar sucesosTablas de contingencia:

Diagramas en rbol:BarajaCartasRojasCartas NegrasNo AsAsAsNo As NegroColorPaloRojoTotalAs224No-As242448Total262652

*Recordemos el restaurante de Emile. Supongamos que el 80% de los clientes escogen sopa como entrante y el 20% zumo. De los que escogen sopa, el 20% eligen vegetales, el 30% pescado y el 50% carne. De los que escogieron zumo, es el 30%, 40% y 30% para vegetales, pescado y carne respectivamente. Podemos utilizar estos valores para estimar las probabilidades de los dos primeros platos usando un diagrama de rbol.

*Probabilidad CONJUNTA DE:dos sucesos QUE NO SON MUTUAMENTE EXCLUYENTESA y B en el espacio muestral:P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)Demostracin: En la imagen podemos ver que A = C D y B = D E. As que C, D, E son disjuntos. Por el axioma 3P(A) = P(C) + P(D) y P(B) = P(D) + P(E)Sumando:P(A) + P(B) = P(C) + P(D) + P(D) + P(E)Restando P(D) a ambos lados:P(A) + P(B) - P(D) = P(C) + P(D) + P(E), es decir:P(A) + P(B) - P(A B) = P(A B)

*PROBABILIDAD CONJUNTA:

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) P(B A) = P(B) + P(A) - P(B A) < P(B) + P(A)

La igualdad se da si son MUTUAMENTE EXCLUYENTES: A B = y = P(A B) = P()=0

*Regla de la adicin

*Varias demostraciones de la regla de la adicin:

Mtodo de generalizacinMtodo de inclusin-exclusinMtodo de induccin

*Mtodo de Generalizacin

*Repitiendo el proceso para n sucesos obtenemos la regla de adicin.

Sustituyendo en la expresin anterior:

*Mtodo de inclusin-exclusin

Dados dos eventos cualesquiera, y , la probabilidad de la unin de ambos es:Queremos obtener la frmula anterior en el caso de N eventos , es decir, para :

Definimos:

Expresaremos la suma de las p con r subndices como :

La frmula a demostrarnos queda como:

*

Para calcular sumaramos las probabilidades de todos los puntos muestrales que estn contenidos en por lo menos uno de los , pero cada punto debe tomarse solamente una vez.

Tomamos primero los puntos contenidos slo en un suceso, a continuacin los contenidos en exactamente dos, y as sucesivamente hasta el final, donde tomamos los puntos (si los hay) contenidos en todos los sucesos .

Sea un punto x cualquiera que pertenezca a n de los sucesos,su probabilidad sera:

Falta demostrar que y para ello nos fijamos en:

Entonces para que sea (1-1)=0:

*Mtodo de induccinSe demuestra que para N=2:

Para N=3:

Suponiendo cierta la propiedad para N:

*Y observando que :Consta de sumandos

Consta de sumandos

Hay que comprobar que se cumple para N+1:

Para ello, supongamos que uno de los sucesos A1 es unin de otros dos:

Obsrvese que en la expresin para N sucesos, podemos separarlo en:

*Para cada uno de los trminos del primer sumatorio, formado por la interseccin de n sucesos, uno de ellos A1, se puede descomponer en:

En donde este ltimo sumando consta de n+1 sucesos.Entonces estar formado por:

La suma de n sucesos distintos de A1 que son

La suma de n sucesos: y n-1 distintos:

La suma de n sucesos: y n-1 distintos:

La suma de n sucesos: , y n-2 distintos: obtenidos del sumatorio: al sustituir A1 por

*En total estara formado por

Teniendo en cuenta la propiedad:

Que es el nmero de sumandos que debe tener

*Inspira profundamente. Al hacrsele al filsofo griego Anaxgoras (nacido el ao 428 antes de nuestra era) la pregunta de cul sera el mejor modo de que se acordasen de l, dijo: Que los alumnos celebren un da de vacaciones anualmente en mi honor. (Diccionario de ltimas palabras, Werner Fuld). Cul es la probabilidad de que hayas inhalado al menos una de las molculas que Anaxgoras emple para pronunciar esa frase?Ms del 99%! En ms de 2000 aos las molculas se habrn repartido uniformemente por la atmsfera.Sea A = n = # molculas exhaladas por Anaxgoras = # molculas inspiradas por ti = 1/30 litro = 2,2 1022N = # molculas de la atmsfera = 1044P(una molcula inhalada no sea de Anaxgoras) = 1- A/NP(n molculas inhaladas ninguna de Anaxgoras) = (1 - A/N)nP(inhalar al menos una de las molculas de Anaxgoras) = 1- (1 - A/N)nTodos estamos conectados ...

*SocietyNodes: individuals Links: social relationship (family/work/friends/etc.)Social networks: Many individuals with diverse social interactions between them.

*Social networksContacts and InfluencesPoll & Kochen (1958) How great is the chance that two people chosen at random from the population will have a friend in common? How far are people aware of the available lines of contact?

The Small-World Problem Milgram (1967) How many intermediaries are needed to move a letter from person A to person B through a chain of acquaintances?

Letter-sending experiment: starting in Nebraska/Kansas,with a target person in Boston.

*Social networks: Milgrams experiment 160 letters: From Wichita (Kansas) and Omaha (Nebraska) to Sharon (Mass)Milgram, Psych Today 2, 60 (1967)If you do not know the target person on a personal basis, do not try to contact him directly. Instead, mail this folder to a personal acquaintance who is more likely than you to know the target person.

*El mundo es un pauelo!Cest petit le monde !!What a Small-World !Six degrees of separation

*The Small World concept in simple terms describes the fact despite their often large size, in most networks there is a relatively short path between any two nodes.

*El nmero de Erds Fue autor o coautor de 1.475 artculos matemticos y colabor en ellos con un total de 493 coautores distintos. Slo un matemtico en la historia escribi ms pginas de matemticas originales que Erds. En siglo XVII, el suizo Leonhard Euler, padre de trece nios, escribi ochenta volmenes de resultados matemticos. Pl Erds (1913-1996)

*

*CoincidenciasCuntas personas escogidas al azar hacen falta para tener la certeza de que dos cumplen aos el mismo da? Si un ao tiene 365 das (pasemos de bisiestos), nos hacen falta a lo sumo 366 personas. Y si quiero tener una probabilidad del 50%? El nmero de posibles: n fechas de 365 (casos posibles) es:n fechas distintas de 365 (casos no favorables) es:Con n = 23 esta probabilidad se hace aproximadamente 0,5.

*Y si fijamos la fecha? Por ejemplo, yo nac el 21 de marzo,cuntas personas son necesarias en un grupo para alcanzar el 50% de probabilidad de que al menos una haya nacido el mismo da que yo?Para n = 253 esta probabilidad es aproximadamente del 50%.

Moraleja: mientras que es probable que ocurra algn hecho improbable, lo es mucho menos que se d un caso concreto.

*(1) Probabilidad de que al menos haya coincidencia en un cumpleaosCalcularemos la probabilidad de que no haya ninguna coincidencia y utilizaremos el complementario.[1,...,1] [0,...,0] (23) (342)De las 365 urnas, de cuntas maneras podemos formar dos grupos con 23 urnas de tipo 1 y 342 de tipo 0? Ahora, para cada configuracin anterior tenemos: 23! formas distintas de colocar las bolas en las urnas tipo 1.Casos favorablesEntonces, la probabilidad de que no haya coincidencia es:La probabilidad de que haya al menos un par de personas con el mismo da de cumpleaos ser:

*(2) Probabilidad de que haya precisamente una coincidencia y solo una[2] [1,...,1] [0,...,0](1) (21) (343)De las 365 urnas, de cuntas maneras podemos formar tres grupos con 1 urna de tipo 2, 21 urnas de tipo 1 y 343 de tipo 0? Ahora, para cada configuracin anterior tenemos: 23! /2! formas distintas de colocar las bolas:Casos favorablesEntonces, la probabilidad de quehaya exactamente una coincidencia es:

*(3) Probabilidad de que haya precisamente dos coincidencias[2,2] [1,...,1] [0,...,0] (2) (19) (344)De las 365 urnas, de cuntas maneras podemos formar tres grupos con 2 urnas de tipo 2, 19 urnas de tipo 1 y 344 de tipo 0? Ahora, para cada configuracin anterior tenemos: 23! /(2!)2 formas distintas de colocar las bolas:Casos favorablesEntonces, la probabilidad de que haya exactamente dos coincidencias es:

*(4) Probabilidad de que haya precisamente tres coincidencias[2,2,2] [1,...,1] [0,...,0] (3) (17) (345)De las 365 urnas, de cuntas maneras podemos formar tres grupos con 3 urnas de tipo 2, 17 urnas de tipo 1 y 345 de tipo 0? Ahora, para cada configuracin anterior tenemos: 23! /(2!)3 formas distintas de colocar las bolas:Casos favorablesEntonces, la probabilidad de que haya exactamente dos coincidencias es:

*(5) Probabilidad de que haya precisamente una triple coincidencia[3] [1,...,1] [0,...,0](1) (20) (344)De las 365 urnas, de cuntas maneras podemos formar tres grupos con 1 urna de tipo 3, 20 urnas de tipo 1 y 344 de tipo 0? Ahora, para cada configuracin anterior tenemos: 23! /3! formas distintas de colocar las bolas:Casos favorablesEntonces, la probabilidad de que haya exactamente dos coincidencias es:

*Ftbol: dos equipos + rbitro = 2310 partidos"Coincidences: the truth is out there"Robert Matthews, and Fiona Stones.

*

*

Que a algn televidente se le repare milagrosamente ese reloj viejo que haca aos que no funcionaba es ms probable que se le repare concretamente a Perico de los Palotes. Por este motivo las predicciones de los magufos son vagas. Las concretas raramente se hacen realidad. (ARP: Alternativa racional a las pseudociencias)

Veamos un timo clsico que se basa indirectamente en esta propiedad ... Supongamos que disponemos de una ruleta de 26 letras distintas: mientras que la probabilidad de que salgan las palabras TACO o BOBO es baja (acontecimiento concreto), la probabilidad de que salga alguna palabra no concreta con sentido es alta (acontecimiento genrico).Martin Gardner

*Si durante 6 semanas seguidas recibieras por carta las predicciones correctas sobre si suben o bajan determinadas acciones, estaras dispuesto a pagar 500 euros por la informacin a la sptima semana? Observacin: la probabilidad de que el broker acierte por azar es (1/2)6 = 0,008. Nuestro astuto asesor de bolsa enva 32.000 cartas: 16.000 predicen subida y 16.000 bajada. A la mitad adecuada les enva a la semana siguiente 8.000 con subida y 8.000 con bajada, etc. Al final 500 personas han recibido 6 predicciones correctas dispuestas a pagar 500 euros por la sptima: 500 x 500 = 250.000 euros de beneficio para el timador.

*Sueos profticosSupongamos que la probabilidad de un sueo proftico sea de 1/10.000 (muy poco frecuente). La probabilidad de que no sea proftico es abrumadora: 9.999/10.000. Cul es la probabilidad de tener un sueo proftico al cabo de un ao?La poblacin espaola es de unos 42 millones de habitantes. El 3,6% de esa cantidad tendr al menos un sueo proftico a lo largo de un ao: 1,5 millones de personas. Lo extrao es que no hubiera sueos profticos!

*Otras definiciones de probabilidad: (1) Definicin frecuentista de probabilidadSi un experimento aleatorio puede repetirse muchas veces en idnticas condiciones (en teora) podemos determinar la frecuencia relativa de la ocurrencia de un suceso. Si el nmero de intentos es m y el nmero de ocurrencias de A es m(A) entonces la probabilidad de A es el lmite:

Von Mises (1919)

*La paradoja del ascensor

El seor Arribas tiene su oficina en uno de los pisos ms altos de un edificio. Llama al ascensor y piensa: Maldicin! El primer ascensor que se detiene aqu est subiendo. Siempre pasa lo mismo...La seorita Ayuso trabaja en una de las primeras plantas. Y sube a desayunar al tico. Llama al ascensor y piensa: Es que no lo entiendo! Siempre que llamo al ascensor, el primero en llegar est bajando! Pregunta: Cmo es posible?

(Puzzle-Math, G. Gamow y M. Stern)

*Hueco del ascensorPlanta altaPlanta baja

*La Probabilidad Geomtrica tiene sus inicios en la Francia del siglo XVIII con el experimento de la aguja de Buffon, desarrollado por el clebre naturalista George Louis Leclerc (1707-1788), mejor conocido como el conde de Buffon. Aunque se le identifica ms por su monumental obra Histoire Naturelle de 44 volmenes, tambin estuvo profundamente intereresado por las pasiones humanas y los juegos de azar. A la edad de 26 aos present a los miembros de la Academia de Ciencias de Paris otra forma de ver la Probabilidad usando Geometra. Otras definiciones de probabilidad: (2) Definicin geomtrica de probabilidad

*La aguja de BuffonLongitud de la agujaigual a la distancia entre las lneas paralelasExperimento-simulacin de la aguja de Buffon

*Genaro y Rigoberta se citan entre las 21 y las 22 horas. Ninguno de ellos tiene la costumbre de ser puntual. As que, el primero que llega esperar 20 minutos y se ir. Cul es la probabilidad de que se produzca el encuentro?

*Dados dos nmeros a y b al azar entre 0 y 1, cul es la probabilidad de que la terna { a , b , 1 } represente las longitudes de los lados de un tringulo agudo (ngulo menor de 90)? Y de un tringulo obtuso (ngulo mayor de 90)? (/4 - 1/2, 1 - /4)

*Otras definiciones de probabilidadGrado de creencia (probabilidad subjetiva): por ejemplo la existencia de vida extraterrestre. La mayora de los sucesos de la vida son irrepetibles.

Grado de conocimiento: En muchos casos sabemos que el valor de probabilidad existe pero nos resulta desconocido. A travs de experimentos podemos determinarlo. Pero los experimentos arrastran errores...

Un objetivista utiliza como definicin de probabilidad la clsica o la frecuentista. Un bayesiano o subjetivista aplica las leyes formales del azar a sus probabilidades subjetivas o personales, o a las nuestras.

*La paradoja de Bertrand

Joseph L. F. Bertrand (1822-1900) fue un matemtico francs cuyas principales reas de trabajo fueron la Teora de Nmeros, la Geometra Diferencial y la Teora de las Probabilidades. En 1888 public el libro Calcul des probabilitis que contena numerosos ejemplos de problemas de probabilidades en los cuales el resultado depende del mtodo de resolucin. El ms famoso se conoce como la Paradoja de Bertrand:Joseph Louis Franois Bertrand (1822 - 1900)

Dada un circunferencia de radio R, se traza en ella, al azar, una cuerda. Cul es la probabilidad de que esta cuerda sea mayor que el lado del tringulo equiltero que puede inscribirse en la circunferencia?

*Solucin 1: La posicin de la cuerda puede ser determinada por su distancia al centro de la circunferencia. Esta distancia puede variar entre 0 y R. La cuerda ser mayor que el lado del tringulo equiltero inscrito cuando su distancia al centro sea menor que R/2. De aqu obtenemos que la probabilidad buscada es 1/2.

*Solucin 2: Tomemos un punto cualquiera de la circunferencia. Tracemos la tangente a la circunferencia en ese punto. Toda cuerda que pase por ese punto formar un ngulo con la tangente que vara entre 0o y 180o. Para que la cuerda sea mayor que el lado del tringulo equiltero debe estar comprendida entre 60o y 120o. De ah que la solucin buscada sea 1/3.

*Solucin 3: Una cuerda est totalmente determinada por su punto medio. Aquellas cuerdas cuya longitud exceda el lado del tringulo equiltero tienen sus puntos medios dentro de un pequeo crculo de radio 1/2 R. De modo que su rea es 1/4 de la del crculo de radio R. De aqu obtenemos que la probabilidad buscada es 1/4.

*Origen del nombre de la compaa: procede del trmino matemtico googol, que en 1998 los fundadores de Google, dos jvenes matemticos de la Universidad de Stanford, Sergey Brin y Larry Page, consideraron ilustrativo del complejo proceso de bsqueda que efecta su buscador.

El trmino en cuestin lo invent en 1938 un nio de nueve aos cuando, hablando sobre el infinito con su to, el matemtico Edward Krasner, su desbordante imaginacin infantil improvis ese nombre para referirse a un 1 seguido de 100 ceros:Google

*Dos dcadas despus, dos ingenieros americanos, John Fox y Gerald Marnie, popularizaron el trmino al bautizar como juego del googol un problema clsico relativo a los procesos de bsqueda: cmo determinar el momento ideal para dar una bsqueda por concluida (optimal stopping). Tambin conocido como el problema del sultn y la dote, del concurso de belleza o de la eleccin de secretaria.El juego del googol

*Sobre el jugador pesan, pues, dos preocupaciones opuestas: si se planta demasiado pronto, puede estar renunciando a nmeros mayores que todava no han salido; pero si retrasa demasiado su eleccin, puede pasar por alto, sin darse cuenta, las mejores oportunidades y quedarse a la espera de un nmero ideal que nunca llegar. Cmo conjugar esos dos riesgos opuestos? El juego del googol puede enunciarse as: varias personas (digamos, 100) escriben cada una, en secreto, un nmero en una papeleta, sin lmite en cuanto al valor del nmero escogido; las papeletas se revuelven y se inicia su extraccin al azar y lectura pblica, una a una.

La gracia est en seleccionar la papeleta con el nmero ms alto. El jugador se puede plantar en cualquier momento, pero no puede volver atrs: si deja pasar el nmero ganador, a la espera de otro an mayor, perder.

*Puede demostrarse que para hacer mxima la probabilidad de acierto deberemos seguir la regla del 37%, es decir, recordar el nmero ms alto de entre los 37 primeros (si estn jugando 100 personas y por tanto hay 100 nmeros) y, a partir de ese momento, plantarnos en el primero que lo supere.

Siguiendo esa regla, la probabilidad de acierto ser tambin del 37%, porcentaje que es el inverso del nmero e.

*Redes booleanas aleatorias inspiradas en las redes genticas.Gen activo: produce protena.

Gen inhibido: no produce protena.

La presencia o ausencia de ciertas protenas regulan la activacin o inhibicin de ciertos genes.

Red gentica: conjuntos de genes auto-regulados.

*Modelo fago Lambda: Qu podemos hacer cuando tenemos miles de genes acoplados?

*K genesinputPARMETROS:N = n autmatas ~ genesK = conectividad

Autnomo SncronoQuenched Donde f es una funcin booleana de K argumentos booleanos.gen(autmata)2 posibles valores:Definicin de RBN

*

*Ejemplo con N=13 y K=3

*Cuenca anteriorLas 213 = 8192 configuraciones globales en 15 cuencas de atraccin disjuntas del ejemplo de RBN anterior.

*Transicin orden-desordenOrden (K=1)Desorden (K=3)Kc=2

*Enfoque ingenieroversusenfoque matemtico

*Enfoque ingenieroversusenfoque matemticoPropiedades generales: emergencia y evolucin.

*Supongamos que la funcin rnd( ) de un lenguaje nos devuelve un nmero real al azar del intervalo [0, 1]. Y queremos generar una lista de 1000 dgitos formados con un porcentaje de p unos y (1 - p) ceros. Cmo hacerlo?do i = 1, 1000 x = rnd( ) if (x .lt. p) thendigito(i) = 1 elsedigito(i) = 0 end ifend do

*Generalizacin de las RBNRicard V. Sol and Bartolo Luque.Phase transitions and antichaos in generalized Kauffman networks.Physics Letters A 196 (1995) pp. 331-334.

Ncleo estableMtodo de la distancia(teora de perturbaciones)

Maxent(mtodos variacionales)

*Problemas resueltos

*1/ Una caja contiene 8 bolas rojas, 3 blancas y 9 azules. Si se sacan 3 bolas al azar sin reemplazo determinar la probabilidad de que:a) Las 3 sean rojasEventos: E1 sacar roja a la primera E2 sacar roja a la primera E3 sacar roja a la primeraP(E1E2E3)= Otro mtodo:Casos posibles: Casos favorables:b) Las 3 sean blancasCasos posibles: Casos favorables:P=c) 2 sean rojas y una blanca

*d) Al menos una sea blancaP=1-P (ninguna sea blanca)=e) Se saque una de cada colorf) Se saquen en orden rojo, blanco, azulCon el resultado del apartado anterior (e) y teniendo en cuenta que ahora el orden de extraccin importa, solo nos vale uno de los 3! posibles ordenes en los que se pueden extraer 3 bolas de diferente color:

*3/ En un juego de poker se sacan 5 cartas de un naipe de 52 cartas bien barajadas. Encontrar la probabilidad de tener a) poker de ases b) poker de ases y un rey c) full de dieces-jotas d) escalera de nueve, diez, jota, reina, rey e) 3 cartas de un palo y 2 de otro f) sacar un asa)b)c)d)e)f)

*4/ Una biblioteca tiene 6 libros de matemticas y 4 de fsica. Encontrar la probabilidad de que 3 libros de matemticas en particular estn juntosPosibles ordenaciones de los libros= 10!

Posibles ordenaciones contando los 3 libros determinados como uno: 8!

Posibles ordenaciones de los 3 libros: 3!

*5/ Ay B juegan 12 partidas de ajedrez de las cuales A gana 6, B gana 4, y 2 terminan en empate. Ellos acuerdan un torneo de 3 partidas. Encontrar la probabilidad de que a) A gane los 3 juegos, b) 2 juegos finalicen en empate, c) A y B ganan alternadamente, d) B gana al menos un juegoa)b)Posibles ordenes en que se producen los empates=Puesto que se requieren slo 2 empates la 3 partida no puede ser empate: c)d)

*6/ A y B juegan una partida en la que alternadamente lanzan dos dados, Gana el primero que obtenga un total de 7. Es justo el juego?654321 1 2 3 4 5 6No es justooooo!!

*7/ a) Determinar la probabilidad de que al lanzar n veces dos dados se obtenga al menos un seis doble b)Cuntos lanzamientos habra que realizar para tener una probabilidad de de obtener al menos un 6 doble?a)b)n=24,6 que se aproxima por n=25

*9/ Se considera un dado cargado. Las probabilidades de cada cara en un lanzamiento son inversamente proporcionales al nmero que aparece determinar: a) la probabilidad de que en un lanzamiento salga impar b) la probabilidad de que salga inferior a cuatroa)b)

*10/ Al controlar la calidad de un producto envasado, se eligen al azar tres envases de una caja que contiene 1000. Por termino medio, sabemos que en cada caja hay diez cuya calidad es deficiente. Hallar la probabilidad de que entre los tres no haya ninguno, uno, dos o tres deficientes(B)=bueno (d)=defectuoso

*11/ Se seleccionan dos cartas al azar de entre 10 cartas numeradas del 1 al 10. Hallar la probabilidad de que la suma sea impar si: a) se sacan dos cartas sin sustitucin b) se sacan dos cartas, una despus de la otra, con sustitucin a)Casos posibles: La suma es impar si un numero es par y el otro es impar, como hay 5 pares y 5 impares: Casos favorables= 5x5b)Casos posibles: Casos favorables=Hay que tener en cuenta que vale tanto sacar par+impar como impar+par

*12/ Seis parejas de casados se encuentran en un cuarto. Halla la probabilidad de que: a) si se escogen 2 personas al azar (i) sean esposos (ii) uno sea hombre y otro mujer b) si se escogen 4 personas al azar (i) se escojan dos parejas de casados (ii) ninguna pareja sean casados en tre los 4 (iii) haya exactamente una pareja de casadosc) si las 12 personas se reparten en seis parejas (i) cada pareja sean casados (ii) cada pareja la forme un hombre y una mujera)Casos posibles: maneras de escoger 2 personas de las 12(i)Hay 6 parejas de casados: (ii)Hay 6 maneras de escoger a un hombre y 6 de escoger a una mujer:

*b)Casos posibles: maneras de escoger 4 personas de las 12(i)Hay maneras de coger 2 parejas de las 6 (ii)Las 4 personas vienen de 4 parejas diferentes, hay maneras de coger 4 parejas de las 6 y ah 2 maneras de escoger a la persona de cada pareja

(iii)Este evento es complementario de los otros dos, por tanto:c)Casos posibles: maneras de repartir 12 personas en 6 clulas ordenadas con 2 personas cada una (i)Las 6 pareja pueden ser colocadas en 6 clulas ordenadas de 6! maneras:(ii)Cada uno de los 6 hombres se pueden colocar en 6 clulas de 6! maneras y cada una de las 6 mujeres lo mismo:

*

14/ Se tiene una baraja de cuarenta cartas; se extraen cinco cartas una por una, devolviendo al mazo cada carta una vez vista. Calclese:

a) La probabilidad de que las cinco cartas sean oros

b) La probabilidad de que el primer oro que aparezca lo haga en quinto lugar

a) Sea S el suceso que una carta sea oros. El suceso que las cinco cartas sean oros es el suceso compuesto por los sucesos que la primera sea oros (S1), que la segunda sea oros (S2)...

S = S1S2S3S4S5

Los sucesos son independientes, luego:

P(S) = P(S1S2S3S4S5) = P(S1)P(S2)P(S3)P(S4)P(S5)

;P(S)=P5(Si)=0,255=0,000975

b) El suceso que la quinta carta sea oros es:

S1 =

Como son sucesos independientes, P(S1) = P4(S)P(S)

P(S) =

EMBED Equation.DSMT4

P(S1) = 0,754 0,25 = 0,0791

_1204474136.unknown

_1204474424.unknown

_1204474592.unknown

_1204474593.unknown

_1204474172.unknown

_1204474125.unknown

*

15/ Durante un ao, las personas de una ciudad utilizan tres tipos de transportes: metro (M), autobs (A), y coche particular (C). Las probabilidades de que durante el ao hayan usado unos u otros transportes son las siguientes: metro = 0,30; autobs = 0,20; coche = 0,15; metro y autobs = 0,10; metro y coche = 0,05; autobs y coche = 0,06; metro y autobs y coche = 0,01.

Calclense las siguientes probabilidades:

a) Que una persona tome al menos dos medios de transporte

b) Que una persona viaje en metro y no en autobs

c) Que una persona viaje en metro o en coche y no en autobs

d) Que viaje en metro o en autobs y en coche

e) Que una persona vaya a pie

a) Se cumple verificndose alguno de los siguientes sucesos: metro y autobs y no coche; metro y no autobs y coche; no metro y autobs y coche; metro y autobs y coche. Son sucesos disjuntos.

b)

c)

_1204479207.unknown

_1204479774.unknown

_1204479003.unknown

*

d)

e)

_1204479962.unknown

_1204480228.unknown

*

16/ Una fbrica de detergentes proyecta lanzar una nueva marca. En el mercado hay dos marcas: A y B. La probabilidad de compra de A es 0,3, la de B es 0,5 y la de A y B, 0,1. Para decidirse por la nueva marca, la fabrica necesita conocer la probabilidad de que no se compren ni A ni B, as como la probabilidad de que slo se compre una de las dos marcas. Calclense estas probabilidades.

El suceso no comprar ni A ni B es el complementario del suceso comprar A o B:

Y, al ser los sucesos del primer miembro disjuntos, se deduce que:

El suceso comprar una de las dos marcas es igual a la unin de los sucesos disjuntos comprar la marca A y no comprar la B y comprar la marca B y no la A.

Comprar la marca A y no comprar la B es A-B y anlogamente, comprar B y no A es B-A; por tanto:

_1204559849.unknown

_1204560400.unknown

_1204559618.unknown

*

18/ Un submarino se dispone a torpedear a un carguero. De experiencias anteriores el capitn del submarino sabe que al lanzar un torpedo da en el blanco una de cada tres veces por lo que para asegurar el xito decide lanzar tres torpedos. Supuestos los lanzamientos simultneos e independientes se pide:

a) cul es la probabilidad de hundir el carguero?

b) cunto vale dicha probabilidad si le dispara cuatro torpedos?

c) cul es el nmero mnimo de disparos necesario para tener una probabilidad de hundirlo igual o superior al 95%?

a) Llamamos Ai al suceso consistente en que el torpedo i-simo (i=1,2,3) de en el blanco.

Tambin hubiramos alcanzado este resultado determinando la probabilidad del suceso contrario

P(hundir el carguero) = 1 P(no hundir el carguero) = =

b) La probabilidad ahora es:

_1204562483.unknown

_1204562672.unknown

_1204562852.unknown

_1204562671.unknown

_1204562241.unknown

*

c) Si es n el nmero de disparos requeridos tendr que cumplirse

_1204562984.unknown

_1204563155.unknown

*Una persona acepta una apuesta del orden 10 a 3 sobre la posibilidad de ganar un pgil en un combate de boxeo.Determnese cul es la probabilidad que est asignando a este hecho.SOLUCIN:Este tipo de relaciones se denomina ventaja relativa . Si la relacin es de A a B, entonces la ventaja es:Ventaja = A/By la probabilidad asociada:P (s)= A/A+BLa probabilidad que el apostante est asignado a su posibilidad de ganar al aceptar la apuesta es:P (ganar) = 10/ (10+3) = 10/13

*Determnese la probabilidad de que al lanzar n veces dos dados se obtenga al menos un seis doble. Cuntos lanzamientos habra que realizar para tener una probabilidad igual a de obtener al menos un seis doble?(Problema del Caballero de Mr)SOLUCIN:36 comportamiento, de los cuales 1 es la obtencin del seis doble.Usemos la probabilidad del suceso complementario.P (obtencin de ningn 6 doble en n lanzamientos) = 1 P (obtencin de ningn 6 doble en n lanzamientos)P (ningn 6 doble en n lanzamientos) = 35/36 x 35/36 x 35/36 = (35/36) nP( al menos un 6 doble) = 1 ( 35/36)n.Para tener probabilidad = 1/2:1/2 = 1- ( 35/36)n1/2 = (35/36)nLn 1/2 = n x ln (35/36)N = 24,6Por lo que tendremos que lanzar 25 veces.

*Tres personas A, B y C lanzan, sucesivamente, y por este orden, una moneda ideal, ganando el primero que saque cara. Cules son las probabilidades de ganar cada jugador?SOLUCIN:Sucesos: A = Gana el A B = Gana el B C = Gana el CP (A) + P (B) + P (C) = 1Ac: A obtiene cara; ( Bc; Cc) A+: A obtiene cruz; (B+;C+)A gana si en la primera serie de lanzamientos obtiene cara; o si en la primera serie A,B y C obtienen cruz y luego A obtiene cara, y as sucesivamente.Lo mismo ocurre para los sucesos B y C. Por consiguiente:

*P(A) = + (1/2)4+(1/2)7+(1/2)10+.P(B)=(1/2)2+(1/2)5+(1/2)8+(1/2)11+P(C)=(1/2)3+(1/2)6+(1/2)9+(1/2)12+.Pudindose apreciar que P (B) = 1/2 P (A) y P (C) = 1/2 P (B) = 1/4 P (A) Como:1 = P (A)+P (B) +P (C) = P (A) + 1/2 P (A) + 1/4 P (A) = 7/4 P (A).Tenemos que:P (A) = 4/7P (B) = 1/2 P (A) = 2/7P (C) = 1/4 P (A) = 1/7

*****************************************************17********20*************************************************************************************