Cap02 aula02 variavel_complexa_funcoes
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Sinais e SistemasUnidade 2 ‐
Conceitos de Matemática de
Variável Complexa
Prof. Cassiano Rech, Dr. [email protected]
Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. [email protected]
1/5
2Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
•
Introdução
•
Propriedades dos números complexos
•
Operações com números complexos
•
Fundamentos axiomáticos
•
Funções de variável complexa
•
Funções harmônicas complexas
•
Resíduos e pólos
Conteúdo da unidade
Aula 01
Aula 02
Aula 03
1/5
3Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Aula 02
•
Funções de variável complexa–
Funções unívocas e plurívocas
–
Funções inversas e transformações–
Funções elementares
•
Funções polinomiais•
Funções racionais algébricas
•
Fórmula de Euler
(expoentes complexos)•
Funções exponenciais
•
Funções logarítmicas•
Funções algébricas e transcendentais
•
Funções harmônicas complexas–
Funções trigonométricas circulares
–
Funções trigonométricas hiperbólicas
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Funções de variável complexa
•
z
= qualquer conjunto de números (variável complexa)
•
“z” muitas vezes é
chamada de variável independente enquanto que “w” é chamada de variável dependente
•
Exemplo:
f(z) = z², então, f(2j) = (2j)²
= ‐4
Variáveis e funções
Se podemos associar a cada variSe podemos associar a cada variáável complexa vel complexa ““zz””
um ou um ou mais valores de uma varimais valores de uma variáável complexa vel complexa ““ww””,,
dizemos que dizemos que ww
éé
funfunçção de ão de zz
e escrevemos e escrevemos ww
= = ff((zz))..
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Funções de variável complexa
•
Exemplos–
w
= z²
Função unívoca (z
= ‐15‐8j
w
= 161+240j)
–
w
= z1/2
Função plurívoca
(z
= ‐15‐8j
w
= 1‐4j
ou w
= ‐1+4j)
Funções unívocas e plurívocas
Se a cada valor de Se a cada valor de z z corresponde somente um valor de corresponde somente um valor de ww, , dizemos que dizemos que ww
éé
uma uma funfunçção unão uníívocavoca
de de zz..
Se a cada valor de Se a cada valor de z z corresponde mais de um valor de corresponde mais de um valor de ww, , dizemos que dizemos que ww
éé
uma uma funfunçção ão plurpluríívocavoca
de de zz
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Funções de variável complexa
•
Notação:
z
= g(w) = f ‐1(w)
Funções inversas
Algumas vezes, dada uma funAlgumas vezes, dada uma funçção ão ww
= = ff((zz), podemos obter o ), podemos obter o que se conhece por que se conhece por funfunçção inversaão inversa
de de ff..
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Funções de variável complexa
•
Igualando as partes reais e imaginárias temos queu
= u(x, y) e
v
= v(x, y)
Transformações
Se Se ww
= = uu
+ + vjvj
(onde (onde uu
e e vv
são funsão funçções reais) ões reais) éé
uma funuma funçção ão ununíívoca de voca de zz
= = xx
+ + yjyj
(onde (onde xx
e e yy
são reais), podemos são reais), podemos
escrever escrever uu
+ + vjvj
= = ff((xx
+ + yjyj))..
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Funções de variável complexa
•
Uma transformação leva de um conjunto de pontos (curva PQ) em outro conjunto de pontos, dito imagem, (curva P’Q’)
•
Exercício:Seja w
= z² e z
= x
+ yj.
a)
Obtenha a transformação z
wb)
Obtenha a imagem P(1, 2) (plano z) no plano w
a) w
= z²
u
+ vj
= (x
+ yj)²
u
+ vj
= x²
‐
y² + 2xyjLogo, u
= x²
‐
y²
e v
= 2xy
b)
P(1, 2) P’(‐3, 4)
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Funções de variável complexa
•
As funções polinomiais são definidas por
–
Onde , a1
, …, an
são constantes complexas e n
é um inteiro positivo, dito o grau do polinômio P(z)
•
A transformação é
chamada de transform. linear
Funções polinomiais
1 10 1 1
n nn nw a z a z a z a P z
w az b
0 0a
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Funções de variável complexa
•
As funções racionais algébricas são definidas por
–
Onde P(z) e Q(z) são polinômios
•
O caso especial
–
É
conhecido como transformação bilinear
ou linear fracionária
Funções racionais algébricas
P zwQ z
, 0P az bzw cz dQ cz dz
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Funções de variável complexa
•
Seja a série infinita ex
= 1 + x
+ x2/2! + x3/3! + ...–
A mesma possui validade quando x
= θj
–
Assim, expandindo a série, obtém‐se:
•
Observar que
Fórmula de Euler
θ cosθ senθ, 2,71828je j e
θ
θ cosθ senθj
z r r j
z re
Forma compacta de expressar uma variável complexa
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Funções de variável complexa
•
As funções exponenciais são definidas por
–
Onde e = 2,71828 …
é a base natural dos logaritmos
•
Se a é real e positivo, logo
–
Onde ln
a
é o logaritmo natural
de a–
Se a = e, esta reduz‐se à
anterior
•
Propriedades:
Funções exponenciais
cos senEulerz x yj x yj xw e e e e e y j y
lnz azw a e
1 2 1 2
1 2 1 2
a)
b)
z z z z
z z z z
e e e
e e e
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Funções de variável complexa
•
A função logarítmica natural é inversa da função exponencial
–
Onde–
Notar que ln
z
é uma função plurívoca
cujo ramo principal
é
•
Mudança de base:
•
Propriedades:
Funções logarítmicas
ln ln 2 , 0, 1, 2,w z r j k k θ π
2 , ej j kz e e r z z θ θ π θ
ln ln , 0 2w z r j θ θ π
lnlog
lnaz
w za
1 2 1 2log log logz z z z
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Funções de variável complexa
•
Se w
é uma solução da equação polinomial a seguir, ondesão polinômios em z
e n
é um
inteiro positivo, então w
= f(z)
é
chamada função algébrica
de z
–
Qualquer função que não puder ser expressa como solução da equação anterior é chamada de função transcendental
–
Exemplos:
funções logarítmicas e trigonométricas hiperbólicas
Funções algébricas e transcendentais
1 10 1 1 0n n
n nP z w P z w P z w P z
0 10, , , nP z P z P z
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•
Seja z
uma variável complexa
Funções harmônicas complexas
Funções circulares
sen2
zj zje ez
j
cos2
zj zje ez
sen
tgsen
zj zj
zj zj
z e ez
z j e e
05
1015
-5
0
5
x 104
-1
0
1
2
x 105
Ângulo (rad)Real
Imag
inár
iowt
= linspace(0,4*pi,1000); a = 1; b = 1;z = wt*(a + b*j); w1 = sin(z);
plot3 (wt, real(w1), imag(w1));xlabel
('Ângulo (rad)'); ylabel
('Real')zlabel
('Imaginário')
wt
= linspace(0,4*pi,1000); a = 1; b = 1;z = wt*(a + b*j); w1 = sin(z);
plot3 (wt, real(w1), imag(w1));xlabel
('Ângulo (rad)'); ylabel
('Real')zlabel
('Imaginário')
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Funções harmônicas complexas
•
Propriedades
2 2
2 2
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
a) sen cos 1
b) 1 tg sec
c) 1 cotg csec
d) sen sen
e) cos cos
f) sen sen cos cos sen
g) cos cos cos sen sen
z z
z z
z z
z z
z z
z z z z z z
z z z z z z
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Funções harmônicas complexas
•
Seja z
uma variável complexa
senh2
z ze ez
cosh2
z ze ez
senhtgh
senh
z z
z zz e e
zz e e
wt
= linspace(0,4*pi,1000); a = 1; b = 1;z = wt*(a + b*j); w1 = sinh(z);
plot3 (wt, real(w1), imag(w1));xlabel
('Ângulo (rad)'); ylabel
('Real')zlabel
('Imaginário')
wt
= linspace(0,4*pi,1000); a = 1; b = 1;z = wt*(a + b*j); w1 = sinh(z);
plot3 (wt, real(w1), imag(w1));xlabel
('Ângulo (rad)'); ylabel
('Real')zlabel
('Imaginário')
Funções hiperbólicas
05
1015
-10
12
x 105
-6
-4
-2
0
2
x 104
Ângulo (rad)Real
Imag
inár
io
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Funções harmônicas complexas
•
Propriedades
2 2
2 2
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
a) cosh senh 1
b) 1 tgh sech
c) cotgh 1 csech
d) senh senh
e) cosh cosh
f) senh senh cosh cosh senh
g) cosh cosh cosh senh senh
z z
z z
z z
z z
z z
z z z z z z
z z z z z z
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Funções harmônicas complexas
Relação entre funções circulares e hiperbólicas
a) sen senh
b) cos cosh
c) tg tgh
d) senh sen
e) cosh cos
f) tgh tg
zj j z
zj z
zj j z
zj j z
zj z
zj j z
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20Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
[1] MURRAY, R. S. Variáveis complexas. São Paulo: McGraw‐Hill do Brasil, 1973.
[2] BROWN, J.W.; CHURCHILL R. V. Complex variables and applications. New York: McGraw‐Hill, 1996.
Bibliografia