Cap 2 - Movimiento Oscilatorio - Parte 2
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1
Problema 1
Una barra de longitud L y masa M est articulada a la
pared mediante un pivote y su otro extremo est unido a
un resorte de constante elstica k. En la posicin de
equilibrio la barra se encuentra horizontal. Determine la
frecuencia angular de la barra cuando esta se desplaza un
ngulo pequeo a partir de la horizontal y se suelta.
-
Solucin
2
Diagrama de desplazamientos
Lx
22 )2(12
1LMMLIo
21
3oI M L
x
O
L
Momento de inercia
2MdII CMo
donde x es la deformacin del resorte
medida respecto a la posicin de equilibrio
ngulo pequeo:
-
Solucin (cont.)
3
xR
yR
Mg
kxO
DCL barra
o oI
21cos3
k xL M L
2 21
3k L M L
30
k
M
M
k30
cos 1
ngulo pequeo:
Lx
-
Problema 2
4
Una masa m puntual est
unida al extremo de una
varilla rgida de masa
despreciable. El otro
extremo de la varilla est
pivoteado en el punto O.
Determine la frecuencia
angular natural de
oscilacin del sistema.
Considere pequeas
oscilaciones.
-
Solucin
5
bx
Donde x es la deformacin
de cada resorte medida
respecto a la posicin de
equilibrio p.e.
Diagrama de desplazamientos
p.e.
(ngulo pequeo)
-
Solucin (cont.)
6
o oI 22 cosmg sen k xb m
o
sen
ngulo pequeo:
2
2
20
mg kb
m
2
2
0
2
m
kbg
cos 1 bx
-
7
Energa en el MAS
La fuerza que ejerce el
resorte sobre la masa es
conservativa. Por lo
tanto, se conserva la
energa mecnica.
2 21 1
2 2E mx k x cte
-
8
D qu depende la energa mecnica?
Pero:0cos( )x A t
0 0sen( )x A t
Reemplazando:
m
k0
2 21 1
2 2E mx k x cte
2 2 21 1 1
2 2 2E mx k x k A
-
9
Ejemplo
Una partcula describe un MAS con una amplitud de
3 cm. A qu distancia de su posicin de equilibrio
su rapidez es igual a la mitad de su rapidez mxima?
-
10
Solucin
)( 0 tAsenx
)cos( 00 tAx
2 2 21 1 1
2 2 2mx kx kA
m
k0
max 0x A
Haciendo:0 2x A
cm6,22
3
Ax
Ocurre a una distancia de
2,6 cm de su posicin de
equilibrio.
Conservacin de la energa
Donde:
-
11
Oscilaciones amortiguadas
AF bx
La fuerza amortiguadora ( FA ) la
produce la friccin del lquido
sobre la masa. Esta fuerza es
proporcional a la velocidad pero
su sentido es opuesto a ella.
b = coeficiente de amortiguamiento viscoso (N.s/m)
-
12
b
k
kx
xb
mg
N
x
m
kx bx mx
2da ley de Newton
Esquema de un oscilador amortiguado
0b k
x x xm m
-
13
Forma general y solucin
2
02 0x x x
donde:
0 = frecuencia angular natural del sistema. = factor de amortiguamiento del sistema.
La solucin depender de la magnitud del
amortiguamiento. Existen tres posibles soluciones:
Caso 1 : Sub-amortiguado:
Caso 2 : crticamente amortiguado:
Caso 3 : Sobre-amortiguado:
22 o22 o
22 o
-
14
Caso 1 : Sub-amortiguado )(22 o
x
tO
tAe
tAe
A
1cos( )tx Ae t
22
1 o
1
2
frecuencia angular del
sistema amortiguado:
Periodo del sistema
amortiguado:
La fuerza amortiguadora es pequea
comparada con la fuerza restauradora.
-
15
Caso 2 : crticamente amortiguado )( 22 o
)( DtCex t
El sistema no oscilar, por lo tanto, no hay un
periodo asociado al movimiento.
Si el sistema se saca del equilibrio y se suelta,
este retornar a su posicin de equilibrio y ah
permanecer.
Las constantes C y D se determinan con las
condiciones iniciales.
-
16
Caso 3 : Sobre-amortiguado )( 22 o
)( 22ttt DeCeex
22
2 o
En este caso el sistema tampoco oscilar.
Mientras mayor sea el amortiguamiento, mayor
tiempo emplear para alcanzar su posicin de
equilibrio.
C y D son constantes que se determinan a partir
de las condiciones iniciales.
-
17
Grficas sobre-amortiguado y crticamente amortiguado
Sobre-amortiguado
Crticamente amortiguado
-
18
Ejemplo 1
Hallar la ley de movimiento de la masa de 2 kg. La
superficie horizontal es lisa.
-
19
Solucin
21 196 0x x x
Por comparacin:
rad/s14196
rad/s5,10212
0
2
0
22 o Movimiento Sub-amortiguado
2
02 0x x x
)26,9cos(5,10 tAex t
rad/s26,95,1014 22221 o
-
20
Ejemplo 2
El sistema mostrado
en la figura se suelta
del reposo a partir de
la posicin inicial x0.
Hallar la ley de
movimiento de la
masa de 3 kg.
-
21
Solucin
x108 x18
g3
18 108 3x x x
6 36 0x x x
rad/s636
rad/s362
0
2
0
22 o Movimiento Sub-amortiguado
)2,5cos(3 tAex t
rad/s2,536 22221 o
2da ley de Newton:
-
22
Solucin (cont.)
)2,5cos(3 tAex t
Condiciones iniciales: 00 : ; 0t x x x
3 33 cos(5,2 ) 5,2 (5,2 )t tx Ae t Ae sen t
)cos(0 Ax
)(2,5)cos(30 sen
rad52,0
015,1 xA
-
23
Ejemplo 3
Hallar la ley de movimiento de la masa de 20 kg.
kg20
k
b
b
Datos:
N/m2600k
s/mN300 b
-
24
Solucin
rad/s4,11130
rad/s15302
0
2
0
22 o Movimiento Sobre-amortiguado
30 130 0x x x
15 9,75 9,75( )t t tx e Ce De
rad/s 75,9130225222 o
-
25
Ejemplo 4
kb
a
O
La varilla de masa m puede oscilar libremente
alrededor del punto O. Suponer pequeas oscilaciones
y hallar el valor de b para que el sistema tenga
amortiguamiento crtico.
-
26
SolucinDiagrama de desplazamientos
1x 2xa
ax 1
2x
DCL barra
xR
yR
mg1xb 2kxOo oI
2
1 2
1cos cos
3bx a k x m
-
27
Solucin (cont.)
2
1 2
1
3abx k x m
2 2 21
3a b k m
2
2
3 30
a b k
m m
22
0
Sistema crticamente
amortiguado:
0
m
k
m
ba 3
2
32
2
2
2
2
3
kmb
a
ngulo pequeo: cos 1 ax 1 2x