Alicia Díaz Marcos

CAMPO GRAVITATORIO

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LAS LEYES DE KEPLER.

Sol

Foco• Eje menor

• Tras cuatro años de observacionessobre Marte, llegó a la conclusión deque los datos colocaban las órbitasocho minutos de arco fuera delesquema circular de Copérnico

• Comprobó que este hecho se repetíapara todos los planetas

• Descubrió que la elipse era la curva quepodía definir el movimiento planetario

• La posición del extremo del semiejemayor más alejada del Sol se llamaafelio

Primera ley: Los planetas describen órbitas elípticas alrededordel Sol, estando situado este, en uno de sus focos

Afelio

•

b

a

Eje mayor

• La posición más cercana, es elperihelio

Perihelio

•

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Kepler observó que la velocidad de los planetas dependía de su posición en la órbita

1 de enero

r enero1

®

Sol

AA

r julio1

®

30 de enero

30 de julio

1 de julio

Segunda ley: El radiovector dirigido desde el Sola los planetas, barre áreas iguales en tiemposiguales

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Esta ley muestra la relación entre los tamaños de las órbitas y el tiempo empleado porlos planetas en recorrerlas

Tercera ley: El cuadrado de los periodos de revolución de los planetasalrededor del Sol (T) es proporcional a los cubos de los semiejes mayores,o radios medios, de sus órbitas (r), T 2 = Kr 3 siendo K una constante igualpara todos los planetas

1: A partir de los datos orbitales terrestres ( T = 365 días y rsol-Tierra =1,496 · 1011 m), determina cuánto tarda Júpiter en completar una órbitaalrededor del Sol sabiendo que su distancia al Sol es de 7,78·1011 m.Solución 3,74·108 s = 11,8 años

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MOMENTO ANGULAR EN EL CAMPO GRAVITATORIO

M

mv®

r®

vrL mx®®®

=

Depende del origen de referencia que se escoja

MÓDULO L = r·m·v· senα

DIRECCIÓN: Perpendicular a r y v

SENTIDO: Mediante la regla de la mano derecha

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CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR

M

La conservación del momento angular implica que se conserven módulo, dirección y sentido

mv®

r®

F®

ctemx vrL ==®®®

0==dtvdmx

dtrd

dtLd !!!

0=== FxvamxvdtLd !!"!!

Este producto vectorial es cero si:

- No hay velocidad- No actúa ninguna fuerza sobre el cuerpo; en

cuyo caso éste tendría un movimiento rectilíneoy uniforme

- Los vectores r y F tienen la misma dirección.Fuerza central

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• Por conservar la dirección:

• Por conservar el sentido

r® v®El momento angular será perpendicular al plano que forman los vectores y , por tanto la trayectoria de la partícula debe estar en un plano

Si conserva el sentido, la partícula siempre recorrerá la órbita en el mismo sentido, ypor tanto las trayectorias de los cuerpos en el seno de campos de fuerzas centralesserán curvas planas

L®

Consecuencias de la constancia del momento angular:•Las órbitas de los planetas son estables y planas. •La fuerza que gobierna el movimiento planetario es central. •Los órbitas de los satélites en torno a los planetas son estables y planas. •La fuerza que gobierna el movimiento de los satélites es central.

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LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

La interacción entre dos cuerpos es atractiva y puede expresarse como una fuerza central directamente proporcional a la masa de los cuerpos e inversamente

proporcional al cuadrado de la distancia que los separa

(N)

G = 6,67 · 10-11 N m2/kg2

ruMmGFr!!

2-=Signo - à Atractiva

à Dirección radial, en la línea que une los cuerpos

ru!

rMmGF 2=

Vectorialmente

M m

r!

MmF!

mMF!

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mh

Rr

• La atracción de la esfera actúa como si toda su masa estuviese concentrada enel centro

• Si M es la masa de la Tierra y R su radio, la fuerza ejercida sobre un cuerpo demasa m situado a una altura h sobre su superficie responde a la ley de Newton:

)hR(MmG

rMmGF 22 +

==

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2. Determina el valor de «la fuerza requerida para mantener la Lunaen su órbita» (en palabras de Newton) haciendo uso de los datos demasas de la Tierra y de la Luna, así́ como de la distancia entreambas. ¿Qué aceleración comunica dicha fuerza a cada uno de loscuerpos celestes?

MT= 6. · 1024 Kg mL = 7,2·1022 kg d = 3,84·108 m

3. ¿Qué le sucede al peso de un objeto si su masa se triplica al a vez quetambién se triplica su distancia al centro terrestre?

4. ¿A qué distancia del centro lunar es atraída con una fuerza de 1 N una masa de 1 kg?

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Principio de superposición

r1®

r2®

r3®

1F!

2F!3F

!

TF!

• La fuerza que actúa sobre una masa cualquiera en un conjunto de masas es igual a laresultante de las fuerzas que las demás ejercen sobre ella, consideradas individuales

m1

m2

m3

M

....321 +++= MMMMsobreTotal FFFF!""#

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5. Se Cenen 3 masas de mA = 2 kg, mB = 4 kg y mc = 5 kg. Calcula lafuerza que las masas A y B ejercen sobre la C cuando:a) La masa A se sitúa en el punto (2,0), la B en el punto (5,0) y la C en el

origen de coordenadasb) La masa A se sitúa en el punto (-2,0), la B en el punto (5,0) y la C en

el origen de coordenadas.c) La masa A se sitúa en el punto (0,2), la B en el punto (5,0) y la C en el

origen de coordenadasd) La masa A se sitúa en el punto (2,0), la B en el punto (5,0) y la C en el

en el punto (5,2)

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7. ¿Cuál sería la masa del sol, si el radio de la órbita terrestre es1,496·108 km y se supone que tarda exactamente 365,25 díasen recorrerla? (Sol. 1,99·1030 kg) 29

6. Se coloca un satélite meteorológico de 1 000 kg en órbitacircular, a 300 km sobre la superficie terrestre. Determina lavelocidad lineal, la aceleración angular y el período del satéliteen su órbita.Datos: g0 = 9,8 m.s-2; RT = 6 370 km. 50a

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EL CAMPO GRAVITATORIO

• La ecuación de Newton proporciona la expresión de la fuerza entre dos masas:

g®

x

y

z

r®

• Para explicar la acción que una masa ejerce sobre otrasituada a cierta distancia, se introduce el concepto decampo de fuerzas

• La masa m hace que las propiedades del espacio quela rodea cambien, independientemente que en suproximidad se sitúe otra masa m’

m

m’

rrsiendormmG ruur

F®

®®®

=-= )(221

rm

Gm u

rFg

®®

®-=

¢= 2

y se expresa en N/kg o también m/s2 en el S.I.

• La fuerza gravitatoria sobre otra masa inmersa en el campo es: gmF®®

=

• La intensidad del campo gravitatorio en un punto es la fuerza por unidad demasa situada en dicho punto

g®

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• Cuando se trata de cuerpos extensos, se supone la masa concentrada en el centro demasas, y además se considera para las distancias que r = RT + h

)hR(MGgT

2T+

=

• El módulo del campo gravitatorio creado es:

• En las proximidades de la superficie, donde h esdespreciable frente al RT puede considerarse:

s/m8,9RMGg 2

0 2T

T ==

• La fuerza ejercida sobre un cuerpo de masa m colocado a una altura h sobre lasuperficie terrestre será:

gmT

mTGFhR

M ==+ )( 2

r = RT+h

P

Ah

RT

EL CAMPO GRAVITATORIO

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8. Haz una estimación del valor de g en la cima del Everest,teniendo en cuenta el valor de 9,8 m/s2 al nivel del mar. ¿Creesque es correcto utilizar 9,8 m/s2 como valor general para toda lasuperficie terrestre?Dato: altura del Everest: 8,9 km; RT = 6,37·106 m

9. Considerando que en la superficie de Marte g es 3,72 m/s2,calcula cuál sería el valor de la gravedad en la cima del monteOlimpo, que, con sus 25 km de altura, es el monte conocido másalto del sistema solar.Dato: RM = 3,38·106 m

EL CAMPO GRAVITATORIO

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• Los campos de fuerzas se representanmediante líneas de campo = líneas defuerza

• En el campo gravitatorio, las líneas decampo como es un campo atractivo sedirigen hacia las fuentes del campo

Características de las líneas de campo

• Módulo: se indica mediante la densidad de líneas de campo. Si se dibujan más líneasde campo se trata de un campo más intenso

• Dirección del campo en un punto es la tangente a la línea en dicho punto

• El sentido viene indicado por la flecha, y es el que seguiría la unidad de masacolocada en dicha línea por efecto de las fuerzas del campo

m M

EL CAMPO GRAVITATORIO

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Principio de superposición

r1®

r2®

r3®

g1®

g2®g 3

®

g 3®

g 1®

g T®

• La intensidad del campo en un punto P, creado por un conjunto de masas puntuales, seobtiene calculando la intensidad de campo creada por cada una de las partículas ysumando los resultados parciales

m1

m2

m3

P=+++=®®®® g...ggg n21T

u.rmG ii2in

1i

®

=®-å

siendo rrui

ii ®

®®=

• También se puede aplicar al cálculo de lafuerza ejercida sobre cierta masa por laacción de un conjunto discreto de ellas

==®®gmF TT å

=

®n

1iFi

Si un cuerpo está sometido a la acción de varias fuerzas gravitatorias, el efectototal resultante es la suma de los efectos individuales de cada fuerza

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10.Determina el campo producido en el punto P por la distribuciónde masas de la siguiente figura

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C1

C2•A

•B

• En un campo de fuerzas conservativo, el resultado de la integral del trabajo realizadopara ir desde A hasta B puede expresarse como una nueva función, Ep que dependesolo de los puntos inicial y final

)B(E)A(ErdFW ppBABA -==

®®® ò

• Si el campo de fuerzas es conservativo,

BC2ABC1A WW ®®®® =

• Si se invierte el segundo camino,

Þ-= ®®®® AWW C2BBC2A AWW C2BBC1A ®®®® -=

0WW AC2BBC1A =+ ®®®®

Cuando un cuerpo se desplaza por una trayectoria cerrada en un campo defuerzas conservativo, el trabajo total realizado por las fuerzas del campo esnulo 0drC F =

®®

ò

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ENERGÍA POTENCIAL

Teorema de la energía potencial: En un campo conservativo el trabajorealizado por las fuerzas del campo es igual a la variación de laenergía potencial cambiada de signo

EW)B(E)A(EW pppBA D-=Þ-=®

• Una característica de los campos conservativos es que puede definirse unamagnitud denominada energía potencial

• Los cambios producidos en la energía potencial, indican el trabajo realizadopor las fuerzas del campo

• Este trabajo no depende del camino recorrido sino de las posiciones inicial (A)y final (B) en las que se encuentra el cuerpo

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• La Energía potencial gravitatoria es cero cuando r tiende a infinito.

hRmM

T

TGEp +-=

.

• La energía potencial de una masa a una cierta altura sobre la superficiede la Tierra es:

Cuando se trata de energías potenciales en realidad siempre se estácalculando su diferencia entre dos puntos, tomando como referencia (valorcero) uno de ellos

(Julios)

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• Por ser el campo gravitatorio conservativo, se puede definir unamagnitud que depende únicamente del cuerpo m1 que crea el campoy no del m2 que se coloca como testigo

• Dicha magnitud se denomina potencial V y se obtiene así:

POTENCIAL GRAVITATORIO

)/( kgJóvoltiosrmGV -=

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APLICACIONES

SATÉLITES ARTIFICIALES: ENERGÍA

VELOCIDAD ORBITAL

VELOCIDAD DE ESCAPE

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Un satélite de 2 000 kg de masa describe una órbita ecuatorialcircular alrededor de la Tierra es de 8 000 km de radio.Determinar:

a) Su momento angular respecto al centro de la órbita.b) Su energía cinética, potencial y total.

Datos: G = 6,67.10-11 N m2 kg-2, MT = 5,98.1024 kg. (6)

Se pretende colocar un satélite artificial de 50 kg de masa en unaórbita circular sobre la superficie terrestre. Calcula:

a) La energía cinética que es preciso comunicarle paraponerlo en órbita.

b) La energía total del satélite en su órbita.Datos: g0 = 9,8 m.s-2; RT = 6 370 km. (10)

Un vehículo espacial Apolo VIII estuvo en órbita alrededor de la Luna 113 km por encima de su superficie. Calcular:

a) El período del movimientob) Las velocidades lineal y angular del vehículoc) La velocidad de escape a la atracción lunar desde esa

posiciónDatos: G = 6,67.10-11 N m2 kg-2, mL = 7,36.1022 kg; RL = 1 740 km. (7)