Campi Armonici e Onde Piane - people.unica.it · 2019. 7. 31. · il campo totale dovuto ai...
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Campi Armonici
e
Onde Piane
1
-
2
Le funzioni temporali relative alle grandezze che definiscono un
campo dipendono dalle funzioni delle sorgenti e .
In ingegneria le funzioni sinusoidali nel tempo hanno una larga
applicazione, infatti:
• tutte le funzioni periodiche nel tempo possono essere sviluppate
in serie di Fourier di componenti armoniche sinusoidali
• le funzioni transitorie non periodiche possono essere espresse
come integrali di Fourier.
Poiché le equazioni di Maxwell sono equazioni differenziali
lineari, le variazioni sinusoidali nel tempo delle funzioni sorgenti
per una data frequenza, produrranno variazioni sinusoidali di ത𝐸 eഥ𝐻 con la stessa frequenza in regime permanente.
J
Campi Armonici
-
3
Per le funzioni sorgenti con una dipendenza dalla variabile tempo
arbitraria, i campi elettrodinamici possono essere determinati in
funzione di quelli generati dalle componenti alle diverse frequenze
delle funzioni sorgenti. Per i sistemi lineari, l’applicazione del
principio di sovrapposizione degli effetti consentirà di determinare
il campo totale dovuto ai contributi di tutte le componenti.
I campi armonici nel tempo sono i campi che variano con legge
periodica sinusoidale. Le grandezze che li caratterizzano sono
convenientemente espresse con la notazione fasoriale. Per esempio
un campo armonico nel tempo riferito a una cosinusoide, può
essere espresso come:
Campi Armonici
( , , , ) Re ( , , ) j tE x y z t E x y z e
dove é un fasore definito in direzione modulo e fase. E
E
-
4
I fasori sono grandezze complesse per cui:
se il campo é rappresentato da un fasore ,
allora e
si potranno rappresentare rispettivamente con i fasori:
e
Derivate e integrali temporali di ordine superiore potranno essere
rappresentati rispettivamente moltiplicando e dividendo il fasore
per potenze superiori di j.
(x,y,z,t)E (x,y,z)E
(x,y,z,t)Et
t(x,y,z,t)dE
(x,y,z)E j j/(x,y,z)E
(x,y,z)E
Campi Armonici
-
5
Le equazioni di Maxwell per le grandezze armoniche nel tempo in
termini di fasori di campo e fasori di sorgente in un
mezzo lineare, isotropo e omogeneo:
H,E J,
δ BE
E j B j μHδ t
D H J j D J j εEH J
t
/
0 0
D E
B H
EεD essendo
Equazioni di Maxwell fasoriali
-
6
esse sono le equazioni di Helmholtz non omogenee
22
22
ρV k V essendo k il numero d'onda
ε
ωA k A μJ k ω με
u
22 2 2
2
2 222
2
222 2 2 2
2
AA με μJ A με jω A μJ
t ρ
V ρ V με jω VV με ε
t ε
ωcon jω ω με ω k
u
Equazioni di Helmholtz non omogenee
Le equazioni delle onde armoniche nel tempo per il potenziale
scalare V e il potenziale vettore diventano:A
-
7
La condizione di Lorentz per i potenziali:
diventa:
Le soluzioni fasoriali delle equazioni di Helmholtz non omogenee
si ottengono da quelle dei campi non armonici considerando che le
sorgenti e ҧ𝐽 sono sinusoidali e usando notazione fasoriale:
0t
VμεA
. 0VjA
Equazioni di Helmholtz non omogenee
R ωRρ t R/u ρ cos ω t ρ cos ωt ρ cos ωt kR
u u
R ωRJ t R/u J cos ω t J cos ωt J cos ωt kR
u u
ωk ω k u
u
ρ cos ωt kR Re ρ e e si associa il fasore ρ e
J sin ωt kR = Re J e e si associa il fasore J e
jkR j t jkR
jkR j t jkR
-
8
le espressioni dei potenziali scalare e vettoriale ritardati dovute alle
sorgenti armoniche diventano:
'
/1, '
4V
ρ t R uV R t dv
πε R
dv' R
R/utJ
π4
μ R,tA
V'
'
1, '
4
jkR
V
ρeV R t dv
πε R
dv' R
eJ
π4
μ R,tA
V'
jkR
Soluzioni delle equazioni di Helmholtz non omogenee
-
9
Quindi se la distanza R é molto piccola rispetto alla lunghezza
d’onda , le formule si riducono a quelle valide per le condizioni
quasi statiche:
'dv R
ρ
πε4
1 t,RΔV
'V
dv' RJ
π4
μ R,tA
V'
Poiché lo sviluppo in serie di Taylor del fattore esponenziale é:
dove k può essere espresso i funzione della lunghezza d’onda
del mezzo: quindi se
o se la distanza R é molto piccola rispetto alla lunghezza d’onda ,
può essere approssimato a 1.
....2
RkjkR1e
22jkR
f
u
2
u
f2k ,1
R2kR
jkRe
Soluzioni delle Equazioni di Helmholtz non omogenee
-
10
La procedura formale per la determinazione dei campi elettrici e
magnetici dovuti alle distribuzioni di corrente e cariche armoniche
é la seguente:
1) determinazione dei fasori V(R) e dalle equazioni:
2) calcolo dei fasori:
3) calcolo dei valori istantanei con riferimento al coseno :
Il grado di difficoltà del problema dipende dalla difficoltà di risoluzione delle
integrazioni al punto 1)
RA
'
1, '
4
jkR
V
ρeV R t dv
πε R
dv' R
eJ
π4
μ R,tA
V'
jkR
ARB e AjωVRE
, e ,j t j te eE R t E R e B R t B R e
Procedura generale in presenza di sorgenti
-
11
In un mezzo semplice privo di perdite (non conduttore) e di cariche
libere:
Le quattro equazioni di Maxwell si riducono alle seguenti:
Le equazioni possono essere combinate per ottenere equazioni del
secondo ordine alle derivate parziali espresse in funzione di
0 0 , 0ρ , J
HjωE
EjωH
0E
0H
H e E
Campo armonico in un mezzo non conduttore
e si ottengono così le equazioni di Helmholtz vettoriali omogenee:
2 2
2 2
0
0
E k E
H k H
ωu
ωk 2
2
2
con
-
12 2 2
se 0 A A A A A A
2
2 2
( )
0
E j H
E j H j j E
E E
Campo armonico in un mezzo non conduttore
Infatti dalla prima equazione di Maxwell:
Dalla seconda:
2 2 2
2 2
= ( )
=
0
H j E
H j j H j H
H H
Ricordiamo che:
-
13
Si noti che se sono soluzioni delle equazioni di Maxwell in
un mezzo semplice caratterizzato da e , allora anche
lo sono se:
(***)
dove é l’impedenza intrinseca del mezzo.
Infatti é facilmente dimostrabile che le equazioni di Maxwell per
un mezzo semplice privo di sorgenti, sono invarianti per le
trasformazioni lineari specificate nelle relazioni (***).
Questa é una affermazione del principio di dualità.
Questo principio é una conseguenza della simmetria delle
equazioni di Maxwell in un mezzo semplice privo di sorgenti.
H,E 'H,'E
η
E-'H e Hη'E
Campo armonico in un mezzo conduttore
-
14
Se il mezzo ha perdite (conduttore, ≠0), circolerà una corrente
e la seconda equazione di Maxwell diventa:
le altre equazioni rimangono invariate, quindi la permettività in
questo caso diventa complessa.
Analogamente occorre tener conto della componente sfasata della
magnetizzazione dovuta alla influenza di un campo magnetico
esterno variabile nel tempo, per cui alle alte frequenze:
J E
' ''
c
c
H jω E jω ε E jω Ejω
Fcon ε jε ε - j
ω m
' ''j
Campo armonico in un mezzo conduttore
E Dcon DjJH
-
15
Perciò, il valore reale di k in un conduttore, o in dielettrico con
perdite, é un numero complesso:
Il rapporto é chiamata tangente di perdita perché é una misura
della perdita di potenza nel mezzo:
c è chiamato angolo di perdita
Si può dimostrare che:
c ck ω
ε'
ε"
tan cε"
δε' ωε
Campo armonico in un mezzo conduttore
campo di grandezza della cicloper / accumulata ticaelettrosta energial’
campo di grandezza della cicloper dissipata/ energial’ tan c
-
16
Sulla base della espressione di ሶ𝜺c• un mezzo é detto buon conduttore se >>
• un mezzo é detto buon isolatore se >> .
Quindi, essendo =2f, un materiale può essere un buon conduttorealle basse frequenze, ma può avere le proprietà di un dielettrico con
perdite, alle frequenze molto alte.
Esempio: terra umida, εr =10, = 10-2 [S/m]
Campo armonico in un mezzo conduttore
2
120
4
3
10tan
2 8 85610 10
1.8 10 per i segnali con f 1kHz è un buon conduttore tan
1.8 10 per i segnali con f 1GHz diventa un isolatore
-
c
r
c
ε'' σ σδ
ε' ωε ωε ε π f .
δ
-
17
Su tutti i punti di un campione di materialecaratterizzato da una conducibilità e unapermettività ሶ𝜺c , un campo ത𝐸 induce:
• sia un vettore spostamento ഥ𝐷 che comportaun’energia elettrostatica accumulata
• sia una densità di corrente ҧ𝐽 che comporta unadissipazione di potenza per effetto joule
D ε E
J E
c
E
se ωε >> un campo elettrico ത𝐸 induce nel materiale un vettorespostamento ഥ𝐷 prevalente rispetto alla densità di corrente ҧ𝐽, per cuiprevale il comportamento della materia come isolante che consente unaccumulo di energia elettrostatica.
se ωε
-
18
Si possono evidenziare due punti fondamentali:
• le equazioni di Maxwell e quindi le equazioni di Helmholtz non
pongono alcun limite alla frequenza delle onde. Lo spettro
elettromagnetico é stato esaminato sperimentalmente per valori
della frequenza che vanno da frequenze molto basse alle
frequenze radio, televisione, microonde, infrarossi, alla luce
visibile, alla ultravioletta , sino ai raggi X e gamma e il campo
delle frequenze gamma supera 1024 Hz.
• Tutte le onde elettromagnetiche, per ogni campo di frequenza,
si propagano in un mezzo con la stessa velocità, legata alla
natura del mezzo:
με
1u
Campo armonico in un mezzo conduttore
-
19
Si possono evidenziare tre punti fondamentali:
• le equazioni di Maxwell e quindi le equazioni di Helmholtz sonovalide per onde di frequenza qualsiasi.
Esse sono state verificate sperimentalmente per tutto lo spettroelettromagnetico ossia per valori della frequenza che vanno dafrequenze molto basse, sino ai raggi X e gamma ( f >1018 Hz).
• In un mezzo privo di perdite tutte le onde elettromagnetiche di unqualsiasi campo di frequenza, si propagano con la stessa velocitàu che dipende solo dalla natura del mezzo:
• In un mezzo con perdite, u dipende anche dalla frequenza e anchedalla conducibilità del mezzo ; u è un operatore complesso:
1 u
/1u
Spetro elettromagnetico
-
20
VL
rays
X rays
Ultraviolet
Visible light
Infrared
Mm wave
EHF Extremely high frequency
SHF Super high frequency
UHF Ultra high frequency
VHF Very high frequency
HF High frequency
MF Medium frequency
LF Low frequency
VLF Very low frequency
ULF Ultra low frequency
SLF Super Low frequency
ELF Extremely low frequency
Spetro elettromagnetico
-
21
Spetro elettromagnetico
-
22
Nei mezzi non conduttori privi di perite (=0), in assenza di
sorgenti (=0, J=0) e sotto l’ipotesi di regime sinusoidale,l’equazione d’onda nello spazio libero in assenza di sorgenti
diventano l’equazioni del vettoriali di Helmholtz:
Dove, k é il numero d’onda. Nello spazio libero possiamo
assumere k=k0 (free space wavenumber =𝜔 𝜇0ε0) .
Esse servono per determinare la distribuzione del campo nei
dielettrici perfetti e nel vuoto. I dielettrici sono i materiali
principalmente utilizzati per la propagazione e radiazione (
trasporto di energia) delle onde elettromagnetiche.
ω rad
k ω μεu m
Onde piane non dissipative
2 2
2 2
0
0
E k E
H k H
-
23
L’ onda elettromagnetica piana é una particolare soluzione della
equazione di Maxwell, essa costituisce una buona approssimazione
delle onde elettromagnetiche reali. In molte applicazioni pratiche, le
caratteristiche delle onde piane uniformi sono particolarmente
semplici e il loro studio è fondamentale sia dal punto di vista teorico
che pratico. Inoltre, onde più complesse possono essere considerate
come formate dalla sovrapposizione di onde piane.
Si definisce fronte d’onda (o superficie d’onda) luogo geometrico
identificato dei punti del mezzo che vibrano concordemente. Dunque
in un dato istante, lungo un fronte d’onda la grandezza di campo
presenta la stessa fase. I fronti d’onda sono perpendicolari alla
direzione di propagazione dell'onda e sono utili per visualizzare i
fenomeni di trasmissione delle onde.
Onde piane non dissipative
-
24
Tutti i punti alla stessa distanza dalla sorgente sono investiti
contemporaneamente dall'onda e si muovono in sincronia tra di loro.
I fronti d’onda possono essere sono definiti in base alla loro forma, peresempio si possono avere fronti d’onda piani, sferici così via.
Fronte d’onda piano Fronte d’onda sferico
Ad ogni fronte d’onda è possibile associare il raggio che è una linea
ortogonale al fronte d’onda in un dato punto, che rappresenta in quel
punto, la direzione di propagazione dell’onda e dell’energia ad essa
associata.
Onde piane non dissipative
-
25
Un onda elettromagnetica è piana quando il suo fronte d’onda è unpiano. Le onde elettromagnetiche piane sono caratterizzate da grandezzedi campo sempre e ovunque in fase su piani perpendicolari alladirezione di propagazione, cioè , per il sistema di riferimento scelto, perogni valore di z, i campi :
in fase nel tempo
in quadratura nello spazio
Il raggio d’onda è parallelo alla direzzione di propagazione dell’onda
Raggi d’ondaFronti d’onda piani
x
E
H
z è direzione di propagazione delle onde
y
z
H e E
H e E
Onde piane non dissipative
-
Considerando un’onda piana uniforme, che si propaga nel vuoto,
caratterizzata da un campo ത𝐸 𝑧 = ത𝐸𝑥 uniforme (ampiezza e faseuniforme) sulle superfici piane perpendicolari a z, la I equazione
vettoriale di Helmholtz diventa:
ma essendo:
essa é una equazione differenziale ordinaria poiché dipende solo da z.
26
2 20 0
x xE E e
x y
0
2
20
xx
Ek E
z
Onde piane non dissipative
0
2 2 22 2 2
0 2 2 20 k E 0
x y zxE k E
-
27
La soluzione della equazione: é :
E0+ e E0
- sono costanti arbitrarie che devono essere determinate con
le condizioni al contorno. Usando la funzione 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 comeriferimento e assumendo E0
+ costante reale ( fase = 0 per z = 0) si ha:
Per cui in un dato istante t, nello spazio E+ (z,t) varia come unacosinusoide con una ampiezza massima E0
+. Per tutti gli istantisuccessivi le curve relative avranno un andamento identico, matraslano nella direzione positiva di z.
0
o o
o
jk z jk zx xE z E z E z E e E e
ox x 0
0
jω k zj t
0 0
E z,t Re E z e Re E z e
V E cos(ω k z)
m
t
t
Onde piane non dissipative
0
2
20
xx
Ek E
z
-
28
Per determinare la velocità di propagazione si consideri il fatto che
la fase istantanea è costante in ciascun piano normale alla direzione
z di propagazione (definizione di fronte d’onda), per cui: (t-koz)
=A con A costante. Lo spazio percorso è:
Quindi velocità di propagazione dell’onda up (c nel vuoto):
k0 numero d’onda, misura il numero di lunghezze d’onda in un ciclo
completo.
s
m c
εμk
ω
dt
k
Atd
dt
dzu p
8
000
0 1031
0
2dove k
πf rad
c c m
k
Atz
0
Onde piane non dissipative
-
• t > 0 Onda identica viaggiante nella direzione positiva z
29
z) (kcosE0z,E 0 t 00x •
Onde piane non dissipative
-
30
Analogamente, si può verificare che il secondo termine della
relazione :
rappresenta una onda viaggiante cosinusoidale nella direzione - z con
la stessa velocità c.
Si consideri per ora solo l’onda diretta nella ipotesi che
sebbene quando sono presenti delle discontinuità nel mezzo, devono
essere considerate anche le onde riflesse viaggianti nella direzione
opposta.
zjkzjkxo
o
o
0xxeEeEzEzEzE
0E0
Onde piane non dissipative
-
31
Il campo magnetico associato ഥ𝐻 può essere determinato dallarelazione:
dalla quale si ottengono le seguenti relazioni, dove la compomente
nella direzione y risulta l’unica componente diversa da zero:
HjE
0
0 0
x y za a a
E jω Hy y z
E (z)
0
1(z)
xy yy
E zH a H a
j z
x
E
H z direzione di propagazione delle onde
y
z
Onde piane non dissipative
-
Quindi:
0 è l’ impedenza intrinseca dello spazio libero. Essendo 0 unnumero reale risulta in fase con e si può scrivere
l’espressione di come:
Inoltre risulta che é perpendicolare ad e che entrambe sono
normali alla direzione di propagazione.32
0
0 0
00
0 0 0
00
0
1 1
1 1
120 377
ojk z
x
y
x x x
E eE zH
j z j z
kjk E z E z E z
j
con
Onde piane non dissipative
zH y zEx
H
0 00
Re cosjωty y yy yE A
H z,t a H z,t a H z e a ωt k z η m
H E
-
33
Campi e di un’onda piana uniforme per t=0E H
Onde piane non dissipative
-
34
Quando c’é un movimento relativo tra la sorgente armonica nel
tempo e un ricevitore, la frequenza dell’onda intercettata dal
ricevitore tende ad essere diversa da quella emessa dalla sorgente.
Questo fenomeno é noto come effetto Doppler, esso si manifesta in
acustica come nell’elettromagnetismo.
Si assuma che la sorgente T (Trasmettitore) di un’onda armonica nel
tempo di frequenza f si muova con velocità con una deviazione di
un angolo rispetto alla direzione della congiungente Trasmettitore-
Ricevitore.
u
Effetto Doppler
u
T Rr0
t = 0→emettitore in T t = t emettitore in T’
u
T Rr0
r’utT’
H
-
35
La frequenza dell’onda ricevuta da R, se
-
36
Un’onda piana uniforme caratterizzata da che si propaga
nella direzione + z è associato a un campo magnetico
Quindi e sono perpendicolari uno con l’altro ed entrambi sono
trasversali alla direzione di propagazione. Le grandezze di campo
vettoriali sono funzioni della sola distanza z e quindi variano lungo
un singolo asse di coordinate. Questo è un caso particolare di onda
trasversale elettromagnetica (transverse electromagnetic wave: TEM
wave).
Un' onda trasversale è un’onda in movimento che è composta da
oscillazioni che avvengono perpendicolari alla direzione del
trasferimento di energia.
xx EaE
.HaH yy
E H
Onde elettromagnetiche trasversali
-
E un generico raggio a partire dall’origine
37
Si considera ora la propagazione di un’onda piana uniforme lungo
una direzione arbitraria di versore തan , che non coincidenecessariamente con un asse delle coordinate.
L’intensità del fasore campo elettrico per un’onda piana uniforme
che si propaga nella direzione generica possiamo scriverla anche
come:
dove è chiamato vettore d’onda
( , , ) jk yjk x jk zyx zE x y z E e e eo
Onde elettromagnetiche trasversali
zayaxaR zyx
La relazione precedente può essere scritta in forma compatta:
0 0nj k R jk a R VE( R ) E e E e
m
nzzyyxx akkakakak
-
38
x
yz
0
Piano a fase costante
R
na
Onde elettromagnetiche trasversali
0 0nE a
si dimostra che
Perciò la direzione di propagazione e E0 sono perpendicolari. Quindi,
in un’onda piana uniforme che si propaga in una direzione arbitraria
തan, il campo elettrico ഥE e il campo magnetico ഥH sono perpendicolaritra di loro ed entrambi normali alla direzione di propagazione
dell’onda.
ത𝑎𝑛 direzione di propagazione dell’onda
n-jka0n1
R RH a E e
-
39
La polarizzazione di un’onda piana uniforme, indica la direzione
dell'oscillazione del vettore campo elettrico durante la propagazione
dell'onda nello spazio-tempo. Perciò descrive come variano
l’ampiezza e la fase del vettore intensità campo elettrico ത𝐸 in undato punto dello spazio, al variare del tempo. Di conseguenza
indica anche come il campo magnetico ഥ𝐻 oscilla durante lapropagazione dell’onda.
Le onde elettromagnetiche hanno polarizzazione lineare, circolare
ed ellittica in base al fatto che l’estremità del vettore campo
elettrico in ogni punto dello spazio, dove avviene la trasmissione, si
muova su una retta, su un cerchio o su un’ellisse.
Data la linearità dell’equazione d’onda lo studio della
polarizzazione di una onda piana sarà sviluppato considerando
l’onda come la sovrapposizione di due onde polarizzate
linearmente.
Polarizzazione delle onde piane
-
40
Onda linearmente polarizzata (polarizzata in un piano)
Se il vettore campo elettrico ഥE oscilla sempre lungo la stessadirezione si dice che l’onda è polarizzata in un piano o linearmente
polarizzata. Si realizza questa condizione quando tutte le onde
sovrapposte hanno il campo elettrico nella stessa direzione, oppure
quando i diversi campi elettrici hanno differenti direzioni spaziali,
ma esattamente la stessa sfasamento temporale.
Onda polarizzata ellitticamente
Se si ha la sovrapposizione di due onde piane uniformi con la stessa
frequenza, ma con differenti fasi, ampiezze e orientazioni dei
vettori di campo elettrico, la combinazione che ne risulta si dice
essere un’onda polarizzata ellitticamente.
Polarizzazione delle onde piane
-
41
Se il vettore dell’onda piana è fissato nella direzione x :
dove E può essere positivo o negativo, l’onda è detta polarizzata
linearmente nella direzione x.
Una descrizione separata del campo magnetico non è
necessaria, poiché la direzione di è legata a quella del campo
elettrico .
Se invece la direzione di dell’onda piana ഥE in un dato punto nonvaria nel tempo, ma è orientata lungo una generica direzione il
campo si può considerare come la sovrapposizione di due onde
lineari che si propagano nella direzione z.
E
xE a E
H
E
H x E
H z direzione di propagazione delle onde
y
z
Polarizzazione lineare
-
Se E20 e E10 sono in quadratura nello spazio ma in fase nel tempo,
il campo risultante sarà polarizzato linearmente lungo una piano:
42
10
201tanE
E
10 20(0, ) cosx yE t a E a E t
Polarizzazione lineare
x y10 20( , ) a cos( ) a cos( )E z t E t kz E t kz
y
xE10
E20
P1
P2
Per t=0 L’estremità di ത𝐸(0,t) sarà nelpunto P1 la sua ampiezza decrescerà
verso zero per tT/4.
Dopodiché, ത𝐸(0,t) inizia ad aumentaredi nuovo in direzione opposta, per
tT/2 ത𝐸(0,t) tenderà al punto P2.
Il piano è inclinato di un angolo
L’espressione istantanea di ത𝐸 per z = 0 è:
-
43
Variando le ampiezze delle due onde componenti è possibile
ottenere una polarizzazione lineare con un angolo di deviazione θ
qualsiasi rispetto all’asse delle x, essendo:
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Nel caso generale E20 e E10 sono in quadratura nello spazio ma
hanno ampiezza diversa E20 E10 e possono avere una differenza di
fase arbitraria non necessariamente nulla o multipla di /2.
La loro somma ത𝐸 sarà:
•polarizzata ellitticamente
•gli assi principali dell’ellisse di polarizzazione non coincideranno
con gli assi delle coordinate.
10
201tanE
E
Polarizzazione lineare
-
44
Polarizzazione lineare:
Si ottiene dalla composizione
di due onde polarizzate
linearmente in due piani
ortogonali (x=0 e y=0)
temporalmente in fase. L’onda
risultante è ancora un’onda
polarizzata linearmente con
piano di vibrazione obliquo,
ovvero risulta essere obliqua
sul piano x-y quando l’onda
stessa viaggia lungo la
direzione z.
θ
Polarizzazione lineare
-
45
Se invece la direzione di dell’onda piana ഥ𝑬 in un dato punto varianel tempo, il campo si può considerare come la sovrapposizione di
due onde lineari che si propagano nella direzione z:
1. E1 polarizzata nella direzione x di ampiezza E10 e
2. E2 polarizzata nella direzione y (in quadratura nello spazio) e in
ritardo di 90° nel tempo, di ampiezza E20. In notazione fasoriale
possiamo scrivere:
La corrispondente espressione nel dominio tempo sarà:
1 2 10 20( ) ( ) ( ) ( )jkz jkzx y x yE z a E z a E z a E e a j E e
Polarizzazione ellittica
x y1 2
x y10 20
( , ) Re (z) Re a a
a cos( ) a cos( )2
j t j tE z t E e E z j E z e
E t kz E t kz
-
46
Per studiare la variazione della direzione di ത𝐸 in un punto dellospazio al variare di t, per semplicità possiamo considerare il punto
per il quale z = 0:
Al variare di t da 0 a 2 , l’estremità del vettore ത𝐸 percorre unluogo ellittico in senso antiorario. Se E10=E20 sono l’ellisse si
trasforma in una circonferenza.
Quindi il campo elettrico ത𝐸, ottenuto come la somma di due ondepolarizzate sfasate di 90 gradi sia nello spazio che nel tempo, è
• polarizzato ellitticamente se E20 E10
• polarizzato circolarmente se E20 = E10 .
1 2 10 20(0, ) (0, ) (0, ) cos sinx y x yE t a E t a E t a E t a E t
Polarizzazione ellittica
-
47
All’istante t=0
All’istante 𝑡 = Τ𝑇 4
Il campo ത𝐸 ruota con velocità angolare in senso antiorarioformando una circonferenza se E10=E20, altrimenti si ha un’ellisse.
Questo è valido anche per tutti i punti con z>0
y
x
0
10(0,0) a xE E
E10
E20
10 20 10(0,0) cos0 sin 0x y xE a E a E a E
20(0, ) a4
y
TE E
10 20 20(0, ) cos sin
2 2x y yE t a E a E a E
Polarizzazione ellittica
y
x
010(0,0) a xE E
E10
E20
20(0, ) a4
y
TE E
-
48
Quando le dita della mano destra seguono la rotazione di ത𝐸, ilpollice indica la direzione della propagazione dell’onda. Perciò
l’onda:
È un’onda polarizzata circolarmente positiva o destrorsa.
Se E1(z) è sfasata nel tempo di 90° in anticipo rispetto a E1(z):
anche in questo caso ത𝐸 risulta ellitticamente polarizzato e ruota insenso orario con velocità angolare -. Se E20 = E10 l’onda è
polarizzata circolarmente negativa o sinistrorsa.
10 20
x y10 20
10 20
( ) ( )
( , ) a cos( ) a cos( )2
(0, ) cos sin
jkz jkzx y
x y
E z a E e a j E e
E z t E t kz E t kz
E t a E t a jE t
x y10 20( , ) a cos( ) a cos( )2
E z t E t kz E t kz
Polarizzazione ellittica
-
Onda polarizzata elliticamente negativa o sinistrorsa
(direzione della propagazione entrante nel foglio)
Onda polarizzata elliticamente positiva o destrorsa
(direzione della propagazione uscente nel foglio)
Agendo sullo sfasamento di E2 rispetto a E1 si può invertire il
senso di propagazione dell’onda. 49
ו
Polarizzazione ellittica
-
50
Polarizzazione circolare:
Si ottiene dalla composizione
di due onde sfasate
temporalmente di π/2,
polarizzate linearmente su
due piani ortogonali (x=0 e
y=0).
L’onda risultante è un’onda
polarizzata circolarmente in
senso orario.
Si noti che le ampiezze delle
due componenti Ex e Ex sono
uguali.
Polarizzazione circolare
-
51
Polarizzazione ellittica :
Si ottiene dalla composizione di
due onde sfasate temporalmente
di π/2 polarizzate linearmente in
due piani ortogonali. L’onda
risultante è un’onda polarizzata
ellitticamente in senso orario.
In questo caso le ampiezze delle
due componenti Ex e Ex non sono
uguali.
Polarizzazione ellittica
-
52
Polarizzazione ellitica
Polarizzazione lineare
-- onda componente polarizzata nella dir. x
-- onda componente polarizzata nella dir. y
-- onda risultante polarizzata
x
x
y
y
z
z
Polarizzazione: esempi
-
53
Proiezioni (color viola) sul piano x-y dello spostamento
dell’estremo del vettore di campo E al variare del tempo per i 3
tipi di polarizzazionez z
z
xxx
yy
y
Polarizzazione: esempi
-
54
Le onde elettromagnetiche irradiate da stazioni di trasmissione AM
(Amplitude Modulation), impiegate nelle trasmissioni a onde
corte su lunghe distanze e nelle trasmissioni della parte video dei
programmi televisivi, sono linearmente polarizzate.
Le onde radio vengono emesse con il campo ത𝐸 perpendicolare alsuolo. Per la massima ricezione, l’antenna ricevente dovrà essere
parallela al campo che è verticale alla direzione di propagazione.
Il segnale televisivo al contrario, viene emesso con il campo ത𝐸 nelladirezione orizzontale, questo è il motivo per cui i conduttori delle
antenne riceventi sui tetti sono orizzontali.
Le onde FM (Frequency Modulation) irradiate da stazioni radio
sono generalmente polarizzate circolarmente; quindi l’orientazione
di una antenna ricevente FM non è critica, sempre che giaccia nel
piano normale alla direzione del segnale.
Polarizzazione delle onde radio
-
55
In un mezzo dissipativo privo di sorgenti ( ≠ 0), nelle equazioni
d’onda vettoriale omogenee di Helmholz il numero d’onda deve
essere complesso, infatti:
Le onde piane in un mezzo dissipativo si studiano in maniera
analoga alle onde in un mezzo omogeneo privo di perdite
sostituendo ሶ𝑘𝑐 a k.
Inoltre si definisce una costante di propagazione ሶν tale che:
22 2 2cE k E 0 E k E 0
diventa ' "c ck k j
-1 mccjk j
"c
σ Fε -j '
ω mj
Onde piane dissipative
-
56
Poichè la costante di propagazione ሶν é un numero complesso:
l’equazione di Helmholtz diventa:
e la soluzione é un’onda piana uniforme che si propaga nelladirezione z. Nella ipotesi che l’onda sia linearmente polarizzatanella direzione x:
fattore e costante di attenuazione in [Np/m]
fattore e costante di fase in [rad/m]
• equivale l’attenuazione in ampiezza per 1 m di propagazione
• equivale allo sfasamento dell’onda per 1 m di propagazione.
1
2"1 ' 1
'c cj jk j j j j
j
22 0E E
0 0 z z j z
x x xxE a E a E e a E e e
2 2 2 2
c ck k
Onde piane dissipative
-
57
• L’attenuazione di una grandezza può essere espressa in decibel dB
• Il Neper Np è utilizzato come unità di misura della attenuazione
di una grandezza. Si esprime come rapporto tra due valori che una
grandezza assume in due punti diversi, dove il termine a
denominatore è assunto come valore di riferimento:
1
1 2
2
xNp = ln =ln x -ln x
x
20il valore corrispondente in decibel: 1Np = dB = 8.686 dB
ln10
1
10
2
2
1 1
10 10
2 2
xdB= 10 log per le potenze
x
x xdB= 10 log =20 log per le tensioni e le correnti
x x
Onde piane dissipative
-
58
l’attenuazione in ampiezza α e lo sfasamento dell’onda per ogni
metro di propagazione dipendono:
• dalla pulsazione e quindi dalla frequenza della sorgente
• dai parametri costitutivi , e e possono essere così espressi:
In particolare per i mezzi:
1. dielettrici con basse perdite
2. buoni conduttori
3. gas ionizzati
si possono ricavare delle formule approssimate, comunque valide
per molte applicazioni pratiche.
1
2"1 ' 1
'j j j
j
Onde piane dissipative
-
59
fase di cità velos
m
'
"
8
11
'
1u
intrinseca impedenza '2
"1
'
fase di fattore m
rad
'
"
8
11'
neattenuazio di fattore m
Np
'2
2
p
c
2
"
j
Dielettrici a basse perdite (>> )
-
60*** il campo magnetico é traslato di 45° rispetto a quello elettrico
c
p
Np
m
fattore di attenuazione e fattore di fase variabili con f e
1
impedenza intrinseca con fase di 45 ***
2 m u
s
c
f
jj
1velocità di fase proporzionali a f e
Buoni conduttori (>>)
-
61
Per i conduttori si definisce la skin depth o depth of penetration:
essa è uguale all’inverso del fattore di attenuazione e rappresenta la
distanza lungo la quale l’ampiezza di un onda piana viaggiante
diminuisce di un fattore pari a e-1 =1/(2.71828 )=0.3679 (≈ 37%)
Alle alte frequenze le onde elettromagnetiche che si propagano in
un mezzo costituito da un buon conduttore si attenuano molto
rapidamente, essendo sia f che molto grandi.
In particolare alle frequenze delle microonde (300MHz ÷300GHz) la
skin depth di un buon conduttore é così piccola, che i campi e le correnti
possono essere considerati confinati in uno strato molto sottile della
superficie del conduttore.
1 1
2
λδ m
α ππfμ
Buoni conduttori (>>)
-
62
skin depth o depth of penetration per alcuni conduttori
confrontata con quella dell’acqua
δ [mm] .
Materiale [S/m] f = 60Hz f=1 MHz f=1GHz
argento 6.17 107 8.27 [mm] 0.064 [mm] 0.0020 [mm]
rame 5.80 107 8.53 0.066 0.0021
oro 4.10 107 10.14 0.079 0.0025
alluminio 3.54 107 10.92 0.084 0.0027
ferro 1.00 107 0.65 0.005 0.00016
acqua di mare 4 32 [m] 0 .25 [m]
Buoni conduttori (>>)
-
63
Nello strato della atmosfera terrestre, con una quota compresa tra
50 e 500 km di altezza, esistono strati di gas ionizzati o Plasmi che
costituiscono la ionosfera. La ionosfera gioca un ruolo importante
nella propagazione delle onde elettromagnetiche e influenza le
telecomunicazioni
L'atmosfera terrestre è l'involucro di gas (termine generico aria)
che riveste il pianeta Terra, principalmente:
• azoto
• ossigeno
• argon
• anidride carbonica
• tracce di altri elementi.
Possiede una struttura complessa e suddivisa in più strati, con
caratteristiche differenti (densità, temperatura, proprietà chimiche,
spessori etc..).
Gas ionizzati
-
64
Le radiazione solari ultraviolette proveniente dal sole investono
gli atomi e le molecole di ossigeno della parte superiore della
ionosfera. La radiazione solare è l’energia radiante emessa
nello spazio interplanetario dal Sole, generata a partire
dalle reazioni termonucleari di fusione che avvengono nel nucleo
solare e che producono radiazioni elettromagnetiche a
varie frequenze o lunghezze d’onda, le quali si propagano poi nello
spazio a diverse velocità.
Gli atomi e le molecole assorbono parte della energia associata alla
radiazione solare e questo determina la produzione di un elettrone
libero (carica negativa) e uno ione (carica positiva). I gas ionizzati,
con uguale densità di elettroni e ioni, sono chiamati plasmi, quindi:
la ionosfera si può considerare in gran parte costituita da un
plasma.
Gas ionizzati
-
65
Nella ionosfera la densità delle molecole di ossigeno presenti è
molto bassa, quindi gli elettroni liberi possono esistere, anche se per
brevi periodi di tempo, prima di essere “catturati” da uno ione
positivo vicino, formando nuovamente un l’atomo neutro, che a
sua volta, assorbe radiazione solare e il processo si ripete.
Per tutta la durata di un giorno (nel lato della terra investito dalle
radiazioni solari), la ionosfera si può ritenere costituita:
• da elettroni liberi e ioni positivi
• in minore quantità, da molecole del gas (atomi di ossigeno
neutri)
con percentuali dei componenti che variano con la quota degli strati
e durante l’arco della giornata.
Le particelle cariche tendono ad essere trattenute dal campo
magnetico terrestre.
Gas ionizzati
-
66
Poiché gli elettroni sono più leggeri degli ioni positivi, essi sono
più accelerati dai campi elettrici delle onde elettromagnetiche che
attraversano la ionosfera.
Per comprendere e valutare qualitativamente l’entità di questa
influenza si analizza il fenomeno con alcune ipotesi semplificative
• movimento degli ioni trascurabile (esso è sensibilmente inferiore
a quello degli elettroni),
• ionosfera costituita esclusivamente da gas di elettroni liberi
• si trascurano le collisioni tra gli elettroni e gli atomi e le
molecole del gas
• si ipotizza un campo elettrico armonico con pulsazione .E
Gas ionizzati
-
67
Su un singolo elettrone di carica -e e massa m in un campo
elettrico armonico nel tempo e agente nella direzione x con
frequenza angolare , agisce una forza di campo:
che lo allontana da uno ione positivo di una distanza x tale che:
da cui ricava lo spostamento :
dove e sono fasori.
E
22
2
22
2
per i campi armonici e -
d xF ma eE m m x
dt
d dj
dt dt
Em
ex
2
E x
x
Frequenza di plasma
E
ione +
-ex
F qE eE
-
68
La separazione delle cariche ( ione + ed elettrone -) alla distanza x
fa nascere un momento di dipolo elettrico:
Se N è il numero di elettroni per unita di volume, la densità
volumica del momento di dipolo elettrico o vettore di
polarizzazione è:
In questa equazione è stato trascurato implicitamente l’effetto
mutuo dei momenti dei dipoli indotti degli elettroni sugli altri
elettroni.
Em
NepNP
2
2
E
m
eexep
2
P
Frequenza di plasma
ione +
-e
p
-
69
In base alle leggi dell’elettrostatica, dalla conoscenza del vettore di
polarizzazione si ottiene la relazione costitutiva che lega a
nel plasma:
22
0 0 02 2
0
2
0 2
2
0
1 1
1
con
rad
s
p
p
p
p
p
p
NeD E P E E E
m
D E
permettività assoluta del plasma
N e
m
pulsazione angolare del plasma
D EP
Frequenza di plasma
-
70
Dalla espressione di εp si vede come per f fp , la permettività
equivalente εp0.
Quando la permettività diventa nulla εp lo spostamento elettrico ഥ𝑫è nullo, anche quando l’intensità del campo elettrico ഥ𝑬 non lo è.
In quel caso dovrebbe essere possibile per un campo elettrico
oscillante esistere nel plasma in assenza di cariche libere,
ottenendo una cosi detta oscillazione di plasma.
fp é anche indicata come frequenza di taglio.
2
2
02
2
00 1 essendo 1f
fEDE
f
fPED
p
pp
p
Frequenza di plasma
2
0
1 f Hz
2 2
pp
N e
m
-
71
Dalla pulsazione ωp si definisce la frequenza del plasma :
la permettività equivalente della ionosfera o plasma risulta :
da cui si ottiene la costante di propagazione:
e l’impedenza intrinseca: dove
2
0
1 f Hz
2 2
pp
N e
m
m
F 11
2
2
02
2
0f
f ppp
2
0 1p
p p
fj j
f
2
0
1
f
f pp
120
0
00
0
2
m
eNp
)( fp
Frequenza di plasma
-
72
Quando f < fp l’argomento sotto radice è negativo e quindi;
• ν diventa puramente reale ν=α e β=0, ciò comporta unaattenuazione senza propagazione ; contemporaneamente pdiventa puramente immaginario indicando una carico reattivo
per cui non si verifica trasmissione di potenza attiva: il segnale
viene riflesso.
Quando f > fp l’argomento sotto radice è positivo e quindi:
• ν é puramente immaginario reale ሶν =jβ, e le ondeelettromagnetiche si propagano sfasate senza attenuazione nel
plasma essendo α=0 (nella ipotesi di perdite di collisione
trascurabili).
Frequenza di plasma
-
73
Se si sostituisce l’espressione di ωp in funzione dei valori numerici
di e, m e 0 nella espressione della fp, si ottiene una formula moltosemplice per esprimere la frequenza di taglio del plasma:
Tale espressione permette di fare delle valutazioni sulla
trasmissione delle onde attraverso la ionosfera.
Poichè la densità elettronica della ionosfera è:
N=1010/m3 ( stati inferiori) ÷ 1012/m3 ( stati superiori)
N=104/cm3 ( stati inferiori) ÷ 106/cm3( stati superiori)
fp varia da 0.9 a 9MHz. Essa è una misura della densità di
ionizzazione dello strato riflettente. Più alta è la frequenza di taglio
e maggiore è la densità di ionizzazione, che è legata a N.
2
0
1 9 Hz
2 2
pp
N ef N
m
0
2
m
eNp
Frequenza di plasma
-
74
Quindi se fp =0.9 ÷ 9 MHz, per la comunicazione con un satellite o
una stazione spaziale oltre la ionosfera, si devono usare frequenze
superiori a 9 MHz.
Occorre lavorare con frequenze superiori a 9 MHz, per assicurare la
penetrazione delle onde anche nello strato con N (numero di
elettroni per unita di volume) più elevato e per qualunque angolo di
incidenza.
La situazione reale è più complessa
• Perché gli strati della ionosfera sono caratterizzati da densità
elettronica N variabile da punto a punto
• Per presenza del campo magnetico terrestre, che agiste
differentemente da punto a punto della spazio.
Frequenza di plasma
-
75
Riassumendo, le indicazioni di massima per la trasmissione dei
segnali nella ionosfera sono :
• I segnali con frequenze superiori a di 9 MHz penetrano la
ionosfera
• I segnali con frequenze tra 0,9 e 9 MHz penetreranno
parzialmente negli strati più bassi della ionosfera ma saranno
rinviati indietro dove la densità é più grande.
• I segnali con frequenze minori di 0.9 MHz non possono penetrare
nello strato più basso della ionosfera, ma saranno riflessi e
potranno propagarsi molto lontano intorno alla terra per via di
riflessioni multiple sul contorno della ionosfera e sulla superficie
della terra.
Frequenza di plasma
-
76
Nella realtà, per trasmettere un segnale attraverso la ionosfera si
utilizzano frequenze molto alte legate alle condizioni della ionosfera
nella regione della terra nella quale avviene la trasmissione, dal l’ora
del giorno e dalle radiazioni solari ultraviolette che dipendono dalle
sunspots.
Si comprende come lo studio del plasma nella ionosfera e la misura
accurata delle sunspots sia argomento di ricerca avanzata in campo
militare.
La frequenza di taglio fp
• può raggiungere 50 MHz a mezzogiorno e nell'immediato
pomeriggio e anche nei periodi di maggiore attività delle macchie
solari (sunspots),
• può diminuire a 10 MHz nelle prime ore del mattino e
• diminuire sino a a 2 MHz durante la notte.
Frequenza di plasma