CALCULO VECTORIAL Guia unidad2 cv-p44

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CALCULO VECTORIAL – NIVEL 3 GUIA 2

GUIA DE APRENDIZAJE GUIA DE APRENDIZAJE GUIA DE APRENDIZAJE GUIA DE APRENDIZAJE UNIDAD 2UNIDAD 2UNIDAD 2UNIDAD 2 : : : : FUNCIONES VECTORIFUNCIONES VECTORIFUNCIONES VECTORIFUNCIONES VECTORIALALALALESESESES

Objetivos especíObjetivos especíObjetivos especíObjetivos específicosficosficosficos

� Describir curvas en R3 � Conceptualizar funciones vectoriales y curvas. � Calcular ecuación de recta tangente , plano normal a una curva � Calcular la curvatura de una curva � Determinar la ecuación del círculo de curvatura. 1.1.1.1. PREREQUISITOS :PREREQUISITOS :PREREQUISITOS :PREREQUISITOS :

Los temas necesarios para esta unidad son: � Funciones de una variable. � Grafica de curvas paramétricas en 2D. � Superficies � Vectores en R 2 y en R 3 � Derivación e integración de funciones de una variable 2.2.2.2. MATERIAL DE APOYOMATERIAL DE APOYOMATERIAL DE APOYOMATERIAL DE APOYO � Libro de texto: STEWART, J.: “Cálculo de varias variables ”,(Sexta edición). Cengage Learning. 2008. � Tabla de integrales y fórmulas extraída del texto � Software matemático � Calculadora con CAS 3. 3. 3. 3. ACTIVIDADES ESPECÍFICASACTIVIDADES ESPECÍFICASACTIVIDADES ESPECÍFICASACTIVIDADES ESPECÍFICAS � Una lectura compresiva de las definiciones, enunciados, y ejemplos desarrollados en clase. � Elaboración grupal de las respuestas del cuestionario, justificación de cada etapa del desarrollo de ejercicios. Discusión grupal sobre procedimientos, resultados. � Análisis crítico de los ejercicios desarrollados. 4.4.4.4. METODOLOGÍAMETODOLOGÍAMETODOLOGÍAMETODOLOGÍA DE TRABAJODE TRABAJODE TRABAJODE TRABAJO � El docente durante la clase definirá los conceptos necesarios para el desarrollo de la guía. Para lo cual es imprescindible que el estudiante analice la teoría con anterioridad para facilitar el proceso enseñanza-aprendizaje. � En clase los estudiantes organizan equipos (dependiendo del número de estudiantes por curso) para desarrollar las actividades de la guía propuesta � El docente realiza el controlcontrolcontrolcontrol de desarrollo de guías y califica en clase según la rúbrica de evaluación y si no termina el grupo de desarrollar completamente la guía, entonces entregará la parte faltante al final de la clase o en la siguiente sesión.

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5.5.5.5. ACTIVIDADES PREVIAS( extraclase)ACTIVIDADES PREVIAS( extraclase)ACTIVIDADES PREVIAS( extraclase)ACTIVIDADES PREVIAS( extraclase) Esta tarea extra-clase será evaluada con el fin de medir el nivel de conocimientos de los temas necesarios como prerrequisitos de la unidad 2unidad 2unidad 2unidad 2. 5.1 5.1 5.1 5.1 Determinar varios puntos de la gráfica correspondiente a las ecuaciones paramétricas G = √J , K = J + 1 para trazar la curva, luego determinar la ecuación rectangular de la curva. 5.2 5.2 5.2 5.2 Para la siguiente curva, hallar ecuaciones paramétricas, de acuerdo al sentido de orientación que se recorre la curva (arco de parábola).

5.3 5.3 5.3 5.3 Utilizando ecuaciones paramétricas, dibujar una circunferencia de centro C (2,2) y radio 2. 5.4 5.4 5.4 5.4 Utilizando ecuaciones paramétricas, dibujar una semielipse con a = 4, b = 1, centro C(2,2) y el eje mayor horizontal. 5.55.55.55.5Encontrar la ecuación de la recta tangente y la normal en el punto P(1,3) y trazarlas en la misma gráfica de la curva.

5.6 5.6 5.6 5.6 Hallar un vector unitario con la dirección y sentido de la resultante de rrrr1 1 1 1 ++++rrrr2222 , con rrrr1111 = 2ˆı + 42ˆj − 5ˆk, rrrr2222 = ˆı + 2ˆj + 3ˆk 5.75.75.75.7 Hallar el ángulo formado por los vectores A = 2ˆı + 2ˆj − ˆk, B = 6ˆı − 3ˆj + 2ˆk. 5.8 5.8 5.8 5.8 El dominio de la función √2 − G es: a) (-∞,2] b) (-∞,-2] c) [2,+ ∞) d) [-2, ∞)

1 2 3 4 5

−3

−2

−1

x

y

−2 −1 1 2 3

−1

1

2

3

4

x

y

3


Demuestre su respuesta 5.9 5.9 5.9 5.9 Graficar el sólido limitado arriba por el cono Y = ZG[ + K[ y debajo de la esfera G[ + K[ + Y[ = 1 Proyecte hacia el plano “xy” y dibuje la región de intersección 5.105.105.105.10 Identificar las superficies :

6.6.6.6. REVISIÓN DE LOS CONCEPTOS DESARROLLADOS EN LA CLASEREVISIÓN DE LOS CONCEPTOS DESARROLLADOS EN LA CLASEREVISIÓN DE LOS CONCEPTOS DESARROLLADOS EN LA CLASEREVISIÓN DE LOS CONCEPTOS DESARROLLADOS EN LA CLASE 1.11.11.11.1 DEFINICIONES, RECTAS Y CURVAS EN EL ESPACIODEFINICIONES, RECTAS Y CURVAS EN EL ESPACIODEFINICIONES, RECTAS Y CURVAS EN EL ESPACIODEFINICIONES, RECTAS Y CURVAS EN EL ESPACIO Al responder las preguntas anteriores comenzamos a ver la importancia de las funciones con valores Vectoriales. En general, una función es una regla que asigna a cada elemento del dominio un elemento del rango. Una función vectorial es simplemente una función cuyo dominio es un conjunto de números reales y cuyo rango es un conjunto de vectores. El interés se centra más en funciones vectoriales r cuyos valores son vectores tridimensionales. Las funciones de valores reales llamadas funciones componentes de r(t)r(t)r(t)r(t) podemos escribir: ](J) = ⟨_(J), `(J), ℎ(J)⟩ = _(J)c + `(J)d + ℎ(J)e Siendo _(J), `(J), ℎ(J)las funciones componentes del vector rrrr. EEEEjemplo 1jemplo 1jemplo 1jemplo 1 Determine las funciones componentes de rrrr.

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](J) = ⟨(4J + 1), (J[ − 1), fJ + 1J − 2g⟩

_(J) = 4J + 1 `(J) = J[ − 1 ℎ(J) = J + 1J − 2 J − 2 ≠ 0 J ≠ 2 Por lo tanto el dominio será (−∞, i) j (i, +∞]

Hay una estrecha relación entre funciones vectoriales continuas y curvas en el espacio. Suponga que f, g, h son funciones continuas de valores reales en intervalo (a, b). Entonces el conjunto C de todos los puntos (x, y, z) en el espacio donde G = _(J) K = `(J) Y = ℎ(J)

Y t varia en todo el intervalo (a, b), se llama curva en el espacio. Las ecuaciones anteriores reciben el nombre de ecuaciones paramétricas de C y t se llama parámetro. EEEEjemplo jemplo jemplo jemplo 2 2 2 2 Describa la curva que define la función vectorial ](J) = ⟨1 + J, 2 + 5J, −1 + 6J⟩ Las ecuaciones paramétricas correspondientes son:

G = 1 + J K = 2 + 5J Y = −1 + 6J Son ecuaciones paramétricas de una recta que pasa por el punto (1, 2, -1) y es paralela al vector ⟨1, 5, 6⟩

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−1

1

x

y

x

y

(x,y,z) = (1,-1,-1/2)

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EEEEjemplo jemplo jemplo jemplo 3 3 3 3 Trace la curva cuya ecuación vectorial es

](J) = ⟨klmJ, mnoJ, J⟩ Las ecuaciones paramétricas para esta curva son: G = klmJ K = mnoJ Y = J

Puesto que G[ + K[ = klm[J + mno[J = 1, la curva debe estar en el cilindro circular G[ + K[ = 1. Toda curva en el espacio está contenida en una superficie o puede ser la intersección de dos superficies. 1.21.21.21.2 LÍMITES, DERIVADAS E INTEGRALES LÍMITES, DERIVADAS E INTEGRALES LÍMITES, DERIVADAS E INTEGRALES LÍMITES, DERIVADAS E INTEGRALES 1.2.1 1.2.1 1.2.1 1.2.1 Límite de funciones vectorialesLímite de funciones vectorialesLímite de funciones vectorialesLímite de funciones vectoriales El límite de un vector rrrr se define obteniendo los límites de sus funciones componentes como se señala a continuación. Si ](J) = ⟨_(J), `(J), ℎ(J)⟩, entonces

x

y

(x,y,z) = (1,2,-1)

(x,y,z) = (2,7,5)

xy

z

(x,y,z) = (1,0,0)

(x,y,z) = (1,0,2*pi)

(x,y,z) = (-1,0,3*pi)

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limp→r ](J) = ⟨limp→r _(J), limp→r `(J), limp→r ℎ(J)⟩ Siempre que existan los límites de las funciones componentes. Ejemplo 4Ejemplo 4Ejemplo 4Ejemplo 4 Determine limp→s ](J), donde ](J) = (1 + Jt)c + Jnuvd + wxyppz[ e Según la definición, el límite de rrrr es el vector cuyas componentes son los límites de las funciones componentes de rrrr:

limp→s ](J) = {limp→s(1 + Jt)| c + {limp→s(Jnuv)| d + }limp→s f klmJJ + 2g~ e Por sustitución directa: lim p→s ](J) = c + 12 e = f1,0, 12g 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 CCCContinuidad de funciones vectorialesontinuidad de funciones vectorialesontinuidad de funciones vectorialesontinuidad de funciones vectoriales Una función vectorial r es continua en “a” si:

limp→r ](J) = ](�) Usando otra notación: limp→p� �(J) = �(Js) EEEEjemplo 5jemplo 5jemplo 5jemplo 5

1.2.31.2.31.2.31.2.3 DDDDerivadas de funciones vectorialeserivadas de funciones vectorialeserivadas de funciones vectorialeserivadas de funciones vectoriales La derivada de una función vectorial rrrr está definida de la misma manera que para las funciones de valores reales si este límite existe. ��J = ��(J) = lim�→s

�(J + ℎ) − �(J)ℎ La recta tangente a C en P se define como la recta que pasa por P y que es paralela al vector tangente ��(J). El vector tangente unitario será:

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�(J) = ��(J)|��(J)| El vector normal unitario será: �(J) = ��(J)|��(J)| TTTTeoremaeoremaeoremaeorema Si ](J) = ⟨_(J), `(J), ℎ(J)⟩ = _(J)c + `(J)d + ℎ(J)e, , , , donde f, g, h son funciones derivables, entonces: ]�(J) = ⟨_�(J), `�(J), ℎ�(J)⟩ = _�(J)c+`�(J)d + ℎ�(J)e EEEEjemplo 6jemplo 6jemplo 6jemplo 6 (a) Calcule la derivada de ](J) = (1 + Jt)c + Jnupd + mno2Je (b) Determine el vector tangente unitario donde t=0 (c) Halle la función vectorial de la recta tangente en el punto (1,0,0)

(a) Según el teorema, se deriva cada componente de rrrr ]�(J) = 3J[c + (1 − J)nupd + 2klm2Je (b) Como rrrr(0)=iiii y r’r’r’r’(0)=jjjj+2kkkk, el vector unitario tangente en el punto (1, 0, 0) es �(0) = ]�(0)|]�(0)| = d + 2e√1 + 4 = 1√5 d + 1√5 e

(c) La dirección de la recta tangente es ⟨0, 1, 2⟩

x

y

(x,y,z) = (1,0,0)

x = 1; y = t; z = 2*t

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Aplicando ecuaciones paramétricas de una recta x = 1 + 0 t y= 0 + t z= 0 + 2t Por lo tanto la función vectorial es ](J) = c + Jd + 2Je J ≥ 0 1.2.41.2.41.2.41.2.4 IIIIntegrales de funciones vectorialesntegrales de funciones vectorialesntegrales de funciones vectorialesntegrales de funciones vectoriales La integral definida de una función vectorial continua r (r (r (r (t)t)t)t) se puede definir casi de la misma manera que para las funciones de valores reales, excepto que la integral es un vector. Pero entonces puede expresar la integral de r en términos de las integrales i de sus funciones componentes _, `, ℎcomo sigue.

� �(J)�J�r = �� _(J)�J�

r � � + �� `(J)�J�r � � + �� ℎ(J)�J�

r � � Esto quiere decir que se puede evaluar una integral de una función vectorial integrando cada función componente. Es posible generalizar el teorema fundamental del cálculo para funciones vectoriales continuas como se señala a continuación:

� �(J)�J�r = �(J)]�� = �(�) − �(�)

Donde RRRR es una anti derivada de r,r,r,r, es decir, R’ (t) = r (t).R’ (t) = r (t).R’ (t) = r (t).R’ (t) = r (t). EEEEjemplo jemplo jemplo jemplo 7777 Si ](J) = 2klm J c + mno J d + 2J e � ≤ � ≤ �/i

� ](J)�J�/[s = �� 2klmJ �J�/[

s � c + �� mno �J�/[s � d + �� 2J �J�/[

s � e � ](J)�J�/[

s = 2mnoJ]�/20 c − klmJ]�/20 d + J[]�/20 e � ](J)�J�/[

s = 2c − 0d + �[4 e

1.31.31.31.3 APLICACIONES GEOMAPLICACIONES GEOMAPLICACIONES GEOMAPLICACIONES GEOMÉTRICASÉTRICASÉTRICASÉTRICAS 1.3.11.3.11.3.11.3.1 LLLLongitud de arcoongitud de arcoongitud de arcoongitud de arco Suponga que la curva tiene la ecuación vectorial ](J) = ⟨_(J), `(J), ℎ(J)⟩, � ≤ � ≤ � o bien, de manera equivalente, as ecuaciones paramétricas G = _(J) K = `(J) Y = ℎ(J) Donde f’, g’ y h’ son continuas. Si la curva se recorre exactamente una vez cuando t se incrementa desde a hasta b, entonces se puede demostrar que su longitud es:

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� = � Z[_′(J)][ + [`′(J)][ + [ℎ′(J)][�J = � �f�G�Jg[ + f�K�J g[ + f�Y�Jg[ �J�r

�r

Las cuales se pueden expresar de una manera más compacta.

]�(J) = ⟨_�(J), `�(J), ℎ�(J)⟩ = _�(J)c+`�(J)d + ℎ�(J)e Donde |]�(J)| = |_�(J)c+`�(J)d + ℎ�(J)e| = Z[_′(J)][ + [`′(J)][ + [ℎ′(J)][ EEEEjemplo 8jemplo 8jemplo 8jemplo 8 Calcule la longitud del arco de la hélice circular de la ecuación vectorial ](J) = klmJ c + mnoJ d + J e desde el punto (1, 0, 0) hasta (1, 0, 2�). Puesto que ]�(J) = −mnoJ c + klmJ d + e, entonces |]�(J)| = Z(−mnoJ)[ + (klmJ)[+(1)[ |]�(J)| = Z(mno[J + klm[J) + 1 |]�(J)| = √1 + 1 |]�(J)| = √2 Por tanto � = |]′(J)| �J = √2[�s �J = 2√2[�s � 1.3.2 1.3.2 1.3.2 1.3.2 CCCCurvaturaurvaturaurvaturaurvatura Si C es una curva suave definida por la función vectorial rrrr, recuerde que el vector unitario tangente TTTT(t) está definido por:

�(J) = ]�(J)|]�(J)| La curvatura de C en un punto dado es una medida de que tan rápido cambia la curva de dirección en ese punto. Específicamente se define como la magnitud de la tasa de cambio del vector unitario tangente con respecto a la longitud del arco. La curvatura de una curva es: Donde TTTT es un vector unitario tangente.

� = � |]′(J)| �J�r

¡ = ¢��m¢

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La cual se puede traducir como: ¡(J) = £¤¥(p)×¤¥¥(p)£|¤�(p)|§ κ(G) = £¨¥¥(©)£[vz(¨�(©))ª]§ª

Ejemplo 9Ejemplo 9Ejemplo 9Ejemplo 9 Calcule la curvatura de la parábola y = x − 0.25 G[ en el punto x = 2 y dibujar el círculo de curvatura Obtenemos sus derivadas : y = G − 0.25G[ K� = 1 − 0.5G y�� = -0.5 κ(2) = |us.¬|

[vz(vus.¬©)ª]§ª κ(2) = s.¬v = v[ radio de curvatura = v® = vs.¬ = 2 Centro (2, −1) Ecuación del círculo de curvatura (¯ − i)i + (° + ±)i = ². . . .

¡(J) = |�′(J)||]′(J)|

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7777. . . . EJERCICIOS EJERCICIOS EJERCICIOS EJERCICIOS y PROBLEMAS y PROBLEMAS y PROBLEMAS y PROBLEMAS PROPUESTOSPROPUESTOSPROPUESTOSPROPUESTOS 7.17.17.17.1 Conceptos Conceptos Conceptos Conceptos a) ¿Qué significado tiene la siguiente expresión: “Sea r una función cuyos valores son vectores

tridimensionales”? b) Los límites de las funciones vectoriales obedecen las mismas reglas que los de funciones con valores

reales? c) ¿Se puede extender a las funciones vectoriales, el concepto de función continua en un punto, estudiado en

Cálculo de una variable para el caso de funciones reales? d) ¿Qué relación existe entre las funciones vectoriales continuas y las curvas en el espacio? e) ¿Cuándo se dice que una curva C es suave por partes? f) La longitud de arco dada es independiente de la parametrización, bajo condiciones bastante generales? g) ¿Qué información geométrica brinda la curvatura de una curva C? ¿Cómo se define? ¿Cómo se facilita su

cálculo? 7.2 7.2 7.2 7.2 LIBRO LIBRO LIBRO LIBRO –––– STEWARTSTEWARTSTEWARTSTEWART séptimaséptimaséptimaséptima ediciediciediciedición ón ón ón EJERCICIOSEJERCICIOSEJERCICIOSEJERCICIOS

Seccion 13.1 1,4,11,18,26,28,44 Seccion 13.2 8,27,30,34,41 Seccion 13.3 10,12,26,30,34,41,51 7.37.37.37.3 PPPPrrrroblemas de aplicacioblemas de aplicacioblemas de aplicacioblemas de aplicaciónónónón 1)1)1)1) Cuanto menor sea la curvatura de una carretera más deprisa podrán recorrerla los automóviles. Supongamos que la máxima velocidad en una curva es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la curvatura. Un automóvil que viaja por la trayectoria K = v¶ G[ (donde X y Y están medidos en millas) puede ir sin riesgo a 20 millas/hora en el punto (1,1/4) ¿a que velocidad podrá circular por el punto (3,9/4)? . Verificar con gráfica (software matemático) 2)2)2)2) En el instante “t” un astronauta tiene como vector posición la función: ( ) = ( 3 ) + ( ) + c o s ( 2 )r t s e n t i t g t j t krr rr En t = π/4 apaga su cohete y continua a lo largo de la recta tangente a la trayectoria. ¿Dónde el astronauta encontrará al plano G + K + 3Y = 10 ? . Verificar con gráfica (software matemático) 3)3)3)3) Un objeto parte del reposo desde el punto (0, 2) y se mueve con una aceleración �¹ = −º¹ + 3»¹ , donde ésta se mide en pies/seg2. Hallar la posición del objeto después de dos segundos. Obtener la gráfica del movimiento.

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8.8.8.8. OBSERVACIONES ESPECOBSERVACIONES ESPECOBSERVACIONES ESPECOBSERVACIONES ESPECIALESIALESIALESIALES � Revise los conceptos vistos en clase y el material subido al AVAC. � Desarrollar todas las actividades, los ejercicios propuestos en esta guía y los recomendados por el docente. � Los talleres en clase pueden desarrollarse con grupos de 2 o 3 estudiantes � Utilice software matemático para ayuda con las gráficas de los ejercicios. � Ante cualquier duda, pregunte a su profesor y asista a las tutorías

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