Cálculo varias variables campos escalares
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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD PEDAGOGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR
INSTITUTO PEDAGOGICO “RAFAEL ALBERTO ESCOBAR LARA”MARACAY-EDO. ARAGUA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Cálculo de Varias Variables.Unidad II: Funciones de Varias
Variables
Prof. Yerikson Suárez HuzP.A: 2012-1
Maracay, Mayo de 2012
Definición función real de varias variables reales (campo escalar)Una función f:D⊆Rn →R es una función real de varias variables reales(campo escalar) si asigna a cada n-úpla (x1,x2,….,xn) de Rn un úniconúmero real w denotado por f (x1,x2,….,xn)
Ejemplos. Consideremos los siguientes campos escalares:
1) f:D⊆R2 →R tal que f(x,y) = 2x + y2 = z
2) g:D⊆R3→R tal que g(x,y,z) = Cos (xyz) + 5xy3z2 = w
3) h:D⊆R4→R tal que h(x1,x2,x3,x4) = Ln(x12 + x2
2 + x32 + x4
2) = t
Nombre de la Función
VariablesIndependientes
Variable Dependiente
1 f x, y z2 g x, y, z w3 h x1, x2 ,x3 , x4 t
Para calcular la imagen de una n-úpla real a través de un campo escalar,procedemos de manera similar al caso de funciones reales de variable real.
Ejemplos:
1) Sea f:R4→R tal que f(x,y,z,w) = (x2 + y2 + z2 + w2)1/2 . Entonces f (0,3,0,4)= 5f (0,-1,-1,0)=√2
2) Sea g:R3→R tal que g(x,y,z) = xyLn(z) . Entonces g (1,-2,3)= -2Ln(3)g(1,3,-5)= No existe
3) Sea h:R2→R tal que h(x,y) =2xy2 + 3x2y. Entonces h(2,1)= 16 h(-1,3)=-9
Observación: Al conjunto formado por todas las imágenes del Campo Escalar f se le denomina Rango o Conjunto Imagen de f y se denota por Rng f. (Obviamente el rango de un campo escalar es un Intervalo real o unión de ellos)
Definiremos Dominio de un campo escalar f:D⊆Rn →R alconjunto D formado por todas las n-úplas reales de Rn para lascuales f está bien definida, esto es, f (x1,x2,….,xn) existe, es unnúmero real.
Veamos algunos ejemplos: Hallar el dominio (y representar gráficamente) de los siguientes campos escalares
9),( 22 −+= yxyxfPara que f(x,y) exista, es decir, sea un número real, es necesario que 0922 ≥−+ yx
{ }9/),( 222 ≥+∈= yxRyxDEntonces
Pero el conjunto D está formado por todos los puntos delplano que se encuentran fuera y sobre la circunferencia concentro en el origen y radio 3
{ }9/),( 222 ≥+∈= yxRyxD
xyyxg 1),( = Para que g(x,y) exista, es decir, sea un
número real, es necesario que 0. ≠yx
{ }0./),( 2 ≠∈= yxRyxD
Ahora, el conjunto D en este caso está formado por todos los puntos del plano real excepto los que se encuentran sobre los ejes coordenados (el eje X de la abscisas y el Eje Y de las Ordenadas)
{ }00/),( 2 ≠∧≠∈= yxRyxD
Entonces
O lo que es equivalente a
{ }00/),( 2 ≠∧≠∈= yxRyxD
22
2
)1(),(
−+−
=yx
xyyxh Para que h(x,y) exista, es decir, sea un
número real, es necesario que se cumplanlas siguientes condiciones
≠−+∧≥−= 0)1(0 222 yxxyD
Ahora, el conjunto D en este caso está formado por todos lospuntos del plano sobre (y dentro de) la parábola que abrehacia arriba con vértice en el origen de coordenadas conexcepción del punto (0,1)
Esto es
≠−+∧≥= 0)1( 222 yxxyD
≠−+∧≥= 0)1( 222 yxxyD
Función Dominio Rango
Todo el espacio R3 [0,+∞)
R3 - {(0,0,0)} (0,+∞)
(-∞,+∞)
R2 [-1,1]
[0,+∞)
En el caso donde el dominio de un campo escalar es unsubconjunto de Rn (n≥3), la representación gráfica del dominiose hace más compleja (n=3) o imposible (n>3). Sin embargo esposible describir tanto el dominio como el rango de maneraanalítica
222),,( zyxzyxf ++=
222
1),,(zyx
zyxg++
=
)ln(),,( zxyzyxh = { }0),,( 3zRzyx ∋∈
)(),( xySenyxw =
2),( xyyxm −=2xy ≥
Función Dominio Rango
Todo el espacio R3 [0,+∞)
R3 - {(0,0,0)} (0,+∞)
(-∞,+∞)
R2 [-1,1]
[0,+∞)
222),,( zyxzyxf ++=
222
1),,(zyx
zyxg++
=
)ln(),,( zxyzyxh = { }0),,( 3zRzyx ∋∈
)(),( xySenyxw =
2),( xyyxm −=2xy ≥
Función Dominio Rango
Todo el espacio R3 [0,+∞)
R3 - {(0,0,0)} (0,+∞)
(-∞,+∞)
R2 [-1,1]
[0,+∞)
222),,( zyxzyxf ++=
222
1),,(zyx
zyxg++
=
)ln(),,( zxyzyxh = { }0),,( 3zRzyx ∋∈
)(),( xySenyxw =
2),( xyyxm −=2xy ≥
Álgebra de los Campo Escalares
Considere los campos escalares f:D1⊆Rn →R y g:D2⊆Rn →R.Entonces para todo w en el dominio de D1∩D2
Entonces:
Rkwkfwkf
wgwgwfw
gf
wgwfwgfwgwfwgf
∈=
≠=
=±=±
),())((
0)(,)()()(
)().())(.()()())((
Por ejemplo. Si 222 ),(,( yxyxgyxxf +=∧
Entonces:
Rcyxcwcg
Rkyxkwkf
yxyx
yxwgf
yxyxwgf
yxyxwgf
∈+=
∈=
≠+
=
+=
+±=±
,))((
),())((
)0,0(),(,)(
).())(.(
))((
22
2
22
2
222
222
Representaciones gráficas de campos escalares.
(SUPERFICIES Y CURVAS DE NIVEL)
22 yxz +=
PARABOLOIDE
CURVAS DE NIVELPor la complejidad a la hora de dibujar una superficie en elespacio, una buena aproximación a la “forma” de las mismasviene dada por las curvas de nivel; las cuales representan lascurvas que se obtienen al cortar la superficie por planos paralelosal eje Z.
Así las curvas de nivel vienen dadas por la ecuación f(x,y)=k (k: constante real)
Curvas de nivel Asociadas a la superficie 22 yxz +=Rkyxk ∈+= ,22
Nótese que las curvas de nivel se corresponden con circunferencias concentricas (con centro en el origen) y radio √k
Veamos otro Ejemplo: consideremos el campo escalar 22440),( yxyxf −−=
Superficie dada por 22440 yxz −−=
Veamos a continuación algunas curvas de nivel
Z = 33 Z = k; k real
A qué tipo decurvas secorresponden lascurvas de nivel detal superficie.Describiranalíticamente
Consideremos el campo escalar
Cuya gráfica viene dada por la superficie
Veamos la intersección de la superficie con el plano z=3
CURVAS DE NIVEL DE LA SUPERFICIE
LÍMITES DE FUNCIONESDE VARIAS
VARIABLES REALES
El límite del campo escalar f(x,y) esigual al número real L, si y sólo si amedida que (x,y) se acerca el punto(x0,y0) entonces f(x,y) tiende a L.
Lo cual se escribe LyxfLimyxyx
=→
),(),(),( 00
Veamos algunos ejemplos: Determinar el límite de los siguientescampos escalares
22
2
)1,1(),()(
yxyxLima
yx +→ xyxyLimb
yx +
−
→ 1)(cos)(
1
)1,2/1(),(
22
44
)0,0(),()(
xyxyLimc
yx +−
→ yxxyyxyxLimd
yx +++++
→
22
)0,0(),(
2)(
A continuación veremos como es posiblecomprobar que el límite de un ciertocampo escalar f en un cierto punto (x0,y0)no existePara esto utilizaremos el principio delas múltiples trayectorias.
Para poder aproximarnos aun número real x tenemossólo dos alternativas: Por laizquierda o por la derecha.
Sin embargo paraaproximarnos al punto (a,b)tenemos infinidad dealternativas paraproximarnos al mismo
IMPORTANTE: Si el límite de un campoescalar existe y es igual a L; entonceseste límite es siempre el mismoindependientemente de las trayectoriasseleccionadas para su estudio.
En consecuencia, si a través de trayectoriasdistintas se obtienen límites distintos, el límitede f(x,y) cuando (x,y) tiende a (x0,y0) no existe
Veamos a continuación el siguiente ejemplo:
Demuestre que no existe. Para esto utilice las siguientes
trayectorias: (a) y=0 (b) x=0 (c) y=x (d) y =mx
yxyxLim
yx +−
→ )0,0(),(
y=0 x=0y=x
Otra alternativa es la de los límites iterados:
∧
→→→→),(),(
0000
yxfLimLimyxfLimLimxxyyyyxx
Si tales límites existen pero son diferentesentonces el límite de f(x,y) cuando (x,y) tiende a(x0,y0) no existe
Por ejemplo, Veamos a través de los límites iterados que no existe
22
22
)0,0(),( yxyxLim
yx +−
→
Observación importante: el hecho deque los límites iterados existan y seaniguales no significa que el límite delcampo escalar exista. Basta con ver elsiguiente ejemplo
Veamos que no existe.
Para esto calculemos los límites iterados yutilicemos la trayectoria y=mx
22)0,0(),( yxxyLim
yx +→
Es importante resaltar que las propiedades del álgebra de límites en funciones reales de una variable real también son válidas en el contexto de los campos escalares.
EjerciciosDemuestre que los siguientes límites no existen
22
2
)1,1(),()(
yxyxLima
yx +→ yxxyyxLimb
yx +−−
→ )0,0(),()(
24
2
)1,1(),(
2)(yxyxLimc
yx +→
Sugerencia. Utilice las trayectorias de la forma y=kx2