CÁLCULO PROPOSICIONAL - Tororó de Ideias · Web view2.1. Conectivos . O Cálculo das...
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CLCULO PROPOSICIONAL
CLCULO PROPOSICIONAL
1. Proposies
Uma proposio uma sentena declarativa que pode ser verdade ou falsa, mas no ambas. As proposies podem ser divididas em proposies simples e compostas.
1.1. Proposies simples
a) Pedro aluno do Curso de Informtica.
b) A terra gira em torno do sol.
c) O leite branco.
d) 7 quadrado perfeito.
1.2. Proposies compostas
e) Cabral descobriu o Brasil e Colombo a Amrica.
f) Bruno cursa Informtica e Mariel Estatstica.
g) O tringulo ABC isscele ou retngulo.
h) Se Pedro estudioso, ento ser aprovado.
i) ABC tringulo eqiltero se, e somente se, eqingulo.
1.3. Princpio da no contradio
Uma proposio no pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
So verdadeiras (a), (b) e (c) e falsa (d).
1.4. Princpio do terceiro excludo.
Toda proposio ou verdadeira ou falsa. Sempre ocorre esses casos e nunca um terceiro.
2. Operaes lgicas
O clculo das proposies consiste nas operaes fundamentais que partem de proposies simples para se chegar s proposies compostas. As operaes que podem ser efetuadas so: A negao, a conjuno, a disjuno, a condicional e a bicondicional.
2.1. Conectivos
O Clculo das proposies destaca cinco operadores lgicos, a saber:
...no...(denota-se
)
... e... (denota-se
)
...ou...(denota-se
)
...se,... ento... (denota-se
)
...se, e somente se ... (denota-se
)
O primeiro operador
dito unrio, pelo fato de operar sobre um s operando; os demais so operadores binrios, j que operam sobre dois operandos.
2.2. Negao
a mais simples operao-verdade. Se a proposio A verdadeira, ento
A falsa, se A falsa, ento
A verdadeira.
A: 2/3 um nmero racional. (verdade)
A: 2/3 no um nmero racional. (falso) ou
A: 2/3 um nmero irracional. (falso)
Tabela verdade para a negao
A
A
A
A
V
F
1
0
F
V
0
1
2.3. Conjuno (
)
Essa operao-verdade corresponde ao termo e e seu smbolo
. Por meio da conjuno possvel, dadas duas proposies simples A e B obter-se outra composta A
B que ser verdadeira somente quando A e B forem verdadeiras.
A: Recife a capital de Pernambuco.
B: Manaus a capital do Amazonas.
A
B: Recife a capital de Pernambuco e Manaus a capital do Amazonas.
A
B
A
B
A
B
A
B
V
V
V
1
1
1
V
F
F
1
0
0
F
V
F
0
1
0
F
F
F
0
0
0
Exemplo 01.
Jos de Alencar escreveu o Guarani e Machado de Assis Capitu. ( V
V = V)
5+2=7 e 3> 5. ( V
F = F )
p
> 4 e 7 nmero primo. ( F
V = F )
p
> 4 e 8 nmero mpar. ( F
F = F )
2.4. Disjuno (
)
Essa operao-verdade corresponde ao termo ou e seu smbolo
. Por meio da disjuno possvel, dadas duas proposies simples A e B obter-se outra composta A
B que ser falsa somente quando A e B forem falsas.
A: Recife a capital de Pernambuco.
B: Manaus a capital do Amazonas.
A
B: Recife a capital de Pernambuco ou Manaus a capital do Amazonas.
A
B
A
B
A
B
A
B
V
V
V
1
1
1
V
F
V
1
0
1
F
V
V
0
1
1
F
F
F
0
0
0
Exemplo 02.
2+2=4 ou 5>3 ( V
V = V)
p
>
4 ou 7 nmero primo. ( F
V =V)
p
>
4 ou 8 nmero primo. ( F
F =F )
2.5. Condicional (
)
Se chover, ento irei ao cinema.
Se estudar, ento serei aprovado.
Seja A: estudar
B: serei aprovado
A partir de duas proposies A e B, construmos uma nova proposio
A
B (se A, ento B) ou A implica B.
A tabela verdade dada por:
A
B
A
B
A
B
A
B
V
V
V
1
1
1
V
F
F
1
0
0
F
V
V
0
1
1
F
F
V
0
0
1
Observao 01:
Da teoria dos conjuntos sabemos que
ABB
ou
ABA
, assim, se
xAB
, ento
,
xB
isto , sempre verdade que se
x
est em
AB
, ento
x
est em
.
B
Logo, na tabela
ABB
sempre verdadeira.
A
B
A
B
A
B
B
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
F
Observando as trs ltimas colunas podemos escrever:
V
V = V
F
F = V
F
V = V
Observao 02:
Uma proposio A
B sempre Verdadeira (V) desde que A seja Falsa (F), independente do valor de B.
Observao 03:
Uma proposio A
B Verdadeira sempre que B verdadeira.
Exemplo 03.
1) Se 2 + 2 =5, ento 1
1 (verdade)
2) Se 2 + 2 =5, ento 1 = 1 (verdade)
3) Se o Papa joga no Corinthians, ento o Palmeiras ser campeo.
3) Se o Papa joga no Corinthians, ento todos os alunos de Matemtica Discreta sero aprovados.
Observao 04:
As proposies no Exemplo 03 so trivialmente verdadeiras pois, A : 2 + 2 =5 ou A: O Papa joga no Corinthians,so falsas.
2.5. Bicondicional (
)
Encontramos com freqncia a forma:
A se, e somente se, B que definida por (A
B)
( B
A)
A
B
A
B
B
A
(A
B)
( B
A)
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
Segue, portanto, a tabela verdade para a bicondicional.
A
B
A
B
A
B
A
B
V
V
V
1
1
1
V
F
F
1
0
0
F
V
F
0
1
0
F
F
V
0
0
1
Exerccios de aplicao 01:
Escreva em linguagem corrente.
1) A: Est frio.
B: Est chovendo.
a)
A:
b) A
B:
c) A
B:
d) A
B;
e) A
B:
f)
A
EMBED Equation.DSMT4
B:
g) A
EMBED Equation.DSMT4
B:
2) Analogamente: A: Pedro aluno de ADS
B: ADS Curso da Fatec SP
3) Escreva em linguagem simblica as sentenas.
p: Carolina alta.
q: Carolina elegante.
a) Carolina alta e elegante.
b) Carolina alta mas no elegante.
c) falso, que Carolina baixa ou elegante.
d) Carolina no nem baixa nem elegante.
e) Carolina alta, ou ela baixa e elegante.
4) Dar o valor lgico das proposies.
a) Porto Alegre a capital do Estado do Paran ou 10 par. ( )
b) Se 3 >
p
, ento
2
racional. ( )
c) Se 3 >
p
, ento o Corinthians ser campeo Paulista de 2009. ( )
d) Se
11
-=-
, ento
495
+=
. ( )
e) 2+3=5 se, e somente se
366.
=
( )
f)
3
26
=
se, e somente se 2+2+2=6. ( )
2.7. Formas sentenciais
Quando estudamos as expresses numricas , observamos expresses com as operaes de adio, subtrao, multiplicao e diviso organizadas com parnteses, colchetes e chaves. Da mesma forma ocorrem as formas sentenciais usando
,,,e
.
2.8. Tabelas-verdade
Para cada forma sentencial podemos montar uma tabela-verdade.
Exemplo 04.
Construir a tabela verdade relativa forma sentencial
[()()]()
ABACBC
EMBED Equation.DSMT4
A
B
C
AB
A
AC
C
BC
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
V
V
F
V
F
F
V
V
F
F
V
F
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
V
V
V
F
V
F
Exemplo 05.
Construir a tabela verdade relativa forma sentencial
[()(]()
ABBCAC
A
B
C
AB
BC
AC
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
Exemplo 06.
Tabela-verdade simplificada.
()()
ABAB
V V V V F V V
V F F V F F F
F V V V V V V
F V F V V V F
Exerccios de aplicao 01:
Construir a tabela verdade relativa forma sentencial (Simplificada ou no).
1)
()()
pqpq
2)
[()]()
ABCAC
3)
[()()]()
ABCDDA
4)
[()()][()()]
ACBCBAAC
5)
[()()][()()]
ABCAABCA
6)
[()()][()()]
ABCAABCB
2.9. Tautologia Contradio
Uma forma sentencial diz-se tautologia, se assumir valor V para quaisquer que sejam os valores atribudos s variveis e se assumir o valor F diremos que uma contradio.
Exemplo 07. A forma sentencial que segue uma tautologia.
()()
ABAB
V V V V F V V
V F F V F F F
F V V V V V V
F V F V V V F
Exemplo 08. A forma sentencial que segue uma contradio.
()()
ABAB
V V V F F F F
V V F F F F V
F V V F V F F
F F F F V V V
Exemplo 09.
Se a forma sentencial
(())()
ABCBC
falsa, quais valores possveis de verdade, que podem assumir A, B e C?
(())()
ABCBC
____________________0___________ 1 concluso
____1______________________ 0_______2 concluso
__________1____0_________1_____0___ 3 concluso
_________0_________________________ 4 concluso
_0__________0_____________________ 5 concluso
Assim, A=0, B=1 e C=0
Exerccios de aplicao 02:
As formas sentencias que seguem so falsas, quais valores possveis de verdade, que podem assumir A, B, C e D?
1)
[
]
[()]()
ABDABC
2)
()[()]
ABBCC
3)
[
]
(())(()()
ABCDBECD
4)
(
)
(
)
ABBC
5) Se a forma sentencial
[
]
[
]
()()
ABCBCA
falsa, e a sentena
CB
verdadeira. Quais os valores possveis de verdade, que podem assumir A, B e C?
Respostas dos exerccios de aplicao 02:
1) A=B=1 e C=D=0 2) A=B=1 e C=0 3)A=B=C=D=E=1
4) A=B=0e C=1 5) A=C=0 e B=1
2.10. Implicaes e equivalncias lgicas (~)
Dizemos que uma forma sentencial X implica logicamente uma forma sentencial Y, se a forma sentencial X
Y for uma tautologia.
Exemplo 10.
Seja X:
AB
e Y:
AB
, mostremos que X ~ Y isto
()
AB
EMBED Equation.DSMT4
()
AB
A
B
A
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
B
A
B
V
V
V
V
F
V
V
V
F
F
V
F
F
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
F
2.11. Equivalncias lgicas Fundamentais
1
E
: Lei da dupla negao:
~
AA
A
A
A
V
F
V
F
V
F
Exemplo 11. No entendi nada desta explicao ~ entendi tudo.
A
: Entendi essa explicao.
A
: No entendi essa explicao.
A
: No entendi nada essa explicao ~
A
: entendi tudo.
2
E
: Lei da idempotncia:
(
)
(
)
~~
AAAeAAA
A
AA
A
V
V
V
V
F
F
V
F
A
AA
A
V
V
V
V
F
F
V
F
3
E
: Lei da Comutatividade:
a)
(
)
~
ABBA
A
B
B
A
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
F
F
V
V
V
F
F
F
F
F
V
F
F
F
b)
(
)
~
ABBA
A
B
B
A
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
F
F
V
V
V
F
F
F
F
F
V
F
F
F
4
E
: Leis da associatividade:
a)
[
]
[
]
()~()
ABCABC
b)
[
]
[
]
()~()
ABCABC
5
E
: Leis de De Morgan
a)
()~()
ABAB
b)
()~()
ABAB
Demonstrao: Usaremos 1 para V e 0 para F
a)
()~()
ABAB
A
B
A
B
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
b)
()~()
ABAB
A
B
A
B
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
Mostre as propriedades que seguem usando as tabelas- verdade.
6
E
: Leis distributivas ou de fatorao
a)
()~()()
ABCABAC
b)
()~()()
ABCABAC
7
E
: Leis de absoro
1)
()~
AABA
2)
()~
AABA
3)
[
]
()~()
ABBAB
4)
[
]
()~()
ABBAB
5) Se T tautologia e F uma contradio, ento
a)
()~
TAA
b)
()~
TAT
c)
()~
FAF
d)
()~
FAA
Mostremos a)
()~
TAA
T
A
A
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
Mostre as propriedades b) c) d) usando as tabelas- verdade.
8
E
: Contrapositivo.
()~()
ABBA
A
B
B
A
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
9
E
: Eliminao da condicional
a)
()~()
ABAB
A
B
A
B
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
b)
()~()
ABAB
A
B
AB
B
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
10
E
: Eliminao da Bicondicional
a)
[
]
()~()()
ABABAB
A
B
AB
AB
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
b)
[
]
()~()()
ABABBA
A
B
AB
BA
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
Exerccios de aplicao 03:
Nota: Nos exerccios que seguem use as leis apresentadas, indicando qual esta sendo usada.
1)A forma sentencial
[
]
()()
ABABB
logicamente equivalente a
A)
AB
b)
AB
c)
AB
d)
AB
2)A forma sentencial
[()]()
BCACB
logicamente equivalente a
a)
()
CAB
b)
()
CAB
c)
()
CAB
3)A forma sentencial
[
]
()[()]
AABABB
logicamente equivalente a
a)
()
AB
b)
AB
c)
AB
d)
()
BA
4) A forma sentencial
[
]
()[()]
ABCABC
logicamente equivalente a
a)
()
CAB
b)
()
CAB
c)
()
ABC
5) A forma sentencial
[
]
()()[()()()()]
ABBAABBACACC
logicamente equivalente a
a)
()
AB
b)
()
CAB
c)
()
ABC
Respostas dos exerccios de aplicao 03:
1)c 2) a 3) d 4) c 5)a
Observao:
Nos exerccios que seguem importante conhecer a leitura das proposies e sua simbologia. Assim
AB
: l-se: Se
A
, ento
B
A
somente se
B
A
condio suficiente para
B
.
B
condio necessria para
A
.
AB
:
A
condio necessria suficiente para
B
.
Exemplo 12.
Indique em quais casos temos c.s, c.n e c.n.s.
a) A: n divisvel por 6 B: n nmero par (c.s)
b) A: x < 0 e y < 0 B: x .y > 0 (c.s)
c) A: x mpar B:
2
x
impar (c.n.s)
d) A: x = 2 B:
2
x
=4 (c.s)
e) A:
2
x
=4 B: x = 2 (c.n)
Exemplo 13.
Dar a negao em linguagem corrente das proposies.
As rosas so amarelas e os cravos brancos.
Soluo:
Definindo:
A: As rosas so amarelas.
B: Os cravos brancos. Assim, podemos escrever
AB
Negao de
AB
()
AB
~
AB
(Leis de De Morgan)
As rosas no so amarelas ou os cravos no so brancos.
Exemplo 14.
Dar a negao em linguagem corrente das proposies.
Se estiver cansado ou com fome, no consigo estudar.
Definindo:
C: estiver cansado
F: com fome
E: consigo estudar
E: no consigo estudar.
Assim, podemos escrever:
()
CFE
, negando:
[()]~[()]
CFECFE
~
()
CFE
.
Portanto,
Mesmo cansado ou com fome eu estudo.
Estando cansado ou com fome consigo estudar.
Exemplo 15.
Dar a negao em linguagem corrente das proposies.
A temperatura diminuir somente se chover ou nevar.
Definindo:
D: A temperatura diminuir
C: chover
N: nevar
Assim, podemos escrever:
()
DCN
, negando
[()]
DCN
~
[()]
DCN
~
()
DCN
~
)
DCN
A temperatura diminuir mesmo no chovendo e no nevando.
No chover e no nevar e mesmo assim a temperatura diminuir.
Exerccios de aplicao 04:
Dar a negao em linguagem corrente das proposies.
1) Far sol se, e somente se no chover.
2) Bruno aluno MD ou pesquisador.
3) Existe menina feia.
4)Todo menino gosta de futebol.
5) Nenhuma menina gosta do Corinthians.
6) Tudo que bom engorda.
7)Todos os homens so mortais.
8)Thas inteligente e estuda.
9)O Corinthians ganhar o campeonato brasileiro se o juiz roubar ou os santos ajudarem.
Respostas dos exerccios de aplicao 04:
1) Far sol se, e somente se chover.
2) No aluno Bruno MD e no pesquisador.
3) Todas as meninas no so feias.
4) Existe menino e que no gosta de futebol.
5) Existem meninas que no gostam do Corinthians.
6) Nem Tudo que bom engorda.( Existe coisa boa e que no engorda)
7) Existem homens que no so mortais.
8) Thas no inteligente ou no estuda.
9) Mesmo o juiz roubando ou os santos ajudando, o Corinthians no ganhar o campeonato brasileiro.
2.11. Argumentos
Sejam
12
,,...,
n
PPP
e
Q
proposies. Denomina-se argumento a toda afirmao de que uma dada seqncia finita de proposies
12
,,...,
n
PPP
acarreta uma proposio final
Q
.
12
,,...,
n
PPP
denominam-se premissas, e
Q
concluso. L-se
12
,,...,
n
PPP
acarreta
Q
ou
Q
decorre de
12
,,...,
n
PPP
.
Um argumento que consiste em duas premissas e uma concluso, denomina-se silogismo.
Um argumento
12
,,...,
n
PPPQ
a
valido se, e somente se a condicional
12
(...)
n
PPPQ
a
uma tautologia.
Exemplo 16.
Verifique em cada um dos casos abaixo, se a argumentao vlida ou uma falcia .
1) Sejam as Premissas:
i) Se um homem feliz, ele no solteiro.
ii) Se um homem no feliz, ele morre cedo.
Concluso:
Homens solteiros morrem cedo.
Chamando
F: Homem feliz
S: Solteiro
C: morre Cedo
Podemos escrever a forma simblica (argumentao) como:
[()()]()
FSFCSC
______1________1________1___________ 1_______ 1 concluso
___________1__________________________________2 concluso
__________0___________________________________3 concluso
___0__________________0_______________________4 concluso
____________________1________1______________1_ 5 concluso
__________________________________1______1____final
Portanto, a argumentao verdadeira.
2) Sejam as Premissas:
i) Se um homem no fuma , ento atleta ou no alcolatra.
ii) Se um homem fuma, ento tem cncer.
iii) Paulo no atleta mas alcolatra.
Concluso:
Paulo tem cncer.
Chamando
F: Fuma
C: Cncer
At: Atleta
Al: Alcolatra
(
)
(())()
tltl
FAAFCAAC
______ 1____________________1__________ __ 1__________1 concluso
______________________________________1__ ___1____ 2 concluso
___________0______1_____________________0____________3 concluso
________________0____________________________________4 concluso
______________0______________________________________5 concluso
___0_________________________________________________6 concluso
_____1____________________1_____1_________________ 1_ 7 concluso
_________________________________________________1__ Verdade__
Portanto, a argumentao verdadeira.
3) Sejam as Premissas:
i) Se eu no jogar xadrez,jogarei futebol.
ii) Se estiver machucado, no jogarei futebol
Concluso:
Se estiver machucado jogarei xadrez.
Chamando
X: jogar Xadrez
F: Futebol
M: Machucado
(
)
(
)
(
)
XFMFMX
______ V_____________ V_____________________ 1 concluso
_______________V____________________ V hip ____ 2 concluso
___________________V_________________________ 3 concluso
___________F________________F________________ 4 concluso
___F__________________________________________ 5 concluso
______V____________________________________V__6 concluso
_____________________________________V_______ 7 concluso
_______________________________V_______________Verdade
Portanto, a argumentao verdadeira.
Exerccios de aplicao 05:
Verifique em cada um dos casos abaixo, se a argumentao vlida ou uma falcia .
1) Sejam as Premissas:
i) Os bebes no so lgicos.
ii) Quem consegue amestrar um crocodilo no desprezado.
iii) Pessoas no lgicas so desprezadas.
Concluso:
Bebes no conseguem amestrar crocodilo.
2) Sejam as Premissas:
i) O professor no erra.
ii) Andria distrada.
iii) Quem distrado erra
Concluso:
a) Andria no professora.
b) Nenhum professor distrado.
3) Sejam as Premissas:
i) Gracielli estudiosa.
ii) Todo estudioso aprovado em Matemtica discreta.
Concluso:
Gracielli ser reprovada em Matemtica discreta.
Respostas dos exerccios de aplicao 05:
1) e 2) A argumentao verdadeira.
3) A argumentao falsa.
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