Cálculo Numérico - Páginas...
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NOTAS DE AULA
Cálculo Numérico
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
- UTFPR -
Professores: Lauro César Galvão
Luiz Fernando Nunes
Cálculo Numérico – (Lauro / Nunes) ii
Índice 1 Noções básicas sobre Erros ........................................................................... 1-1
2 Zeros reais de funções reais .......................................................................... 2-9
3 Resolução de sistemas de equações lineares .............................................. 3-21
4 Interpolação .............................................................................................. 4-37
5 Ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados ............................... 5-47
6 Integração Numérica ................................................................................. 6-53
7 Solução numérica de equações diferenciais ordinárias ................................ 7-57
Cálculo Numérico Noções básicas sobre Erros
Lauro / Nunes
1-1
1 Noções básicas sobre Erros
1. Calcular a área da superfície terrestre usando a formulação A4 2r .
Resolução: Aproximações (ERROS):
MODELAGEM: a Terra é modelada como uma esfera, uma idealização de sua forma
verdadeira. O raio da Terra é obtido por medidas empíricas e cálculos prévios.
RESOLUÇÃO: o valor de requer o truncamento de um processo infinito; os dados de
entrada e os resultados de operações aritméticas são arredondados pelo computador.
OBS. 1: Características do planeta Terra.
Características Físicas:
Diâmetro Equatorial: 12756Km;
Diâmetro Polar: 12713Km;
Massa: 5,982410 Kg;
Perímetro de Rotação Sideral: 23h 56min 04seg;
Inclinação do Equador Sobre a Órbita: 23o 27’.
Características Orbitais:
Raio da Órbita, isto é, 1U.A. (unidade astronômica): 149897570Km;
Distância Máxima do Sol: 152100000Km;
Distância Mínima do Sol: 147100000Km;
Período de Revolução Sideral: 365dias 6h 9min 9,5seg;
Velocidade Orbital Média: 29,79Km/seg.
2. Calcular os erros absoluto e relativo, nos itens a) e b).
a) x 1,5 e x 1,49; b) y 5,4 e y 5,39.
Resolução:
a) xEA 0,01210 b) yEA 0,01
210
xER 0,00666667 yER 0,00185185
3. Arredondar na quarta casa decimal, sendo que 3,1415926535
Resolução: id 5 e 1id 95 id 1516. Logo: 3,1416.
4. Aproximar truncando na quarta casa decimal, sendo que 3,1415926535
Resolução: id 5 3,1415.
5. Sabendo-se que xe pode ser escrito como
xe
0i
i
i
x
!, faça a aproximação de
2e através
de um truncamento após quatro termos da somatória.
Resolução: xe
0i
i
i
x
!1 x
!2
2x
!3
3x
!4
4x
!5
5x Truncando-se após quatro termos,
tem-se:
2e 12!2
22
!3
23
122
4
6
85
3
4
3
19.
Cálculo Numérico Noções básicas sobre Erros
Lauro / Nunes
1-2
6. Considerando no sistema de base 10, 10, represente os seguintes números, em
aritmética de ponto flutuante:
a) 0,34510; b) 31,41510.
Resolução: a) 0,34510
10
3
210
4
310
5
010 ;
b) 31,41510
10
3
210
1
310
4
410
1
510
5
210 .
7. Considerando no sistema binário, 2, represente o número 1012 em aritmética de ponto
flutuante.
Resolução: 1012 0,101 32
2
1
22
0
32
1 32 .
8. 10112 10x .
Resolução: 10112 0,1011 42
2
1
22
0
32
1
42
1 42 32 2111
10112 1110 x 11.
9. 11,012 10x .
Resolução: 11,012 0,1101 22
2
1
22
1
32
0
42
1 22 21
22
13,25
11,012 3,2510 x 3,25.
10. 403,125 10x .
Resolução: 403,125 0,4031235
5
4
25
0
35
3
45
1
55
2
35
425 03
5
1
25
210030,20,08103,28
403,125 103,2810 x 103,28.
11. Converta 5910 para a base 2.
Resolução: N 59 e 2 N
59 2
1 29 2
1 14 2
0 7 2
1 3 2
1 1 5910 1110112
Cálculo Numérico Noções básicas sobre Erros
Lauro / Nunes
1-3
12. Converta 5910 para a base 3.
Resolução: N 59 e 3 N
59 3
2 19 3
1 6 3
0 2 5910 20123
b) PARTE FRACIONÁRIA ( F ):
Multiplica-se F por e toma-se a parte inteira do produto como o primeiro dígito do
número na base . Repete-se o processo com a parte fracionária do produto tomando sua parte
inteira. Continua-se até que a parte fracionária seja igual a zero.
Nos exercícios a seguir, determinar o valor de x :
13. 0,187510 2x .
Resolução:
0,1875 0,375 0,75 0,5
2 2 2 2
0,3750 0,750 1,50 1,0
0,187510 0,00112.
14. 0,610 2x .
Resolução:
0,6 0,2 0,4 0,8 0,6
2 2 2 2 2
1,2 0,4 0,8 1,6 1,2
0,610 0,100110012.
15. 13,2510 2x .
Resolução:
a) 1310 ? N 13 e 2 N
13 2
1 6 2
0 3 2
1 1
1310 11012.
b) 0,2510 ?
0,25 0,5
2 2
0,50 1,0
0,2510 0,012.
Logo: 13,2510 1310 0,2510 11012 0,012 1101,012.
Cálculo Numérico Noções básicas sobre Erros
Lauro / Nunes
1-4
Transforme para a base que se pede (determine o valor de x ).
16. 100101,10012 10x .
Resolução: 100101,10012 0,1001011001 62
2
1
22
0
32
0
42
1
52
0
62
1
72
1
82
0
92
0
102
1 62
52 22 12
1
42
132410,50,062537,5625
100101,10012 37,562510 x 37,5625.
17. 19,3867187510 4x .
Resolução:
a) 1910 ? N 19 e 4 N
19 4
3 4 4
0 1
1910 1034.
b) 0,3867187510 ?
0,38671875 0,546875 0,1875 0,75
4 4 4 4
1,54687500 2,187500 0,7500 3,00
0,3867187510 0,12034.
Logo: 19,3867187510 1910 0,3867187510 1034 0,12034 103,12034.
18. Transforme a medida 35 h 48 min 18 seg para minutos.
DICA: 35:48,1860 10x min .
Resolução: 35:48,1860 0,35:48:18260
60
35
260
48
360
18
260 3560 48 60
18
2100 48 0,3 2148,3
35:48,1860 2148,310.
35 h 48 min 18 seg = 2148,3 min .
Cálculo Numérico Noções básicas sobre Erros
Lauro / Nunes
1-5
19. Transforme 35,805 horas para horas, minutos e segundos.
DICA: 35,80510 60x .
Resolução:
a) 3510 ? N 35 e 60 N
3510 3560.
b) 0, 80510 ?
0,805 0,3
60 60
48,300 18,0
0, 80510 0,48:1860.
Logo: 35,80510 3510 0, 80510 3560 0,48:1860 35,48:1860.
35,805 h 35 h 48 min 18 seg .
20. Preencher a tabela a seguir, com base nos parâmetros: t3, 10, I 5, S 5 e −5 ≤exp ≤ 5.
Número Truncamento Arredondamento
6,48 0,64810 0,64810
0,0002175 0,217310 0,218
310
3498,3 0,349410 0,35
410
0,00000001452 0,145710 0,145
710 UNDERFLOW
2379441,5 0,237710 0,238
710 OVERFLOW
Nos exercícios seguintes, calcular o valor das expressões utilizando aritmética de
ponto flutuante com 3 algarismos significativos.
21. (4,26 9,24) 5,04
Resolução: 13,5 5,04 18,5.
22. 4,26 (9,24 5,04)
Resolução: 4,26 14,3 18,6.
23. (4210 4,99) 0,02
Resolução: 4210 0,02 4210.
24. 4210 (4,99 0,02)
Resolução: 4210 5,01 4200.
25. 7
2(4,0237 6,106)
Resolução: 0,286(4,02 6,11) 0,286(2,09) 0,598.
Cálculo Numérico Noções básicas sobre Erros
Lauro / Nunes
1-6
26. 7
1066023742 ),,(
Resolução: 7
0922 ),(
7
184, 0,597.
27. Sendo 10, t4 e exp[5,5], calcule:
a) 42450
10
1
3i
; b)
10
1
3i
42450.
Resolução:
a) 42450
10
1
3i
= 42450 0,4245510 ;
b)
10
1
3i
42450 30 42450 42480 0,4248510 .
Nos exercícios seguintes, converter os números para a base decimal, determinando o
valor da variável x :
28. 11000112 10x .
Resolução: 11000112 0, 1100011 72
2
1
22
1
32
0
42
0
52
0
62
1
72
1 72
62 52 21 99
11000112 9910 x 99.
29. 11111112 10x .
Resolução: 11111112 0, 1111111 72
2
1
22
1
32
1
42
1
52
1
62
1
72
1 72
62 52 42 32 22 21 127
11111112 12710 x 127.
30. 10101012 10x .
Resolução: 10101012 0, 1010101 72
2
1
22
0
32
1
42
0
52
1
62
0
72
1 72
62 42 22 1 85
10101012 8510 x 85.
31. 101,00112 10x .
Resolução: 101,00112 0, 1010011 32
2
1
22
0
32
1
42
0
52
0
62
1
72
1 32
22 132
1
42
1 5 0,125 0,0625 5 0,1875 5,1875
101,00112 5,187510 x 5,1875.
Cálculo Numérico Noções básicas sobre Erros
Lauro / Nunes
1-7
32. 0,01111112 10x .
Resolução: 0,01111112 0, 111111 12
2
1
22
1
32
1
42
1
52
1
62
1 12
22
1
32
1
42
1
52
1
62
1
72
1
0,25 0,125 0,0625 0,03125 0,015625 0,0078125 0,4921875
0,01111112 0,492187510 x 0,4921875.
33. 1,0100112 10x .
Resolução: 1,0100112 0, 10100112
2
1
22
0
32
1
42
0
52
0
62
1
72
12
122
1
52
1
62
1 1 0,25 0,03125 0,015625 1,296875
1,0100112 1,29687510 x 1,296875.
Nos exercícios seguintes, converter os números para a base binária, determinando o
valor da variável x :
34. 3710 2x .
Resolução: N 37 e 2 N
37 2
1 18 2
0 9 2
1 4 2
0 2 2
0 1 3710 1001012
35. 234510 2x .
Resolução: N 2345 e 2 N
2345 2
1 1172 2
0 586 2
0 293 2
1 146 2
0 73 2
1 36 2
0 18 2
0 9 2
1 4 2
0 2 2
0 1 234510 1001001010012
Cálculo Numérico Noções básicas sobre Erros
Lauro / Nunes
1-8
36. Determine x com 36 dígitos: 0,121710 2x .
Resolução:
0,1217 0,2434 0,4868 0,9736 0,9472 0,8944 0,7888 0,5776 0,1552
0,2434 0,4868 0,9736 1,9472 1,8944 1,7888 1,5776 1,1552 0,3104
0,3104 0,6208 0,2416 0,4832 0,9664 0,9328 0,8656 0,7312 0,4624
0,6208 1,2416 0,4832 0,9664 1,9328 1,8656 1,7312 1,4624 0,9248
0,9248 0,8496 0,6992 0,3984 0,7968 0,5936 0,1872 0,3744 0,7488
1,8496 1,6992 1,3984 0,7968 1,5936 1,1872 0,3744 0,7488 1,4976
0,4976 0,9952 0,9904 0,9808 0,9616 0,9232 0,8464 0,6928 0,3856
0,9952 1,9904 1,9808 1,9616 1,9232 1,8464 1,6928 1,3856 0,7712
0,121710 0,0001111100100111101110110010111111102.
37. Determine x com 8 dígitos: 2,4710 2x .
Resolução:
a) 210 ? N 2 e 2 N
2 2 210 102.
0 1
b) 0, 4710 ?
0,47
0,94
0,88
0,76
0,52
0,04
0,08
0,16
0,32
0,94 1,88 1,76 1,52 1,04 0,08 0,16 0,32 0,64
0, 4710 0,011110002.
Logo: 2,4710 210 0, 4710 102 0,011110002 10, 011110002.
Cálculo Numérico Zeros reais de funções reais
Lauro / Nunes
2-9
2 Zeros reais de funções reais
38. Isolar os zeros da função f ( x )3x 9 x 3.
Resolução: Pode-se construir uma tabela de valores para f ( x ) e analisar os sinais:
x 4 3 2 1 0 1 2 3
f ( x )
Como 034 )()( ff , 010 )()( ff e 032 )()( ff , conclui-se, de acordo com o
teorema 1, que existem zeros de )(xf nos intervalos [4,3], [0,1] e [2,3]. Como 𝑓(𝑥) =
0 tem exatamente 3 raízes, pode-se afirmar que existe exatamente um zero em cada um
destes intervalos.
Pode-se também chegar às mesmas conclusões partindo da equação f ( x )3x 9 x 3=0,
obtendo-se a equação equivalente 3x 9 x 3. Neste caso, tem-se que
3xxg )( e
39 xxh )( . Traçando os gráficos de )(xg e )(xh , verifica-se que as abscissas dos
pontos de intersecção destas curvas estão nos intervalos [4,3], [0,1] e [2,3].
Outra forma de se verificar a unicidade de zeros nestes intervalos, é traçar o gráfico da
função derivada de )(xf , 93 2 xxf )(' e confirmar que a mesma preserva o sinal em
cada um dos intervalos ]4,3[, ]0,1[ e ]2,3[, conforme a Erro! Fonte de referência não
ncontrada..
y
x
y =f x( )
4321-1-2-3-4
1 2 3
y
x
4321-1-2-3-4
1
2 3
g x( ) h x( )
Cálculo Numérico Zeros reais de funções reais
Lauro / Nunes
2-10
39. Isolar os zeros da função 23,ln)( xxxf .
Resolução: Pode-se construir uma tabela de valores para )(xf e analisar os sinais:
x 1 2 3 4
)(xf
Como 032 )()( ff , conclui-se, de acordo com o teorema 1, que existem zeros de
)(xf no intervalo [2,3].
Pode-se ainda verificar graficamente que a função derivada da função )(xf ,
xxf ln)(' 1 preserva o sinal no intervalo ]2,3[, neste caso 0)(' xf x ]2,3[, o que
pela Obs. 1 garante que só existe um zero de )(xf neste intervalo.
y
x
y = f’ x( )
4321-1-2-3-4
33-
x
y =f x( )
0
-0,1
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
-0,6
-0,7
-0,8
-0,9
-1,0
-0,8
2,6 2,8 3,0 3,2 3,40,1
0,2
0,3
y
Cálculo Numérico Zeros reais de funções reais
Lauro / Nunes
2-11
40. Isolar os zeros da função xxxf 4025 ,log)( .
Resolução: Pode-se construir uma tabela de valores para )(xf e analisar os sinais:
x 1 2 3
)(xf
Como 021 )()( ff , conclui-se, de acordo com o teorema 1, que existem zeros de
)(xf no intervalo [1,2].
Pode-se também chegar a esta mesma conclusão partindo da equação
xxxf 4025 ,log)( =0, obtendo-se a equação equivalente xx 4025 ,log . Neste
caso, tem-se que xxg log)( 5 e xxh 4,02)( . Traçando os gráficos de )(xg e )(xh ,
verifica-se que a abscissa do único ponto de intersecção destas curvas está no intervalo
[1,2].
41. Isolar os zeros da função xexxf 5)( .
Resolução: Pode-se construir uma tabela de valores para )(xf e analisar os sinais:
x 0 1 2 3
)(xf
Como 021 )()( ff , conclui-se, de acordo com o teorema 1, que existem zeros de
)(xf no intervalo [1,2].
Pode-se também chegar a esta mesma conclusão partindo da equação xexxf 5)(
0, obtendo-se a equação equivalente xex 5 . Neste caso, tem-se que xxg )( e
xexh 5)( . Traçando os gráficos de )(xg e )(xh , verifica-se que a abscissa do único
ponto de intersecção destas curvas está no intervalo [1,2].
y
x1
1
x( )f’
y
x
x( )
21 3
2
1h
x( )g
Cálculo Numérico Zeros reais de funções reais
Lauro / Nunes
2-12
42. Determinar um valor aproximado para 5 , com erro inferior a 210 .
Resolução: Determinar 5 é equivalente a obter o zero positivo da função )(xf =2x 5.
Sabe-se que o intervalo [2,3] contém este zero e a tolerância neste caso é = 210
. Assim,
a quantidade mínima de iterações para se obter a resposta com a precisão exigida é:
n2log
log)log( ab n
2
1023 2
log
log)log( n
2
1021
log
loglog n
2
120
log
n 6,643856. Como n deve ser intero, tem-se n 7.
n a x b f ( a ) f ( x ) f (b ) (b a )/2
1 2,0 2,5 3,0 0,5
2 2,0 2,25 2,5 0,25
3 2,0 2,125 2,25 0,125
4 2,125 2,1875 2,25 0,0625
5 2,1875 2,21875 2,25 0,03125
6 2,21875 2,234375 2,25 0,015625
7 2,234375 2,2421875 2,25 0,0078125
Portanto 5 2,24218750,0078125
43. Um tanque de comprimento L tem uma secção transversal no formato de um
semicírculo com raio r (veja a figura). Quando cheio de água até uma distância h do
topo, o volume V da água é: V
)(arcsen, 222250 hrh
r
hrrL . Supondo
que L10 ft , r1 ft e V12,4 3ft , encontre a profundidade da água no tanque com
precisão de 0,01 ft .
y
x
x( )
21 3
2
1
h
x( )g
h h
r
Cálculo Numérico Zeros reais de funções reais
Lauro / Nunes
2-13
Resolução: Para calcular a profundidade rh da água, substitui-se os valores de r , L e V
na expressão anterior para obter a equação )(arcsenh h 21 h 1,240,50 cuja raiz
é h . Assim, deve-se calcular o zero da função )(hf )(arcsenh h 21 h 1,240,5,
com precisão de 210 . Para isto, primeiramente isola-se o zero desta função num
intervalo da seguinte forma.
Pode-se construir uma tabela de valores para )(hf e analisar os sinais:
h 1 0 1
)(hf
Como 010 )()( ff , conclui-se, de acordo com o teorema 1, que existem zeros de
)(hf no intervalo [0,1].
Para se confirmar a unicidade deste zero neste intervalo, pode-se utilizar a OBS. 1, isto é,
calcula-se a derivada )(, hf de )(hf para verificar que a mesma preserva o sinal no
intervalo ]0,1[. Assim, obtém-se )(, hf 21
1
h 21 h 2121
2
/ h
h(2 h )
)(, hf 01
12
2
2
h
h )([,] 10h , o que significa que )(hf é estritamente crescente neste
intervalo, o que garante a unicidade do zero de )(hf em ]0,1[.
Agora determina-se o número de iterações necessárias para se obter a precisão exigida:
2log
log)log(
abn
2
101 2
log
loglog n n 6,643856
Logo são necessárias n = 7 iterações.
n a h b )(af )(hf )(bf (ba)/2
1 0 0,5 1 0,5
2 0 0,25 0,5 0,25
3 0 0,125 0,25 0,125
4 0,125 0,1875 0,25 0,0625
5 0,125 0,15625 0,1875 0,03125
6 0,15625 0,171875 0,1875 0,015625
7 0,15625 0,1640625 0,171875 0,0078125
Assim, h 0,16406250,0078125 e a profundidade r h da água solicitada é
aproximadamente 1(0,1640625) ft .
Cálculo Numérico Zeros reais de funções reais
Lauro / Nunes
2-14
44. Obter algumas funções de ponto fixo para a função )(xf 62 xx .
Resolução: Efetuando diferentes manipulações algébricas sobre a equação )(xf 0 ou
62 xx 0, podem-se obter diferentes funções de ponto fixo, como por exemplo:
a) 62 xx 026 xx , logo
21 6)( xx . Como )3(1 3 e )2(1 2, tem-se
que 3 e 2 são pontos fixos de )(1 x .
b) 62 xx 0 xx 6 , logo se pode ter xx 6)(2 e neste caso tem-se que
2 é ponto fixo de )(2 x , pois 2)2(2 , ou xx 6)(2 e neste caso tem-se que 3
é ponto fixo de )(2 x , pois 3)3(2 .
c) 62 xx 0 06 xxx x
x
xx
6 1
6
xx , logo )(3 x 1
6
x. Como
)3(3 3 e )2(3 2, tem-se que 3 e 2 são pontos fixos de )(3 x .
d) 62 xx 0 06 xxx 06)1( xx 1
6
xx , logo
1
6)(4
xx .
Como )3(4 3 e )2(4 2, tem-se que 3 e 2 são pontos fixos de )(4 x .
No próximo passo algumas destas funções serão utilizadas na tentativa de gerar
seqüências aproximadoras dos zeros de )(xf .
45. Aproximar o maior zero da função )(xf 62 xx , utilizando a função
xx 6)(2 , e 0x 1,5.
Resolução: Neste caso a fórmula de recorrência )(1 nn xx , n0, 1, 2, será:
nnn xxx 6)(21 , e pode-se construir a seguinte tabela:
n nx nnn xxx 6)(21
0 1,5 2,12132
1 2,12132 1,96944
2 1,96944 2,00763
3 2,00763 1,99809
4 1,99809 2,00048
Percebe-se que neste caso a seqüência }{ nx converge para a raiz 2 da equação
62 xx 0.
y
x
x( )
0 x 1x2 x3
y x=
x
6
62=
2
Cálculo Numérico Zeros reais de funções reais
Lauro / Nunes
2-15
46. Aproximar o maior zero da função )(xf 62 xx , utilizando a função
21 6)( xx , e 0x 1,5.
Resolução: Neste caso a fórmula de recorrência )(1 nn xx , n 0, 1, 2, será:
211 6 nnn xxx )( , e pode-se construir a seguinte tabela:
n nx 2
11 6)( xxx nn
0 1,5 3,75
1 3,75 8,0625
2 8,0625 59,003906
3 59,003906 3475,4609
Percebe-se que neste caso a seqüência }{ nx não converge para a raiz 2 da equação
62 xx 0.
47. Verificar as condições i) e ii) do teorema anterior quando do uso da função
xx 6)(2 no exercício número 45.
Resolução:
Verificação da condição i):
xx 6)(2 é contínua no conjunto S { x/x 6}.
x
x
62
12 )(' é contínua no conjunto T { x/x < 6}.
Verificação da condição ii):
)(' x2 < 1 x
62
1 < 1 x < 5,75
Logo, é possível obter um intervalo I , tal que 2 I , onde as condições i) e ii) estão
satisfeitas.
y
x
x( )
0 1
x2
x
y x=
x
6
2=
1
Cálculo Numérico Zeros reais de funções reais
Lauro / Nunes
2-16
48. Verificar as condições i) e ii) do teorema anterior quando do uso da função 2
1 6)( xx .
Resolução:
Verificação da condição i):
2
1 6 xx )( e xx 21 )(' são contínuas em .
Verificação da condição ii):
)(' x1 < 1 x2 < 1 2
1 < x <
2
1.
Logo, não existe um intervalo I , com 2 I , e tal que )(' x1 < 1, x I .
49. Encontrar o zero de )(xf 42 xe x com precisão
610 , utilizando o método do
ponto fixo.
Resolução: Pode-se construir uma tabela de valores para f ( x ) e analisar os sinais:
x 3 2 1
)(xf
Como 023 )()( ff , conclui-se, de acordo com o Teorema 1, que existem zeros de
)(xf no intervalo [3,2].
Fazendo xexh )( e 42 xxg )( , pode-se verificar que os gráficos das mesmas se
intersectam em apenas um ponto, o que garante que só existe um zero de )(xf neste
intervalo.
y
x
x( )
21 3
2
1
hx( )g
-2 -1-3
-2
-3
-4
-1
3
4
5= e
x
= x2- 4
Cálculo Numérico Zeros reais de funções reais
Lauro / Nunes
2-17
Assim, o zero de )(xf está isolado em [3,2].
Procurando uma função de ponto fixo adequada pode-se fazer:
42 xe x0 442 xx exex 4 xex)(
Verificando as hipóteses i) e ii) do Erro! Fonte de referência não encontrada.:
i) 42
x
x
e
ex)('
)(')( xex são contínuas em [3,2], o que garante a primeira condição do Erro!
onte de referência não encontrada..
ii) k = )('max]2,3[
xx
42
x
x
e
ex
.)('
01237042
33
3
,.
)('
e
e
03328042
22
2
,.
)('
e
e
Como )(' x é decrescente no intervalo I =[3,2], k = 0,03328 < 1, o que garante a
segunda condição do Erro! Fonte de referência não encontrada..
Procura-se agora, o extremo do intervalo I =[3,2] mais próximo do zero de )(xf :
Para isto, segue-se o indicado na observação 5, isto é, calcula-se o ponto médio do
intervalo I =[3,2]: x̂ 2
23 ))(( 2,5 e )ˆ(x 452 52 ,),( e 2,02042.
Como x̂ < )ˆ(x , isto é x̂ 2,5 < )ˆ(x ),( 52 2,02042, então está entre x̂ 2,5 e
2, ou seja, 2 é o extremo de I mais próximo de . Desta forma, iniciando o processo
recursivo pelo ponto 0x 2, garante-se que todos os termos da seqüência aproximadora
pertencerão ao intervalo I =[3,2].
Logo, utilizando 4)( xex a partir de 0x 2, gera-se uma seqüência
convergente para o zero de )(xf .
n nx 1nx nn xx 1
0 2 2,0335524 0,0335524 > 10-6
1 2,0335524 2,0324541 0,0010983 > 10-6
2 2,0324541 2,0324895 0,0000354 > 10-6
3 2,0324895 2,0324884 0,0000011 > 10-6
4 2,0324884 2,0324884 0 < 10-6
Portanto, x = 2,0324884.
Cálculo Numérico Zeros reais de funções reais
Lauro / Nunes
2-18
50. Encontrar a solução para a equação x = xcos com precisão 610 .
Resolução: xxxfxxxx cos)(0coscos
Pode-se construir uma tabela de valores para f ( x ) e analisar os sinais:
x 0 2
)(xf
Como 02
0
)()( ff , conclui-se, de acordo com o Teorema 1, que existem zeros de
)(xf no intervalo [0,2
].
Fazendo )(xg x e )(xh xcos , pode-se verificar que os gráficos das mesmas se
intersectam em apenas um ponto, o que garante que só existe um zero de )(xf neste
intervalo. Esta informação também pode ser verificada observando que a função )(' xf
sen x – 1, preserva o sinal x ]0,2
[, isto é, tem-se que neste caso 'f ( x )0, x ]0,
2
[ (e também em [0,
2
] ). Isto significa dizer que a função f ( x ) é estritamente
decrescente no intervalo ]0,2
[.
Como xxf cos)('' , também preserva o sinal em [0,2
], ( ''f ( x )0, x ]0,
2
[,
tem-se que as condições i), ii) e iii) do teorema 3 são satisfeitas.
Assim, a fórmula recursiva de Newton para este caso fica: 1nx nx 1
)(sen
)cos(
n
nn
x
xx
para 0n . Agora deve-se escolher 0x convenientemente: Pode-se verificar que o ponto
médio x̂ 4
ou x̂ 0,785398163398 e x̂ 0,739536133515. Pela observação 5
concluímos que 0x 0, pois x̂ < x̂ .
n nx 1nx nn xx 1
0 0 1 1 > 10-6
1 1 0,750363868 0,249636132 > 10-6
2 0,750363868 0,7391128909 0,011250978 > 10-6
3 0,7391128909 0,7390851333 0,000027757 > 10-6
4 0,7390851333 0, 7390851332 0,0000000001 <10-6
Portanto, x = 0,739085133.
y
x( )
h
2
2
2
3 =cos x
x( )g = x
-1
1
x
Cálculo Numérico Zeros reais de funções reais
Lauro / Nunes
2-19
51. Considerando o mesmo exercício anterior, encontrar a solução para a equação x =
com precisão , usando o método da secante. Considere 𝑥0 = 0 e 𝑥1 = 1, como
aproximações iniciais.
Resolução: 𝑓(𝑥) = cos(𝑥) − 𝑥 = 0 Assim, a fórmula recursiva do método da secante para este caso fica:
𝑥𝑛+1 =𝑥𝑛−1𝑓(𝑥𝑛) − 𝑥𝑛𝑓(𝑥𝑛−1)
𝑓(𝑥𝑛) − 𝑓(𝑥𝑛−1)
n x(n-1) x(n) x(n+1) |x(n+1) - x(n)|
0 0 1 0,685073357 0,314926643
1 1 0,685073357 0,736298998 0,05122564
2 0,685073357 0,736298998 0,739119362 0,002820364
3 0,736298998 0,739119362 0,739085112 3,42498E-05
4 0,739119362 0,739085112 0,739085133 2,11E-08
Portanto, = 0,739085133.
Nos exercícios seguintes, considerando cada método especificado, determine uma
aproximação para o zero da função.
52. Pelo método da Bissecção, determine uma aproximação para x (1,2) da função
𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥2− cos 𝑥 com aproximação 1
410 tal que (b a )/2 1 .
Resolução:
n a x b f ( a ) f ( x ) f (b ) (b a )/2
1 1 1,5 2 - + + 0,5
2 1 1,25 1,5 - - + 0,25
3 1,25 1,375 1,5 - - + 0,125
4 1,375 1,4375 1,5 - - + 0,0625
5 1,4375 1,46875 1,5 - + + 0,03125
6 1,4375 1,453125 1,46875 - + + 0,015625
7 1,4375 1,4453125 1,453125 - - + 0,0078125
8 1,4453125 1,44921875 1,453125 - + + 0,00390625
9 1,4453125 1,447265625 1,44921875 - - + 0,001953125
10 1,447265625 1,448242188 1,44921875 - + + 0,000976563
11 1,447265625 1,447753906 1,448242188 - + + 0,000488281
12 1,447265625 1,447509766 1,447753906 - + + 0,000244141
13 1,447265625 1,447387695 1,447509766 - - + 0,00012207
14 1,447387695 1,44744873 1,447509766 - + + 6,10352E-05
Logo, x 1,44744873
xcos610
x
Cálculo Numérico Zeros reais de funções reais
Lauro / Nunes
2-20
53. Pelo método do Ponto Fixo ou Aproximações Sucessivas, determine uma aproximação
para �̅�(1,2) da função 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥2− cos 𝑥 com aproximação 𝜀1 = 𝜀1 = 10−4 tal que
|𝑓(𝑥𝑛)| < 𝜀1 ou |𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛| < 𝜀2. Utilize 𝑥01,5.
Resolução:
f ( x )2xe xcos
f ( x )0 2xe xcos x x 0
1( x ) xcos 2xe x '1 ( x )1 em (1,2)
2( x ) xcos 2xe x '2 ( x )1 em (1,2)
𝜙(𝑥) = cos 𝑥 − 𝑒−𝑥2+ 𝑥 𝑥𝑛+1 = 𝜙(𝑥𝑛)
n nx 1nx | 1nx nx | | f ( 1nx )| Parada
0 1,5 1,465337977 0,034662023 0,01154599
1 1,465337977 1,453791987 0,01154599 0,004075472
2 1,453791987 1,449716515 0,004075472 0,001466938
3 1,449716515 1,448249577 0,001466938 0,000531683
4 1,448249577 1,447717894 0,000531683 0,000193187
5 1,447717894 1,447524708 0,000193187 7,02578E-05 |𝑓(𝑥𝑛)| < 𝜀1
Logo, x 1,447524708.
54. Pelo método de Newton-Raphson, determine uma aproximação para �̅�(1,2) da função
𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥2− cos 𝑥 com aproximação 1 2
410 tal que | f ( 1nx )| 1 ou
|𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛| < 𝜀2. Utilize 𝑥01,5.
Resolução:
f ( x )2xe xcos 'f ( x )2 x
2xe xsen
( x ) x )('
)(
xf
xf ( x ) x
xxe
xe
x
x
sen
cos
2
2
2 1nx ( nx )
n nx 1nx | 1nx nx | | f ( 1nx )| Parada
0 1,5 1,4491235 0,0508765 0,001088623
1 1,4491235 1,447416347 0,001707153 1,32044E-06 |𝑓(𝑥𝑛+1)| < 𝜀1
Logo, x 1,447416347.
55. Pelo método da secante, determine uma aproximação para �̅�(1,2) da função
𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥2− cos 𝑥 com aproximação tal que | ( )| ou
|𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛| < 𝜀2. Utilize 𝑥0 = 1,5 e 𝑥1 = 1,2, como aproximações iniciais.
Resolução:
𝑥𝑛+1 =𝑥𝑛−1𝑓(𝑥𝑛) − 𝑥𝑛𝑓(𝑥𝑛−1)
𝑓(𝑥𝑛) − 𝑓(𝑥𝑛−1)
n x(n-1) x(n) x(n+1) |x(n+1) - x(n)|
0 1,5 1,2 1,435046063 0,235046063
1 1,2 1,435046063 1,450627163 0,0155811
2 1,435046063 1,450627163 1,447385539 0,003241624
3 1,450627163 1,447385539 1,447414206 2,86668E-05
Logo, 1,447414206.
1 2410 f 1nx 1
x
Cálculo Numérico Resolução de sistemas de equações lineares
Lauro / Nunes
3-21
3 Resolução de sistemas de equações lineares
56. Resolver o sistema 3S , com 3S
132
3344
532
321
321
321
xxx
xxx
xxx
.
Resolução: 3S
132
3344
532
321
321
321
xxx
xxx
xxx
[ A b ] [U c ]
[ A b ]
1132
3344
5132
(Matriz aumentada).
Seja 0B [ A b ] e kB [U c ] após k conjuntos de operações elementares aplicadas
sobre 0B .
Etapa 1: em 0B , tome )(0iL , com i1,2,3, como as linhas de 0B e )(0
11a como pivô e
calculam-se os multiplicadores )(01im ( i2,3).
)(021m
)(
)(
011
021
a
a
2
4 2; )(0
31m )(
)(
011
031
a
a
2
2 1.
Operações elementares nas linhas )( 10iL ( i1,2,3).
)(11L )(0
1L ; )(12L )(0
21m )(01L )(0
2L ;
)(13L )(0
31m )(01L )(0
3L .
Sendo )(1iL ( i1,2,3) as linhas da matriz 1B .
Anulam-se todos os valores abaixo do pivô )(011a .
1B
6260
7120
5132
.
Etapa 2: Repete-se o processo para o próximo pivô, situado na diagonal da matriz 1B .
Em 1B , tome )(1iL , com i2,3 e )(1
22a como pivô.
)(132m
)(
)(
122
132
a
a
2
6
3.
)(21L )(1
1L ; )(22L )(1
2L ; )(23L )(1
32m )(12L )(1
3L .
2B
15500
7120
5132
2B [U c ].
Segue que:
Cálculo Numérico Resolução de sistemas de equações lineares
Lauro / Nunes
3-22
Resolvendo U x c por substituição retroativa, tem-se: x T321
3
2
1
que é,
também, solução para o sistema A x b .
Método compacto para a TRIANGULAÇÃO U x c :
Linha Multiplicador m Matriz Aumentada Transformação
(1) 0B 2 3 -1 5
(2) )(021m = -( 4 )/( 2 )= -2 4 4 -3 3
(3) )(031m = -( 2 )/( 2 )= -1 2 -3 1 -1
(2) 1B 0 -2 -1 -7 -2 )(01L + )(0
2L
(3) )(132m = -( -6 )/( -2 )= -3 0 -6 2 -6 -1 )(0
1L + )(03L
(3) 2B 0 0 5 15 -3 )(12L + )(1
3L
As linhas contendo os pivôs formam o sistema U x c .
57. Resolver o sistema 4S com arredondamento em duas casas decimais, na matriz
aumentada.
4S A x b
3106521213081021
880411523084352
74914551188524
416011390378
4321
4321
4321
4321
,,,,,
,,,,,
,,,,,
,,,,,
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
Resolução:
Linha Multiplicador m Matriz Aumentada
(1) 0B 8,70 3,00 9,30 11,00 16,40
(2) )(021m = -( 24,50 )/( 8,70 ) 24,50 -8,80 11,50 -45,10 -49,70
(3) )(031m = -( 52,30 )/( 8,70 ) 52,30 -84,00 -23,50 11,40 -80,80
(4) )(041m = -( 21,00 )/( 8,70 ) 21,00 -81,00 -13,20 21,50 -106,30
(2) 1B 0,00 -17,25 -14,69 -76,08 -95,88
(3) )(132m = -( -102,03 )/( -17,25 ) 0,00 -102,03 -79,41 -54,73 -179,39
(4) )(142m = -( -88,24 )/( -17,25 ) 0,00 -88,24 -35,65 -5,05 -145,89
(3) 2B 0,00 0,00 7,48 395,27 387,72
(4) )(243m = -( 39,49 )/( 7,48 ) 0,00 0,00 39,49 384,13 344,57
(4) 3B 0,00 0,00 0,00 -1702,66 -1702,36
Então A x b U x c [ A b ] [U c ].
U x c
361702661702000
723872739548700
88950876691425170
416011390378
4
43
432
4321
,,
,,,
,,,,
,,,,,
x
xx
xxx
xxxx
Logo: x T001011012011 ,,,, .
Cálculo Numérico Resolução de sistemas de equações lineares
Lauro / Nunes
3-23
58. Com base no exercício anterior, calcular o resíduo r do sistema A x b .
Resolução: r b xA .
r
3106
880
749
416
,
,
,
,
521213081021
411523084352
14551188524
011390378
,,,,
,,,,
,,,,
,,,,
001
011
012
011
,
,
,
,
.
r T4680082004200240 ,,,, .
59. Resolva 4S com arredondamento em duas casas decimais, utilizando eliminação de
Gauss com pivoteamento completo.
4S A x b
3106521213081021
880411523084352
74914551188524
416011390378
4321
4321
4321
4321
,,,,,
,,,,,
,,,,,
,,,,,
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
.
Resolução:
Linha Multiplicador m Matriz Aumentada
(1) )(012m = -( 3,00 )/( -84,00 ) 8,70 3,00 9,30 11,00 16,40
(2) )(022m = -( -8,80 )/( -84,00 ) 24,50 -8,80 11,50 -45,10 -49,70
(3) 0B 52,30 -84,00 -23,50 11,40 -80,80
(4) )(042m = -( -81,00 )/( -84,00 ) 21,00 -81,00 -13,20 21,50 -106,30
(1) )(114m = -( 11,41 )/( -46,29 ) 10,57 0,00 8,46 11,41 13,51
(2) 1B 19,02 0,00 13,96 -46,29 -41,24
(4) )(144m = -( 10,51 )/( -46,29 ) -29,43 0,00 9,46 10,51 -28,39
(1) )(211m = -( 15,26 )/( -25,11 ) 15,26 0,00 11,90 0,00 3,34
(4) 2B -25,11 0,00 12,63 0,00 -37,75
(1) 3B 0,00 0,00 19,58 0,00 -19,60
Então A x b U x c [ A b ] [U c ].
U x c
3
2
1
0
B
B
B
B
60190581900
75370631201125
24412946961300219
880411523084352
3
31
431
4321
,,
,,,
,,,,
,,,,,
x
xx
xxx
xxxx
Com o cálculo retroativo de 3B para 0B , obtém-se: x T001001002001 ,,,, .
Considerando-se precisão em duas casas decimais, o processo levou ao x exato, em
conseqüência o resíduo é nulo.
r b xA r T000000000000 ,,,, .
Cálculo Numérico Resolução de sistemas de equações lineares
Lauro / Nunes
3-24
60. Decompor a matriz A, usando a Decomposição LU.
A = (1 2 −12 3 −21 −2 1
)
Calculando o 𝑚𝑖𝑗 e 𝑢𝑖𝑗, usando o processo de Gauss (𝑚𝑖𝑗 sem troca de sinal), temos:
Resolução:
Para a Coluna 1 da matriz A(0):
A=A(0) = (
1 2 −12 3 −21 −2 1
)
Pivô = 𝑎11(0)
= 1
Multiplicadores: 𝑚21(0)
=𝑎21
(0)
𝑎11(0) =
2
1= 2 𝑚31
(0)=
𝑎31(0)
𝑎11(0) =
1
1= 1
Então:
𝐿1(1)
← 𝐿1(0)
; 𝐿2(1)
← −𝑚21(0)
∗ 𝐿1(0)
+ 𝐿2(0)
𝐿3(1)
← −𝑚31(0)
∗ 𝐿1(0)
+ 𝐿3(0)
A(1) = (
1 2 −10 −1 00 −4 2
)
Para a Coluna 2 da matriz A(1):
Pivô = 𝑎22 = −1
Multiplicadores: 𝑚32(1)
=𝑎32
(1)
𝑎22(1) =
−4
−1= 4
Então:
𝐿1(2)
← 𝐿1(1)
; 𝐿2(2)
← 𝐿2(1)
𝐿3(2)
← −𝑚32(1)
∗ 𝐿2(1)
+ 𝐿3(1)
A(2) = (1 2 −10 −1 00 0 2
)
Os fatores L e U são:
𝐿 = (1 0 0
𝑚21 1 0𝑚31 𝑚32 1
) = (1 0 02 1 01 4 1
) e 𝑈 = (1 2 −10 −1 00 0 2
)
Logo:
A = 𝐿 ∗ 𝑈 = (1 0 02 1 01 4 1
) ∗ (1 2 −10 −1 00 0 2
) = (1 2 −12 3 −21 −2 1
)
Vamos aproveitar o Exercício acima para resolver um sistema de equações lineares
através da Decomposição LU.
61. Resolva o sistema linear a seguir usando a Decomposição LU (Fatoração).
{
𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 2 2𝑥1 + 3𝑥2 − 2𝑥3 = 3𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 0
Resolução:
Já temos que: A = (1 2 −12 3 −21 −2 1
) = (1 0 02 1 01 4 1
) ∗ (1 2 −10 −1 00 0 2
) = 𝐿𝑈
Para resolvermos o sistema Ax = b, onde b = (2 3 0)𝑡, resolvemos primeiramente Ly=b.
(1 0 02 1 01 4 1
) ∗ (
𝑦1
𝑦2
𝑦3
) = (230
) , ou seja, {
𝑦1 = 2 2𝑦1 + 𝑦2 = 3 𝑦1 + 4𝑦2 + 𝑦3 = 0
Cálculo Numérico Resolução de sistemas de equações lineares
Lauro / Nunes
3-25
Então (
𝑦1
𝑦2
𝑦3
) = (2
−12
).
A seguir calculamos x através da equação Ux = y.
(1 2 −10 −1 00 0 2
) ∗ (
𝑥1
𝑥2
𝑥3
) = (2
−12
), ou seja, {𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 2−𝑥2 = −1 2𝑥3 = 2
Logo, 𝑥 = (
𝑥1
𝑥2
𝑥3
) = (111
).
62. Resolva o sistema linear a seguir usando a fatoração LU:
{
3𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 = −1𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 10 4𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 = 5
Resolução:
A = (3 2 41 1 24 3 2
) e 𝑏 = (−1105
)
Usando o processo de Gauss para triangular A, tem-se:
1ª coluna
Multiplicadores: 𝑚21(0)
=𝑎21
(0)
𝑎11(0) =
1
3 e 𝑚31
(0)=
𝑎31(0)
𝑎11(0) =
4
3
Aplicando os multiplicadores, obtém-se a matriz A(1):
𝐴(1) = (3 2 40 1/3 2/30 1/3 −10/3
)
𝐿1 → 𝐿1 𝐿2 → −𝑚21 ∗ 𝐿1 + 𝐿2
𝐿3 → −𝑚31 ∗ 𝐿1 + 𝐿3
2ª coluna
Multiplicador: 𝑚32(1)
=𝑎32
(1)
𝑎22(1) = 1
Aplicando o multiplicado, obtém-se a matriz A(2):
A(2) = (3 2 40 1/3 2/30 0 −4
)
𝐿1 → 𝐿1 𝐿2 → 𝐿2 𝐿3 → −𝑚32 ∗ 𝐿2 + 𝐿3
Os fatores L e U são:
𝐿 = (1 0 0
1/3 1 04/3 1 1
) e 𝑈 = (3 2 40 1/3 2/30 0 −4
)
Resolvendo o sistema L(Ux)=b, tem-se:
𝐿𝑦 = 𝑏 → {
𝑦1 = −1 𝑦1
3+ 𝑦2 = 10
4𝑦1
3+ 𝑦2 + 𝑦3 = 5
𝑦 = (−1
31/3−4
)
𝑈𝑥 = 𝑦 → {
3𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 = −1𝑥2
3+
2𝑥3
3=
31
3
−4𝑥3 = −4
𝑥 = (−21291
)
Cálculo Numérico Resolução de sistemas de equações lineares
Lauro / Nunes
3-26
63. Resolva o sistema linear a seguir usando a fatoração LU:
{
3𝑥 − 0,1𝑦 − 0,2𝑧 = −1,20,1𝑥 + 7𝑦 − 0,3𝑧 = 7,8 0,3𝑥 − 0,2𝑦 + 10𝑧 = 3,5
Resolução:
A = (3 −0,1 −0,2
0,1 7 −0,30,3 −0,2 10
) e 𝑏 = (−1,27,83,5
)
Usando o processo de Gauss para triangular A, tem-se:
1ª coluna
Multiplicadores:
𝑚21 =𝑎21
(0)
𝑎11(0) = 0,0333 e 𝑚31 =
𝑎31(0)
𝑎11(0) = 0,1
Aplicando os multiplicadores, obtém-se a matriz A(1):
A(1) = (3 −0,1 −0,20 7,0033 −0,29330 −0,19 10,02
)
𝐿1 → 𝐿1 𝐿2 → −𝑚21 ∗ 𝐿1 + 𝐿2
𝐿3 → −𝑚31 ∗ 𝐿1 + 𝐿3
2ª coluna
Multiplicador:
𝑚32 =𝑎32
(1)
𝑎22(1) = −0,0271
Aplicando o multiplicado, obtém-se a matriz A(2):
A(2) = (3 −0,1 −0,20 7,0033 −0,29330 0 10,0120
)
𝐿1 → 𝐿1 𝐿2 → 𝐿2 𝐿3 → −𝑚32 ∗ 𝐿2 + 𝐿3
Os fatores L e U são:
𝐿 = (1 0 0
0,0333 1 00,1 −0,0271 1
) e 𝑈 = (3 −0,1 −0,20 7,0033 −0,29330 0 10,0120
)
Resolvendo o sistema L(Ux)=b, tem-se:
𝐿𝑦 = 𝑏 → {
𝑦1 = −1,2 0,0333𝑦1 + 𝑦2 = 7,8 0,1𝑦1 − 0,0271𝑦2 + 𝑦3 = 3,5
𝑦 = (−1,27,84
3,8327)
𝑈𝑥 = 𝑦 → {
3𝑥1 − 0,1𝑥2 − 0,2𝑥3 = −1,27,0033𝑥2 − 0,2933𝑥3 = 7,8410,0120𝑥3 = 3,8327
𝑥 = (−0,33661,13550,3828
)
Cálculo Numérico Resolução de sistemas de equações lineares
Lauro / Nunes
3-27
64. Considere a matriz.
A = (1 1 12 1 −13 2 5
)
a) Calcule a fatoração LU de A.
b) Usando a fatoração LU, calcule o determinante de A.
Resolução:
a) Usando o processo de Gauss para triangular A, tem-se:
1ª coluna
Multiplicadores:
𝑚21 =𝑎21
(0)
𝑎11(0) = 2 e 𝑚31 =
𝑎31(0)
𝑎11(0) = 3
Aplicando os multiplicadores, obtém-se a matriz A(1):
A(1) = (1 1 10 −1 −30 −1 2
)
𝐿1 → 𝐿1 𝐿2 → −𝑚21 ∗ 𝐿1 + 𝐿2
𝐿3 → −𝑚31 ∗ 𝐿1 + 𝐿3
2ª coluna
Multiplicador:
𝑚32 =𝑎32
(1)
𝑎22(1) = 1
Aplicando o multiplicado, obtém-se a matriz A(2):
A(2) = (1 1 10 −1 −30 0 5
)
𝐿1 → 𝐿1 𝐿2 → 𝐿2 𝐿3 → −𝑚32 ∗ 𝐿2 + 𝐿3
Os fatores L e U são:
𝐿 = (1 0 02 1 03 1 1
) e 𝑈 = (1 1 10 −1 −30 0 5
)
b) Sabe-se que A = LU então:
det(A) = det(𝐿𝑈)
det(A) = det(𝐿) ∗ det(𝑈)
det(A) = (1 ∙ 1 ∙ 1) ∗ (1 ∙ (−1) ∙ 5)
det(𝐴) = −5
Cálculo Numérico Resolução de sistemas de equações lineares
Lauro / Nunes
3-28
65. Aplicando-se o método da decomposição LU a matriz:
A = (
?4
?−1
3 ?10 8
? −3 12 110 −2 −5 10
)
Obtiveram-se as matrizes:
𝐿 = (
?2
0?
??
??
30
0?
?1
0?
) e 𝑈 = (
??
−11
? 5? −2
? 0 3 −40 ? 0 10
)
Preencha os espaços pontilhados com valores adequados.
Resolução:
Iniciamos completando a matriz L com os elementos da diagonal principal, que são igual
a 1, e com os elementos acima da diagonal principal, que são nulos.
𝐿 = (
12
01
00
00
30
0?
11
01
)
Também podemos completar alguns elementos da matriz U, abaixo da diagonal principal,
que são nulos.
𝑈 = (
?0
−11
? 5? −2
0 0 3 −40 0 0 10
)
Com o multiplicador 𝑚21 =𝑎21
(0)
𝑎11(0), podemos calcular os elementos 𝑎11:
𝑚21 =𝑎21
(0)
𝑎11(0)
2 =4
𝑎11(0)
𝑎11(0)
= 2 Comparando a primeira linha das matrizes A e U, completamos a primeira linha dessas
matrizes:
A = (
24
−1−1
310
58
?0
−3−2
12−5
1110
)
𝑈 = (
20
−11
3 5? −2
0 0 3 −40 0 0 10
)
Cálculo Numérico Resolução de sistemas de equações lineares
Lauro / Nunes
3-29
Com o multiplicador 𝑚31 =𝑎31
(0)
𝑎11(0), podemos calcular os elementos 𝑎31:
𝑚31 =𝑎31
(0)
𝑎11(0)
3 =𝑎31
(0)
2
𝑎31(0)
= 6 Assim, temos:
A = (
24
−1−1
310
58
60
−3−2
12−5
1110
)
Com os dados obtidos da matriz A podemos calcular o elemento 𝑎23(1)
:
𝑎23(1)
= 𝑎23(0)
− 𝑚21 ∗ 𝑎13(0)
𝑎23(1)
= 10 − 2 ∗ 3
𝑎23(1)
= 4
Assim, temos:
𝑈 = (
20
−11
3 54 −2
0 0 3 −40 0 0 10
)
Usando o processo de Gauss para triangular A, tem-se:
A(1) = (
20
−11
34
5−2
00
0−2
3−5
−410
)
Com os dados dessa matriz podemos calcular o multiplicador 𝑚42:
𝑚42 =𝑎42
(1)
𝑎22(1)
= −2
Assim, temos:
𝐿 = (
1 2
01
00
00
30
0−2
11
01
)
Cálculo Numérico Resolução de sistemas de equações lineares
Lauro / Nunes
3-30
66. Considerando a resposta x do exercício 2, faça o refinamento de x até que se obtenha
o resíduo )(kr =0, considerando precisão dupla (410 0,0001), quatro casas decimais.
A x b
3106521213081021
880411523084352
74914551188524
416011390378
4321
4321
4321
4321
,,,,,
,,,,,
,,,,,
,,,,,
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
)(0x T001011012011 ,,,,
)(0r b A )(0x )(0r T4680082004200240 ,,,,
REFINAMENTO: )(kx
)( 1kx )( 1 k A
)( 1 k )( 1kr [ A )( 1kr ]
)( 1 k
Resolução:
k 1 [ A )(0r ] )(0
)(1x )(0x
)(0
Linha Multiplicador m Matriz Aumentada
(1) 0B 8,7000 3,0000 9,3000 11,0000 -0,0240
(2) )(021m = -( 24,5000 )/( 8,7000 ) 24,5000 -8,8000 11,5000 -45,1000 -0,0420
(3) )(031m = -( 52,3000 )/( 8,7000 ) 52,3000 -84,0000 -23,5000 11,4000 0,0820
(4) )(041m = -( 21,0000 )/( 8,7000 ) 21,0000 -81,0000 -13,2000 21,5000 0,4680
(2) 1B 0,0000 -17,2483 -14,6897 -76,0770 0,0256
(3) )(1
32m = -( -102,0345 )/( -17,2483 ) 0,0000 -102,0345 -79,4069 -54,7264 0,2263
(4) )(1
42m = -( -88,2414 )/( -17,2483 ) 0,0000 -88,2414 -35,6483 -5,0517 0,5259
(3) 2B 0,0000 0,0000 7,4919 395,3167 0,0749
(4) )(243m = -( 39,5034 )/( 7,4919 ) 0,0000 0,0000 39,5034 384,1543 0,3949
(4) 3B 0,0000 0,0000 0,0000 -1700,2774 0,0000
Considerando 4 casas decimais:
[ A )(0r ]
0000027741700000
0749031673954919700
025600770766897142483170
02400011390378
4
43
432
4321
,,
,,,
,,,,
,,,,,
Então:
[ A )(0r ] )(0
)(0 T00000010000100001000 ,,,,
Como: )(0x T001011012011 ,,,,
)(1x )(0x
)(0 )(1x T00001000010000200001 ,,,,
)(1r b A )(1x )(1r T00000000000000000000 ,,,, .
Logo, após 1 refinamento, foi obtido )(1r 0 considerando 4 dígitos significativos. Logo, o
processo iterativo )(kx
)( 1kx )( 1 k com k 1 levou a x T1121 .
Cálculo Numérico Resolução de sistemas de equações lineares
Lauro / Nunes
3-31
67. Resolva o sistema a seguir, utilizando o método de Gauss-Jacobi, com 10 0 nx )( e
210 0,01.
xA b
61032
85
7210
321
321
321
xxx
xxx
xxx
x F x d
Resolução:
F
010
3
10
25
10
5
110
1
10
20
e d
10
65
810
7
Neste caso a fórmula de recorrência fica:
)( 1kx F )(kx d
10
3265
810
27
2113
3112
321
1
)(
)(
)(
)()()(
)()()(
)()()(
kkk
kkk
kkk
xxx
xxx
xxx
k )(kx1 )(kx2
)(kx3 )()(max 1
31
k
ik
ii
xx
0 0 0 0 -
1 0,7 -1,6 0,6 1,6
2 0,96 -1,86 0,94 0,34
3 0,978 -1,98 0,966 0,12
4 0,9994 -1,9888 0,9984 0,0324
5 0,99792 -1,99956 0,99676 0,01076
6 1,000236 -1,998936 1,000284 0,003524
Com )(0x T000 e 0,01, o processo convergiu com 6 iterações para:
x T000284199893610002361 ,,, .
Cálculo Numérico Resolução de sistemas de equações lineares
Lauro / Nunes
3-32
68. Verificar se o critério das linhas é satisfeito no sistema de equações xA b , que segue:
xA b
61032
85
7210
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Resolução: A
1032
151
1210
333231
222321
111312
aaa
aaa
aaa
10 3 2
5 1 1
10 1 2
Logo, a matriz dos coeficientes A é estritamente diagonal dominante, o que garante a
convergência do método de Gauss-Jacobi aplicado a este sistema com esta ordem de
equações e incógnitas.
69. Verificar se o critério das linhas é satisfeito no sistema de equações xA b , que segue:
xA b
686
3225
23
32
321
321
xx
xxx
xxx
Resolução: A
860
225
131
333231
222321
111312
aaa
aaa
aaa
8 6 0
2 2 5
1 1 3
Logo a matriz dos coeficientes A não é estritamente diagonal dominante. Isto
significa que não é garantida a convergência do método de Gauss-Jacobi aplicado a este
sistema com esta ordem de equações e incógnitas.
Mas permutando adequadamente as equações do sistema, obtém-se o sistema
equivalente:
686
23
3225
32
321
321
xx
xxx
xxx
onde A
860
131
225
333231
222321
111312
aaa
aaa
aaa
8 6 0
3 1 1
5 2 2
Logo, esta nova matriz dos coeficientes A é estritamente diagonal dominante, o que
garante a convergência do método de Gauss-Jacobi aplicado a este sistema com esta nova
ordem de equações e incógnitas.
Cálculo Numérico Resolução de sistemas de equações lineares
Lauro / Nunes
3-33
70. Resolva o sistema a seguir, utilizando o método de Gauss-Seidel, com 10 0 nx )( e
210 0,01.
xA b
61032
85
7210
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Resolução:
Neste caso a fórmula de recorrência fica:
10
3265
810
27
12
111
3
31
112
3211
)(
)(
)(
)()()(
)()()(
)()()(
kkk
kkk
kkk
xxx
xxx
xxx
k )(kx1 )(kx2
)(kx3 )()(max 1
31
k
ik
ii
xx
0 0 0 0 -
1 0,7 -1,74 0,982 1,74
2 0,9498 -1,98636 1,005948 0,2498
3 0,9966772 -2,00052504 1,000822072 0,0468772
4 1,000022801 -2,000168975 1,000046132 0,003345601
Com )(0x T000 e 0,01, o processo convergiu com 4 iterações para:
x T000046100016920000231 ,,, .
Cálculo Numérico Resolução de sistemas de equações lineares
Lauro / Nunes
3-34
71. Resolva o sistema xA b , utilizando o método de Gauss-Jacobi, com 10 0 nx )( e
0,05.
xA b
0633
643
55
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Resolução:
F
06
3
6
34
10
4
35
1
5
10
e d
6
04
65
5
Neste caso a fórmula de recorrência fica:
)( 1kx F )(kx d
6
334
365
5
2113
3112
3211
)(
)(
)(
)()()(
)()()(
)()()(
kkk
kkk
kkk
xxx
xxx
xxx
k )(kx1 )(kx2
)(kx3 )()(max 1
31
k
ik
ii
xx
0 0 0 0 -
1 1 1,5 0 1,5
2 0,7 0,75 -1,25 1,25
3 1,1 1,2875 -0,725 0,5375
4 0,8875 0,85625 -1,19375 0,46875
5 1,0675 1,1328125 -0,871875 0,321875
6 0,9478125 0,91734375 -1,10015625 0,22828125
7 1,0365625 1,064179688 -0,932578125 0,167578125
8 0,973679688 0,955722656 -1,050371094 0,117792969
9 1,018929688 1,032333008 -0,964701172 0,085669922
10 0,986473633 0,976978027 -1,025631348 0,060930176
11 1,009730664 1,016552612 -0,98172583 0,043905518
Com )(0x T000 e 0,05, o processo convergiu com 11 iterações para:
x T9817260016553100097311 ,,, .
Cálculo Numérico Resolução de sistemas de equações lineares
Lauro / Nunes
3-35
72. Resolva o sistema xA b , utilizando o método de Gauss-Seidel, com 10 0 nx )( e
0,05.
xA b
0633
643
55
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Resolução:
Neste caso a fórmula de recorrência fica:
6
334
365
5
12
111
3
31
112
3211
)(
)(
)(
)()()(
)()()(
)()()(
kkk
kkk
kkk
xxx
xxx
xxx
k )(kx1 )(kx2
)(kx3 )()(max 1
31
k
ik
ii
xx
0 0 0 0 -
1 1 0,75 -0,875 1
2 1,025 0,95 -0,9875 0,2
3 1,0075 0,99125 -0,999375 0,04125
Com )(0x T000 e 0,05, o processo convergiu com 3 iterações para:
x T999375099125000075001 ,,, .
73. Verificar se o critério de Sassenfeld é satisfeito no sistema de equações xA b , que
segue: xA b
52203010
01207010
62102020
20101050
4321
4321
4321
4321
,,,,
,,,,
,,,,
,,,,
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
Resolução: A
1203010
2017010
1020120
1010501
,,,
,,,
,,,
,,,
1 ][ 14131211
1aaa
a 1·[ 0,50,10,1 ] 0,7
2 ][ 242312122
1aaa
a 1· [ 0,2·0,70,20,1 ] 0,44
3 ][ 3423213133
1aaa
a 1· [ 0,1·0,70,7·0,440,2 ] 0,578
4 ][ 34324214144
1 aaa
a1·[0,1·0,70,3·0,440,2·0,578] 0,3176
Cálculo Numérico Resolução de sistemas de equações lineares
Lauro / Nunes
3-36
Então, ii
M 41
max max { 0,7 ; 0,44 ; 0,578 ; 0,3176 } 0,7 1. Logo o critério de
Sassenfeld está satisfeito, o que garante a convergência do método de Gauss-Seidel
aplicado a este sistema.
74. Verificar se o critério de Sassenfeld é satisfeito no sistema de equações xA b , que
segue: xA b
33
1
932
31
32
321
xx
xx
xxx
Resolução: Com esta disposição de linhas e colunas, tem-se que:
1 ][ 131211
1aa
a
2
1 ·[13] 2 > 1, logo o critério de Sassenfeld não é satisfeito.
Permutando as equações 1 e 3 tem-se o sistema de equações equivalente:
932
1
33
321
32
31
xxx
xx
xx
, e para esta disposição verifica-se que:
1 ][ 131211
1aa
a
1
1 ·[03] 3 > 1, logo o critério de Sassenfeld novamente não
é satisfeito.
Permutando agora as colunas 1 e 3 tem-se o sistema de equações equivalente:
923
1
33
123
23
13
xxx
xx
xx
, e para esta disposição verifica-se que:
1 ][ 131211
1aa
a
3
1 ·[01]
3
1
2 ][ 2312122
1aa
a
1
1
· [ 1·3
10 ]
3
1
3 ][ 23213133
1 aa
a
2
1 · [ 3·
3
11·
3
1]
3
2
Então, ii
M 31
max max {3
1,
3
2}
3
2 1. Logo o critério de Sassenfeld está
satisfeito, o que garante a convergência do método de Gauss-Seidel aplicado a este
sistema com esta nova ordem de equações e incógnitas.
Cálculo Numérico Interpolação
Lauro / Nunes
4-37
4 Interpolação
75. Determine iL ( kx ) para i0,1,2, k 0,1,2 e n 2.
Resolução:
i0 0L ( x )))((
))((
2010
21
xxxx
xxxx
k 0 0L ( 0x )1
k 1 0L ( 1x )0
k 2 0L ( 2x )0
i1 1L ( x )))((
))((
2101
20
xxxx
xxxx
k 0 1L ( 0x )0
k 1 1L ( 1x )1
k 2 1L ( 2x )0
i2 2L ( x )))((
))((
1202
10
xxxx
xxxx
k 0 2L ( 0x )0
k 1 2L ( 1x )0
k 2 2L ( 2x )1
Para x kx , com k 0,1,2,, n , temos:
nP ( kx )
n
ikii xLy
0
)(
i k 0
)( kii xLy 0
i k 1
)( iii xLy iy
Cálculo Numérico Interpolação
Lauro / Nunes
4-38
76. Interpolar o ponto x 1,5 na tabela abaixo, empregando o polinômio interpolador de
Lagrange.
i 0 1 2 3
ix 1 0 1 2
iy 1 3 1 1
Resolução: n3 é o grau máximo de 3P ( x ).
3P ( x )
3
0iii xLy )( 3P ( x )1 0L ( x )3 1L ( x )1 2L ( x )1 3L ( x )
iL ( x )
3
0ij
j ji
j
xx
xx
)(
)(
0L ( x )))()((
))()((
302010
321
xxxxxx
xxxxxx
))()((
))()((
211101
210
xxx
6
23 23
xxx
1L ( x )))()((
))()((
312101
320
xxxxxx
xxxxxx
))()((
))()((
201010
211
xxx
2
22 23 xxx
2L ( x )))()((
))()((
321202
310
xxxxxx
xxxxxx
))()((
))()((
210111
201
xxx
2
223
xxx
3L ( x )))()((
))()((
231303
210
xxxxxx
xxxxxx
))()((
))()((
120212
101
xxx
6
3 xx
Logo:
3P ( x )6
23 23
xxx3
2
22 23 xxx
2
223
xxx
6
3 xx
3P ( x )3x 2
2x x 3
3P (1,5) 3P (23 ) 3
23 )( 2 2
23 )(
23 3
3P (1,5)8
27 2
4
9
2
33
3P (1,5)8
3 3P (1,5)0,375
y
x
x( )P
1
3
-1 2
2
1
3
32
38
0
Cálculo Numérico Interpolação
Lauro / Nunes
4-39
77. Interpolar o ponto x 1,5 na tabela abaixo, empregando a forma de Newton.
i 0 1 2 3
ix 1 0 1 2
iy 1 3 1 1
Resolução: n3 é o grau máximo de 3P ( x ). Tabela de diferenças divididas:
x ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3
1 1
)( 10
13
2
0 3 )( 11
22
2
01
31
2
)(
)(
12
21
1
1 1 02
20
)(1
12
11
0
2 1
3P ( x ) f [ 0x ]( x 0x ) f [ 0x , 1x ]( x 0x )( x 1x ) f [ 0x , 1x , 2x ]
( x 0x )( x 1x )( x 2x ) f [ 0x , 1x , 2x , 3x ]
3P ( x )1( x 1)2( x 1)( x )(2)( x 1)( x )( x 1)(1)
3P ( x )12 x 222x 2 x
3x x
3P ( x )3x 2
2x x 3
Cálculo Numérico Interpolação
Lauro / Nunes
4-40
78. Seja f ( x ) dada em forma de tabela de valores, como segue:
x 0,2 0,34 0,4 0,52 0,6 0,72
f ( x ) 0,16 0,22 0,27 0,29 0,32 0,37
a) Obter f (0,47) usando um polinômio de grau 2;
b) Dar uma estimativa para o erro.
Resolução: Tabela de diferenças divididas:
x ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3
0,2 0,16
0,4286
0,34 0,22 2,0235
0,8333 17,8963
0,4 0,27 3,7033
0,1667 18,2494
0,52 0,29 1,0415
0,375 2,6031
0,6 0,32 0,2085
0,4167
0,72 0,37
Deve-se escolher 3 pontos próximos de 0,47 para a obtenção de 2P ( x ).
2P ( x ) f [ 0x ]( x 0x ) f [ 0x , 1x ]( x 0x )( x 1x ) f [ 0x , 1x , 2x ]
2P ( x )0,27( x 0,4)0,1667( x 0,4)( x 0,52)1,0415
2P ( x )1,04152x 0,79148 x 0,419952
a) 2P (0,47)0,278 f (0,47)
b) | nE (0,47)||(0,470,4)(0,470,52)(0,470,6)||18,2494|
| nE (0,47)|8,303310
.
Cálculo Numérico Interpolação
Lauro / Nunes
4-41
79. Prove a igualdade seguinte.
1P ( x ) f ( 0x )10
1
xx
xx
f ( 1x )
01
0
xx
xx
f [ 0x ]( x 0x ) f [ 0x , 1x ]
Resolução:
x ordem 0 ordem 1
0x f [ 0x ] 0y
f [ 0x , 1x ]01
01
xx
yy
1x f [ 1x ] 1y 1P ( x ) f [ 0x ]( x 0x ) f [ 0x , 1x ]
1P ( x ) f [ 0x ]( x 0x ) f [ 0x , 1x ]
1P ( x ) 0y ( x 0x )01
01
xx
yy
1P ( x ) 0y 1y 01
0
xx
xx
0y
01
0
xx
xx
1P ( x ) 0y 0y 01
0
xx
xx
1y
01
0
xx
xx
1P ( x ) 0y
1
01
0
xx
xx 1y
01
0
xx
xx
1P ( x ) 0y
01
001
xx
xxxx 1y
01
0
xx
xx
1P ( x ) 0y 01
1
xx
xx
1y
01
0
xx
xx
1P ( x ) f ( 0x )10
1
xx
xx
f ( 1x )
01
0
xx
xx
80. Encontre x tal que f ( x )2 pela tabela abaixo:
x 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
f ( x ) 1,65 1,82 2,01 2,23 2,46 2,72
Resolução:
Fazendo interpolação linear por 0x 0,6 e 1x 0,7:
1P ( x ) f ( 0x )10
1
xx
xx
f ( 1x )
01
0
xx
xx
1P ( x )1,8210
70
,
,
x2,01
10
60
,
,x
1P ( x )18,2 x 12,7420,1 x 12,06 1P ( x )1,9 x 0,68.
1P ( x )2 1,9 x 0,682 x 91
6802
,
,
x 0,6947368.
Cálculo Numérico Interpolação
Lauro / Nunes
4-42
81. Considere a tabela a seguir:
x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
y xe 1 1,1052 1,2214 1,3499 1,4918 1,6487
Obter x , tal que xe 1,3165, usando um processo de interpolação quadrática. Usar a
forma de Newton para obter 2P ( y ). Construir a tabela de diferenças divididas.
Resolução:
y ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3
1 0
0,9506
1,1052 0,1 0,4065
0,8606 0,1994
1,2214 0,2 0,3367
0,7782 0,1679
1,3499 0,3 0,2718
0,7047 0,1081
1,4918 0,4 0,2256
0,6373
1,6487 0,5
2P ( y ) g [ 0y ]( y 0y ) g [ 0y , 1y ]( y 0y )( y 1y ) g [ 0y , 1y , 2y ]
2P ( y )0,2( y 1,2214)0,7782( y 1,2214)( y 1,3499)(0,2718)
2P (1,3165)0,27487.
Assim, 274870,e 1,3165 Na calculadora 1,316359.
Erro cometido:
| 2E ( y )| |( y 0y )( y 1y )( y 2y )|!33M
| 2E (1,3165)| |(1,31651,2214)(1,31651,3499)(1,31651,4918)|!33M
| 2E (1,3165)| 5,5681410
!33M
3M )('''max yg , y [ 0y , 2y ].
1o Caso: !33M
pode ser aproximado por 0,1994 (tabela de diferenças divididas de ordem 3).
| 2E (1,3165)| 5,5681410 0,1994 | 2E ( y )| 1,11028
410 .
2o Caso: f ( x )xe g ( y )
1f ( y ) yln
'g ( y )y
1 "g ( y )
2
1
y '"g ( y )
3
2
y
Logo: 3M 322141
2
),( 3M 1,0976, então
!33M
!
,
3
097610,18293.
| 2E (1,3165)| 5,5681410 0,18293 | 2E ( y )| 1,0186
410 (limite superior).
Cálculo Numérico Interpolação
Lauro / Nunes
4-43
82. Achar a função spline linear que interpola a função f ( x ) tabelada a seguir.
0x 1x 2x 3x
x 1 2 5 7
y f ( x ) 1 2 3 2,5
Resolução: Pela definição, pode-se definir 3 splines lineares para os 4 pontos: 1s ( x ),
2s ( x ) e 3s ( x ).
1s ( x ) 0y01
1
xx
xx
1y
01
0
xx
xx
1s ( x )112
2
x2
12
1
x2 x 2 x 2 x 1s ( x ) x , x[1,2].
2s ( x ) 1y12
2
xx
xx
2y
12
1
xx
xx
2s ( x )225
5
x3
25
2
x
3
2(5 x ) x 2
3
1( x 4) 2s ( x )
3
1( x 4) , x[2,5].
3s ( x ) 2y23
3
xx
xx
3y
23
2
xx
xx
3s ( x )357
7
x2,5
57
5
x 3s ( x )
21 (0,5 x 8,5) , x[5,7].
Então, no intervalo [ a ,b ][1,7], a spline linear 1S ( x ) é dada por:
1S ( x )
.75se ,
;52se ,
;21se ,
3
2
1
],[)(
],[)(
],[)(
xxs
xxs
xxs
tal que
.58502
1 e
43
1 ,
3
21
),,()(
)()()(
xxs
xxsxxs
y
x
x( )s
1
1
1
0
x( )f
2 3 4 5 6 7
3
2
2,5x( )s
2
x( )s3
Cálculo Numérico Interpolação
Lauro / Nunes
4-44
83. Encontrar uma aproximação para f (0,25) por spline cúbica natural, interpolando a
tabela:
0x 1x 2x 3x 4x
x 0 0,5 1,0 1,5 2,0
y f ( x ) 3 1,8616 0,5571 4,1987 9,0536
Resolução: n4, logo, procura-se 1s ( x ), 2s ( x ), 3s ( x ) e 4s ( x ).
Spline Natural k 1,2,,( n 1) k 1,2,3 Utilizando a (15), segue que:
1kk gh 2( kh 1kh ) kg 11 kk gh 6
1
1
k
kk
h
yy
k
kk
h
yy 1
kh kx 1kx kh 0,5 k . kh h 0,5 .
Equação (15) h 1kg 4 h kg h 1kg h
6( 11 2 kkk yyy ) , com k 1,2,3.
Desenvolvendo o sistema A g b :
234432
123321
012210
26
4
26
4
26
4
yyyh
hghghg
yyyh
hghghg
yyyh
hghghg
0g 4g 0 (Spline Natural).
Então,
A g b
hh
hhh
hh
40
4
04
3
2
1
g
g
g
h
6
234
123
012
2
2
2
yyy
yyy
yyy
.
Substituindo os valores:
2500
50250
0502
,
,,
,
3
2
1
g
g
g
559814
674814
363615
,
,
,
g
2526
1114
65416
,
,
,
.
Forma geral de is ( x ) is ( x ) ia ( x ix )3 ib ( x ix )2 ic ( x ix ) id , com i1,2,3,4.
f (0,25) 1s (0,25)
1a h
gg
601
3
65416, 1a 2,218
1b 21g3,327 1b 3,327
1c h
yy 01 6
2 01 hghg 3,3858 1c 3,3858
1d 1y 1,8616 1d 1,8616
Logo, 1s (0,25)2,218(0,25)33,327(0,25)23,3858(0,25)1,8616
1s (0,25)2,5348 f (0,25) .
Cálculo Numérico Interpolação
Lauro / Nunes
4-45
Considerando os próximos 5 exercícios, encontrar uma aproximação para f ( x ) por
spline cúbica natural, interpolando a tabela:
0x 1x 2x 3x 4x
x 0 0,5 1,0 1,5 2,0
y f ( x ) 3 1,8616 0,5571 4,1987 9,0536
n4, logo, procura-se 1s ( x ), 2s ( x ), 3s ( x ) e 4s ( x ).
Do exercício anterior, a forma geral de is ( x ) é dada por:
is ( x ) ia ( x ix )3 ib ( x ix )2 ic ( x ix ) id , com i1,2,3,4.
84. f (0,8).
Resolução:
f (0,8) 2s (0,8)
2a h
gg
612 0,8477 2a 0,8477
2b 22g2,0555 2b 2,0555
2c h
yy 12 6
2 12 hghg 6,0771 2c 6,0771
2d 2y 0,5571 2d 0,5571
Logo, 2s (0,8)0,8477(0,2)32,0555(0,2)26,0771(0,2)0,5571
2s (0,8)0,5693 f (0,8) .
85. f (1,1).
Resolução:
f (1,1) 3s (1,1)
3a h
gg
623 0,7137 3a 0,7137
3b 23g3,1260 3b 3,1260
3c h
yy 23 6
2 23 hghg 8,6678 3c 8,6678
3d 3y 4,1987 3d 4,1987
Logo, 3s (1,1)0,7137(0,4)33,1260(0,4)28,6678(0,4)4,1987
3s (1,1)1,1861 f (1,1) .
Cálculo Numérico Interpolação
Lauro / Nunes
4-46
86. f (1,2).
Resolução:
f (1,2) 3s (1,2)
3a h
gg
623 0,7137 3a 0,7137
3b 23g3,1260 3b 3,1260
3c h
yy 23 6
2 23 hghg 8,6678 3c 8,6678
3d 3y 4,1987 3d 4,1987
Logo, 3s (1,2)0,7137(0,3)33,1260(0,3)28,6678(0,3)4,1987
3s (1,2)1,8604 f (1,2) .
87. f (1,3).
Resolução:
f (1,3) 3s (1,3)
3a h
gg
623 0,7137 3a 0,7137
3b 23g3,1260 3b 3,1260
3c h
yy 23 6
2 23 hghg 8,6678 3c 8,6678
3d 3y 4,1987 3d 4,1987
Logo, 3s (1,3)0,7137(0,2)33,1260(0,2)28,6678(0,2)4,1987
3s (1,3)2,5845 f (1,3) .
88. f (1,7).
Resolução:
f (1,7) 4s (1,7)
4a h
gg
6
34 2,0840 4a 2,0840
4b 24g0 4b 0
4c h
yy 34 6
2 34 hghg 10,2308 4c 10,2308
4d 4y 9,0536 4d 9,0536
Logo, 4s (1,7)2,0840(0,3)30(0,3)210,2308(0,3)9,0536
4s (1,7)6,0406 f (1,7) .
Cálculo Numérico Integração Numérica
Lauro / Nunes
5-47
5 Ajuste de curvas pelo método dos mínimos
quadrados
89. (Regressão Linear) Ajustar os dados da tabela abaixo através de uma reta.
i 1 2 3 4 5
ix 1,3 3,4 5,1 6,8 8,0
)( ixf 2,0 5,2 3,8 6,1 5,8
Resolução: Fazendo )()()( xgxgxg 2211 e considerando
)(xg1 1 e )(xg2 x , tem-se: xxg 21)( .
Assim, a reta que melhor se ajusta aos valores da tabela terá coeficientes 1 e 2 , que
são solução do seguinte sistema na forma matricial:
fg
fg
gggg
gggg
,
,
,,
,,
2
1
2
1
2212
2111
Tg ][ 111111
Tg ],,,,,[ 08861543312
Tf ],,,,,[ 8516832502
11 gg , (1)(1)+(1)(1)+(1)(1)+(1)(1)+(1)(1) = 5
21 gg , (1)(1,3)+(1)(3,4)+(1)(5,1)+(1)(6,8)+(1)(8,0) = 24,6
12 gg , (1,3)(1)+(3,4)(1)+(5,1)(1)+(6,8)(1)+(8,0)(1) = 24,6
22 gg , (1,3)(1,3)+(3,4)(3,4)+(5,1)(5,1)+(6,8)(6,8)+(8,0)(8,0) = 149,50
fg ,1 (1)(2,0)+(1)(5,2)+(1)(3,8)+(1)(6,1)+(1)(5,8) = 22,9
fg ,2 (1,3)(2,0)+(3,4)(5,2)+(5,1)(3,8)+(6,8)(6,1)+(8,0)(5,8) = 127,54
Assim,
54127
922
50149624
6245
2
1
,
,
,,
, 1 2,01 e 2 0,522
Logo a equação da reta procurada é:
xxg 21)( )(xg 2,010,522 x
Cálculo Numérico Integração Numérica
Lauro / Nunes
5-48
90. Ajustar os dados da tabela através da parábola )(1 xg 2x :
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
ix 1 0,75 0,6 0,5 0,3 0 0,2 0,4 0,5 0,7 1
)( ixf 2,05 1,153 0,45 0,4 0,5 0 0,2 0,6 0,512 1,2 2,05
Resolução: Fazendo )()( xgxg 11 e considerando )(xg1 2x , obtém-se
21 xxg )( .
Assim, para se obter a parábola que melhor se ajusta aos pontos da tabela, será necessário
encontrar 1 do sistema:
1111 ,, gfgg
Tg ])1()7,0()6,0()75,0()1([ 222221
Tf ],,,,,[ 052214501531052
11 gg , (1) 2 (1) 2 +(0,75) 2 (0,75) 2 +(0,6) 2 (0,6) 2 + + (0,7) 2 (0,7) 2 +
(1) 2 (1) 2 = 2,8464
fg ,1 (1) 2 (2,05)+(0,75) 2 (1,153)+(0,6) 2 (0,45)+ + (0,7) 2 (1,2) +
(1) 2 (2,05) = 5,8756.
Assim, 84642
875651
,
,2,0642
Logo a equação da parábola procurada é: 2
1 xxg )( 206422 xxg ,)(
y
x
2
1-1
1
Cálculo Numérico Integração Numérica
Lauro / Nunes
5-49
91. Ajustar os dados da tabela abaixo por um polinômio do segundo grau 2
321 xxxg )( .
i 1 2 3 4
ix 2 1 1 2
)( ixf 1 3 1 9
Resolução: Neste caso tem-se que: )(xg1 1, xxg )(2 e 23 xxg )(
fg
fg
fg
gggggg
gggggg
gggggg
,
,
,
,,,
,,,
,,,
3
2
1
3
2
1
332313
322212
312111
Tg ][ 11111
Tg ][ 21122
Tg ])()()()([ 22223 2112
Tf ][ 9131
11 gg , (1)(1)+(1)(1)+(1)(1)+(1)(1) = 4
21 gg , (1)(2)+(1)(1)+(1)(1)+(1)(2) = 0
12 gg , (2)(1)+(1)(1)+(1)(1)+(2)(1) = 0
31 gg , (1)22)( +(1)
21)( +(1)21)( +(1)
22)( = 10
13 gg , 22)( (1)+ 21)( (1)+
21)( (1)+ 22)( (1) = 10
22 gg , (2)( 2)+(1)(1)+(1)(1)+(2)(2) = 10
32 gg , (2)22)( +(1)
21)( +(1)21)( +(2)
22)( = 0
23 gg , 22)( (2)+ 21)( (1)+
21)( (1)+ 22)( (2) = 0
33 gg , 22)( 22)( + 21)( 21)( +
21)( 21)( + 22)( 22)( = 34
fg ,1 (1)(1)+(1)(3)+(1)(1)+(1)(9) = 8
fg ,2 (2)(1)+(1)(3)+(1)(1)+(2)(9) = 20
fg ,322)( (1)+
21)( (3)+21)( (1)+
22)( (9)= 38 Assim,
38
20
8
34010
0100
1004
3
2
1
1 3, 2 2 e 3 2. Logo a equação da
parábola procurada é: 2321 xxxg )( )(xg
2223 xx
Cálculo Numérico Integração Numérica
Lauro / Nunes
5-50
92. Aproximar a função f ( x )43x por um polinômio do primeiro grau, uma reta, no
intervalo [0,1].
Resolução:
g ( x ) 1 1g ( x ) 2 2g ( x )= 1 2 x , isto é, 1g ( x )1 e 2g ( x ) x .
Ab
2221
1211
aa
aa
2
1
2
1
b
b
2212
2111
gggg
gggg
,,
,,
2
1
2
1
gf
gf
,
,
11a 11 gg , 1
0
21 dxxg )(
1
0dx
1
0x 1
12a 21 gg , 12 gg , 21a 1
0 21 dxxgxg )()( 1
0xdx
1
0
2
2
x
2
1
22a 22 gg , 1
0
22 dxxg )(
1
0
2dxx
1
0
3
3
x
3
1
1b 1gf , 1
0 1 dxxgxf )()( 1
0
34 dxx 1
0
4x 1
2b 2gf , 1
0 2 dxxgxf )()( 1
0
34 xdxx 1
0
44 dxx
1
0
5
5
4x
5
4
Ab
31
21
211
2
1
54
1 1
5
4 e 2
5
18.
Logo:
g ( x )5
18x
5
4 f ( x )4
3x em [0,1].
Cálculo Numérico Integração Numérica
Lauro / Nunes
5-51
93. Aproximar a função f ( x )xe no intervalo [0,1] por uma reta.
Resolução:
g ( x ) 1 1g ( x ) 2 2g ( x )= 1 2 x ,
isto é, 1g ( x )1 e 2g ( x ) x .
Ab
2221
1211
aa
aa
2
1
2
1
b
b
2212
2111
gggg
gggg
,,
,,
2
1
2
1
gf
gf
,
,
11a 11 gg , 11, 1
011 dx 10x 1
12a 21 gg , x,1 1
01 xdx
1
0
2
2
x
2
1
21a 12 gg , 21 gg ,2
1
22a 22 gg , xx, 1
0
2dxx
1
0
3
3
x
3
1
1b 1gf , 1,xe 1
0dxex
10xe 1e
2b 2gf , xex , 1
0xdxex
Usando o método de integração por partes em 2b : dvu duvvu
dxex x?
Fazendo xu dxdu e dxedv x xev , obtém-se:
dxex x dxeex xx
xex xe
xex )( 1 C
Logo, 1
0dxex x
101 xex )( 0(10e ) 1.
Assim:
Ab
31
21
211
2
1
1
1e 1 4 e 10 e 2 186 e .
Logo:
g ( x )(186 e ) x 4 e 10 f ( x )xe em [0,1].
Cálculo Numérico Integração Numérica
Lauro / Nunes
5-52
94. Ajustar os dados da tabela que segue por uma função da forma g ( x ) 1 x
e 2 .
x 0 1 2
f ( x ) 1 0,5 0,7
Resolução: Desta forma, “linearizando” a função g ( x ) 1 x
e 2 , como no primeiro
exemplo anterior, tem-se:
fln ( x ) ln 1 x
e 2 1ln 2 x G ( x ).
Fazendo 1ln 1a e 2 2a , tem-se: G ( x ) 1a 2a x .
Desta forma G ( x ) fln ( x ), sendo que G ( x ) é linear nos parâmetros 1a e 2a .
Fazendo agora 1g ( x ) 1 e 2g ( x ) x :
2212
2111
gggg
gggg
,,
,,
2
1
a
a
2
1
gf
gf
,ln
,ln
Tg 1111
Tg 2102
fln T],ln,lnln[ 70501
11 gg , (1)(1)+(1)(1)+(1)(1) 3
21 gg , (1)(0)+(1)(1)+(1)(2) 3
12 gg , 21 gg , 3
22 gg , (0)(0)+(1)(1)+(2)(2) 5
1gf ,ln ( ln1)(1)+( ln0,5)(1)+( ln0,7)(1) 1,050
2gf ,ln ( ln1)(0)+( ln0,5)(1)+( ln0,7)(2) 1,406
53
33
2
1
a
a
4061
0501
,
, 1a 0,172 e 2a 0,178.
Assim, 22 a 0,178 e 17201
1 , eea 0,842.
Desta forma, tem-se que: g ( x ) 1 x
e 2
g ( x )0,842xe 1780,
f ( x ).
Os parâmetros assim obtidos não são ótimos dentro do critério dos mínimos
quadrados, isto porque estamos ajustando o problema linearizado por mínimos quadrados e
não o problema original. Portanto, os parâmetros 1a e 2a do exemplo, são os que ajustam a
função G ( x ) à função ln f ( x ), no sentido dos mínimos quadrados. Não se pode afirmar
que os parâmetros 1 e 2 (obtidos de 1a e 2a ) são os que ajustam g ( x ) 1 x
e 2 à f ( x ),
dentro do critério dos mínimos quadrados.
Cálculo Numérico Integração Numérica
Lauro / Nunes
6-53
6 Integração Numérica
95. Calcular 9
156x dx , usando a regra dos trapézios.
Resolução:
a1, b 9 e f ( x ) 56 x
h b a h 91 h 8.
b
adxxf )(
2
h[ f ( a ) f (b )] TI
f ( a ) f (1)1
f (b ) f (9)7
9
156x dx
2
8[17] TI 32.
O erro cometido será, no máximo:
| TE |12
3h
],[max
bax|
"f ( x )|
"f ( x )
23569 /)( x
| TE |12
83
],[max
91x|
23569 /)( x |
x 1 | TE | 384
x 9 | TE | 1,119
Logo, | TE | 384.
96. Calcular 9
156x dx empregando o método dos trapézios com 8 repetições.
Determine uma aproximação para o erro cometido.
Resolução:
9
1dxxf )(
9
156x dx
2
h[ f ( 0x ) f ( 8x )2
7
1iixf )( ]
h n
ab
8
19 h 1
x 0x 1 1x 2 2x 3 3x 4 4x 5 5x 6 6x 7 7x 8 8x 9
f ( x ) 1 2,65 3,61 4,36 5 5,57 6,08 6,56 7
9
156x dx
2
1[172(2,653,614,3655,576,086,56)] 37,83.
9
156x dx 37,83.
Erro cometido será, no máximo:
| TRE |2
3
12n
ab )(
],[max
bax|
"f ( x )| 2
3
812
8
],[max
91x|9(6 x 5)3/2| 6.
Neste caso em particular, f ( x ) pode ser integrada de forma exata:
9
156x dx
49
1u
6
du
49
1
23
9
/u
9
749
9
1
9
1343 38.
Cálculo Numérico Integração Numérica
Lauro / Nunes
6-54
97. Seja I 1
0dxex
. Calcule uma aproximação para I usando 10 subintervalos e a regra
dos trapézios repetida. Estimar o erro cometido.
Resolução:
h n
ab
10
1 h 0,1 ix
10
i, com i0,1,,10.
1
0dxxf )(
1
0dxex
2
10,[ f ( 0x ) f ( 10x )2
9
1iixf )( ]
1
0dxex
2
10,[
0e 1e 2(
10,e 20,e
30,e 40,e
50,e 60,e
70,e 80,e
90,e )] 1,7197.
1
0dxex
1,7197.
Erro cometido será, no máximo:
| TRE |2
3
12n
ab )(
],[max
bax|
"f ( x )| 2
3
1012
01
)(
],[max
10x|
xe | 0,00227.
98. Seja I 1
0dxex
. Qual o número mínimo de subdivisões, para a regra dos trapézios
repetida aplicada em I , de modo que o erro seja inferior a 103?
Resolução: | TRE |2
3
12n
ab )(
],[max
bax|
"f ( x )| ],[
max10x
|xe | e .
212
1
n e 103
2n 31012
e n 15,05
n16.
99. Seja I 1
0dxex
. Calcule uma aproximação para I usando a regra 1/3 de Simpson com
m 10. Estime o erro cometido.
Resolução:
Sendo m 10, h 1/10 h 0,1.
1
0dxex
3
10,(
00,e 410,e 2
20,e 430,e 2
40,e 280,e 4
90,e 01,e )
1
0dxex
1,71828278.
Estimativa do erro:
SRE 4
5
52880
01
)(
],[max
10x|
xe |
SRE 452880
e SRE 1,51016106.
Observe que SRE 0,00000151 e TRE 0,00227.
Cálculo Numérico Integração Numérica
Lauro / Nunes
6-55
100. Seja I 1
0dxex
. Para que valor de m teríamos erro inferior a 103?
Resolução:
SRE 4
5
2880n
ab )(
],[max
bax| )(xf 4
| Obs: m 2 n n 2
m
4
5
2880
01
n
)( e 103
4n 3102880
e
4n 0,943848 n 0,9856563.
m 2 n1,9713
m 2 Para um erro inferior a 103 seriam necessários 2 subintervalos.
Obs: na regra dos trapézios com repetição são necessários 16 intervalos.
101. Seja I 10
6xdxlog . Aproxime I com a regra dos trapézios com 8 repetições. Estime o
erro cometido.
Resolução:
h n
ab
8
610 h 0,5.
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8
ix 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0
)( ixf 0,7781513 0,8129134 0,8450980 0,8750613 0,9030900 0,9294189 0,9542425 0,9777236 1,0
Obs:dx
xd log
10
1
lnx
2
2
dx
xd log
10
10122 ln
ln
x
10
12 ln
x
2
2
dx
xd log
2x
elog.
10
6xdxlog
2
50,[0,778151251,02(0,812913360,97772361)]3,59331166.
10
6xdxlog 3,59331166.
Estimativa do erro:
TRE 2
3
812
610
)(
],[max
106x 2
2
dx
xd log TRE
2
3
812
4
26
elog
TRE 0,0010053113.
Cálculo Numérico Integração Numérica
Lauro / Nunes
6-56
102. Seja I 10
6xdxlog . Aproxime I com a regra de Simpson com 8 subintervalos. Estime
o erro cometido.
Resolução:
h m
ab
8
610 h 0,5. m 8 e n 4.
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8
ix 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0
)( ixf 0,7781513 0,8129134 0,8450980 0,8750613 0,9030900 0,9294189 0,9542425 0,9777236 1,0
Obs:dx
xd log
10
1
lnx
2
2
dx
xd log
10
12 ln
x
2
2
dx
xd log
2x
elog.
3
3
dx
xd log
3
log2
x
e.
4
4
dx
xd log
4
6
x
elog.
10
6xdxlog
3
5,0[0,778151251,02(0,845098040,903089990,95424251)
4(0,812913360,875061260,929418930,97772361)]3,5939135.
10
6xdxlog 3,5939135.
Estimativa do erro:
SRE 4
5
2880
610
n
)(
],[max
106x| )(xf 4
| SRE 4
5
42880
4
46
6 elog
SRE 0,0000027925.
Cálculo Numérico Solução numérica de equações diferenciais ordinárias
Lauro / Nunes
7-57
7 Solução numérica de equações diferenciais
ordinárias
103. Resolver a seguinte EDO: dx
dy xy .
Resolução:
dx
dy xy
y
1dy x dx y
1dy )( x dx
yln 2
2x c y
cx
e
2
2
y 2
2x
e
ce
y k 2
2x
e
, para k . Que representa uma família de curvas em 2.
104. Para a mesma EDO anterior, ,y xy , resolva considerando uma condição inicial
y ( 0x ) 0y , com 0x 0 e 0y 1.
Resolução: (PVI)
inicial
condição 10)(y
xydx
dy
y k 2
2x
e
1 k 20
e
k 1 y 2
2x
e
.
105. Achar aproximações para a solução do PVI
20
2
)(
,
y
yxy na malha de [0,1] com
h 0,1.
Resolução:
0x 0, 0y 2, a0, b 1, m 10
01
,
m 10.
Usar a Eq 06 para j 0,1,2,,9.
j 0:
1y 0y h f ( 0x , 0y ) 0y h ( 0x 0y 2)
1y 20,1 f (0,2)
1y 20,1 (022) 1y 2
1x 0x h
1x 00,1 1x 0,1
j 1:
2y 1y h f ( 1x , 1y ) 1y h ( 1x 1y 2)
2y 20,1 (0,122) 2y 2,01
2x 1x h
Cálculo Numérico Solução numérica de equações diferenciais ordinárias
Lauro / Nunes
7-58
2x 0,10,1 2x 0,2
TABELA:
j jx jy y ( jx ) jy y ( jx ) je
0 0 2 2 0
1 0,1 2 2,004837 -0,004837
2 0,2 2,01 2,018731 -0,008731
3 0,3 2,029 2,040818 -0,011818
4 0,4 2,0561 2,07032 -0,01422
5 0,5 2,09049 2,106531 -0,016041
6 0,6 2,131441 2,148812 -0,017371
7 0,7 2,1782969 2,196585 -0,0182881
8 0,8 2,23046721 2,249329 -0,01886179
9 0,9 2,287420489 2,30657 -0,019149511
10 1 2,34867844 2,367879 -0,01920056
Na pratica, não se dispõe da solução exata y ( jx ) do PVI. Daí a necessidade de se
determinar uma expressão matemática para o erro. Usa-se a fórmula de Taylor para
desenvolver y ( x ), solução teórica do PVI, em torno de 0x :
106. Achar aproximações para a solução do PVI
20
2
)(
,
y
yxy na malha [0,1] com h =0,1
usando o método da equação (10).
Resolução:
0x 0, 0y 2, a0, b 1, m 10
01
,
m 10.
Usar equação (10) para j 0,1,,9.
j 0:
1y 0y h ,y ( 0x )!2
2h ,,y ( 0x ) ,y ( 0x ) f ( 0x , 0y )
,y ( 0x ) 0x 0y 2.
,,y ( 0x )
x
f
( 0x , 0y )
y
f
( 0x , 0y ) f ( 0x , 0y )
,,y ( 0x ) 0y 0x 1.
1y 0y h ( 0x 0y 2)2
2h( 0y 0x 1)
1y 20,1(022)2
10 2),((201)
1y 2,005 1x 0x h 1x 00,1 1x 0,1.
j 1:
2y 1y h ,y ( 1x )!2
2h ,,y ( 1x )
Cálculo Numérico Solução numérica de equações diferenciais ordinárias
Lauro / Nunes
7-59
2y 1y h ( 1x 1y 2)2
2h( 1y 1x 1)
2y 2,0050,1(0,12,0052)2
10 2),((2,0050,11)
2y 2,019025 2x 0x 2 h 2x 020,1 2x 0,2.
TABELA:
j jx jy y ( jx ) jy y ( jx ) je
0 0 2 2 0
1 0,1 2,005 2,004837 0,000163
2 0,2 2,019025 2,018731 0,000294
3 0,3 2,041217625 2,040818 0,000399625
4 0,4 2,070801951 2,07032 0,000481951
5 0,5 2,107075765 2,106531 0,000544765
6 0,6 2,149403568 2,148812 0,000591568
7 0,7 2,197210229 2,196585 0,000625229
8 0,8 2,249975257 2,249329 0,000646257
9 0,9 2,307227608 2,30657 0,000657608
10 1 2,368540985 2,367879 0,000661985
107. Achar aproximações para a solução do PVI
10)(y
xydx
dy
na malha [0,1] com h =0,5
usando o método de Euler Aprimorado.
Resolução:
j jx jy 1k 2k y ( jx )22 /xe | jy y ( jx )|
0 0 1 0 -0,5 1 0
1 0,5 0,875 -0,4375 -0,65625 0,882496903 0,007496903
2 1 0,6015625 0,60653066 0,00496816
Cálculo Numérico Solução numérica de equações diferenciais ordinárias
Lauro / Nunes
7-60
108. Calcular a solução do PVI
10)(y
xydx
dy
com h =0,1, no interior do intervalo [0,1], pelo
método de Runge-Kutta de quarta ordem.
Resolução: 1jy jy 6
h( 1k 2 2k 2 3k 4k ), para j 0,1,2,,9.
1k jx jy
2k ( jx 0,05)( jy 0,05 1k )
3k ( jx 0,05)( jy 0,05 2k )
4k ( jx 0,1)( jy 0,1 3k )
j jx jy 1k 2k 3k 4k
0 0 1 0 -0,05 -0,049875 -0,09950125
1 0,1 0,995012479 -0,099501248 -0,148505613 -0,14813808 -0,196039734
2 0,2 0,980198673 -0,196039735 -0,242599172 -0,242017179 -0,286799087
3 0,3 0,955997481 -0,286799244 -0,329580132 -0,328831466 -0,369245734
4 0,4 0,923116345 -0,369246538 -0,407094308 -0,406242733 -0,441246036
5 0,5 0,882496901 -0,44124845 -0,473238963 -0,472359224 -0,501156587
6 0,6 0,83527021 -0,501162126 -0,526637868 -0,525809906 -0,547882454
7 0,7 0,782704542 -0,547893179 -0,566482412 -0,565785316 -0,580900808
8 0,8 0,726149051 -0,580919241 -0,592537626 -0,592043844 -0,6002502
9 0,9 0,666976845 -0,60027916 -0,605114742 -0,604885052 -0,606488339
10 1 0,606530726
109. Achar aproximação para a solução do PVI
20
2
)(
,
y
yxy na malha [0,1] com h =0,1
usando o método de Runge-Kutta de segunda ordem (Euler aprimorado).
Resolução: 0x 0, 0y 2, a 0, b 1, m 10
01
,
m 10
1jy jy 2
10,( 1k 2k ), para j 0,1,2,,9 1k jx jy 2 e 2k jx 0,1 jy 0,1 1k 2
j jx jy 1k 2k
0 0 2 0 0,1
1 0,1 2,005 0,095 0,1855
2 0,2 2,019025 0,180975 0,2628775
3 0,3 2,041217625 0,258782375 0,332904138
4 0,4 2,070801951 0,329198049 0,396278244
5 0,5 2,107075765 0,392924235 0,453631811
6 0,6 2,149403568 0,450596432 0,505536789
7 0,7 2,197210229 0,502789771 0,552510794
8 0,8 2,249975257 0,550024743 0,595022269
9 0,9 2,307227608 0,592772392 0,633495153
10 1 2,368540985