Cálculo Integral UTN
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UNIVERSIDAD TÉCNICA DEL NORTEFICAYA
MATEMÁTICA III
MAGISTER: Daniel Sono
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CLASE 1.- Miércoles 20/01/2015
CAPÍTULO V INTEGRACIÓN DE
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
MAGISTER: Daniel Sono
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CAPÍTULO V: INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
• 5.1. Integrales de senos y cosenos, siendo m y n enteros positivos pares o impares.
• 5.2. Integrales de tangentes y cotangentes, siendo m y n enteros positivos pares o impares.
• 5.3. Integrales de productos entre senos y cosenos.
• 5.4. Integrales de productos entre tangentes y cotangentes.
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DESARROLLO:
• 5.1. Integrales de senos y cosenos, siendo m y n enteros positivos pares o impares.
• 5.3. Integrales de productos entre senos y cosenos.
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CASO 1:
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Identidades Trigonométricas
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Ejercicio 5:
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Ejercicio 8:
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CASO 2:
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Ejercicio:
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CASO 3:
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FÓRMULAS
• cos2x= 2 cos2x -1 ≡
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Ejercicio 9:
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Ejercicio 7:
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CASO 4:
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Ejercicio 15:
-
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INTEGRACIÓN DE TANGENTES Y
COTANGENTES SIENDO m Y n NÚMEROS ENTEROS
POSITIVOS PARES E IMPARES
MAGISTER: Daniel Sono
CLASE 2.-Jueves 21/01/2016
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CASO 1:
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Ejemplo:
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CASO 2:
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Ejemplo 9:
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Ejercicio 10:
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CASO 3:
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Ejercicio:
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Ejercicio:
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CLASE 3.- Miércoles 27/01/2016 CASO 4:
MAGISTER: Daniel Sono
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Ejemplo 15:
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Ejercicio 17:
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CASO 5:
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Ejercicio:
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CASO 6:
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Ejercicio:
න𝑡𝑎𝑛2𝑥 𝑠𝑒𝑐3𝑥 𝑑𝑥= නሺ𝑠𝑒𝑐2𝑥− 1ሻ 𝑠𝑒𝑐3𝑥 𝑑𝑥
න(𝑠𝑒𝑐5𝑥− 𝑠𝑒𝑐3𝑥) 𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑐3𝑥 𝑑𝑥 + 𝑠𝑒𝑐5𝑥 𝑑𝑥
a b
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• Resolución de a:u= du= 3 dxdv= v= tan x
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Todo:
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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
• CASO 1:
u=a senѲ x=a senѲ
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CLASE4.- Jueves 28/01/2016
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Definición de las funciones trigonométricas
� � � ܣ ൌ��
ݐݐݐ�� ݑݐ� � ݏ
� � � ܣ ൌ�� ݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐ�� � � ݐ ݕ � � � � � � � � � � � � �
� � ݏ ݑ ݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐ
� � � ܣ ൌ�� ݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐ�� ݐ ݐ ݏݑ ݑݑݑݑݑݑݑݑݑݑݑݑݑ
ݐ�� ݐ � � ݐݕݐݕݐݕݐݕݐݕݐݕݐݕݐݕݐݕݐݕݐݕݐݕݐݕݐ ݕ
� � � ܣ ൌ��ݏ ݑܪ ݐ ݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐ�� ݐ ݏݑ ݑݑݑݑݑݑݑݑݑݑݑݑݑ
� � � ܣ ൌ��� � ݏ ݑ ݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐ ݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐ�� � � ݕݕݕݕݕݕݕݕݕݕݕݕݕݕ ݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐ
� � ܣ� ൌ�� ݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐ�� � � ݐݕݐݕݐݕݐݕݐݕݐݕݐݕݐݕݐݕݐݕݐݕݐݕݐݕݐ ݕ ݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐݐ�� ݐ ݐ ݏݑ ݑݑݑݑݑݑݑݑݑݑݑݑݑ
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B
A
��ଶ ൌ���ଶ �ଶ
Teorema de Pitágoras
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Ejercicio:
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CASO 2:
• u=a tanѲ
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Ejercicio 3:
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u=a secѲ
CLASE5.- Miércoles 03/02/2016
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Ejercicio 21:
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MEDIDA DEL ÁREA DE UNA REGIÓN R
MAGISTER: Daniel Sono
CLASE 6.- Jueves 04/02/2016
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Definición:
Sea R la región limitada por la gráfica de la curva , las rectas , y el eje x, se define la medida A del área de la región R de la siguiente forma:
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Siempre que .La ecuación anterior significa que para cualquier existe un tal que , y N pertenece a los enteros positivos.
f(ci)= Número absoluto de la función.En el intervalo cerrado
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INTEGRAL DEFINIDA
• Definición:Si f es una función definida en entonces la integral definida f desde , se denota por:
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Notas:
• En la integral es igual:f(x)= integrandoa= límite inferior
b=límite superior
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TEOREMA:
Una función f es continua en el , entonces F es integrable en . • Definición:Sea la función f continua en el y para toda x en el . Sea R la región acotada por la curva y , el eje x y las rectas . Entonces la medida del área de la región “R” está dada por:
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• Definición:Si , entonces la integral de a hasta b
• Definición:Si existe, entonces:
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PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
1. Si k es una constante, entonces:
2. 3. , donde
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TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO
a. Primer teorema fundamental del cálculoSea la función f continua en el y sea x cualquier número en el . Si F en la función definida por donde es igual a la entonces,. Si , la derivada (2) puede ser una derivada por la derecha, y si , la derivada en (2) puede ser una derivada por la izquierda.b. Segundo teorema fundamental del cálculo Si la función f es continua en el y siendo g una función total que . Para toda x en , entonces:, si , la derivada de (8) puede ser una derivada por la derecha y si , la derivada en (8) puede ser una derivada por la izquierda.
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EJERCICO 9.8
CLASE 7.- Miércoles 10/02/2016
MAGISTER: Daniel Sono
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•
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CÁLCULO DE ÁREAS• Ejercicio 5.9
V (0,4)
MAGISTER: Daniel Sono
CLASE 8.- Miércoles 11/02/2016
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X -2 -1 0 1 2
Y 0 3 4 3 0
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50
0.51
1.52
2.53
3.54
4.5
Valores Y
Valores Y
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2.
V (2,4)
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X -1 0 1 2 3 4 5Y -5 0 3 4 3 0 -5
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Valores Y
Valores Y
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•
![Page 66: Cálculo Integral UTN](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081419/5888d0e51a28aba1058b492d/html5/thumbnails/66.jpg)
, considere elementos de área perpendiculares al eje x.
V (0,1)
CLASE 9.- Miércoles 17/02/2016
MAGISTER: Daniel Sono
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1)2)
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X -2 -1 0 1 2
Y 5 2 1 2 5
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50
1
2
3
4
5
6
Valores Yxy
X 0 -1
Y 0 0
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∫0
1
𝑦𝑑𝑥=𝐼
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4.
Ecuación 2 en Ecuación 1
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1 -9 24 -16 1 -18 16 11 -8 16 /
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X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Y 2,5 2,08 1,6 1 0 1 1,6 2,08 2,5
X 0 5
Y 1,3 3
-6 -4 -2 0 2 4 60
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Valores Y
Valores Y
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•
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5.-• Determine m de tal forma que la región sobre
la curva , a la derecha del eje y, y bajo la recta tenga un área de k unidades cuadradas, donde k
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-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.50
0.5
1
1.5
2
2.5
Valores Y
Valores Y
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