CALCULO´ I T ´IA Y P - rscosan.com · CALCULO´ I TEOR´IA Y PROBLEMAS Roberto S. Costas Santos...

CALCULO I

TEORIA Y PROBLEMAS

Roberto S. Costas Santos

Amparo Delgado Delgado

Alberto Lastra Sedano

Carlos Villarino Cabellos

Departamento de Fısica y MatematicasUniversity of Alcala

10 de Diciembre de 2018

Contents

I Teorıa 1

1 Numeros, funciones, lımites y continuidad 3

1.1 Numeros reales y complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Funciones Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Operaciones con funciones y tipos de funciones . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2 Teoremas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Senales en tiempo continuo y tiempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.2 transformacion de senales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.3 Senales especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.4 Senales periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.5 Trigonometrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3.6 Relacion de Calculo I - Teorıa de Circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Calculo diferencial. Aplicaciones 31

2.1 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.1 ¿Que es y para que sirve una recta tangente?. El metodo de Newton . . . 32

2.1.2 Optimizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1.3 Aproximacion local y la definicion de derivada . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1.4 Definicion de derivada y recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.1.5 Otra visita a la idea de velocidad/tasa instantanea . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.6 Metodos de calculo de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.1.7 Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.1.8 Tabla de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.1.9 Aplicaciones de la derivada (Incompleto) . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.1.10 Derivadas de orden superior, polinomios y series de Taylor (y MacLaurin) 46

2.1.11 Teoremas relacionados con las derivadas de una funcion . . . . . . . . . 46

2.1.12 Calculo de la derivada de y=arctan(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 Calculo Integral. Aplicaciones 49

3.1 Introducion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2 Primitivas de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.1 Caracterizacion de primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.2 Propiedades de la integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.3 Tabla de primitivas de funciones elementales (Incompleto) . . . . . . . . 53

3.3 Integracion por substitucion (cambios de variable) . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

ii CONTENTS

3.3.1 Integracion de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3.2 Q(x) tiene raıces reales simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3.3 Q(x) tiene una raız multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3.4 Q(x) tiene dos raıces complejas conjugadas . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.4 Integracion de algunas funciones irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4.1 Funciones Irracionales en x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4.2 Funciones irracionales en x y (ax+b)/(cx+d) . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4.3 Irracionales cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4.4 Integracion de ciertas funciones trascendentes . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.5 Integracion por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.5.1 Producto de polinomios por funciones trigonometricas inversas . . . . . 61

3.5.2 Producto de polinomios por logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.5.3 Producto de exponenciales por funciones seno o coseno . . . . . . . . . 64

3.5.4 Producto de polinomios por exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.5.5 Producto de polinomios por funciones seno o coseno . . . . . . . . . . . 65

3.5.6 Algunas funciones irracionales u otras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.6 Calculo de la integral de Exp(ax) cos(bx) usando numeros complejos. . . . . . . 65

3.7 La integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.7.1 Particiones de un intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.7.2 Sumas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.7.3 Propiedades de las sumas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.7.4 Aplicaciones de la Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.8 Tablas de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.8.1 Formas elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.8.2 Formas que contienen .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4 La transformada de Laplace Unilateral 75

4.1 Introduccion. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2 Region de convergencia (ROC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.2.1 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.3 Transformada Unilateral de Laplace: Existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.3.1 Consecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.3.2 Linealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.3.3 Transformada de la derivada de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.3.4 Transformada de la integral de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.3.5 Propiedades de traslacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.3.6 Propiedades de cambio de escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.3.7 Transformada de ciertas funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . 80

4.3.8 Convolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.3.9 Propiedades de la convolucion (Incompleto) . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.3.10 Calculo de la Transformada inversa unilateral . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.3.11 Integrales impropias con integrando de la forma f(x)/x . . . . . . . . . . 84

4.3.12 La distribucion delta y su Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . 84

5 Sucesiones y series numericas 89

5.1 Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.2 Series numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

CONTENTS iii

II Hojas de problemas 103Hoja 1.Tema1. Numeros.complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Hoja 2.Tema1. Funciones, continuidad y lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Hoja 3.Tema1. Senales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Hoja 4.Tema2. Calculo diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Hoja 6.Tema3. Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Hoja 7.Tema3. Integrales indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Hoja 8.Tema3. Integrales definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Hoja 9.Tema3. Aplicaciones de la Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Hoja 10.Tema3. Convolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Hoja 11.Tema4. Transformada de Laplace. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Hoja 11.Tema4. Laplace.Ecuaciones.Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Hoja 12.Tema5. Series numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Teorıa

Numeros, funciones, lımites y continuidad

El calculo se basa parcialmente en los cimientos del algebra, la geometrıa y la trigonometrıa. En

este capıtulo, por lo tanto, repasamos algunos conceptos, hechos y formulas de precalculo que se

utilizan a lo largo de este documento.

Comentaremos tratando el concepto de numero, viendo los diferentes conjuntos conocidos

que emplearemos durante el curso, y prestando especial atencion a la aritmetica de los numeros

complejos.

Luego trataremos todos los conceptos relativos a funciones reales de una variable, real o com-

pleja. Posteriormente nos adentraremos en el concepto de senales, viendo los diferentes tipos,

como se transforman y algunas senales especiales.

1.1 Numeros reales y complejos

El conjunto de los numeros naturales se denota por

N = 1, 2, 3, . . ..

El conjunto de los numeros enteros se denota por la letra Z (esta eleccion se debe a la palabra

alemana Zahl, que significa “numero”). Ası

Z = . . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .

Un numero real se llama racional si puede representante mediante un cociente de numeros

racionales, i.e. p/q donde p y q son enteros, con q 6= 0. Al conjunto de dichos numeros se

representa por el sımbolo Q (de la palabra inglesa quotient).

Q =m

n: m ∈ Z, n ∈ Z \ 0

.

Mientras que a los numeros reales que no pueden escribirse de ese modo se llaman irracionales,

por ejemplo π,√2 son reales e irracionales, a dicho conjunto se le denota por I.

De hecho, se tiene que

N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R, ademas Q ∪ I = R.

4 Numeros, funciones, lımites y continuidad

Un conjunto aun mas amplio que vamos a utilizar con bastante frecuencia en este curso es de

los Numeros complejos.

Un numero compljo admite mas d euna forma de representarse, la mas habitual es en su forma

binomica, es decir, z = a+ bj. De hecho, dicho conjunto se define de la forma

C = z = a+ bj : a, b ∈ R ,

donde

1. Al smbolo j lo llamaremos la unidad imaginaria, que cumple la identidad: j2 = −1.

2. La parte real del numero complejo z es,

Re z = a ∈ R.

3. La parte imaginaria del numero complejo z es,

Im z = b ∈ R.

La aritmetica de numeros complejos expresados en su forma binomica es sencilla. De hecho,

si z1 = a1 + b1j y z2 = a2 + b2j, entonces

z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)j.

z1z2 = (a1a2 − b1b2) + (a1b2 + b1a2)j.

Observa que como R ⊂ C, entonces las operaciones de C extienden a las vistas en R.

Hay otras operaciones que son algo distintas a las vistas en R. De hecho, el numero complejo

conjugado de z = a+ bj es z = a− bj. Observa que

1. La suma de los conjugados es el conjugado de la suma:

z1 + z2 = z1 + z2.

2. El producto de los conjugados es el conjugado del producto:

z1z2 = z1z2.

3. Producto de un numero por su conjugado:

z z = a2 + b2 ∈ R.

A este ultimo lo llamaremos el cuadrado de la norma.

Por ultimo veamos calcular el cociente de numeros complejos:

Si z1 = a1 + b1j y z2 = a2 + b2j, entonces

z1z2

=z1z2z2z2

=1

a22 + b22(z1z2) =

a1a2 + b1b2a22 + b22

+−a1b2 + b1a2a22 + b22

j.

Por tanto, el inverso de un numero complejo z = a+ bi 6= 0, es de la forma

1

z=

1

a2 + b2z =

a

a2 + b2− b

a2 + b2j.

1.1 Numeros reales y complejos 5

Con todo lo visto hasta el momento y para completar lo esencial relativo a la aritmetica de los

numeros complejos debemos hablar de su expresion en forma polar.

Dado el numero complejo z = a + bj, entonces el modulo de dicho numero complejo es la

distancia de dicho numero al orıgen de coordenadas (ver figura), i.e.

|z| =√

a2 + b2.

Ası, como dijimos previamente zz = |z|2.

El argumento de un numero complejo z = a+ bj es el angulo que comienza en el semieje real

positivo y termina en el segmento que une el origen con el punto (a, b). Se representa por arg z.

Se considera tambien argumento a cualquier otro angulo que se diferencie del anterior en un

multiplo de 2π.

Con lo anterior, su valor puede definirse de la forma:

arg z =

arctanb

a, si a > 0 y b ≥ 0

π

2, si a = 0 y b > 0

arctanb

a+ π , si a < 0

3π

2, si a = 0 y b < 0

arctanb

a+ 2π, si a < 0 y b ≤ 0

A continuacion introduciremos la Forma polar de un numero complejo: Sea el numero com-

plejo z = a + bj, llamamos r = |z| a su modulo y θ = arg z a su argumento. Por tanto, se tiene

que

z = rθ, a = r cos θ, b = rsen θ.

y ası puede escribirse de la siguiente forma:

z = r(cos θ + j sen θ).

Teniendo esto en cuenta, podemos definir el producto y cociente de dos numeros complejos ex-

presados en en forma polar de la siguiente forma:

Sean z1 = a1+b1j = r1(cos θ1+j sen θ1) y z2 = a2+b2j = r2(cos θ2+j sen θ2), entonces

z1 · z2 = r1r2 (cos(θ1 + θ2) + j sen (θ1 + θ2))

es decir

• El modulo del producto es el producto de los modulos:

|z1 z2| = |z1||z2|.

• El argumento del producto es la suma de los argumentos:

arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2)


Observa que Si z2 6= 0, entonces

z1z2

=r1r2

(cos(θ1 − θ2) + j sen (θ1 − θ2))

Con esto en mente podemos calcular la potencia, y raıces, de cualquier numero complejo emple-

ando lo anterior:

Sea el numero complejo z = a+ bj = r(cos θ + j sen θ) y n ∈ N:

zn = (a+ bj)n = rn(cosnθ + j sennθ)

Y la raız entera, i.e. a potencia es 1/n, de dicho numero complejo es el conjunto de n numeros:

w0, w1, . . . , wn−1 tales que (wk)n = z.

Observa que todas las raıces n-esimas tienen el mismo modulo, i.e. |wk| = n√

|z|, y argumentos:

arg(wk) =θ

n+

2π

nk con k = 0, 1, 2, . . . , n− 1,

por tanto son los vertices de un polıgono regular de radio n√

|z| y n lados.

Por ultimo se quiere presentar el Teorema Fundamental del Algebra que afirma que “Cual-

quier polinomio de grado n con coeficientes complejos tiene n raıces (contando las repeticiones)”.

1.2 Funciones Elementales 7

1.2 Funciones Elementales

Comenzaremos introduciendo conceptos generales de funciones que es probable que se conozcan

del bachillerato.

En caso contrario se recomienda acudir a la bibliografıa recomendada en la guıa docente de la

asignatura o hablar con tu profesor de la asignatura.

Una funcion, llamemosla f , sobre un dominio D ⊂ R es una correspondencia por la que

a cada numero real x de D se le asocia uno unico de R. Una funcion suele representarse de la

forma

f : D → R,

donde y = f(x) suele denominarse imagen de x bajo la accion de f .

De hecho, denominaremos por dominio de la funcion f al conjunto:

Domf = x ∈ R tal que existe y ∈ R con y = f(x).

Por otro lado, llamaremos rango, o imagen, de la funccion f al conjunto:

Imf = y ∈ R tal que existe x ∈ R con y = f(x).

La grafica de la funcion f se define como el conjunto de R2:

G(f) = (x, y) ∈ R2 tal que y = f(x).

Observacion 1.2.1. • Si tenemos una curva en el plano, esta puede ser la grafica de una

funcion si y solo si cada recta vertical (paralela al eje y) corta a la curva, como mucho, en

un punto.

• El dominio de una funcion es la proyeccion ortogonal de su grafica sobre el eje x.

• El rango de una funcion es la proyeccion ortogonal de su grafica sobre el eje y.

• Las coordenadas cartesianas se usan por ejemplo para definir un sistema carte-

siano o sistema de referencia respecto uno, o mas ejes, perpendiculares entre sı (plano y

espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano,

las coordenadas cartesianas se denominan abscisa y ordenada.

La abscisa es la coordenada horizontal y se representa habitualmente por la letra x, mien-

tras que la ordenada es la coordenada vertical y se representa por la y.

1.2.1 Operaciones con funciones y tipos de funciones

Dadas dos funciones f, g : R → R, definimos las siguientes funciones:

• Suma de funciones: (f + g)(x) = f(x) + g(x).El dominio de la funcion f + g es la interseccion de los dominios de f y de g, i.e.

Dom(f + g) = Dom(f) ∩ Dom(g).

• Producto de dos funciones: (fg)(x) = f(x)g(x).El dominio de la funcion f × g es la interseccion de los dominios de f y de g, i.e.

Dom(f + g) = Dom(f) ∩ Dom(g).


• Composicion de dos funciones: (g f)(x) = g(f(x)).Dicha funcion existe para los valores de x ∈Dom(f) para los que f(x) ∈Dom (g).

A continuacion describiremos los tipos de funciones que consideraremos.

• Dada una funcion f : R → R, diremos que una funcion es par si

f(−x) = f(x), para todo x ∈ Dom(f),

y se denomina impar si

f(−x) = −f(x), para todo x ∈ Dom(f).

Observacion 1.2.2. Desde el punto matematico dichas definiciones son claras pero para

el perfil de la ingenierıa conviene indicar que dichos tipos pueden observarse de forma

sencilla. Digamos que una funcion es par si la grafica es simetrica con respecto al eje

vertical (y). Y una funcion es impar si al girar la grafica 180 grados, la grafica que

resulta es la misma.

Ejemplo 1.2.1. La funcion sen(x) es una funcion es impar, y la funcion cos(x) es par.

• Dada una funcion f : R → R, diremos que es periodica si podemos encontrar un valor real

T (al que denominaremos periodo) tal que

f(x+ T ) = f(x), para todo x ∈ Dom(f).

El menor valor T que satisface la condicion anterior se denomina periodo fundamental de

la funcion.

Dichos tipos de funciones se utilizaran muy a menudo durante el grado. Ademas debemos conocer

el concepto de funcion elemental, entre las que hay describamos algunas de estas:

• Una funcion constante es de la forma f(x) = c, donde c es un numero real. Su dominio

es R y su imagen es c.

• Una funcion lineal es de la forma f(x) = mx, donde m 6= 0 es una constant real.

Dicha funcion tiene como dominio y rango R, y su grafica es una recta que pasa por el

origen y tiene pendiente m. Ademas, si m > 0 la funcion es estrictamente creciente y si

m < 0 la funcion es estrictamente decreciente.

• Las funciones polinomicas son de la forma

f(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a2x2 + a1x+ a0,

donde n es un numero natural y denota el grado del polinomio. El dominio de los poli-

nomios es R, y el rango depende de cada caso. Ademas llamaremos cero del polinomio a

los valores x0 tales que f(x0) = 0, i.e. los puntos de la grafica que cortan al eje horizontal.

Observacion 1.2.3. Cualquier polinomio de grado n tiene n ceros donde algunos son reales

y otros son complejos. De hecho, si el grado del polinomio es impar como mınimo tiene un

cero real.


• Una funcion racional se define mediante el cociente de dos funciones polinomiales

p(x) y q(x), i.e.,

f(x) =p(x)

q(x).

El dominio de f es R excepto en los ceros de q(x), i.e. donde q(x) = 0. Los ceros del

polinomio denominador suelen llamarse polos de f .

• La funcion signo se define de la forma:

sgn(x) =

1 si x > 0,0 si x = 0,−1 si x < 0.

(1.1)

donde el dominio es R, y su imagen es el conjunto 0, 1,−1.

• La funcion valor absoluto se define de la forma:

|x| =

x si x > 0,−x si x < 0.

(1.2)

De hecho, en general, la funcion valor absoluto se define como

x(t) = |f(t)| =

f(t) si f(t) > 0,−f(t) si f(t) < 0.

(1.3)

Observacion 1.2.4. Esta funcion aparece a menudo y debemos saber cuando es positiva o nega-

tiva, viendo cuando vale 0, y analizando el signo de la funcion en las distintas zonas del eje de

abscisas donde f(t) = 0.

Ex:2.1.2 Ejemplo 1.2.2. Representar la funcion x(t) = |t2 − 2t| y expresarla como funcion definida a

trozos. Representaremos en azul la parabola, en rojo la funcion x(t).

t

x(t)

−2 −1 1 2 3 4

2

−1

4

6

8


Como vemos en la zona amarilla la funcion t2 − 2t es negativa, por eso x(t) se ha cambiado de

signo en esa zona, ası

x(t) =

t2 − 2t, si t < 0−t2 + 2t, si 0 < t < 2t2 − 2t, si t > 2

Un conjunto de funciones elementales muy relevantes qur todo ingeniero deberıa

conocer exhaustivamente son las funciones trigonometricas.

• La funcion seno: f(t) = sen t tiene como dominio R y su rango es [−1, 1]. Ademas,

es una funcion impar, f(−x) = −f(x). La grafica es simetrica respecto del origen, y es

una funcion periodica de periodo fundamental 2π, es decir, f(t+ 2π) = f(t) para todo t.

Su funcion inversa es y = arcsen (t), su dominio es [−1, 1] y su imagen es [−π2 ,

π2 ]. De

hecho,

arcsen(sen(t)) = t, sen(arcsen(t)) = t.

t

sen t

−1.5π −π −0.5π 0.5π π 1.5π 2π 2.5π

1

−1

t

arcsen t

−1 1

−π

2

π

2

• la funcion coseno: f(t) = cos t tiene como dominio R y su rango es [−1, 1]. Ademas,

es una funcion par, f(−x) = f(x), es decir, si giramos la grafica 180 grados, la grafica

de la funcion no cambia. Es una funcion periodica de periodo fundamental 2π, es decir,

f(t+ 2π) = f(t) para todo t.

Su funcion inversa es y = arccos (t), su dominio es [−1, 1] y su imagen es [0, π]. De hecho,

arccos(cos(t)) = t, cos(arccos(t)) = t.

t

cos t

−1.5π −π −0.5π 0.5π π 1.5π 2π 2.5π

1

−1


t

arccos t

−1 1

π

2

π

• La funcion tangente: f(t) = tan t =sen t

cos ttiene como dominio R excepto los ceros

de la funcion cos t, es decir,

Dom tan(t) = R \π

2+ kπ : k ∈ Z

,

y su rango es R. Ademas, es una funcion impar, y periodica de periodo fundamental π, es

decir, f(t+ π) = f(t) para todo t.

Su funcion inversa es y = arctan (t), su dominio es R y su imagen es [−π2 ,

π2 ].

t

tan t

−1.5π −π −0.5π 0.5π π 1.5π 2π 2.5π

1

−1

t

arctan(t)

1

−1

−π

2

π

2

A continuacion damos una tabla con los principales valores de dichas funciones en el primer


y segundo cuadrante del plano (R2).

x 0π

6

π

4

π

3

π

2

2π

3

3π

4

5π

6π

sen x 01

2

√2

2

√3

21

√3

2

√2

2

1

20

cosx 1

√3

2

√2

2

1

20 −1

2−√2

2−√3

2−1

tanx 0

√3

31

√3 No existe −

√3 −1 −

√3

30

Otras funciones trigonometricas relevantes conocidas son la funcion cotangente, la

funcion secante, y la funcion cosecante.

• Las funciones exponenciales son funciones continuas y su dominio es R. De he-

cho, se escriben de la forma f(x) = bx donde b ∈ R, b > 0 y b 6= 1.

Definicion 1.2.1. Al numero b se le denomina base y x es el exponente.

A continuacion recordamos las principales propiedades de las potencias:

Para a, b > 0, y x, x1, x2 ∈ R, se tiene que

⋆ bx1 · bx2 = bx1+x2 ,

⋆bx1

bx2= bx1−x2 ,

⋆ (bx1)x2 = bx1·x2 ,

⋆1

bx= b−x,

⋆ (a · b)x = ax · bx,

⋆(a

b

)x=ax

bx,

⋆ Si b > 1 entonces f(x) = bx es una funcion creciente y convexa.

⋆ Si 0 < b < 1 entonces f(x) = bx es una funcion decreciente y convexa.

Relacionado con dichas funciones, tenemos que introducir el numero e que es un numero

irracional que se puede definir como

e = limx→∞

(

1 +1

x

)x

= limx→0

(1 + x)1x = 2.718281828459045235360287471352662 . . .

Definicion 1.2.2. La funcion exponencial natural, tambien denominada

funcion exponencial en la base e, i.e.,

f(x) = ex = exp(x).


x

ex

1−1 2 3−4 −2−3

1

2

3

4

5

6

x

e−x

1−1 2 3 4−2−3

• Las funciones logarıtmicas son las funciones inversas de las funciones exponen-

ciales. Teniendo en cuenta las graficas vistas anteriormente vemos que para b > 0 y b 6= 1se escriben como f(x) = logb(x) y tienen que el dominio es (0,+∞), y el rango es R, es

continua en su dominio.

A continuacion se indican algunas de las propiedades de los logaritmos: Para b > 0 y b 6= 1,

x, x1, x2 ∈ R+, c ∈ R y n ∈ N:

⋆ logb(x1 · x2) = logb x1 + logb x2,

⋆ logb

(

x1x2

)

= logb x1 − logb x2,

⋆ logb xc = c logb x,

⋆ logbn√x = 1

n logb x,

⋆ logb(1) = 0,

⋆ logb(bx) = x, blogb(x) = x.

⋆ Si b > 1, logb(x) es una funcion creciente y concava.

⋆ Si 0 < b < 1, logb(x) es una funcion decreciente y convexa.

Observacion 1.2.5. Observa que log1/e x = − lnx.

Definicion 1.2.3. El logaritmo natural ,o neperiano, es el que tiene por base el numero e y

que denotaremos por lnx.

x

ln(x)

1 2 3 4 5 6

1

2

−1

−2

−3

x

− ln(x)

1 2 3 4 5 6

1

2

3

−1

−2

• La funcion potencial se escribe de la forma f(x) = xα, donde α ∈ R. Dichas

funciones estan definido, como mınio para x > 0, ya que esta se puede definir a partir de la

funcion exponencial y el logaritmo neperiano, i.e.,

xα = eln(xα) = eα lnx,


pero esto no quiere decir que pueda existir para ciertos valores α para valores de x negativos.

Ejemplo 1.2.3. El dominio de f(x) = x13 = 3

√x es R.

1.2.2 Teoremas fundamentales

A continuacion describiremos los resultados fundamentales que emplearemos a lo largo de este

tema relacionados con funciones en una variable.

Teorema de Bolzano: Dada una funcion f continua en un intervalo [a, b] tal que f(a)f(b) <0, entonces existe un valor c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

Teorema del valor medio: Dada una funcion f continua en un intervalo [a, b] cuya imagen

de dicho intervalo es [A,B], se tiene que para todo d ∈ [A,B] existe c ∈ [a, b] tal que f(c) = d.

Observacion: Este utimo resultado es mas general que el anterior.

Clase 3

1.3 Senales en tiempo continuo y tiempo discreto 15

1.3 Senales en tiempo continuo y tiempo discreto

1.3.1 Introduccion

Una parte esencial del trabajo de los cientıficos e ingenieros es la obtencion y procesamiento de

informacion sobre los objetos que estudian. Esa informacion se codifica en muchos casos en forma

numerica o en alguna otra clase de representacion simbolica (una funcion, un algoritmo, etc.), para

poder aplicar las matematicas al proceso de manipulacion de esa informacion.

En cualquier caso, la representacion de la informacion mediante numeros plantea el problema

de escoger el sistema de numeros mas conveniente dentro de los que nos ofrecen las matematicas.

Para nuestros fines en este curso hay tres sistemas de numeros que resultan especialmente

importantes:

1. los numeros enteros, Z; es decir 0, ±1, ±2, · · ·

2. los numeros reales, R.

3. los numeros complejos, C.

Una magnitud se considera discreta cuando la forma mas adecuada de representar sus

posibles valores es usando los numeros enteros. Por ejemplo, la temperatura.

Por el contrario, una magnitud se considera continua cuando la forma mas adecuada de

representarla es empleando los numeros reales.

Puesto que los numeros reales incluyen a los enteros, i.e., Z ⊆ R, podrıa pensarse que es mas

sencillo pensar en todas las variables como continuas. Pero en muchos casos lo unico que se con-

sigue ası es complicar las cosas. Por ejemplo, una de las magnitudes que aparecen constantemente

en nuestros problemas es el tiempo (emplearemos la variable t para denominar a esta magnitud).

En muchos problemas de la fısica se representa el tiempo mediante una variable t de tipo con-

tinuo, que puede tomar cualquier valor real. Pero hay otros casos en los que las magnitudes que

intervienen se describen mejor pensando solo en valores enteros del tiempo. La variable tiempo se

considera por tanto continua en aquellos problemas en los que en principio se necesita (o se puede

y es conveniente) considerar intervalos de tiempo arbitrariamente pequenos. Por el contrario, en

muchos otros problemas (en especial en el ambito de los sistemas digitales) existe una unidad

basica e indivisible de tiempo, que caracteriza al sistema, y no se necesita (o no se puede) consid-

erar otros valores de la variable tiempo que no sean los instantes t = · · · ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, . . .En este ultimo caso hablamos de problemas en tiempo discreto.

En este curso vamos a concentrarnos en los problemas en tiempo continuo. Trataremos, eso sı,

de proporcionar informacion sobre los problemas en tiempo discreto para que se pueda apreciar

los paralelismos entre ambas teorıas.

Por ejemplo, las matematicas que se utilizan en ambas teorıas son distintas, pero tienen simil-

itudes en cuanto al papel que juega cada herramienta. Ası en tiempo discreto aparecen las suce-

siones, series, ecuaciones en diferencias, transformada Z, · · · mientras que en tiempo continuo

aparecen las funciones, integrales, ecuaciones diferenciales, transformada de Laplace. Se iran

conociendo estas herramientas en las pr’oximas sesiones.

Pero, ¿Que es una senal?

Una senal es una funcion de la variable tiempo. En matematicas es habitual usar la notacion

y = f(x)

para las funciones y sus variables. Pero en teorıa de la senal es mas comun la notacion x = f(t) o

incluso

x = x(t).


En este curso usaremos habitualmente sobre todo esta ultima notacion, pero a veces aparecera la

otra. Ası que hay que tener cuidado para no confundirse, aunque normalmente el contexto nos

ayudara a identificar las variables dependientes e independientes.

Segun que el tiempo se considere continuo o discreto hablaremos de senales en tiempo

continuo o senales en tiempo discreto. De momento trabajaremos con senales en

tiempo continuo.

A continuacion mostramos la notacion que se suele emplear en los diferentes grados para las

senales:

(1) x : A ⊆ R → R

t→ x(t)

(2) x : A ⊆ Z → R

n→ x[n]

t

x(t)

1 2 3 4 5

n

x[n]

1 2 3 4 5

En el caso (1) la senal se dice que es

de tiempo contınuo y en el caso (2)

es de tiempo discreto.

Se suelen denotar las funciones con

letras minusculas: x, y, z, f , g, . . .

La variable independiente sera t.

1.3.2 transformacion de senales

• Transformaciones que afectan al tiempo: Se producen sobre la variable independiente y

por tanto cambian la base de la senal, pero nunca su ‘altura’. Estas parecen ir “al contrario”

de lo que resultarıa intuitivo, ası que es necesario analizarlas y aprenderlas con detenimiento:

1. Desplazamiento o traslacion (en el tiempo)

Antes de calcular el resultado de la senal, sumamos a t una constante (a la que lla-

maremos t0):

y(t) = x(t+ t0).

Resultando que:

– Si t0 > 0 la senal se desplaza hacia la izquierda, pues como −t0 cumple que

x(−t0 + t0) = x(0),

−t0 es el valor para el que la nueva senal vale lo que valıa la senal original en el

punto 0.

– Si t0 = 0 no ocurre nada.

– Si t0 < 0 entonces la senal se desplaza hacia la derecha.

Observacion 1.3.1. El resultado del desplazamiento le resulta contra intuitivo

a mucha gente, porque piensa que si t0 es positivo (esta a la derecha del 0), la

grafica deberıa moverse hacia la derecha. Para solucionarlo basta con usar un

signo menos: la senal x(t − t0) se desplaza hacia t0 tanto cuando es positivo

como cuando es negativo.

Ejemplo 1.3.1. Consideremos la senal x(t) = t, 0 < t < 1. Nos piden representar la

senal y(t) = x(t− 1) = t− 1.

Lo primero es que ahora el dominio sera 1 < t < 2, ademas las graficas de las senales

consideras son


t

x(t) = t

1

1

t

y(t) = t− 1

1 2

1

2. Escalado (en el tiempo):

Antes de calcular el resultado de la senal, multiplicamos t por una constante positiva

(llamemosla k), i.e.,

y(t) = x(kt).

El resultado sera el siguiente:

– Si k > 1 la senal se hace mas estrecha manteniendo la altura, es decir, la senal se

comprime.

Esto se debe a que x(t) = y(t/k), por lo que si x tiene su dominio entre a y b,entonces y tiene su dominio entre a/k y b/k, y al ser k > 1 dicho dominio se

reduce.

– Si k = 1 no ocurre nada.

– Si 0 < k < 1 la senal se hace mas ancha manteniendo la altura, es decir, se

expande.

Se puede pensar en k como en un factor que afecta directamente a la frecuencia.

Por ejemplo, x(2t) es una senal “dos veces mas rapida” que x(t).

Ejemplo 1.3.2. Consideremos la senal x(t) = t, 0 < t < 1. Nos piden representar la

senal y(t) = x(2t) = 2t y z(t) = x(t/3) = t/3.

Lo primero es que ahora el dominio de y(t) sera 0 < t < 1/2, y de z(t) sera 0 < t <3. Ademas las graficas de las senales consideras son

t

x(t) = t

1

1

t

y(t) = 2t

112

1

t

z(t) = t/3

1 2 3

1

3. Inversion (en el tiempo)

Antes de calcular el resultado de la senal, multiplicamos t por −1:

y(t) = x(−t).El resultado que se obtiene es que la imagen sea la invertida respecto al eje vertical

(como si el eje Y fuese un espejo).

Ejemplo 1.3.3. Dada la senal x(t) = 1, si 0 < t < 1, y x(t) = 0 si 1 < t < 2. Nos

piden representar la senal y(t) = x(−t).Lo primero es que ahora el dominio de y(t) sera (−1,−1)∪ (−1, 0), y las graficas de

las senales son

t

x(t)

00 1 2

1

t

y(t)

0−1−2

1


4. Inversion y escalado: Si multiplicamos t por una constante negativa, obtenemos un

escalado con una inversion en el tiempo.

Ejemplo 1.3.4. Si consideramos la senal x(t) = cos(t), 0 < t < π, queremos repre-

sentar la senal y(t) = x(−2t) = cos(−2t), −π2 < t < 0.

t

x(t)

ππ2

1

−1

→t

x(−t)

−π −π2

1

−1

→t

y(t)

−π2

−π4

1

−1

Observacion 1.3.2. Es decir, que los cambios de escala de paramero k < 0 se ob-

tienen haciendo primero la inversion y despues un cambio de paramero positivo.

5. Traslacion y despues escalado:

Si queremos que la senal se traslade primero a t0 y despues se escale por k, la senal

final debe ser

y(t) = x(kt− t0).

Observacion 1.3.3. Aunque parece que esta al reves de lo que deberıa, pero no es ası.

Esto se debe a que

x(t) = y((t+ t0)/k).

.

6. Escalado y despues traslacion:

En cambio, si queremos que la senal primero se escale por k y luego se traslade a t0,

la senal final debe ser

y(t) = x(k(t− t0)).

Observemos que esto es lo mismo que

y(t) = x(kt− kt0),

que sera el resultado de desplazar primero kt0 y despues escalar por k.

Observacion 1.3.4. Moraleja: el orden en que se realizan escalado y traslacion es

importante, pues el resultado es diferente, una senal final esta mas desplazada que la

otra.

• Transformaciones que afectan a la amplitud: Se producen sobre la variable dependiente

y por tanto cambian la altura de la senal, pero nunca su base:

1. Desplazamiento en amplitud:

Despues de calcular el resultado de la senal original, le sumamos una constante:

y(t) = x(t) + c.

El resultado es el siguiente:

– Hay desplazamiento hacia arriba si c > 0.

– No hay desplazamiento si c = 0.

– Hay desplazamiento hacia abajo si c < 0.


Por tanto, si y = x(t)− c, entonces el desplazamiento es hacia abajo si c > 0 y hacia

arriba si c < 0.

2. Amplificacion o atenuacion:

Tras calcular el resultado de la senal original, lo multiplicamos por una constante pos-

itiva k:

y(t) = kx(t)

. El resultado es el siguiente:

– Aumento de la altura (tamano) si k > 1 (amplificacion).

– Sin cambio si k = 1.

– Disminucion de la altura si k < 1 (atenuacion).

Cuando se envıa una senal a distancia mediante ondas (por ejemplo, en telefonıa movil

o en radio) o mediante cables, se atenua de manera natural debido a la distancia y a los

obstaculos que atraviesa.

Observacion 1.3.5. Es importante amplificar las senales en envıo, en el camino y/o

en recepcion, para que puedan ser detectadas con un mınimo de calidad.

3. Inversion en amplitud:

Tras calcular el resultado de la senal original, lo multiplicamos por −1:

y(t) = −x(t).

Ası el resultado que se consigue es la imagen invertida con respecto al eje horizontal

(como si el eje X fuese un espejo).

4. Amplificacion o atenuacion con inversion:

Despues de calcular el resultado de la senal original, lo multiplicamos por una con-

stante negativa. Como esto es lo mismo que multiplicarla primero por una constante

positiva y luego cambiarle el signo, se produce primero una amplificacion, o aten-

uacion, y luego una inversion en amplitud (o viceversa; en este caso da lo mismo, pero

para otras transformaciones el orden es importante).

1.3.3 Senales especiales

• Escalon unidad o funcion heavyside: u(t) Es una funcion que vale 0 para val-

ores de t < 0, y 1 para valores de t > 0, es decir:

u(t) =

0, si t < 0

1, si t > 0t

u(t)

1

• Escalon trasladado: u(t − t0) Es una funcion que vale 0 para valores de t < t0, y

1 para valores de t > t0, es decir:

u(t− t0) =

0, si t < t0

1, si t > t0t

t0

x(t)

1


• senal pulso: Si tomamos dos valores t0 < t1, se define el pulso de intervalo [t0, t1] a

la senal:

u(t− t0)− u(t− t1) =

0, si t < t0

1, si t0 < t < t1

0, si t1 < t.

t

x(t)

t0 t1

1

• Parte par de una senal: Dada una senal x(t), se define la parte par de x(t) como

Parx(t) =x(t) + x(−t)

2.

Esta funcion nueva es par, es decir, simetrica respecto al eje vertical.

• Parte impar de una senal: Dada una senal x(t), se define la parte impar de x(t)como

Imparx(t) =x(t)− x(−t)

2.

Esta funcion nueva es impar, es decir, al girarla 180 grados, se obtiene la misma funcion.

Es importante destacar que

Parx(t)+ Imparx(t) = x(t),

es decir es una forma de descomponer una senal en dos donde cada una tiene un tipo de simetrıa.

Se realizaran diversos ejercicios en los que se trabajaran todos estos tipos de transformaciones.

Algunas de las consecuencias de todo lo visto antes en este capıtulo es la siguiente:

1. x(t) = f(t)u(t− t0) senal definida a la derecha de t0, i.e.

x(t) =

0, si t < t0f(t), si t > t0

Una senal de la forma x(t) = f(t)u(t) se denomina senal causal.

2. x(t) = f(t)u(t0 − t) senal definida a la izquierda de t0, i.e.

x(t) =

f(t), si t < t00, si t > t0

3. x(t) = f(t) (u(t− t0)− u(t− t1)) senal definida entre t0 y t1, i.e.

x(t) =

f(t), si t0 < t < t10, fuera de (t0, t1)

Observacion 1.3.6. Toda senal definida a trozos se puede escribir como suma de estas senales

elementales.


Este tipo de expresiones nos ayudan a expresar de una forma “cerrada” funciones a trozos en

terminos de funciones escalon.

De hecho, cualquier senal definida a trozos puede escribirse, en lugar de mediante llaves, medi-

ante multiplicaciones por senales escalon, que llevan implıcita la informacion sobre los intervalos

que definen los trozos.

Observacion 1.3.7. Si recordamos el EjemploEx:2.1.21.2.2 en este caso para escribir x(t) = |t2 − 2t|

como suma de funciones salto, se tiene que

x(t) = (t2 − 2t)u(−t)− (t2 − 2t)(

u(t)− u(t− 2))

+ (t2 − 2t)u(t− 2).

Si lo queremos todo como suma de saltos a la derecha, entonces dado que

u(−t) = 1− u(t),

entonces

x(t) = t2 − 2t− 2(t2 − 2t)u(t) + 2(t2 − 2t)u(t− 2).

Este tipo de descomposicion se desarrollara de forma intensa en las sesiones de problemas.

Ejemplo 1.3.5. Dada la senal x(t) = t2 con 0 ≤ t ≤ 1, calcula su parte Par e Impar.

Hay que recordar que al darnos la funcion en un intervalo, debemos asumir que la funcion se

define periodicamente. En este caso,

t

x(t)

−1 1 2 3 4

La zona amarilla refleja la region inicial de la senal en [0, 1], la grafica azul es la funcion x(t +T ) = x(t + 1) = (t + 1)2 en el intervalo [−1, 0], la verde es la funcion x(t − T ) = x(t − 1) =(t− 1)2 en el intervalo [1, 2], y el resto no es mas que parte de la grafica completa de la senal. Es

claro que el periodo es T = 1.

Con esta informacion representaremos en azul la senal en (−1, 1), luego en verde sera la senal

con la inversion en tiempo x(−t) que como hemos dicho en diversas ocasiones es la simetrica de

la grafica de x(t) respecto al eje vertical.

t

x(t)

−1 1

(t + 1)2 t2

t2

(t − 1)2

Con todo lo anterior se obtiene la parte par sumando las senales azul y verde y dividiendo por dos

el resultado, o sea, su media. Y la parte impar se calcula restando la verde a la azul y dividiendo

por dos.

Parx(t) =

(t+ 1)2 + t2

2= t2 + t+

1

2, si −1 < t < 0

t2 + (t− 1)2

2= t2 − t+

1

2, si 0 < t < 1


Y

Imparx(t) =

(t+ 1)2 − t2

2= t+

1

2, si −1 < t < 0

t2 − (t− 1)2

2= t− 1

2, si 0 < t < 1

Se deja como tarea sencilla expresar dichas senales como suma de saltos a la derecha.

Ejemplo 1.3.6. Expresar como suma de senales salto la senal

x(t) = Impar|t+ 1|, 0 < t < 4.

Observacion 1.3.8. Tenemos que tener presente que esta senal es la ‘semilla‘ de la senal completa

que consiste en repetir periodicamente esta semilla.

Primero vamos a representarla de una forma similar a la anterior (en gris fina representare-

mos t + 1, que coincide con la azul). Viendo el dibujo queda claro que la senal tiene periodo

T = 4.

t

x(t)

−1 1−2−3−4 2 3 4

−1

1

−2

2

3

4

5t + 5 t + 1−t + 5−t + 1

t + 2 t − 2

La ventana de color ‘cyan’ refleja donde se pide la senal en ciertas ocasiones, es decir en

(−T/2, T/2). En morado aparece la senal impar que se pide, que es

x(t) =

(t+ 1)− (−t+ 5)

2= t− 2, si 0 < t < 2

(t+ 5)− (−t+ 1)

2= t+ 2, si −2 < t < 0

Expresar la senal como suma de senales salto a la derecha se deja como tarea.

Clase 4


1.3.4 Senales periodicas

Un tipo de senales con el que se van a utilizar a menudo son los senales periodicas.

Definicion 1.3.1. Una senal x(t) se dira que esperiodica si existe un numero T (al cual llamare-

mos periodo) tal que:

x(t) = x(t+ T )

para todos los valores de la variable t.Al menor valor positivo T con esta propiedad se llama periodo fundamental de la

senal y se indica a menudo con T0.

t

f(t)

t1 t1 + Tt1 − Tt1 − 2T

T

Donde observamos que los parametros fundamentales son:

• Ciclo: patron que se retipe a lo largo del tiempo.

• Periodo T : tiempo que tarda en repetirse el patron.

• Periodo fundamental T0: tiempo mınimo que tarda en repetirse el patron (funda-

mental). De hecho, por ejemplo, si T0 es el fundamental, tambien es un periodo T = 3T0pero este nuevo periodo no es el mınimo. De hecho, hay que tener en cuenta que las unidades

de tiempo se miden en s (segundos).

• Frecuencia: f = 1/T , que es el numero de veces que se repite el patron en un segundo.

Las unidades de la frecuencia tiene como unidades 1/s =Hz (hertzios).

Resultado 1.3.1. (Periodo de la suma de senales periodicas)

Si tenemos dos senales periodicas x1(t) y x2(t) con periodos T1 y T2 entonces,si x1(t)+ x2(t) es

unasenal periodica, y se tiene que

T1T2

=m

n∈ Qtextirreducible,

se tiene que x1 + x2 tiene periodo T = nT1 = mT2.

Vamos a construir senales periodicas cada vez mas complicadas y para hacerlo partiremos de

algunos bloques fundamentales y los iremos manipulando para combinarlos.

Fundamentalmente es necesario conocer las funciones sinuosidales. Dichas funciones son

• y(t) = A0sen(ωt+ φ),

• y(t) = A0 cos(ωt+ φ),

donde los parametros son el valor de pico (A0), la pulsacion (ω), cuyas unidades son

rad/s, y la fase inicial (φ), cuyas unidades son rad.

A continuacion representemos ambas funciones simultaneamente:


y(t) = A0 sen ωt t

y(t) = A0 cosωt t

Por tanto, podemos decir que las funciones seno y coseno son funciones periodicas, que su

periodo satisface la identidad:

ωT = 2π −→ T =2π

ω.

y que, viendo dichas graficas, tras una aplicacion de una fase inicial ambas funciones son esen-

cialmente la misma. De hecho,

• sen(ωt) = cos(

ωt+ π2

)

,

• cos(ωt) = sen(

ωt− π2

)

.

Veamos cual es el efecto de la fase inicial en ambas senales:

y(t) = A0 sen(

ωt+ π4

)

t

y(t) = A0 sen(

ωt− π4

)

t

y(t) = A0 sen ωt t

Por tanto, si φ < 0, la senal se retrasa; mientras que si φ > 0, la senal se adelanta.

Teniendo en cuenta lo anterior, si nos dan una senal (seno) con cierta fase inicial, ¿como

calcularla?

t

y(t) = A0 sen(ωt+ φ)

φ

T

4

T

2

3T

4T

y(t) = A0 sen ωt

t0


Luego si t0 es la posicion del cruce con el eje ten sentido ascendente, es decir, es el primer

cero negativo de la funcion, entonces.

φ = −2πt0T[rad].

De la misma forma podemos hacer con las funciones coseno:

t

y(t) = A0 cos(ωt+ φ)

φ

T

4

T

2

3T

4T

y(t) = A0 cosωt

t0

Luego si t0 es la posicion del primer maximo positivo, entonces.

φ = −2πt0T[rad].

1.3.5 Trigonometrıa

Una funcion muy relevante en los grados de ingenierıas es la funcion exponencial compleja. De

hecho, una identidad muy importante que se utilizara en diversas asignaturas por su conexion con

la trigonometrıa es es la identidad de Euler:

ejt = cos(t) + jsen(t), t ∈ C, j2 = −1.

De hecho, teniendo en cuenta esta identidad se tiene que si tomamos t = A+B, entonces

(cos(A+B)+jsen(A+B) = ej(A+B) = ejAejB =(

(cos(A)+jsen(A))(

(cos(B)+jsen(B))

.

Igualando las parte real e imaginaria obtenemos

cos(A+B) = cos(A) cos(B)− sen(A)sen(B),

sen(A+B) = sen(A) cos(B) + cos(A)sen(B).

Con estas dos formulas tenemos que

tan(A+B) =sen(A+B)

cos(A+B)=

tan(A) + tan(B)

1− tan(A) tan(B).

Ahora bien, teniendo en cuenta que la funcion seno es impar, y que la funcion coseno es par,

entonces obtenemos formulas algo mas generales:

cos(A±B) = cos(A) cos(B)∓ sen(A)sen(B),

sen(A±B) = sen(A) cos(B)± cos(A)sen(B).

y

tan(A±B) =tan(A)± tan(B)

1∓ tan(A) tan(B).


Teniendo en cuenta estasultimas podemos obtener las formulas trigonometricas delangulo doble

tomando A = B, siendo

cos(2A) = cos2(A)− sen2(A) = 1− 2 sen2(A) = 2 cos2(A)− 1,

sen(2A) = 2sen(A) cos(A),

tan(2A) =2 tan(A)

1− tan2(A).

Y apartir de estas las formuas trigonometricas delangulo mitad:

cos(A/2) =

√

1 + cos(A)

2,

sen(A/2) =

√

1− cos(A)

2,

tan(A/2) =tan(A)

1 +√

1 + tan2(A).

Otras identidades que pueden serutiles son:

sen(A)sen(B) =1

2

(

cos(A−B)− cos(A+B))

,

sen(A) cos(B) =1

2

(

sen(A+B) + sen(A−B))

,

cos(A) cos(B) =1

2

(

cos(A+B) + cos(A−B))

.

Para concluir deberıamos conocer los infinitesimos equivalentes de las funciones seno y cose-

no, esto es, como se comportan esas funciones cuando t es pequeno.

Para ello utilizaremos el polinomio de Taylor de estas funciones:

sen(t) = 0 +1t

1!− 0t2

2!− 1t3

3!+

0t4

4!+

1t5

5!− 0t6

6!− 1t7

7!+ · · ·

cos(t) = 1− 0t

1!− 1t2

2!+

0t3

3!+

1t4

4!− 0t5

5!− 1t6

6!+

0t7

7!+ · · ·

Donde n! es el numero n factorial que se calcula multiplicando como el producto de los

numeros de 1 a n, por ejemplo, 5! = 1× 2× 3× 4× 5 = 120.

Por lo tanto cuando t es pequeno, entonces

sen(t) ≈ t, cos(t) ≈ 1− t2

2,

Observacion 1.3.9. Cuando el Polinomio de Taylor se hace alrededor del 0, se suele

llamar desarrollo (o polinomio) de McLaurin.

Tambien sera necesario enAlgebra Lineal el desarrollo de Taylor de la funcion

exponencial en t = 0:

et = 1 +t

1!+t2

2!+t3

3!+t4

4!+ · · · . (1.4) PT:exp

Si se quiere mas precision se pueden tomar mas terminos de dicha aproximacion. Si se desea

mas informa pregunta a tu profesor.


Observacion 1.3.10. Otra falsa creencia es que las funciones trigonometricas no pueden tomar

valores fuera del intervalo [−1, 1]. Para ver que esto es falso, resolvamos la ecuacion

sen(t) = 5 → ejt − e−jt

2j= 5, ejt = X,

tras sustituir nos queda la ecuacion

X −X−1 = 10j ⇒ X = 5j±√24j ≈ 5j± 5j ⇒ t = −j log(5j± 2j

√6) ∈ C.

De hecho el logaritmo complejo tiene una definicion novedosa para vosotros y probablemente se

use en otras asignaturas del grado. De hecho

log(10j) = ln(10) +π

2j.

Clase 5

1.3.6 Relacion de Calculo I - Teorıa de Circuitos

A continuacion Relacion de fases entre tension y corriente:Si tenemos la siguiente situacion donde la diferencia de po-

tencial es el impulso que necesita una carga electrica para

que pueda fluir por la resistenciade un circuito electrico.

Si el parametro de la resistencia es R, se tiene que

v(t) = Ri(t).

Por tanto la tension y la corriente estan en fase.

Si tenemos la siguiente situacion donde la diferencia de po-


que pueda fluir por el condensador de un circuito electrico.

Si el parametro del condensador es C, se tiene que

v(t) =1

C

∫

i(t)dt

Por tanto la tension y corriente estan en cuadratura, es decir, la corriente

esta adelantada respecto a la tension.


Observacion 1.3.11. Recuerda que si estan en cuadratura entonces la diferencia de fasesiniciales

entre ambas en valor absoluto es π/2.

Si tenemos la siguiente situacion donde la diferencia de po-


que pueda fluir por una bobinade un circuito electrico.

Si el parametro de la bobina es L, se tieneque

v(t) = Ld

dti(t)

Por tanto la tension y corriente estan en cuadratura, es decir, la tension

esta adelantada respecto a la corriente.

Ahora bien, supongamos una corriente de valor de la intensidad de corriente es

i(t) = I0 · sin(ωt+ φI),

La tension en un componente pasivo sera de la forma:

v(t) = V0 · sin(ωt+ φV ),

De hecho, en funcion del componente, esta tension sera:

• Resistencia: vR(t) = RI0 · sin(ωt+ φR)

• Condensador: vC(t) =I0ωC · sin(ωt+ φC)

• Bobina: vL(t) = ωLI0 · sin(ωt+ φL)

Por tanto, podemos concluir que el valor de pico de la tension ...

• disminuye con la pulsacion en un condensador.

• aumenta con la pulsacion en una bobina.

• se mantiene constante con la pulsacion en una

resistencia.

Resistencia

Condensador

Bobina

Un circuito simple serıa el siguiente, como veremos esta ıntimamente ligado con las senales

sinusoidales:

Porultimo, consideremos el analisis de circuitos en regimen permanente sinusoidal en el que

se pide calcular el valor de i(t).


• Aplicando segunda ley de Kirchhoff:

e(t) = vR(t) + vL(t) + vC(t).

• Donde:

vR(t) = Ri(t)

vL(t) = Ld

dti(t)

vC(t) =1

C

∫

i(t)dt

e(t) = Ri(t) + Ld

dti(t) +

1

C

∫

i(t)dt.

Esta expresion da lugar a lo que se denomina ecuacion diferencial ya que en ellas apare-

cen las derivadas de funciones desconocidas, de hecho, se denomina ecuacion diferencial con

coeficientes constantes.

Si se desea mas informacion relativa a dicha relacion entre asignaturas podeis contactar con el

coordinador de la asignatura.

Calculo diferencial. Aplicaciones

2.1 Derivadas

Uno deberıa comenzar planteandose estas preguntas:

• ¿Cual es la motivacion del concepto de derivada?

• ¿Por que nos interesa calcularla/estudiarla?

Debemos tener en cuenta que el universo no es estatico; si lo fuera, por definicion no ocurrirıa

nada (no se desarrollarıa ningun proceso). Es la posibilidad de cambio en el universo la que lo dota

de interes. Por tanto el ingeniero/cientıfico debe saber entender el cambio. Matematicamente el

cambio de unas magnitudes cuando se modifican otras se modela mediante funciones (por ejemplo,

si un objeto se encuentra en caıda libre, su altura h cambia con el tiempo como

h(t) = h0 −1

2gt2.

Pero a veces no nos basta con conocer el cambio, sino que nos interesa conocer tambien el ritmo

del cambio: ¿se esta produciendo el cambio lenta o rapidamente?

Esto es precisamente lo que responde la derivada, que expresa la tasa de cambio de una

funcion, o de una magnitud con respecto a otra.

Ejemplo 2.1.1. Velocidad v(t) de un cuerpo que se mueve en el tiempo t y posee una posicion

x(t):v(t) = (x(t))′.

Ejemplo 2.1.2. Corriente electrica I sobre un conductor como cambio en la cantidad de carga

Q(t) con respecto al tiempo:

I(t) = (Q(t))′.

Ejemplo 2.1.3. Cambio de la temperatura T (x) con respecto a la posicion x en una barra con

un mechero en un extremo, (T (x))′.

Antes de comenzar a dar conceptos, hablemos tambien del concepto de recta tangente.

32 Calculo diferencial. Aplicaciones

2.1.1 ¿Que es y para que sirve una recta tangente?. El metodo de Newton

Otra forma habitual de introducir la idea de derivada es hablando de rectas tangentes. Pero creemos

conveniente motivar primero nuestro interes por esas rectas. Para ello vamos a plantear varios

problemas en los que quedara claro por que es importante pensar en rectas tangentes.

Metodo de Newton. Los griegos descubrieron, en la epoca del filosofo Pitagoras, que no

existe ninguna fraccion m/n cuyo cuadrado fuese igual a 2. Es decir, que

•√2 es irracional.

• Por lo tanto su desarrollo decimal no es periodico. Prueba a escribir en Wolfram Alpha

first 1000 digits of sqrt(2)

para convencerte.

Eso plantea inmediatamente la pregunta de como calcular los terminos de ese desarrollo decimal,

para obtener valores aproximados de√2. Se puede hacer por tanteo, pero ese metodo es muy

lento y laborioso.

Newton descubrio una forma mucho mas eficiente de obtener esas aproximaciones decimales.

La idea se ilustra en esta construccion en la siguiente figura:

x

f(x) = x2 − 2

−1−2−2−3−4−5 1 2 3 4 5 6

5

10

15

20

20

La idea empieza observando que√2 es una raız (punto de corte con el eje x) de la funcion

f(x) = x2 − 2,

cuya grafica es una parabola como la de la figura. Entonces el metodo de Newton propone seguir

estos pasos:

• Tomar un valor inicial x0, que podemos obtener por tanteo.

• ‘Subir’ (flecha azul) hasta el punto (x0, f(x0)) de la grafica y trazar la recta tangente a f(x)en ese punto.

• ‘Bajar’ (flecha roja) por la recta tangente hasta el corte con el eje x. Llamamos x1 a ese

punto de corte.

• Cambiar x0 por x1 y repetir los pasos anteriores.

2.1 Derivadas 33

Podeis tratar de programarlo en Matlab y vereis que en seis iteraciones tenemos mas cifras

de√2 de las que razonablemente usaras en cualquier aplicacion.

Como habras observado, el metodo de Newton requiere que seamos capaces de obtener la

recta tangente a f(x) en un punto dado. Una vez que aprendamos a hacer esto, el metodo es una

de las mejores formas que se conocen para buscar soluciones (raıces) de ecuaciones de la forma

f(x) = 0.

Naturalmente, el metodo tiene limitaciones: no funciona para todas las funciones e, incluso cuando

funciona, el resultado puede depender del punto inicial x0 (dando lugar, por ejemplo, a fenomenos

tan interesantes como el caos determinista). En cualquier caso, el metodo de Newton nos ensena

que la recta tangente puede ser una calculadora.

Un inciso sobre la ecuacion de la recta

Ya que vamos a interesarnos por la recta tangente a f(x) en el punto (x0, f(x0)), conviene

dedicar unos momentos a pensar en la ecuacion de esa recta. Podemos escribirla de muchas

maneras, pero una de las mas utiles para nosotros es esta forma que llamamos punto-pendiente:

y − f(x0) = m(x− x0)

donde el numero m es la pendiente de la recta. Recuerda la interpretacion geometrica

de la pendiente. Especialmente, recuerda cual es la interpretacion del signo de la pendiente.

2.1.2 Optimizacion

Muchos problemas cientıficos o tecnicos se pueden formular como problemas de optimizacion.

En particular, muchos de ellos se reducen a encontrar el valor maximo o mınimo de una funcion.

En la version mas elemental de este tipo de problemas empezamos con una funcion y = f(x) y

nos preguntamos cuales son los valores de x que producen valores extremos (maximos o mınimos)

de y. Y la primera observacion es que en una funcioon tıpica la recta tangente en un punto

extremo es horizontal.

La conclusion a la que podemos llegar es que existe una relacion evidente entre el crecimiento

de la funcion y el signo de la pendiente de la recta tangente.

Observacion 2.1.1. Este contenido puede que no sea tratado por todos los profesores de la asig-

natura pero creemos que es un punto muy importante, de ahı que aparezca en este documento. Si

quieres saber mas pregunta a tu profesor.

2.1.3 Aproximacion local y la definicion de derivada

Hasta ahora hemos trabajado con una nocion intuitiva de recta tangente y hemos esquivado el

asunto, mas o menos espinoso, de su definicion. Pero para seguir adelante necesitamos mas pre-

cision. Nuestra propuesta inicial, para acercarnos a una definicion rigurosa es esta:

Definicion 2.1.1. La recta tangente a la funcion f(x) en x0 es, de entre todas las rectas que pasan

por el punto (x0, f(x0)), la que mas se parece a f(x) cerca de x0.

Para convertir esta intuicion en una idea rigurosa, que sirva para hacer cuentas, empezamos

por pensar en como son todas las rectas que pasan por ese punto. Ya sabemos que se pueden

escribir ası:

y − f(x0) = m(x− x0).

En la siguiente figura: ¿cual es, de todas las rectas que hemos dibujado, la que mas se parece a

f(x) cerca de x0?


t

y

−1 1 2 3

1

2

2.1.4 Definicion de derivada y recta tangente

Es importante tener claro que el concepto de derivada es un concepto local. Es decir, im-

portan lo que pasa alrededor del punto en el que buscamos dicha recta tangente, o la derivada de

la funcion que nos den.

Definicion 2.1.2. La derivada de f(x) en x = x0 es el numero:

f ′(x0) = limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0= lim

h→0

f(x0 + h)− f(x0)

h.

si existe el lımite.

Tambien lo representaremos comodf

dx(x0).

Cuando existe la derivada, la recta tangente a f(x) cuando x = x0 es:

y = f(x0) + f ′(x0)(x− x0).

Ejemplo 2.1.4. Ejemplos de funciones sin derivada Antes de lanzarnos a usar la derivada para

resolver problemas, es necesario ser conscientes de que no siempre existe la derivada (y por tanto

la recta tangente). El ejemplo mas sencillo es el valor absoluto f(x) = |x| en el punto x0 = 0.

Como sabemos la grafica de dicha funcion tiene forma de V (valle), de modo que justo en ese

punto, la rect tangente no existe.

t

|t|

−1 1 2 3−2 3

1

2

3

Observacion 2.1.2. Fıjate en que la recta tangente a esta grafica es evidente en cualquier otro

punto salvo el origen.

2.1 Derivadas 35

144

Ejemplo 2.1.5. Otro ejemplo interesante, en el que ocurre un fenomeno diferente, es el de la

funcion

f(x) = 3√x− 1 = (x− 1)1/3.

La siguiente figura muestra la tangente a esta grafica en dos puntos: mas a la derecha un punto

cualquiera, en el que la tangente no presenta ninguna peculiaridad especial y a la izquierda el

punto de coordenada x0 = 1.

t

x(t)

1 2 33 4

1

−1

En el punto x0 = 1 existe una tangente geometrica bien definida. El problema es que se trata

de una recta vertical. Y las rectas verticales no se pueden describir con una ecuacion de la forma

y = a+ bx. Sus ecuaciones son siempre de la forma x = cte (la variable y no aparece).

Observacion 2.1.3. Hemos trasladado la funcion raız cubica al punto x0 = 1 para que el ejemplo

fuera mas facil de visualizar. Pero sucederıa lo mismo con la raız cubica sin trasladar f(x) = 3√x

en el punto x0 = 0.

.

2.1.5 Otra visita a la idea de velocidad/tasa instantanea

Ahora que hemos visto la definicion de derivada podemos volver sobre la nocion de velocidad

instantanea.

Ejemplo 2.1.6. Supongamos que un coche parte por una carretera en el instante t = 0. Y sea

f(t) una funcion que nos dice en que punto kilometrico de la carretera se encuentra cuando ha

transcurrido un tiempo t. Si queremos calcular la velocidad media en el periodo del viaje que va

desde ta a tb, en la escuela nos ensenan a calcular esa velocidad media como el cociente:

v =espacio

tiempo=

Kms recorridos

tiempo invertido=f(tb)− f(ta)

tb − ta.

El problema viene cuando queremos definir la velocidad instantanea en un momento concreto t0del viaje. En ese caso la idea natural es tomar un valor t cercano a t0 y considerar los valores del

cociente:f(t)− f(t0)

t− t0

cuando t se acerca cada vez mas (tiende) a t0.


Las similitudes de este resultado con el que hemos obtenido en el problema de la tangente

se hicieron evidentes en la epoca de Newton. Los fısico-matematicos de aquella epoca com-

prendieron que este tipo de lımites, las derivadas, eran la clave para muchos de los problemas mas

importantes tanto de la Fısica como de las Matematicas.

Este tipo de cocientes aparecen cada vez que una variable depende de otra y queremos definir

una tasa de cambio en un punto. Si la variable independiente es el tiempo estaremos ante un prob-

lema de velocidad instantanea. Pero hay muchos otros contextos en los que las tasas de cambio

juegan un papel parecido al de la velocidad. Usaremos los ejercicios del curso para explorar estas

ideas.

2.1.6 Metodos de calculo de derivadas

Observacion 2.1.4. Lo que no vamos a hacer: calculo directo con lımites.

Ejemplo 2.1.7. Vamos a calcular la recta tangente a f(x) = x2 − 2 en x0 = 2.

Para ello usamos:


f(x)− f(x0)

x− x0= lim

x→2

f(x)− f(2)

x− 2= lim

x→2

(x2 − 2)− (22 − 2)

x− 2= lim

x→2x+2 = 4.

Como era de esperar, hemos llegado a una indeterminacion de la forma 0/0 pero en exte caso

podemos resolver el problema simplificando la expresion.

Ası que ya sabemos que la pendiente de la recta tangente a f(x) = x2 − 2 en x0 = 2 es 4 y

por tanto la recta tangente en ese punto es:

y = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) = 2 + 4(x− 2) → y = −6 + 4x.

Observacion 2.1.5. • Se puede repetir la misma cuenta con un punto generico x0 (sin fijar

un valor concreto) y se obtiene la formula

f ′(x0) = 2x0

que permite calcular la recta tangente en cualquier punto. Este resultado es especialmente

util para, por ejemplo, aplicar el metodo de Newton o para analizar el crecimiento de la

funcion.

• En este ejemplo hemos podido usar la factorizacion para resolver la indeterminacion y

calcular el valor de la derivada. Pero en cuanto tratemos con funciones mas complicadas

los lımites resultaran mucho mas difıciles. Por ejemplo, la derivada de

f(x) =1

1 + x2, en x0 = 5

nos llevarıa a calcular

f ′(5) = limx→5

f(x)− f(5)

x− 5= lim

x→5

1x2+1

− 152+1

x− 5=

0

0.

que se puede resolver tambien por factorizacion, pero de manera mucho mas laboriosa.

Lo hicimos en clase y obtuvimos f(x0) = 1/26 y la recta tangente en exe punto es

y − 1

26= − 5

338(x− 5).

2.1 Derivadas 37

Y si pensamos en f(x) = sen(x) en x0 = 0 entonces tenemos que calcular:

f ′(0) = limx→0

f(x)− f(0)

x= lim

x→0

sen(x)− sen(0)

x= lim

x→0

sin(x)

x=

0

0.

Este lımite resulta ser igual a 1, pero para obtenerlo hay que hacer un trabajo mas elabo-

rado, usando desigualdades y propiedades trigonometricas de la funcion seno.

Estas observaciones deberıan servir para convencernos de que el calculo de derivadas mediante

lımites resulta poco practico. Lo que vamos a hacer, en lugar de esto, es pensar en las funciones

como formulas construidas pieza a pieza a partir de bloques mas sencillos.

Por ejemplo, la funcion

f(x) =1

1 + x2

se puede pensar como un proceso en el que partimos de x y calculamos ası:

x→ x2 → 1 + x2 → 1

1 + x2.

La formula final puede parecer mas o menos complicada, pero cada uno de los pasos es una op-

eracion muy simple. Nuestro plan es aprender a calcular las derivadas de esas operaciones sencillas

y encontrar reglas que nos permitan combinar esas derivadas sencillas para calcular derivadas mas

complicadas.

Ese es el trabajo que vamos a comenzar a hacer a continuacion.

• Derivada de rectas y funciones constantes:

Supongamos que la funcion que queremos derivar es ella misma una recta, con pendiente

igual a b. Es decir, supongamos que

f(x) = a+ bx −→ f ′(x0) = b para todo x0.

Observacion 2.1.6. Si la recta es horizontal, entonces b = 0, y es el caso de funcion

constante, ası La derivada de una funcion constante es 0 (en todos los puntos). Ms adelante

veremos una especie de recıproco: si la derivada de una funcion es 0 en todos los puntos,

entonces la funcion es constante.

• Derivada de la suma:

La derivada de una suma es la suma de las derivadas. Por supuesto, se sobreentiende que las

dos derivadas que sumamos existen.

Resultado 2.1.1. Si f y g son derivables en un punto x0 se tiene que

(f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0).

• Derivada del producto. Derivadas de polinomios: La derivada del producto es mas

interesante, aunque solo fuese porque el resultado no es trivial ni evidente. Y nos brinda

nuestra primera oportunidad de poner a trabajar el concepto de aproximacion local.

Aunque el resultado final se puede utilizar sin entender su origen, creemos instructivo que

el lector se esfuerce en comprender como se descubre una formula como esta.

Supongamos que las funciones f y g son derivables en x0. Entonces podemos escribir estas

aproximaciones locales, es decir, como es la funcion en torno al punto x0:

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) + Ef (x)

g(x) = g(x0) + g′(x0)(x− x0) + Eg(x)


donde Ef y Eg son respectivamente los terminos de error de f y g que cumplen:

limx→x0

Ef (x)

x− x0= lim

x→x0

Eg(x)

x− x0= 0.

Cuando pensamos en la funcion producto h(x) = f(x)g(x) podemos simplemente multi-

plicar las aproximaciones locales de f y g para obtener:

h(x) = f(x)g(x) = (f(x0)+ f′(x0)(x−x0)+Ef (x))(g(x0)+ g

′(x0)(x−x0)+Eg(x)).

Nuestro objetivo aquı es operar y agrupar terminos obtener una expresion de la forma

h(x) = h(x0) + h′(x0)(x− x0) + Eh(x),

de manera que se cumpla:

limx→x0

Eh(x)

x− x0= 0.

Lo que obtenemos al multiplicar las dos aproximaciones locales es:

h(x) = f(x)g(x) = f(x0)g(x0) +(

f ′(x0)g(x0) + f(x0)g′(x0)

)

(x− x0) + Eh(x),

donde hemos llegado

Eh(x) =f(x0)Eg(x) + f ′(x0)(x− x0)Eg(x) + g(x0)Ef (x) + g′(x0)(x− x0)Ef (x)

+ f ′(x0)g′(x0)(x− x0)

2 + Ef (x)Eg(x),

a la parte que agrupa todos los terminos de error. Dejamos como ejercicio interesante el

comprobar que estos terminos de error cumplen la propiedad que necesitamos:

limx→x0

Eh(x)

x− x0= 0.

El resultado, entonces, es este:

Resultado 2.1.2. Derivada del producto (Regla de Leibnitz).

Si f y g son derivables en x0 entonces la derivada del producto existe y se cumple:

(fg)′(x0) = f ′(x0)g(x0) + f(x0)g′(x0).

De hecho podemos emplear este resultado para calcular la derivada de Polinomios.

Supongamos que y = p(x) es una funcion polinomica, definida ası:

p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ anx

n.

Los numeros ai con i = 1, 2, . . . , n son los coeficientes del polinomio. Esta

funcion es un buen ejemplo de la estrategia de construccion modular de funciones: el

polinomio se puede construir a partir de funciones constantes y de la funcion identidad

f(x) = x, usando solo sumas y multiplicaciones. Puesto que sabemos como se calculan las

derivadas de todos esos ingredientes, no es difıcil combinar esos metodos para obtener una

receta general sobre la derivada de los polinomios. Un paso previo son las potencias de x:

Derivada de una potencia natural de x.

Si f(x) = xn para n = 1, 2, 3, . . . , entonces

f ′(x0) = nxn−10 .

Volviendo al caso general de los polinomios, se obtiene este resultado.

2.1 Derivadas 39

Resultado 2.1.3. Derivada de un polinomio.

Si es una funcion polinomica, entonces su derivada p′(x0) existe sea cual sea el valor x0 y

se cumple:

p′(x0) = a1 + 2a2x0 + 3a3x20 + 4a4x

30 + · · ·+ nanx

n−10 .

• Funcion derivada: En los ejemplos de derivadas de polinomios nos hemos encontrado

ya con frases como “entonces la derivada existe sea cual sea x0” seguidas de una formula

para el valor de la derivada en x0. A medida que los ejemplos se acumulan esta forma de

trabajar, refiriendose una y otra vez a un punto x0 generico, se hace mas y mas incomoda y

artificiosa. En realidad, lo que vamos a hacer es simplemente decir que, por ejemplo, si

f(x) = 3− 2x− 12x2 + 8x3,

entonces:

f ′(x) = −2− 24x+ 24x2.

Y al escribir esta formula estamos diciendo que si quieres calcular la derivada f ′(x0), por

ejemplo con x0 = 2, basta con sustituir ese valor en la ultima formula calculada.

Observacion 2.1.7. Parece una diferencia sutil con lo que hacıamos antes, pero es im-

portante. Porque nos permite pensar en esta formula de la derivada como una funcion,

la funcion derivada de f y, por lo tanto, pensar en la relacion que existe entre esas dos

funciones f y f ′

En proximas secciones volveremos a menudo sobre este tema. Por el momento nos confor-

mamos con la comodidad que supone esta notacion para las derivadas.

• Derivada del cociente: Nuestro objetivo es aprender derivar expresiones de tipo cociente

comou(x)

v(x),

donde u y v son funciones que sabemos derivar por separado. Para llegar hasta ahı vamos a

empezar por un caso mas sencillo.

Derivada de 1/f(x): Vamos a pensar en una funcion g(x) definida como:

g(x) =1

f(x),

donde f(x) es una funcion que sabemos derivar.

Observacion 2.1.8. De nuevo, creemos que es bueno que conozcas el tipo de metodos que se

usan en Matematicas para descubrir una formula como esta cuando se ignora el resultado

final.

Una cuestion es demostrar la validez de una formula y otra bien distinta es encontrar esa

formula, para empezar. El problema que tenemos entre manos es muy adecuado para enten-

der como se hacen esos descubrimientos. La idea, en este caso, es partir de la expresion y

razonar que entonces g(x) tiene que cumplir.

Dado que g(x)f(x) = 1, derivamos esta expresion con lo visto hasta el momento y obten-

emos que

f ′(x)g(x) + f(x)g′(x) = 0.

Por tanto

g′(x) =

(

1

f(x)

)′

= − f ′(x)

f2(x).


Observacion 2.1.9. Un comentario, para evitar posibles confusiones: lo que hemos he-

cho no se puede considerar de ninguna manera una demostracion de que esa formula es

correcta (ese es un trabajo que queda para los matematicos). Lo que nos dice este resul-

tado es que esa es la unica formula posible para la derivada. Ota cosa es que funcione.

Afortunadamente, en este caso es posible demostrar que el resultado es valido.

Resultado 2.1.4. Derivada del cociente.

Si f(x) y g(x) son ambas derivables en x0 y g(x0) 6= 0 entonces

(

f(x)

g(x)

)′

(x0) =f ′(x0)g(x0)− f(x0)g

′(x0)

g2(x0).

Ejemplo 2.1.8. Calcular la derivada de

q(x) =2x2 + 1

3x2 − x+ 1.

La derivada es:

q′(x) =(2x2 + 1)′(3x2− x+ 1)− (2x2 + 1)(3x2 − x+ 1)′

(3x2 − x+ 1)2,

y simplificando, con un poco de trabajo se obtiene:

q′(x) =−2x2 − 2x+ 1

9x4 − 6x3 + 7x2 − 2x+ 1.

A parit de este resultado obtenemos que

f(x) = x−1 =1

x→ f ′(x) = − 1

x2.

De hecho, para un a numero natural arbitrario positivo, se tiene el siguiente resultado:

Resultado 2.1.5. Derivada de una potencia natural de x Sea a ∈ R, entonces

(xa)′ = axa−1.

A partir de aquıpueden calcularse todo tipo de potencias tales como

Ejemplo 2.1.9. Calcular la derivada de

f(x) =√x, f(x) =

1√x, f(x) = x−9/5.

Teniendo en cuenta este ultimo resultado

f ′(x) =1

2x−1/2 =

1

2√x, f ′(x) =

−1

2x−3/2 =

−1

2√x3, f ′(x) =

−9

5x−9/5−1 =

−9

55√x14

.

Derivadas usando el ordenador.

Aunque es bueno adquirir un cierto grado de destreza calculando derivadas a mano, recuerda

en cualquier caso que derivaciones como estas y otras mas complicadas son procedimientos

completamente mecanizables y mecanizados.

2.1 Derivadas 41

Por ejemplo, en Matlab usarıamos estos comandos (suponiendo que el Symbolic Math

Toolbox esta instalado, como suele suceder): clear; clc;

syms x

f(x) = (2*xˆ2 + 1)/(3*xˆ2 - x + 1);

df = simplify(diff(f,x))

En Octave puedes usar el mismo codigo, pero debes ejecutar previamente:

pkg load symbolic

• Derivada de funciones exponenciales y logarıtmicas:

Comencemos calculando la derivada de la funcion exponencial f(x) = ex. Lo veremos

realizandolo a traves del lımite


ex − ex0

x− x0= ex0 lim

x→x0

ex−x0 − 1

x− x0

Si usamos ahora el desarrollo de Taylor que vimos hace unos dıas (PT:exp1.4), es decir,

ex−x0 = 1 + (x− x0) +(x− x0)

2

2+

(x− x0)3

6+ · · ·

entonces

limx→x0

ex−x0 − 1

x− x0= lim

x→x0

(

1 +x− x0

2+

(x− x0)2

6+ · · ·

)

= 1,

por tanto (ex)′ = ex.

A partir de esta derivada, si tomamos un numero a > 0 cualquiera, entonces

(ax)′ = (elog(a)x)′ = log(a)elog(a)x = log(a)ax.

Resultado 2.1.6. (Derivada de las funciones exponenciales ax y ex)

Sea un a real y positivo, se tiene

(ex)′ = ex, (ax)′ = log(a)ax.

Ademas si llamamos g(x) = log(x), entonces

x = log(ex) = g(ex) ⇒ g′(ex)ex = 1,

por tanto dado que ex es una funcion biyectiva, se tiene que

(log(x))′ =1

x.

Con los resultados anteriores estamos empezando a hacer realidad el plan que nos habıamos

trazado. Ese plan tiene dos ingredientes basicos:

1. Un catalogo relativamente amplio de funciones elementales cuyas derivadas conoce-

mos.

2. Un conjunto de reglas de derivacion que nos permiten calcular las derivadas de com-

binaciones relativamente complicadas de esas funciones, obtenidas mediante sumas,

productos, y otras operaciones.


Para subir a un nivel superior, no obstante, necesitamos aumentar tanto el repertorio de

funciones elementales que sabemos derivar como el conjunto de reglas de derivacion dispo-

nibles.

Ahora vamos a aprender a derivar funciones trigonometricas. Hay una pauta comun a todos

los casos: las derivadas que necesitamos se obtienen usando la definicion que conocemos,

pero los lımites correspondientes no son sencillos de obtener.

Aquı nos vamos a limitar a hacer una lista de los resultados que daremos por conocidos en

el resto del curso, sin tratar de justificarlos rigurosamente.

• Funciones trigonometricas:

Para el seno y el coseno se tiene,

(cos(x))′ = −sen(x), (sen(x))′ = cos(x).

Con la notacion de Leibnitz escribirıamos:

d

dx(sen(x)) = cos(x)

d

dx(cos(x)) = −sen(x).

El seno y el coseno forman una pareja interesante en estas formulas porque sus derivadas se

expresan sin necesidad de hacer intervenir otras funciones aparte de esas dos.

Vamos a ver otros dos ejemplos de parejas trigonometricas similares. Para empezar, puesto

que

tan(x) =sen(x)

cos(x)

la formula de la derivada del cociente permite obtener

(tan(x))′ = sec2(x) = 1 + tan2(x) =1

cos2(x).

Las expresiones de la derecha son simplemente formas distintas de expresar el mismo resul-

tado. La tangente y la secante forman la formula de la derivada del cociente permite obtener

otra pareja trigonometrica, porque a partir de

sec(x) =1

cos(x),

es facil obtener:

(sec(x))′ = sec(x) tan(x).

La secante y la tangente no estan definidas para todos los valores de x y eso se refleja

tambien en sus derivadas. Es recomendable que se analicen las graficas de las funciones con

esta idea en mente, tratando de entender que ocurre.

Del mismo modo existe una pareja similar formada por la cotangente y la cosecante:

(cot(x))′ = − csc(x) = −(1 + cot2(x))

(csc(x))′ = − csc(x) cot(x).

Para poder aprovechar este resultado necesitamos aprender otra regla de derivacion que va

a ampliar mucho el catalogo de funciones que somos capaces de derivar.

2.1 Derivadas 43

2.1.7 Regla de la cadena

Para entender lo que vamos a hacer es bueno empezar on algunos ejemplos. Ahora ya sabemos

que (sen(x))′ = cos(x). Pero si nos preguntan cual es la derivada de (sen(3x)), o mas en general,

la derivada de (sen(x2)); todavıa no hemos aprendido a responder.

Observa que en la ultima de estas formulas se han obtenido aplicando dos funciones, una tras

otra, ası:

xf1−→ u = x2

f2−→ sen(u) = sen(x2).

A veces es util pensar en las funciones como teclas de una calculadora. Hemos empezado con xy hemos pulsado la tecla de una funcion f1(x) = x2. Al resultado que aparece en la pantalla le

hemos llamado u. Y a continuacion hemos pulsado la tecla de una funcion f2(u) = sen(u).A esta operacion que consiste en aplicar una funcion tras otra los matematicos la llaman com-

posicion de funciones. En nuestro caso tenemos:

f(x) = (f2 f1)(x) = f2(f1(x)) = f2(x2) = sen(x2).

Observacion 2.1.10. El sımbolo (f2 f1) se lee (atencion al orden) “f1 compuesta con f2”. En

el contexto de una composicion hablaremos a veces de la funcion interior para referirnos a f1 (la

primera tecla que pulsamos) y de la funcion exterior para referirnos a f2 (la segunda tecla).

¿Como se calcula la derivada de una composicion?

Resultado 2.1.7. Regla de la cadena (derivada de una composicion)

Si f1(x) es derivable en x0 y f2(u) es derivable en u0 = f1(x0), entonces la composicion

f(x) = (f2 f1)(x) = f2(f1(x)) es derivable en x0 y se tiene:

(f2 f1)′(x0) = f ′2(u0)f′1(x0) = f ′2(f1(x0))f

′1(x0).

Ejemplo 2.1.10. Calcular la derivada de sen(x2).Empezamos tomando f1(x) = x2, y f2(u) = sen(u). Entonces, puesto que ambas funciones

son derivables en todo R, la regla de la cadena se aplica para dar, sea cual sea x este resultado:

(f2 f1)′(x) = f ′2(u)f′1(x) = (cosu) · (2x),

y recordando que es u = f1(x) = x2, se tiene que

(

sen(x2))′= (cos(x2)) · (2x) = 2x cos(x2).

Ejemplo 2.1.11. Calcular la derivada de ex3.

Si mantenemos f1(x) = x3 pero ahora tomamos f2(u) = eu tendremos la composicion que

nos interesa.

Aplicando la regla de la cadena de la misma forma se obtiene

(f2 f1)′(x) = f ′2(u)f′1(x) = (eu) · (3x2) = ex

3 · (3x2).

Observaciones sobre la forma de aplicar la regla de la cadena:

Como muestran estos ejemplos, la regla de la cadena procede “de fuera hacia dentro”. Es

decir, que al encontrarnos con una expresion como esta:

f(x) =√

algo aquı dentro de la raız

empezamos por derivar la funcion externa, la raız, escribiendo:

f ′(x) =1

2√

lo de dentro sin modificar· la derivada de lo de dentro.


Y de la misma forma. ante una expresion como esta,

f(x) = ln(algo aquı dentro del logaritmo),

empezamos por derivar la funcion externa, en este caso el logaritmo y tendremos:

f ′(x) =1

lo de dentro sin modificar· la derivada de lo de dentro.

Esta manera de trabajar es la que nos permite abordar, paso a paso, de fuera hacia dentro, y en

combinacion con el resto de las tecnicas de derivacion, la derivacion de funciones compuestas

complicadas, como las que veremos en los ejercicios del curso.

2.1.8 Tabla de Derivadas

En esta tabla puede considerarse indistintamente log y ln pero dependiendode los libros que se

empleen pueden usar una notacion u otra. Aquı nos decantamos por la primera:

f f ′ f f ′

f + g f ′ + g′ f − g f ′ − g′

fg f ′g + dg′f

g

f ′g − fg′

g2

x 1 C 0

un nun−1u′1

um− mu′

um+1

√u

u′

2√u

m√u

u′

mm√um−1

ua aua−1u′ au au log(a)u′

eu euu′ log(u)u′

u

sen(u) cos(u)u′ cos(u) −sen(u)u′

tan(u) sec2(u)u′ cot(u) − csc2(u)u′

sec(u) sec(u) tan(u)u′ csc(u) − csc(u) cot(u)u′

arctan(u)u′

1 + u2arcsen(u)

u′√1− u2

arccos(u)−u′√1− u2

argtanh(u)u′

1− u2

Clase 11

2.1 Derivadas 45

2.1.9 Aplicaciones de la derivada (Incompleto)

Derivada, crecimiento y extremos

• Crecimiento: La intuicion detras de este concepto esta clara: una funcion crece si cuando

x aumenta el valor de f(x) tambien aumenta. Y decrece si cuando aumenta x, el valor f(x)disminuye. La siguiente figura muestra en color rojo los tramos en los que la funcion crece

y en azul los tramos en los que decrece.

x

y

−1−2−3 31 2

Formalmente diremos que:

– La funcion es creciente en el intervalo (a, b) si para cualquier par de valores x1 < x2de ese intervalo se cumple f(x1) ≤ f(x2). Si se cumnple f(x1) < f(x2) para

cualquier par de valores decimos que f es estrictamente creciente.

– Del mismo modo, con f(x1) ≥ f(x2) y f(x1) > f(x2) se definen las funciones

decrecientes y estrictamente decrecientes.

En la figura llaman la atencion los puntos que separan los intervalos de crecimiento y de-

crecimiento: las cumbres y valles de la grafica.

• Extremos locales y Absolutos:

– La funcion tiene (o alcanza) en el punto x0 un mınimo local si el valor f(x0) es menor

o igual que el valor de en todos los puntos cercanos a x0 (de ahı el adjetivo local). Es

decir, si existe un intervalo a < x0 < b tal que

f(x0) ≤ f(x) para todo x con a < x < b.

– De forma analoga, la funcion tiene en el punto x0 un maximo local de f si el valor

f(x0) es mayor o igual que el valor de f en todos los puntos cercanos a x0. Es decir,

si existe un intervalo a < x0 < b tal que

f(x0) ≥ f(x) para todo x con a < x < b.


– En cualquiera de los dos casos decimos que f tiene un extremo local en el punto x0.

Estas dos posibilidades se ilustran en la siguiente figura

x

y

−1−2−3 31 2

– Un extremo absoluto es un valor de f que es mayor o igual que cualquier otro valor

de la funcion, cercano o no.

Antes de hablar de estos extremos necesitamos introducir otras ideas.

• Continuidad y teoremas globales:

• Derivada y crecimiento

• El criterio de la derivada primera para extremos locales

• El criterio de la derivada primera

• Derivada segunda: curvatura

• Derivada segunda y extremos

2.1.10 Derivadas de orden superior, polinomios y series de Taylor (y MacLaurin)

-- SECCION EN CONSTRUCCION --

2.1.11 Teoremas relacionados con las derivadas de una funcion

Teorema de Rolle: Sea f una funcion continua en un intervalo [a, b] y diferenciable en (a, b) tal

que f(a) = f(b) entonces

existe un valor c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.

Teorema del valor medio (de Lagrange): Sea f una funcion continua en un intervalo [a, b] y

diferenciable en (a, b), entonces existe un valor c ∈ (a, b) tal que

f(b)− f(a)

b− a= f ′(c).

2.1 Derivadas 47

Teorema del valor medio generalizado (de Cauchy): Sean f, g dos funciones continuas en un

intervalo [a, b] y diferenciables en el intervalo (a, b), entonces existe un valor c ∈ (a, b) tal que

f(b)− f(a)

g(b)− g(a)=f ′(c)

g′(c).

Observacion: El Teorema de Cauchy es una generalizacion del de Lagrange, que a su vez

para el caso en que f(a) = f(b) generaliza al de Rolle.

Clase 13

2.1.12 Calculo de la derivada de y=arctan(x)

Para ello primero tenemos en cuenta la derivada de la tangente. En este caso

y = tan(x) → y′ = 1 + tan2(x) =1

cos2(x).

Si tenemos en cuenta que

arctan(tanx) = x, tan(arctanx) = x,

llamaremos g(x) = arctan(x), y por tanto aplicando la regla de la cadena obtenemos

g(tan(x)) = x ⇒ g′(tan(x))(1 + tan2(x)) = 1 ⇒ g′(x) =1

1 + x2.

Teniendo en cuenta esto, podemos afirmar que

Resultado 2.1.8. (Derivada de la arctan(u))La siguiente identidad se tiene

(

arctan(u))′=

u′

1 + u2.

Calculo Integral. Aplicaciones

Advertencia: En el tema anterior, al hablar de derivadas, hemos usado habitualmente de forma

casi exclusiva la notacion y = f(x) para las funciones. En este capıtulo vamos a seguir usando a

veces esa notacion, pero tambien vamos a ir volviendo a la notacion y = x(t) que hemos usado

en el tema de senales. Trataremos de evitar las posibles confusiones que esta doble sistema de

notacion pueda causar, pero te pedimos que prestes atencion a los sımbolos que se usan en el

contexto de cada problema.

3.1 Introducion

Vamos a empezar nuestro trabajo en este tema con un ejemplo que proviene de la Fısica mas

elemental. Gracias a los trabajos de Galileo Galilei se establecio que la gravedad en la superficie

terrestre produce una aceleracion constante en caıda libre, aproximadamente igual a

g0 = 9′8m/s2.

En la caıda de un objeto en situaciones cotidianas intervienen otros muchos factores y en particular,

la resistencia del aire. En lo que sigue vamos a simplificar nuestro trabajo ignorando esa resistencia

del aire.

Vamos a usar la variable x para representar los valores de la altura a la que esta situado un

objeto, de manera que x = 0 corresponde al suelo y cuanto mayor sea x mas alto esta el objeto.

Supongamos que un objeto cae desde una altura inicial igual a x0 = 100m y que inicialmente esta

en reposo. Es decir, que su velocidad inicial v0 es 0 cuando t = 0. ¿Cual es la posicion del objeto

en cada instante de tiempo? Y en particular ¿cuanto tarda en caer hasta el suelo?

Si pensamos en la funcion x(t) que describe la altura x en cada instante del tiempo t que dura

la caıda, entonces en el tema anterior hemos visto que la velocidad instantanea de caıda viene dada

por la derivada primera de esta funcion.

v(t) = x(t).

Observacion 3.1.1. Cuando derivemos la variable tiempo t, emplearemos esa notacion pues es

habitual que se haga de este modo, aunque en ocasiones se utilice la vista en bachillerato, i.e.,

x′(t).

50 Calculo Integral. Aplicaciones

(Fıjate en que en este ejemplo nuestra notacion es como la del tema senales). Por su parte la

aceleracion instantanea a(t) es la tasa de cambio instantanea (la derivada) de la velocidad. Por

tanto, coincide con la derivada segunda de x(t), es decir,

a(t) = v(t) = x(t).

Ademas en la epoca de Galileo se establecio que en la superficie terrestre podıamos considerar

que la aceleracion es una funcion constante dada por

a(t) = −9′8m/s2.

Observacion 3.1.2. Observa que debemos tomar un valor negativo por nuestra eleccion de la

direccion del eje de coordenadas en este problema.

La primera pregunta que nos hacemos, y que inaugura uno de los problemas tıpicos de este

tema, es esta: ¿cual es entonces la velocidad v(t)? En terminos matematicos, si sabemos que

v(t) = g

donde g es una constante (−9′8 en el problema de la caıda libre) ¿cual es entonces la funcion v(t)?

A riesgo de parecer pesados nos queremeos detener a subrayar la naturaleza de esta pregunta:

en el capıtulo anterior nos daban una funcion y nos pedıa que calcularamos la derivada. Aquı

tenemos la derivada y queremos calcular la funcion.

En este primer ejemplo las cosas son relativamente sencillas: si repasas las reglas de derivacion

del tema anterior no cuesta mucho ver que tomando v(t) = gt se obtiene que v(t) = g como

queriamos.

Enseguida encontramos la primera dificultad. Alguien puede darse cuenta de que si pro-

ponemos:

v(t) = gt+ c

donde c es una constante arbitraria, es decir, un numero cualquiera, entonces sigue siendo cierto

que v(t) = g sea cual sea el valor de c que hallamos elegido. Por ejemplo las dos funciones

v1(t) = gt+ 5, v2(t) = gt− 6

tienen la misma derivada: g. Y eso nos obliga a preguntarnos esta pregunta: ¿puede haber mas

funciones, mas “raras”, tales que al derivarlas se obtenga la misma derivada? En principio podrıas

pensar en que a lo mejor es posible encontrar una formula mucho mas complicada que las de v1 y

v2 pero que, al derivarla y simplificar la derivada produjera este mismo resultado.

El primer resultado de la teorıa nos tranquiliza:

La derivada determina f salvo constantes.

Resultado 3.1.1. Si dos funciones f1(t) y f2(t) son derivables en un intervalo (a, b) y tienen la

misma derivada en todos los puntos de ese intervalo, i.e.,

f1(t) = f2(t), para todo a < t < b

entonces existe una constante c tal que:

f1(t) = f2(t) + c.

3.2 Primitivas de funciones 51

Volviendo al ejemplo de la caıda libre este resultado nos dice que todas las soluciones del

problema:

v(t) = g ⇒ v(t) =??

son de la forma:

v(t) = gt+ c,

para alguna constante c. Ademas si sustituyes t = 0 en esta expresion veras que

v(0) = c

ası que en el ejemplo con el que estamos trabajando c = v0, la velocidad inicial del

objeto. Y como habıamos dicho que v0 = 0 ahora podemos afirmar que la velocidad del objeto en

cada instante es:

v(t) = gt.

El siguiente paso es tratar de averiguar cual es la funcion x(t) sabiendo que:

x(t) = v(t) = gt.

El esquema es muy parecido al que acabamos de seguir. Repasando las reglas de derivacion nos

damos cuenta, con un poco mas de trabajo en este caso, de que si tomamos:

x(t) = gt2

2,

entonces x(t) = gt. Y el resultado que hemos visto nos garantiza entonces que todas las soluciones

del problema:

x(t) = gt ⇒ x(t) =??

son de la forma:

x(t) = gt2

2+ c

para alguna constante c. De nuevo, sustituyendo la variable t pot el tiempo inicial t0 descubrimos

que la constante c debe cumplir: x(0) = c y por tanto en este problema el valor de c es la

posicion inicial del objeto, que en el ejemplo era x0 = 100m. Ahora ya estamos en

condiciones de escribir la funcion x(t) completa:

x(t) = −9′8t2

2+ 100.

Y usarla para estudiar el movimiento de caıda del cuerpo. Por ejemplo la llegada al suelo se

produce cuando:

x(t) = −9′8t2

2+ 100 = 0

y a partir de aquı es posible despejar el valor de t correspondiente a ese instante.

3.2 Primitivas de funciones

Una vez considerado dicho ejemplo, donde ademas hemos resuelto una ecuacion diferencial

x(t) = g,

comenzaremos con algo de lenguaje formal e introduciendo algunos conceptos basicos necesarios

para entender adecuadamente todos los conceptos y resultados de este capıtulo.


Definicion 3.2.1. Sea f : [a, b] → R una funcion continua en el intervalo [a, b]. se dice que una

funcion F es una primitiva de f en [a, b] cuando F is derivable y

F ′(x) = f(x) para todo x ∈ [a, b],

o cuando

dF (x) = f(x)dx.

3.2.1 Caracterizacion de primitivas

Si F es una primitiva de f en [a, b], entonces una primitiva arbitraria de f en [a, b] es de la forma

F (x) + C, donde C es una constante arbitraria.

Definicion 3.2.2. El conjunto de las primitivas de f en un intervalo [a, b] se llama integral

indefinida de f y se escribe de la forma

∫

f(x)dx

y si F (x) es una primitiva, entonces

∫

f(x)dx = F (x) + C.

Observacion 3.2.1. Los sımbolos∫

f(x)dx y∫ ba f(x)dx no se deberıan confundir. El primero es

un conjunto (infinito) de funciones, mientras que el segundo es un numero real.

Observacion 3.2.2. Es importante decir que no toda funcion tiene primitiva que pueda expresarse

mediante funciones elementales.

Se pueden relacionar los conceptos de derivadas y primitivas de la siguiente forma:

d

dx

(∫

f(x)dx

)

=

(∫

f(x)dx

)′

= f(x) ⇒∫

f ′(x)dx = f(x) + C.

3.2.2 Propiedades de la integral indefinida

• La integral de la suma de funciones es la suma de integrales de funciones, i.e.∫

(f(x) + g(x)) dx =

∫

f(x)dx+

∫

g(x)dx,

• Las constantes multiplicativas no se integran, i.e.∫

kf(x)dx = k

∫

f(x)dx.

Es decir, la integral indefinida es un operador lineal.

Observacion 3.2.3. Llegados a este punto es importante decir un par de cosas, una buena y otra

mala:

La mala noticia es que el calculo de primitivas es, en general, mucho mas difıcil que el calculo

de derivadas. Enseguida entraremos en detalles y veras justificada esta valoracion. La buena

noticia es que en los ultimos anos se ha avanzado mucho en la automatizacion de ese problema y

ahora los ordenadores nos pueden servir de gran ayuda. Los programas que vamos a usar aquı

son los mismos que ya conoces: Wolfram Alpha, y Matlab.

3.3 Integracion por substitucion (cambios de variable) 53

Veamos por ejemplo como usar cada uno de esos programas para calcular una primitiva de la

funcion:

En Wolfram Alpha basta usar el comando:

primitive of v(t) = g t

Tambien puedes usar:

integral of v(t) = g t

En Matlab/Octave es un poco mas elaborado:

clear; clc;

syms t g;

int(g * t, t)t

Recuerda que en Octave debes ejecutar primero pkg load symbolic.

3.2.3 Tabla de primitivas de funciones elementales (Incompleto)

-- EN CONSTRUCCION --

3.3 Integracion por substitucion (cambios de variable)

Comenzamos con el resultado matematico que esta detras de los resultados de este apartado.

Resultado 3.3.1. Sean [a, b] y [c, d] dos intervalos, g una funccion con derivada continua en [a, b]con

g([a, b]) ⊂ [c, d],

y f una funcion continua en [c, d], entonces

∫

f(x)dx =

∫

f(

g(t))

g′(t)dt = F (t) + C = F(

g−1(x))

+ C.

3.3.1 Integracion de funciones racionales

En este caso consideraremos integrales de la forma

∫

P (x)

Q(x)dx

donde P (x), Q(x) son dos polinomios con coeficientes reales.

Llegados aquı debemos considerar dos casos, el primero es que el grado del numerador, P (x)sea mayor o igual que el grado del denominador, Q(x), y el segundo caso que degP (x) <degQ(x).

En el primer caso debemos dividir los polinomios primero, es decir,

P (x) = C(x) ·Q(x) +R(x)

donde C(x) es el cociente, y R(x) es el resto el cual cumple que degR(x) < degQ(x). Ası

podemos decir queP (x)

Q(x)= C(x) +

R(x)

Q(x).

Y dado la integral de C(x) es inmediata, solo nos queda calcular la integral de

R(x)

Q(x).

Para calcular debemos obtener la descomposicion en fracciones simples de dicha expresion.


Resultado 3.3.2. Descomposicion en fracciones simples de fracciones.

Cualquier fraccionR(x)

Q(x),

con el grado deR(x) menor que el grado deQ(x) puede expresarse como una suma de fracciones

cuyos denominadores esta formado por expresiones relacionadas con los ceros de Q(x).

Distinguiremos tres casos fundamentales:

3.3.2 Q(x) tiene raıces reales simples

Llamemos a1, a2, a3 a las raıces reales de Q(x). En este caso la descomposicion sera de la forma

R(x)

Q(x)=

A1

x− a1+

A2

x− a2+ ...+

An

x− an,

por lo tanto

∫

R(x)

Q(x)dx = A1

∫

dx

x− a1+A2

∫

dx

x− a2+ · · ·+An

∫

dx

x− an= A1 ln |x− a1|+A2 ln |x− a2|+ · · ·+An ln |x− an|+ C.

Observacion 3.3.1. Todas las constantes Ak pueden calcularse facilmente

Ak =R(ai)

Q′(xi), i = 1, 2, . . . , n.

3.3.3 Q(x) tiene una raız multiple

Sea a una raız de Q(x) con multiplicidad n. En este case, la descomposicion es de la forma

R(x)

Q(x)=

R(x)

(x− a)n=

B1

x− a+

B2

(x− a)2+ · · ·+ Bn

(x− a)n.

Ası vemos que la primer integral resulta un logaritmo, mientras que el resto dan lugar a fracciones

cuyo denominador contiene potencias de x− a:

∫

Bk

(x− a)kdx = Bk

∫

(x− a−k)dx = Ak(x− a)−k+1

−k + 1+ C, k = 2, 3, . . . , n.

Es decir, que

∫

R(x)

Q(x)dx = B1 ln |x− a| − B2

x− a− B3

2(x− a)2− · · · − Bn

(n− 1)(x− a)n−1+ C.

3.3.4 Q(x) tiene dos raıces complejas conjugadas

Si Q(x) tiene una raız compleja de la forma p + qj, entonces tambien tiene como raız a p − qj.

En este caso, se puede expresar dicha fraccion de la forma

M(x− p) +N

(x− p− qi)(x− p+ qi)=M(x− p) +N

(x− p)2 + q2.

Cuya integral puede calcularse de una forma sencilla y contiene un logaritmo (asociado a la M ) y

una arcotangente (asociada a la N ).


Observacion 3.3.2. Conviene saber las siguientes identidades

∫

x− p

(x− p)2 + q2dx =

1

2ln |(x− p)2 + q2|+ C

∫

1

(x− p)2 + q2dx =

1

qarctan

(

x− p

q

)

+ C

Hay que tener en cuenta que todas las funciones racionales que se consideraran son una com-

binacion de estos tres tipos. Es decir, no se consideraran situaciones tales como ceros complejos

multiples.

Ejemplo 3.3.1. Calcular la integral

∫

x

(x− 1)(x− 2)dx.

Lo primero que tenemos es que el numerador tiene grado degP = 1 que es menor que el grado

del denominador degQ = 2. De hecho, los polos de la funcion son x = 1 y x = 2 y son simples.

Ası la descomposicion en fracciones simples de la funcion es

x

(x− 1)(x− 2)=

A1

x− 1+

A2

x− 2.

De hecho

A1 =P (1)

Q′(1)= lim

x→1(x− 1)

x

(x− 1)(x− 2)= −1.

y

A2 =P (2)

Q′(2)= lim

x→2(x− 2)

x

(x− 1)(x− 2)= 2.

Por tanto∫

x

(x− 1)(x− 2)dx = − ln |x− 1|+ 2 ln |x− 2|+ C.


∫

2x+ 1

(x− 1)(x2 + x+ 1)dx.


del denominador degQ = 3. De hecho, los polos de la funcion son x = 1 simple y tiene dos

complejos conjugados −1/2±√3/2j. Ası la descomposicion en fracciones simples de la funcion

queda

2x+ 1

(x− 1)(x2 + x+ 1)=

A1

x− 1+M(x+ 1

2) +N

x2 + x+ 1.

Ya que

x2 + x+ 1 =

(

x+1

2

)2

+

(√3

2

)2

.

Ademas en este caso

A1 =P (1)

Q′(1)= 1,


por lo tanto

∫

2x+ 1

(x− 1)(x2 + x+ 1)dx = ln |x− 1|+ M

2ln |x2 + x+ 1|+ N√

3/2arctan

(

x+ 1/2√3/2

)

+ C

= ln |x− 1|+ M

2ln |x2 + x+ 1|+ 2N√

3arctan

(

2x+ 1√3

)

+ C.


∫

x2 + 3

(x− 1)(x+ 2)2dx.


del denominador degQ = 3. De hecho, los polos de la funcion son x = 1 simple y x = −2 doble.

Ası la descomposicion en fracciones simples de la funcion queda

x2 + 3

(x− 1)(x+ 2)2=

A1

x− 1+

B1

x+ 2+

B2

(x+ 2)2.

En este caso

A1 =P (1)

Q′(1)=

4

9,

B2 = limx→2

(x+ 2)2x2 + 3

(x− 1)(x+ 2)2= −7

3,

y si tomamos el valor x = 0 nos queda −3/4 = −4/9 − B12 − 7/12, luego B1 = 5/9. Con todo

lo anterior se tiene que

∫

x2 + 3

(x− 1)(x+ 2)2dx =

4

9ln |x− 1|+B1 ln |x+ 2|+ 7

3

1

x+ 2+ C.


∫

x2 − 2

x3(x2 + 1)dx.


del denominador degQ = 5. De hecho, los polos de la funcion son x = 0 triple y dos complejos

conjugados. Ası la descomposicion en fracciones simples de la funcion queda

x2 − 2

x3(x2 + 1)=B1

x+B2

x2+B3

x3+Mx+N

x2 + 1,

donde en este caso

B3 = limx→0

x3x2 − 2

x3(x2 + 1)= −2.

Por tanto la integral es igual a

∫

x2 − 2

x3(x2 + 1)dx = B1 ln |x| −

B2

x+

1

x2+M

2ln |x2 + 1|+N arctan(x) + C.

Observacion 3.3.3. Las constantes que faltan son B1 = 3, B2 = 0, M = −3, y N = 0.



∫

x2 − x

(x+ 3)2dx.

Lo primero que tenemos es que el numerador tiene grado degP = 2 que es igual que el grado del

denominador degQ = 2. Ası tenemos que dividirlos:

x2 − x = (x+ 3)2(1) + (−7x− 9), C(x) = 1, R(x) = −7x− 9.

De hecho, los polos de la funcion son x = −3 dobles. Ası la funcion puede escribirse como

x2 − x

(x+ 3)2= 1 +

−7x− 9

(x+ 3)2= 1 +

B1

x+ 3+

B2

(x+ 3)2,

de hecho,

B2 = limx→−3

(x+ 3)2−7x− 9

(x+ 3)2= 12.

Luego la integral es igual a

∫

x2 − x

(x+ 3)2dx = x+B1 ln |x+ 3| − 12

x+ 3+ C.

Observacion 3.3.4. En este caso B1 = −7.

Este problema se hizo en clase tambien calculando el polinomio de Taylor en x0 = −3 siendo

en este caso

x2 − x = 12− 7(x+ 3) + (x+ 3)2,

por tanto, aplicando dicha identidad en la integral, queda

∫

x2 − x

(x+ 3)2dx =

∫(

12

(x+ 3)2− 7

x+ 3+ 1

)

dx = − 12

x+ 3x− 7 ln |x+ 3|+ x+ C.

Clase 15


3.4 Integracion de algunas funciones irracionales

A continuacion consideraremos diferentes funciones a las cuales deberemos de aplicar algun tipo

de variable para poder obtener otra integral que suele ser racional que ya sabemos que en general

siempre puede integrarse.

3.4.1 Funciones Irracionales en x

Son de la forma∫

R[

xp1q1 , x

p2q2 , . . .

]

dx,

donde R es una funcion racional y los numeros p1/q1, p2/q2, . . . son racionales. Estas integrales

se reducen a racionales si aplicamos el cambio de variable,

x1m = t, es decir x = tm ⇒ dx = mtm−1 dt.

Donde m es el mınimo comun multiplo de los denominadores, m = m.c.m.q1, q2, . . . .

3.4.2 Funciones irracionales en x y (ax+b)/(cx+d)

Estas integrales son de la forma

∫

R

[

x,

(

ax+ b

cx+ d

)

p1q1

(

ax+ b

cx+ d

)

p2q2

, . . .

]

, dx

dondeR es una funcion racional, los numeros a, b, c, d son reales, y p1/q1, p2/q2, . . . son numeros

racionales. Estas integrales de reducen a integrales racionales aplicando el cambio de variable

ax+ b

cx+ d= tm,

donde m = m.c.m.q1, q2, . . . .

3.4.3 Irracionales cuadraticas

Son de la forma:∫

R[

x,√

ax2 + bx+ c]

dx,

donde R es una funcion racional, a, b, c son numeros reales y a 6= 0.

Estas integrales pueden reducirse a racionales mediante los siguientes cambios de variable que

se describen a continuacion:

A. Si a > 0, entonces

√

ax2 + bx+ c =√ax+ t ⇒ dx√

ax2 + bx+ c=

2dt

b− 2√at.

B. Si c > 0, entonces

√

ax2 + bx+ c = tx+√c ⇒ dx√

ax2 + bx+ c=

2dt

a− t2.

3.4 Integracion de algunas funciones irracionales 59

C. Si a < 0 y c < 0, entonces

ax2 + bx+ c = a(x− r1)(x− r2), y√

ax2 + bx+ c = t(x− r1).

Ademas pueden aplicarse los siguientes cambios de variables trigonometricos en los sigu-

ientes casos:

D. Si la integral es de la forma∫

R[

x,√

a2 − x2]

dx,

entonces aplicamos los cambios

x = a sen(t) o x = a cos(t).

E. Si la integral es de la forma∫

R[

x,√

a2 + x2]

dx,

entonces aplicaremos el cambio de variable

x = a tan(t).

F. Si la integral es de la forma∫

R[

x,√

x2 − a2]

dx,

entonces aplicaremos el cambio de variable

x =a

cos(t).

3.4.4 Integracion de ciertas funciones trascendentes

• Exponenciales:

Son integrales de la forma∫

R [ax] dx.

Mediante el cambio ax = t se reducen a integrales racionales.

• Funciones racionales en sen (x) y cos(x)

Son de la forma∫

R [sen(x), cos(x)] dx.

Se pueden reducir a funciones racionales, o polinomicas, a traves de los siguientes cambios

de variable:

A. Si R [sen(x), cos(x)] es impar en cos(x), entonces debemos aplicar el cambio

sen(x) = t.

B. Si R [sen(x), cos(x)] es impar en sen (x), entonces debemos aplicar el cambio

cos(x) = t.


C. Si R [sen(x), cos(x)] es par en sen (x), cos(x), entonces debemos aplicar el cambio

tan(x) = t.

D. Un cambio generico que puede aplicarse es el siguiente

tan(x

2

)

= t.

Observacion 3.4.1. El case D. solo debe emplearse si ninguno de los otros metodos no son

posibles de aplicar. En tal caso

sen(x) =sen(x)

1=

2sen(x2 ) cos(x2 )

cos2(x2 ) + sen2(x2 )=

2 tan(x2 )

1 + tan2(x2 )=

2t

1 + t2,

cos(x) =cos(x)

1=

cos2(x2 )− sen2(x2 )

cos2(x2 ) + sen2(x2 )=

1− tan2(x2 )

1 + tan2(x2 )=

1− t2

1 + t2.

Y dado que x = 2arctan(t) entonces

dx =2dt

1 + t2.

Cuando tenemos potencias en las funciones sen(x) y cos(x):∫

senm(x) cosn(x)dx

con m, n numeros enteros, entonces tenemos que usar los cambios A., B., y C..

• Producto de sen(mx) y cos(nx)

Son de la forma∫

sen(mx) cos(nx)dx,

∫

cos(mx) cos(nx)dx,

∫

sen(mx)sen(nx)dx,

donde m,n ∈ N. Todas las de este tipo son elementales aplicando las identidades trigono-

metricas.

3.5 Integracion por partes

Resultado 3.5.1. Sean u y v dos funciones con derivadas continuas en un intervalo I , entonces

∫

udv = uv −∫

vdu.

Esta formula puede verse tambien de la forma

∫

u(x)v′(x) dx = u(x)v(x)−∫

u′(x)v(x) dx.

Observacion 3.5.1. Una forma sencilla para saber como tomar u, consiste en emplear la regla

de los A.L.P.E.S. en ese orden, es decir, tomar u como inversa de funciones trigonometricas

(empiezan por A), como Logaritmos, como Polinomios, como Exponenciales, o como Seno o

coseno.

Usaremos este resultado, entre otras, para el calculo de integrales de la forma

3.5 Integracion por partes 61

3.5.1 Producto de polinomios por funciones trigonometricas inversas


∫

xarcsen(x) dx.

Aplicamos integracion por partes y aplicando la regla de los ALPES tomando u = arcsen(x) y

dv = xdx, por tanto du = 1/√1− x2 dx y v = x2/2, luego

∫

xarcsen(x) dxIPP=

1

2x2arcsen(x)− 1

2

∫

x2√1− x2

dx.

Ahora la integral que ha quedado es irracional cuadratica donde hay expresion de la forma√a2 − x2 que tiene como cambio asignado es x =sen(t), luego dx = cos(t)dt, por tanto queda

∫

x2√1− x2

dx =

∫

sen2(t)

cos(t)cos(t) dt =

∫

sen2(t)dt =t

2− sen(2t)

4+ C,

Deshaciendo el cambio y teniendo en cuenta que

sen(2arcsen(x)) = 2x√

1− x2,

queda∫

x2√1− x2

dx =1

2arcsen(x)− 1

2x√

1− x2 + C,

Ası∫

xarcsen(x) dx =1

2x2arcsen(x)− 1

4arcsen(x) +

1

4x√

1− x2 + C.

Y aunque no sea exactamente del tipo que se propone en este apartado


∫

arctan(x) ln(x) dx.

Vamos a resolverlo aplicando integracion por partes tomando u = arctan(x), y dv = ln(x) dx,

luego du = 1/(1 + x2)dx, y v = x ln(x)− x, por tanto

∫

arctan(x) ln(x) dxIPP= x(ln(x)− 1) arctan(x)−

∫

x log(x)

1 + x2dx+

∫

x

1 + x2dx.

Y dado que

∫

x log(x)

1 + x2dx

IPP=

1

2log(x) log(1 + x2)− 1

2

∫

log(1 + x2)

xdx,

y esta integral no se puede resolver.

Sin embargo


∫

arcsen(x) ln(x) dx.


Aplicamos de nuevo integracion por partes, quedando

∫

arcsen(x) ln(x) dxIPP= x(ln |x| − 1)arcsen(x)−

∫

x(ln |x| − 1)√1− x2

dx.

Ahora aplicamos de nuevo integracion por partes tomando u = log(x)− 1, y nos queda

∫

x(log(x)− 1)√1− x2

dxIPP= (ln |x| − 1)

√

1− x2 +

∫

√1− x2

xdx.

Esta ultima integral es irracional cuadratica y aplicaremos el cambio x =sen(t), y nos queda

∫

√1− x2

xdx =

∫

cos2(t)

sen(t)dt = ln | tan(t/2)|+ cos(t) + C.

Deshacemos el cambio quedando

∫

√1− x2

xdx = ln

∣

∣

∣

∣

x

1 +√1− x2

∣

∣

∣

∣

+√

1− x2 + C.

Con todo lo anterior se tiene

∫

arcsen(x) ln(x) dx = (ln |x| − 1)√

1− x2 + ln

∣

∣

∣

∣

x

1 +√1− x2

∣

∣

∣

∣

+√

1− x2 + C.

Estas ultimas integrales son algo complejos pero es importante que sepamos que hay integrales

que para resolverlas tenemos que manejar muy bien la trigonometrıa.

Ejemplo 3.5.4. Calculo de la integral de argsenh(x).

Aplicaremos interacion por partes tomando u = argsenh(x), y nos queda

∫

argsenh(x)dx = x argsenh(x)−∫

x√1 + x2

dx = x argsenh(x)−√

1 + x2 + C.

Y ademas se tiene que

Ejemplo 3.5.5. Calculo de la integral de arctan(x).

Aplicaremos interacion por partes tomando u = arctan(x), y nos queda

∫

arctan(x)dx = x arctan(x)−∫

x

1 + x2dx = x arctan(x)− 1

2ln |1 + x2|+ C.

3.5.2 Producto de polinomios por logaritmos

Ejemplo 3.5.6. Calcular la integral∫

ln(x) dx.

Aplicamos integracion por partes tomando u = ln(x) y dv = dx, por tanto du = 1/x dx y v = x,

luego∫

ln(x) dxIPP= x ln(x)− x+ C.

3.5 Integracion por partes 63


∫

x2 ln(x) dx.

Aplicamos integracion por partes usando la regla de ALPES tomando u = ln(x) y dv = x2 dx,

por tanto du = 1/x dx y v = x3/3, luego

∫

x2 ln(x) dxIPP=

1

3x2 ln(x)− 1

3

∫

x2 dx =1

3x3 ln(x)− 1

9x3 + C.

Pero podemos resolver integrales algo mas elaboradas.


∫

(x+ 1) ln2(x− 1) dx.

Aplicamos integracion por partes usando la regla de ALPES tomando u = ln2(x − 1) y dv =(x+ 1)dx, por tanto du = 2 ln(x− 1)/(x− 1) dx y v = x2/2 + x, luego

∫

(x+ 1) ln2(x− 1) dxIPP=

1

2(x2 + 2x) ln2(x− 1)−

∫

x2 + 2x

x− 1ln(x− 1) dx.

Ante situaciones ası conviene primero desarrollar la parte racional y luego si es necesario integrar

por partes, es decir, dado que

x2 + 2x = (x− 1)(x+ 3) + 3,

entonces

∫

x2 + 2x

x− 1ln(x− 1) dx =

∫

(x+ 3) ln(x− 1) dx+

∫

3

x− 1ln(x− 1)dx.

Donde la primera se hace por partes tomando u = ln(x − 1), dv = (x + 3) dx, por tanto

du = 1/(x− 1)dx y v = x2/2 + 3x, luego

∫

(x+ 3) ln(x− 1) dxIPP=

1

2(x2 + 6x) ln(x− 1)− 1

2

∫

x2 + 6x

x− 1dx

=1

2(x2 + 6x) ln(x− 1)− 1

2

(

x2

2+ 7x+ 7 ln |x− 1|

)

+ C,

y la segunda es inmediata

∫

3

x− 1ln(x− 1)dx =

3

2ln2 |x− 1|+ C.

Resumiendo la integral pedida es

∫

(x+ 1) ln2(x− 1) dx =1

2(x2 + 2x− 3) ln2(x− 1)− 1

2(x2 + 6x) ln(x− 1)

+1

4

(

x2 + 14x+ 14 log |x− 1|)

+ C.

Y por ultimo dejamos el siguiente ejercicio para clase



∫

(x+ 1) ln(x) ln(x+ 1) dx.

En este caso aplicamos la regla de los ALPES tomando u = ln(x) ln(x + 1) y dv = (x + 1) dx,

por tanto du =(

ln(x+ 1)/x+ ln(x)/(x+ 1))

dx, y v = x2/2 + x, luego

∫

(x+ 1) ln(x) ln(x+ 1) dx =1

2(x2 + 2x) ln(x) ln(x+ 1)− 1

2

∫

(x+ 2) ln(x+ 1) dx

− 1

2

∫

x2 + 2x

x+ 1ln(x) dx.

Donde cada una de las integrales que aparecen ahora solo contienen un logaritmo luego pueden

hacerse por partes, de hecho,

∫

(x+ 2) ln(x+ 1) dxIPP= −x

2

4+

1

2x2 ln |x+ 1| − 3x

2+ 2x log |x+ 1|+ 3

2ln |x+ 1|+ C,

y la segunda integral no se puede completar pues la integral

∫

ln(x)

x+ 1dx

no se puede resolver.

3.5.3 Producto de exponenciales por funciones seno o coseno

Observacion 3.5.2. Este tipo de integrales son consideradas de las mas complicadas a las que se

le aplica este metodo debido al caracter cıclico de la forma de calcularse.

Ia,b =

∫

eatsen(bt) dtIPP= − d

1

beat cos(bt) +

a

b

∫

eat cos(bt) dt

IPP= − 1

beat cos(bt) +

a

b2eatsen(bt)− a2

b2

∫

eatsen(bt) dt

Dado que a la derecha aparece de nuevo Ia,b entonces

Ia,b =

∫

eatsen(bt) dt =−beat cos(bt) + aeatsen(bt)

a2 + b2+ C.

De una forma similar, se tiene que

∫

eat cos(bt) dt =aeat cos(bt) + beatsen(bt)

a2 + b2+ C.

3.5.4 Producto de polinomios por exponenciales


∫

x2e3x dx.

3.6 Calculo de la integral de Exp(ax) cos(bx) usando numeros complejos. 65

En este caso aplicando la regla de ALPES, tomamos u = x2, e3xdx = dv, ası sera du = 2x dx y

v = 1/3e3x por tanto∫

x2e3x dxIPP=

1

3x2e3x − 2

3

∫

xe3x dx.

De nuevo aplicaremos integracion por partes a la ultima integral llamando u = x y e3xdx = dv,

ası sera du = dx y v = 1/3e3x por tanto

∫

x2e3x dxIPP=

1

3x2e3x − 2

3

(

1

3xe3x − 1

9e3x)

+ C.

Por tanto∫

x2e3x dx =1

27(9x2 − 6x+ 2)e3x + C.

Observacion 3.5.3. En general como se puede intuir se tiene que

∫

p(x)eax dxIPP= Q(x)eax + C

donde C es constante y Q y p son polinomios del mismo grado.

3.5.5 Producto de polinomios por funciones seno o coseno


∫

x tan2(x) dx.

En este caso aplicando la regla de ALPES, tomamos u = x, tan2(x)dx = dv, ası sera du = dx y

v = tan(x)− x por tanto

∫

x tan2(x) dxIPP= x(tan(x)− x)−

∫

(tan(x)− x) dx = −x2

2+ x tan(x) + ln | cos(x)|+C.

3.5.6 Algunas funciones irracionales u otras

El metodo de integracion por partes puede servir para resolver otro tipo de integrales para las

cuales no tengamos claro que metodo emplear. De todos modos debemos recordar que hay fun-

ciones que no podemos integrar de ningun modo.

Clase 17

3.6 Calculo de la integral de Exp(ax) cos(bx) usando numeros complejos.

Una forma ‘simple’, incluso elegante de calcular la integral

∫

eax cos(bx) dx

es la siguiente: gracias a las identidades del seno y coseno

senX =ejX − e−jX

2j, y cosX =

ejX + e−jX

2.


se tiene que

∫

eax cos(bx) dx =1

2

∫

(

eax+jbx + eax−jbx)

dx =1

2

1

a+ jbeax+jbx +

1

2

1

a− jbeax−jbx

=eax

2(a2 + b2)

(

(a− jb)ejbx + (a+ jb)e−jbx)

=eax

a2 + b2(a cos(bx) + bsen(bx)) + C.

Aquı se han usado las siguientes identidades: (a+ jb)(a− jb) = a2 + b2, y que −j = 1/j.

3.7 La integral definida 67

3.7 La integral definida

3.7.1 Particiones de un intervalo

Sean a, b ∈ R, con a < b. Llamaremos particion del intervalo [a, b] a un conjunto de puntos

pertenecientes al intervalo [a, b],

P = x0, x1, x2, ..., xn.

que verifican

a = x0 < x1 < · · · < xn = b.

Representaremos al conjunto de todas las posibles particiones del intervalo [a, b] de la forma

P([a, b]).

x

y

−1

1

2

3

x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8

Observacion 3.7.1. Como se ve en el ejemplo, los puntos estan distribuidos por el intervalo sobre

el cual queremos integrar. Dichos puntos indican por donde vamos a cortar la figura a la hora de

hacer las sumas parciales de Riemann.

Dadas dos particiones P1, y P2 ∈ P([a, b]), diremos que P1 es mas fina que P2 y lo

representaremos por P1 ≥ P2 si P1 contiene a P2.

3.7.2 Sumas de Riemann

Definicion 3.7.1. Llamamos diametro de parcition P = x0, x1, x2, ..., xn y se representa por

d(P ) al numerto:

d(P ) = max|xi − xi−1| : i = 1, 2, 3, ..., n.Observacion 3.7.2. Observa como en el ejemplo anterior se ve que que d(P ) = |x5 − x4|.Definicion 3.7.2. Sea f una funcion acotada en [a, b] y sea P una particion de [a, b]. Llamaremos

suma de Riemann superior correspondiente a f y P tal numero,

S(f, P ) =n∑

i=1

Mi(xi−xi−1) =M1(x1−x0)+M2(x2−x1)+M3(x3−x2)+· · ·+Mn(xn−xn−1),

donde

Mi = supf(x), x ∈ [xi−1, xi].Llamaremos suma de Riemann inferior al numero,

S(f, P ) =n∑

i=1

mi(xi−xi−1) = m1(x1−x0)+m2(x2−x1)+m3(x2−x1)+· · ·+mn(xn−xn−1),

donde

mi = inff(x), x ∈ [xi−1, xi].


Observacion 3.7.3. Coloreamos de las sumas superiores de morado, y las inferiores de rojo.

x

y

−1

1

2

3

x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8

x

y

−1

1

2

3

x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8

Observa que la zona naranja da como resultado negativo, es decir, es toman los rectangulos

pero el signo de su area lo determina su posicion respecto al eje x, es decir, si la funcion esta

sobre el eje x su area es positiva y si esta por debajo de el, es negativa.

3.7.3 Propiedades de las sumas de Riemann

Las sumas de Riemann verifican que para todas (su sımbolo matematico es ∀) P,P1,P2 ∈P([a, b]) las siguientes propiedades:

• 1-. S(f,P) ≥ S(f,P).

Observacion 3.7.4. La igualdad solo se dara para funciones constantes. Y en general,

como se ve en la figura es mayor estricto

x

y

1

2

3

x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

• 2-. If P1 > P2, then

a) S(f,P1) ≤ S(f,P2).

b) S(f,P1) ≥ S(f,P2)

• 3-. S(f,P1) ≥ S(f,P2).

Observacion 3.7.5. Basta ver que sucede si metemos un punto nuevo en nuestra particion, de ese

modo la hacemos mas fina:

x3 x4 x3 x9 x4 x3 x9 x10 x4 x3 x9 x10 x4 x3 x4 x3 x9 x4 x3 x9 x10 x4


Ahora consideremos el conjunto de numeros

S(f, P )P∈P([a,b]).

Este conjunto tiene siempre un mınimo si tenemos en cuenta la propiedad 3. Por tanto existe el

infimo de este conjunto al que llamaremos integral de Riemann superior de f en

[a, b] y lo representaremos por

∫ b

af(x) dx = infS(f, P )P∈P([a,b]).

Del mismo modo, el conjunto

S(f, P )P∈P([a,b])

tiene tt supremo al que llamaremos integral de Riemann inferior,

∫ b

af(x) dx = supS(f, P )P∈P([a,b]).

Con todo lo anterior, sea f : [a, b] → R una funcion acotada, se dira que f es integrable

Riemann en [a, b] si∫ b

af(x) dx =

∫ b

af(x) dx.

Y llamaremos a este valor la integral de f in [a, b]y la representaremos como

∫ b

af(x) dx =

∫ b

af(x) dx =

∫ b

af(x) dx.

Entre sus propiedad tenemos las siguientes:

•∫ a

af(x) dx = 0.

• Si a < b, entonces∫ a

bf(x) dx = −

∫ b

af(x) dx.

• ∀c ∈ [a, b], si f es intgrable en [a, b], [a, c] y [c, b], entonces

∫ b

af(x) dx =

∫ c

af(x) dx+

∫ b

cf(x) dx.

• Si f y g son integrables en [a, b], entonces la suma f + g es integrable en [a, b] y

∫ a

b(f + g)(x) dx =

∫ a

bf(x) dx+

∫ a

bg(x) dx.

• Si f es integrable en [a, b] y c ∈ R entonces cf es integrable en [a, b] y

∫ b

acf(x) dx = c

∫ a

bf(x) dx.


Observacion 3.7.6. Estas dos ultimas propiedades nos indican que el operador “integral

definida de” es lineal, i.e.

∫ a

b(c1f + c2g)(x) dx = c1

∫ a

bf(x) dx+ c2

∫ a

bg(x) dx.

• Si f es integrable en [a, b] y f(x) > 0, ∀x ∈ [a, b], entonces

∫ b

af(x) dx ≥ 0.

• Si f y g son dos funciones integrables en [a, b] tal que f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b], entonces

∫ b

af(x) dx ≤

∫ b

ag(x) dx.

x

y

1

2

3

• Si f es integrable en [a, b] entonces |f | es integrable en [a, b] y

∣

∣

∣

∣

∫ b

af(x) dx

∣

∣

∣

∣

≤∫ b

a|f(x)| dx.

y∫ b

af dx ≤

∣

∣

∣

∣

∫ b

af(x)

∣

∣

∣

∣

dx ≤∫ b

a|f(x)| dx.

−1

−2

1

2

x

y

Definicion 3.7.3. Sea f : [a, b] → R una funcion integrable y acotada en [a, b]. El numero

1

b− a

∫ b

af(x) dx

se denomina valor medio de f en el intervalo [a, b].

Con todo lo anterior es importante destacar la primera aplicacion clara de la integral definida:

El Area de una funcion.


Definicion 3.7.4. Sif(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] y f(x) es integrable en [a, b], el numero∫ ba f(x) dx

representa el area de funcion f delimitada por la grafica de la funcion f(x), por las rectas

x = a, x = b, y el eje x.

Resultado 3.7.1. (Criterio of integrabilidad)

Si f es continua en el intervalo [a, b] entonces f es integrable en [a, b].

Resultado 3.7.2. La regla de Barrow

Sea f : [a, b] → R integrable en [a, b] y seaG una primitiva de f , tal queG′(x) = f(x), ∀x ∈[a, b], entonces

∫ b

af(x)dx =

(

G(x)∣

∣

∣

x=b

x=a=(

G(x)∣

∣

∣

b

a= G(b)−G(a).

Una consecuencia clara de la Regla de Barrow tiene que ver con el metodo de integracion

por partes:

∫ b

au dv = (uv)(x)

∣

∣

∣

x=b

x=a−∫ b

av du = u(b)v(b)− u(a)v(a)−

∫ b

av du.

Clase 19


3.7.4 Aplicaciones de la Integral de Riemann

Area de figuras planas

Sea f(x) una funcion acotada e integrable en [a, b] tal que f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. Entonces,

su area sera el numero∫ b

af(x)dx.

el cual representa el area de la region encerrada por las rectas verticales x = a, x = b, el eje x y

la grafica de la funion f(x).

Observacion 3.7.7. (Area de funcion dada em coordenadas polares)

Si la funcion viene dada en coordenadas polares ρ = ρ(φ), entonces el area entre los valores

de ρ(•), φ1, φ2 viene dada por

A =1

2

∫ φ2

φ1

ρ2(φ)dφ.

Longitud de una curva

Si la funcion f(x) es derivable y su derivada es continua en [a, b], la longitud de arco viene

dada por la expresion

L =

∫ b

a

√

1 + [f ′(x)]2dx.

Volumen de Revolucion

Sea y = f(x) una funcion continua en [a, b]. El Volumen de la figura que resulta al girar

la funcion f alrededor del eje OX viene dado por la expresion

VOX = π

∫ b

a[f(x)]2dx.

Mientras que si la funcion f gira alrededor del eje y, la expresion se transforma en,

VOY = π

∫ d

c[f(y)]2dy.

Este ultimo volumen tambien puede calcularse mediante el metodo de los cilindros, siendo

VOY = 2π

∫ b

axf(x)dy.

Area lateral de Revolucion

Sea y = f(x) una funcion continua en [a, b], que gira en torno al eje x. El Area lateral de

revolucion viene dada por la expresion

A = 2π

∫ b

af(x)

√

1 + [f ′(x)]2dx.

Si la funcion gira respecto al eje y, la expresion anterior se escribe de la forma

A = 2π

∫ d

cf(y)

√

1 + [f ′(y)]2dy.

3.8 Tablas de integrales 73

3.8 Tablas de integrales

En esta seccion incorporaremos una buena lista de integrales que pueden calcularse de forma

directa o semi-directa aplicando la teorıa tratada previamente.

3.8.1 Formas elementales

1.

∫

a dx = ax

2.

∫

a f(x) dx = a

∫

f(x) dx

3.

∫

(u+ v) dx=

∫

u dx+

∫

v dx, donde ambas funciones, u y v, dependen de la variable x.

4.

∫

u dv = uv −∫

v du, donde aplicarıamos A.L.P.E.S.

5.

∫

xn dx =xn+1

n+ 1, donde aquı n es un numero real distinto de −1.

6.

∫

f ′(x)

f(x)dx = log |f(x)|

7.

∫

1

xdx = log |x|

8.

∫

f ′(x)

2√

f(x)dx =

√

f(x)

9.

∫

ex dx = ex

10.

∫

eax dx =eax

a

11.

∫

bax dx =bax

a log b, en los ultimos casos a y b pueden ser complejos no nulos.

12.

∫

log x dx = x log x− x

13.

∫

ax loga dx = ax

14.

∫

dx

x2 + a2=

1

aarctan

(x

a

)

15.

∫

dx

x2 − a2=

1

2alog

x− a

x+ a.

16.

∫

dx√a2 − x2

= arcsen(x

a

)

17.

∫

dx√x2 ± a2

= log(

x+√

x2 ± a2)


18.

∫

dx

x√x2 − a2

=1

aarccos

(a

x

)

19.

∫

dx

x√a2 ± x2

= −1

alog

(

x+√a2 ± x2

x

)

20.

∫

dx

x√a+ bx

=2√−a arctan

√

a+ bx

−a

21.

∫

dx

a+ bx=

1

blog(a+ bx).

3.8.2 Formas que contienen ....

La transformada de Laplace Unilateral

4.1 Introduccion. Definiciones

Las transformaciones integrales son de la forma

∫ b

ag(s, t)f(t) dt

donde g(s, t) es el nucleo y f(t) es la funcion sometida a dicha transformcion. Si esta integral

existe, sera una fincion ϕ(s) que sera la transformada de f(t).

Definicion 4.1.1. Llamamos transformada de Laplace unilateral de una funcion

f(t) y la notaremos por L f(t)(s) a la funcion

Ψ(s) =

∫ ∞

0f(t)e−st dt,

cuando esta integral exista, donde s ∈ C.

Definicion 4.1.2. Llamamos transformada de Fourier de una funcion f(t) y la notare-

mos por Ff(t)(α) a la funcion

β(α) =

∫ ∞

−∞f(t)e−iαt dt,

cuando esta integral exista, donde α ∈ R.

Observacion 4.1.1. 1. Dos funciones diferentes para t < 0 pero identicas para t > 0 tendran

identicas transformadas unilaterales.

2. La transformada de Fourier existe o no existe para una determinada funcion mientras que

la transformada de Laplace existe para determinados valores de la variable (s) y para otros

no existe.

76 La transformada de Laplace Unilateral

Ejemplo 4.1.1. Calcula la transformada unilateral de Laplace de la funcion f(t) = eat.

L f(s) =∫ ∞

0eate−stdt =

∫ ∞

0e(a−s)tdt

=

(

limt→∞

e(a−s)t

a− s

)

− e0 · sa− s

=1

s− a.

Aquı hay que tener cuidado pues dado que a y s son complejos, mientras que t es real, luego

entonces

e(a−s)t = eRe(a−s)t+jIm(a−s)t = eRe(a−s)tejIm(a−s)t

= eRe(a−s)t (cos(Im(a− s)t) + jsen(Im(a− s)t)) ,

luego e(a−s)t → 0 solo si Re(a − s) < 0, donde Re(z) e Im(z) representan las partes real e

imaginaria del numero complejo z. Y de hecho si Re(a − s) < 0 ⇒ Re(s) > Re(a). Por tanto

la ROC (Region de convergencia) de dicha transformada es Re(s) > Re(a), o sea, un

semiplano complejo hacia la derecha desde Re(a) (ver dibujo).

Ejemplo 4.1.2. Calcula la transformada unilateral de Laplace de la funcion f(t) = e−t + e−2t.

L f(s) =∫ ∞

0(e−t + e−2t)e−stdt =

∫ ∞

0e(−1−s)tdt+

∫ ∞

0e(−2−s)tdt =

1

s+ 1+

1

s+ 2,

siendo Re(s) > −1, Re(s) > −2. Por tanto converge si Re(s) > −1.

Viendo estos ejemplos la region de convergencia son semiplanos hacia la derecha de la forma

(ejemplo para a = −3)

t

x(t)

−∞

+∞

−6 −3 3 6

4.2 Region de convergencia (ROC)

Hemos visto que especificar la transformada de Laplace requiere ademas de la expresion alge-

braica, la region de convergencia asociada (ver los ejemplos).

4.3 Transformada Unilateral de Laplace: Existencia 77

4.2.1 Propiedades

1. La ROC de la transformada de Laplace de una funcion f(t) es un semiplano hacia la derecha

como se menciono antes.

2. Para transformadas de Laplacecuya expresion es racional, la ROC no contiene

ningun polo.

Si

L f(t)(s) = P (s)

Q(s),

P yQ polinomios en s. Es evidente que si a es un polo de dicha fraccion, es decirQ(a) = 0entonces P (s)/Q(s) no converge para s = a y por lo tanto la ROC no puede contener el

valor a.

3. Si f(t) = 0 para t < T1 (f(t) es una funcion a la derecha) y si la recta x = Re(s) = σ0esta en la ROC entonces los valores de s tales que Re(s) > σ0 tambien estan en la ROC.

Si la transformada de Laplace de f(t) converge para valor σ0. Entonces

∫ ∞

0f(t)e−σ0t dt <∞ ⇒

∫ ∞

T1

f(t)e−σ0t dt <∞

luego para σ1 > σ0 entonces

∫ ∞

T1

f(t)e−σ1t dt =

∫ ∞

T1

f(t)e−(σ1−σ0)t eσ0t dt ≤ e−(σ1−σ0)T1

∫ ∞

T1

f(t)eσ0tdt ≤ ∞.

4.3 Transformada Unilateral de Laplace: Existencia

La importancia que tiene la parte real al determinar la ROC nos lleva a estudiar de forma particular

la transformada de Laplace cuando s ∈ R.

Definicion 4.3.1. Decimos que una funcion real de variable real de orden exponencial si

existen M,m ∈ R tales que |f(x)| < Memx para todo x ≥ x0(M).

4.3.1 Consecuencias

1. Toda funcion acotada es de orden exponencial.

2. Si f(t) es integrable y de orden exponencial, entonces

∫ t

0f(x) dx

es de orden exponencial.

3. Si f(t) es de orden exponencial, entonces

limt→∞

e−stf(t) = 0, para todo s > m

Teorema 4.1. (de existencia)

Si f(t) es continua (o continua a trozos) con t1 ≤ t ≤ t2, t1 > 0. Si f(t) es de

orden exponencial y limt→0+

f(t) es finito, entonces existe la transformada

unilateral de Laplace de f(t).


Teorema 4.2. (del valor final)

Si f(t) cumple las condiciones para la existencia de su transformada y

L f(t)(s) = F (s), entonces

lims→∞

F (s) = 0.

Teorema 4.3. (del valor inicial)

Si f(t) es derivable en (0, t), es de orden exponencial y tiene lımite finito cuando

t → 0+. Entonces f ′ es continua o continua a trozos en todo el intervalo (0, t), es de orden

exponencial y ademas:

lims→∞

sF (s) = limt→0+

f(t) = f(0+),

y si f es continua en t = 0 entonces f(0+) = f(0).

4.3.2 Linealidad

La transformada de Laplace es un operador lineal.

L K1f1(t) +K2f2(t)(s) = K1L f1(t)(s) +K2L f2(t)(s).

Esta propiedad se deduce de la linealidad de la integral y por tanto tambien se verifica para valores

complejos.

4.3.3 Transformada de la derivada de una funcion

Si f(t) verifica las condiciones del Teorema de existencia y es sucesivamente derivable, entonces

L f (n)(t)(s) = snL f(t))(s)− sn−1f(0+)− sn−2f ′(0+)− · · · − f (n−1)(0+).

Como casos particulares estan las de la derivada primera:

L f ′(t)(s) = sL f(t))(s)− sf(0+),

y a de la derivada segunda:

L f ′′(t)(s) = s2L f(t))(s)− s(0+)− f ′(0+).

Esta propiedad se verifica si s ∈ C (s toma valores complejos).

Derivada de la Transformada de Laplace

Si F (s) = L f(t))(s) es derivable, entonces

F ′(s) = −L tf(t)(s),

y en general

F (n)(s) = (−1)nL tnf(t)(s),donde ROC de L tf(t)(s) ⊃ ROC de L f(t)(s). De nuevo esta propiedad es valida para scomplejo.

Se deja como ejercicio que se vea que

L tn(s) = n!

sn+1, n = 0, 1, 2, . . .

Por la propiedad de la linealidad con esto podemos calcular la transformada de Laplace unilateral

de cualquier polinomio.


4.3.4 Transformada de la integral de una funcion

Si f(t) cumple las condiciones del teorema de existencia, la integral

∫ t

0f(x) dx

es de orden exponencial y

L

∫ t

0f(x) dx

(s) =1

sL f(t)(s).

Esta identidad es un caso particular de una mas general: Sea a ≥ 0, entonces

L

∫ t

af(x) dx

(s) =1

sL f(t)(s)− 1

s

∫ a

0f(x)dx.

Esta propiedad se verifica si s ∈ C (s toma valores complejos).

Integral de la Transformada de Laplace (si toma valores reales)

Si F (s) = L f(t))(s), y f(t)/t tiene transformada de Laplace, entonces

L

f(t)

t

(s) =

∫ ∞

sF (z) dz.

Ejemplo 4.3.1. Calcular la transformada de Laplace unilateral de la funcion sentt .

L

sent

t

(s) =

∫ ∞

sL sent(z) dz =

∫ ∞

s

1

z2 + 1dz = arctan z

∣

∣

∣

∞

s=π

2− arctan s.

4.3.5 Propiedades de traslacion

1) Sea s0 ≥ 0, entonces

L es0tf(t)(s) = F (s− s0).

En este caso, si ROC F (s) = (a, b) entonces ROC L es0tf(t)(s) es (a+Re(s0), b+Re(s0)).2) Esta propiedad es mas importante y compleja: Sea t0 ≥ 0, entonces

L f(t− t0)u(t− t0)(s) = e−st0L f(t))(s).

4.3.6 Propiedades de cambio de escala

Sea k > 0, entonces

L f(kt)(s) = 1

kF (s/k).

Ejemplo 4.3.2. Calcular L senh2t(s).Dado que 2senht = et − e−t, entonces

L senht(s) = 1

2(s− 1)− 1

2(s+ 1),

siendo ROC F (z) = z : Re(s) > 1. Por tanto

L senh2t(s) = 1

2

(

1

2(s/2− 1)− 1

2(s/2 + 1)

)

=2

s2 − 4,

ası la ROC ahora sera z : Re(z) > 2.


4.3.7 Transformada de ciertas funciones elementales

Transformada de f(t) = eat, a ≥ 0

L eat(s) = 1

s− a, s > a.

Transformada de las funciones seno y coseno

Podemos obtenerlas empleado diferentes identidades previas empleando la transformada de la

segunda derivada. Integrando por partes y aplicando la regla de Barrow se tiene

L sen(bt)(t) =∫ ∞

0sen(bt)e−st dt = −1

be−st cos(bt)

∣

∣

∣

∞

0− s

b

∫ ∞

0cos(bt)e−st dt,

por tanto

bL sen(bt)(s) = 1− sL cos(bt)(s).Por otro lado empleando la misma tecnica

L cos(bt)(t) =∫ ∞

0cos(bt)e−st dt =

1

be−stsen(bt)

∣

∣

∣

∞

0+s

b

∫ ∞

0sen(bt)e−st dt,

ası

bL cos(bt)(s) = sL sen(bt)(s).Combinando las dos se deduce que

L sen(bt)(s) = b

s2 + b2, y L cos(bt)(s) = s

s2 + b2.

Transformada de una poligonal rectilınea

Una poligonal rectilınea tiene una expresion de la forma:

f(t) =n∑

j=1

bj |t− aj |+ b|t|.

Por la linealidad es suficiente obtener la transformada de |t− a|, |t+ a| (a > 0) y |t|. De hecho,

L |t− a|(s) =∫ ∞

0|t− a|e−st dt = −

∫ a

0(t− a)e−st dt+

∫ ∞

a(t− a)e−st dt

=e−sa

s2+a

s− 1

s2+e−sa

s2,

valido para s > 0, y

L |t+ a|(s) =∫ ∞

0|t+ a|e−st dt =

∫ ∞

0(t− a)e−st dt =

a

s+

1

s2, s > 0.

Por tanto para a = 0 resulta

L |t|(s) = 1

s2, s > 0.

De nuevo, esta propiedad es valida en el plano complejo para Re(s) > 0.


Transformada de una funcion periodica

Sea f una funcion periodica de perıodo mınimo 2T . Supongamos que f es continua o continua a

trozos en (nT, n+ 2T ) y tiene lımites finitos en ambos extremos de dicho intervalo. Entonces

L f(t)(s) =∫ ∞

0f(t)e−st dt =

∞∑

n=0

∫ 2nT+2T

2nTf(t)e−st dt.

Como la funcion es periodica en esos intervalos haciendo el cambio de variable adecuado, se sigue

que

L f(t)(s) =∫ ∞

0f(t)e−st dt =

∞∑

n=0

e−2nsT

∫ 2T

0f(t)e−st dt =

1

1− e−sTs

∫ 2T

0f(t)e−st dt.

Ejemplo 4.3.3. Calcular la transformada de Laplace unilateral de la funcion

f(t) =|sen t|sen t

.

Dicha funcion es peri’odica de perıodo 2π, por tanto

L f(t)(s) = 1

1− e−2πs

∫ 2π

0

|sent|sent

e−st dt =1

1− e−2πs

(∫ π

0e−st dt−

∫ 2π

πe−st dt

)

,

integramos y resulta

L f(t)(s) = (1− e−sπ)2

s(1− e−2πs).

4.3.8 Convolucion

Sean f(t) y g(t) funciones. Si g(t) es la respuesta de un sistema en tiempo

continuo LTI, a la funcion impulso, para una entrada arbitraria f(t). La

respuesta del sistema viene dada por f ∗ g que denominamos convolucion de f y g.

(f ∗ g)(t) =∫ ∞

−∞f(τ)g(t− τ) dτ.

Si f y g son las funciones consideradas son causales, es decir, f(t) = f(t) u(t) y g(t) = g(t) u(t),entonces

f(t) ∗ g(t) =(∫ t

0f(τ)g(t− τ) dτ

)

u(t).

4.3.9 Propiedades de la convolucion (Incompleto)

Resultado 4.3.1. El producto de las transformadas de Laplace de dos funciones f y gcoincide con la transformada de la convolucion f ∗ g, esto es,

Lf(s) · Lg(s) = Lf(t) ∗ g(t)(s).

APLICACIONES: 1) Obtener una funcion h(t) cuya transformada ψ(s) se puede

descomponer como producto de dos funciones ψ(s) = α(s)β(s) con α(s) y β(s)transformadas de funciones conocidas f y g respectivamente, entonces

Lh(t)(s) = ψ(s) = α(s)β(s) = Lf(t)(s)× Lg(t)(s) = L(f ∗ g)(t)(s).

Por tanto, h(t) = (f ∗ g)(t).


Ejemplo 4.3.4. Si h(t) es una funcion tal que

ψ(s) = Lh(t)(s) = s

s3 − s2 + s− 1=

s

(s− 1)(s2 + 1)=

1

s− 1× s

s2 + 1,

entonces

ψ(s) = Let ∗ cos(t)(s) ⇒ h(t) =

∫ t

0et−x cos(x) dx =

1

2

(

et + sen (t)− cos (t))

.


4.3.10 Calculo de la Transformada inversa unilateral

Definicion: Si Lf(t)(s) = ψ(s), la transformada inversa de Laplace es un operador que ac-

tuando sobre ψ(s) nos da f(t). Lo notaremos por

L−sψ(s)(t) = f(t),

Se trata pues de resolver la ecuacion∫ ∞

0f(t)e−st dt = ψ(s).

Se calculan por convolucion, tablas de transformadas y descomposicion de una funcion racional

en suma de fracciones simples.

Unicidad de la transformada inversa

La teorıa de la transformada de Laplace nos dice que si la transformada de una funcion es iden-

ticamente 0, entonces la funcion de la que partimos ha de ser cero salvo en un numero finito de

puntos o infinito pero numerable. Por tanto, si

Lf(t)(s) = Lg(t)(s) ⇒ Lf(t)− g(t)(s) = 0 ⇒ f(t) = g(t)

salvo en un conjunto de puntos aislados (que despreciaremos).

Transformadas inversas de funciones racionales algebraicas

Sea ψ(t) = Lf(t)(s) donde ψ(t) = p(s)/q(s) donde p(s) y q(s) son polinomios en s sin ceros

comunes y con grado de q(s) mayor que el grado de p(s) ya que sabemos que

lims→∞

ψ(s) = 0.

Para calcular la antitransformada descomopoenos la fraccion como suma de fracciones simples,

segun el tipo de raıces de la ecuacion q(s) = 0.

Puede ocurrir que q tenga

• CASO A: raıces reales simples.

A

s− a= LAeat(s).

• CASO B: raıces reales multiples.

A

(s− a)m, (m > 1) = L

Atm−1

(m− 1)!eat

(s).

• CASO C: raıces complejas simples.

Ms+N

(s− a)2 + b2= L

Meat cos(bt) +N +Ma

beatsen(bt)

(s).

• CASO D: raıces complejas multiples.

Ms+N(

(s− a)2 + b2)m , m > 1.

En estos casos tendremos que aplicar la convolucion.


4.3.11 Integrales impropias con integrando de la forma f(x)/x

En esta seccion vamos a analizar la transformada de Laplace Unilateral de funciones se expresan

como Integrales de la forma∫ ∞

0

f(x)

xdx.

Supongamos que

ψ(s) =

∫ ∞

0f(t)e−st dt = Lf(t)(s).

Si integramos respecto a s, tenemos que

∫ ∞

0f(t)

∫ ∞

0e−st ds dt =

∫ ∞

0ψ(s) ds,

si ahora cambiamos el orden de integracion, que asumimos que puede hacerse formalmente, obten-

emos para s > 0, x > 0, que

∫ ∞

0

∫ ∞

0f(t)e−st dt ds =

∫ ∞

0

f(t)

tdt =

∫ ∞

0ψ(s) ds.

Para que esta igualdad tenga sentido es necesario que ambas integrales convergan.

Ejemplo 4.3.5.

(1)

∫ ∞

0

senx

xdx =

∫ ∞

0Lsen t(s) ds =

∫ ∞

0

1

s2 + 1ds = arctan (s)

∣

∣

∣

∞

0=π

2.

(2)

∫ ∞

0

e−2x − e−x

xdx =

∫ ∞

0Le−2t − e−t(s) ds

=

∫ ∞

0

(

1

s+ 2− 1

s+ 1

)

ds = log

(

s+ 2

s+ 1

)∣

∣

∣

∣

∞

0

= − log 2.

En general podemos decir que

∫ ∞

0

f(t)

tndt = Ψ(0), Ψ(s) = L

f(t)

tn

(s),

y si podemos resolver la ecuacion

dn

dsnΨ(s) = (−1)nψ(s),

tendremos resuelta la integral.

4.3.12 La distribucion delta y su Transformada de Laplace

Sea u(t− a) la funcion escalon unidad o funcion Heaviside definida

u(t−a) =

0, si t < a

1, si t > a t

u(t)

−2 −1 2 4

1


distribucion de Dirac (funcion impulso)

Sea

δ(t) =d

dtu(t) =

0, si t < 0

0, si t > 0

Sin embargo en el punto t = 0 u(t) no es continua y por tanto no es diferenciable y no existe su

derivada. A pesar de eso podemos considerar u(t) como el lımite de una sucesion de funciones

continuas. De hecho,

µn(t) =

0, si t ≤ 0,

nt, si 0 < t < 1/n

1, si 1/n < t

t

x(t)

0 1n

2 4grafica de u(t)

Por tanto

dµn(t)

dt= δn(t) =

0, si t ≤ 0

n, si 0 < t < 1/n

0, si 1/n < t

Si ahora tomamos lımite n → ∞, dado que el area de δn(t) es 1, y es nula salvo en el intervalo

(0, 1/n) en el que toma el valor n, entonces δ(t) tiene area 1 y vale 0 en todo punto salvo en 0 en

el que toma el valor infinito. Matematicamente no es una funcion, sino lo que se denomina una

distribucion. De hecho, si

µ(t) =

∫ t

−∞δ(u) du = u = t− s =

∫ 0

∞δ(t− s) (−ds) =

∫ ∞

0δ(t− s) ds,

dado que el area de δ(t− s) esta concentrada en t− s.* Producto de impulso por una funcion: Sea fn(t) = f(t)× δn(t), entonces

fn(t) = f(t)]× δn(t) → f(t)δ(t),

y dado que f(t) vale 0 fuera de (0, 1/n) para todo n, entonces f(t) = f(0) por eso,

f(t)× δ(t) = f(0)× δ(t).

De la misma forma para un impulso en t = t0 se tiene que

f(t)× δ(t− t0) = f(t0)× δ(t− t0).

Y un calculo algo mas complejo nos lleva a la siguiente identidad

Lu(t− a)(s) = e−sa

s, s > 0.


N Senal Dominio del tiempo Trans. de Laplace Reg. de Conv.

1 Impulso unitario δ(t) 1 C

2 Impulso con retardo δ(t− t0) e−t0s C

3 Salto unidad u(t)1

sℜ(s) > 0

4 Salto unidad con retardo u(t− t0)1

se−t0s ℜ(s) > 0

5 Rampa t u(t)1

s2ℜ(s) > 0

6 Potencia n-esima tn u(t)n!

sn+1ℜ(s) > 0

7 potencia n-esima con desplaz. tne−αtu(t)n!

(s+ α)n+1ℜ(s) > −α

8 linealidad αf(t) + βg(t) αF (s) + βG(s) ROC(F ) ∩ROC(

9 derivada en domino frecuencia tf(t) − d

dsF (s) ROC(F )

10 derivada gral. en dom. frecuencia tnf(t) (−1)ndn

dsnF (s) ROC(F )

11 derivada en tiempo f ′(t) sF (s)− f(0+) ROC(F )

12 2da derivada en tiempo f ′′(t) s2F (s)− sf(0+)− f ′(0+) ROC(F )

13 n-esima derivada en tiempo f (n)(t) snF (s)−∑nk=1 s

n−kf (k−1)(0+) ROC(F )

14 desplazamiento f(t)e−αt F (s+ α) ROC(F )− α

15 trigonometrica con desplazamiento cos(at)e−αt s+ α

(s+ α)2 + a2C

16 trigonometrica con desplazamiento sen (at)e−αt 1

(s+ α)2 + a2C


L∫ t

0f(x) dx

(s) =1

sF (s) L

∫ t

af(x) dx

(s) =1

s

(

F (s)−∫ a

0f(x) dx

)

.

L

eat

(s) =1

s− a, s > a L

bat

(s) =1

s− a log b, s > a log b

Lcos (at) (s) = s

s2 + a2, s > a Lsen (at) (s) = a

s2 + a2, s > a

L

eat f(t)

(s) = F (s− a)

Lu(t− a) f(t− a) (s) = e−saF (s)

L

eat cos (bt)

(s) =s− a

(s− a)2 + b2

L

eat sen (bt)

(s) =b

(s− a)2 + b2

Lf(kt) (s) = 1

kF (s/k), k > 0 Lf(kt− r) (s) = 1

ke−

rsk F (s/k), k > 0

L

f(t)

t

(s) =

∫ ∞

sF (x) dx lim

s→∞F (s) = 0.

Sucesiones y series numericas

5.1 Sucesiones

La teorıa de series numericas es una rama del calculo, ademas de la del calculo integral y diferen-

cial. Las series numericas le dan una nueva perspectiva interesante tanto al concepto de funciones

como al de numero.

Mostraremos dos ejemplos. El primero ejemplo tiene que ver con la funcion exponencial:

ex = 1 + x+x2

2!+x3

3!+x4

4!+ · · ·

y el segundo tiene que ver con la serie de Gregory-Leibniz

π = 1− 1

3+

1

5− 1

7+

1

9− · · ·

En el primer ejemplo vemos como la funcion exponencial puede expresarse como un “poli-

nomio infinito”, y el segundo revela que el numero π se relaciona con los recıprocos de los

numeros enteros impares de un modo inesperado.

Para entender las series numericas, tenemos que definir exactamente lo que significa sumar

infinitamente muchos terminos. Para ello, los lımites desempenan un papel fundamental aquı,

como lo hacen en el calculo integral y diferencial.

Las sucesiones de numeros aparecen en situaciones muy diversas. Por ejemplo, si partimos

una tarta por la mitad, y luego partimos por la mitad la mitad restante y segimos partiendo por

la mitad indefinidamente (pizarra), entonces la fraccion de pastel restante en cada paso forma la

secuencia

1,1

2,

1

4,

1

8, . . .

Esta es la secuencia de valores de la funcion f(n) = 12n para n = 0, 1, 2, . . . .

Definicion 5.1.1. Formalmente, una sucesion es una coleccion de numeros definidos a traves

de una funcion f(n) sobre un conjunto de numeros enteros.

90 Sucesiones y series numericas

Los valores

an = f(n)

se llaman los terminos de la sucesion, y n se llama el ındice.

Informalmente, vemos a la sucesion (an) como una lista de numeros:

a1, a2, a3, a4, . . .

Ademas cuando an viene dada por una formula, llamaremos a an el termino general o

n-esimo de la sucesion.

Evidentemente al ser una secuencia infinita, nos podemos plantear si dicha sucesion de nume-

ros converge o diverge (no converge).

Definicion 5.1.2. Se dice que una sucesion (an) es convergente (y decimos que converge a L)

si podemos acercar tanto como queramos los terminos an a L sin mas que elegir n suficientemente

grande.

Al numero L se le denomina lımite de la sucesion.

Si la sucesion (an) no es convergente se dice que es divergente.

Observacion 5.1.1. La notacion matematica es la siguiente:

limn→∞

an = L.

Un tipo de lımite que necesitaremos conocer es el lımite comunmente denominado lımite tipo

numero E:

prop:numE Resultado 5.1.1. Sean (an) y (bn) don secuencias numericas tales que an → 1, y bn → ∞,

entones si existe el lımite

limn→∞

(an − 1)bn = L

podemos decir que

limn→∞

(an)bn = eL.

A continuacion indicaremos una serie de propiedades que cumplen las series de numeros

reales convergentes:

1. El lımite de una sucesion convergente es unico.

2. Toda sucesion monotona creciente y acotada superiormente es convergente, i.e.

an < an+1, y an < S para todo n ⇒ an → L.

3. Toda sucesion monotona decreciente y acotada inferiormente es convergente, i.e.

an > an+1, y I < an para todo n ⇒ an → L.

4. Toda sucesion convergente esta acotada.

5. Algebra de lımites: Si (an) y (bn) son convergentes, con an → L1 y bn → L2, entonces

an + bn → L1 + L2, an − bn → L1 − L2, anbn → L1L2,anbn

→ L1

L2.

Observacion 5.1.2. Este ultimo es posible solo si L2 6= 0.

5.1 Sucesiones 91

6. Regla del sandwitch: Si (an) y (bn) son convergentes al mismo lımite L, entonces si ten-

emos otra sucesion (cn) tal que

an ≤ cn ≤ bn ⇒ cn → L.

A continuacion mostramos una serie de ejemplos que pueden ayudar a entender el concepto.

Ejemplo 5.1.1. La secuencia

1, 2, 3, 4, · · ·es una sucesion numerica donde, por ejemplo, a9 = 9, y en general podemos decir que el termino

general es an = n. Esta sucesion es divergente pues si tomamos un n grande, an es grande. Por

tanto, an → ∞ es divergente.


4, 8, 16, 32, · · ·es una sucesion numerica donde sabemos como debe continuar, multiplicando por dos el ultimo

elemento, y continuar sucesivamente. Hacer este proceso es, basicamente, definir los terminos

de la sucesion de forma recurrence, de hecho, en este caso obtener a9 es algo mas complicado,

pero serıa a9 = 210, y en general podemos decir que el termino general es an = 2 · 2n = 2n+1.

Esta sucesion es divergente pues si tomamos un n grande, an es grande. Por tanto, an → ∞ es

divergente.


1,−1, 1,−1, · · ·es una sucesion numerica donde sabemos como debe continuar, cambiando de signo el ultimo

elemento, y continuar sucesivamente. En este caso obtener a9 = 1. Obtener el ternmino an puede

ser algo complicado, es an = (−1)n. Esta sucesion es divergente pues no converge. En este caso

an no tiende a infinito, pero tampoco podemos decir que tienda a un valor especıfico. Por tanto,

an es divergente.

Ejemplo 5.1.4. La sucesion

an =(−1)n

n2, → −1,

1

4,−1

9,

1

16, . . .

es convergente, es sencillo ver numericamente que an → 0. Por tanto, an → 0.

Observacion 5.1.3. En clase tambien hemos hablado sobre los lımites que dan lugar a indeter-

minaciones, a continuacion mostramos los casos mas relevantes:

• Suma y lımites infinitos: Si tenemos que limx→a

f(x) = A y limx→a

g(x) = B son L, +∞ o −∞entonces lim

x→a(f + g)(x) = C.

B\A L +∞ −∞+∞ +∞ +∞ IND.

−∞ −∞ IND. −∞

• Producto y lımites infinitos: limx→a

f(x) = A y limx→a

g(x) = B son L, +∞ o −∞ entonces

limx→a

(f g)(x) = C.

B\A 0 L 6= 0 +∞ −∞+∞ IND. signo(L)∞ +∞ −∞−∞ IND. −signo(L)∞ −∞ +∞


• Cociente y lımites infinitos: limx→a

f(x) = A y limx→a

g(x) = B son L, +∞ o −∞ entonces

limx→a

f(x)

g(x)= C.

B\A L +∞ −∞+∞ 0 IND. IND.

−∞ 0 IND. IND.

Otro resultado que podemos utilizar cuando aparezca en las expresiones matematicas el sım-

bolo n! que se define como

0! = 1, n! = 1 · 2 · 3 · · ·n,al que llamaremos n factorial, o factorial de n, es la formula de Stirling.

prop:Stir Resultado 5.1.2. Cuando n es grande, podemos reemplazar

n! ∼√2πnnn e−n.

5.2 Series numericas 93

5.2 Series numericas

El calculo se divide fundamentalmente, en parte por motivos historicos, en dos ramas, diferencial

e integral. Este crecio sobre todo en el siglo XVII tratando de resolver dos problemas geometricos

importantes: El primero el descubrimiento de las lıneas tangente a curvas (calculo diferencial) y

el de calcular el area que encierra una curva (integral).

Sin embargo, el calculo en si mismo no tiene unos lımites claros. Incluye entre otros temas, la

teorıa de la series infinitas, y tiene una amplia gama de aplicaciones extraordinarias.

Veremos como los lımites permiten que se puedan realizar determinados calculos y uno pueda

resolver problemas que no se pueden resolver usando unicamente el algebra lineal.

En este capıtulo se introduce el concepto de series numericas con coeficientes reales y posi-

tivos.

Definicion 5.2.1. Dada una sucesion de numeros reales y positivos (an), i.e. una sucesion

numerica de termino general an ≥ 0. Generamos una nueva sucesion de valores

sm =m∑

n=1

an.

Es decir, que

s1 = a1

s2 = a1 + s2

s3 = a1 + a2 + a3

. . . . . .

A sn lo llamaremos suma parcial m-esima de la serie

S =∞∑

n=1

an.

Observacion 5.2.1. Por definicion se tiene que sm es una sucesion de numeros reales creciente.

Esta expresion formal tomada en sentido estricto nos “anima” a calcular la suma de los infinitos

terminos, tarea imposible si consideramos todos para luego obtener la suma. De ahı que este

proceso se evite en la mayorıa de los casos en este curso.

Ex:1.2.1 Ejemplo 5.2.1. Un ejemplo de serie que si que podemos, y debemos saber, sumar es la serie

geomerica cuyo termino general es de la forma an = crn, conde c es una constante, y r se

denomina razon.

Dicha serie se escribe de la forma∞∑

n=0

c rn.

Convergencia: Solo cuando −1 < r < 1 esta se puede sumar siendo

∞∑

n=0

c rn =c

1− r.

Cuando r ≤ −1 o r ≥ 1 dicha serie diverge.


Observacion 5.2.2. En este curso solo se consideraran series cuyos terminos generales sean

positivos, es decir, an ≥ 0. Teniendo esto presente, la serie geometrica es convergente para

0 ≤ r < 1.

Ademas hay que tener especial cuidado a la hora de calcular dichas series pues en ocasiones

sumaremos mas o menos terminos. Por ejemplo si 0 ≤ r < 1, entonces

∞∑

n=1

c rn = cr + cr2 + cr3 + · · · = c r

1− c,

∞∑

n=7

c rn = cr7 + cr8 + cr9 + · · · = c r7

1− c.

Observacion 5.2.3. Como se puede ver en estos casos comenzamos a sumar desde el termino

cr = a1 y en el segundo sumamos a partir del termino a7 = c r7.

El primer resultado importante que debemos tener en cuenta es el siguiente:

Resultado 5.2.1. Si la serie que consideremos es convergente, i.e.

∞∑

n=1

an <∞

entonces

limn→∞

an = 0.

Observacion 5.2.4. Este resultado suele utilizarse en la siguiente forma:

Si limn→∞

an 6= 0 entonces

∞∑

n=1

an = ∞.

De hecho, que el lımite sea cero no quiere decir que la serie considerada converja, o no.

El siguiente resultado es de la misma forma que en analogo al de sucesiones, muy intuitivo.

Resultado 5.2.2. Si tenemos dos series convergentes, digamos que

∞∑

n=1

an = A,∞∑

n=1

bn = B,

y c es un numero real no nula, entonces

∞∑

n=1

c an = cA,∞∑

n=1

c (an + bn) = A+B, y

∞∑

n=1

c (an − bn) = A−B.

Otra serie muy importante que necesitamos para poder demostrar la convergencia o divergen-

cia de una gran variedad de series numericas son las series armonicas de ındice p

∞∑

n=1

1

np,

de la cuales sabemos que es convergente para p > 1, y divergente para p ≤ 1.

De hecho algunos ejemplos son muy evidentes.


Ejemplo 5.2.2. Los casos p < 0 son muy claros. Por ejemplo, si p = −1 tenemos la serie

∞∑

n=1

1

n−1=

∞∑

n=1

n,

de hecho

sm =m∑

n=1

n =m(m+ 1)

2→ ∞ m→ ∞.

Y si p = −2 tenemos la serie∞∑

n=1

1

n−2=

∞∑

n=1

n2,

de hecho

sm =m∑

n=1

n2 =m(m+ 1)(2m+ 1)

6→ ∞ m→ ∞.

Definicion 5.2.2. La serie de ındice p = 1 se llama serie armonica

∞∑

n=1

1

n= 1 +

1

2+

1

3+ · · · .

Teniendo este resultado en mente, vamos a considerar dos resultados que nos permiten deducir

la convergencia de cierto tipo de series empleando las series armonicas.

Resultado 5.2.3. (Criterio de comparacion)

Si tenemos dos series numericas de terminos positivos

∞∑

n=1

an,∞∑

n=1

bn,

tales que para cada n, an ≤ bn, entonces

• Si

∞∑

n=1

an diverge, entonces

∞∑

n=1

bn diverge.

• Si

∞∑

n=1

bn converge, entonces

∞∑

n=1

an converge.

Resultado 5.2.4. (Criterio de comparacion por paso al lımite)

Si tenemos dos series numericas de terminos positivos

∞∑

n=1

an,∞∑

n=1

bn,

tales que

limn→∞

anbn

= c ∈ (0,∞).

Entonces

• Si

∞∑

n=1

an diverge, entonces

∞∑

n=1

bn diverge.


• Si

∞∑

n=1

bn converge, entonces

∞∑

n=1

an converge.

Ejemplo 5.2.3. Queremos saber si la serie

∞∑

n=1

3√n− 4

√n

n2 +√n

es convergente o divergente.

En este caso, es sencillo ver que el termino dominante del termino general es

an =3√n− 4

√n

n2 +√n

∼3√n

n2=

1

n2−1/3= bn.

A dicho factor dominante generalmente lo tomaremos como bn, y dado que

limn→∞

anbn

= 1,

y la serie con termino general bn es una serie armonica de ındice p = 2− 1/3 > 1, entonces

∞∑

n=1

bn <∞ entonces

∞∑

n=1

3√n− 4

√n

n2 +√n<∞.

De hecho hay un criterio que nos permite saber cuando las series numericas similares a las del

ejemplo son o no convergentes, dicho criterio es el siguiente:

Resultado 5.2.5. (Criterio de Prinsgheim)

Dada una serie numerica de terminos positivos

∞∑

n=1

an,

Si podemos encontrar un valor p tal que

• Si p ≤ 1 y limn→∞

npan <∞, entonces la serie

∞∑

n=1

an diverge.

• Si p > 1 y limn→∞

npan <∞, entonces la serie

∞∑

n=1

an converge.

Pero hay series numericas que no se pueden clasificar facilmente y necesitamos dar criterios

lo mas generales posibles que nos permitan saber si dichas series son o no convergentes. Demos

algunos de ellos.

Resultado 5.2.6. (Criterio del cociente)


∞∑

n=1

an,

tal que

limn→∞

an+1

an= c.

Entonces


• Si c < 1, entonces

∞∑

n=1

an converge.

• Si c > 1, entonces

∞∑

n=1

an diverge.

• Si c = 1, entonces el criterio no decide.

Resultado 5.2.7. (Criterio de la raız)


∞∑

n=1

an,

tal que

limn→∞

n√an = c.

Entonces


∞∑

n=1

an converge.


∞∑

n=1

an diverge.


Observacion 5.2.5. Si aplicamos uno de estos criterios y no decide, no debemos aplicar el otro

pues para cantidades positivas ambos lımites siempre coinciden.

Resultado 5.2.8. (Criterio de Raabe)


∞∑

n=1

an,

tal que

limn→∞

n

(

1− an+1

an

)

= c.

Entonces


∞∑

n=1

an converge.


∞∑

n=1

an diverge.



Resultado 5.2.9. (Criterio del logaritmo)


∞∑

n=1

an,

tal que

limn→∞

log(1/an)

log n= c.

Entonces


∞∑

n=1

an converge.


∞∑

n=1

an diverge.


Aun nos queda el criterio de la integral que mencionaremos cuando tratemos el tema del

calculo integral.

Con todo lo visto hasta el momento, podemos establecer el siguiente esquema para estudiar la

convergencia de una serie numerica arbitraria.

1. ¿ limn→∞

an = 0? Si no es ası, la serie es divergente.

2. ¿Es una serie de terminos positivos? Si lo es:

i. ¿Es una serie geometrica o una serie armonica de ındice p? Si lo es, se aplica el

resultado de convergencia/divergencia correspondiente.

ii. ¿Es una serie comparable directamente o en el lımite con una geometrica o una serie

armonica de ındice p? Si lo es, se aplica el criterio correspondiente.

3. ¿Se le puede aplicar el criterio del cociente, de la raız? Si alguno es concluyente se aplica.

4. ¿Se le puede aplicar el criterio de Raabe o del logaritmo? Si alguno es concluyente se aplica.

Observacion 5.2.6. Generalmente si se aplica este esquema y no se llega a una conclusion suele

deberse a que nuestra serie numerica es comparable con una serie armonica y deberıamos aplicar

el criterio de Pringsheim.

A continuacion consideraremos 4 ejemplos que consideramos interesantes y recomendamos

que se traten de seguir en detalle.

Ejemplo 5.2.4. Analizar la convergencia de la serie

∞∑

n=1

nn

n!.

En este caso dado que

an =nn

n!=n · n · n · · ·n1 · 2 · 3 . . . n → ∞,


por tanto la serie no converge pues el termino general no tiende a 0.

A pesar de que sabemos que no converge, apliquemos el metodo del cociente y veamos que

obtenemos el mismo resultado:

an+1

an=

(n+1)n+1

(n+1)!nn

n!

=(n+ 1)n+1n!

nn(n+ 1)!=

(n+ 1)n+1

nn(n+ 1)=

(n+ 1)n

nn=

(

n+ 1

n

)n

→ e > 1

por tanto, segun el criterio del cociente la serie es divergente.

Tambien podrıamos aplicar el criterio de la raız pero para ello necesitamos utilizar el Resul-

tadoprop:Stir5.1.2. Solo si eres experimentado o no has sido capaz de entender los criterios anteriores se

recomienda realizar el problema de esta manera. Consulta a tu profesor si tienes mucho interes

en entender este caso.

Ejemplo 5.2.5. Estudiamos la convergencia de la serie numerica

∞∑

n=1

(2n− 1)n

(n2 + 4)n2 .

En este caso el lımite de an es algo mas complejo. Vamos a centrarnos en los factores dominantes

de las bases de las potencias que nos encontramos

an =(2n− 1)n

(n2 + 4)n2 ∼ (2n)n

(n2)n2 → 0,

por tanto no podemos deducir que converga o no.

A continuacion aplicamos el criterio del cociente:

an+1

an=

(2(n+1)−1)(n+1)

((n+1)2+4)(n+1)2

(2n−1)n

(n2+4)n2

=(2(n+ 1)− 1)(n+1)(n2 + 4)n

2

(2n− 1)n((n+ 1)2 + 4)(n+1)2,

desarrollamos y nos queda

an+1

an=

(2n+ 1)n+1(n2 + 4)n2

(2n− 1)n(n2 + 2n+ 5)n2+2n+1.

De nuevo observamos la parte dominante, solo centrandonos en las bases, los exponentes no los

cambiamos,

an+1

an∼ (2n)n+1(n2)n

2

(2n)n(n2)n2+2n+1=

2n

(n2)2n+1→ 0 < 1

por tanto dicha serie numerica converge.

Observacion 5.2.7. Recordad que podeis utilizar la herramienta de Wolfram alpha para obtener

el resultado de muchos de los problemas, en este caso habrıa que indicar

sum ((2n-1)ˆn)/((nˆ2+4)ˆ(nˆ2))

Ejemplo 5.2.6. Analizar la convergencia de la serie

∞∑

n=1

n!

nn.


En este caso dado que

an =n!

nn=

1 · 2 · 3 . . . nn · n · n · · ·n → 0,

por tanto no podemos decidir si la serie converge o no.

Apliquemos el metodo del cociente:

an+1

an=

(n+1)!(n+1)n+1

n!nn

=nn(n+ 1)!

(n+ 1)n+1n!=

nn(n+ 1)

(n+ 1)n+1=

nn

(n+ 1)n=

(

n

n+ 1

)n

→ e−1 < 1

por tanto, segun el criterio del cociente la serie es convergente.

Observacion 5.2.8. Para ver que dicho lımite es e−1 se ha utilizado el Resultadoprop:numE5.1.1 y, en

general, operar con cuidado.

El ultimo ejemplo planteamos una serie que no se puede decidir empleando el criterio del

cociente, pero si por el de Raabe. Esto es poco frecuente.

Ejemplo 5.2.7. Dados dos numeros positivos a y b, se quiere saber bajo que condiciones de a y bla serie numerica converge o diverge:

∞∑

n=1

a(a+ 1)(a+ 2) · · · (a+ n)

b(b+ 1)(b+ 2) · · · (b+ n).

En primer lugar comprobar si an tiende a 0 o no cuando n tiende a infinito es bastante complejo

y se evitara.

Si aplicamos el criterio del cociente obtenemos

an+1

an=

a(a+1)(a+2)···(a+n)(a+n+1)b(b+1)(b+2)···(b+n)(b+n+1)

a(a+1)(a+2)···(a+n)b(b+1)(b+2)···(b+n)

=a+ n+ 1

b+ n+ 1≈ 1,

por tanto no decide.

Mientras que si aplicamos el criterio de Raabe, se tiene que

n

(

1− an+1

an

)

= n

(

1− a+ n+ 1

b+ n+ 1

)

= nb− a

b+ n+ 1→ b− a,

por tanto podemos deducir que

• Si b− a > 1 entonces la serie es convergente,

• Si b− a < 1 entonces la serie es divergente,

• Si b− a = 1 (i.e. b = a+1), en principio el criterio no decide. Pero, si pasa esto, entonces

∞∑

n=1

a(a+ 1)(a+ 2) · · · (a+ n)

b(b+ 1)(b+ 2) · · · (b+ n)

b=a+1=

∞∑

n=1

a

a+ n+ 1= ∞,

ya que dicha serie es comparable con la serie armonica de ındice p = 1, que sabemos que

es divergente.

Los ultimos dos ejemplos estan asociados a los numeros factoriales:


Ejemplo 5.2.8. Estudia la convergencia o no de la serie numerica

∞∑

n=1

(2n)!

n2.

En este caso el comprobar si an tiende o no a cero es algo complejo, por eso nos vamos al criterio

del cociente:

an+1

an=

(2(n+1))!(n+1)2

(2n)!n2

=(2n+ 2)!n2

(2n)!(n+ 1)2=

(2n+ 2)(2n+ 1)n2

(n+ 1)2≈ 2n · 2n · n2

n2→ ∞ > 1,

por tanto la serie diverge.

Ejemplo 5.2.9. Estudia la convergencia o no de la serie numerica

∞∑

n=1

82n

(3n)!.

De nuevo, en este caso el comprobar si an tiende o no a cero es algo complejo, por eso nos vamos

al criterio del cociente:

an+1

an=

82(n+1)

(3(n+1))!

82n

(3n)!

=82n+2(3n)!

(3n+ 3)!82n=

82

(3n+ 3)(3n+ 2)(3n+ 1)≈ 82

3n · 3n · 3n → 0 < 1,

por tanto la serie converge.

Para finalizar el tema consideraremos otro tipo de series que, generalmente, son comparables

con series armonicas y que son sumables cuando son convergentes.

Series Telescopicas

Lo vamos a ver con un ejemplo ilustrativo. Queremos analizar la convergencia de la serie

∞∑

n=1

3n

(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3).

Para ello, lo primero que es evidente es que an → 0, de hecho vemos que, fijandonos en los

terminos dominantes,

an =3n

(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)∼ 3n

n3=

3

n2= bn.

Por tanto llamando bn a dicho factor dominante vemos que si aplicamos el criterio de comparacion

por paso al lımite, se tiene que

limn→∞

anbn

= 1,

y dado que la serie asociada a bn es la serie armonica de ındice p = 2 que es convergente, tenemos

que la serie que nos dan es convergente tambien. Pero la sorpresa es que dicha serie es sumable.

Veamoslo:

Primero tomaremos an y al ser una funcion racional en n vamos a descomponerla en

fracciones simples. Esto es, expresarla como suma de fracciones mas sencillas, de hecho,

an =3n

(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)=

A

n+ 1+

B

n+ 2+

C

n+ 3.


Podemos ademas calcular A, B y C comparando ambas fracciones, y obtenemos que

A = −3

2, B = 6, C = −9

2,

y no es una casualidad que A + B + C = 0, de hecho es gracias a que esto sucede que dicha

serie puede sumarse. Si utilizamos dicha descomposicion y comenzamos a escribir los primeros

terminos veremos que se dan unas cancelaciones

∞∑

n=1

3n

(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)=

∞∑

n=1

(

− 3

2(n+ 1)+

6

n+ 2− 9

2(n+ 3)

)

=

(

−3

4+

6

3−9

8

)

+

(

−3

6+

6

4− 9

10

)

+

(

−3

8+

6

5− 9

12

)

+

(

− 3

10+

6

6− 9

14

)

+

(

− 3

12+

6

7− 9

16

)

+ · · ·

De forma que los elementos coloreados del mismo color se van cancelando de forma indefinida,

siendo el resultado de la serie los primeros terminos que no se cancelan, en este caso

∞∑

n=1

3n

(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)= −3

4+

6

3− 3

6=

3

4.

Se pueden encontrar mas ejemplos de este tipo en la web de Khan academy (version

inglesa) en la seccion de calculus.

Hojas de problemas

Calculo I (Grados TICS UAH) Numeros complejos Curso 2018/19

1. Calcular los siguientes numeros complejos:

a) (2− j)− 2(3− j), b) (1 + 2j)(2− 3j), c)2 + j

2− 3j.

Sol: En este caso basta con operar entendiendo que j2 = −1, por tanto

a) (2− j)− 2(3− j) = −4 + j, b) (1 + 2j)(2− 3j) = 8 + j, y

c)2 + j

2− 3j=

1

13+

8

13j.

2. Hallar el modulo y el argumento de cada uno de los siguientes numeros complejos:

a) 3 + 4j, b) (3 + 4j)−1, c) (1 + j)5, d) 7√

3 + 4j, e) |3 + 4j|.

Sol: En este caso dado que el modulo del numero complejo 3 + 4j es

|3 + 4j| =√

32 + 42 = 5,

y dado que su argumento es (el numero esta en el primer cuadrante)

Arg(3 + 4j) = arctan

(

4

3

)

= θ.

Por lo tanto, usando esto tenemos que:

a) 3 + 4j = 5θ,

b) Usando lo anterior se tiene que

(3 + 4j)−1 = 5−1−θ =

(

1

5

)

−θ

,

c) En este caso se tiene que

(1 + j)5 =(

4√2)

5π4

,

d) 7√3 + 4j =

(

7√5)

θ7, y e) |3 + 4j| = 50, pues el numero es real positivo.

3. Calcular en forma polar z1z2 y z1/z2 para

a) z1 = 4√3− 4j, z2 = 8j, b) z1 = 4(

√3 + j), z2 = −3− 3j.

Sol: (a) Dado que

z1 = 4(√3− j) = 402 11π

6= 8 11π

6y z2 = 8π

2

por lo tanto

z1z2 = 64π3, z1/z2 = 1 4π

3.

(b) Dado que

z1 = 4(√3 + j) = 8π

6y z2 = −3− 3j = (3

√2) 5π

4

por lo tanto

z1z2 = (24√2) 17π

12, z1/z2 =

(

8

3√2

)

11π12

.

4. Calcular

106

(a)(1+2j)(2−j)

3−j

(b) (1 + 2j)3

(c) j314

(d) 1 + j+ · · ·+ j52

(e)8√1

(f) 3√−2 + 2j

(g) 4√−1.

Sol: a)9

10+

13

10j, b) −11− 2j, c) j314 = j2 = −1,

d) 1 + j+ · · ·+ j52 = 0, pues 52 es multiplo de 4, y sabemos que 1 + j+ j2 + j3 = 0,

e)8√1 representa un conjunto de ocho numeros complejos:

z1 = 10, z2 = 1π4, z3 = 1π

2, z4 = 1 3π

4, z5 = 1π, z6 = 1 5π

4, z7 = 1 3π

2, z8 = 1 7π

4.

z1

z2

z3z4

z5

z6z7

z8

π

4

Re (z)

Im (z)

1

f) 3√−2 + 2j son 3 numeros en el plano complejo que son los vertices de un triangulo

equilatero, de hecho son son:

z1 =(√

2)

π4

, z2 =(√

2)

π4+ 2π

3

, z3 =(√

2)

π4+ 4π

3

.

z1

z2

z3

π

4

2π

3

Re (z)

Im (z)

√2

g) 4√−1 representa cuatro valores

z1 = 1π4, z2 = 1 3π

4, z3 = 1 5π

4, z4 = 1 7π

4

107

z1z2

z3 z4

Re (z)

Im (z)

1

5. Describir geometricamente los conjuntos de numeros complejos que verifican las siguientes

condiciones:

1. z = z, 2. zz = 1, 3. Re(z) > 0, 4. |Re(z)| ≤ 1, |Im(z)| ≤ 1,

5. |z − 2 + j| < 2, 6.|z − 3||z + 3| ≤ 2, 7. Arg

(

z + 1

z + 2

)

=π

2.

Sol: 1) Los numeros reales pues coincide su parte real e imaginaria.

2) El cırculo unidad, pues zz = |z|2.

3) Semiplano real positivo. 4) Es el conjunto (x+ jy : |x| ≤ 1, |y| ≤ 1 es decir

Re (z)

Im (z)

5) Dicho conjunto es un cırculo de centro 2− j y radio 2.

108

Re (z)

Im (z)

6) Es el exterior del circulo de centro (−5, 0) y radio 4, es decir

Re (z)

Im (z)

7) Es una circunferencia de centro −3

2y radio

1

2.

6. Interpretar geometricamente la multiplicacion y division por j.

Sol: Multiplicar por j = 1π2

, i.e. es rotar el valor π/2 radianes en el sentido contrario de las

agujas del reloj. Mientras que dividir por 1/j = 1−π/2, i.e. es rotar el valor π/2 radianes

en el sentido de las agujas del reloj.

7. Calcular los numeros z1, z2, z3 ∈ C tales que:

(a) z1 = (1 + j)7 + 4(1 + j)3,

(b) z2 y z3 son las soluciones de la ecuacion z2 − (3− 4j)z − (1 + 7j) = 0.

109

Sol: z1 = 0, y z2 y z3 son las soluciones de la ecuacion es decir

z2, z3 =3− 4j+

√−7− 24j+ 4 + 28j

2=

3− 4j+√−3 + 4j

2= 2− j, 1− 3j.

8. Demostrar las siguientes identidades:

cos3(x) =1

4(cos(3x) + 3 cos(x)) ,

sen3(x) =1

4(−sen(3x) + 3sen(x)) .

Sol: Basta usar las identidades trigonometricas basicas.

9. A partir de la formula de Moivre calcular el seno y coseno del angulo doble, y triple, (en

funcion de sen(x) y cos(x)).

Sol: Basta usar las identidades trigonometricas basicas.

10. Demostar que si p(z) = zn + an−1zn−1 + · · ·+ a0 ∈ R[z] y z0 = a+ bj, a, b ∈ R es una

raız de p(z) entonces z0 es tambien raız de p(z).

Sol: Si p(z0) = 0, entonces

p(z0) = p(z0) = 0 = 0.

11. Escribir la factorizacion real y compleja de los siguientes polinomios: p1(x) = x2 + x+ 1,

p2(x) = x4 + x2 + 1 y p3(x) = x3 − x2 − x− 2.

Sol: Para p1 se tiene

z1 =−1 +

√3j

2, z2 =

−1−√3j

2.

Para p2(x) se tiene

z1 =

√

−1 +√3j

2, z2 = −

√

−1 +√3j

2, z3 =

√

−1−√3j

2, z4 = −

√

−1−√3j

2.

Y para p3(x) se tiene

z1 = 2, z2 =−1 +

√3j

2, z3 =

−1−√3j

2.

12. Resuelve el sistema lineal de ecuaciones: jx− (1 + j)y = 3, y (2 + j)x+ jy = 4.

Sol: Es un sistema de ecuaciones con solucion

x =7− 4j

3, y =

1 + 6j

3.

?

Calculo I (Grados TICS UAH) Funciones y Continuidad Curso 2018/19

1. A partir de la grafica de la funcion g(x) = x2 construye las graficas de las siguientes

transformaciones: g(x± a), g(x)± a.

Dadas las siguientes funciones, expresalas como transformaciones de la funcion g(x) y

representalas:

(a) f(x) = x2 + 2

(b) f(x) = (x− 3)2

(c) f(x) = (−x+ 2)2

(d) f(x) = x2 − 3

(e) f(x) =x2

3(f) f(x) = (x+ 2)2

(g) f(x) = (x+ 4)2

(h) f(x) = −(x− 3)2 + 2

(i) f(x) = (3x)2

Sol:

(a) f(x) = g(x) + 2

(b) f(x) = g(x− 3)

(c) f(x) = g(−x+ 2)

(d) f(x) = g(x)− 3

(e) f(x) = g(x)/3

(f) f(x) = g(x+ 2)

(g) f(x) = g(x+ 4),

(h) f(x) = 2− g(x− 3)

(i) f(x) = g(3x)

2. Determina analıtica y graficamente los dominios de las funciones:

(a) f(x) =√1− x2

(b) f(x) =√1 + x2

(c) f(x) =

√

x

2− x

(d) f(x) =√

sen(x)

(e) f(x) =1

x− 1+

1

x+ 2

(f) f(x) = log(x+ 2) + log(x− 2)

Sol: a) Dom(f) = x ∈ R : 1− x2 ≥ 0 = [−1, 1].

b) Dom(f) = x ∈ R : 1 + x2 ≥ 0 = R.

c) Dom(f) =

x ∈ R :x

2− x≥ 0

= x ∈ R : x ≥ 0 y 2 − x > 0 ∪ x ∈ R : x ≤0 y 2− x < 0 = [0, 2) ∪ ∅ = [0, 2).

d) Dom(f) = x ∈ R : sen(x) ≥ 0 =∞⋃

k=−∞

[0 + 2πk, π + 2πk].

e) Dom(f) = R \ −2, 1 = (−∞,−2) ∪ (−2, 1) ∪ (1,∞).

f) Dom(f) = (2,∞).

3. Estudia las simetrıas de las siguientes funciones :

(a) f(x) = 3x− x3 (b) f(x) = |sen(x)| (c) f(x) = log

(

1− x

1 + x

)

Sol: a) Impar dado que

−f(−x) = −(

3(−x)− (−x)3)

= −(−3x+ x3) = 3x− x3 = f(x).

b) Par. c) Impar dado que

−f(−x)) = − log

(

1− (−x)1 + (−x)

)

= − log

(

1 + x

1− x

)

(⋆)= log

(

1− x

1 + x

)

= f(x).

(⋆) se ha usado la propiedad del logaritmo − log(A) = log(1/A).

111

4. Considere las funciones f(x) = x2, g(x) = 2x y h(x) = sen(x). Calcula las siguientes

composicion de funciones f g, f g h, y f h+ h g.

Sol:

f g(x) = 22x, f g h(x) = 22senx, (f h+ h g)(x) = sen2(x) + sen(2x).

5. Halla la funcion inversa, f−1, de las siguientes funciones, especificando su dominio de

definicion:

(a) y = 2x+ 3 (b) y = x2 (c) y =1− x

1 + x(d) y =

√1− x2.

Sol:

(a) y = (x− 3)/2 siendo su dominio R.

(b) y =√x siendo su dominio [0,∞).

(c) y =1− x

1 + xsiendo su dominio R \

−1.

(d) y =√1− x2 siendo su dominio

[−1, 1].

6. Sea f(t) = cos(θ1 t) + cos(θ2 t). Comprueba que f es una senal periodica y los valores θ1,

θ2 son tales queθ1θ2

∈ Q. ¿Es periodica la senal f(t) = cos(10 t) + cos(10 + π)t?

Calcula el periodo de f(t) = sen(πt2 ) + cos(sen(πt3 )).

Sol: Si T1 y T2 son los periodos de las senales, entonces

T1T2

=θ2θ1

=n

mirreducible ⇒ T = mT1 = nT2,

por tanto veamos que f(t) es periodica de periodo T :

f(t+ T ) = cos(θ1 (t+ T )) + cos(θ2 (t+ T )) = cos(θ1 t+ 2mπ) + cos(θ2 t+ 2nπ)

= cos(θ1 t) + cos(θ2 t) = f(t),

ya que θ1T = mθ1T1 = 2πm y θ2T = nθ2T2 = 2πn y la funcion coseno es 2π periodica.

La primera funcion considerada cos(10 t) + cos(10 + π)t no es periodica pues el cociente

de las pulsaciones esθ1θ2

=10

10 + π6∈ Q.

La segunda senal tiene periodo T = 12.

7. Estudia la continuidad de la funcion:

f(x) =

0, si x ∈ Q

1, si x 6∈ Q.

Sol: No es continua en ningun punto. Es una funcion de Dirichlet (buscar en la web).

112

8. Determina el valor de k ∈ R para el cual la funcion

f(x) =

2− x2, si x ≤ 1k + x , si x > 1.

sea continua.

Sol: Dado que

limx→1−

f(x) = limx→1

2− x2 = 1, limx→1+

f(x) = limx→1

k + x = k + 1 ⇒ k = 0.

9. Representa las siguientes funciones definidas a trozos e indica los intervalos en los que son

continuas:

(a) f(x) =

x, si x ≥ 0

−x2, si x < 0(b) f(x) =

2x, si x ≥ 1

x3, si x < 1(c) f(x) =

−x3 + 1, si x < 1

1x − 1, si 1 ≤ x < 2

x2 − 4x, si x ≥ 2

Sol: a) Su grafica es

x

y

−2 −1 1 2

−1

−2

−3

−4

1

2

y es continua en R.

b) Su grafica es

113

x

y

−1 1 2

−1

−2

−3

−4

1

2

3

4

y es continua en R \ 1 = (−∞, 1) ∪ (1,+∞).

c) b) Su grafica es

x

y

−1 1 2 43−2−4 −3

−1

−2

−3

−4

1

2

3

4

1

3

− 1

2

y es continua en R \ 1, 2 = (−∞,−2) ∪ (1, 2) ∪ (2,+∞).

10. Calcula los siguientes lımites:

(a) limx→1

5

x− 1

(b) limx→2

1

x2 − 4− 1

x− 2

(c) limx→∞

(

2x2 − 3

3x+ 5

)

3x−45x

(d) limx→∞

(

3x+ 6

5

)5−2x3x+4

(e) limx→−3

x2 + 6x+ 9

x+ 3

(f) limx→π

2

1

cosx− tanx

(g) limx→∞

(

3x− 2

x+ 5

)4x−1

3

(h) limx→−1

√5 + x− 2

x+ 1

(i) limx→∞

(

4x+ 7

5x− 3

)6x+5

7

114

(j) limx→∞

3x2 + 1

x− 1− 3x

(k) limx→∞

√

x2−1−√

x2−3x

(l) limx→∞

(

x+ 1

x− 2

)2x2−1

(m) limx→∞

(

3x2 + x

3x2 − 2

)

2x2−1x

Sol:

(a) Indeterminado

(b) Indeterminado

(c) ∞(d) 0

(e) 0

(f) 0

(g) ∞

(h)1

4

(i) 0

(j) 3

(k)3

2

(l) tipo numero e: ∞

(m) tipo numero e: e23 .


(a) limx→0

tan(π)

(b) limx→0

x− 1

2− x

(c) limx→π

exp(cos(x))

(d) limx→5

x2 − 3x

(e) limx→−2

x√x+ 4 3

√x− 6

(f) limx→−3

x+ 3

x2 + 4x+ 3

(g) limx→8

1− 3√x

(h) limx→5

x2 − 5x

x2 − 6x+ 5

(i) limx→π

2

sen(cos(x))

Sol:

(a) tan(π) = 0

(b) −12

(c) e−1

(d) 10

(e) 4√2

(f) −1

2

(g) −1

(h)5

4(i) 0


(a) limx→∞

x5 − 2x2

(b) limx→−∞

x5 − 2x2

(c) limx→3

x5 − 2x2

x2 − 2x− 3

(d) limx→∞

x5 − 2x2

x2 − 2x− 3

(e) limx→∞

6x4 + 3x3 + 10x2

x5 − 8x2

(f) limx→0−

6x4 + 3x3 + 10x2

x5 − 8x2

(g) limx→2

6x4 + 3x3 + 10x2

x5 − 8x2

(h) limx→−∞

x5 − 2x2

x2 − 2x− 3

(i) limx→−∞

6x4 + 3x3 + 10x2

x5 − 2x2

Sol:

(a) ∞(b) −∞(c) Indeterminado

(d) ∞(e) 0

(f) −5

4

(g) Indeterminado

(h) −∞(i) 0


115

(a) limx→∞

2x2 − x− 7

7x− x2

(b) limx→−∞

x2 − x5 − 7

x5 − x4 + 3x

(c) limx→−∞

3x2 − x3 − 7

x2 − x4 + 3x

(d) limx→−∞

x5 − x4 + 3x

x2 − x5 − 7

(e) limx→1

3x2 + x3 − 4

x2 − 2x4 + x

(f) limx→∞

√2x4 − x3 − 7

x2 − x+ 3

(g) limx→∞

√

x2 − 4x− x

(h) limx→−∞

√

x2 − 4x− x

(i) limx→−2−

3x2 + x3 + x− 2

x4 − 3x3 − 25x2 − 32x− 4

Sol:

(a) −2

(b) −1

(c) 0

(d) −1

(e) −95

(f)√2

(g) −2

(h) +∞(i) +∞ (⋆⋆)

14. Sean f y g dos funciones

(a) Si no existe limx→p f(x) ni existe limx→p g(x), ¿pueden existir limx→p(f(x)+g(x))y limx→p(f(x)g(x))?

(b) Si existe limx→p f(x) y no existe limx→p g(x), ¿puede existir limx→p(f(x) + g(x))?

(c) Si existe limx→p f(x) y limx→p(f(x) + g(x)), ¿debe existir limx→p g(x)?

(d) Si existe limx→p f(x) y limx→p(f(x)g(x)), ¿debe existir limx→p g(x)?

Sol: a) Puede existir, por ejemplo (primero la suma y luego el producto)

f(x) =1

x, g(x) = −1

x, p = 0; y f(x) = e

1x , f(x) = e−

1x , p = 0.

b) No puede existir. c) Debe existir. d) Existe siempre que f(x) → L 6= 0 cuando x→ p.

15. Estudia la continuidad de las siguientes funciones, indicando en cada caso los tipos de dis-

continuidad que presentan. En el caso de discontinuidades evitables, determinar el valor que

hace continua la funcion:

(a) f(x) = |x− a|, a ∈ R

(b) f(x) = (1 + x)1x

(c) f(x) =1− 2

1x

1 + 21x

(d) f(x) =

sen(x)

|x| , si x 6= 0

1, si x = 0

(e) f(x) =

ex, si x < 0a+ x, si x ≥ 0

Sol:

(a) La funcion es continua para cualquier a.

(b) La funcion es continua para (−1, 0) ∪ (0,∞) y

limx→0−

f(x) = e limx→0+

f(x) = e

por lo tanto tiene discontinuidad evitable en x = 0 y se evita tomando en dicho punto

el valor e.

116

(c) La funcion es continua para R \ 0 y

limx→0−

f(x) = 1 limx→0+

f(x) = −1

luego hay una discontinuidad esencial en x = 0.

(d) La funcion es continua para R \ 0 y

limx→0−

f(x) = −1 limx→0+

f(x) = 1

luego hay una discontinuidad esencial en x = 0.

(e) dicha funcion es continua, como mınimo en R \ 0, y dado que

limx→0−

f(x) = limx→0

ex = 1 limx→0+

f(x) = limx→0

a+ x = a

se tiene que si a = 1 entonces la funcion es continua en R, y en otro caso, i.e. a 6= 1,

tiene una discontinuidad esencial en x = 0.

16. Estudia si las siguientes funciones estan acotadas superior e inferiormente (en los intervalos

indicados) y si es posible calcular cotas para sus valores maximo y mınimo :

(a) y = x2 − 1 < x < 1

(b) y = x2 x ∈ R

(c) y = x2 x ≥ 0

(d) y =

x2, si x ≤ aa+ 2, si x > a

Sol: Si M representa el maximo y m el mınimo, se tiene que:

(a) La funcion es continua en (−1, 1) y esta acotada superiormente por M = 1, e inferi-

ormente por m = 0.

(b) La funcion es continua, esta acotada inferiormente, siendo m = 0 pero no lo esta

superiormente.

(c) La funcion es continua, esta acotada inferiormente, siendo m = 0 pero no lo esta

superiormente.

(d) La funcion es continua en cada intervalo donde se define, y la primera funcion x2 esta

acotada inferiormente por 0 pero no lo esta superiormente, mientras que la segunda

funcion es constante. Por tanto,

• Si a+ 2 < 0, i.e. a < −2 entonces m = a+ 2.

• Si a+ 2 ≥ 0, i.e. a ≥ −2 entonces m = 0.

17. En el intervalo [0, 1] se definen las siguientes funciones:

(a) y = 2x− 3

(b) y = x2 − 2x+ 1

(c) y = x3 − 1

2

(d) y = sen(πx

2

)

(e) y = e−x2

Comprueba que son monotonas en dicho intervalo y, como consecuencia, halla sus maximos

y los mınimos.

Sol:

117

(a) Es continua y creciente por tanto los tine m = −3 y M = −1.

(b) Es continua y decreciente por tanto los tine m = 0 y M = 1.

(c) Es continua y creciente por tanto los tine m = −1/2 y M = 1/2.

(d) Es continua y creciente por tanto los tine m = 0 y M = 1.

(e) Es continua y decreciente por tanto los tine M = 1 y m = e−1.

18. Construye una funcion real continua en todo punto del intervalo [−1, 1] salvo en el 0, que

tome valores de distinto signo en −1 y 1 y que no se anule en ningun punto.

Sol: Hay muchas, por ejemplo f(x) = u(−x)− u(x), −1 ≤ x ≤ 1, x 6= 0.

19. Determina los valores del numero real k para los cuales la funcion p(x) = x3 − 3x + k se

anula en algun punto de [−1, 1].

Sol: Cualquier polinomio es continuo en [−1, 1], ademas p(1) = −2 + k, y p(−1) = 2+ kpara garantizar que se anula entre dichos puntos tenemos que garantizar que el signo de

2 + k y −2 + k es distinto, para ello basta tomar −2 ≤ k ≤ 2.

20. Comprueba que existe un x ∈ R tal que sen(x) = x− 1.

Sol: Consideremos la funcion F (x) = sen(x) − (x − 1). Dicha funcion es continua en

R. Tenemos que encontrar dos valores x0 y x1 tales que el signo de F (x0) y de F (x1) son

distintos, y aplicando el Teorema de Bolzano garantizamos lo que nos pide el problema. Por

ejemplo:

F (0) = 1, F (2.5) = sen (2.5)− 1.5 < 0

luego con seguridad se anula en algun punto en el intervalo (0, 2.5).

De hecho, la grafica de la funcion es Su grafica es

F (x)

≈ 1.93456x

y

1 2 3

Calculo I (Grados TICS UAH) Senales Curso 2018/19

1. Escriba en termino de escalones a la derecha las siguientes seales, simplificando la ex-

presion:

(a)

x(t) =

−t, si , t < −11− t, si −1 < t < 0t2, si 0 < t < 11, si t > 1

(b) x(t) = |t2 − 4|, −6 < t < 6, t 6= 2, t 6= −2

(c) x(t) =Par|t− 1|, −2 < t < 2, t 6= 1, t 6= −1

(d)

x(t) =

0, si t < −π−sen t, si −π < t < 0sen t, si 0 < t < π

0, si t > π

(e)

x(t) =

1− t2, si t < −10, si −1 < t < 1

t2 − 1, si t > 1

Solucion: (a) Comencemos representando la senal, pues su representacion en general nos

ayudara a resolver el ejercicio, aunque no sea siempre algo necesario para resolver el prob-

lema.

t

y

−1 1 2−1−2

1

2

Debemos tener en cuenta que si nos indican t < −1 esto nos indica que esta asociado a un

salto a la izquierda (zona roja claro), en este caso

t < −1 → u(−t− 1),

luego tenemos dos pulsos pues nos dicen que −1 < t < 0 (zona amarilla claro) y que

0 < t < 1 (zona verde claro). En el primer caso dicho pulso es

−1 < t < 0 →(

u(t+ 1)− u(t− 0))

,

y el segundo

0 < t < 1 →(

u(t− 0)− u(t− 1))

.

119

Finalmente la funcion acaba con t > 1 (zona azul claro), es decir, se describe con un salto

a la derecha

t > 1 → u(t− 1).

Ademas el salto a la izquierda u(−t− 1) hemos visto en teorıa que se puede escribir como

salto a la derecha como u(−t− 1) = 1− u(t+ 1).

Con todo esto, se tiene que

x(t) = −t+ u(t+ 1) + (t2 + t− 1)u(t) + (1− t2)u(t− 1).

(b) En este caso debemos expresar el valor absoluto como funciones elementales. Dado que

t2 − 4 es una parabola concava.

Es sencillo ver que

x(t) =

t2 − 4, si −6 < t < −24− t2, si −2 < t < 2t2 − 4, si 6 > t > 2

Dado que tenemos tres pulsos, entonces los indicamos y simplificamos quedando

x(t) = (t2 − 4)u(t+ 6) + (8− 2t2)u(t+ 2) + (2t2 − 8)u(t− 2) + (4− t2)u(t− 6).

(c) En este caso lo haremos poco a poco, primero pintaremos t − 1 (gris), luego |t − 1|(azul), luego la funcion con la inversion en tiempo (t → −t.. verde), y finalmente la parte

par (morado) que sera la suma de las utimas:

t

y

−1 1 2−1−2

1

2

|t− 1|

| − t− 1|

Par|t− 1|

Ası la funcion morada se puede escribir como funcion a trozos de la forma

x(t) =

−t, si −2 < t < −11, si −1 < t < 1t, si 1 < t < 2

Observa que la zona amarilla es simetrica respecto al eje vertical. Estas separaciones hay

que tenerlas en cuenta cuando nos piden calcular la parte par o impar de una funcion. Ası el

resultado es:

x(t) = (−t)u(t+ 2) + (1 + t)u(t+ 1) + (t− 1)u(t− 1) + (−t)u(t− 2).

120

Los ultimos dos apartados son mas sencillos.

(d)

x(t) = −sen t u(t+ π) + 2sen t u(t)− sen t u(t− π).

(e)

x(t) = (1− t2) + (t2 − 1)u(t+ 1) + (t2 − 1)u(t− 1).

2. Escriba x(t) en forma explıcita:

(a) x(t) = −t u(−t) + (t− 1)u(t− 1) + u(t− 2)

(b) x(t) = u(−1− t)− t u(t+ 1) + u(t− 1)

(c) x(t) =Par(

t− π2

) (

u(t)− u(t− π2 ))

, −π < t < π

(d) x(t)=cos(t) (u(t+ 2π)− u(t+ π) + u(t)− u(t− π)), −2π < t < 2π

Solucion: Este tipo de ejercicios es sencillo, solo debemos hacer un esquema sobre que

funcion va en cada tramo.

(a) En este caso tenemos saltos en los puntos 0, 1 y 2. Ası en funcion del tipo de salto

indicamos las flechas

t

y

−1 1 2−1−2

1

2

−t t − 1 t − 1

1

0

Como vemos en la zona naranja no hay flechas, por tanto en esa zona la funcion vale 0. En

el resto de zonas sumaremos las funciones que indiquemos que hay en estas. Por tanto

x(t) =

−t, si t < 00, si 0 < t < 1

t− 1, si 1 < t < 2t, si 2 < t

Los casos (b), y (d) son parecidos. (b)

x(t) =

1, si t < −1−t, si 1 < t < 1

1− t, si 1 < t

(c) En este caso tenemos que hacer algo similar al apartado (c) del ejercicio primero.

Primero pintaremos t − π/2 (azul), luego la funcion con la inversion en tiempo (t → −t..verde), y finalmente la parte par (morado punteado) que sera la suma de las ultimas:

t

y

−π2

−π π2

π−π

4

−π2

x(t) =

0, si −π < t < −π2

− t2 − π

4 , si −π2 < t < 0

t2 − π

4 , si 0 < t < π2

0, si π2 < t < π

121

(d) En este caso

x(t) =

cos(t), si −2π < t < −π0, si −π < t < 0

cos(t), si 0 < t < π

0, si π < t < 2π

3. Calcule el perıodo de las senales periodicas:

(a) x(t) = sen2(

2t

3

)

− 2 cos

(

6t

5

)

(b) x(t) = 1− cos3 t

(c) x(t) = 3 cos(2t) cos2(3t)

Solucion: (a) Dado que la funcion sen(ωt) tiene periodo T = 2π/ω. Entonces el periodo

de x1(t) = sen(

2t3

)

es T1 = 3π, por tanto el periodo de x2(t) = sen2(

2t3

)

sera la mitad, es

decir T2 = 3π2 . El periodo de x3(t) = cos

(

6t5

)

es T3 = 5π3 . Y por lo visto en teorıa, dado

que

T3T2

=5π33π2

=10

9⇒ 9T3 = 10T2.

Por lo tanto x(t) = x2(t)− 2x3(t) es periodica de periodo T = 9T3 = 15π.

(b) El periodo de x1(t) = cos(t) es T1 = 2π, por tanto el periodo de x2(t) = cos3 (t) sera

T2 = T1 = 2π. Luego x(t) = 1− x2(t) tiene periodo T = 2π.

El apartado (c) es analogo al (a), siendo en este caso T = π.

4. Halle la expresion de las siguientes senales en el intervalo (−T/2, T/2) teniendo en cuenta

que son senales periodias de perıodo fundamental T :

(a) x(t) = |2t− 18|, 8 < t < 10

(b) x(t) =(

cos(

2π3 t)

+ 2 cos(

16π3 t))

sen(πt).

(c) x(t) = 2 + 3sen(2t), −3π2 < t < 2π

(d) x(t) = 3 + 2 cos(3t), −π2 < t < π

(e) x(t) =Par

(t− π2 )(u(t)− u(t− π

2 )

, −π < t < π

(f) x(t) =Par(t− π)(u(t)− u(t− π), −2π < t < 2π

(g) x(t) =Par|t− 1|, −2 < t < 2

(h) x(t) =Impar|t− 1|, −2 < t < 2

(i) x(t) = | cos(3t)|, −π2 < t < π

(j) x(t) = cos t (u(t+ 2π)− u(t+ π) + u(t)− u(t− π)), −2π < t < 2π

(k) x(t) = cos3(9t), −3π2 < t < 2π

(l) x(t) = u(t), −1 < t < 1

(m) x(t) = |sen t|, −π2 < t < π

2

(n) x(t) = sen t, −π2 < t < π

2

(o) x(t) = sen t, 0 < t < π2

(p) x(t) = sen t(

u(t− π2 )− u(t− π)

)

, π2 < t < 3π

2

122

(q) x(t) = sen t, 4π < t < 12π.

(r) x(t) =Impar|t2 + 2t|, −4 < t < −1.

Solucion: (a)

t

x(t)

−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

Dado que T = 2, se tiene que el intervalo pedido es (−1, 1).

Para ver cuantas veces hemos trasladado la senal hacia la izquierda en este caso, decimos

(T es el periodo y k es numero de veces desplazada)

−1 = 8− Tk → −1 = 8− 2k ⇒ k = 4′5

luego la senal que nos piden esta incluida entre las copias 4ta y 5ta desplazadas hacia la

izquierda, de hecho, la parte en (−1, 0) es parte de la 5ta copia, es decir, debemos usar

(x + 5T ) ahı, y la parte en (0,1) es parte de la 4ta copia, es decir, debemos usar (x + 4T )ahı. De hecho, la senal en ese intervalo es

x(t) =

x(t+ 8), si 8 < t+ 8 < 10x(t+ 10), si 8 < t+ 10 < 10

⇒ x(t) =

2 + 2t, si −1 < t < 02− 2t, si 0 < t < 1

[hemos quitado la parte que no esta en (−1, 1)]que es equivalente a escribir

x(t) = (2− 2t)(u(t)− u(t− 1)) + (2 + 2t)(u(t+ 1)− u(t)), t ∈ (−T/2, T/2).

(b) Dado que cos(2πx/3) tiene perıodo 3, la funcion cos(16πx/3) tiene perıodo 3/8 y la

funcion sen(πx) tiene periodo 2. Por eso, esta funcion tiene perıodo 6. Con todo eso su

grafica es:

t

x(t)

−3 3

1

2

−1

−2

123

Dado que T = 6, se tiene que el intervalo pedido es (−3, 3) y la senal en ese intervalo viene

dada por

x(t) = (cos(2π3 t) + 2 cos(16π3 t))sen(πt), −3 < t < 3.

(c) En este caso el perıodo es π, y dado que el intervalo de definicion mide L = 7π/2, de

ahı que T = 7π/2 ya que L no es un multiplo entero de π.

t

x(t)

2π−2π 5π2−5π

27π4−7π

4 −3π4

3π4−5π

45π4−3π

2

1

3

5

[Zona azul claro → senal incial, zona naranja clara → parte de 1ra copia a la izquierda]

Teniendo en cuenta dicha representacion, la definicion de la funcion en (−T/2, T/2) sera

x(t) =

2 + 3sen(2(t+ T )) = 2− 3sen(2t), si −7π4 < t < −3π

2

2 + 3sen(2t), si −3π2 < t < 7π

4

que es equivalente a escribir que para t ∈ (−T/2, T/2)

x(t) = (2− 3sen(2t))(u(t+ 7π/4)− u(t+ 3π/2))

+ (2 + 3sen(2t))(u(t+ 3π/2)− u(t− 7π/4)).

(d) De una forma analoga a la anterior, se obtiene la siguiente grafica de la senal correspon-

diente, siendo T = 3π/2,

124

t

x(t)

−π −π2 −π

3ππ

2π3

2π3−3π

43π4−5π

45π4

1

3

5


x(t) =

3 + 2 cos(3(t+ T )) = 3− 2sen(3t), si −3π4 < t < −π

2

3 + 2 cos(3t), si −π2 < t < 3π

4


x(t) = (3− 2sen(3t))(u(t+ 3π/4)− u(t+ π/2))

+ (3 + 2 cos(3t))(u(t+ π/2)− u(t− 3π/4)).

(e) Este es el problema 2 (c) que tiene perıodo T = 2π.

(f) Es analogo al anterior, que tiene T = 4π, y resulta que en (−T/2, T/2) es:

x(t) =

0, si −2π < t < π

12(t+ π), si −π < t < 0

12(t− π), si 0 < t < π

0, si π < t < 2π.


x(t) = (t+ π)/2 u(t+ π)− πu(t) + (π − t)/2 u(t− π).

(g) Es el problema 1(c), siendo T = 4 y en (-T /2,T /2) se tiene:

x(t) =

−t, si −2 < t < −1

1, si −1 < t < 1

t, si 1 < t < 2.

125

(h) Siguiendo las ideas del problema 4 (g), se tiene que T = 4 y la solucion es:

x(t) =

1, si −2 < t < −1

−t, si −1 < t < 1

−1, si 1 < t < 2.

(i) Se obtiene la siguiente grafica de la senal correspondiente, siendo T = π/3, pero dado

que la longitud del intervalo es L = 3π/2 (no es multiplo de T) se tiene que el perıodo de

la senal es 3π/2.

t

x(t)

−π2

ππ2−5π

45π4

π6−π

6−3π4

3π4

1

La linea punteada es la funcion cos(3t) por si sirve de ayuda.


x(t) =

−sen(3t), si −3π4 < t < −2π

3

sen(3t), si −2π3 < t < −π

2

− cos(3t), si −π2 < t < −π

6

cos(3t), si −π6 < t < π

6

− cos(3t), si π6 < t < π

2

cos(3t), si π2 < t < 3π

4

El resto de problemas se daran solo las respuesta como funcion definida a trozos.

(j) En este caso el perıodo es T = 2π. Y la definicion de la funcion en (−T/2, T/2) sera

x(t) =

0, si −π < t < 0

cos t, si 0 < t < π

(k) En este caso el perıodo es T = 7π/2. Y la definicion de la funcion en (−T/2, T/2) sera

x(t) =

34sen(9t)− 1

4sen(27t), si −7π4 < t < −3π

2

34 cos 9t+

14 cos 27t, si −3π

2 < t < 7π4

(l) En este caso el perıodo es T = 2. Y la definicion de la funcion en (−T/2, T/2) sera

x(t) =

0, si −1 < t < 0

1, si 0 < t < 1

126

(m) En este caso el perıodo es T = π. Y la definicion de la funcion en (−T/2, T/2) sera

x(t) =

−sen t, si −π2 < t < 0

sen t, si 0 < t < π2

(n) En este caso el perıodo es T = π. Y la definicion de la funcion en (−T/2, T/2) sera

x(t) = sen t; −π2< t <

π

2.

(o) En este caso el perıodo es T = π/2. Lo cual se deduce como anteriormente, realizando

el dibujo de la grafica

t

x(t)

−π

2

π

2

π−π

4

π

4

1cos(t) sen(t)

Ası, la definicion de la funcion en (−T/2, T/2) sera

x(t) =

cos t, si −π4 < t < 0

sen t, si 0 < t < π4

(p) En este caso el perıodo es T = π. Y la definicion de la funcion en (−T/2, T/2) sera

x(t) =

−sen t −π2 < t < 0, si

0 0 < t < π2 , si

(q) En este caso el perıodo es T = 2π. Y la definicion de la funcion en (−T/2, T/2) sera

x(t) = sen t; −π < t < π.

(r) Este caso es relevante tambien porque los desplazamientos de la senal hay que realizarlos

a la derecha, no como el resto, se resuelve con la intencion de lo hacer pensar que siempre

los desplazamientos se realizan a la izquierda.

En primer lugar representaremos la senal inicial (azul), la invertida en tiempo (verde) y

la morada que es la impar en este caso. Ademas la zona naranja es la zona inicial del

problema, la roja es la asociada a la 1ra copia desplazada a la derecha, y la verde la 2da

copia desplazada a la derecha. Conviene ir con mucho cuidado a la hora de resolverlo.

127

t

y

−1 1−2 2 3 4 5−3−4−5

−2

8

−4

2

6

4

x(t + T ) x(t)

x(t)

x(t − T ) x(t − 2T )

x(−t − 2T ) x(−t − T ) x(−t)

x(−t + T )

Las expresiones en negro son de las funciones en verde. El marco de color ‘cyan‘ es la zona

donde nos piden el resultado, ası que teniendo en cuenta el signo del valor absoluto en cada

region coloreada se tiene que

x(t) =

x(t)− x(−t+ 2T )

2= t+ 3

2 , si −32 < t < −1

x(t)− x(−t+ 2T )

2= −4t, si −1 < t < 1

x(t+ T )− x(−t+ T )

2= t− 3

2 , si 1 < t < 32

Calculo I (Grados TICS UAH) Calculo diferencial Curso 2018/19

1. Calcular, utilizando la definicion rigurosa de derivada, las derivadas de las siguientes fun-

ciones:

(a) f(x) = 1− 3x2

(b) f(x) =3 + x

1− 3x

(c) f(x) =√1 + 2x

(d) f(x) = 5x2 − 3x+ 2

Sol:

(a) Aplicando la definicion se tiene

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− h(x)

h= lim

h→0

(1− 3(x+ h)2)− (1− 3x2)

h

= limh→0

−6xh− 3h2

h= −6x.

(b) En este caso

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− h(x)

h= lim

h→0

3 + x+ h

1− 3(x+ h)− 3 + x

1− 3x

h

= limh→0

10h

(1− 3x)(1− 3(x+ h))h=

10

(1− 3x)2.

(c) En este caso

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− h(x)

h= lim

h→0

√

1 + 2(x+ h)−√1 + 2x

h

= limh→0

2h

(√

1 + 2(x+ h) +√1 + 2x)h

=2

2√1 + 2x

=1√

1 + 2x.

(d)

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− h(x)

h= lim

h→0

5(x+ h)2 − 3(x+ h) + 2− 5x2 − 3x+ 2

h

= 10x− 3.

2. Estudiar las derivadas por la derecha y por la izquierda en x0 = 0 de las funciones:

(a) y = |x| (b) y = x1n , n ≥ 2

Sol:

(a) En este caso se tiene que

f ′(0−) = limh→0−

f(0 + h)− f(0)

h= lim

h→0−

−hh

= −1,

y

f ′(0+) = limh→0+

f(0 + h)− f(0)

h= lim

h→0+

h

h= 1.

Por tanto no es derivable en x0.

129

(b) En este otro caso

f ′(0−) = limh→0−

f(0 + h)− f(0)

h= lim

h→0−

h1n

h=

no existe, si n par∞, si n impar

y

f ′(0+) = limh→0+

f(0 + h)− f(0)

h= lim

h→0+

h1n

h= ∞.

3. Estudiar las derivadas por la derecha y por la izquierda en x0 = 0 de la funcion

y = (x3 + x2)12 definida en un entorno de x0 = 0. ¿Es continua en x0 = 0?.

Sol: Dado que y = (x3 + x2)12 = |x|

√x+ 1, entonces

f ′(0−) = −1, y f ′(0+) = 1.

La funcion es continua en x0.

4. Calcular los valores reales de a y b para que la funcion:

f(x) =

x2 + 2, si x ≤ 0√ax+ b, si 0 < x ≤ 2

− x

2√2+

3√2, si x > 2

sea continua en la recta real. ¿En que puntos es derivable la funcion resultante?

Sol: Dado que

limx→0−

f(x) = limx→0

x2 + 2 = 2, y limx→0+

f(x) = limx→0

√ax+ b =

√b.

Ademas

limx→2−

f(x) = limx→2

√ax+ b =

√2a+ b, y lim

x→2+f(x) = lim

x→2− x

2√2+

3√2=

√2.

Por tanto solo si b = 4 y a = −1 la funcion es continua. Y para dichos valores se tiene que

f ′(0−) = 0, f ′(0+) =−1

4, y f ′(2−) =

−1

2√2, f ′(2+) =

−1

2√2,

luego es derivable en R \ 0.

5. Se considera la funcion:

f(x) =

sen(x), si x ≤ 0

−x2 + ax+ b, si x > 0

hallar los valores reales de a y b para que la funcion f sea continua y derivable en x = 0.

Sol: Se tiene que

f(0−) = 0, f(0+) = b, y f ′(0−) = 1, f ′(0+) = a,

es decir, es continua y derivable en x = 0 para a = 1 y b = 0.

130

6. Dada la la funcion:

f(x) =

ax2 + b, si x ≤ 1

ln(x), si x > 1

hallar los valores de a y b para que f sea continua y derivable en x = 1.

Sol: Se tiene que

f(1−) = a+ b, f(1+) = 0, y f ′(1−) = 2a, f ′(1+) = 1,

es decir, es continua y derivable en x = 1 para a = 1/2 y b = −1/2.

7. Dada la funcion:

f(x) =

x3 − 12x+ 1, si 0 ≤ x ≤ 1

20x2 + ax+ b, si 1 < x ≤ 2

hallar los valores de a y b para que f sea continua y derivable en el intervalo (0, 2).

Sol: Se tiene que ambas funciones son continuas y diferenciables en sus respectivos inter-

valos, y ademas

f(1−) = −10, f(1+) = 20 + a+ b, y f ′(1−) = −9, f ′(1+) = 40 + a,

es decir, es continua y derivable en x = 0 para a = −49 y b = 19.

8. Estudia para que valores reales de a la funcion:

f(x) =

x2 + 1, si x ≤ a

2ax− 2a+ 1, si x > a

es continua. En estos casos, dibuja las graficas de las funciones obtenidas. ¿En algun caso

es f derivable en x = a?

Sol: Hay que ver que sucede en torno a x = a,

f(a−) = a2 + 1, f(a+) = 2a2 − 2a+ 1 ⇒ a2 − 2a = 0, a = 0, a = 2.

Y para a = 0 se tiene que f ′(0−) = 0, y f ′(0+) = 0, por tanto es diferenciable; y para

a = 2 se tiene que f ′(2−) = 4, y f ′(2+) = 4, por tanto es diferenciable tambien en todo

punto.

x

y

−2 −1 1 2

−1

2

3

4

5

1

Caso a = 0

x

y

1 2

2

3

4

1

5

Caso a = 2

131

9. Estudiar la derivabilidad y continuidad de:

y =

x sen(1/x), si x 6= 0

0, si x = 0

Sol: Se tiene que

limx→0−

f(x) = 0, limx→0+

f(x) = 0,

dado que x→ 0 y la funcion seno esta acotada. La derivada de dicha funcion existe en todo

punto dado que

f ′(x) = sen(1/x)− cos(1/x)

x

y es sencillo comprobar que dicha funcion en x = 0 no existe.

10. Sea f(x) = |x|3. Comprobar que existen la primera y segunda derivada para todo valor de

x, salvo f (3)(0) que no existe.

Sol: Dado que

f(x) =

−x3, si x ≤ 0

x3, si x > 0

entonces todo es mas sencillo y directo, pues

f ′(x) =

−3x2, si x ≤ 0

3x2, si x > 0f ′′(x) =

−6x, si x ≤ 0

6x, si x > 0f (3)(x) =

−1, si x ≤ 0

1, si x > 0.

11. Calcular la ecuacion de la recta tangente a la curva y = tan(x) en el punto x0 = π/4.

Sol: La recta tangente en un punto (x0, f(x0)) es y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0), por tanto

tan(π/4) = 1,d

dxtan(π/4) = 2 ⇒ y − 1 = 2(x− π/4) −→ y = 2x+ 1− π/2.

12. Hallar en que puntos la tangente a la curva y = x3 + 5 es:

a) Paralela a la recta 12x− y = 17.

b) Perpendicular a la recta x+ 3y = 2.

Sol: La derivada de la funcion dada es

y′ = 3x2.

Y las pendientes de las rectas dadas son: a) 12; b) −1/3. Por lo tanto en el caso:

a) los puntos donde las tangentes son iguales, i.e. las rectas son paralelas, son (−2,−3) y

(2, 13).

b) Si la pendiente de esa recta es −1/3 la de la perpendicular debe ser −(1/(−1/3)) = 3.

Es decir, en los puntos (−1, 4) y (1, 6).

132

13. ¿Para que valores reales de a la parabola y = ax2 es tangente a la curva y = log(x) ?.

Sol: La derivada de la funcion dada es

y′ = 2ax,

y la derivada de log(x) es 1/x. Por tanto, si entendemos el enunciado, nos piden que dicha

parabola sea tangente, es decir, toque a la funcion y sea tangente a ella, por tanto

ax20 = log(x0) [x0 ≥ 0], y 2ax0 =1

x0⇒ ax20 =

1

2→ 1

2= log

(

1√2a

)

= −1

2log(2a),

que solo puede pasar para a = 1/(2e), y en este caso se tocan en (√e, 1/2).

De hecho

x

y

1 2 3

2

1

−1

14. Calcular la derivada de las siguientes funciones:

(a) y = 3x

(b) y = 4x12

(c) y = 8− x2 + 4x3

(d) y = (4x+ 1)3

(e) y = x2(3x− 5)

(f) y = 4x12

(g) y =2

x3

(h) y =4√2x3

(i) y = 2√x− 4

3√x2

+ 5

(j) y =

(

3x− 1

x2 + 3

)2

(k) y =3

√

1 + x3

1− x3

(l) y =√

x+√

x+√x

(m) y = sen(cos2(x)) cos(sen2(x))

(n) y = log(x+√x2 + 1)

(o) y = log

(

4

√

x2 − 1

x2 + 1

)

, |x| > 1

(p) y = arctan

(

1 + x

1− x

)

Sol:

(a) y′ = 3

(b) y′ = 48x11

(c) y′ = −2x+ 12x2

(d) y′ = 12 (4x+ 1)2

(e) y′ = x(9x− 10)

(f) y′ = 48x11

(g) y′ = − 6

x4

(h) y′ =3

2 4√8x

(i) y′ =1√x+

8

3x3√x2

133

(j) y′ =2(1− 3x)

(

3x2 − 2x− 9)

(x2 + 3)3

(k) y′ =2x2

(x3 − 1)23

√

(

1 + x3

1− x3

)2

(l) y′ =

1

2√x+ 1

2√

x+√x+ 1

2√

x+√

x+√x

(m) y′ = − sin(2x) cos(cos(2x))

(n) y′ =1√

x2 + 1

(o) y′ =1

4(x− 1)

(p) y′ =1

x2 + 1

15. Calcular la derivada de las siguientes funciones utilizando derivacion logarıtmica:

(a) y = x√x (b) y = (ln(x))x (c) y = (sen(x))x

Sol:

(a) log y =√x log x por tanto

y′

y=

log x

2√x+

1√x

⇒ y′ =x√x

√x

(

log x

2+ 1

)

.

(b) log y = x log(ln(x)) por tanto

y′

y= log(ln(x)) +

1

ln(x)⇒ y′ = (ln(x))x

(

log(ln(x)) +1

ln(x)

)

.

(c) log y = x log(sen(x)) por tanto

y′

y= log(sen(x)) + x

cos(x)

sen(x)⇒ y′ = (sen(x))x (log(sen(x)) + x cotan(x)) .

16. Comprobar que:

(a) (senx)(n) = sen(

x+ nπ2

)

(b) (cos x)(n) = cos(

x+ nπ2

)

Sol: Dado que son funciones cuyas derivadas son conocidas, basta hacer las primeras 4

derivadas y ver que coinciden con la expresion dada.

17. Calcular la derivada n-esima de las siguientes funciones:

(a) y = sen(2x) cos(4x)

(b) y = emx

(c) y =x

x2 − 4

(d) y = arctan(x)

(e) y = log(x3 + 6x2 +11x+ 6)

(f) y = x3sen(x)

18. Se considera la funcion real f(x) = xn(1 − x)m + 1. Aplicar el teorema de Rolle para

comprobar (sin calcular la derivada) que la ecuacion f ′(x) = 0 tiene al menos una raız en

el intervalo (0, 1).

Sol: Sabemos que f(x) es continua para cualquier valor n y m reales positivos. Ademas

f(0) = 1, f(1) = 1 y f es derivable en (0, 1) por tanto por el Teorema de Rolle se tiene el

resultado.

134

19. Aplicar el teorema de Rolle para comprobar que la ecuacion cubica x3 − 3x + b = 0 no

puede tener mas de una raız en el intervalo [−1, 1].

Sol: Sabemos que f(x) es continua pues es un polinomio. Ademas f(−1) = 2+ b, f(1) =−2 + b y f es derivable en (−1, 1) por tanto por el Teorema de Bolzano tiene una raız en

(−1, 1) si dichos valores tienen distinto signo, i.e. −2 ≤ b ≤ 2. Si tuvise otra raız en (−1, 1)entonces f ′(x) tendrıa que anularse alguna vez en ese intervalo, pero f ′(x) = 3x2 − 3 que

no se anula en el interior del intervalo. Por tanto solo tiene una raız en (−1, 1) o ninguna

(segun el valore de b).

20. Sea

f(x) =

3− x2

2, si x ≤ 1

1

x, si x ≥ 1

Dibujar la grafica de f para x ∈ [0, 2]. Probar que f satisface las condiciones del teorema

del valor medio en el intervalo [0, 2] y determinar todos los valores medios dados por el

teorema.

Sol:

x

y

1 2

2

1

Si se calcula la derivada de la funcion se tiene que

f(2)− f(0)

2− 0= f ′(c) −→ −1

2= f ′(c) ⇒ c =

1

2< 1, o c =

√2 > 1.

21. Sea f(x) = 1−x 23 . Probar que f(1) = f(−1) = 0, y que f ′(x) 6= 0 para todo x ∈ [−1, 1].

Explicar por que este resultado contradice aparentemente el teorema de Rolle.

Sol: Se tiene que

f(1) = 0, y f(−1) = 1− 3√

(−1)2 = 0 = f(1).

Pero la funcion no es derivable en torno al cero, pues

f ′(x) = − 2

3 3√x, ⇒ f ′(0) no existe.

22. Aplicar el teorema del valor medio a y = (x2 + 9)12 en [0, 4], hallando los puntos interme-

dios.

Sol: En este caso se tiene que

f(0) = 3, f(4) = 5 ⇒ f(4)− f(0)

4− 0=

2

4= f ′(c) =

c√c2 + 9

⇒ c =√3.

135

23. Sea f una funcion real derivable en todo punto x ∈ R y tal que f(0) = 0 y |f ′(x)| < 1 para

todo x ∈ R. Comprobar que |f(x)| < |x| para todo x no nulo.

Sol: Se aplica el Teorema de Rolle, aunque es algo complicado y Teorico, se toma x distinto

de cero, entonces existe c ∈ (0, x) tal que

f(x)− f(0)

x− 0= f ′(c) ⇒

∣

∣

∣

∣

f(x)

x

∣

∣

∣

∣

= |f ′(c)| < 1 ⇒ |f(x)| ≤ |x|.

24. Sea p(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn con ai ∈ R. Comprobar que si

a0 +a12

+ · · ·+ ann+ 1

= 0,

entonces la ecuacion p(x) = 0 tiene al menos una raız en (0, 1).

25. Probar que x2 = x sen(x) + cos(x) tiene exactamente dos soluciones reales.

Sol: Tomamos la funcion F (x) = x2 − (x sen(x) + cos(x)), entonces F es continua, y

derivable, ademas

F ′(x) = 2x− 2x cos(x) = 2x(1− cos(x)) ≥ 0,

que se anula en x = 0 y en los puntos x donde cos(x) = 1, pero

F (π/2) =π2

4− π

2> 0, F (−π/2) = π2

4− π

2> 0, F ′(x) ≥ 0.

Ademas F (0) = −1 < 0 por tanto por el Teorema se garantiza la existencia de esos dos

valores (que son simetricos) y no pueden existir otros pues la derivada no se anula en dicho

intervalo.

De hecho, la grafica de dicha funcion es:

x

y

1 2−1−2

−1

1

26. Establecer las siguientes desigualdades, utilizando el teorema del valor medio:

a) |sen(x)− sen(y)| ≤ |x− y| para todo x, y ∈ R.

b)

1− a

b≤ log

b

a≤ b

a− 1, para 0 < a ≤ b.

c)

nyn−1(x− y) ≤ xn − yn ≤ nxn−1(x− y) si 0 < x ≤ y y n = 1, 2, · · · .

d)1

cos2(a)≤ tan(b)− tan(a)

b− a≤ 1

cos2(b)con 0 < a ≤ b ≤ π

2.

136

Sol: a) Es similar al problema 23, pues |f ′(x)| ≤ 1.

b) Dado que si 0 < a ≤ x ≤ b entonces 0 < 1/b ≤ 1/x ≤ 1/a se tiene que por el Teorema

de Rolle (tomamos la funcion f(x) = log(x)) que existe c ∈ (a, b) tal que

log(b)− log(a)

b− a=

1

c⇒ b− a

b≤ log

b

a≤ b− a

a.

c) Tomamos la funcion f(x) = xn entonces existe c ∈ (x, y) tal que

yn − xn

y − x= ncn ⇒ nxn−1 ≤ yn − xn

y − x≤ nyn−1,

y dado que x ≤ y al multiplicar por x− y la desigualdad cambia.

d) Analogo a los anteriores.

27. Sea f una funcion continua en [0, 1] y derivable en (0, 1) tal que f(0) = 0 y f ′ es creciente.

Comprobar que la funcion F (x) =f(x)

xes creciente.

Sol: Dado que f es continua en [0, 1] entonces F (x) es continua en (0, 1), ademas dado que

f es derivable en (0, 1) se tiene que

F ′(x) =xf ′(x)− f(x)

x2.

Pero al ser f ′ creciente se tiene, por un lado que f ′(0) = 0 pues por el Teorema de Rolle

quef ′(x)− f ′(0)

x≥ 0

28. Comprobar que g(x) = 2arctan(x) + arcsen

(

2x

1 + x2

)

, x ∈ [1,∞), es una funcion con-

stante.

Sol: En este caso el rango de valores del argumento de la funcion arcoseno es la correcta

(0, 1) y dado que

(arcsinu)′ =−u′√1− u2

,

y f(1) =π

2+π

2= π se tiene que

f ′(x) =2

1 + x2−

(

2x

1 + x2

)′

√

1− 4x2

(1 + x2)2

= 0 ⇒ f(x) = π.

29. Hallar dos numeros positivos cuya suma sea 20 y su producto sea el maximo posible.

Sol: Llamamos a una variable x y la otra y = 20− x entonces tomamos la funcion f(x) =x(20− x) donde x ∈ [0, 20] y se tiene que

f ′(x) = 20− 2x = 0 ⇒ x = 10,

luego los puntos crıticos son 0, 10, y 20 y dado que f(0) = 0, f(10) = 100 y f(20) = 0entonces el maximo se alcanza en los valores x = 10 e y = 10.

137

30. Hallar las dimensiones del rectangulo de mayor area que pueda inscribirse en una semicir-

cunferencia de radio a.

Sol: Las coordenadas de los puntos de una semicircunferencia de radio a son (a cos θ, asenθ)donde el angulo θ ∈ [0, π] por tanto el rectangulo tiene area

f(θ) = 2a cos θasenθ = a2sen(2θ) ⇒ f ′(θ) = 2a2 cos(2θ)

que se anula para 2θ =π

2, que es punto crıtico junto con θ = 0 y θ = π y para esos valroes

f(0) = 0, f(π/4) = a2, f(π) = 0.

Un esquema del problema serıa

θ

x

y

a−2a a cos(θ)

a

asin(θ)

31. Determinar a, b, c, d de modo que la curva y = ax3 + bx2 + cx+ d presente un maximo y

un mınimo en (0, 4) y (2, 0) respectivamente.

Sol: Primero los puntos estan sobre la curva por tanto (0, 4) → 4 = d; y (2, 0) → 0 =8a+4b+2c+ d. Y ademas son extremos luego c = 0 y 12a+4b+ c = 0. Con todos estos

datos se tiene

y = x3 − 3x2 + 4.

32. Entre todos los rectangulos de perımetro dado P , ¿cual es el de mayor area?.

Sol: Tomamos un lado x y el otro y = p/2 − x donde x ∈ [0, p] y el area es f(x) =x(p/2− x), entonces f ′(x) = p/2− 2x.

Ası, los puntos crıticos seran x = 0, x = p/4 y x = p para los que el area resulta 0,p2

16y 0.

Es decir la de area maxima el cuadrado de lado p/4.

33. Obtener, en el intervalo [−2, 2], el menor y mayor valor de la distancia entre el punto (0, 1)y la parabola y = x2.

Sol: Un punto arbitrario de la parabola es (x, x2) donde x ∈ [2, 2] y la funcion

f(x) = d(

(0, 1), (x, x2))

=√

x2 + (1− x2)2

dicha funcion tiene puntos crıticos en x = 0, x = ± 1√2

, y en x = ±2. Dado que el valor

de la funcion en esos puntos es

f(0) = 1, f

(

± 1√2

)

=

√3

2, f(±2) =

√13,

la distancia mınima sera

√3

2y la maxima

√13.

138

34. Con una cartulina de 60cm de lado se desea construir una caja de base cuadrada que tenga

la maxima capacidad posible. Determinar las medidas.

Sol: Si llamamos x al lado de la caja, y al alto y, entonces x+2y = 60 por tanto tomaremos

como f (capacidad)

f(x) = x2y = x2(

30− x

2

)

⇒ f ′(x) = 60x− 3x2

2=

3x

2(40− x) .

Ası, los puntos crıticos seran x = 0 (y = 30), x = 40 (y = 10), y x = 60 (y = 0), para

los que la capacidad resulta 0, 16000 y 0. Por tanto las medidas, serıan lado x = 40 y alto

y = 10.

35. De entre todas las latas cilındricas de un litro de capacidad, determinar las dimensiones de

la de menor coste de produccion.

Sol: Dado que el volumen de un cilindro de radio r y altura h es πr2h (sabemos que es

igual a 1), tomaremos f a las dimensiones de la lata (tiene dos tapas circulares de radio r y

el lateral que es un retangulo de lados h y 2πr), por tanto

f(r) = 2πr2 +2

r⇒ f ′(r) = 4πr − 2

r2

Ası, el punto crıtico es r = 1/ 3√2π para el que la dimension resulta 3 3

√2π y como

f ′′(r) = 4π +4

r3> 0,

dicho valor es un mınimo.

36. Una senal ha de ser transmitida deA aB a traves de un punto P situado en la lınea de tierra.

¿Donde se situara este punto para que el camino recorrido sea mınimo?.

Sol: Dado que no nos dan un sistema de referencia podemos presuponer que A = (0, 1) y

B = (a, b), y la lınea de tierra es la recta y = 0, por tanto a > 0, b > 1. Un esquema del

problema serıa

A

P

B

x

y

ax

1

b

Donde el punto P = (x, 0) esta entre 0 y a pues piden distancia mınima. Ası, la funcion es

f(x) = d(A,P ) + d(A,B) =√

x2 + 1 +√

(a− x)2 + b2

por tanto la derivada sera

f ′(x) =x√

x2 + 1− a− x√

(a− x)2 + b2

139

Ası, los puntos crıticos seran x = 0, x = a y x =a

b+ 1para los que la distancia resulta

1 +√

a2 + b2,

(

b+1

b

)

√

a2 + (1 + b)2, y√

1 + a2 + b.

Es decir la de area mınima es la primera.

37. Calcular los siguientes lımites:

(a) limx→0

sen(x)

x

(b) limx→0

x− tan(x)

x− sen(x)

(c) limx→0

1 + sen(x)− ex

(arctan(x))2

(d) limx→1

sen(x2 − 1)

x2 − 1

(e) limx→0

ax − bx

x(f) lim

x→0cos(1/x)

(g) limx→0

1−√1− x2

x2

(h) limx→0

1

sen2(x)− 1

x2

(i) limx→0+

(arctan(x))1

log(x)

(j) limx→+∞

(log x)1

1−log x

(k) limx→π

2

(tan(x))sen(2x)

(l) limx→0+

√x

1− e2√x

(m) limx→∞

(3√

x3 + ax2 − 3√

x3 − ax2)

Sol:

(a) 1

(b) −2

(c) −1

2(d) 1

(e) log(a)− log(b)

(f) Indeterminado

(g)1

2

(h)1

3(i) e

(j) 1

(k) 1

(l) −1

2

(m)2a

3

38. Obtener el desarrollo de Maclaurin de orden n de las siguientes funciones:

(a) y = ex

(b) y = sen(x)

(c) y = cos(x)

(d) y = cosh(x)

(e) y = senh(x)

(f) y =1

1− x

(g) y = arctan(x)

(h) y = log(1 + x)

con resto de Lagrange.

Sol:

(a)

ex =n∑

k=0

xk

k!+

eξ

(n+ 1)!|x|n+1, ξ ∈ (0, x)

39. Comprobar los siguientes polinomios de Taylor en x = 0:

140

(a)

Tn(ax) =

n∑

k=0

(log(a))k

k!xk

(b)

Tn

(

1

1 + x

)

=n∑

k=0

(−1)kxk

(c)

T2n+1

(

x

1− x2

)

=n∑

k=0

x2k+1

(d)

Tn(log(1 + x)) =n∑

k=1

(−1)k+1xk

k

(e)

T2n+1

(

log

√

1 + x

1− x

)

=n∑

k=0

x2k+1

2k + 1

(f)

Tn

(

1

2− x

)

=

n∑

k=0

xk

2k+1

(g)

Tn((1 + x)a) =n∑

k=0

(ak)xk

(h)

T2n(sen2x) =

n∑

k=1

(−1)k+1 22k−1

(2k)!x2k

(i)

Tn(log(1− x)) = −n∑

k=1

xk

k

(j)

T2n+1(arctan(x)) =n∑

k=1

(−1)kx2k+1

2k + 1

40. Obtener el desarrollo de Taylor de f(x) = (log(x))2 en x0 = 1 hasta el lugar de las

derivadas de orden cuatro, con resto de Lagrange.

41. Obtener el desarrollo de Maclaurin de y = sen(x2) hasta el lugar cuarto. Dad una may-

oracion del resto.

42. Escribir el polinomio p(x) = x4 − 3x2 + 2x− 1 en potencias de x− 2.

43. Haciendo uso de la formula de Taylor para la funcion f(x) = (1+x)13 calcula aproximada-

mente (1, 03)13 . Situando el termino complementario en el lugar de las derivadas terceras,

estimar el error cometido.

44. Calcular aproximadamente14√e

con un error menor que 0, 0001.

45. Estudia la funcion:

f(x) =(

x2 + x+ 1)

e−x

determinando su dominio, corte con los ejes, maximos y mınimos locales, intervalos de

crecimiento y decrecimiento, dibujando de forma esquematica la grafica. A partir de la

grafica anterior, y sin dar valores, dibujar aproximadamente las funciones siguientes:

h1(x) =(

(x− 1)2 + (x− 1) + 1)

e−(x−1) , h2(x) =(

x2 − x+ 1)

ex

explicando razonadamente como se han obtenido.

46. Representa graficamente las funciones siguientes estudiando su dominio, imagen, simetrıas,

periodicidad, asıntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, maximos y mınimos (rel-

ativos y absolutos), puntos de inflexion e intervalos de concavidad y convexidad:

141

(a) f(x) =x

1 + x2

(b) f(x) = x2(x− 1)2

(c) f(x) = 3√

(x+ 1)2

(d) f(x) = exp

(

−x2

2

)

(e) f(x) = x exp(−x)(f) f(x) = sin(x) cos(x)

(g) f(x) = sin2(x) + cos(x)

(h) f(x) = arctan(x)

(i) f(x) =x2

x− 2

(j) f(x) =x4

1− x2

(k) f(x) = x√x− 1

(l) f(x) = x exp(

1x

)

(m) f(x) = x ln(x)

(n) f(x) = ln

(

x+ 1

x− 1

)

Calculo I (Grados TICS UAH) Calculo de primitivas Curso 2018/19

1. Calcular los primitiva general de de las siguientes funciones y compruebe la respuesta

derivando:

(a) f(x) = 18x2

(b) f(x) = x−3/5

(c) f(x) = 9x+ 15x−2

(d) f(x) = 2 cosx− 9 sinx

(e) f(x) = sen(4− 9x)

(f) f(x) = tan(2x+ 3)

Soluciones:

(a) F (x) = 6x3+constante

(b) F (x) =5

2x2/5+constante

(c) F (x) =9

2x2 − 15x−1+constante

(d) F (x) = 2senx+ 9 cosx+constante

(e) F (x) =1

9cos(4− 9x)+constante

(f) F (x) = −1

2log(cos(2x+ 3))+constante

2. Calcular la integral indefinida de de las siguientes funciones:

(a) f(x) = 4− 18x

(b) f(t) = t−6/11

(c) f(s) = 14s9/5

(d) f(x) =1

x4/3

Soluciones:

(a)

∫

f(x) dx = 4x− 9x2+constante

(b)

∫

f(t) dt =11

5t5/11+constante

(c)

∫

f(s) ds = 5s14/5+constante

(d)

∫

f(x) dx = − 3

x1/3+constante


(a) f(z) =12− z√

z

(b) f(z) = 25 sec2(3z + 1)

(c) f(θ) = θ + sec2 θ

(d) f(x)=sec(x+5) tan(x+5)

(e) f(t) = (t1/2 + 1)(t+ 1)

(f) f(x)=3 cos(4x) + sen (3x)

Soluciones:

(a)

∫

f(z) dz = 24√z − 2

3

√z3+constante

(b)

∫

f(z) dz =25

3tan(3z + 1)+constante

(c)

∫

f(θ) dθ =θ2

2+ tan(θ)+constante

143

(d)

∫

f(x) dx = sec(x+5)+constante

(e)

∫

f(t) dt =2

5t5/2 +

2

3t3/2 +

t2

2+ t+constante

(f)

∫

f(x) dx =3

4sen(4x)− 1

3cos(3x)+constante


(a) f(θ) = θ − cos θ (b) f(y) = (y + 2)4 (c) f(x) = x2√x+ 1

Soluciones:

(a)

∫

f(θ) dθ =θ2

2− sen(θ)+constante

(b)

∫

f(y) dy =1

5(y + 2)5+constante

(c)

∫

f(x) dx =2

7(x+ 1)7/2 − 4

5(x+ 1)5/2 +

2

3(x+ 1)3/2+constante


(a) f(z) = z sec2(z2)

(b) f(t) =t3

(4− 2t4)11

(c) f(z)=(z5+4z2)(z3+1)12

(d) f(x) =senx cosx√senx+ 1

(e) f(x) =1

(1 +√x)3

(f) f(x) =2x3 + 3x

(3x4 + 9x2)5

Soluciones:

(a)

∫

f(z) dz =1

2tan(z2)+constante

(b)

∫

f(t) dt =1

42(z3 + 1)14 +

1

13(z3 + 1)13+constante

(c)

∫

f(x) dx =2

3(sen(x) + 1)3/2 − 1

2(sen(x) + 1)1/2+constante

(d)

∫

f(x) dx =1

(√x+ 1)

2 − 2√x+ 1

+constante

(e)

∫

f(x) dx = − 1

24(3x4 + 9x2)−4+constante


(a) f(x) =x

(x+ 1)(x− 2)

(b) f(x) =x2 + 3

(x− 1)(x+ 2)2

(c) f(x) =2x+ 1

(x− 1)(x2 + x+ 1)

(d) f(x) =x2 − 2

x3(x2 + 1)

(e) f(x) =x2 − x

(x+ 3)2

(f) f(x) =x4

(x2 − 1)2

144


(a) f(x) =1

(1 + x)√1 + x+ x2

(b) f(x) =1√

4 + x2

(c) f(x) =x

3√

(x+ 2)2 −√x+ 2

(d) f(x) =1

3√x+

√x

145


(a) f(x) =cosx

sin3 x+ 2 cos2 x sinx

(b) f(x) =ex + 3e2x

1 + ex

(c) f(x) =1 + sinx

sinx cos2 x

(d) f(x) =e√x

√x

(e) f(x) =x+ 1

x2 − 3x+ 3

(f) f(x) =1

x4 − 2x3 + 2x2 − 2x+ 1

146

Soluciones

147

Calculo I (Grados TICS UAH) Integral indefinida Curso 2018/19

Hallar la integral indefinida de las siguientes funciones:

1.∫

x tan2(x) dx

2.

∫

tan3(x) sec4(x) dx

3.∫ √

x+ 1

x+ 3dx

4.

∫

(x+ 1)3√

1− (x+ 1)2dx

5.∫

x2

(x− 1)3dx

6.∫

x2 + 1√x2 − 1

dx

7.

∫

sen2(x) cos5(x)

tan3(x)dx

8.

∫

sen(x)− cos(x)

sen(x) + cos(x)dx

9.∫

exsen(πx) dx

10.∫

1

cos4(x)dx

11.∫

sen2x dx

12.∫

sen4x dx

13.∫

cos2 x dx

14.∫

cos6 x dx

15.∫

sen2x cos2 x dx

16.∫

dx

3 +√2x+ 5

17.∫

√

x− 1

x+ 1dx

18.∫

arctan 3√x dx

19.∫√√

x+ 1 dx

20.

∫

√x+ 2

1 +√x+ 2

dx

21.∫ √

2 + ex dx

22.∫

esenx cos3 x dx

23.∫

sen5 x dx

24.∫

cos3 x sen2 x dx

25.∫

tan2 x dx

26.∫

tan3 x dx

27.∫

x3√

1− x2 dx

28.∫

senx+ 3 cosx

senx cosx+ 2senxdx

29.∫

senx+ 3 cosx

senx+ 2 cosxdx

30.∫

tan2(3x) sec3(3x) dx

31.∫

4x3−x3−46x2−20x+ 153

x3 − 2x2 − 9x+ 18dx

32.∫

cos(log x) dx

33.∫

e4x

e2x + ex + 2dx

34.∫

√

1 + 3√x

3√x

dx

35.∫

x2

(x2 + 1)5/2dx

36.∫

2

x2 − 2x+ 2dx

148

37.∫

dx

cos2(x)

38.∫

dx

(x+ 1) 3√x+ 2

39.∫

x

(x2 + 1)5/2dx

40.∫

x2(1− x2)−3/2 dx

41.∫ √

ex − 1 dx

42.

∫

2x2 + 3

x2(x− 1)dx

43.

∫

1 +√

1−√x√

xdx

44.∫

1 + senx

1 + cosxdx

45.∫

x2√x− 1 dx

46.∫

sec6(x) dx

47.

∫

x3

(1 + x2)3dx

48.∫

dx

ex − 4e−x

49.

∫

dx

(2 + x)√1 + x

50.

∫

dx

1 + 3√1− x

51.

∫

ex cos(2x) dx

52.

∫

x2 log(x) dx

53.

∫

sen3 x cos2 x dx

54.∫

cos4 x dx

55.∫

tan4 x dx

56.∫

sec3 x dx

57.∫

dx

1− senx

58.

∫

sen (log x) dx

59.∫

dx

x2√1− x2

60.

∫

x√1 + x2

dx

61.∫

dx√e2x − 1

62.

∫

e4x

e2x + 2ex + 2dx

63.

∫

x5 − 2x3

x4 − 2x2 + 1dx

64.

∫

dx3√

(1− 2x)2 −√1− 2x

65.∫

dx

x2√9− x2

66.

∫

dx

(x− 1)2(x2 + x+ 1)

67.∫

xm log x dx

68.∫

cos3 x

sen4 xdx

69.

∫

x2sen√x3 dx

70.

∫

cos2(log x) dx

71.∫

(log x)3 dx

72.

∫

x(log x)2 dx

149

Soluciones:

1.

∫

x tan2(x) dxIPP=

u = x

dv = tan2(x)dx→

du = dx

v = tan(x)− x

=x(tan(x)− x)−∫

(

tan(x)− x)

dx

=x tan(x) + ln | cos(x)| − x2

2+ C.

2.

∫

tan3(x) sec4(x) dxCV=

z = tan(x)

dz = sec2(x)dx

=

∫

z3(1 + z2) dz

=z4

4+z6

6+ C =

tan4(x)

4+

tan6(x)

6+ C.

3.

∫ √x+ 1

x+ 3dx

CV=

x = t2

dx = 2tdt

=

∫

t+ 1

t2 + 32t dt =

∫

2dt+

∫

2t− 6

t2 + 3dt

=2t+ ln |t2 + 3| − 6√3arctan(t/

√3) + C

=2√x+ ln |x+ 3| − 6√

3arctan

(√x√3

)

+ C.

4.

∫

(x+ 1)3√

1− (x+ 1)2dx

CV=

x+ 1 = sen(t)

dx = cos(t)dt

=

∫

sen3(t)dt

=

∫

sen(t)(1− cos2(t))dt = − cos(t) +1

3cos3(t) + C.

Deshacemos los cambios quedando

∫

(x+ 1)3√

1− (x+ 1)2dx = −

√

1− (x+ 1)2 +1

3

√

(1− (x+ 1)2)3 + C.

5.∫

x2

(x− 1)3dx =

∫

B1

x− 1dx+

∫

B2

(x− 1)2dx+

∫

1

(x− 1)3dx

=B1 ln |x− 1| − B2

x− 1− 1

2(x− 1)2+ C.

Observacion 5.2.9. Para calcular las constantes les doy dos valores a x y planteo los dos

sistemas, pero puede resolverse de otras formas. En este caso B1 = 1 y B2 = 2.

150

6.

∫

x2 + 1√x2 − 1

dxCV=

x = sec(t)

dx = tan(t) sec(t)dt

=

∫

(

sec2(t) + 1)

sec(t) dt

=

∫

1 + cos2(t)

cos3(t)dt

(∗)=

sen(t) = y

cos(t)dt = dy

=

∫

2− y2

(y2 − 1)2dy

=

∫

B1

y − 1dy +

1

4

∫

1

(y − 1)2dy +

∫

B3

y + 1dy +

1

4

∫

1

(y + 1)2dy.

Deshacemos el cambio quedando

∫

x2 + 1√x2 − 1

dx=B1 ln |sen(t)−1|− 1

4(sen(t)− 1)+B3 ln |sen(t)+1|− 1

4(sen(t) + 1)+C.

Y dado que

sen(z) =√

1− cos2(z) =

√

1− 1

x2=

√x2 − 1

x,

se aplica sobre la expresion anterior se tiene el resultado final.

Observacion 5.2.10. En este caso las constantes son B1 = −3/4, B3 = 3/4. Tengamos en

cuenta que es una integral algo compleja.

(*) La funcion es impar en coseno.

7. Es Impar en coseno ası

∫

sen2(x) cos5(x)

tan3(x)dx =

∫

cos8(x)

sen(x)dx

CV=

t = cos(x)

dt = −sen (x)dx

=

∫

t8

t2 − 1dt

Dividimos y deshacemos el cambio, quedando

∫

sen2(x) cos5(x)

tan3(x)dx =

93 cos(x)

64+

37

192cos(3x) +

9

320cos(5x) +

1

448cos(7x)

− log(cot(x) + csc(x)) + C.

8.∫

sen(x)− cos(x)

sen(x) + cos(x)dx = − ln |sen(x) + cos(x)|+ C.

9. Por las tablas vistas en clase∫

exsen(πx) dx =ex

1 + π2(

sen (πx)− π cos(πx))

+ C.

10. Es par en coseno y seno por tanto

∫

1

cos4(x)dx

CV=

z = tan(x)

dz =dx

cos2(x)

=

∫

(1 + z2) dz = z +z3

3+ C

deshacemos el cambio y obtenemos

∫

1

cos4(x)dx = tan(x) +

tan3(x)

3+ C

151

11.∫

sen2x dx =1

2

∫

(1− cos(2x)) dx =x

2− sen(2x)

4+ C

12.∫

sen4x dx =1

4

∫

(1− cos(2x))2 dx =x

4− sen(2x)

4+

1

4

∫

cos2(2x) dx

13.∫

cos2 x dx =1

2

∫

(

1 + cos(2x))

dx =x

2+

sen (2x)

4+ C

14.

∫

cos6 x dx =1

8

∫

(

1 + cos(2x))3dx =

1

8

∫

(

1 + 3 cos(2x) + 3 cos2(2x) + cos3(2x))

dx

=x

8+

3sen (2x)

16+

1

8

∫

cos2(2x) dx+1

8

∫

cos3(2x) dx

=5x

16+

15

64sen (2x) +

3

64sen (4x) +

1

192sen (6x) + C

15.

∫

sen2x cos2 x dx =

∫

sen2 (2x)

4dx =

∫

1− cos(4x)

8dx =

x

8− sen (4x)

32+ C

16.

∫

dx

3 +√2x+ 5

C.V.= 2x+ 5 = t2 =

∫

t

3 + tdt = t− 3 ln |t+ 3|+ C

=√2x+ 5− 3 ln |

√2x+ 5 + 3|+ C

17.

∫

√

x− 1

x+ 1dx

C.V.=

x− 1

x+ 1= t2

=

∫

4t2

(1− t2)2dt

=

∫

1

(t− 1)2dt+

∫

1

(t+ 1)2dt+

∫

1

t− 1dt−

∫

1

t+ 1dt

= ln |t− 1| − ln |t+ 1| − 1

t− 1− 1

t+ 1+ C

= ln

∣

∣

∣

∣

√x− 1−

√x+ 1√

x− 1 +√x+ 1

∣

∣

∣

∣

+√

x2 − 1 + C

El calculo realizado para deshacer la variable no es inmediato, se debe hacer teniendo en cuenta

las propiedades basicas de las funciones involucradas en el calculo.

152

18.∫

arctan 3√x dx

C.V.= x = t3 = 3

∫

t2 arctan(t) dxI.P.P.=

u = arctan(t)dv = 3t2 dt

=t3 arctan(t)−∫

t3

t2 + 1dt = t3 arctan(t)−

∫

t dt+

∫

t

t2 + 1dt

=t3 arctan(t)− t2

2+

1

2ln |1 + t2|+ C

=x arctan 3√x−

3√x2

2+

1

2ln |1 + 3

√x2|+ C

19.

∫√√

x+ 1 dxC.V.= √x+ 1 = t2 = 4

∫

(

t4 − t2)

dt =4t5

5− 4t3

3+ C

=4

√

(√x+ 1)

5

5−

4

√

(√x+ 1)

3

3+ C

20.

∫

√x+ 2

1 +√x+ 2

dxC.V.= x+ 2 = t2 =

∫

2t2

1 + tdt = t2 − 2t+ 2 ln |t+ 1|+ C

=x+ 2− 2√x+ 2 + 2 ln |

√x+ 2 + 1|+ C

21.∫ √

2 + ex dxC.V.= 2 + ex = t2 =

∫

2t2

t2 − 2dt

= t+

∫

4

t2 − 2dt = t+

√2(

log(√

2− t)

− log(

t+√2))

+ C

=√2 + ex+

22.∫

esenx cos3 x dxC.V.= sen(x) = t =

∫

t2et dtI.P.P.= et

(

t2 − 2t+ 2)

+ C =

=esenx(

sen2(x)− 2sen(x) + 2)

+ C.

23.∫

sen5 x dx

24.∫

cos3 x sen2 x dx

25.∫

tan2 x dx

153

26.∫

tan3 x dx

27.∫

x3√

1− x2 dx

28.∫

senx+ 3 cosx

senx cosx+ 2senxdx

29.∫

senx+ 3 cosx

senx+ 2 cosxdx

30.∫

tan2(3x) sec3(3x) dx

31.∫

4x3 − x3 − 46x2 − 20x+ 153

x3 − 2x2 − 9x+ 18dx

32.∫

cos(log x) dx

33.∫

e4x

e2x + ex + 2dx

34.∫

√

1 + 3√x

3√x

dx

35.∫

x2

(x2 + 1)5/2dx

36.∫

2

x2 − 2x+ 2dx

37.∫

dx

cos2(x)

38.∫

dx

(x+ 1) 3√x+ 2

39.∫

x

(x2 + 1)5/2dx

40.∫

x2(1− x2)−3/2 dx

154

41.∫ √

ex − 1 dx

42.∫

2x2 + 3

x2(x− 1)dx

43.∫

1 +√

1−√x√

xdx

44.∫

1 + senx

1 + cosxdx

45.∫

x2√x− 1 dx

46.∫

sec6(x) dx

47.∫

x3

(1 + x2)3dx

48.∫

dx

ex − 4e−x

49.∫

dx

(2 + x)√1 + x

50.∫

dx

1 + 3√1− x

51.∫

ex cos(2x) dx

52.∫

x2 log(x) dx

53.∫

sen3 x cos2 x dx

54.∫

cos4 x dx

55.∫

tan4 x dx

155

56.∫

sec3 x dx

57.∫

dx

1− senx

58.∫

sen (log x) dx

59.∫

dx

x2√1− x2

60.∫

x√1 + x2

dx

61.∫

dx√e2x − 1

62.∫

e4x

e2x + 2ex + 2dx

63.∫

x5 − 2x3

x4 − 2x2 + 1dx

64.∫

dx3√

(1− 2x)2 −√1− 2x

65.∫

dx

x2√9− x2

66.∫

dx

(x− 1)2(x2 + x+ 1)

67.∫

xm log x dx

68.∫

cos3 x

sen4 xdx

69.∫

x2sen√x3 dx

70.∫

cos2(log x) dx

156

71.∫

(log x)3 dx

72.∫

x(log x)2 dx

Calculo I (Grados TICS UAH) Integrales definidas Curso 2018/19

1. Calcular la integral definida∫ ba f(x)dx de de las siguientes funciones:

(a) f(x) =x3 − x

x3 + x, a = 1, b = 3.

(b) f(x) =x4

(x2 − 1)(x− 1), a = 2, b = 4.

(c) f(x) =x

(x2 + 1)(x+ 1), a = 0, b = 3.

(d) f(x) =x2 − 6x

(x2 − 4x+ 4)(x2 + 6x+ 9), a = 0, b = 1

(e) f(x) =x3

(x− 1)3(x2 − 9), a = −2, b = −1

(f) f(x) =x4

(x2 − 1)2, a = −3, b = −2

2. Calcular la integral definida∫ ba f(x)dx de de las siguientes funciones:

(a) f(x) = cos(3x) cos(7x), a = 0, b = π.

(b) f(x) = senh3(3x), a = 0, b = 1.

(c) f(x) =1

cosh3(3x), a = 1, b = 2.

(d) f(x) = tan(2x) tan(6x), a = 0, b = π.


(a) f(x) =sen x

3− 2 cosx

(b) f(x) =cosxsen x

2 cosx− 3sen x

(c) f(x) =cos 2x+ sen 2x

3 cos 2x− sen 2x

(d) f(x) =sen(x/2)

1− cos(x/2)

(e) f(x) =cosx

2 + sen x

(f) f(x) =cosxsen 2x

cos 2xsen x

4. Calcular integrando por partes la integral indefinida de de las siguientes funciones:

(a) f(x) = x2 log x

(b) f(y) = exsen2(x)

(c) f(x) = xargsenh(x)

(d) f(x) = e3x log x

(e) f(y) = e2x cos3(x)

(f) f(x) = cos4 xsen5x

(g) f(x) = cos3 xsen x

(h) f(y) = cos2 xsen4x

(i) f(x) = x2 arccosx


(a) f(z) = x sec2(x2)

(b) f(t) =t3

(4− 2t4)11

(c) f(z)=(z5+4z2)(z3+1)12

(d) f(x) =sen x cosx√sen x+ 1

(e) f(x) =1

(1 +√x)3

(f) f(x) =2x3 + 3x

(3x4 + 9x2)5

158

6. Calcular las integrales definidas siguientes:

(a)

∫ 3

0x3√

9 + x2dx

(b)

∫ 3

0x√

25− x2dx

(c)

∫ 1

0

1√28− 12x− x2

dx

(d)

∫ a

0

1

x2√x2 + a2

dx

(e)

∫ 0

−1

1

(x− 2)√x+ 2

dx

(f)

∫ 0

−a

x

x4 + a4dx

7. Calcular las integrales definidas siguientes:

(a)

∫ log 6

log 2e−xdx

(b)

∫ 3

1x

x

x+ 2dx

(c)

∫ 2

0

d3

dx3(

x2 + 3x− 1)

dx

(d)

∫ π/4

0sec2 xdx

(e)

∫ 3

1

y1/3 + y1/2

ydy

(f)

∫ −2

3(−4)dx

8. (a) Si

∫ 4

1(f − g)(x)dx = 10,

∫ 1

4(f + g)(x)dx = 3, y

∫ 4

0g(x)dx = 5.

¿cuanto vale∫ 10 g(x)dx?

(b) Si∫ 8

1g(x)dx = 4,

∫ 1

62g(x)dx = 6, y

∫ 8

2g(x)dx = 5.

¿cuanto vale∫ 62 g(x)dx?

Ejercıcios extra algo mas difıciles voluntarios

9. Demostrar que

2n∑

k=1

k = n(n+ 1)

para cualquier n entero positivo y usar este hecho para calcular el area de un triangulo de

base b y altura h usando particiones equidistantes.

(Se hizo en clase con algo de detalle).

10. Demostrar que

6n∑

k=1

k2 = n(n+ 1)(2n+ 1)

para cualquier n entero positivo y usar este hecho para calcular el area de la parabola que

pasa por el orıgen, tiene derivada 0 en el orıgen, y por el punto (a, a2h) donde a > 0, h > 0.

11. Calcula los lımites:

limn→∞

(

n

n2 + 1+

n

n2 + 4+ · · ·+ n

n2 + n2

)

.

159

limn→∞

(

1

n2 + 1+

2

n2 + 4+ · · ·+ n

n2 + n2

)

.

limn→∞

(

1

n+ 1+

1

n+ 2+ · · ·+ 1

n+ n

)

.

Calculo I (Grados TICS UAH) Aplicaciones del caculo integral Curso 2018/19

Longitudes

1. Calcular la longitud de las siguientes funciones:

(a) y = log

(

1

t

)

, para√3 ≤ t ≤

√8.

(b) y =x3

6+

1

2x, para 1 ≤ x ≤ 3.

(c) y = x2, para 0 ≤ x ≤ 1.

(d) y =x2

4− 1

2log x, para 1 ≤ x ≤ 5.

(e) y = log(secx), para 0 ≤ x ≤ π4 .

(f) y = log(sen x), para π6 ≤ x ≤ π

2 .

Soluciones

(a) En este caso la grafica de la curva entre los puntos marcados es

xy

1 2 3 4

−1

−2

L

Dado que y′(t) = −1t , entonces

L =

∫ b

a

√

1 +(

f ′(x))2dx =

∫

√8

√3

√

1 + (−1/t)2 dt =

∫

√8

√3

√t2 + 1

tdt.

Tomando t2 + 1 = u2, la integral resulta inmediata

L =1

2

∫ 3

2

2u

u2 − 1du =

1

2log(u2 − 1)

∣

∣

∣

u=3

u=2=

1

2log(8/3).

(b) Para este ejercicio la curva es de la forma

x

y

1 2 3

1

2

3

4

5

6

L

161

Como y′ =x2

2− 1

2x2, luego

L =

∫ 3

1

√

1 +x4

4+

1

4x4− 1

2dx =

∫ 3

1

√

x4

4+

1

4x4+

1

2dx

=

∫ 3

1

√

(

x2

2+

1

2x2

)2

dx

∫ 3

1

x2

2+

1

2x2dx

=

(

x3

6− 1

2x

∣

∣

∣

∣

3

1

=14

3.

(c) Para este ejercicio la curva es de la forma

x

y

1

1L

Sabemos que y′ = 2x, luego

L =

∫ 1

0

√

1 + 4x2 dx = √

1 + 4x2 = 2x+ z = −∫

√5−2

1

(1 + z2)2

8z3dz

=

(

− 1

8z3− 1

4z− z

8

)

∣

∣

∣

z=√5−2

z=1=

√5

2+

1

4ln(2 +

√5).

OJO! este calculo es algo complicado.

(d) Para este ejercicio la curva es de la forma

x

y

1

1

L

Como y′ = x2 − 1

2x se tiene que

L =

∫ 5

1

√

1 +

(

x

2− 1

2x

)2

dx =

∫ 5

1

√

(

x

2+

1

2x

)2

dx =

∫ 5

1

(

x

2+

1

2x

)

dx

=

(

x2

4+

1

2ln |x|

∣

∣

∣

∣

x=5

x=1

= 46 +1

2ln(5).

162

(e) Para este ejercicio la curva es de la forma

x

y

π41

1

L

Como y′ = sen xcosx se tiene que

L =

∫ π4

0

√

1 + tan2 x dx =

∫ π4

0

1

cosxdx

=− ln(

tan(π

4− x

2

))∣

∣

∣

x=π4

x=0= − ln(tan(π/8)) = − ln(−1 +

√2).

(f) Para este ejercicio la curva es de la forma

x

y

1π2

π6

−1

L

Dado que en este caso y′ = cosxsen x , luego

L =

∫ π2

π6

√

1 +( cosx

sen x

)2dx =

∫ π2

π6

1

sen xdx = ln

(

tan(x

2

))∣

∣

∣

x=π2

x=π6

es decir, que

L = ln(

tan( π

12

))

− ln(

tan(π

4

))

= ln(

tan( π

12

))

= ln(2−√3).

Volumenes y Areas laterales:

2. Dibujar la region R limitada por las curvas dadas y hallar el volumen del solido engendrado

al girar R alrededor del eje X .

(a)

y = sen xy = 0x = π

4x = π

2

(b)

y =√4− x2

y = 0

(c)

y = 1− |x|y = 0

Soluciones:

(a) En el primer caso R resulta:

163

x

y

2π4

π2

1R

Ası, el volumen se resuelve mediante la integral

VX = π

∫ π2

π4

sen2x dx =π

2

∫ π2

π4

(1− cos(2x)) dx =π

8(π + 2).

(b) En este caso R resulta

x

f(x)

1 2−1−2

1

2

R

Ası, el volumen se resuelve mediante la integral

VX = π

∫ 2

−2(4− x2) dx =

32π

3.

(c) Y por ultimo, debido a la simetrıa de la funcion (llamaremos R1 a la region que inte-

graremos usando la simetria)

x

f(x)

1 2−1−2

1

−1

R1

Ası

VX = π

∫ 0

−1(1 + x)2 dx+ π

∫ 1

0(1− x)2 dx = 2π

∫ 1

0(1− x)2 dx =

2π

3.

3. Dibujar la region R limitada por las curvas dadas y hallar el volumen del solido engendrado

al girar R alrededor del eje Y .

(a)

x =√

9− y2

x = 0

(b)

x+ y = 32x+ y = 6x = 0

Soluciones:

164

(a) El area R que debe girar es

x

y

1 2 3

1

2

−1

−2

3

−3

R

Por tanto

VY =

∫ 3

−3π(9− y2) dy = 36π.

Por el metodo de los cilindros se tiene, dado que hay que usar dos ramas de la esfera,

que

VY =

∫ 3

02πx

√

9− x2 dx−∫ 0

−32πx

√

9− x2 dx = 36π.

(b) El area R que debe girar es

x

y

1 2 3

2

4

3

6

R

Por tanto

VY =

∫ 3

0π

(

(y − 6)2

4− (3− y)2

)

dy +

∫ 6

3π

(

(y − 6)2

4

)

dy = 9π.

Por el metodo de los cilindros se tiene, dado que hay que usar dos ramas de la esfera,

que

VY =

∫ 3

02πx ((6− 2x)− (3− x)) dx = 9π.

4. Calcular:

(a) El area lateral de la esfera de radio R.

165

(b) El area lateral del cono generado al girar y = x alrededor del eje x entre x = 0 y

x = 2.

(c) El area lateral de la superficie engendrada al girar alrededor del eje x la curva y = cosxpara 0 ≤ x ≤ π

2 .

Soluciones:

(a) Por la simetrıa de la esfera x2+y2+z2 = R2, puede utilizarse el dibujo del ejercicio 3

(a), donde la funcion superior es y+ =√R2 − x2 y la inferior es y− = −

√R2 − x2.

Ası, su area lateral es

Alat = 2 · 2π∫ R

0

√

R2 − x2

√

1 +x2

R2 − x2dx = 4π

∫ R

0Rdx = 4πR2.

(b) Fijamos una altura hasta la que gira por comodidad, digamos hasta y = H ,

x

y

1 2 3H

1

2

H

R

como y = x entonces

Alat = 2π

∫ H

0(H − x)

√

1 + (−1)2 dx =√2H2π.

(c) Por la definicion se tiene que R es

x

y

1 π

22

1

R

Ası el area lateral sera

Alat =2π

∫ π2

0cos(x)

√

1 + sen2 x) dxCV= senx = t = 2π

∫ 1

0

√

1 + t2 dt

CV=

√

1 + t2 = t+ z

= −2π

∫

√2−1

1

(1 + z2)2

4z3dz

=− π

4

(

− 1

2z2+z2

2+ 2 ln |z|

∣

∣

∣

∣

z=√2−1

z=1

=−1

(√2− 1)2

+(√2− 1)2

2+ 2 ln(

√2− 1).

166

Areas

5. En cada caso, dibujar la region limitada por las curvas y calcular el area:

(a) y = x2, y = x+ 2.

(b) y =√x, y = x3.

(c) y = −√x, y = x− 6, y = 0.

(d) y = |x|, 3y − x = 8.

(e) x = |y|, x = 2.

(f) x = y2, x = 3− 2y2.

(g) Area del trapecio de vertices (−2, 2), (−1, 1), (5, 1), (7,−2).

(h) Calcular c sabiendo que la recta y = c divide a la region del plano limitada por las

curvas y = x2 e y = 4 en dos partes iguales.

(i) Area del primer cuadrante limitada por el eje X , la recta y =√3x y la circunferencia

x2 + y2 = 4.

(j) Area determinada por la interseccion de las curvas x2+y2 = 4 y (x−2)2+(y−2)2 =4.

(k) (a) Calcular el area de la region del primer cuadrante limitada por los ejes coordenados

y la grafica de la parabola y = 1 + a− ax2, a > 0.

(b) Determinar a de manera que el area sea mınima.

(l) Area de la region del primer cuadrante limitada por las curvas:

y = 0, y = 13x

2, x2 + y2 = 4.

Soluciones:

(a) En este primer caso el area que se pide se representa de la forma

x

y

1 2 3−1−2

1

2

3

4

5

A

Por tanto

A =

∫ 3

1

(

(x+ 2)− (x2))

dx =8

3.

(b) En este caso el area que se pide se representa de la forma

167

x

y

1

1

A

Por tanto

A =

∫ 1

0

(√x− (x3)

)

dx =5

12.

(c) Aquı A1 y A2 estan separadas por la recta x = 4.

x

y

2 4 6

−1

−2

A1 A2

Ası

A = A1 +A2 =

∫ 4

0

√xdx+

∫ 6

4(6− x) dx =

22

3.

(d) Claramente A1 y A2 estan se[aradas por la recta x = 0.

x

y

2 4−2

4

2A1 A2

Ası

A = A1 +A2 =

∫ 0

−2

(8 + x

3+ x)

dx+

∫ 4

0

(8 + x

3− x)

dx = 8.

(e) En este caso, viendo el dibujo y usando la simetrıa de la figura A1 y A2 tienen el

mismo area:

x

y

2−2

2

A1 A2

168

A = 2

∫ 2

0(2− x) dx = 4.

(f) En este caso, viendo el dibujo se tienen que calcular dicha area separandola en dos A1

y A2:

x

y

1 3

1

−1

A1 A2

Luego,

A = A1 +A2 = 2

∫ 1

0

√x dx+ 2

∫ 3

1

√

3/2− x/2 dx = 4.

Se ha usado que el area bajo el eje x es negativo y su area, por simetrıa, es igual que

la que esta en la parte positiva del eje y.

(g) En este caso nos dan un trapecio, y sabemos que el area de un trapecio de base mayor

B, base menor b, y altura h es igual a

Atrapecio =B + b

2h.

En este caso el trapecio tiene la forma

x

y

1 2 3 4 5 6 7−1−2

1

−1

2

−2

P1

P2 P3

P4

Dado que el trapecio se puede expresar como la suma de dos triangulos, en este caso

el triangulo de vertices P2, P3 y P4 tiene area

A1 =(5− (−1)) · (1− (−2))

2= 9,

y el trangulo de vertices P1, P2 y P3 tiene area

(5− (−1)) · (2− 1)

2= 3.

169

Luego, su area es

A = A1 +A2 = 12.

(h) Buscamos los valores de c tales que en la grafica, las dos areas coloreadas sean iguales:

y = c

x

y

1 2−1−2

√c−

√c

1

2

3

4

A

A

Para ello, calcularemos primero el area para un c arbitrario, luego tomaremos c = 2para el area total, y luego impondremos que ambas areas son iguales.

Primero el area encerrada entre la parabola y una recta y = c cualquiera es

Ac = 2

∫

√c

0(c− x2) dx =

4c√c

3.

Ası el area para c = 4 es A4 = 32/3, por tanto finalmente buscamos los valores para

los que

A4 =32

3= 2Ac =

8c√c

3⇒ c

√c = 4 ⇒ c =

3√16 ≈ 2′52.

(i) Este es un problema sencillo, pues deberıamos saber calcular el area de un sector

circular de angulo α ,

A∠α =αR2

2.

x

y

1 2

1

2

√3

A

Por tanto, como en este caso α = π/3 y R = 2, entonces

A =2π

3.

Se deja al estudiante que lo trate de hacer mediante el uso de integracion.

170

(j) En este caso tenemos dos circunferencias del mismo radio, de hecho

x

y

2

2

A

por tanto

A=

∫ 2

0

(

√

4− x2 − (2−√

4− (x− 2)2))

dx=

∫ 2

0

√

4− x2dx−∫ 2

0(2−

√

4− (x− 2)2)dx

En el primer caso (CV: x = 2sen(z))

∫ 2

0

√

4− x2 dxCV= 4

∫ π2

0cos2(z) dz = 2

∫ π2

0(1 + cos(2z)) dz = π,

y en el segundo caso (CV: x− 2 = 2sen(z))

∫ 2

0(2−

√

4− (x− 2)2)dx = 4−∫ 2

0

√

4− (x− 2)2dxCV= 4(1−

∫ π2

0cos2(z) dz) = 4−π.

Es decir, que A = 2π − 4.

(k) Este es un problema simbolico, tenemos que representar una parabola generica asum-

iendo dicho parametro a ≥ 0, por tanto corta al eje OY en los puntos ±√

1 + 1/a y

al eje OX en el punto 1 + a, es decir

x

y

1 2√

1+aa−1

1

2

1 + a

A

Ası el area es, en funcion del parametro a, igual a

Aa =

∫

√

1+aa

0(1 + a− ax2) dx =

2

3

√

1

a+ 1(a+ 1).

171

Y dicho valor es mınimo cuando

dAa

da= 0 ⇒

√

1a + 1(2a− 1)

3a= 0 ⇒ a =

1

2.

Por tanto el area mınima se tiene para a = 1/2 valiendo

A1/2 =√3.

(l) En este caso, a region es

x

y

1 2

√3

1

2

A

Por tanto el area pedida sera

A =

∫

√3

0

(

√

4− x2 − x2

3

)

dx =1

2√3+

2π

3.

172

Calculo I (Grados TICS UAH) Convolucion Curso 2018/19

Calcular convolucion de cada uno de los siguientes pares de senales.

1. tet ∗ u(t), siendo u(t) el escalon unidad.

Solucion: Si x(t) = tet entonces x(τ) = τeτ ; y si y(t) = u(t) entonces y(t−τ) = u(t−τ)(hay que verla como funcion en la variable τ , y no en t) que es un salto a la izquierda

acabando en t. Por tanto

tet ∗ u(t) =x(t) ∗ y(t) =∫ ∞

−∞x(τ)y(t− τ) dτ =

∫ ∞

−∞τeτu(t− τ) dτ

=

∫ t

−∞τeτ dτ

IPP=(

(τ − 1)eτ∣

∣

∣

τ=t

τ=−∞

=et(t− 1)− 0 = (t− 1)et.

2. tet ∗ u(t− π)

Solucion: Si x(t) = tet entonces x(τ) = tet, y si y(t) = u(t − π) entonces y(t − τ) =u(t− τ − π) (hay que verla como funcion en la variable τ , y no en t) que es un salto a

la izquierda acabando en t− π. Por tanto

(tet ∗ u(t− π)) =

∫ ∞

−∞x(τ)y(t− τ) dτ =

∫ ∞

−∞τeτu(t− τ − π) dτ

=

∫ t−π

−∞τeτ dτ

IPP=(

τ − 1)eτ∣

∣

∣

τ=t−π

τ=−∞

= (t− 1− π)et−π − 0 = (t− 1− π)et−π.

3. u(t) ∗ u(t)

Solucion: Si si x(t) = u(t) entonces x(τ) = u(τ). Y si y(t) = u(t) entonces y(t − τ) =u(t− τ). Dado que tenemos dos saltos y uno de ellos depende del parametro t, tenemos que

distinguir dos casos:

(a) que t ≤ 0, y (b) que t > 0. En el primer caso

t

y

−2 21t−2 0

1

y(t − τ) x(τ)0

y en el segundo

t

y

−2 21t−2 0

1

y(t − τ) x(τ)

173

Teniendo en cuenta los esquemas, es claro que en el caso (a) (t ≤ 0) como no hay inter-

seccion entre los dominios de los saltos, entonces

u(t) ∗ u(t) = 0.

y en el segundo caso (b) (t > 0), vemos que la interseccion es la zona azul claro, por tanto

u(t) ∗ u(t) =∫ t

01 dτ = t.

Ası, la solucion puede escribirse como una funcion definida a trozos de la forma, que a su

vez puede expresarse como suma de saltos a la derecha:

x(t) ∗ y(t) =

0, si t ≤ 0t, si t > 0

= t u(t).

4. u(t+ d) ∗ u(t+ d), siendo d una constante

5. e−(t−2) u(t− 2) ∗(

u(t+ 1)− u(t− 3))

6. sen(t) u(t) ∗ cos(t) u(t)

7. (1− t) u(t) ∗ et u(t)

Solucion: Si x(t) = (1 − t) u(t) entonces x(t − τ) = (1 − t + τ) u(t − τ). Y si y(t) =et u(t) entonces y(τ) = eτ u(τ). Dado que tenemos dos saltos y uno de ellos depende del

parametro t, tenemos que distinguir dos casos:

(a) que t < 0, y (b) que t > 0. En el primer caso

t

y

−2 21t−2 0

1

x(t − τ) y(τ)0

y en el segundo

t

y

−2 21t−2 0

1

x(t − τ) y(τ)

Teniendo en cuenta los esquemas, es claro que en el caso (a) (t ≤ 0) como no hay inter-

seccion entre los dominios de los saltos, entonces

x(t) ∗ y(t) = 0.

174

y en el segundo caso (b) (t > 0), vemos que la interseccion es la zona azul claro, por tanto

x(t) ∗ y(t) =∫ t

0(1− t+ τ)eτ dt =

(

(−t+ τ)eτ∣

∣

∣

τ=t

τ=0

=0et − (−t)e0 = t.

Ası, la solucion puede escribirse como una funcion definida a trozos de la forma, que a su

vez puede expresarse como suma de saltos a la derecha:

x(t) ∗ y(t) =

0, si t ≤ 0t, si t > 0

= t u(t).

8. et u(t) ∗ et u(t)

9. te−2t u(t) ∗ e−4t u(t)

10. te−2t u(t) ∗ te−4t u(t)

11. e−t u(t) ∗ et u(−t)

12. u(t) e−t ∗ u(1− t)

13. u(t− π) sen(t) ∗ u(t)

14. u(t− π/2) cos(t) ∗ u(t)

15. u(−t) et ∗ u(−t)

16. u(−t) sen(t) ∗ u(π − t)

17. u(−t) et ∗ u(t− 1)

18. u(t− π/2) sen(t) ∗ u(t+ π)

19. u(t− π/2) sen(t) ∗ u(t)

20. u(−t) cos t ∗ u(π − t)

21. u(−t) t ∗ u(2− t) t

22. u(t− 1) (t− 1) ∗ u(t+ 2) (t+ 2)

23. u(t) sen(t) ∗ u(t) sen(t)

24. u(π − t) sen(t) ∗ u(−t)

175

Calculo I (Grados TICS UAH) Transformada de Laplace Unilateral Curso 2018/19

1. Sabiendo que

Letf(t)(s) = 1

s2 − 2s+ 2.

Calcular:

L

e3tf(t)

t

(s), Ltf(t)(s) y

∫ ∞

0

f(t)

tdt.

Solucion: Dado que Letf(t)(s) = Lf(t)(s− 1), entonces

Lf(t)(s) = 1

(s+ 1)2 − 2(s+ 1) + 2=

1

s2 + 1,

por tanto

(∗) L

f(t)

t

(s) =

∫ ∞

s

1

z2 + 1dz =

(

arctan z∣

∣

∣

∞

0=π

2− arctan s,

luego

L

e3tf(t)

t

(s) = L

f(t)

t

(s− 3) =π

2− arctan(s− 3).

Por otro lado,

Ltf(t)(s) = − d

ds(Lf(t)(s)) = 2s

(s2 + 1)2.

Finalmente (ver (*))∫ ∞

0

f(t)

tdt = L

f(t)

t

(s = 0) =π

2.

2. Demostrar que

∫ ∞

0e−st 1− cos(t)

t2dt =

π

2+s

2log

(

s2

s2 + 1

)

− arctan(s).

Solucion: En este caso y dada la definicion de la transformada de Laplace

∫ ∞

0e−st 1− cos(t)

t2dt = L

1− cos(t)

t2

(s).

Hay que tener cuidado porque aunque en general podemos decir que la transformada de

Laplace es lineal, esto es ası si pueden calcularse las transformadas pero, en este caso, no

existe L

1/t2

(s), ası que debemos hacer algo antes. De hecho, dado que

1− cos(t) = 2sen2(t/2),

se tiene que

L1− cos(t) (s) = 1

s− s

s2 + 1,

ası

L

1− cos(t)

t

(s) =

∫ ∞

s

(

1

z− z

z2 + 1

)

dz =

(

log z − 1

2log(z2 + 1)

∣

∣

∣

∣

∞

s

176

es decir,

L

1− cos(t)

t

(s) =1

2log

(

z2

z2 + 1

)∣

∣

∣

∣

∞

s

=1

2log

(

s2 + 1

s2

)

.

Y, por ultimo,

L

1− cos(t)

t2

(s) =1

2

∫ ∞

slog

(

z2 + 1

z2

)

dz =

∫ ∞

s

(

1

2log(

z2 + 1)

− log z

)

dz,

ası, integrando por partes se obtiene lo que se pide, es decir,

L

1− cos(t)

t2

(s) =

(

−z2log

(

z2

z2 + 1

)

+ arctan z

∣

∣

∣

∣

∞

s

=π

2+s

2log

(

s2

s2 + 1

)

− arctan s.

3. Demostrar que

L

sen2(t)

t

=1

4log

(

s2 + 4

s2

)

.

Solucion: Dado que 1− cos(2t) = 2sen2(t), entonces

L

sen2(t)

t

= L

1− cos(2t)

2t

(s) =

∫ ∞

sL(1− cos(2t))/2 (z) dz

=1

2

∫ ∞

s

(

1

z− z

z2 + 4

)

dz,

ası

L

sen2(t)

t

=1

4log

(

z2

z2 + 4

)∣

∣

∣

∣

∞

s

=1

4log

(

s2 + 4

s2

)

.

4. Sabiendo que

Letf(t)(s) = s+ 1

s2 − 2s+ 1.

Se pide L

f(3t)t

(s) y f(3t).

Solucion: Usando la propiedad Letf(t)(s) = Lf(t)(s− 1), por tanto

Lf(t)(s− 1) =s+ 1

s2 − 2s+ 1.

Con esto podemos decir que

Lf(t)(s) = (s+ 1) + 1

(s+ 1)2 − 2(s+ 1) + 1=s+ 2

s2=

1

s+

2

s2,

ası

Lf(3t) (s) = 1

3Lf(t)(s/3) = 1

s+

6

s2,

por tanto

L

f(3t)

t

(s) =

∫ ∞

s

(

1

z+

6

z2

)

dz = log z − 6

z

∣

∣

∣

∣

∞

s

= ∞.

177

Luego podemos decir que no existe dicha transformada.

Por otro lado, dado que

Lf(3t) (s) = 1

3Lf(t)(s/3) = 1

s− 6

s2= L1 + 6t (s) ⇒ f(3t) = 1 + 6t.

5. Sabiendo que

Letf(t) = log

(

s+ 1

s− 1

)

.

Hallar Ltf(2t) y f(2t).

Solucion: Usando la propiedad Letf(t)(s) = Lf(t)(s− 1), por tanto

Lf(t)(s− 1) = log

(

s+ 1

s− 1

)

⇒ Lf(t)(s) = log

(

(s+ 1) + 1

(s+ 1)− 1

)

= log

(

s+ 2

s

)

,

ası

Ltf(2t) (s) = − d

ds

(

1

2Lf(t)(s/2)

)

=1

2s− 1

2(s+ 4),

por tanto

tf(2t) =1

2− 1

2e−4t ⇒ f(2t) =

1− e−4t

2t.

6. Calcular Le−tf(2t) sabiendo que

Ltf(t) =1

s(s2 + 1).

Calcular tambien f(t).

Solucion: En este caso

Lf(t) (s) = L

1

t

(

tf(t))

(s) =

∫ ∞

s

1

z(z2 + 1)dz =

∫ ∞

s

(

1

z− z

z2 + 1

)

dz,

ası

Lf(t) (s) =(

log z − 1

2log(z2 + 1)

∣

∣

∣

∣

∞

s

=1

2log

(

s2

s2 + 1

)

.

Con esto se deduce que

Lf(2t) (s) = 1

2Lf(t) (s/2) = 1

4log

(

s2

s2 + 4

)

.

Y

L

e−tf(2t)

(s) =1

4log

(

(s+ 1)2

(s+ 1)2 + 4

)

.

Teniendo en cuenta el enunciado se sigue que

tf(t) = L1− cos (t)(s) ⇒ f(t) =1− cos (t)

t.

178

7. Calcular

L−1arctan(1/s), y L

sen (t) cos (t)

t

.

Solucion: Si llamamos X(s) = Lx(t)(s) = arctan(1/s), entonces

Ltx(t) (s) = −X ′(s) = −−1s2

1s2

+ 1=

1

s2 + 1= Lsen (t)(s),

por tanto

tx(t) = sen (t) ⇒ x(t) =sen (t)

t.

Por otro lado

L

sen (t) cos (t)

t

= L

sen(2t)

2t

= Lx(2t)(s) = 1

2Lx(t)(s/2) = 1

2X(s/2)

luego

L

sen (t) cos (t)

t

=1

2arctan(2/s).

8. Probar que

L−1

1

(s2 + a2)2

=1

2a3sen(at)− 1

2a2t cos(at).

Solucion: Lo resolveremos aplicando la relacion enre la transformada de Laplace y la con-

volucion, en este caso

1

(s2 + a2)2=

1

a2a

(s2 + a2).

a

(s2 + a2)=

1

a2Lsen (at) ∗ sen (at)(s).

De hecho, (asumiremos que son causales)

sen (at) ∗ sen (at)(σ) =∫ σ

0sen (at)sen (aσ − at) dt =

sen(aσ)− aσ cos(aσ)

2a,

de ahı que se tenga el resultado pues

1

(s2 + a2)2= L

sen(at)− a t cos(at)

2a3

(s).

9. Sabiendo que Lsen(at) = as2+a2

, demostrar que

∫ ∞

0

e−√2tsenh(t)sen(t)

tdt =

π

8

Recordar que

arctan

(

A−B

1 +AB

)

= arctan(A)− arctan(B).

Solucion: Dado que

∫ ∞

0

e−√2tsenhs(t)sen(t)

tdt = L

senh (t)sen (t)

t

(s =√2).

179

Calcularemos dicha transformada por partes, primero dado que

senh (t) =et − e−t

2,

entonces

Lsenh (t)sen (t) (s) = 1

2L

etsen (t)

(s)− 1

2L

e−tsen (t)

(s),

es decir,

Lsenh (t)sen (t) (s) = 1/2

(s− 1)2 + 1− 1/2

(s+ 1)2 + 1=

2s

s4 + 4.

Luego,

L

senh (t)sen (t)

t

(s) =

∫ ∞

s

2z

z4 + 4dz =

(

1

2arctan(z − 1)− 1

2arctan(z + 1)

∣

∣

∣

∣

∞

s

.

Usando la identidad que nos dan, tomando A = s+ 1, y B = s− 1, se tiene que

L

senh (t)sen (t)

t

(s) =1

2arctan

(

2

s2

)

ası tomando s =√2 se alcanza la identidad que nos piden

∫ ∞

0

e−√2tsenh(t)sen(t)

tdt =

1

2arctan (1) =

π

8.

10. Utilizando la convolucion, hallar

L−1

s+ 1

s4 + s2

.

Solucion: La descomposicion en fracciones simples de la expresion racional que tenemos

es

s+ 1

s4 + s2=

1

s+

1

s2+

−s− 1

s2 + 1= L1(s) + Lt(s) + L−sen(t) + cos(t)(s),

por tanto la solucion es

L−1

s+ 1

s4 + s2

= 1 + t− sen(t)− cos(t)

11. Calcular Lf(t)(s), siendo

f(t) =cos(at)− cos(bt)

t.

Solucion: Dado que

L

f(t)

t

(s) =

∫ ∞

sLf(t)(z) dz

se tiene que

L

cos(at)− cos(bt)

t

(s) =

∫ ∞

s

(

z

z2 + a2− z

z2 + b2

)

dz

=

(

1

2log(u2 + a2)− 1

2log(u2 + b2)

∣

∣

∣

∣

u→∞

u=s

= log

√

u2 + a2

u2 + b2

∣

∣

∣

∣

∣

∞

s

=1

2log

s2 + b2

s2 + a2.

180

12. Calcular L−1

log(

2s−12s+1

)

Solucion: Buscamos una funcion cuya transformada sea dicho logaritmo, pero sabemos que

la derivada de dicho logaritmo es

g(s) = log

(

2s− 1

2s+ 1

)

, g′(s) =2

2s− 1− 2

2s+ 1=

1

s− 1/2− 1

s+ 1/2.

Luego si

F (s) = Lf(t)(s) = g(s)

entonces se tiene que

Ltf(t)(s) = −F ′(s) = −g′(s) = Le− t2 (s)− Le t

2 (s).

Por tanto se tiene que

f(t) =e−

t2 − e

t2

t.

13. Sabiendo que

Le−tf(t)(s) = log

(

s− 1

s+ 1

)

.

Calcular Lf(t)(s), Ltf(2t)(s), y f(2t).

Solucion: Usando la propiedad Leatf(t)(s) = Lf(t)(s− a) se tiene que

Lf(t)(s+1) = log

(

s− 1

s+ 1

)

⇒ Lf(t)(s) = log

(

(s− 1)− 1

(s− 1) + 1

)

= log

(

s− 2

s

)

,

ası

Ltf(2t) (s) = − d

ds

(

1

2Lf(t)(s/2)

)

=1

2s− 1

2(s− 4),

por tanto

tf(2t) =1

2− 1

2e4t ⇒ f(2t) =

1− e4t

2t.

14. Sabiendo que

Le2tf(t)(s) = log

(

s+ 2

s− 2

)

.

Calcular Lf(t)(s), Ltf(t/3)(s), y f(t/3).

Solucion: Usando la propiedad Leatf(t)(s) = Lf(t)(s− a) se tiene que

Lf(t)(s− 2) = log

(

s+ 2

s− 2

)

⇒ Lf(t)(s) = log

(

(s+ 2) + 2

(s+ 2)− 2

)

= log

(

s+ 4

s

)

,

ası

Ltf(t/3) (s) = − d

ds(3Lf(t)(3s)) = 3

s− 9

3s+ 4,

por tanto

tf(t/3) = 3− 3e−4t/3 ⇒ f(t/3) =3− 3e−4t/3

t.

181

Calculo I (Grados TICS UAH) Ecuaciones Diferenciales Curso 2018/19

Determinar la solucion contınua de la ecuacion diferencial con valores iniciales:

1.

x′′ − 2x′ + x = sen(t) u(t− π/2),

x(0) = 0, x′(0) = 0

2.

x′′ − 2x′ + x = cos(t) u(t− π/2),

x(0) = 0, x′(0) = 0

3.

x′′ + 2x′ + x = sen(t) u(t− π/2),

x(0) = 0, x′(0) = 0

4.

x′′ + 2x′ + x = cos(t) u(t− π/2),

x(0) = 0, x′(0) = 0

5.

x′′ + x = sen(t),

x(0) = 0, x′(0) = 0

6.

x′′ − 2x′ + x = et u(t− 1),

x(0) = 0, x′(0) = 1

7. tx′(t) + x(t) = sen(t)

8. tx′(t) + x(t) = sen(2t)

9.

x′′ + x = u(t− π),

x(0) = 0, x′(0) = 1

10.

x′′ − x = e−t u(t− 1),

x(0) = 0, x′(0) = 1

11.

x′′ + x = cos(t),

x(0) = 0, x′(0) = 0

12.

x′′ − x = t u(t− 1),

x(0) = 0, x′(0) = 2

13.

x′′ + 4x = sen(2t),

x(0) = 0, x′(0) = 0

14.

x′′ + 3y′ + 3y = 0,

x′′ + 3y = te−t,

x(0) = 0, y(0) = 0,

x′(0) = 2

Sistema de Ecuaciones diferenciales con circuitos.

Dado el circuito RLC con E(t) = 60U , L = 1H , R = 50Ω, C = 10−4F , siendo las intensidades

iniciales i1(0) = 0, i2(0) = 0, resolver el sistema de ecuaciones diferenciales:

i1i3i2

R

L

CE

Ldi1dt

+Ri2 = E(t),

RCdi2dt

+ i2 − i1 = 0

182

Soluciones:

1.

x′′ − 2x′ + x = sen(t) u(t− π/2),

x(0) = 0, x′(0) = 0

Si llamamos X(s) = Lx(t)(s), entonces aplicando las propiedades

Lx′(t)(s) = sX(s)− x(0+), Lx′′(t)(s) = s2X(s)− sx(0+)− x′(0+),

dado que la transformada es lineal en estos casos, se sigue

Lx′(t)(s) = sX(s), Lx′′(t)(s) = s2X(s),

ası la ecuacion diferencial al aplicarle la transformada de Laplace resulta

(s2 − 2s+ 1)X(s) = Lsen(t) u(t− π/2)(s)

Ahora aplicamos la propiedad

Lh(t− t0)u(t− t0)(s) = e−st0Lh(t)(s).

Dado que este caso t0 = π/2 y h(t− π/2) = sen t, entonces h(t) = sen (t+ π/2) = cos t,luego

(s− 1)2X(s) = e−sπ2

s

s2 + 1,

es decir,

(∗) X(s) = e−sπ2

s

(s− 1)2(s2 + 1).

Dado ques

(s− 1)2(s2 + 1)=

1

2(s− 1)2− 1

2 (s2 + 1).

Entonces, podemos decir que

s

(s− 1)2(s2 + 1)= L

t

2et − 1

2sen t

(s) = Lg(t)(s).

Aplicando de nuevo la propiedad anterior, se tiene que

X(s) = Lx(t)(s) = e−sπ2 Lg(t)(s) = Lg(t− π/2)u(t− π/2)(s),

es decir, x(t) =

((

t

2− π

4

)

et−π2 +

1

2cos t

)

u(t− π/2) .

2.

x′′ − 2x′ + x = cos(t) u(t− π/2),

x(0) = 0, x′(0) = 0

Si llamamos X(s) = Lx(t)(s), entonces aplicando las propiedades Lx′(t)(s) =sX(s) − x(0+), Lx′′(t)(s) = s2X(s) − sx(0+) − x′(0+), dado que la transformada

es lineal en estos casos, se sigue

Lx′(t)(s) = sX(s), Lx′′(t)(s) = s2X(s),

183


(s2 − 2s+ 1)X(s) = Lcos(t) u(t− π/2)(s)



Dado que este caso t0 = π/2 y h(t−π/2) = cos t, entonces h(t) = cos (t+π/2) = −sen t,luego

(s− 1)2X(s) = −e−sπ2

1

s2 + 1,

es decir,

(∗) X(s) = −e−sπ2

1

(s− 1)2(s2 + 1).

Dado que−1

(s− 1)2(s2 + 1)= − s

2 (s2 + 1)+

1

2(s− 1)− 1

2(s− 1)2.

es decir

−1

(s− 1)2(s2 + 1)= L

− t

2et +

1

2et − 1

2cos t

(s) = Lg(t)(s).



es decir, x(t) =

((

π

4− t

2+

1

2

)

et−π2 − 1

2sen t

)

u(t− π/2) .

3.

x′′ + 2x′ + x = sen(t) u(t− π/2),

x(0) = 0, x′(0) = 0



Lx′(t)(s) = sX(s), Lx′′(t)(s) = s2X(s),


(s2 + 2s+ 1)X(s) = Lsen(t) u(t− π/2)(s)



Dado que este caso t0 = π/2 y h(t−π/2) = sen(t), entonces h(t) = sen(t+π/2) = cos(t),luego

(s+ 1)2X(s) = e−sπ2

s

s2 + 1,

184

es decir,

(∗) X(s) = e−sπ2

s

(s+ 1)2(s2 + 1).

Dado que−1

(s− 1)2(s2 + 1)=

1

2 (s2 + 1)− 1

2(s+ 1)2,

entonces

−1

(s− 1)2(s2 + 1)= L

− t

2e−t +

1

2sen(t)

(s) = Lg(t)(s).



es decir, x(t) =

((

π

4− t

2

)

e−t+π2 − 1

2cos(t)

)

u(t− π/2) .

4.

x′′ + 2x′ + x = cos(t) u(t− π/2),

x(0) = 0, x′(0) = 0



Lx′(t)(s) = sX(s), Lx′′(t)(s) = s2X(s),


(s2 + 2s+ 1)X(s) = Lsen(t) u(t− π/2)(s)Ahora aplicamos la propiedad

Lh(t− t0)u(t− t0)(s) = e−st0Lh(t)(s).Dado que este caso t0 = π/2 y h(t − π/2) = cos(t), entonces h(t) = cos(t + π/2) =−sin(t), luego

(s+ 1)2X(s) = −e−sπ2

1

s2 + 1,

es decir,

(∗) X(s) = −e−sπ2

1

(s+ 1)2(s2 + 1).

Dado que−1

(s− 1)2(s2 + 1)=

s

2 (s2 + 1)− 1

2(s+ 1)− 1

2(s+ 1)2,

entonces se sigue que

−1

(s− 1)2(s2 + 1)= L

−1

2e−t − t

2e−t +

1

2cos(t)

(s) = Lg(t)(s).

Aplicando de nuevo la propiedad anterior, se obtiene


es decir, x(t) =

((

π

4− t

2− 1

2

)

e−t+π2 +

1

2sin(t)

)

u(t− π/2) .

185

5.

x′′ + x = sen(t),

x(0) = 0, x′(0) = 0



Lx′(t)(s) = sX(s), Lx′′(t)(s) = s2X(s),


(s2 + 1)X(s) =1

s2 + 1.

Ası

(∗) Lx(t)(s) = X(s) =1

(s2 + 1)2= Lsen(t) ∗ sen(t)(s).

Y dado que (asumimos que ambas son causales), se tiene que

x(t) = (sen(t) ∗ sen(t))(t) = 1

2(sin(t)− t cos(t)),

es decir, x(t) =1

2(sin(t)− t cos(t)) .

6.

x′′ − 2x′ + x = et u(t− 1),

x(0) = 0, x′(0) = 1



Lx′(t)(s) = sX(s), Lx′′(t)(s) = s2X(s)− 1,


(s2 − 2s+ 1)X(s)− 1 = Let u(t− 1)(s)



Dado que este caso t0 = 1 y h(t− 1) = et, entonces h(t) = et+1 = e et, luego

(s− 1)2X(s) = 1 + e−s e

s− 1,

es decir,

(∗) X(s) =1

(s− 1)2+ e−s e

(s− 1)3.

En este caso, tomaremos g(t) = e t2et/2. Aplicando de nuevo la propiedad anterior, se

tiene que

Lx(t)(s) = Ltet(s) + e−sLg(t)(s) = Ltet + g(t− 1)u(t− 1)(s),

es decir, x(t) = tet +(t− 1)2

2et u(t− 1) .

186

7. tx′(t) + x(t) = sen(t)

Si llamamos X(s) = Lx(t)(s), entonces aplicando la propiedad

Lx′(t)(s) = sX(s)− x(0+),

dado que la transformada es lineal en estos casos, se sigue que

Lx′(t)(s) = sX(s)− x(0+)

por tanto

Ltx′(t)(s) = −(Lx′(t)(s))′ = −X(s)− sX ′(s).

Ası, la ecuacion diferencial al aplicarle la transformada de Laplace resulta

−sX ′(s) =1

s2 + 1⇒ X ′(s) =

−1

s(s2 + 1)=

−1

s+

s

s2 + 1= Lcos (t)− 1(s),

Por tanto, dado que

Ltx(t)(s) = −X ′(s) = L1− cos (t)(s),

se deduce que, x(t) =1− cos (t)

t.

8. tx′(t) + x(t) = sen(2t)

Si llamamosX(s) = Lx(t)(s), entonces aplicando la propiedad Lx′(t)(s) = sX(s)−x(0+), dado que la transformada es lineal en estos casos, se sigue

Lx′(t)(s) = sX(s)− x(0+) ⇒ Ltx′(t)(s) = −(Lx′(t)(s))′ = −X(s)− sX ′(s),


−sX ′(s) =2

s2 + 4

luego

X ′(s) =−2

s(s2 + 4)=

s

2 (s2 + 4)− 1

2s= L

cos (2t)

2− 1

2

(s).

Por tanto, dado que

Ltx(t)(s) = −X ′(s) = L

−cos (2t)

2+

1

2

(s),

se deduce que, x(t) =1− cos (2t)

2t.

9.

x′′ + x = u(t− π),

x(0) = 0, x′(0) = 1


Lx′′(t)(s) = s2X(s)− sx(0+)− x′(0+) = s2X(s)− 1.

187

Ası la ecuacion diferencial al aplicarle la transformada de Laplace resulta

(s2 + 1)X(s)− 1 = Lu(t− π)(s).



Dado que este caso t0 = π y h(t− π) = 1, entonces h(t) = 1, luego

(s2 + 1)X(s) = 1 + e−πs 1

s,

es decir,

(∗) X(s) =1

s2 + 1+ e−πs 1

s(s2 + 1).

En este caso, dado que

1

s(s2 + 1)=

1

s− s

s2 + 1= L1− cos(t)(s) = Lg(t)(s).


Lx(t)(s)=Lsen(t)(s) + e−πsLg(t)(s)=Lsen(t) + g(t− π)u(t− π)(s),

es decir, x(t) = sen(t) + (1 + cos(t)) u(t− π) .

10.

x′′ − x = e−t u(t− 1),

x(0) = 0, x′(0) = 1


Lx′′(t)(s) = s2X(s)− sx(0+)− x′(0+) = s2X(s)− 1.


(s2 − 1)X(s)− 1 = Le−t u(t− 1)(s)



Dado que este caso t0 = 1 y h(t− 1) = e−t, entonces h(t) = e−1−t = e−1 e−t, luego

(s− 1)(s+ 1)X(s) = 1 + e−s e−1

s+ 1,

es decir,

(∗) X(s) =1

(s− 1)(s+ 1)+ e−s e−1

(s− 1)(s+ 1)2.


e−1

s(s2 + 1)=− e−1

4(s+ 1)− e−1

2(s+ 1)2+

e−1

4(s− 1),

188

es decir,

e−1

s(s2 + 1)= L

−1

4e−t−1 − t

2e−t−1 +

1

4et−1

(s) = Lg(t)(s).

y que1

(s− 1)(s+ 1)=

1

2(s− 1)− 1

2(s+ 1)= L

1

2et − 1

2e−t

(s).


Lx(t)(s) =L

1

2et − 1

2e−t

(s) + e−sLg(t)(s)

=L

et − e−t

2+ g(t− 1)u(t− 1)

(s).

Con todo esto, la solucion es x(t) =et − e−t

2+

((

1

4− t

2

)

e−t +1

4et−2

)

u(t− 1) .

11.

x′′ + x = cos(t),

x(0) = 0, x′(0) = 0


Lx′′(t)(s) = s2X(s)− sx(0+)− x′(0+) = s2X(s),


(s2 + 1)X(s) =s

s2 + 1,

luego

(∗) X(s) =s

(s2 + 1)2= Lsen(t) ∗ cos(t)(t),

y dado que (se asumen las senales causales)

(sen(t) ∗ cos(t))(σ) = σ

2sen(σ).

Por tanto, x(t) =t

2sen(t) .

12.

x′′ − x = t u(t− 1),

x(0) = 0, x′(0) = 2


Lx′′(t)(s) = s2X(s)− sx(0+)− x′(0+) = s2X(s)− 2,


(s2 − 1)X(s)− 2 = Lt u(t− 1)(s)

189



Dado que este caso t0 = 1 y h(t− 1) = t, entonces h(t) = t+ 1, luego

(s− 1)(s+ 1)X(s) = 2 + e−s

(

1

s2+

1

s

)

,

es decir,

(∗) X(s) =2

(s− 1)(s+ 1)+ e−s 2(s+ 1)

(s− 1)(s+ 1)s2=

2

(s− 1)(s+ 1)+ e−s 2

(s− 1)s2.


2

(s− 1)s2= − 1

s2− 1

s+

1

s− 1= L

−t− 1 + et

(s) = Lg(t)(s).

y que2

(s− 1)(s+ 1)=

1

2(s− 1)− 1

2(s+ 1)=L

et − e−t

(s).


Lx(t)(s) = L

et − e−t

(s) + e−sLg(t)(s),

Es decir,

Lx(t)(s) = L

et − e−t + g(t− 1)u(t− 1)

(s),

Por tanto, la solcuion es x(t) = et − e−t +(

−t+ et−1)

u(t− 1) .

13.

x′′ + 4x = sen(2t),

x(0) = 0, x′(0) = 0


Lx′′(t)(s) = s2X(s)− sx(0+)− x′(0+) = s2X(s).


(s2 + 4)X(s) =2

s2 + 4,

luego

(∗) X(s) =2

(s2 + 4)2=

1

2Lsen(2t) ∗ cos(2t)(t),

y dado que (se asumen las senales causales)

(sen(2t) ∗ sen(2t))(σ) = 1

4(sen(2σ)− 2σ cos(2σ)).

Por tanto, x(t) =1

8(sen(2t)− 2t cos(2t)) .

Calculo I (Grados TICS UAH) Sucesiones y Series numericas Curso 2018/19

1. Calcule los siguientes lımites:

(a) limn→∞

(√n2 + 1 +

√n+ 1√

n2 + 1−√n+ 1

)

√n+1

(b) limn→∞

n3 + 3n2 − 2n+ 2√n7 + 2n5 + n4 + 3n2 + 1

(c) limn→∞

√3n2 + 1−

√2n2 − 1

2n+ 1

Solucion:

(a) Es un lımite del tipo 1∞, usaremos el Resultadoprop:numE5.1.1 de teorıa, y obtenemos e2.

(b) Vemos que el factor dominante de cada termino de la fraccion es n3 y n3.5 por tanto el

lımite es 0.

(c) De nuevo vemos que los factores dominantes son del mismo grado, y que por tanto el

lımite es (√3−

√2)/2.

2. Estudie la convergencia de las siguientes series empleando los diferentes criterios vistos en

clase:

(a)

∞∑

n=1

(

n+ 1

n

)n

,

(b)

∞∑

n=1

(

n2

n2 + 1

)n

,

(c)

∞∑

n=1

(

n2

n2 + 1

)n2

,

(d)

∞∑

n=1

n2 − 1

n2 + 1cos

1

n2,

(e)

∞∑

n=1

1

(n+ 1)!,

(f)

∞∑

n=1

(

2

n+ 1

)2

,

(g)

∞∑

n=1

n+ 2√n

,

(h)

∞∑

n=1

3n

(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3),

(i)

∞∑

n=1

(

2n2 + 1

3n2 + n

)n

,

(j)

∞∑

n=1

2n+ 1

2n2(n+ 1)2.

Solucion:

(a) Divergente pues an → e 6= 0.

(b) Divergente pues an → e0 = 1 6= 0,

(c) Divergente pues an → e−1 6= 0,

(d) Divergente pues an → 1 6= 0,

(e) Convergente, ya que por el criterio del cociente:

limn→∞

an+1

an= 0 < 1.

191

(f) Convergente, ya que por el criterio de comparacion por paso al lımite, dado que

(

2

n+ 1

)2

≈ 4

n2,

y la serie armonica de ındice p = 2 > 1 es convergente, entonces la nuestra tambien

converge.

(g) Divergente pues an → ∞ 6= 0,

(h) Convergente pues por el criterio de comparacion por paso al lımite, dado que

3n

(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)≈ 3

n2,


converge.

(i) Convergente pues por el criterio de la raiz,

n√an =

2n2 + 1

3n2 + n≈ 2

3< 1.

(j) Convergente pues por el criterio de comparacion por paso al lımite, dado que

2n+ 1

2n2(n+ 1)2≈ 1

n3,


converge.

3. Sea α un numero real, α ≥ 1. Estudie, segun los valores de α, el caracter de la serie

∞∑

n=1

(

αn− 1

3n+ 1

)n2

.

Solucion: Para 1 ≤ α ≤ 3 converge. Basta aplicar el criterio de la raiz, y para el caso α = 3debemos usar de nuevo el Resultado

prop:numE5.1.1. Obteniendo como lımite e−2/3 < 1, por tanto

dicho caso es tambien convergente.

4. Analıce, segun los valores del parametro real a, el caracter de la serie

∞∑

n=1

2n + an

3n.

Solucion: Dado que es la suma de dos series geometricas y asumimos que a ≥ 0, se tiene

que la serie converge para 0 ≤ a < 3.

5. Indique si la siguiente igualdad es correcta o no lo es:

∞∑

n=1

2πn + 3en

5n= 3

π

5− π+ 2

e

5− e.

Solucion: No es correcta, si la sumamos usando la teorıa (ver ejemploEx:1.2.15.2.1), entonces, lo

correcto serıa∞∑

n=1

2πn + 3en

5n= 2

π

5− π+ 3

e

5− e.

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