Calculo - engrenagens cilíndricas
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Calculando engrenagens cilndricas
Em uma empresa, o setor de manuteno mecnica desenvolve
um importante papel na continuidade do fluxo da produo. Aps
o diagnstico do defeito, realizam-se a desmontagem, limpeza
dos componentes, substituio dos elementos danificados, mon-
tagem, lubrificao e ajustes finais da mquina.
No entanto, muitas vezes no existem peas de reposio dispo-
nveis para consertar a mquina, principalmente quando ela an-
tiga.
Por causa disso, o setor de manuteno de muitas empresas
possui algumas mquinas operatrizes destinadas a produzir ele-
mentos mecnicos para a reposio de peas de mquinas sob
manuteno.
Esta uma situao que pode estar ocorrendo agora na sua em-
presa: a mquina foi desmontada e percebeu-se que uma de su-
as engrenagens est quebrada.
Voc acha que seria capaz de levantar os dados desse elemento
da mquina a partir dos fragmentos restantes e executar os cl-
culos para a confeco de uma nova engrenagem?
Se a sua resposta no, fique ligado nesta aula. Nela vamos en-
sinar a calcular engrenagens cilndricas de dentes retos.
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Engrenagem cilndrica de dentes retos
A engrenagem cilndrica de dentes
retos a mais comum que existe.
Para a sua construo necessrio considerar uma srie de da-
dos, a saber:
nmero de dentes (Z)
dimetro externo (de)
mdulo (m)
dimetro primitivo (dp)
dimetro interno (di)
altura do dente (h)
altura da cabea (a)
altura do p do dente (b)
passo (p)
Clculo do mdulo
O mdulo (m) de uma engrenagem a medida que representa a
relao entre o dimetro primitivo (dp) dessa mesma engrena-
gem e seu nmero de dentes (Z). Essa relao representada
matematicamente do seguinte modo:
m = z
dp
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Dica
Os elementos dessa frmula podem ser usados tambm para
calcular o dimetro primitivo da engrenagem dp = m Z.
Servem igualmente para calcular o nmero de dentes: Z = .m
dp
Com o mdulo e o nmero de dentes determina-se a ferramenta
a ser usada para fresar a engrenagem.
O mdulo tambm auxilia nos clculos para se encontrar todas as
outras dimenses da engrenagem j citadas.
Por causa disso, na realidade, possvel calcular o mdulo partin-
do de qualquer medida conhecida da engrenagem a ele relaciona-
da. Por exemplo, voc pode calcular o mdulo a partir da medida
do dimetro externo e do nmero de dentes da engrenagem.
Ento, vamos voltar ao problema inicial: voc juntou os fragmen-
tos da engrenagem e contou o nmero de dentes: Z = 60.
Depois voc mediu o dimetro externo e obteve: de = 124mm.
Guarde esses dados para usar daqui a pouco.
Clculo do dimetro externo
O dimetro externo igual
ao dimetro primitivo (dp)
mais duas vezes a altura
da cabea do dente (a)
que, por sua vez, igual a
um mdulo. Isso fcil de
verificar, se voc observar
o desenho a seguir.
Matematicamente, isso corresponde a: de = dp + 2m
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120
Como, para o nosso problema, j temos o valor do dimetro ex-
terno (que 124mm), no precisamos calcul-lo.
Para resolver o problema de construo da engrenagem que a-
presentamos a voc, preciso calcular o mdulo a partir das me-
didas que temos. Vamos ento trabalhar essa frmula de modo
que ela nos auxilie a fazer o clculo de que necessitamos.
J vimos l na Dica que dp = m Z. Como no temos um valor
numrico para dp, fazemos a substituio dentro da frmula de
clculo do dimetro externo (de). Ento temos:
de = dp + 2 m
de = m Z + 2 m
A partir dessa frmula, temos finalmente: de = m (Z + 2)
Substituindo os valores: 124 = m (60 + 2)
124 = m 62
m = 62
124
m = 2
Portanto, o mdulo da engrenagem que voc precisa construir
igual a 2. Observe como usamos a frmula do dimetro externo
para fazer esse clculo. Isso pode ser feito usando qualquer dado
conhecido relacionado ao mdulo.
Tente voc tambm
At agora estudamos as frmulas para calcular o dimetro primi-
tivo, o mdulo, o nmero de dentes e o dimetro externo de uma
engrenagem cilndrica de dentes retos.
Vamos aprender isso tudo, fazendo os exerccios a seguir.
Exerccio 1
Calcular o dimetro primitivo de uma engrenagem cilndrica de
dentes retos, sabendo que m = 3 e Z = 90.
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Soluo
Dados: m = 3
Z = 90
dp = ?
dp = m Z
dp = 3 90
dp =
Exerccio 2
Calcule o nmero de dentes da engrenagem que tenha um di-
metro primitivo (dp) de 240mm e um mdulo igual a 4.
Soluo
Dados: dp = 240mm
m = 4
Z = m
dp
Z = 4
240
Z =
Exerccio 3
Calcular o mdulo de uma engrenagem cilndrica de dentes retos
cujo dimetro externo (de) igual a 45mm e o nmero de dentes
(Z) 28.
Soluo
Dados: de = 45
Z = 28
m = ?
de = m (Z + 2)
45 = m (28 + 2)
45 =
m =
Exerccio 4
Qual o dimetro externo de uma engrenagem cilndrica de dentes
retos cujo mdulo (m) igual a 3,5 e o nmero de dentes (Z) igual
a 42.
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Soluo
Dados disponveis: m = 3,5
Z = 42
de = ?
de = m (Z + 2)
de =
Clculo da altura total do dente
A altura total (h) do dente de uma engrenagem cilndrica de den-
tes retos igual a 2 mdulos mais 6
1 de um mdulo. O desenho
a seguir ilustra esta definio. Observe.
Isso pode ser representado matematicamente:
h = 1m + 1m + 6
1 m
h = 6
6m +
6
6m +
6
1 m
h = 6
13 m
h = 2,166 . m
Voltemos engrenagem que voc tem de fabricar. J calculamos
o valor do mdulo: m = 2. A altura total do dente (h) ser:
h = 2,166 m
h = 2,166 2
h = 4,33mm
Ento, a altura do dente da engrenagem deve ser de 4,33mm.
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Dica
A altura total do dente da engrenagem , tambm, a soma da al-
tura da cabea do dente (a) mais a altura do p do dente (b), ou
seja, h = a + b.
Tente voc tambm
Para ver como esse clculo simples, faa os exerccios que
preparamos para voc.
Exerccio 5
Calcule a altura total (h) dos dentes de uma engrenagem cujo
mdulo 1,75.
Soluo
h = 2,166 m
h =
Exerccio 6
Calcule o mdulo de uma engrenagem cuja altura total (h) do
dente 4,33mm.
Soluo
m = 2,166
h
m =
Clculo da altura do p do dente da engrenagem
A altura do p do dente da engrenagem (b) 1m + 6
1m, ou seja:
h = 1m + 6
1m
-
124
h = 6
6m +
6
1m
h = 6
7m
h = 1,166 . m
Vamos ento calcular a altura do p do dente da engrenagem do
nosso problema. J sabemos que o mdulo dessa engrenagem
2. Assim:
b = 1,166 m
b = 1,166 2
b = 2,332mm
Desse modo, a altura do p do dente da engrenagem (b) de
2,332mm.
Tente voc tambm
Agora vamos propor mais alguns clculos parecidos para voc
exercitar esse novo conhecimento.
Exerccio 7
Calcule a altura do p dente (b) de uma engrenagem cilndrica,
sabendo que o mdulo igual a 1,5.
Soluo
b = 1,166 m
b =
Exerccio 8
Calcule o mdulo de uma engrenagem cilndrica, sabendo que a
altura do p do dente (b) de 3,498mm.
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125
b = 1,166 m
m = 1,166
b
m =
Clculo de dimetro interno
O dimetro interno (di) igual ao dime-
tro primitivo (dp) menos 2 vezes a altura
do p do dente (b).
Matematicamente isso o mesmo que: di = dp - 2b
Como b igual a 1,166 m, podemos escrever:
di = dp - 2 1,166 m
Portanto:
di = dp - 2,33 m
Como dp = m Z, tambm possvel fazer a substituio:
di = m Z - 2,33 m
Reescrevendo, temos:
di = m (Z - 2,33)
Substituindo os valores da engrenagem que voc precisa constru-
ir, temos:
di = 2(60 - 2,33)
di = 2 57,67
di = 115,34mm
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Tente voc tambm
Este mais um clculo superfcil. Treine um pouco nos exerc-
cios a seguir.
Exerccio 9
Calcule o dimetro interno de uma engrenagem cilndrica que tem
um dimetro primitivo de 75mm e um mdulo igual a 1,5.
Soluo
di = dp - 2,33 m
di = 75 - 2,33 1,5
di =
Exerccio 10
Calcule o dimetro interno de uma engrenagem cilndrica com 50
dentes e mdulo igual a 1,5.
Soluo
di = m (Z - 2,33)
di =
Exerccio 11
Calcule o mdulo de uma engrenagem da qual voc conhece o
dimetro interno (di = 37,67mm) e o nmero de dentes (Z = 40).
Soluo
di = m (Z -2,33)
37,67 = m (40 - 2,33)
m =
Clculo do passo
O passo a medida do arco
da circunferncia do dime-
tro primitivo que correspon-
de a um dente e a um vo
da engrenagem.
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Ele calculado a partir do permetro da circunferncia do dime-
tro primitivo (dp ) dividido pelo nmero de dentes da engrena-
gem, porque o nmero de dentes corresponde ao nmero de
passos. Matematicamente isso d:
p = Z
. dp
Como dp = m Z, podemos escrever: p = Z
. Z . m
Como Z
Z = 1, teremos: p = m
Assim, para calcular o passo, empregamos a frmula p = m .
Com ela, vamos calcular o passo da engrenagem que voc tem
de construir:
p = 2 3,14
p = 6,28mm
Portanto, o passo dessa engrenagem 6,28mm.
Tente voc tambm
O passo um dado muito importante entre as medidas de uma
engrenagem. Exercite esse clculo com ateno.
Exerccio 12
Calcule o passo de uma engrenagem cujo mdulo 3.
Exerccio 13
Sabendo que o passo de uma engrenagem 12,56mm, calcule
seu mdulo.
Clculo da distncia entre eixos
Uma engrenagem jamais trabalha sozinha. Tendo isso em mente,
d para perceber que, alm das medidas que j calculamos, pre-
cisamos conhecer tambm a distncia entre os centros dos eixos
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128
que apoiam as engrenagens. Essa medida se baseia no ponto de
contato entre as engrenagens.
Esse ponto est lo-
calizado na tangente
das circunferncias
que correspondem
aos dimetros primi-
tivos das engrena-
gens.
Assim, a distncia entre os centros (d) igual metade do di-
metro primitivo da primeira engrenagem 2
dp1 mais a metade do
dimetro primitivo da segunda engrenagem 2
dp2 .
Portanto d = 2
dp1 +
2
dp2 ou d =
2
dpdp21 ,
Na mquina sob manuteno de nosso problema inicial, a engre-
nagem 1 tem o dimetro primitivo de 120mm (j dado) e o dp da
engrenagem 2 tem 60mm. Substituindo os valores, podemos cal-
cular:
d = 2
60120
d = 2
180
d = 90mm
Tente voc tambm
Releia essa parte da lio e faa o seguinte exerccio.
Exerccio 14
Sabendo que o nmero de dentes da engrenagem 1 60 e o da
engrenagem 2 150 e que seus mdulos so iguais a 2, calcule
a distncia entre seus centros.
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Dica
Duas engrenagens acopladas sempre tm o mesmo mdulo.
Soluo
dp1 = m . Z
dp1 =
dp2 =
d = 2
dpdp21
d =
Teste o que voc aprendeu
Como voc pde perceber no decorrer da lio, os clculos de
todas as medidas de uma engrenagem cilndrica de dentes retos
esto relacionados entre si. Assim, quando voc precisa calcular
uma medida, geralmente necessrio tambm calcular alguma
outra a ela relacionada.
Leia novamente esta aula, estudando os exemplos com ateno,
e refaa os exerccios. Depois disso, encare os exerccios a se-
guir como um teste e verifique o que voc conseguiu reter.
Se errar alguma coisa, no desanime. Releia o trecho em que es-
t a informao de que voc precisa e retorne ao exerccio. O a-
prendizado s acontece com muita disciplina e persistncia.
Exerccio 15
Calcule dp, de, di, h, a, b e p de uma engrenagem cilndrica de
dentes retos com 45 dentes e mdulo 4.
Exerccio 16
Sabendo que o dimetro externo de uma engrenagem cilndrica
de 88mm e que ela tem 20 dentes, calcule m, dp, di, h, a, b e p.
Exerccio 17
Calcule a distncia entre centros das duas engrenagens dos e-
xerccios 15 e 16.
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Gabarito
1. dp = 270mm
2. Z = 60
3. m = 1,5
4. de = 154mm
5. h = 3,79mm
6. m = 2
7. b = 1,75mm
8. m = 3
9. di = 71,50mm
10. di = 71,50mm
11. m = 1
12. p = 9,42mm
13. m = 4
14. d = 210mm
15. dp = 180mm, de = 188mm, di = 170,68mm
h = 8,664mm, a = 4mm, b = 4,664mm, p = 12,56mm
16. m = 4, dp = 80mm, di = 70,68mm, h = 8,664mm,
a = 4mm, b = 4,664mm, p = 12,56mm
17. d = 130mm