Cálculo diferencial (arq) La derivada. El problema de la recta tangente.
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Cálculo diferencial (arq)
La derivada
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El problema de la recta tangente
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Se quiere hallar la recta tangente a la curva en el punto (a ; f(a))
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x
y
a x
y = f(x)
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y
a x
y = f(x)
(a; f(a))
(x; f(x))
Se quiere hallar la recta tangente a la curva en el punto (a ; f(a))
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Se toma un punto arbitrario (x ; f(x)) y se traza la recta secante que pasa por esos dos puntos
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x
y
a x
(a; f(a))
(x; f(x))
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a x
(a; f(a))
(x; f(x))
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¿Cuál es la pendiente de la recta secante?
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f(x) - f(a)
x - a
a x
(a; f(a))
(x; f(x))
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Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”
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f(x) - f(a)
x - a
a x
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f(x) - f(a)
x - a
a x
Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”
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x - a
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Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”
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x - a
a x
Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”
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x - a
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Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”
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Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”
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f(x) - f(a)
x - a
a x
Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”
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x - a
a x
Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”
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x - a
a x
Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”
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Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”
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Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”
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Pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (a; f(a)) y (x; f(x))
ax
afxfPendiente
)()(
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Pendiente de la recta tangente en el punto (a; f(a))
ax
afxflímm
ax
)()(
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La siguiente es una forma equivalente:
h
afhaflímmh
)()(0
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Ejemplos
1) Encuentre una ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 en el punto (1;1).
2) Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva y = 3/x en el punto (3;1).
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Ejemplos
3) Encuentre la pendiente de la recta tangente en el punto (9;3) a la curva:
xy
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Definición
La derivada de una función f en un número a, denotada con f’(a), es:
h
afhaflímafh
)()()('
0
si este límite existe.
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Definición alterna
ax
afxflímaf
ax
)()()('
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Interpretación geométrica de la derivada
La derivada de una función f en un número a es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (a; f(a)).
Posteriormente se verá que la derivada también se puede interpretar como la razón de cambio de una magnitud respecto de otra.
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La derivada como una función
Si en la definición anterior, cambiamos el número “a” por la variable “x”, obtenemos:
h
xfhxflímxfh
)()()('
0
En este caso, f’ es una nueva función llamada derivada de f.
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Ejemplos
Halle las derivadas de f, g y h enuncie sus respectivos dominios.
1)()3 xxh
xxxg 3)()2
235)()1 xxf
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Sección 2.8Ejercicios 2.8 (pág. 161)4; 5; 7; 8; 13; 14; 18- por definicion.
Sección 2.9Ejercicios 2.9 (pág. 171)19; 20; 22; 23