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Cálculo de Volumes por Cascas Cilíndricas
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
1. Introdução
Alguns problemas de volume são muitodifíceis de lidar pelos métodos das seçõesanteriores. Por exemplo, vamos considerar oproblema de encontrar o volume de um sólidoobtido pela rotação ao redor do eixo y pela regiãolimitada por y = 2x2 -x3 e y = 0, conforme a figuraa seguir.
1. Introdução
Se a fatiarmos perpendicularmente ao eixoy, obteremos uma arruela. Mas para calcularmos osraios interno e externo da arruela, teríamos deresolver a equação cúbica y = 2x2 - x3 para x emtermos de y; isto não é fácil.
1. Introdução
Felizmente existe um método, chamadoMétodo das Cascas Cilíndricas, que é mais fácilde usar em casos como esse. A figura a seguirmostra uma casca cilíndrica de raio interno r1, raioexterno r2 e altura h. O seu volume V é calculadopela subtração do volume V1 do cilindro interno dovolume V2 do cilindro externo.
1. Introdução
2 1V V V= −
( )2 2 2 22 1 2 1V r h r h r r h= − = −π π π
( )( )2 1 2 1V r r r r h= + −π
( )2 12 12
2r r
V h r r+= −π
1. Introdução
Se fizermos
2 1 (a espessura da casca) r r r∆ = −
( )2 1 (o raio médio da casca)1
2
r r r= +
então a fórmula para o volume de uma cascacilíndrica se torna
2V rh r= ∆πe pode ser memorizada como
[circunferência] [altura] [espessura]V ⋅ ⋅=
1. Introdução
Agora considere S como o sólido obtido pelarotação ao redor do eixo y da região limitada pory = f (x) [onde f (x) ≥ 0], y = 0, x = a e x = b, ondeb > a ≥ 0, conforme mostrado na figura abaixo
1. Introdução
Dividimos o intervalo [a, b] em nsubintervalos [xi-1, xi] de mesma largura ∆x econsideremos o ponto médio do i-ésimosubintervalo. Se o retângulo com base [xi-1, xi] ealtura é girado ao redor do eixo y, então oresultado é uma casca cilíndrica com raio médio ,altura e espessura ∆x, conforme a figura aseguir.
ix
( )if x
ix( )if x
1. Introdução
Portanto, uma aproximação para o volume Vde S é dada pela soma dos volumes dessas cascas:
( )1 1
2n n
i i ii i
V V x f x x= =
= = ∆∑ ∑ π
Essa aproximação torna-se melhor quandon → ∞. Mas, pela definição de integral, sabemos que
( ) ( )1
lim 2 2bn
i ini a
x f x x x f x dx→∞ =
∆ =∑ ∫π π
1. Introdução
O volume do sólido na figura abaixo, obtidopela rotação ao redor do eixo y da região sob acurva y = f (x) de a até b é:
( ) onde 02 b
a
a bV x f x dx ≤ <= ∫ π
1. Introdução
A melhor maneira para se lembrar dafórmula anterior é pensar em uma casca típica,cortada e achatada como na figura abaixo, comraio x, circunferência 2πx, altura f (x) e espessura∆x ou dx.
( ) ( )circunferência altura
2 b
a
V x f x dx = ∫��� ���
π
1. Introdução
Esse tipo de argumento será útil em outrassituações, tais como quando giramos ao redor deoutras retas além do eixo y.
1. O método do disco
Exemplo 1: Determine o volume do sólido obtidopela rotação ao redor do eixo y da região limitadapor y = 2x2 – x3 e y = 0.
1. O método do disco
Solução: Do esboço da figura abaixo, vemos queuma casca típica tem raio x, circunferência 2πx ealtura f (x) = 2x2 – x3.
1. O método do disco
Então, pelo método das cascas, o volume é:
( )2b
a
V x f x dx= ∫ π
( ) ( )2 2
2 3 3 4
0 0
2 2 2 2V x x x dx x x dx= − = −∫ ∫π π
24 5
0
1 1 32 162 2 8
2 5 5 5x x = − = − =
π π π
1. O método do disco
Exemplo 2: Determine o volume de um sólidoobtido pela rotação ao redor do eixo y da regiãoentre y = x e y = x2.
1. O método do disco
Solução: A região e uma casca típica sãomostradas na figura abaixo. Vemos que a cascatem raio x, circunferência 2πx e altura x – x2.
1. O método do disco
Então o volume é:
( )2b
a
V x f x dx= ∫ π
( ) ( )1 1
2 2 3
0 0
2 2V x x x dx x x dx= − = −∫ ∫π π
13 4
0
1 1 1 12 2
3 4 3 4 6x x = − = − =
ππ π
1. O método do disco
O exemplo a seguir mostra que o método dacasca funciona bem também quando giramos aoredor do eixo x. Simplesmente, temos de desenharum diagrama para identificar o raio e a altura dacasca.
1. O método do disco
Exemplo 3: Use cascas cilíndricas para determinaro volume do sólido obtido pela rotação ao redor doeixo x da região sob a curva y = x1/2 de 0 a 1.
1. O método do disco
Solução: Para usar as cascas escrevemos y = x1/2
como x = y2, conforme a figura abaixo.
1. O método do disco
Pela rotação ao redor do eixo x, vemos queuma casca típica tem raio y, circunferência 2πy ealtura 1 – y2. Então o volume é
( )2b
a
V y f y dy= ∫ π
( ) ( )1 1
2 3
0 0
2 1 2V y y dy y y dy= − = −∫ ∫π π
12 4
0
1 1 1 12 2
2 4 2 4 2y y = − = − =
ππ π
1. O método do disco
Exemplo 4: Determine o volume do sólido obtidopela rotação da região limitada por y = x – x2 ey = 0 ao redor da reta x = 2.
1. O método do disco
Solução: A figura abaixo mostra a região e a cascacilíndrica formada pela rotação ao redor da reta x = 2.Esta tem raio 2 – x, circunferência 2π (2 – x) e alturax – x2.