UNIVERSIDAD NACIONAL

PEDRO RUIZ GALLO

TRABAJO DE CÁLCULO

Asignatura:

Cálculo de ingeniería de procesos

INTEGRANTES:

Bravo Vidaurre Franklin

Cerquera Gonzales Antony

Chuica Vega Yang Pool Alexander

Sanchez Valarezo Kateryn

Cálculos para ingeniería de procesosProblema 1

Determine los valores de x1; x2 y x3 usando el método de JACOBI.

2X1 + 7X2 – 11X3=6

X1 + 2X2 + X3=-5

7X1 + 5X2+2X3=17

1._ ordenar las ecuaciones:

7X1 + 5X2 + 2X3 = 17

X1 + 2X2 + X3 = -5

2X1 + 7X2 – 11X3 = 6

X 1=17−5 X 2−2 X 37

X 2=−5−X 1−X 32

X 3=6−2 X 1−7 X 2−11

Tomando como valores iniciales cero (0)

X 1=17−5 (0 )−2 (0 )

7=2.428571429

X 2=−5−(0)−(0)

2=−2.5

X 3=6−2(0)−7(0)

−11=−0.545454

Usando los valores de la segunda iteración:

X 1=17−5 (0 )−2 (0 )

7=4.370129714

X 2=−5−(0)−(0)

2=−2.492857145

X 3=6−2(0)−7(0)

−11=−1.694805195

X1 X2 X30 0 0

2.428571429 -2.5 -0.5454544.370129714 -2.492857145 -1.6948051954.693413731 -3.83766226 -1.3372491445.561899169 -4.178082294 -2.1342553056.122703154 -4.213821932 -2.1929797934.811878582 -4.414861681 -2.13199406566.19116996 -3.8339942258 -2.480024964

5.879966118 -4.355572498 -1.8633868996.07209896 -4.50828961 -2.24809775

6.291091936 -4.411996573 -2.3103495896.240097435 -4.490371174 -2.2092538316.26719479 -4.515421802 -2.268400304

6.301987088 -4.499397243 -2.2794148216.29368798 -4.511286134 -2.262891566

6.297459115 -4.515398207 -2.2719660896.30298903 -4.512746513 -2.271204321

6.300877315 -4.51582355 -2.2712043216.303075199 -4.514836497 -2.2735463846.303039322 -4.514764408 -2.2725186446.30269419 -4.515260339 -2.272479292

6.303037183 -4.515107449 -2.2727952736.303018256 -4.515120955 -2.27269798

Los valores de con respecto a 10^(-4):

x1=6.303018256

x2=−4.515120955

x3=−2.27269798

PROBLEMA 2

Un proceso de 5 etapas en equilibrio para una extracción liquido o absorción gaseosa puede ser modelado mediante un sistema de ecuaciones lineales de acuerdo como se muestra a continuación:

-(1+rr)X1+rrX2= -F0

Xi-1-(1+rr)Xi+rrXi-1=0 para i=2,3,……. (n-1)

Xn-1-(1+rr) Xn=-F

Para: rr=0.92; F0=0.06; F=0.6, resolver el sistema de ecuaciones lineales.

Solución:

5 etapas = 5 ecuaciones, son:

luego las ecuaciones lo pasamos a una matriz y vector:

−(1+0.92 ) X1+0.92 X2=−0.06

X1−(1+0.92 ) X2+0.92 X1=0=−0.06

X2−(1+0.92 ) X3+0.92 X2=0=−0.06

X3−(1+0.92 ) X4+0.92 X3=0=−0.06

X 4−(1+0.92 ) X5=−0.6

−1.92 X1+0.92 X2=−0.06

1.92 X1−0.92 X2=0

1.92 X2−0.92 X3=0

1.92 X3−0.92 X 4=0

X 4−0.92 X5=−0.6

[−1.92 0.92 0 0 01.92 −1.92 0 0 0000

1.9200

−1.921.920

0 0−1.92 01 −1.92

][−0.06000

−0.6]

X1 X2 X3 X4 X5

utilizamos eliminación de Gauss:

1.92

1.92 1.91.91.9

0 1.920

1.92

0 1.920

1.92

0 1.920

1.92

0.92

1.92 0.921.921.92

1.92 0.921.921.92

0 0.921.921.92

0 0.921.921.92

0

0 01.921.92

1.92 00

1.92

1.92 00

1.92

0 00

1.92

0

0 01.921.92

0 00

1.92

1.92 00

1.92

1 00

1.92

0

0 01.921.92

0 00

1.92

0 00

1.92

1.92 00

1.92

0.06

0 0.061.921.92

0 0.060

1.92

0 0.060

1.92

0.7 0.060

1.92

X1 X2 X3 X4 X5

-1.92 0.9 0 0 0 -0.06

0 -1 0 0 0 -0.06

0 1.92 -1.92 0 0 0

0 0 1.92 -1.92 0 0

0 0 0 1 -1.92 -0.6

Remplazando:

o −1 X2=−0.06

o −1.92 X1+0.92 X2=−0.06

X2=0.06

X1=0.06

−1.92 X1+0.92(0.06)=−0.06

o 1.92 X2−1.92 X3=0

o 1.92 X3−1.92 X4=0

o X 4−1.92 X5=−0.6

o

Aplicando Eliminación de Gauss los valores de las ecuaciones son:

X1=0.06 X2=0.06 X3=0.06 X4=0.06 X5=0.34375

PROBLEMA 3

Balancear la siguiente ecuación:

H3PO4 + Mg(OH)2 Mg3(PO4)2 + H2O

H= 2V2 + 2V4 = -3

P= 2V3 =1

O= 2V2 + 8V3 + 1V4 =4

Mg= 1V2 + 3V3 = 0

V2 V3 V4 V5

2 0 2 0 3

0 2 0 0 1

2 8 1 0 4

1.92 (0.06 )−1.92 X 3=0

X3=0.06

1.92 (0.06 )−1.92 X 4=0

X 4=0.06

0.06−1.92 X5=−0.6

X5=0.34375

1 0 3 0 0

2 0 2 0 3

0 2 0 0 1

2 8 1 0 4

1 0 3 0 0

2 0 2 0 3

0+ 2∗−02

2+ 2∗−02

0+ 2∗−02

0+ 2∗−02

1+ 2∗−02

2+ 2∗−22

8+ 2∗−22

1+ 2∗−22

0+ 2∗−22

4+ 2∗−22

1+ 2∗−12

0+ 2∗−12

3+ 2∗−12

0+ 2∗−12

0+ 2∗−12

2 0 2 0 3

0 2 0 0 1

08+ 2∗−8

2−1+ 0∗−8

20+ 0∗−8

21+ 1∗−8

2

00+ 2∗−0

2−2+ 0∗−0

20+ 0∗−0

2−32

+ 1∗−02

2 0 2 0 3

0 2 0 0 1

0 0 −1 0 −3

0 0 −2−1∗−21

0+ 0∗−21

−5.5−3∗−21

2 0 2 0 3

0 2 0 0 1

0 0 −1 0 −3

0 0 0 0 0.5

X5 = 0 se calculó un x5 para completar la matriz

-X4 = -3 X4= 3

2X3 = 1 X3= 1/2

2X2 = 3 X2= 3/2

X1=1 X1= 1

PROBLEMA 5

Se desea encontrar el tiempo de enfriamiento de un cuerpo, cuya temperatura inicial, Ti es 400 °K, Tm=300 °K, y k=-0.6.

La ecuación por resolver por integración numérica es:

t=∫Ti

TmdT

k (T−Tm)

Donde T es la temperatura del objeto, Tm es la temperatura del medio, k es una constante de proporcionalidad y t es el tiempo que tarda el objeto en enfriarse. Utilice el método trapezoide, Simpson 1/3 y Simpson 3/8 con n=10 intervalos.

SOLUCION:

MÉTODO TRAPEZOIDE

I=∫X 0

Xn

F (x )dx=h2¿

h= Xn−X 0n

n=0, 1, 2, 3…

h=300−40010

=−10

t=∫400

300dT

−0.6∗(T−Tm)=−10

2(−0.01667−0+2 (−0.4715 ))

t=4.79835

∑i=1

n−1

yi=−0.4715

i Xi Xi F(Xi)

0 a=X0 400 -0.01667

1 X1=X0+h 390 -0.01852

2 X2=X1+h 380 -0.02083

3 X3=X2+h 370 -0.02381

4 X4=X3+h 360 -0.02778

5 X5=X4+h 350 -0.03333

6 X6=X5+h 340 -0.04167

7 X7=X6+h 330 -0.05556

8 X8=X7+h 320 -0.08333

9 X9=X8+h 310 -0.16667

10 X10=X9+h 300 0.00000

METODO SIMPSON 1/3

I=∫X 0

Xn

F (x )dx=h3

¿

h= Xn−X 0n

n=0, 1, 2, 3,…

h=300−40010

=−10

i Xi Xi F(Xi)

0 a=X0 400 -0.01667

1 X1=X0+h 390 -0.01852

2 X2=X1+h 380 -0.02083

3 X3=X2+h 370 -0.02381

4 X4=X3+h 360 -0.02778

5 X5=X4+h 350 -0.03333

6 X6=X5+h 340 -0.04167

7 X7=X6+h 330 -0.05556

8 X8=X7+h 320 -0.08333

9 X9=X8+h 310 -0.16667

10 X10=X9+h 300 0.00000

2∑i=1

n−1

yi (indice impar )=¿−0.9789¿

∑i=1

n−1

yi ( indice par )=¿−0.17361¿

t=∫400

300dT

−0.6∗(T−Tm)=−10

3(−0.01667+0+4∗(−0.29789 )+2∗(−0.17361 ))

t=5.1848

METODO SIMPSON 3/8

I=∫X 0

Xn

F (x )dx=3h8

¿

h= Xn−X 0n

h=300−40010

=−10

∑i=1

n−2

yi (1,4,7 )=−0.10186

∑i=2

n−1

yi (2,5,8 )=−0.13749

∑i=3

n−3

yi (3,6,9 )=−0.23215

t=∫400

300dT

−0.6∗(T−Tm)=3h8

(−0.01667+3∗(−0.10186 )+3∗(−0.13749 )+2∗(−0.23215 ))

i Xi Xi F(Xi)

0 a=X0 400 -0.01667

1 X1=X0+h 390 -0.01852

2 X2=X1+h 380 -0.02083

3 X3=X2+h 370 -0.02381

4 X4=X3+h 360 -0.02778

5 X5=X4+h 350 -0.03333

6 X6=X5+h 340 -0.04167

7 X7=X6+h 330 -0.05556

8 X8=X7+h 320 -0.08333

9 X9=X8+h 310 -0.16667

10 X10=X9+h 300 0.00000

t=4.496325

CONCLUSION:

METODO RESULTADO(t)TRAPEZOIDE 4.798350METODO SIMPSON 1/3 5.184800METODO SIMPSON 3/8 4.496325

Como se puede ver los métodos de Simpson ¾ y trapezoide son más exactos que el método Simpson 3/8.

PROBLEMA 6

Los datos que aparecen en la tabla siguiente corresponden a una velocidad transversal de salida de una tubería, cual es el flujo volumétrico en m3/s? Utilice el método trapezoide, Simpson 1/3 y Simpson 3/8

r, cm 0 5 10 15 20 25 30 35 42 45 48 50V,m/s 50 49.5 49 48 46.5 45 43 40.5 37.5 34 25 0

Q=2π ∫V∗rdr

Resolución

Para poder realizar los cálculos más rápido haremos una conversión del “r” de cm a “m” y el de “V” de m/s a “m2/s”

X0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10

X11

r, m 0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.42 0.45 0.48 0.50V,m2/s

0.5 0.495 0.49 0.48 0.465 0.45 0.43 0.405 0.375 0.34 0.25 0

Y0 Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 Y8 Y9 Y10 Y11

a) Método Trapezoide

I= ∫Xo

Xn

F ( x )dx=h2¿¿ h=

Xn−Xon

En donde n=11 entonces h=0.5−011

=0 .0455

I=∫0

0 .5

F ( x )dx=0 .04552

(0.5+0+2(0.495+0.49+0.48+0.465+0.45+0.43+0.405+0.375+0.34+0.25+0)

I = 0.2125 m3/s

Q=2π∫0

0 .5

V∗rdr=2π∗0 .2125m3/ s=¿ 1.3352 m3/s

b) Método Simpson 1/3

Para poder aplicar este método el “n” debe ser múltiplo de 2 y en el ejercicio el n=11 por lo que aplicaremos método de Simpson 1/3 hasta X10 y lo restante el método de trapecio desde X10 a X11

Formula general del método Simpson 1/3

I= ∫Xo

Xn

F ( x )dx=h3¿¿

Pero como utilizaremos hasta X10 método Simpson 1/3 y de X10 a X11 métodos del trapecio la fórmula que se empleara será:

I= ∫Xo

Xn

F ( x )dx=h3¿¿10+y11)

I=∫0

0.5

f (x)dx=0.04553

(0.5+0+4(0.495+0.48+0.45+0.405+0.34)+2(0.49+0.465+0.43+0.375+0.25)+0.04552

(0.25+0)

I = 0.2033 m3/s

Q=2π∫0

0.5

V∗rdr=2π∗0.2033m3 /s=¿ 1.2774 m3/s

c) Método Simpson 3/8

Para poder aplicar este método el “n” debe ser múltiplo de 3 y en el ejercicio el n=11 por lo que aplicaremos método de Simpson 3/8 hasta X9 y lo restante el método de Simpson 1/3 desde X9 a X11

Formula general del método Simpson 3/8

I= ∫Xo

Xn

F ( x )dx=3h8

¿¿

Pero como utilizaremos hasta X9 método Simpson 3/8 y de X9 a X11 método de Simpson 1/3 la fórmula que se empleara será:

I= ∫Xo

Xn

F ( x )dx=3h8

+ [y0+3(y1+y4+y7)+3(y2+y5+y8)+2(y3+y6)]+y9+h3

[y9+y11+4(y10)]

I=∫0

0.5

f (x)dx=3(0.0455)

8

[0.5+3(0.495+0.465+0.405)+3(0.49+0.45+0.375+2(0.48+0.43+0.34)+0.04553

[0.34+0+4(0.25

)

I = 0.2029 m3/s

Q=2π∫0

0.5

V∗rdr=2π∗0.2029m3 /s=¿ 1.2749m3/s

CONCLUSION:

METODO RESULTADO(Q)TRAPEZOIDE 1.3352 m3/sMETODO SIMPSON 1/3 1.2774 m3/sMETODO SIMPSON 3/8 1.2749m3/s