CÁLCULO DE MATRIZ PARA ELEMENTOS...
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CÁLCULO DE MATRIZ PARA ELEMENTOS FINITOS
Sistemas de equações algébricas que relacionam Forças, Deslocamentos e Coeficientes de
Rigidez podem ser representados e resolvidos de forma compacta e elegante com auxílio da
Notação Matricial . (ALVES, 2003).
Tem-se que é possível realizar uma analogia entre sistemas com molas e outros sistemas
tais como barras, chapas, etc., de maneira que facilite a compreensão do método de cálculo por
elementos finitos de estruturas. Portanto:
Figura 1: a) Comparação entre Mola e b) uma Barra de um elemento Fonte: Alves (2003).
Então, uma barra que submetida a uma força axial de tração ou compressão terá o
comportamento equivalente ao de uma mola sob tração ou compressão.
(1)
Onde F é a força, k é a rigidez da mola, x é a deformação da mola, d é a variação de
comprimento e L é o comprimento inicial.
Então para o caso específico mostrado na figura 2, tem-se que o Nó do elemento 1 é
submetido a um deslocamento devido a força aplicada f1, mantendo-se o Nó 2 bloqueado.
Figura 2: Compressão de uma mola.
f2
k
1 2
x1 x2
f1 Mola
F2
EA/L
d1 d2
F1 Barra 2 1
a) b)
dL
EAFasimilaréxkF .. ====⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒====
f2 = -f1
k
1 2
x1 x2 = 0
f1 Mola
Para o caso específico mostrado na figura 2 e tomando-se as condições de equilíbrio do
sistema, tem-se que a reação encontrada no Nó 2 é f2 = -f1 pois tem sentido oposto a f1.
Desta forma colocando-se na forma Matricial tem-se:
Para uma Mola:
(2)
Supondo que se tenham as forças como incógnitas tem-se para este sistema duas
equações e duas incógnitas.
Sendo, portanto:
(3)
Substituindo x2 por zero tem-se:
(4)
Para uma Barra de um elemento:
(5)
Comparativamente tem-se da mesma maneira que k representa a rigidez da Mola, EA / L
representa a rigidez da Barra de um elemento.
Dados que o módulo de elasticidade E, a área A e o comprimento L são constantes, pode-
se isolar estas constantes da Matriz.
(6)
Quando o sistema possui mais de um elemento de mola tem-se:
Figura 3: Sistema de mola com dois elementos
====
−−−−−−−−
====
0.
2
1
2
1
x
x
kk
kk
f
f
====
−−−−
−−−−====
0.
2
1
2
1
d
d
LEA
LEA
LEA
LEA
F
F
====
−−−−−−−−
====
0.
11
11.
2
1
2
1
d
d
LEA
F
F
C
ka
Elemento 1 Elemento 2
A B
kb
(((( ))))212
211
.
.
kxxkf
kxxkf
++++−−−−====−−−−++++====
(((( ))))1212
1111
.0..
.0..
xkfkxkf
xkfkxkf
−−−−====⇒⇒⇒⇒++++−−−−========⇒⇒⇒⇒−−−−++++====
Figura 4: Procedimento para montagem da Matriz de Rigidez da estrutura. Fonte: Alves,
2003.
A montagem deste sistema de elementos mola possui liberdade apenas para deslocamento
unidirecional, permitindo a compressão ou tração devido a forças axiais.
As estruturas de vigas podem ter liberdade de movimentação em cada um de seus nós do
elemento.
A viga, no caso mais geral, pode transmitir forças axiais, momentos fletores em dois planos
perpendiculares contendo seus eixos principais, forças cortantes e momentos torçores. Vide figura a
seguir.
ka -ka
-ka ka
A B
A
B
kb -kb
-kb kb
B C
B
C
A
B
C
ka -ka 0
-ka ka + kb -kb
0 -kb kb
A B C
Figura 5: A viga e os graus de liberdade em um elemento. Fonte: Alves, 2003.
Considerando-se o comportamento de vigas dos fundamentos da resistência dos materiais
e impondo-se deslocamentos unitários transversais ∆ e de rotação θ ao elemento viga, resultam os
coeficientes de rigidez necessários.
(7)
(8)
Figura 6: Deslocamento em um nó.
(9)
(10)
(11)
Figura 7: Inclinação em um nó.
L R R
M2 M1
∆
∆∆∆∆.622,1 L
EIM ====
∆∆∆∆.123LEI
R ====
L R R
M2 M1
θ
θθθθ.21 L
EIM ====
θθθθ.62L
EIR ====
θθθθ.42 L
EIM ====
A disposisão dos “Elementos na Matriz”, que não comtempla forças axiais e apenas flexão,
é vinculada aos quatro graus de liberdade.
Figura 8: Graus de liberdade do elemento e a Matriz correspondente.
Sabe-se que para a matriz de um elemento, como mostrada na figura anterior, bem como,
na Matriz Global sempre tem-se uma matriz quadrada e que também haverá a simetria.
Figura 9: Simetria da Matriz do elemento.
k =
k =
1 3
4
2
−−−−
−−−−−−−−−−−−
−−−−
−−−−
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
4626
612612
2646
612612
22
2323
22
2323
1 2 3 4
1
2
3
4
−−−−
−−−−−−−−
L EI
L EI
L EI
L EI
Simétrica
L
EI L
EI L
EI L EI
L EI L
EI
4626
126 12
4 6
12
2 2
32 3
2
3
Figura 10: Estrutura de pórtico Plano, constituida de Viga com Rigidez Axial e Rigidez á
Flexão no Plano. (Alves, 2003).
Figura 11: Matriz de rigidez global da estrutura sistema global de coordenadas. (Alves,
2003).
1ª. Linha
2ª. Linha
3ª. Linha
1ª. Coluna
2ª. Coluna
3ª. Coluna
2 REVISÃO DE ALGEBRA MATRICIAL
2.1. Generalidades
Figura 12: Exemplo de Matriz.
Sendo:
K11 o elemento localizado na 1ª. Linha e 1ª. Coluna
K23 o elemento localizado na 2ª. Linha e 3ª. Coluna
Desta maneira temos como índice o primeiro número indicando a linha e o segundo número
indicando a coluna em que está o elemento da matriz.
De modo geral pode-se expressar a posição em que se encontra um elemento por K ij em
que o elemento encontra-se na i-ésima linha e j-ésima coluna.
A matriz pode ser expressa de maneira compacta como:
Figura 13: Exemplo de simplificação de uma Matriz.
Neste exemplo tem-se uma matriz composta por 3 linhas e 3 colunas. Como esta possui o
mesmo número de linhas e de colunas diz-se que ela é é uma Matriz Quadrada de Ordem 3.
[ ]
=
333231
232221
131211
kkk
kkk
kkk
K
[ ] [ ]3x3ijKK =
Na equação {F} = [K] . {U} normalmente se conhecem as forças e rigidez mas, tem-se os
delocamentos U como incógnitas portanto, há necessidade de isolá-los. Para realizar o isolamento
desta matriz coluna é necessário utilizar o procedimento de inversão da matriz rigidez.
O procedimento de inversão passa por encontrar a Determinante da matriz, os cofatores, a
matriz transposta e a matriz identidade.
2.2 Determinante de Matriz
Para encontrar a Determinante de uma matriz é necessário somar os produtos de seus
elementos como mostrado no exemplo a seguir.
Figura 14: Procedimento para encontrar a determinante de um Matriz.
Note que a determinante de uma matriz é um número.
2.3 Matriz Transposta
Para a obtenção da Matriz Transposta é necessário trocar a posição dos elementos das
linhas para colunas conforme exemplo a seguir. Isto é obtido fazendo-se com que um elemento que
ocupe a posição i,j da Matriz [K] tenha a posição j,i da Matriz [K]T.
Figura 15: Procedimento para transpor uma Matriz.
2.4 Cofatores de Matriz
Os cofatores de uma matriz são números obtidos em função de sua posição na matriz e os
valores restantes da matriz quando se eliminam uma linha e uma coluna da matriz e multiplicados por
(-1)i+j que indica o cruzamento da linha e coluna eliminadas, conforme exemplo a seguir.
Para o elemento 1,1 da matriz do exemplo tem-se:
Figura 16: Procedimento para encontrar um dos cofatores de uma Matriz.
[ ] 122122112221
1211 .det kkkkKkk
kkK −=⇒
=
[ ] [ ]
=−
=
76
15
43
714
653 TKsetemK
[ ] ( ) ( ) 477.81.998
71.1
982
714
65311
11 −=−=
−=
= +KcofK
Para o elemento 3,2 da matriz do exemplo tem-se:
Figura 17: Procedimento para encontrar outro dos cofatores de uma Matriz..
A matriz dos cofatores teria o seguinte aspecto:
Figura 18: Resultado da matriz com os dois cofatores da Matriz.
Para inversão da matriz de rigidez tem-se então:
Figura 19: Resumo da inversão de uma Matriz.
Com a matriz de rigidez inversa é possível reescrever a equação da seguinte maneira:
Figura 20: Equação simplificada dos deslocamentos globais.
Onde {U} corresponde a matriz coluna dos deslocamentos globais e {F} corresponde a
matriz coluna das forças.
[ ] ( ) ( ) 36.47.374
63.1
982
714
65323
32 =+−=
−=
= +KcofK
[ ]
−=
3331
232221
1312
3
47
kk
kkk
kk
KCof
{ } [ ] { }FKU .1−=
[ ] [ ] [ ]TcofKK
K .det
11 =−
Figura 21: Visão geral do método dos elementos finitos. (Alves, 2003).