Calculo 2 - 2 Equações Diferenciais Ordinárias
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Calculo 2 Introduo s Equaes Diferenciais
Apresentador: Msc. Henrique Grangeiro
b
a
-
O que :
Equao diferencial toda equao que contenha derivadas.
Importncia do estudo:
Devido observao e verificao de taxas nos quais as coisas acontecem.
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Onde Ocorrem?
Movimento de fluidos;
O fluxo de corrente eltrica em circuitos;
A dissipao de calor cm objetos slidos;
A propagao e a deteco de ondas ssmicas;
O aumento ou a diminuio de populaes;
Modelos matemticos para processos fsicos, qumicos e biolgicos.
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Equao Diferenciais Ordinrias (EDO)
Definio : Uma equao que envolve derivadas atordem n, chamada de equao diferencial ordinria(EDO) de ordem n e pode ser escrita na forma:
Definio: A soluo da equao qualquerfuno y= f(x) que definida em [a,b] e tem nderivadas neste intervalo e que satisfaz aequao diferencial.
y (n) (x)= f(x, y(x), y(x),..., y (n-1) (x))
a x b
-
EDOs x EDPs
EDPs so equaes diferenciais onde a funoincgnita depende duas ou mais variveis.
EDOs so equaes diferenciais onde a funoincgnita depende apenas de uma nica varivel.
Conhecer a resoluo e desenvolvimento de EDOsajuda no desenvolvimento e soluo de EDPs.
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Equao Diferenciais Ordinrias (EDO)
Na soluo de uma EDO dois caminhos podem ser seguidos. Isto , o que tenta levar soluo exata do problema (mtodo analtico) ou o que encontra uma soluo aproximada (mtodo numrico).
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Do ponto de vista analtico, resolver uma EDO do tipo y = f ( x, y ) encontrar uma funo y = F ( x ) que satisfaa a equao dada. Por exemplo, dada a equao diferencial y = f ( x, y ) = 2 x + 3, sua soluo obtida por
y = ( 2x + 3) dx = x 2 + 3x + C .
Equao Diferenciais Ordinrias (EDO)
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Na verdade, temos uma famlia de solues (para cada C Rtem-se uma soluo particular). Na figura abaixo so mostradas algumas destas solues. No caso para C = 0, C = 2 e C = 4.
Equao Diferenciais Ordinrias (EDO)
C = 0
C = 2
C = 4
x
y
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Classificao das EDs
Equaes Diferenciais Ordinrias (EDO) -- se a funo desconhecida depende de uma nica varivel independente. Neste caso, aparecem apenas derivadas simples.
Equaes Diferenciais Parciais (EDP) -- se a funo desconhecida depende de diversas variveis independentes. Neste caso, aparecem as derivadas parciais.
Sistema de equaes diferenciais -- se existem duas ou mais funes que devem ser determinadas, precisamos de um sistema de equaes.
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Ordem -- a ordem de uma ED a ordem da mais alta derivada que aparece na equao.
Exemplos:
35 xdx
dy 122
3
3
4
4
ydtdy
dt
yd
dt
yd
dt
yd
Geralmente a equao F(y, y, y, ..., y(n)) = 0 uma equao diferencial de ordem n.
4'"2''' tyyyey t
-
Equaes Lineares e no -lineares -- A equao diferencial
A equao diferencial que no da forma uma equao no-linear.
Exemplo:
4'"2''' tyyyey t
-
Solues: Uma soluo da equao
y(n) = f (t, y, y`, y``, ..., y(n-1) ) em < t <
uma funo tal que `, ``, ... (n)
existem e satisfazem
(n)(t) = f [t, (t), `(t), ``(t), ... (n-1) (t)]
para todo t em < t <
Soluo de Equaes Diferenciais
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Uma equao diferencial sempre tem soluo? (existncia)
Quantas solues tem uma equao diferencial dada que ela tem pelo menos uma? Que condies adicionais devem ser especificadas para se obter apenas uma nica soluo? (unicidade)
Dada uma ED, podemos determinar, de fato, uma soluo? E, se for o caso, como?
Soluo de Equaes Diferenciais
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Classificao de Equaes Diferenciais
Notao de Leibniz: ,...,,3
3
2
2
dx
yd
dx
yd
dx
dyNotao linha: ```,...``,`, yyy
Notao de Leibniz:
Notao linha:
,xeydx
dy 5 ,06
2
2
ydx
dy
dx
ydyx
dt
dy
dt
dx 2
,` xeyy 5 ,``` 06 yyy
A notao linha usada somente para denotar as trs primeiras
derivadas; a quarta derivada escrita como y(4), em vez de y.
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Classificao de Equaes Diferenciais
Sistema de equaes diferenciais: se existem duas ou
mais funes que devem ser determinadas, precisamos
de um sistema de equaes.
Uma soluo de um sistema como (*) um par de funes
diferenciais x = 1(t), y = 2(t), definidas em um intervalocomum I, que satisfazem cada equao do sistema neste
intervalo.
),,( yxtfdt
dx ),,( yxtg
dt
dy (*)
-
Classificao de Equaes Diferenciais
Notao ponto de Newton (coc de mosca): s vezes usada
em Fsica ou Engenharia para denotar derivadas em relao ao
tempo.Assim sendo, a equao diferencial.
322
2
dt
sdtorna-se 32s
Derivadas parciais so geralmente denotadas por uma notao
em subscrito.Assim sendo, a equao diferencial
tttxx uuu 2torna-se,2
2
2
2
2
t
u
t
u
x
u
-
Ordem: a ordem de uma ED a ordem da mais alta derivada queaparece na equao.
Exemplos:
35)1 xdxdy
1)2 22
3
3
4
4
ydtdy
dt
yd
dt
yd
dt
yd
Classificao por Ordem
-
uma equao diferencial de segunda ordem.
xeydx
dy
dx
yd
45
3
2
2
segunda ordem primeira ordem
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Classificao por Ordem
Escreva as equaes diferenciais ordinrias na forma normal:
xyyxa 2'5)2
232') xyxyyb
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Equaes Lineares e no-lineares: A equao diferencial
0),...,",',( )(nyyyxF
dita linear se F uma funo linear das varveis y, y, y,..., y(n-1)
Assim a equao diferencial ordinria linear geral de ordem n
Classificao por Linearidade
)()()()()( xgyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n
011
1
1
-
Em (**) observamos as duas propriedades caractersticas de umaequao diferencial linear:
1) A varivel dependente e todas as suas derivadas so do 1 grau,isto , a potncia de cada termo envolvendo y 1.
2) Cada coeficiente depende no mximo da varivel independente x.As equaes diferenciais ordinrias lineares abaixo so,respectivamente, de 1, 2 e 3 ordem.
Classificao por Linearidade
)()()()()( xgyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n
011
1
1 (**)
-
b) y 2y + y = 0
x
dt
dy
dx
yd eyxc 5) 33
a) (y - x) dx + 4x dy = 0
Classificao por OrdemExemplos
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A equao diferencial que no da forma (1) uma equao no-
linear. Exemplo: 4'"2''' tyyyey t
Classificao por Linearidade
Equaes no-lineares: Uma equao diferencial ordinriano-linear simplesmente uma que no linear.
Funes no-lineares da varivel dependente ou de suas derivadas, como
seny ou e y, no podem aparecer em uma equao linear.Assim sendo,
,02
2
senydx
yd02
4
4
ydx
yd
Termo no-linearFuno no-linear de y
Termo no-linearPotncia diferente de 1
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xeyyya 2')1()
0)2
2
senydx
ydb
0) 24
4
ydx
ydc
Classificao por LinearidadeExemplos
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1 Exemplo solues de EDs: Verifique se a funo indicada
uma soluo da equao diferencial dada no intervalo (-,).
a) dy/dx = xy1/2; y = x4/16
b) y 2y + y = 0; y = xex
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Calculo 2 Introduo s Equaes Diferenciais
Apresentador: Msc. Henrique Grangeiro
b
a