Calculadora gráfica en bachillerato

Luis M. Botella López

Luis M. Millán García

Enrique Salinas Butrón

Tabla de Contenidos

I -INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................. 5

1. LA CALCULADORA GRÁFICA Y LA CLASE DE MATEMÁTICAS............................................................ 6 1.1. Introducción.............................................................................................................................. 6 1.2. Historia del proyecto. ............................................................................................................... 6 1.3. Principios metodológicos generales ......................................................................................... 7

2. ORGANIZACIÓN EN BLOQUES TEMÁTICOS ....................................................................................... 8 2.1. Generalidades sobre la calculadora gráfica ............................................................................ 8 2.2. La calculadra en Análisis ......................................................................................................... 8 2.3. La calculadora en correlación y regresión .............................................................................. 8 2.4. La calculadora en Álgebra lineal ........................................................................................... 10

II - GENERALIDADES .......................................................................................................................... 11

1. ZONAS DEL TECLADO.................................................................................................................... 12 2. PRIMER CONTACTO CON LA CALCULADORA:................................................................................. 13 3. ALGUNAS TECLAS QUE NO SIEMPRE ESTÁN EN UNA CALCULADORA CIENTÍFICA............................ 14 4. UN EJEMPLO DE UTILIZACIÓN ....................................................................................................... 15 5. CONVENIOS EN LAS REFERENCIAS A LAS TECLAS .......................................................................... 16

III - ANÁLISIS......................................................................................................................................... 17

1. TECLADO ESPECÍFICO. .................................................................................................................. 18 2. ACTIVIDADES ............................................................................................................................... 24

2.1. La caja de cartón. ................................................................................................................... 24 2.2. Rectángulos ............................................................................................................................ 26 2.3. El rectángulo más barato ....................................................................................................... 28 2.4. Reconocer funciones............................................................................................................... 30

2.4.1. ¡Ojo con la escala elegida! ........................................................................................................... 30 2.4.2. ¿Qué aspirante elegirías?.............................................................................................................. 31 2.4.3. Buscando fórmulas....................................................................................................................... 32

2.5. Las funciones polinómicas y sus raíces .................................................................................. 34 2.6. La lupa.................................................................................................................................... 41 2.7. Funciones circulares. ............................................................................................................. 43 2.8. Cambio de estado. .................................................................................................................. 48 2.9. Continuidad de funciones a trozos.......................................................................................... 51 2.10. Comparando crecimientos. ................................................................................................ 54 2.11. Reconocer funciones II. ..................................................................................................... 56 2.12. Un límite indeterminado. ................................................................................................... 58 2.13. Rectas tangentes................................................................................................................. 60 2.14. Cálculo de derivadas. ........................................................................................................ 64 2.15. Busca la primitiva. ............................................................................................................. 65

IV - CORRELACIÓN Y REGRESIÓN................................................................................................. 67

1. TECLADO ESPECÍFICO ................................................................................................................... 68 2. ACTIVIDADES ............................................................................................................................... 71

2.1. Identificando gráficas (I) ........................................................................................................ 71 2.2. Identificando gráficas (II)....................................................................................................... 72 2.3. Buscando gráficas (I). ............................................................................................................ 73 2.4. Buscando gráficas (II) ............................................................................................................ 76 2.5. La velocidad ........................................................................................................................... 76 2.6. Longitudes ................................................................Error! No s'ha definit l'adreça d'interès. 2.7. Muelle .......................................................................Error! No s'ha definit l'adreça d'interès. 2.8. Distancia de frenado.................................................Error! No s'ha definit l'adreça d'interès. 2.9. Aleaciones............................................................................................................................... 77 2.10. Neumáticos......................................................................................................................... 81 2.11. Planetas ............................................................................................................................. 83 2.12. Elementos radiactivos ........................................................................................................ 84 2.13. Población en la Comunidad Valenciana ........................................................................... 85 2.14. Equipos de fútbol ............................................................................................................... 86 2.15. Vehículos y víctimas........................................................................................................... 89

2.16. Calculando áreas ............................................................................................................... 90 2.17. ¡Cuidado con las conclusiones!......................................................................................... 95

3. MÁS ACTIVIDADES........................................................................................................................ 95 3.1. Un ejemplo.............................................................................................................................. 96 3.2. Concesionarios .........................................................Error! No s'ha definit l'adreça d'interès. 3.3. Tabaco ......................................................................Error! No s'ha definit l'adreça d'interès. 3.4. Dos variables ............................................................Error! No s'ha definit l'adreça d'interès. 3.5. Chalets ......................................................................Error! No s'ha definit l'adreça d'interès. 3.6. Mínimos cuadrados: Contaminación en el año 2.020 ............................................................ 96 3.7. Una conclusión inesperada: Venta de uva ............................................................................. 98 3.8. Cálculo de derivadas. ........................................................................................................... 101

V - ÁLGEBRA LINEAL ....................................................................................................................... 104

1. TECLADO ESPECÍFICO ................................................................................................................. 105 1.1. Edición de matrices .............................................................................................................. 106 1.2. Operaciones con matrices .................................................................................................... 107 1.3. Notas Importantes: ............................................................................................................... 109

2. ACTIVIDADES ............................................................................................................................. 110 2.1. Conexiones............................................................................................................................ 110 2.2. Biblioteca.............................................................................................................................. 110 2.3. I.N.E...................................................................................................................................... 111 2.4. Fabricación de juguetes ....................................................................................................... 112 2.5. La urbanización.................................................................................................................... 113 2.6. Álgebra y matrices. ............................................................................................................... 114 2.7. Inducción .............................................................................................................................. 114 2.8. Calcular ................................................................................................................................ 115 2.9. Las notas............................................................................................................................... 115 2.10. Otra ecuación con matrices ............................................................................................. 116 2.11. Rango de una matriz ........................................................................................................ 117 2.12. Calcular ........................................................................................................................... 119 2.13. Dependencia lineal .......................................................................................................... 119 2.14. Resolución........................................................................................................................ 120 2.15. Ecuaciones matriciales .................................................................................................... 122 2.16. Posición relativa .............................................................................................................. 123 2.17. La carretera ..................................................................................................................... 124

3. INVESTIGACIONES....................................................................................................................... 124 3.1. Lluvia en Tel-Aviv................................................................................................................. 124 3.2. Vectores. Matrices. Probabilidad ......................................................................................... 126 3.3. Movimientos migratorios...................................................................................................... 128 3.4. Matrices. Límites. Inducción ................................................................................................ 130 3.5. Pirámides de población ........................................................................................................ 132

VI - BIBLIOGRAFÍA............................................................................................................................ 136

I -INTRODUCCIÓN

I. INTRODUCCIÓN: La calculadora gráfica y la clase de matemáticas.

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1. La calculadora gráfica y la clase de matemáticas.

1.1. Introducción.

A pesar de que en un principio, bastantes profesores de matemáticas fueron reacios a la utilización de la calculadora en la clase, en estos momentos es ya una herramienta prác-ticamente aceptada por la casi totalidad de los mismos. Así, algunos temas concretos, como pueden ser la utilización de las tablas de logaritmos o las tablas trigonométricas, que requerían una gran cantidad de tiempo en clase, para un trabajo puramente mecáni-co, han encontrado en la calculadora científica una herramienta de trabajo que permite emplear el tiempo dedicado a la enseñanza del manejo de tablas, en encontrar estrategias y métodos de resolución de la actividad correspondiente y a la interpretación de los re-sultados obtenidos.

Actualmente, la aparición de las calculadoras gráficas, dan otro paso hacia adelante, y de nuevo nos hacen replantearnos el papel del profesor en la clase de matemáticas y a su vez, hacen que el tiempo dedicado a tareas puramente mecánicas (obtención de tablas de valores de una función dada, por sencilla que sea; cálculo de límites en el infinito, cálcu-lo de derivadas, problemas de optimización, etc.), sea menor y menos importante que lo ha sido hasta ahora.

El proyecto cuyo resultado es la presente publicación se basó, en su comienzo, en la uti-lización de la calculadora TI–82. La aparición en el mercado de la TI–83 supone una mayor facilidad de uso en muchas ocasiones. Todo el desarrollo del presente trabajo se refiere a esta última; de hecho, durante el curso 97–98 es la que se está utilizando.

1.2. Historia del proyecto.

El presente trabajo es el resultado de la experiencia llevada a cabo desde el curso 1994/95 con grupos de 1º y 2º de los Bachilleratos LOGSE tanto de la modalidad de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud como de Humanas y Sociales, y está refrendado por una ayuda a Proyecto de Innovación Educativa concedido por la Generalitat Valen-ciana en su convocatoria de Julio de 1996.

Gracias a la colaboración del Centro de Profesores de Alicante y de Texas Instruments hemos podido disponer durante estos cursos de un conjunto de 30 calculadoras TI-82 y una retroproyectable para trabajar en clase. No obstante, no siempre todos los alumnos han podido disponer de su propia calculadora, ya que por dificultades de horario se uti-lizaban en otro de los grupos en los que se desarrollaba la experiencia. Inclusive han po-dido disponer de ellas en las pruebas individuales realizadas y se les ha permitido llevar-las para su empleo en la Prueba de Acceso a la Universidad.

A los alumnos se les dio al comienzo de curso un breve extracto de los menús que nos podían interesar para el curso. Asimismo, cada vez que se comenzaba una nueva Unidad Didáctica, recibían información específica sobre la forma de trabajar. La calculadora retroproyectable ha sido un instrumento de valor indispensable para un buen seguimien-to del proceso.

I. INTRODUCCIÓN: La calculadora gráfica y la clase de matemáticas.

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Los bloques temáticos en los que consideramos de mayor utilidad y eficacia el empleo de la calculadora gráfica como material de aprendizaje son:

• Análisis. ◊ Funciones. ◊ Cálculo Diferencial. ◊ Cálculo Integral.

• Regresión y Correlación.

• Álgebra lineal.

1.3. Principios metodológicos generales

Podemos destacar dos principios básicos de la metodología empleada :

• Las clases se basan de una forma sistemática en la Resolución de Problemas.

• Se utiliza, de modo habitual, la calculadora gráfica como herramienta de trabajo y aprendizaje.

Las actividades que se proponen en los capítulos siguientes intentan mostrar cómo es posible desarrollar el currículo de los diferentes Bachilleratos en los bloques citados an-teriormente utilizando la calculadora como instrumento de investigación y autoaprendi-zaje de forma habitual. La calculadora permite que alumnas y alumnos realicen hipóte-sis, intuyan y corroboren resultados al poder realizar de forma casi instantánea una can-tidad de cálculos y representaciones gráficas que no sería factible sin la ayuda de este instrumento.

No se pretende ni eliminar los resultados y demostraciones teóricas, ni las destrezas que se deben adquirir, aunque sí aquellas rutinas que no dejan ver los conceptos fundamen-tales. De hecho, los teoremas y demostraciones son más fácilmente asimilables cuando previamente se es consciente de su evidencia y utilidad práctica; asimismo, alguna de las destrezas se adquiere más fácilmente después de conseguir realizarlas a través de la calculadora.

Es interesante recordar lo que el DOGV marca como contenidos en el capítulo corres-pondiente a la resolución de problemas:

Resolución de problemas Al mismo tiempo que se resuelven los problemas que permiten plantear los conceptos y técni-cas matemáticas que se proponen en los núcleos de contenidos, resulta útil reflexionar sobre los procedimientos y métodos empleados. La explicitación de las distintas fases ha supuesto la resolución de un problema y la sistematización de estrategias heurísticas empleadas con éxito, constituye una ayuda, una guía para actuar ante nuevas situaciones problemáticas y para revi-sar críticamente los problemas ya resueltos. En consecuencia, este núcleo tiene un carácter transversal y sus contenidos serán tenidos en cuenta exclusivamente en conexión con el desa-rrollo del resto de los tenidos.

Los contenidos de este núcleo son:

• Fases en la resolución de problemas: formulación, elaboración de conjeturas, diseño y eje-cución de la estrategia de actuación, interpretación de los posibles resultados.

• Distintas estrategias de actuación: simplificación, analogía, particularización, generaliza-ción, inducción, razonamiento por reducción al absurdo, análisis de las posibilidades, etc..

I. INTRODUCCIÓN: Organización en bloques temáticos

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2. Organización en bloques temáticos

2.1. Generalidades sobre la calculadora gráfica

En el Capítulo II se dan las instrucciones generales para comenzar a trabajar con la cal-culadora gráfica que se ha utilizado; en clase, se insiste en algunos ejercicios para fami-liarizar a alumnos y alumnas con el teclado y con las particularidades referentes a prio-ridad de operaciones, multiplicación implícita y uso de variables.

2.2. La calculadra en Análisis

Si nos fijamos, por ejemplo, en los problemas de optimización, en donde gran parte del tiempo empleado en su resolución correspondía al cálculo de derivadas, puramente me-cánico, veremos que la utilización de la calculadora gráfica nos permite emplear este mismo tiempo en obtener la función que deseamos optimizar, lo cual es, posiblemente, la parte más complicada de este tipo de actividades, para la mayoría de los alumnos. Y queda claro que una vez obtenida dicha función, la calculadora reduce el cálculo del máximo a buscar sobre la gráfica dicho punto. Esto hace que el cálculo de derivadas apenas sea necesario, lo que abrirá un nuevo debate entre los partidarios y los no parti-darios de la calculadora gráfica, al igual que pasó en su momento con la calculadora científica.

Por otra parte, la obtención de límites del tipo 0/0 con la calculadora, nos obliga a intro-ducir la técnica necesaria, ya que para este tipo de límites, y puesto que la calculadora necesita aproximar los valores correspondientes, el resultado real y el que se predice con la calculadora pueden resultar diferentes. Con este tipo de actividades, pues, comproba-mos que es necesario “superar” a la calculadora.

En el Capítulo III exponemos algunas actividades, correspondientes al bloque de Aná-lisis, que hemos desarrollado en los curso de 1º y 2º de Nuevo Bachillerato.

Estas actividades dieron buenos resultados con los alumnos, ya que ellos vieron que te-nían en sus manos una herramienta bastante útil y potente, y nosotros observamos que algunos de los conceptos estudiados, resultaban de mucha más fácil comprensión. Así por ejemplo, la importancia de la escala elegida a la hora de representar gráficamente una función, es algo que con ayuda de la calculadora gráfica, se demostró especialmente importante. Una de las ejemplos que proponemos se refiere a ello.

Expondremos algunas de las actividades que hemos desarrollado en clase con los alum-nos (aquellas que nos han parecido más interesantes), si bien queda claro que no han sido las únicas, y que para la resolución de algunas de ellas, se ha hecho un trabajo pre-vio para que los alumnos y alumnas tuviesen los conocimientos necesarios para poder abordarlas.

También señalaremos algunas dificultades encontradas al utilizar la calculadora que pensamos podrían corregirse en adelante.

2.3. La calculadora en correlación y regresión

Este bloque temático nos brinda la ocasión de desarrollar y relacionar entre sí una gran cantidad de los conceptos y procedimientos constitutivos del curriculum de los nuevos bachilleratos, tanto en la modalidad de Ciencias Sociales como en la de Ciencias de la Naturaleza o Tecnológico, al interrelacionar modelos funcionales teóricos con estudios experimentales, Análisis con Estadística. El disponer en la actualidad de una herramien-


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ta como la calculadora gráfica enriquece sobremanera su desarrollo, al permitir abordar el estudio de regresiones no lineales y obviar el farragoso trabajo de realización de cál-culos repetitivos; en definitiva, permite dar prioridad al razonamiento sobre el cálculo.

Como requisitos previos, suponemos que se ha dedicado un tiempo para trabajar pro-blemas conducentes a asimilar el concepto de relación funcional entre dos magnitudes, y a modelizar las relaciones encontradas, se espera que alumnos y alumnas sean capaces de reconocer a partir de una gráfica los tipos de funciones estudiados.

Es también posible seguir el procedimiento inverso, es decir, estudiar los modelos fun-cionales cuando surja la ocasión a partir de un ajuste que aparece en la calculadora. De hecho, no es necesario saber qué tipo de función ajusta a una nube de puntos, sino saber que ésta puede ser ajustada mediante una gráfica de la que la calculadora nos da la ex-presión algebraica que, tanto si es o no conocida por alumnas y alumnos, puede ser co-piada en el editor de funciones y representada gráficamente, así como trabajar con una tabla de valores de la misma, a partir de la que es posible interpolar, extrapolar u opti-mizar. Puede ser un foco de interés el que aparezca una cierta relación desconocida co-mo ajuste de una nube de puntos basada en una situación real.

O se puede seguir un proceso intermedio, con el estudio previo de relaciones funciones sencillas para estudiar, por ejemplo, exponencial y logarítmica cuando surja una regre-sión de uno de estos tipos durante la resolución de una de las actividades propuestas en este bloque.

Por otra parte, veremos que en la regresión lineal −y otras−, el coeficiente de correla-ción se obtiene de forma automática, pudiendo hacer más hincapié en la interpretación del mismo que en el cálculo, así como en la diferencia entre relación funcional o esto-cástica entre variables. Podemos ejemplificar su cálculo para que se tenga una idea más clara de su significado, pero no consideramos demasiado útil el aprender una fórmula para ello.

El Capítulo IV se ha dividido en tres partes (a efecto de proponer actividades con una cierta afinidad). No se trata de dividir en apartados estancos, sino de considerar tres ti-pos de situaciones; las actividades no tienen por qué plantearse en este orden ni en nin-gún otro orden preestablecido que no sea el de investigar situaciones basándose en el aprendizaje y experiencias previas consolidadas en la mente.

◊ Reconocer funciones. Se trata de que alumnas y alumnos pongan en juego habili-dades anteriores para reconocer modelos funcionales que coincidan de una manera “exacta” o “aproximada pero lo mejor posible” a una serie de situaciones.

◊ Relación funcional experimental. Se propone una serie de actividades en que hay que encontrar “la mejor 1” aproximación a la relación funcional existente entre dos variables, para lo que conocemos una tabla de valores obtenida experimental-mente.

Se trata de que identifiquen la función buscada a partir de la nube de puntos. Una vez hecho, que cada uno construya la función que mejor se adapte a los puntos, para luego discutir los criterios seguidos y concluir cuál parece “la mejor aproxi-mación”.

1Término evidentemente subjetivo en estos momentos.


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Se utiliza la calculadora para corroborar o refutar hipótesis de forma intuitiva, re-presentando gráficamente la nube de puntos y superponiendo las gráficas de las funciones propuestas.

◊ Relación estadística. Se debe ajustar una nube de puntos mediante una cierta fun-ción; un objetivo importante a lograr es el distinguir entre relación funcional y re-lación estocástica, así como interpretar debidamente el coeficiente de correlación cuando proceda.

2.4. La calculadora en Álgebra lineal

Se trata de comprobar que el trabajo con Álgebra Lineal que habitualmente queda hipo-tecado en su aspecto más investigador por la necesidad de cálculos farragosos y por la dificultad de trabajar con matrices de orden mayor que 4, puede desarrollarse con una mayor ambición sin, por ello, quedar desprovisto de su aspecto "mecánico". El trabajo del alumno no es sólo calcular la multiplicación de las matrices, sino traducir un texto en un modelo matemático e interpretar los resultados.

Mediante unos problemas de introducción que dan lugar a sistemas de ecuaciones linea-les, se llega a la definición de matriz. Con la calculadora gráfica no hay ningún proble-ma en editar matrices, así como en operar con ellas: suma, multiplicación por un escalar, multiplicación, potencias, matriz inversa. Los menús relativos al Álgebra Lineal son po-cos y, por tanto, en este aspecto no hubo grandes dificultades de aprendizaje.

Lo curioso es que hechos como la necesidad de que en la multiplicación de matrices se cumpla una determinada condición o el de que sólo existan determinantes para matrices cuadradas fueran descubiertos por ellos mediante la utilización de la calculadora.

Actividades de destrezas −−−− manipulación. La calculadora gráfica nos permite realizar cualquier tipo de operaciones con matrices, pero también nos permite operar con filas, calcular determinantes, trasponer, etc. En este proyecto se proponen unas actividades que pueden cubrir perfectamente el currículo de los cursos mencionados.

Investigaciones. Asimismo, se proponen unas actividades de investigación en las que el objetivo prioritario es ver la relación de las matrices con otros campos de la realidad científico−social. En estas actividades, la calculadora gráfica, nos permite aligerar el as-pecto operativo y centrarnos esencialmente en la investigación.

II - GENERALIDADES

II. GENERALIDADES: Zonas del teclado

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1. Zonas del teclado

1. Las normales en una calculadora científica con pequeñas modificacio-nes.

2. Menús.

3. Cursores para desplazamiento.

4. Gráficos.

II. GENERALIDADES: Primer contacto con la calculadora:

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2. Primer contacto con la calculadora:

OBJETIVOS TECLAS PANTALLA

Encender. É La última que se tuviese cuando se apagó.

Apagar. 2 ®

Restaurar las condiciones iniciales de la memoria. Pe-ro se debe manejar con cui-dado como se explica des-pués.

2¯

En el menú MEMORY,

elegir 2

opción 5 : Reset43

¡Cuidado!. Con esto se bo-rra absolutamente todo de la calculadora; es interesante hacerlo así cuando desea-mos controlar el estado4 de todas las calculadoras de la clase, pero no debemos ha-cerlo si tenemos trabajos guardados que nos interesa conservar.

y confirmar con

1:All Memory...

2 : Reset

Al realizar el “Reset”, tam-bién se restablece el con-traste de la pantalla.

Si éste es insuficiente, se puede aumentar presionan-do la tecla y y mante-niendo pulsada la tecla de cursor hasta que se vea co-rrectamente (el cursor † sirve para disminuirlo).

y}

2 Dentro de un menú, se puede elegir una opción de dos maneras: • Pulsando la tecla con el número que corresponde a la opción. • Utilizando las teclas de cursor arriba } o abajo † para desplazar el cursor a la opción apropiada,

confirmando a continuación con la tecla Í.

3 Cualquier opción que vaya seguida por puntos suspensivos (…) da lugar a una nueva pantalla de subme-nú; de lo contrario, se trata de órdenes directas.

4 Se borran datos y programas, pero además la pantalla de gráficos vuelve a los límites estándar y se des-activan los gráficos estadísticos; los cálculos estadísticos quedan predeterminados a las listas L1 y L2.

II. GENERALIDADES: Algunas teclas que no siempre están en una calculadora científica

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Si en la pantalla “Reset” elegimos

Y confirmamos con

2 : Defaults

2 : Reset

Se restablecen los valores predeterminados para

MODE, Y= , STAT PLOT,

WINDOW, TABLE,

GRAPH

Se puede borrar parte de lo que hay en memoria:

Cada opción del menú da acceso a los elementos indi-viduales para, si se desea, borrarlos. Así, es posible, por ejemplo, borrar las fun-ciones Y2 , Y3 y las listas L3 y L4 dejando todo lo demás.

eligiendo la opción

2 : Delete4

en lugar de la 5 : Reset4

Podemos distinguir entre la pantalla principal o de cálculos y las pantallas gráfica y de menús. De cualquiera de estas dos últimas se vuelve a la primera al pulsar

yK

3. Algunas teclas que no siempre están en una calculadora

científica

Í Sirve para confirmar cualquier cálculo u opción de menú.

Si se pulsa reiteradamente en la pantalla de cálculo, va repitiendo siempre la última línea de cálculo.

‘ Borra la línea de entrada

{ Borra el carácter sobre el que se encuentre situado el cursor

y/ Normalmente si el cursor se encuentra situado sobre un carácter y pulsamos otra tecla, ésta reemplaza a la anterior (modo de sobreescritura).

Para insertar caracteres en una expresión, debemos pasar al modo de INSERCIÓN (Observar que cambia el aspecto del cursor tras pulsar estas

II. GENERALIDADES: Un ejemplo de utilización

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teclas)

2± Recupera el resultado del último cálculo realizado

2 ² Recupera sucesivamente las últimas líneas de entrada. De gran utilidad para repetir cálculos que provienen de una línea de entrada larga en que debemos cambiar algún valor.

§ Almacena un valor o el resultado de evaluar una expresión en una variable

4. Un ejemplo de utilización

Calcular los volúmenes de varios cilindros, con distintos radios y alturas


Primer cálculo:

Valor del radio

Altura

Volumen

Â ¿ ƒ R Í

· ¿ ƒ A Í

y T R ¡ ƒ H

Í

Segundo cálculo: 2 ² (tres veces)

| | | ¶ Í

2 ² (tres veces)

| | | ¬ Í

2 ² (tres veces)

Í

El método sigue siendo un poco pesado. Afortunadamente, es posible escribir varias ins-trucciones en la misma línea, separadas por dos puntos (:); el cálculo quedaría así:


Primer cálculo: Â ¿ ƒ R y Ë

· ¿ ƒ H y Ë

y T R ¡ ƒ H

Í

II. GENERALIDADES: Convenios en las referencias a las teclas

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Segundo cálculo: 2 ²

| (12 veces) ¶

~ (3 veces) ¬

Í

5. Convenios en las referencias a las teclas

Nos referiremos a las teclas de una de dos formas. La primera descripción de un proceso se referirá a una tecla directa como

…

Y a la segunda función de dicha tecla como

y [LIST]

Tras las primeras indicaciones de un proceso, prescindiremos de esta notación, pues su-ponemos que para todos los lectores es evidente que para escribir “72 + 3” hay que pul-sar cuatro teclas: ¬ Á Ã Â.

III - ANÁLISIS

III. ANÁLISIS: Teclado específico.

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1. Teclado específico.

Comenzamos viendo la zona del teclado de la calculadora que más vamos a utilizar en este bloque de análisis. Se trata de la zona indicada en el dibujo:

1. Cursores para desplazamiento.

2. Gráficos.

Veamos ahora cómo manejar estas teclas de la calculadora. Para ello, vamos a hacer una breve descripción de las teclas que se utilizan y las pantallas que se obtienen al pulsarlas así como los diferentes menús y submenús que nos iremos encontrando.

¡Atención!


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Es importante tener en cuenta algunas consideraciones sobre la calculadora, que serían las siguientes:

1. Hemos de distinguir el signo menos:

a) Si se trata del signo del número, la tecla a utilizar es Ì.

b) Si se trata del signo de restar, la tecla es ¹

2. Si una pantalla tiene varias opciones, para elegir una de ellas podemos hacerlo de dos formas distintas:

a) Moviéndonos con los cursores hasta la opción que queramos seleccionar, y pul-sando la tecla Í.

b) Pulsando el número que acompaña a dicha opción.

TECLA SUBMENÚ PANTALLA

o

Editor de funciones. Lo utilizaremos para in-troducir la función que queramos representar. . Nótese el símbolo que se encuentra a la iz-quierda de Y1 para el que existen siete opcio-nes.

Las opciones de la columna siguiente nos in-dican el tipo de trazo con que se dibujará la función.

Con las dos siguientes opciones, representa-ríamos las inecuaciones y1≥ 'expresión' e y1≤'expresión, respectivamente

Por último, las dos opciones siguientes indi-can la forma del cursor y el trazo de la gráfi-ca. Observa que en el segundo caso el trazo no existe y tan sólo veríamos la forma de la función siguiendo el desplazamiento del cur-sor


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p

Nos permite definir la escala de los ejes. Esta es la escala estándar.

Xmin y xmax determinan los valores entre los cuales está comprendida la x. Xscl nos indica qué cantidad representa cada división en el eje de abscisas.

Análogamente con el eje de ordenadas.

Xres nos permite controlar la resolución de la pantalla

Para modificarlo, nos movemos con los cur-sores y pulsamos los valores que queramos. Estos valores también se pueden introducir mediante operaciones. Así, en la segunda pantalla el valor de xmin se ha introducido pulsando las teclas Ì, Á, T, , y análoga-mente las demás.

yq

equivale a FORMAT

Nos indica qué tipo de coordenadas quere-mos utilizar y cómo saldrá la pantalla de grá-ficas.

En ocasiones es interesante seleccionar la opción GridOn, que introduce una cuadrícula en los ejes de coordenadas.

y TBLSET

Sirve para elegir de qué modo queremos que la calculadora nos proporcione la tabla de la función. TblStart, indica el menor valor de x que habrá en la tabla de la función e ∆Tbl el incremento en los valores de x, siempre que la tabla se genere automáticamente, para lo cual Indpnt y Depend han de estar en modo Auto. Si alguna de ellas está en modo Ask, la calcu-ladora espera que nosotros demos el valor correspondiente y pulsemos ¸ (si sólo es Indpnt:Ask) o que seleccionemos el valor de x y pulsemos ¸, si sólo es Depend:Ask.


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ys, que equivale a '

Se utiliza para obtener la tabla de una fun-ción.

Depende de las opciones que hayamos elegi-do previamente en el menú TblSet.

La primera pantalla correspondería a una ta-bla generada automáticamente, y la segunda a una generada manualmente.

q

q

Como su nombre indica, sirve para seleccio-nar una zona determinada de una gráfica.

También se puede utilizar para definir escalas predeterminadas en la calculadora.

Así las opciones 4, 6, 7 y 8, se corresponden con la escala decimal, la estándar, la trigo-nométrica y la entera. La opción 5 nos permi-te que las circunferencias se vean como tales.

La opción 9 se utiliza en Estadística.

q MEMORY.

Apenas utilizado en esta parte, salvo la op-ción 4 que permite al Zoom acercarse o ale-jarse más rápidamente de la zona de la gráfi-ca seleccionada, dependiendo de los factores que utilicemos.

En la segunda pantalla vemos que al pulsar 4, tenemos posibilidad de cambiar esto factores.

r

Al pulsar esta tecla, obtenemos la gráfica de la función que hayamos editado, y además las coordenadas del punto de la gráfica sobre el que se encuentre el cursor. Un posible ejem-plo aparece en la pantalla.

En la gráfica, el menú FORMAT tiene activa-da la opción ExprOff. Y el número 1 que apa-rece en el borde superior derecho de la panta-lla, nos indica que el cursor se encuentra so-bre la gráfica de la función definida en Y1.


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Ahora, el menú FORMAT tiene activada la opción ExprOn, por lo que además de obser-var las coordenadas del punto de la gráfica sobre el que se encuentra el cursor, podemos observar la expresión de la función de la que se trata.

Además, si queremos que el cursor se sitúe en un punto concreto, por ejemplo x=1,52, basta con escribir ese valor en la pantalla grá-fica.

Y pulsar Í

s

Igual que la anterior, sólo que en este caso, no vemos las coordenadas del punto de la gráfica sobre el que se encuentre el cursor.

y[CALC]

Las opciones que aparecen en esta pantalla las hemos utilizado tan sólo cuando los alum-nos han tenido claro el concepto que repre-sentan.

3

Sirve para determinar el modo en que funcio-nará la calculadora y cómo considerará a los números, los ángulos, las funciones, si unirá los puntos en las gráficas (Connected) o no los unirá (Dot), si representará las funciones en forma secuencial o simultáneamente y si trabajará con la pantalla completa (Fullscreen) o dividida en ventanas. En este caso, con la opción Horiz veríamos la/s gráfica/s y la/s ex-presión/es de la/s función/es, y con la opción G-T veríamos la/s gráfica/s y la tabla de la/s función/es


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�

MATH5 1. Pasa el número decimal a fracción 2. Fracción a decimal 3. Exponente para elevar al cubo 4. Raíz cúbica 5. Raíz de cualquier orden 6. Valor mínimo de una función en un inter-

valo 7. Valor máximo de una función en un inter-

valo 8. Derivada de una función en un punto 9. Integral de una función en un punto 10. Resolver la ecuación expresión=0.

NUM

1. Calcula el valor absoluto de la expresión que le pongamos a continuación

2. Redondea al número especificado de de-cimales

3. Devuelve la parte entera del número (trun-ca)

4. Devuelve la parte decimal 5. Devuelve la parte entera (el mayor entero

menor o igual que el número especificado) 6. Mínimo de una lista 7. Máximo de una lista 8. Calcula el mínimo común múltiplo 9. Calcula el máximo común divisor

y TEST

TEST

Vemos la igualdad y las desigualdades lógi-cas.

La calculadora da como resultado el valor 1 si se cumple la expresión que escribamos y 0 si no se cumple

LOGIC

Igual que lo anterior pero con los operadores lógicos

5 El resto de los submenús prácticamente no han sido utilizados en este bloque de Análisis, sea por exce-der el nivel conceptual requerido, o por no ser de utilidad en este bloque.

III. ANÁLISIS: ACTIVIDADES

Pág. 24


÷ Y-VARS

Utiliza como variables funciones en sus dife-rentes formas: explícita, paramétrica, polar

También permite activar o desactivar la re-presentación gráfica de una función (4.On/Off)

La opción Function..., permite utilizar como variable de una función dada en forma explí-cita, otra función ya definida previamente. Para ello basta con pulsar el número que co-rresponda a la función que deseemos utilizar

2. ACTIVIDADES

En las actividades que proponemos a continuación, damos también un posible enfoque, sin que por supuesto, sea la única forma posible de resolverlas.

2.1. La caja de cartón.

De una lámina de cartón cuadrada, de 24 cm. de lado, queremos fabricar una caja sin tapa. Podemos hacerla recortando cuadrados de las esquinas y doblando por los lados:

Si queremos que la caja tenga el máximo volumen posible, ¿De qué tamaño serán los cuadraditos que se corten?

La función de la que hay que calcular el valor máximo es:

y = x⋅(24–2x)2,

que desarrollada resulta : y = 4x3–96x2+576x.

Si queremos introducir dicha función en la calculadora gráfica, los pasos a seguir serían los siguientes:

OBJETIVO TECLAS PANTALLA

Introducir la expresión de la función en la calculadora

o


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Teclear dicha función ¶, „, �, Â, ¹6, ®¸, „, ¡, Ã, ·¬¸, „

Con los cursores nos mo-vemos hasta definir la esca-la que deseemos (valores máximo y mínimo de la or-denada y de la abscisa, y escala de cada eje).

Ê, †, ÀÁ, etc

(La escala que damos podría servir, pero no sería la única.)

Observar la gráfica corres-pondiente a dicha función

s

Además queremos conocer las coordenadas del punto de la gráfica sobre el que nos encontremos con el cur-sor.

r

Para calcular el valor máximo, nos desplazamos con el cursor hasta el punto más alto de la gráfica, y en la pantalla de la calculadora obtenemos:

Utilizamos la tabla de la función para obtener una mejor aproximación del va-lor máximo.

y'

En dicha tabla, los valores de x comienzan por cero y van de uno en uno, esto po-demos variarlo, y para ello hemos de pulsar

y TBLSET

Queremos que comiencen en 3.5, y que el incremento de la x sea de 0.1

ÂË·, †, ËÀ,†, seleccio-namos Auto para Indpnt, †, seleccionamos Auto para De-

pend (si no lo están)

6 Atención a este signo menos que es el de restar, no confundir con la tecla (–) que corresponde al signo del número.


Pág. 26


Observamos de nuevo la tabla de la función

y'

Esta última tabla puede dar la impresión de que los va-lores obtenidos se repiten si consideramos que x=4 está en el centro, por lo que para observar que no es así, po-demos desplazarnos hacia abajo con el cursor, obte-niendo esta nueva tabla:

y'

Una vez obtenida la función que nos da el volumen de la caja, dependiendo del lado del cuadradito que cortamos, los alumnos buscan el máximo sobre la gráfica de la función, desplazándose con el cursor sobre la gráfica, después de haber dado a la opción TRACE, y obteniendo el valor exacto a partir de la opción TABLE.

Observamos, con esta actividad, cómo no necesitamos el cálculo de derivadas para re-solverla, a pesar de ser un ejemplo bastante utilizado en los problemas típicos de opti-mización, y cómo la calculadora nos permite obtener rápidamente la gráfica y la tabla de la función correspondiente.

2.2. Rectángulos

Toma una hoja de papel cuadriculado y recorta todos los rectángulos que puedas de área 36 unidades cuadradas (tomando como unidad uno de los cuadritos) y que tengan longitudes enteras de sus lados.

a) ¿Cuántos rectángulos puedes recortar?. Considera tanto el de base 4 como el de 9.

b) Anota en una tabla la base, la altura y el perímetro de cada uno. ¿Encuentras algu-na relación entre la base y la altura?

c) Pega todos los rectángulos obtenidos en una hoja de papel, uno sobre otro, de ma-nera que la base quede en una misma línea horizontal, la altura en una misma línea vertical y el vértice inferior izquierdo en el mismo punto. Une mediante segmentos los vértices superiores derechos de los rectángulos.

d) Representa gráficamente la relación base – perímetro

Una vez realizada la actividad, en la que se da sentido a la gráfica (apartado c)), veamos

cómo representar esa gráfica con la calculadora. La función es yx

=36


Pág. 27


Definir la función o

Aparece la pantalla de edición de funciones. Escribiremos, Â¸, ¥, „7.

Definiremos la escala apro-piada. Para que sea la mis-ma que hemos utilizado, sería:

p

Xscl, Yscl definen los intervalos en que se dibujarán marcas en los ejes.

Ver la gráfica en la pantalla. s

Pero... el tamaño de las uni-dades no es el mismo en los dos ejes.

q

Opción “5: Zsquare”. En base a la escala definida en p, se redefinen dichos valores de la mejor manera posible (en este caso se mantienen los del eje Y) para que las unidades tengan el mismo tamaño en los dos ejes.

Recorrer la gráfica con un cursor y visualizar en la pantalla los puntos por los que dicho cursor va pasan-do.

r

Visualizar una tabla de va-lores de la función que es-tamos estudiando.

y'

7 OBSERVA que se ilumina el signo “=“ que sigue a “Y1”. Esto significa que la función “Y1” ha queda-do seleccionada para ser representada gráficamente.


Pág. 28

Ahora se trata de representar, en la misma situación anterior (apartado d), la relación entre el perímetro (y) del rectángulo y la base (x). La fórmula es, como ya sabes,

y xx

= +272

.


Definir la nueva función o

Descender a la altura de “Y2” y escribir Á, „, Ã, ¬Á, ¥, „

¡Ya tenemos las dos gráfi-cas!.

s

¿Y si sólo queremos ver la última gráfica?.

o

situamos el cursor sobre el “=“ que sigue a “Y1” y pulsamos Í. Acabamos de desacti-var la primera función.

Al pulsarla, tenemos sólo la gráfica de la segunda expre-sión.

s

2.3. El rectángulo más barato

Nos interesa encontrar el “rectángulo barato”, es decir, el de menor perímetro entre todos aquellos que tienen la misma área.

Seguimos estudiando la función anterior. o con la tabla de valores:


Podemos trabajar con la gráfica…

r

Utilizamos las teclas de cursor para recorrer la gráfica. Obte-nemos el menor perímetro para la escala actual. Pero es una estimación que hay que con-cretar más.


Pág. 29


…y acercarnos más… q

Aparecen varias posibilidades. Vamos a utilizar la opción <2:Zoom In>; vemos un cursor distinto al anterior, que nos sirve para situar el centro de la pantalla que resulte de realizar el zoom. Confirmamos la po-sición del cursor (que es la más próxima al punto que nos interesa) presionando Í

r

Obtenemos ahora Y=24.000003 para X=5.9969758. Podemos repe-tir varias veces el procedi-miento...

Se debe tener en cuenta que lo que obtengamos depende de cómo esté configurada la op-ción 4.SetFactors del menú MEMORY que se obtiene tras pulsar la tecla y FORMAT

Por cierto, la gráfica que aparece en la pantalla cada vez se asemeja más a una recta. Ya tendremos tiempo de hablar con detalle de este parecido cuando se introduzca la idea de derivada y recta tangente.

Con la tabla de valores podemos confirmar nuestras sospechas. Veamos: todo hace sos-pechar que el punto buscado se encuentra cerca de X=6.


Demos las características de la tabla:

2&

Ver la tabla 2'

¡Vaya!. Da la impresión de que Y siempre vale 24. Pero si si-tuamos el cursor sobre uno de estos 24 y miramos la línea inferior, vemos que no es así.


Pág. 30


Desplazándonos hacia abajo, podremos comprobar que el único Y=24 se obtiene con X=6. Esto confirma nuestras sospechas.

Otra posibilidad consiste en hacer Indpnt: Ask, despla-zando el cursor sobre Ask y confirmando con Í

2&

Ahora la tabla está vacía, pero cada vez que escriba-mos un valor bajo la X, ob-tendremos el correspondien-te valor bajo Y:

2'

2.4. Reconocer funciones

2.4.1.¡Ojo con la escala elegida!

Dada la siguiente gráfica, obtener la función correspondiente.


Descubrir la función cuya gráfica nos dan

o

En este caso, se obtendría sin ningún esfuerzo la función buscada, por lo que se indica que no está permitida la utilización de esta tecla.

Ver la escala utilizada en dicha representación

p


Pág. 31


Ver los puntos por donde pasa la recta

r

Ver la tabla de dicha fun-ción

y'

A partir de aquí se observa que la pendiente es 3000 y la ordenada en el origen es 1000, por lo que se trata de la función y=3000x+1000.

Comentarios.

La actividad se desarrolla utilizando la calculadora retroproyectable, de manera que los alumnos tan sólo ven sobre la pantalla la gráfica dada en el enunciado.

Los alumnos intentan en primer lugar el camino más fácil, que es el de utilizar el editor de funciones (tecla < Y= >). No obstante, creo que es conveniente no cortarles este ca-mino de entrada, ya que es una posibilidad que no se les debería escapar.

Una vez que se les dice que no está permitido utilizar dicha tecla, la variedad de pro-puestas se resume en las tres que hemos indicado.

Con la opción TRACE, descubren la ordenada en el origen. Moviéndose con el cursor sobre la gráfica, intentan descubrir la pendiente, pero como con esa escala el cursor no avanza sobre valores enteros de x, los alumnos piden que (o lo hacen ellos mismos so-bre la calculadora retroproyectable), se les ponga en pantalla la tabla de dicha función (los más “listillos”, además piden que coloques el cursor sobre Y1, ya que en ese caso, aparece la expresión de la función. Entonces se les dice que no está permitido).

Se trata de la función y=3000x+1000.

2.4.2.¿Qué aspirante elegirías?

Dos aspirantes al puesto de Director Comercial de una empresa intentan justificar que cada uno de ellos es el que se merece el puesto mediante un gráfico en donde se mues-tra la evolución del número de ventas de un determinado artículo, gracias a la campa-ña de promoción llevada a cabo por cada uno de ellos. ¿Qué aspirante ha obtenido más éxito? Aquí tienes las gráficas que presenta cada uno de ellos, respectivamente:


Pág. 32

Comentarios.

Una vez hecha la actividad anterior, esta no resulta complicada y el camino a seguir es el mismo.

Se trata de la misma función que en el caso anterior, sólo que se han empleado diferen-tes escalas en los ejes, para que los alumnos vean lo fácil que es engañar con las gráficas si no se tiene en cuenta la escala elegida. Las escalas utilizadas para cada una de ellas son, respectivamente:

2.4.3.Buscando fórmulas

Obtén la expresión de las funciones cuyas gráficas son las que se dan a continuación:

El método seguido en los casos anteriores también es válido. En este caso, lo primero que hacemos es intentar localizar el vértice de la parábola, o los punto de corte con el eje de abscisas. A continuación, obtenemos un punto (distinto de los anteriores), por el que pase la parábola, y lo utilizamos para calcular el valor del coeficiente a, con lo que la parábola queda completamente determinada.

Los valores del menú p elegidos para cada una de ellas son, respectivamente:

Resolvamos por ejemplo la primera parábola, localizando los puntos de corte con el eje de abscisas (las raíces).:


Conocer la escala elegida

p


Pág. 33


Localizar las raíces y otro punto por donde pase la pa-rábola (por ejemplo el vérti-ce).

r

Por la facilidad de la actividad, se observa que los puntos de corte con los ejes son el (2,0) y el (–2,0) y el vértice es el punto (0,–4). Por lo tanto, la ecuación de la parábola es:

y = a⋅(x − 2)(x + 2)

y puesto que pasa por el punto (0,–4), deberá cumplirse que

−4 = a⋅( −2)(2) ⇒ −4a = −4 ⇒ a = 1.

Así pues, la expresión de la parábola sería y = x2 −−−− 4.

Resolvamos ahora , de otra forma, la segunda de las parábolas, en este caso localizando el vértice y otro punto por el que pase la parábola:


Conocer la escala elegida

p

Localizar el vértice y otro punto por el que pase la pa-rábola

r

Localizar el vértice de la parábola. Para ello, vamos a utilizar la opción TABLE en modo manual (Ask)

ya hemos localizado un punto por el que pasa (el punto de corte con el eje de ordenadas), pero la escala elegida no nos permite loca-lizar la ordenada del vértice con la opción TRACE)

2&

Seleccionamos con el cursor Indpnt:Ask

Calcular la ordenada para x=4

y', ¶, Í


Pág. 34

De esta forma, sabemos que el vértice es el punto (4,–4) y que pasa por el punto (0,12).

Por ser el vértice (4,–4), la expresión sería y=a(x–4)2–4

Por pasar por (0,12), habría de ser 12 = a(–4)2 − 4 ⇒ 12 = 16a − 4 ⇒ 16 = 16a ⇒ a = 1.

La parábola sería y = (x −−−− 4)2 −−−− 4 = x2 −−−− 8x + 12

Cualquiera de estos dos métodos nos serviría para obtener la expresión de la tercera

parábola. Se trata de y = −−−− −−−− ++++1

21 32( )x

Comentarios.

Con esta actividad se consigue un objetivo que pretendemos todos los profesores de ma-temáticas: que vean la importancia de la escala a la hora de hacer la representación grá-fica de una función. A pesar de que insistimos mucho en ello, cuando utilizamos la piza-rra los alumnos no acaban de ver esta importancia, ni los efectos que produce en las grá-ficas. Sin embargo, al utilizar la calculadora gráfica, queda claro que lo primero que hemos de tener en cuenta es la escala elegida, ya que sin ello, incluso es posible que no veamos nada en la pantalla.

Además, en el caso de las parábolas, podemos estudiarlas todas ellas a partir de la pará-bola y=x2. Esta nos sirve de modelo y, mediante las transformaciones adecuadas, da lu-gar a cualquier otra parábola.

2.5. Las funciones polinómicas y sus raíces

Con ayuda de la calculadora gráfica, obtén la descomposición factorial, las raíces y su multiplicidad, de los polinomios asociados a las siguientes funciones, así como la expre-sión analítica de la función:

GRÁFICA ESCALA ELEGIDA

Vamos a intentar obtener la función cuya gráfica es la primera de ellas.


Pág. 35

La escala que nos dan nos permite conocer el valor de las raíces, que no son sino las abscisas de los puntos de corte con el eje OX.

Así pues, las raíces son x = −1, 1 y 2.

En cuanto a la multiplicidad, la de −1 y 1 es impar, y la de 2 es par.

Puesto que en −1 hay un punto de inflexión, podemos pensar que la raíz es triple.

En x=1, la raíz podemos pensar que es simple

En x=2, la raíz podemos pensar que es doble.

Si es así, la función sería: y=a(x–1)(x–2)2(x+1)3.

Por la escala elegida, vemos además que pasa por el punto (0,–8). Esto nos permitirá calcular a.

Para ello, debe cumplirse que:

–8=a(–1)(4)(1) ⇒ –8=–4a ⇒ a=2.

La función sería entonces: y=2(x–1)(x–2)2(x+1)3.

Veamos si es así:


Introducir la función o

Á, £, „, ¹, À, ¤, £, „, ¹, Á, ¤, ¡, £, „, Ã, À, ¤, �, Opción 3

Ver su gráfica y el punto de corte con el eje de ordena-das

r

Así pues, podemos ver que se trata de la función y=2(x–1)(x–2)2(x+1)3, cuyas raíces son x=1, simple; x=–1, triple, y x=2, doble.

Por el mismo procedimiento, podemos ver que las demás funciones son las siguientes:

y=–(x–1)4(x+2)5, con una raíz cuádruple en x=1 y una raíz quíntuple en x=–2.

y=–2(x+2)2(x–1)3, con una raíz doble en x=–2 y una raíz triple en x=1.

y=–4(x+0.5)(x–0.25)(x–1), con raíces simples en x=0.25, x=1 y x=–0.5.


Pág. 36

Comentarios.

En este caso la calculadora gráfica nos ha permitido estudiar la gráfica de las funciones polinómicas y el efecto que produce la multiplicidad de una raíz en dicha gráfica.

Se consigue que los alumnos vean de forma fácil que:

1. Si una función polinómica tiene una raíz simple en x=a, corta a la gráfica “de forma normal” (aunque sea una expresión muy poco precisa, se distingue esta forma de cor-tar de las otras)

2. Si es triple, quíntuple, etc., es decir, de orden impar, la gráfica corta al eje de abscisas formando de forma que cambia la forma de la curva, a lo que llamamos un punto de inflexión.

3. Si es doble, cuádruple, etc., es decir, de orden par, la gráfica corta al eje de abscisas de forma tangente, es decir, formando un máximo o un mínimo relativo.

4. Para decidir el orden, se observa lo rápido que tiende a cero la función cuando el va-lor de la x se aproxima al valor de la raíz. Puesto que esto es bastante subjetivo, y de-pende de algunos factores a tener en cuenta, como por ejemplo la escala que elijamos para representar gráficamente la función, lo que hacemos es una conjetura sobre cuál puede ser la multiplicidad de las raíces, y luego comprobamos que se obtiene la mis-ma gráfica que nos han dado.

5. Si el valor de las raíces no queda suficientemente claro con la opción r, los alumnos utilizan la opción ', para afinar tanto como quieran a la hora de calcu-lar el valor de dicha raíz. Lo que hacen en este caso es buscar valores de x en los que la función cambie de signo. De esta forma, aunque sin nombrarlo, están utilizando el teorema de Bolzano. Naturalmente, esto requiere que la actividad se plantee con la calculadora retroproyectable, para que ellos la utilicen en clase, pero sin poder ver la función de que se trate.


Pág. 37

A continuación damos algunos ejemplos más resueltos para que comprobéis si se ha entendido el proceso:

FUNCIÓN DESC. FACTORIAL RAÍCES GRÁFICA WINDOW

y=x2–1 y=(x+1)(x–1) –1, 1

y=x2+6x+9 y=(x+3)2 –3, doble

y=x3+4x2+x–6 y=(x–1)(x+2)(x+3) 1, –2, –3


Pág. 38


y=x3–3x+2 y=(x–1)2(x+2) 1,1,–2

y=x3–3x–2 y=(x+1)2(x–2) –1,–1,2

y=x3+3x2+3x+1 y=(x+1)3 –1,–1,–1


Pág. 39


y=x3+3x2+12x+8 y=(x+2)3 –2, –2, –2

y=x4–x y=x(x–1)(x2+x+1) 0, 1

y=x4–x2 y=x2(x+1)(x–1) 0, 0, –1. 1


Pág. 40


y=x4+x3–3x2–5x–2 y=(x+1)3(x–2) –1, –1, –1, 2

y=x5–x4–5x3+x2+8x+4 y=(x+1)3(x–2)2 –1, –1, –1,2,2

y=x5–9x4+30x3–46x2+33x–9

y=(x–1)3(x–3)2 1, 1, 1, 3, 3,


Pág. 41

El estudio anterior se puede realizar también para funciones exponenciales (estudio de la gráfica de las funciones del tipo y=ax, observando cómo varían al cambiar el valor de a, y clasificándolas según estos valores), y también se pueden estudiar las funciones trigo-nométricas y cómo varía, por ejemplo, la gráfica de la función y=senx al escribirla de la forma y=a+bsen(cx+d), dándole valores a los diferentes parámetros que en ella intervie-nen, y , por supuesto, comenzando de los casos más sencillos (a=d=0, b=c=1) al más complicado, que sería el caso general.

Los alumnos, gracias a la calculadora gráfica, rápidamente detectan que la gráfica “se desplaza hacia arriba o hacia abajo, cambia el período, cambia la amplitud, etc”. A continuación añadimos dichas actividades.

2.6. La lupa.

El aumento lineal producido en una lupa viene dado por la expresión

Ad

= −−4

4

donde d es la distancia en dm. a que ponemos la lupa. Cuando un objeto se pone pega-do a la lupa (d=0), se ve de su mismo tamaño (A(0)=1).

Estudia qué ocurre con A al variar la distancia d de la lupa al objeto.

En esta actividad no explicaremos la secuencia completa de teclas para obtener la panta-lla siguiente, si ya se ha hecho en actividades anteriores.


Introducir la función corres-pondiente

o

Elegir una escala adecuada

p

Ver la gráfica correspon-diente

r

La línea vertical que aparece en x=4, da lugar al primer debate de clase: ¿es parte de la gráfica?


Pág. 42


Observar qué ocurre al acercarnos al valor x=4

Nos movemos con el cursor hacia la derecha. La pantalla que se ve a continuación corresponde al valor más alto de x a la izquierda de x=4, para la escala que es-tamos utilizando

Superar ese valor Pulsamos una vez más el cursor a la derecha

En este caso, vemos que la función pasa de tomar un valor positivo a un valor negativo. Si queremos tener una mejor información, utilizamos la tabla de la función, pero sólo de aquellos valores que a nosotros nos interese. Para ello:


Generar la tabla de la fun-ción con los valores que de-seemos

2&

Seleccionamos Indpnt Ask

Dar valores a la izquierda de x=4

2'

(Observa que al situar el cur-sor sobre el valor 4, aparece x=3.99999, que es el valor que realmente tiene la x)

Dar valores a la derecha de x=4

2'

(Observa que al situar el cur-sor sobre el valor 4, aparece x=4.00001, que es el valor que realmente tiene la x)

Observamos entonces que a medida que nos acercamos a x=4 por la izquierda, los valo-res de la función son cada vez mayores, y que se hacen tan grande como queramos. Es decir, observa que por muy grande que sea el número en que pensemos, siempre podre-mos darle un valor a x, muy próximo a 4, sin sobrepasarlo, para el cual, el valor de la función será mayor que el número que hayamos pensado. Decimos que la función tiende

a +∞. Se escribe limxx→ −

−−

= +∞

4

4

4


Pág. 43

En cambio si nos acercamos a x=4 por la derecha, los valores de la función son cada vez más pequeños (por ser cada vez más negativos). Ocurre lo mismo que en el caso ante-rior, sólo que con valores negativos, por lo que decimos que la función tiende a –∞. Se

escribe limxx→ +

−−

= −∞

4

4

4

Por otra parte, a medida que nos acercamos a x=4, bien sea por la derecha o por la iz-quierda, la gráfica de la función se va pareciendo cada vez más a una recta, a la cual se llama asíntota vertical. En este caso, la función presenta una asíntota vertical en x=4.

Comentarios.

De forma sencilla, con ayuda de la calculadora gráfica se introduce el concepto de asín-tota vertical.

En clase se puede plantear qué condición se debe cumplir para que una función tenga una asíntota vertical en x=a, siendo a un número real cualquiera.

Algunos alumnos suelen responder a esta pregunta diciendo que debe anularse el deno-minador para ese valor. Con ayuda de la calculadora gráfica se les puede hacer ver que

esta condición no es suficiente (póngase como ejemplo la función ( )f xx

x=

−+

2 1

1, utili-

zando la opción Zdecimal del menú q. Da bastante juego en clase.)

2.7. Funciones circulares.

Con ayuda de la calculadora gráfica, estudia qué le ocurre a la gráfica de una función circular:

1. Si multiplicamos el ángulo por un número.

2. Si multiplicamos la función por un número.

3. Si sumamos a la función una cantidad fija.

4. Si sumamos al ángulo una cantidad fija.

5. Si hacemos una combinación de todo ello.

Para contestar a todas estas preguntas, completa la siguiente tabla, teniendo en cuenta que la función cuya gráfica se toma como modelos, es f(x)=senx y que la escala elegida corresponde a π/2 unidades cada división del eje de abscisas y 1 unidad en el eje de ordenadas.

Haz lo mismo para las funciones f(x)=cos x y f(x)=tg x, cambiando en dicha tabla seno por coseno y por tangente.


Pág. 44

FUNCIÓN GRÁFICA RELACIÓN CON EL MODELO.

y=senx

Igual

y=sen2x

y=2senx


Pág. 45

FUNCIÓN GRÁFICA RELACIÓN CON EL MODELO.

Igual forma pero valores comprendidos entre –0.75 y 0.75.

y=–2+senx

Igual forma y período pero desplazada 1.5 unidades hacia abajo

y=sen(x–π/4)


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FUNCIÓN GRÁFICA RELACIÓN CON EL MODELO

Igual forma que la fun-ción cos x, pero se trata de una función seno y es distinto del caso 2 anterior.

y=–1+0.5sen(2x–3π/2)

Igual forma. Período 4π. Valores entre 1.5 y 2.5, desplazada 2π uni-dades a la derecha.

No vamos a resolver todos los casos planteados, pero sí que podemos abordar alguno de ellos, para ver una posible estrategia de resolución.


Editar la función y=senx

o


Pág. 47


Editar la función y=sen2x 9

o

Utilizar una escala adecuada a las funciones trigonomé-tricas.

q

Opción 7 : Ztrig

(de esta forma elegimos la escala trigonométrica)

Aunque ya tenemos las dos gráficas en pantalla, veamos cuál es la escala elegida

p

Podemos afinar un poco más, si queremos tener una mejor visión de las dos grá-ficas, variando la escala un poco.

p

Ì10, Á, T, †, Á, T, etc.

Volvemos a ver las gráfi-cas11

r

Localizar la gráfica de cada función.

Nos movemos con el cursor hacia la derecha (o hacia la izquierda) y localizamos la gráfica de y1=sinx

9 Puesto que los dos signos igual están remarcados, ambas funciones están seleccionadas. Si queremos quitar la selección de alguna de ellas, hemos de colocar el cursor sobre el signo igual de dicha función y pulsar la tecla ENTER. De esta forma, sólo aparecería la gráfica de la otra función seleccionada.

10 Atención a este signo menos para el que se ha de utilizar la tecla (–).

11 Observar que en el borde superior derecho de la pantalla aparece un 1. Eso quiere decir que el cursor se encuentra sobre la gráfica de la función y1=sinx. Si le damos al cursor hacia arriba, pasaríamos a la gráfica de y2=sin2x


Pág. 48


Localizar la gráfica de cada función.

Nos movemos con el cursor hacia arriba, y localizamos la gráfica de la función y2=sin2x (obviamente en este caso, puesto que sólo hay dos funciones, esto no sería necesario)

A la vista de las gráficas. Se observa fácilmente que:

a) La amplitud no varía.

b) El período sí cambia, y se hace la mitad. Además, podemos ver que el período es π.

2.8. Cambio de estado.

La gráfica muestra la cantidad de calor contenido en un gramo de hielo o agua a dife-rentes temperaturas:

a) ¿Cuántas calorías contiene 1 g. de hielo a –5ºC? ¿Y a –2ºC?

b) ¿Y 1 g de agua a 5ºC?¿Y a 10ºC? ¿Y a 7ºC?

c) Expresa mediante una fórmula la función anterior.

d) Observa el salto que se produce en la función cuando la temperatura es de 0ºC. ¿Cómo lo interpretarí-as?

e) Estudia y calcula lim f xx→ +0

( ) y lim f xx→ −0

( )

f) ¿Existe lim f xx→0

( )?¿Por qué?

Nota: En el eje de abscisas se ha representado la temperatura en ºC y en el de ordena-das la cantidad de calor en cal/gr.

Queda claro que para poder utilizar la calculadora gráfica, en primer lugar hemos de ob-tener la fórmula de la función, y para ello, nos fijamos que se trata de dos rectas de las que conocemos su ordenada en el origen y su pendiente.

De esta forma, la función buscada es f xx x

x x( )

.=

+ <

+ >

05 10 0

90 0. Para introducir esta fun-

ción en la calculadora gráfica, hemos de utilizar las teclas del editor de funciones y tam-bién las desigualdades lógicas.

Para ello, veamos previamente cómo utiliza la calculadora estas teclas y cómo podemos introducirlas.



Pág. 49


Estudio del menú TEST Pa-ra ello, hemos de utilizar este menú en el que apare-cen los operadores lógicos y los signos de =, ≠ y las des-igualdades.

2 TEST

Ver cómo opera la calcula-dora gráfica con las opcio-nes de este menú.

Por ejemplo, veamos qué ocurre si escribimos 3>5 y si escribimos 8<25.

Â, 2, TEST Opción 3, ·, Í

−, 2 TEST Opción 5, Á· , Í,

Veamos ahora ya cómo introducir una función definida a trozos:


Introducir la función de la actividad.

o

£, Ë·, „, Ã, ÀÊ, ¤, ¯12, £, „, 2, TEST , Opción 5, Ê, ¤, Ã, £, „, Ã, ®Ê, ¤, ¯, £, „, 2, TEST , Op-

ción 3, Ê¤

Definir la escala apropiada.

p

Ì, ÁÊ, †, ÁÊ, etc.

Ver la gráfica en la pantalla.

s13

12 Observa que se trata de la tecla de multiplicar. Su utilización es optativa, y se podría prescindir de ella.

13 En Este caso, utilizamos la opción s en lugar de la opción r, puesto que la calculadora, con esta última opción, da el valor y=0 para x=0, y esto es una discusión que debe plantearse en clase: ¿cuánto vale la función si x=0? ¿está definida?.


Pág. 50

OBJETIVO TECLAS PANTALLA Obtener los valores pedidos en los apartados a) y b). Para ello, previamente ele-gimos la opción de que la calculadora nos dé tan sólo aquellos valores de la tabla de la función que nosotros le pidamos,

y&

†, †, seleccionamos Indpnt

Ask (si no lo está), †, se-leccionamos Depend Auto (si no lo está)

14

Obtener los valores pedidos en los apartados a) y b).

y'

Ì,·, Í, Ì, Á, Í, ·, Í, ÀÊ, Í

Resolver los apartados d) y e). Para ello, nos aproxi-mamos a cero por la iz-quierda tanto como quera-mos

y' 15

Ì, ËÀ, Í, Ì, ËÊÀ, Í, etc. 16

Así pues, el límite por la izquierda es 10.


Y también nos aproxima-mos a cero por la derecha tanto como queramos

2'

ËÀ, Í,

ËÊÀ, Í

ËÊÊÀ, Í

, etc.

Con ello se observa que el límite por la derecha es 90.

Puesto que los límites laterales no coinciden, no existe el límite de dicha función ¡en x=0!

Comentarios.

1. Puesto que ya se han estudiado las rectas, no hay grandes problemas en obte-ner la expresión de cada una de ellas, y por lo tanto de la expresión de la fun-ción.

14 Los valores de Tblstart y de ∆Tbl no tienen por qué coincidir con los de esta pantalla.

15 Continuamos con la opción TblSet en modo Ask para la variable Indpnt

16 Observamos que aunque para el valor de x=–10–5 el valor de la función en la tabla es 10, al situarnos sobre dicho valor con el cursor, en la última línea de la pantalla nos aparece el valor exacto que es 9.999995. Lo mismo sucedería si nos colocásemos encima del valor de la función para x=–10–4.


Pág. 51

2. Los valores que nos piden en los apartados a) y b) se obtienen fácilmente

3. Concluimos que la función no está definida en cero. Aquí se presenta un pro-blema con la calculadora, lo que viene bien para que los alumnos vean que el aparatito no es capaz de conseguirlo todo..

4. Introdujimos el concepto de límite lateral, y una primera aproximación al concepto de límite de una función en un punto.

5. Acordamos que la función no tiene límite en x=0 porque los límites laterales no coinciden.

6. Puede introducirse la idea intuitiva de continuidad de una función en un pun-to, y su relación con el valor del límite y de los límites laterales de dicha fun-ción en dicho punto.

Como ampliación de estas actividades, se dieron otras funciones definidas a trozos, que además dependían del valor de un parámetro, y se estudió su continuidad. He aquí algu-nos ejemplos:

2.9. Continuidad de funciones a trozos.

Estudiar la continuidad de las siguientes funciones según los valores que tome el pará-metro m.

a) f xmx si x

x si x( ) =

<

+ ≥

1

1 12 b) f xmx si x

x si x( ) =

+ <

+ ≥

1 0

6 02

Hacemos m=1 (por ejemplo), con lo cual la función sería f xx si x

x si x( ) =

<

+ ≥

1

1 12


Introducir la función en la calculadora gráfica

o

„, £, „, yTEST

Opción 5, À, ¤, Ã, £, „, ¡, Ã, À, ¤, £, „, yTEST Opción 4, À, ¤

Elegir una escala adecuada q

Opción 4:Zdecimal (con lo cual elegimos la escala de-cimal, lo que nos permite colocarnos sobre los valores enteros de x)

p

y, ~ 17, ¥, Á, †, y, ~, ¥, Á, etc.

17 Esto nos permite situarnos al final de la línea sin tener que hacerlo manteniendo pulsado el cursor a la derecha.


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Ver la gráfica de la función

r

Aquí se presenta la primera discusión, ya que para x=1 se observa que la gráfica puede ser una línea vertical. ¿Es así realmente? Si lo es, ¿cuál es el valor de la función en ese punto?

De la expresión de la función, se deduce que para x=1, la función vale f(1)=2, luego la gráfica no puede ser un segmento vertical, sino un sólo punto. ¿Qué ocurre entonces? Bien, se trata de un problema de la calculadora gráfica (al menos esa es nuestra explica-ción en clase), ya que en realidad en ese punto debería haber un salto en blanco entre la recta (a la izquierda de x=1) y la parábola (a la derecha de x=1).

¿Cómo podemos solventar este problema?

Nosotros hemos encontrado dos posibilidades:

1. Que la calculadora represente la función a puntos, sin unirlos entre sí


Eliminar la unión entre la recta y la parábola, para x=1.

z

Cursor hacia abajo hasta seleccionar la opción Dot. Con ello conseguimos que la calculadora no una los puntos de la gráfica

Ver la gráfica

r

2. Si queremos que no salga el segmento vertical y que siga siendo una gráfica que une los puntos, entonces hemos de definir dos funciones, y utilizar la operación de dividir junto con las desigualdades lógicas, de la forma que veremos a continuación. No obs-tante, aunque salvamos ese pequeño inconveniente, no nos parece una forma muy adecuada de hacerlo porque:

a) Introducimos una operación no posible (la división entre 0), que aunque no se aprecia en la gráfica, sí se aprecia en la tabla de la función.

b) Es un proceso bastante artificioso, que puede hacer que los alumnos pierdan el hilo de lo que están haciendo realmente.

A pesar de todo, a continuación explicamos cómo hacerlo, ya que de esta forma utiliza-mos otros menús de la calculadora que nos pueden servir en otras ocasiones.


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Eliminar la unión entre la recta y la parábola, para x=1.

o

„, ¥, £, „, yTEST Opción 5, À, ¤, †, £, „, ¡, Ã, À, ¤, ¥, £, „, yTEST

Opción 4, À, ¤

Ver la gráfica de la función

r

Se observa, por tanto, que para m=1, la función es discontinua si x=1, porque la recta y la parábola no se unen.

Si calculamos los límites laterales para x=1, con ayuda de la calculadora gráfica, vemos que:


Obtener la tabla para aque-llos valores que nosotros queramos.

y&

†, †, Seleccionamos Indpnt Ask

Obtener el límite a la iz-quierda de x=1

y'

Ë ®, Í

ËÊ®, Í, etc.

18

Obtener el límite a la dere-cha de x=1

y'

ÀËÀ, Í

ÀËÊÀ, Í, etc.

19

Se observa entonces que lim f xx→ +

=1

2( ) y que lim f xx→ −

=1

1( )

Se trata entonces, de encontrar un valor de m para el cual los límites laterales coincidan, es decir, se unan la recta y la parábola, y puesto que la función vale 2 cuando x=1 (valor

18 Observar cómo está definida la función.

19 Observar que aunque en pantalla aparece la fila x=1, y=2 en la línea de estado se ve el valor más exacto de y que es y=2.00020001 y de la misma forma se observaría, si nos pusiésemos con el cursor sobre el valor x=1, que se trata de x=1.00001


Pág. 54

que se alcanza sobre la parábola), pues hemos de conseguir que mx=2 para x=1, con lo cual m=2.

De la misma forma puede resolverse el otro caso. Presta un poco de atención porque pueden suceder cosas curiosas (como que sea imposible encontrar un valor de m que haga continua la función si x=0)

Comentarios.

1. Se utiliza la calculadora gráfica para ver el concepto intuitivo de límite lateral.

2. Los alumnos descubren que calcular el límite en un punto equivale a sustituir el valor de x en la expresión de la función.

3. Algunos alumnos descubren que en realidad, lo que interesa es que al sustituir el valor de x por uno en las dos expresiones, éstas coincidan. Esta conclusión la generalizaron, con lo cual descubrieron que utilizar la calculadora era más engorroso que hacerlo de esta forma, y las siguientes actividades de este tipo las hicieron prácticamente sin utilizar la calculadora.

2.10. Comparando crecimientos.

¿Qué crece más rápidamente, la función f(x)=2x/2.5 o la parábola y=100x2?

Comenzamos introduciendo en el editor de funciones de la calculadora ambas gráficas: (ver cómo hacerlo en las actividades anteriores)

Se observa que la parábola aparenta crecer mucho más rápidamente. Pero, ¿qué ocurre para valores grandes de x?


Ver la tabla de ambas fun-ciones

2'20

Nota: Y1 corresponde a la función exponencial e Y2 a la parábola.

20 Con TblSet en modo automático y ∆Tbl=1


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Ver la tabla de ambas fun-ciones

2'21

Afinar el intervalo en el que la función exponencial pasa de ser menor que la parábo-la a ser mayor que ella

2'

Con el TblSet en modo Ask

para la variable Indpnt y dando los valores que se indican en la tabla..

Elegir la escala adecuada para ver ambas gráficas en dicho intervalo

p

¶Ê,

†, ¶·,

†,

†, ¸ÊÊÊÊ, etc.

Ver que ambas gráficas se cortan en dicho intervalo

r

Calculamos el punto en que se cortan

y CALC

Opción 5:Intersect22

23

Seleccionamos la primera curva

Í24

21 Con TblSet en modo automático y ∆Tbl=10

22 De esta forma seleccionamos la opción Intersect del menú CALC. También podríamos hacerlo despla-zándonos hasta dicha opción con el cursor y pulsando la tecla ENTER.

23 Las coordenadas del punto no tienen por qué ser las que ahí aparecen.

24 Puesto que el cursor ya se encuentra sobre la curva que queremos seleccionar, basta con pulsar ENTER. Si no fuera así, con el cursor hacia arriba, nos desplazaríamos hasta seleccionar la curva que quisiéramos, y una vez hecho esto, pulsaríamos ENTER.


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Seleccionamos la segunda curva

Í25

Obtener las coordenadas del punto de corte

Nos aproximamos con el cursor hacia el punto de cor-te y pulsamos

Í

Comentarios

Con esta actividad se consigue que los alumnos vean claramente la rapidez del creci-miento exponencial. La mayoría de ellos, piensan que dicha parábola crece mucho más rápido que la función exponencial, además parece que la calculadora gráfica en un prin-cipio les da la razón, pero luego descubren que no es así ni mucho menos.

Si además utilizamos las tablas de las funciones, podemos observar de que magnitud son los números que se obtienen para valores grandes de x (x=100, 200, etc.)

Con el Tblset en modo Ask para Indpnt, damos valores a x, y vemos que al aumentar el valor de la x, la exponencial va aumentando más rápidamente que la función. (Los alumnos no descubren esto, sino que lo que descubren es que si le dan un valor muy grande a x – por ejemplo 1000 –, la función exponencial da ERROR, mientras que sí que se obtiene un valor para la parábola. Apoyándonos en esto, se les pregunta que a qué creen que es debido que la calculadora dé el mensaje de ERROR, con lo cual comienzan a darse cuenta de la magnitud de los números con los que está trabajando una función –2400 la exponencial – y la otra – 108 la parábola –). Esto nos permite buscar un intervalo de valores de x en el que la función exponencial pase de tener valores menores que la parábola a tener valores mayores que la parábola, con lo cual en dicho intervalo, la fun-ción exponencial “pilla” a la parábola, lo cual puede observarse en que las gráficas de dichas funciones se cortan en dicho intervalo.

En esta actividad, el uso de la calculadora gráfica resulta tremendamente eficaz, porque en un principio resulta engañoso, y la conclusión que se obtiene al final es muy clara para todos los alumnos.

2.11. Reconocer funciones II.

A continuación te damos una serie de gráficas con la escala en la que se han dibujado. Se trata de que obtengas las fórmulas de las funciones correspondientes.

25 Automáticamente, queda seleccionada la segunda curva (puesto que sólo hay dos), por lo que basta con pulsar ENTER


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Pág. 58

Te dejamos que lo intentes hacer con lo que ya sabes.

2.12. Un límite indeterminado.

Calcula el siguiente límite: limx x

x x xx→

− +− − +1

3

3 2

3 2

1.

Podemos utilizar la calculadora gráfica para obtener este límite, y para ello, definimos la

función yx x

x x x1

3

3 2

3 2

1=

− +− − +

, y de forma manual, obtenemos su tabla para aquellos valo-

res cercanos a x=1, tanto por la derecha como por la izquierda. Son las tablas que apare-cen a continuación

OBJETIVO TECLA A PULSAR PANTALLA

Obtener el límite por la iz-quierda

2'

Con la opción Indpnt en mo-do Ask, y dando los valores que se ven en la pantalla

Obtener el límite por la iz-quierda

2'

Con la opción Indpnt en mo-do Ask, y dando los valores que se ven en la pantalla

Observando las tablas, parece claro que dicho límite será 1.5.

Comentarios.

Al intentar obtener dicho límite con la calculadora gráfica, en principio todo parecía normal, pero se dieron dos situaciones curiosas, por parte de dos alumnos (un alumno y una alumna para ser más exactos):


Pág. 59

• La alumna dio directamente a x el valor 0.9999999, con lo cual, la calculadora da como valor de la función Y1=0, como puede verse en la tabla siguiente:

• El alumno intentó obtener dicho límite a partir de la gráfica de la función, con la opción rrrr y desplazándose con el cursor en la zona de la gráfica próxi-ma al valor de x=1, para lo cual utilizó la opción q tantas veces como creyó necesario, obteniendo una gráfica tan rara como la que sigue: (Obsérve-se los valores de la ventana p después de pulsar al q <Opción 1:Zbox> seguido de Í, eligiendo el intervalo a ampliar cada vez más pe-queño):

Pulsamos q Opción 1 : ZBox, nos colo-camos en la esquina superior izquierda del rectángulo que aparece en la gráfica si-guiente, pulsamos Í y nos desplaza-mos con los cursores hasta obtener dicho rectángulo.

Volvemos a pulsar Í y obtenemos la siguiente gráfica

Que se corresponde con los siguientes va-lores en la ventana p

Como podemos observar, esta gráfica es totalmente irregular, y no se corresponde con la realidad.

Las preguntas no se hicieron esperar:

• ¿A qué se debe este comportamiento?

• ¿Falla la calculadora, o es que el límite no es 1.5?


Pág. 60

Gracias a esto, vimos que en algunos casos se hace necesario utilizar la descomposición factorial y simplificar todo lo posible, para evitarnos errores, ya que los problemas que se observan, se deben a las aproximaciones que utiliza la calculadora, para valores de x cercanos a 1.

Para comprobar esto último, definimos tres funciones: y1=x3–3x+2 (que corresponde al

numerador), y2=x3–x2–x–1 (denominador) e y3=y1/y2. Podemos observar entonces que la

calculadora da para x=0.9999999 el valor de y1=0 y de y2≠0. Estas aproximaciones son las que hacen necesaria la descomposición factorial y la posterior simplificación para poder calcular el límite pedido. (Ver figuras correspondientes)


Introducir las funciones en la calculadora.

Para definir y3,colocándonos tras el sig-no igual correspondiente a y3, la secuencia de teclas es

la siguiente:

÷

~

Opción 1:Function...

Opción 1:Y1, ¥, ÷,~, À, Á

Obtener el valor de dichas funciones para x=0.9999999

2'

Con Indpnt en modo Ask

Esta actividad resultó interesante, porque también les hizo ver que en ocasiones pueden superar a la calculadora.

2.13. Rectas tangentes

a) Halla la pendiente de la tangente a la curva y=x5 en el punto de abscisa x=1/4. ¿Cuál es el punto de tangencia ?

b) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y=x5 en el punto de abscisa x=1/4.

c) Prueba que la recta y=–x es tangente a la curva y=x3–6x2+8x. Halla el punto de tangencia y estudia si esa recta corta a la curva en otro punto distinto del de tangen-cia.

En este caso podemos utilizar la calculadora para confirmar los resultados que obtenga-mos analíticamente o para que nos dé pistas sobre cómo obtener dichos resultados.

La idea es que los alumnos resuelvan la actividad teniendo en cuenta la interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto (para hallar la pendiente de la re-cta tangente), lo visto en las actividades de rectas, para obtener la expresión analítica de la recta, y luego comprobar con las opciones específicas de la calculadora que sus resul-tados coinciden con los de la calculadora.


Pág. 61

Tenemos varias opciones para resolver el apartado a) de esta actividad utilizando la cal-culadora gráfica de apoyo:

1. Calculando la derivada de la función y=x3 para x=0.25, sobre la gráfica de la función.


Utilizar una escala que nos permita situarnos sobre el punto de la gráfica cuya abscisa sea x=0.25 26.

q Opción 4:ZDecimal (elegimos Zdecimal)27

p y, ~ (Final de línea) ¯, ÊË·

Introducir la función

o

Calcular la derivada de la función en x=0.25

y CALC

Opción 6: dy/dx

Nos desplazamos hasta x=0.25

Í

En este caso, se observa, con respecto al resultado exacto (3/16=0.1875) que se produce un pequeño error que se debe al proceso iterativo utilizado por la calculadora.

26 Para ello, utilizamos la opción Zdecimal del menú ZOOM, que nos permite que el cursor se desplace de 0.1 en 0.1 unidades, y variamos los valores de xmax y xmin multiplicándolos por 0.5 (de esta forma el cursor se desplaza de 0.05 en 0.05 unidades.

27 Al elegir la opción Zdecimal, la pantalla que nos aparece en la calculadora es la pantalla de gráficos. Una vez la gráfica se haya completado (si hay alguna función definida), continuamos pulsando las teclas que se indican


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2. Calcular directamente la derivada desde la pantalla de cálculos:


Calcular la derivada de y=x3 en x=0.25

�

Opción 8: nDeriv(

„, �, Opción 3: 3,

¢, „, ¢, ÊËÁ·, ¤28

Í

Se obtiene el mismo resultado que con el otro procedimiento.

El apartado b) se resolvería de modo parecido a las actividades de reconocer funciones.

El apartado c) queda bastante claro para los alumnos gracias a la calculadora gráfica. Veamos cómo abordarlo:


Introducir las funciones da-das

o

Elegir la escala adecuada (se trata de una variación de la escala decimal de la cal-culadora (Opción 4 del me-nú ZOOM)

p

Ver ambas gráficas

r

Se observa claramente que ambas gráficas se cortan en dos puntos, el (0,0), que no es el punto de tangencia, y el otro punto que es el de tangencia y que si queremos averiguar cuál es, lo podremos conseguir de dos formas distintas29:

a) desplazándonos con los cursores hasta él

28 Este paréntesis es optativo. Si no se desea, no es necesario ponerlo

29 Existe una tercera posibilidad que es utilizar la opción 5:Intersect del menú CALC. Le propongo al lector que intente hacerlo así y observará una cosa curiosa: siempre se obtiene el punto (0,0). Podemos superar a la calculadora.


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b) Obteniendo la tabla de valores de ambas funciones, y observando los puntos que ten-gan iguales coordenadas. Uno de ellos ha de ser el (0,0) y el otro será el de tangencia.


Obtener el punto de tangen-cia sobre la gráfica

r

Nos movemos con los cur-sores hasta el punto de tan-gencia.

Con el cursor hacia arriba, pasamos a la gráfica de la segunda función, y obser-vamos que las coordenadas del punto son las mismas30.

Obtener el punto de tangen-cia sobre la tabla

2&

con las opciones que apare-cen en la pantalla.

2'

Observamos que los puntos en que se cortan son el (0,0) y el (3,–3), que es el punto de tangencia.

De esta forma, podemos decir que la recta tangente a la gráfica de una función no es la que la corta en un sólo punto (ya que esta lo hace en dos), sino aquella cuya pendiente es el valor de la derivada de dicha función en dicho punto.

30 Observa en las pantallas que el número de la esquina superior derecha nos indica la gráfica de la fun-ción (y1 o y2) sobre la que se encuentra el cursor. Naturalmente no se observa diferencia porque se trata de un punto en común.


Pág. 64

2.14. Cálculo de derivadas.

Calcular la función derivada de la función y = ex .


Introducir la función

o

En y1 introducimos la fun-ción ex.

Conseguir que la calculado-ra calcule los valores de su función derivada en cada punto

Cursor hacia abajo. Nos en-contramos ahora en disposi-ción de definir y2.

�

Opción 8:nDerive(

÷

~, opción 1:Function

Opción 1: Y1.31

¢, „, ¢, „32

Descubrir la función deri-vada a partir de la tabla de ambas funciones

2&

Elegimos las opciones de la pantalla

2'

Si seguimos con los cursores hacia abajo, vemos que los valores de ambas funciones coinciden. Así pues, podemos concluir que la derivada de la función exponencial y=ex es ella misma.

Vemos que resulta de gran utilidad la calculadora gráfica en este caso.

Puede también utilizarse para obtener la derivada de otras funciones (polinómicas, ln, etc), y además esto lo podemos conectar con la utilización de la calculadora en el bloque

31 Ya que en este caso, queremos calcular la derivada de la función que tenemos definida en y1.

32 La primera vez que pulsamos <X,T,θ> indica que la variable de derivación es x. La segunda vez que pulsamos <X,T,θ>, le estamos indicando que calcule la derivada en cada valor de x ¡!


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de regresión y correlación, ya que la calculadora nos permite obtener la expresión de una función a partir de los puntos de su tabla de valores (recta de regresión, regresión cua-drática, cúbica, logarítmica, etc.).

2.15. Busca la primitiva.

La siguiente gráfica corresponde a la derivada de una función. ¿Cómo sería la gráfica de dicha función (a la que llamaremos función primitiva)? ¿Habría una única solución? ¿Por qué?

Cada división en los ejes son 0.5 unidades.

Después de haber hecho el estudio de las funciones polinómicas y sus raíces, la expre-sión de dicha función puede ser y=a(x+1)(x–1)(x–3). Como ha de pasar por el punto (0,3), tiene que ser a=1. Así que la función sería: y=(x+1)(x–1)(x–3)


Introducimos la función en la calculadora

o

y la secuencia de teclas co-rrespondiente

Definir la escala que se ob-serva en la gráfica

p

Y la secuencia de teclas co-rrespondiente

Ver la gráfica

r

Al introducirla en la calculadora, se ve que la gráfica coincide con la que nos dan.

A partir de aquí, los alumnos utilizarán la calculadora gráfica para comprobar lo que ya saben y que les ha hecho dar una posible gráfica de la función primitiva, teniendo en cuenta que el signo de la derivada nos indica cómo es el crecimiento de la función pri-mitiva.


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Que la calculadora dibuje la gráfica de la función primi-tiva (una de ellas)

o

A continuación del signo igual de Y2, pulsaremos �, Opción 9:fnInt( , ÷, ~, Opción1:Function,

Opción1:Y1, Í, ¢, „, ¢, Ê33, „, ¤

Que ambas gráficas se dibu-jen simultáneamente

z

Con los cursores seleccio-namos la opción Simul.

Ver ambas gráficas

r

Al pulsar esta tecla, comienzan a representarse ambas gráficas al mismo tiempo, por lo que se observa que:

• Cuando la derivada es positiva, la primitiva es creciente.

• Cuando la derivada es negativa, la función es decreciente.

• En los puntos donde la derivada corta al eje de abscisas y además cambia de signo, la primitiva alcanza un valor máximo o mínimo.

En clase con los alumnos se obtienen las siguientes conclusiones:

• Si la función primitiva alcanza un máximo o un mínimo relativo en un punto, y en ese punto tiene derivada, entonces la derivada debe valer cero.

• Si la función primitiva tiene un punto de inflexión y es derivable en dicho punto, la derivada alcanza un valor máximo o un valor mínimo (relativos), y por lo tanto, si la función tiene segunda derivada, esta debe de valer cero en dicho punto.

• Si la derivada es negativa, la función primitiva es estrictamente decreciente.

• La solución no es única, ya que si desplazamos la gráfica verticalmente, hacia arriba o hacia abajo, manteniendo su forma, la derivada sigue siendo la misma.

• Vimos también que desplazar la gráfica de esa manera significa sumar o restar un número fijo a la función, y que por lo tanto, si restamos las expresiones de dos de di-chas funciones, el resultado sería el número fijo que sumamos o restamos (las unida-des que la desplazamos verticalmente). La conclusión fue que dos funciones que ten-gan la misma derivada, se diferencian en una constante.

33 Pulsar la tecla 0 es opcional, ya que podría servir cualquier otro valor. Con otro valor nos saldría otra primitiva.

IV - CORRELACIÓN Y

REGRESIÓN

IV. CORRELACIÓN Y REGRESIÓN: Teclado específico

Pág. 68

1. Teclado específico

Las teclas más frecuentemente utilizadas en este apartado son las señaladas en el si-guiente diagrama:

Recordemos que una tecla da lugar a la aparición de un menú. A su vez, éste puede tener submenús, que aparecen en la línea superior de la pantalla; nos movemos de uno a otro con los cursores “izquierdo” y “derecho”.

Las opciones disponibles en cada momento están numeradas. Para elegir una opción, se puede pulsar su número o bien desplazarse hasta ella con los cursores “arriba” y “abajo” (} y †) para, una vez seleccionada, pulsar Í.

Por último, recordar que una opción seguida de puntos suspensivos (…) da lugar a la aparición de una nueva pantalla de menú.

Se abandona cualquier pantalla y se pasa a la de cálculo con y [QUIT] .

TECLAS SUBMENÚS PANTALLA

…

Estadística

EDIT

Edición

CALC

Cálculos con listas


Pág. 69


(cuando aparece ↓ en la op-ción inferior de la pantalla, el menú continúa)

y [STAT PLOT]

Definición de gráficos esta-dísticos.

Sólo un menú

÷

Variables que almacenan resultados previamente cal-culados

VARS

Dentro de la opción 5

X/Y

Datos de las distribuciones marginales

EQ

Parámetros de las ecuacio-nes de regresión


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Y-VARS

Nombres simbólicos de fun-ciones.

En la opción 1

2 [LIST]

Tratamiento de listas

NAMES

Nombres de listas definidas

OPS

Operaciones con listas

MATH

Cálculos matemáticos sobre listas.

IV. CORRELACIÓN Y REGRESIÓN: Actividades

Pág. 71


2. Actividades

2.1. Identificando gráficas (I)

Se trata de reconocer una gráfica proyectada a partir de la calculadora gráfica, e in-tentar dar su ecuación con el mínimo número de preguntas.

Actividad pensada para el trabajo en gran grupo. Se trabajará con la calculadora retro-proyectable, apagando la luz en las fases que no interese sean vistas por los alumnos.

Para lo que se pretende hacer, es conveniente modificar la forma de presentar los datos en una tabla de valores:


Presentar la tabla de valores sólo para los valores deseados de la variable independiente

2&

Presentamos dos ejemplos. Se proyecta:

Para ello:

OBJETIVO TECLA

Definir la función yx

=5,

con escala definida por los parámetros:

Xmin = −10 Xmax = 10 Xscl = 1

#

q Opción 6 : ZStandard


Pág. 72

Ymin = −10 Ymax = 10 Yscl = 1

Reconocen el modelo de proporcionalidad inversa y piden un dato: la imagen de x = 1. Dan de inmediato con la fórmula.

2.2. Identificando gráficas (II).

Se proyecta:

Para ello:

OBJETIVO TECLA

Definir la función y = x (x-10)2,

con escala definida por los parámetros:

Xmin = 0 Xmax = 1 Xscl = 0

Ymin = 0 Ymax = 50 Yscl = 0

o

p

Creen identificar la gráfica con una recta y piden un valor (x = 1, y = 81), dando como ecuación y = 81x. La representamos gráficamente sobre la anterior34 con la consiguiente sorpresa.

OBJETIVO TECLA PANTALLA

Definir Y2 = 81x

Dibujar ambas

o

s

El diálogo que sigue es algo así:

Alumnos - O sea, que no era una recta

Profesor - Bueno, a lo mejor os habéis confundido con la ecuación.

A- No, porque al pasar por el origen la imagen de 1 nos daría la pendiente.

P- ¿Qué se puede hacer para asegurarse?.

34Para ello, se apaga el retroproyector, con el fin de mostrar tan sólo las gráficas y que no vean la ecua-ción buscada hasta que no se considere oportuno.


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A- Veamos en la tabla las imágenes de 0 y 2. (x = 0, y = 0 ; x = 2, y = 128). Seguro que no lo es, porque las diferencias no son constantes.

P- De todos modos, ¿por qué no probáis a cambiar la ecuación de la recta?.

A- Por ejemplo y = 92x (se dibuja y prácticamente coincide con la gráfica inicial)


Definir Y2 = 92x

Borraremos la anterior

Dibujar ambas

o

s

Pero no es. Nos hace falta otro valor (x = 3, y = 147). Las segundas diferencias tampoco son constantes, no es de segundo grado. Otro valor (x = 4, y = 144); ¡ ya está !, las terceras diferencias sí son constantes. Es de tercer grado... Para tener una idea de la ecuación nos haría falta encontrar las otras raíces... (calculan) siguiendo con las dife-rencias terceras, creo que es 10. A ver la imagen (x = 10, y = 0).

A- Vamos a cambiar la escala para ver la gráfica hasta x = 10 (se apaga el retroproyector para hacer Xmax = 10 en la pantalla p).

¡La raíz es doble!. Hay que asegurarse; cambio de escala con Xmax = 12, Ymax = ...150 (tras revisar los valores de la tabla en sus notas, se obtiene la grá-fica

¡ Sí, es doble !. Ya tenemos la ecuación, y = x.(x–10)2.

Se aprovecha para mostrar el parecido de ambas grá-ficas (cúbica y recta) en el intervalo [0,1] y comentar que si deseáramos estudiar la función sólo en ese intervalo, quizá sería más útil tomar una recta a pe-sar del error cometido. Sobre todo si se tratase de datos que ya tienen algún error. También tenemos ocasión para hablar de los términos “interpolar” y “extrapolar”, y del riesgo de hacer predicciones a partir de una tabla de datos para valores muy aleja-dos de los conocidos.

2.3. Buscando gráficas (I).

Se visualizan los puntos (40,60), (60,100), (65,110)


Pág. 74

Para ello:


Para introducir una tabla de valores que queremos repre-sentar gráficamente, el tra-tamiento es de gráfico esta-dístico. En primer lugar in-troducimos los valores de la abscisa en una lista. Tras reinicializar la calculadora, su nombre es, por defecto, L1

… EDIT

y en L1 se escribe

40 Í 60 Í

65 Í

Luego, los datos de ordena-das en otra lista.

Se puede repetir el proceso con L2 o, dada la relación funcional existente, llevar el cursor sobre L2 y allí escri-bir

2 y [L1] − 20 Í

o sea 2 L1 − 20

Definir el gráfico estadístico con las listas L1 y L2 como variables dependiente e in-dependiente.

y [STAT PLOT]

opción 1 : Plot1

parámetros

ON, Type: puntos, Xlist: L1, Ylist: L2

Ver el gráfico, ajustando la ventana a los datos

q 9 : ZoomStat

Tras pulsar el ® o Í, aparecerá el gráfico deseado:


Pág. 75

A- ¿Cómo quieres que digamos algo con eso?.

P- Ahora se trata de que digáis cuál sería la función cuya gráfica pasa por esos puntos.

A- Como tenemos tantos datos... Es una recta, eso sí. ¿Cuáles son los puntos?.

P- ¿Cuánta información necesitáis?.

A- Las coordenadas de dos puntos.

Se mueve el cursor (| y ~) tras pulsar la tecla r por dos de los puntos: (x = 40, y = 60), (x = 60, y = 100). Calculan...

La y aumenta 40 unidades cuando la x aumenta 20. Así que la pendiente es 2; tenemos x = 40, para ir hasta 0 hay que retroceder 40 unidades, luego la y tiene que disminuir 2.40 = 80, y valía 60. Así que la imagen de 0 es −20. La ecuación es y = 2x − 20.

Se dibuja y, claro, pasa por los puntos.


Definir la función para su-perponerla a la nube de pun-tos, sin cambiar la defini-ción de la ventana gráfica.

o

Y1 = Á„¹ÁÊ

(o sea Y1=2X − 20)

s


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2.4. Buscando gráficas (II)

Se visualiza, del mismo modo, la tabla de valores:

50 48 47 44 41 36 35 31 28 26 25 24

49 50 54 57 61 64 59 63 63 61 64 70

A- ¡ Hala !. ¡ Cualquiera encuentra una función que pase por esos puntos !.

P- ¿ De qué tiene eso aspecto ?.

Diversidad de opiniones.

− Pues una recta no.

− Puede que de una función de tercer grado.

− Yo dibujaría una parábola hacia abajo...

Se puede dar pie a discutir, utilizar las posibilida-des de la calculadora para dibujar las mejores aproximaciones para cada una de las ideas (más adelante explicamos con detalle cómo hacerlo), etc. En cualquier caso, se deja el campo abierto para el estudio que viene después.

2.5. La velocidad

La velocidad con que se mueve un cuerpo en función del tiempo viene dada por los si-guientes datos:

TIEMPO 1 2 2.5 3 4

VELOCIDAD 2 8 10 12 16

¿Qué relación existe entre estas dos variables?

Dibuja la nube de puntos correspondiente. Halla una fórmula que nos relacione ambas variables.

En esta actividad y las que siguen se pretende que alumnos y alumnas representen gráfi-camente la nube de puntos correspondiente a la tabla de valores presentada y vayan en-sayando con distintas funciones. Aquí la utilidad de la calculadora gráfica es enorme, pues en unos momentos es posible probar con una gran cantidad de funciones que su-perponer a la nube de puntos.

En primer lugar, deben deducir qué modelo funcional es el apropiado por la regularidad observada en la distribución de los puntos. A continuación, deberán hacer variar los pa-rámetros para conseguir un mejor parecido. Se hace evidente la necesidad de unos ensa-yos razonados a partir de los errores observados, además de poner en práctica los cono-


Pág. 77

cimientos anteriores sobre la influencia de cada uno de los parámetros en la representa-ción gráfica.

Durante todo el tiempo estaremos manejando la equivalencia entre las cuatro formas de expresar una relación entre variables: descripción verbal, tabla de valores, gráfica y ex-presión algebraica.

Teniendo en cuenta que se trata de situaciones en que se supone que los datos han sido obtenidos de manera experimental, no va a ser posible encontrar una relación funcional que se ajuste perfectamente a todos los puntos, con lo que será necesario en cada caso razonar por qué un determinado punto queda más alejado que otro de la relación que finalmente se elija. Del mismo modo, las situaciones son abiertas, la respuesta no es única; además, no se dispone de los conocimientos necesarios para decidir de una mane-ra clara cuál es la respuesta. Será pues necesaria una discusión para decidir por qué es preferible una respuesta u otra.

Algunos comentarios sobre esta actividad:

• Salvo para el primer punto, la relación es lineal. Deducen con bastante rapidez la ecuación de la recta que pasa por los cuatro últimos puntos (y=4x).

• ¿Qué ocurre para t=1?. En la discusión se habla sobre posibles errores de medida o bien que el movimiento es uniforme sólo a partir de t=2.

2.6. Aleaciones

El punto de fusión de una aleación depende de las proporciones en que intervienen ca-da uno de sus componentes. Para dos componentes A y B, se obtienen los siguientes da-tos:

Proporción de A 0’1 0’3 0’5 0’7 0’9

Temperatura de fusión (ºC) 720 580 425 485 555

¿Cuál estimas que es la temperatura de fusión si el componente A aparece al 55%?. ¿Cuál crees que será la temperatura de fusión del componente A?.

De entrada, identifican los puntos con una parábola. (Caras de desánimo al pensar en el sistema de ecuaciones que les espera; ¡y no pasa por el origen!).

Alguien sugiere un modo de responder a las preguntas: 0’55 es “la mitad de la mitad de la distancia entre 0’5 y 0’7”. ¿Por qué no calcular el valor que está a la cuarta parte de 425 a 485?. Eso digo yo ¿por qué no?. Han hecho una interpolación lineal; a conti-nuación inventan algo parecido para el 1 a partir de los dos últimos datos (extrapolación lineal).

En cualquier caso, es el momento de mostrar cómo la calculadora se hace cargo de lo rutinario y farragoso:


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1. … EDIT 1:Edit }

y/ PROPA Í

~ y / TEMPF Í

2. … 5:SetUpEditor

yƒ PROPA ¢ TEMPF Í

Ya hemos visto cómo defi-nir listas con nombres es-tándar L1, L2, etc. Pero también es posible darles nombres que nos recuerden qué representa cada lista; dichos nombres tienen una longitud máxima de 5 carac-teres, y tenemos varios mo-dos de hacerlo:

… EDIT 1:Edit

Tras introducir los datos,

se define el gráfico deseado; podemos escribir los nom-bres de las listas o bien re-cuperarlos con y [LIST] NAME

y [STAT PLOT]

1 : Plot1

ajustando la pantalla a los datos, vemos los puntos en pantalla.

q 9 : ZoomStat


Pág. 79


Ahora veremos cómo en-contrar una curva que se ajuste a estos puntos: elegir, de todo el repertorio posible de curvas de ajuste, la que mejor creemos que cumplirá nuestros propósitos

… CALC

5: QuadReg

y [LIST] NAMES

1:PROPA ¢

y [LIST] NAMES

2:TEMPF

¢ ÷ Y-VARS

1:Function 1:Y1

Elegimos una regresión cuadrática; necesitamos indicar las listas que representan los ejes X e Y y, opcionalmente, si queremos almacenar la ecuación de la curva en el editor de funciones

Í


Pág. 80


Con ello, la función ha que-dado copiada en el editor de funciones.

o

Podemos ver el resultado con la gráfica superpuesta a la nube de puntos.

s

Y preguntar por los valores deseados (la tabla está con la variable independiente en “Ask”).

y'

Si consultamos los nombres de listas definidos, veremos que ha aparecido una nueva lista “RESID”,

y [LIST] NAMES

Al editarla, comprobaremos que su valor es

TEMPF − Y1(PROPA)

O sea, los residuos del ajus-te

… EDIT 1:Edit

}~~y[LIST] NAMES

2:RESID Í

Después, al haber 5 puntos (condiciones), alguien ha-bla de un polinomio de 4º grado. Se obtiene con la calculadora (… CALC 7:QuartReg) y se superpo-ne la gráfica mediante un procedimiento análogo al expuesto, almacenándola en Y2.

CONCLUSIÓN: Observando la forma y tendencia de la gráfica, concluimos que no siempre la mejor solu-ción (matemáticamente hablando lo es, puesto que esta gráfica pasa por los cinco puntos) es la más adecuada, pues sus ritmos de variación no son coherentes con el enunciado del problema.


Pág. 81

2.7. Neumáticos

La profundidad de la huella de la banda de rodadura de un neumático tiene una impor-tante influencia en la conducción. Y no sólo en la evacuación del agua cuando llueve, sino también en la distancia de frenado. La tabla nos da información al respecto:

Profundidad del perfil en mm 8 4 3 2 1

Distancia de frenado en m (a 100 km/h) 70 82 87 97 118

¿Cuál estimas que sería la distancia de frenado para una profundidad de 6 mm?.

El límite mínimo legal para la profundidad del dibujo es de 1’6 mm. ¿Cuál será la dis-tancia de frenado?.

Representan gráficamente la nube de puntos y entran en el editor de funciones para ir probando con distintas posibilidades.

Hay quien asocia la nube de puntos al modelo de función hiperbólica, con lo que tene-mos la ocasión de escuchar razonamientos del siguiente tipo mientras trabajan en grupos con sus calculadoras:

− La función es del tipo ya

xb= +

− La asíntota horizontal debe estar por el 68, así que debe ser b = 68 ; voy a probar con a = 1 y b = 68.

− ¡ Qué va !. La a es mucho más grande. Prueba con a=50.

− Eso está mejor, pero b es menor ; vamos a pro-bar con b = 65.

− Pues b más pequeña y a más grande ; a = 65 y b = 60.

− Todavía no ; mira a ver si a = 70.

− No, mejor a = 75.

Finalmente obtenemos algo similar a la figura, y se almacena en Y1. Merece la pena des-tacar los conocimientos que se ponen en juego en tales discusiones y que, al posibilitar la utilización de la calculadora una comprobación inmediata de conjeturas, permiten en algunos minutos toda una serie de reflexiones sobre la influencia de los parámetros en un modelo funcional.

En otros casos, se utiliza la calculadora para ensayar cada una de las opciones disponi-bles hasta encontrar la gráfica que más se ajusta a los puntos para, a partir de la tabla de valores que corresponda a la función, responder a las preguntas planteadas.

Vemos las gráficas que se obtiene para cada tipo de línea de regresión: tenemos la nube de puntos y las regresiones lineal (Y2), cuadrática (Y3), cúbica (Y4), cuártica (Y5) y po-tencial (Y6).


Pág. 82

Se plantea la discusión acerca de la idoneidad o no de cada una de las aproximaciones. Ahora se puede responder a las cuestiones planteadas en el enunciado a partir de las ta-blas de valores:


Pág. 83

2.8. Planetas

El siguiente cuadro da para cada planeta del sistema solar su distancia media al Sol, considerando como 10 la distancia de la Tierra al Sol, así como la duración de un giro completo alrededor del mismo.

Planeta Núm. (n)

Dist. (dn)

Tiempo de revolución (Tn)

Mercurio Venus Tierra Marte Asteroides Júpiter Saturno Urano Neptuno Plutón

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3’87 7’23 10

15’24 29’99 52’03 95’46 192 300’9 395

88 días 224’7 días

1 año 1’88 años

11’9 años 29’5 años 84 años

164’8 años 247’7 años

a) Representa gráficamente la relación entre el número del planeta y su distancia al Sol (n y dn).

b) ¿Qué tipo de relación te parece que puede existir entre ambas variables?. Busca un modelo funcional apropiado.

c) ¿A qué distancia sería de esperar que se encontrase un eventual 11º planeta?.

d) Representa gráficamente la relación entre la distancia al Sol y el período de rota-ción (dn y Tn).

e) ¿Qué relación funcional encuentras entre ambas?. Si lo consigues, acabarás de de-ducir la tercera ley de Kepler. Búscala en alguna enciclopedia y compara lo que allí pone con lo que tú has encontrado.

Se puede comenzar recordando cómo Bode dedujo la existencia de un planeta descono-cido (resultó ser el cinturón de asteroides), y cómo la ley por él enunciada dejó de cumplirse cuando se descubrió Neptuno, lo que una vez más constata el peligro de realizar extrapolacio-nes.

Al ensayar, resulta que el mejor ajuste se obtiene con una re-gresión exponencial para la relación n↔dn. Ello supone, si no se ha estudiado previamente, un primer contacto con el modelo de función exponencial.

Se explora la gráfica con el cursor o bien se utiliza la tabla de valores para responder a la cuestión c).

Para la relación dn↔Tn eliminamos la fila que corresponde a los asteroides y se obtiene, aproximadamente, T = 0’32⋅d1’5, que se deberá relacionar con la tercera ley de Kepler tras re-cordar o introducir la idea de exponente fraccionario.

PwrReg L1,L2,Y1


Pág. 84

2.9. Elementos radiactivos

Los elementos radiactivos emiten partículas de distintos tipos y van perdiendo masa con una rapidez que varía de unos a otros. Un experimentador observa uno de estos ele-mentos en días sucesivos y anotando su masa obtiene la siguiente tabla

tiempo (días): 0 1 2 3 4 5 6 7 .....

masa (gramos): 1 0.95 0.90 0.86 0.82 0.78 0.74 0.68 .....

Busca un modelo de función que se ajuste a esta tabla.

El periodo de semidesintegración de un elemento radiactivo es el tiempo que tarda una determinada masa del mismo en reducirse a la mitad. ¿Cuál es el periodo de semidesin-tegración del elemento estudiado?.

Teniendo en cuenta esto, quizá el modelo de función que has dado anteriormente deba ser reconsiderado. Hay que tener presente que el período de semidesintegración es fijo; es decir, que cuando vuelva a transcurrir otra vez el mismo tiempo, la masa se volverá a convertir en la mitad y, desde luego, la masa nunca llegará a ser negativa (¿ocurría esto con el modelo que diste antes?).

Busca otro modelo funcional que se ajuste mejor a la situación. ¿Cuándo será la masa menor que 0’1 miligramos?. ¿Llegará alguna vez a desaparecer por completo el ele-mento?.

Quizá sea interesante no dar toda la información con el enunciado, sino en dos partes. Al utilizar la calculadora para obtener una línea de regre-sión adecuada a la nube de puntos y si se ensaya siguien-do el orden que aparece en la calculadora, es probable que los alumnos y alumnas se conformen con una regre-sión lineal que, realmente da una muy buena aproxima-ción.

Se puede ahora preguntar si parece lógico este modelo, que inevitablemente conducirá a una masa negativa tras transcurrir un cierto tiempo (se puede sugerir que recorran la gráfica con el cursor o que visualicen una tabla de valo-res). Luego han de buscar otro modelo.

Al dar la siguiente información sobre el período de semidesintegración se sugiere el modelo de función exponencial (segundo contacto con este modelo), que se ajusta mejor al problema : realizamos un ajuste exponencial y la superponemos a las anteriores. Con un zoom vemos el comportamiento distinto de ambos modelos con el paso del tiempo.


Pág. 85

Con un zoom o modificando los parámetros de la ventana gráfica podemos dar respuesta al resto de cuestiones planteadas, aunque también es posible utilizar las tablas de valo-res.

2.10. Población en la Comunidad Valenciana

La siguiente gráfica muestra la evolución de la población en la Comunidad Valenciana.

Anys

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

1840 1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000

A partir de esto, ¿cuál sería la población en 1994?. Busca datos estadísticos y compara tu predicción con los datos reales.

De entrada, se trata de leer datos a partir de una gráfica, con el fin de representar gráfi-camente los puntos e investigar cuál es el mejor ajuste de cara a realizar predicciones. La tabla a partir de la que se dibujó la gráfica era:

Año 1857 1860 1877 1887 1897 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1981 1987

Miles de Habit 1200 1250 1300 1400 1500 1600 1700 1750 1800 2150 2300 2500 3100 3600 3700

Con una función polinómica de tercer grado se obtiene una muy buena aproximación a los puntos; la respuesta sería de 4.202’4 miles de habitantes para 1994. No se podrá comprobar, pues el último censo data de 1991. Para dicho año se obtiene una población de 4023’7 miles de habitantes. En realidad fue de 3.923.841.

¿Estamos ante una situación similar a las anteriores? ¿Podemos hablar de relación fun-cional? ¿Qué distingue la relación aquí encontrada con los casos que habíamos trabajado antes?.


Pág. 86

2.11. Equipos de fútbol

En la siguiente tabla tenemos la clasificación de la 1ª división de fútbol el día 10-5-95, junto con los goles marcados por cada equipo y el número de partidos empatados:

Goles a favor Partidos empatados

1. Real Madrid 2. Deportivo 3. Zaragoza 4. Betis 5. Barcelona 6. Sevilla 7. Español 8. At. Bilbao 9. Oviedo 10. Valencia 11. Tenerife 12. Celta 13. R. Sociedad 14. Compostela 15. At. Madrid 16. Rácing 17. Albacete 18. Sp. Gijón 19. Valladolid 20. Logroñés

69 50 48 38 51 45 41 33 38 43 48 28 42 35 45 35 35 37 20 13

9 10 5

14 8 9

12 10 13 10 7

12 13 11 7 7

13 12 9 9

a) ¿Qué equipos han marcado pocos goles?. ¿Y muchos?.

b) ¿Podrías decir qué lugar debería ocupar en la clasificación un equipo que hubiera marcado 30 goles?.

c) ¿Y un equipo que hubiese empatado 16 partidos?.

Trabajaremos con tres listas:


Nombrar las listas … 5:SetUpEditor

CLAS ¢ GFAV ¢ PEMP

Í

Introducción de datos …

EDIT

1:Edit

En principio interesa el es-tudio de las listas CLAS y GFAV. Comenzaremos por definir el gráfico.

y [STAT PLOT]

1 : Plot1


Pág. 87

El apartado a) se refiere al intervalo [y−σy,y+σy], que nos daría el número “normal” de goles.

Son necesarios dos pasos: calcular los parámetros estadísticos y recuperarlos para reali-zar cálculos con ellos:


… CALC 2:2-Var Stats

y [LIST] NAMES etc.

Cálculo: vamos a calcular de una sola vez todos los parámetros para las dos va-riables. La flecha indica que quedan más resultados por mostrar en pantalla (se ven con el cursor abajo)

Í

Los valores calculados que-dan almacenados en VARS. Por ello, para recuperarlos seguiremos el siguiente pro-ceso:

÷ VARS

opción 5 : Statistics…

X/Y

5 : y

Las variables así recupe-radas se copian en la panta-lla de cálculo. Seguimos con el proceso, primero completando la línea de cálculo y luego recuperando la misma línea y cambiando la suma por una resta.

Ã ÷ VARS

5 : Statistics…

X/Y 7 : σy Í

y ² || ¹ Í

Se puede considerar como “normal” el haber marcado de 29 a 51 goles. Hasta 28 goles son pocos, y a partir de 52 son muchos.


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Para el apartado b), la calculadora trabaja por nosotros: se activa un gráfico estadístico, se calcula la línea de regresión, que se copia en la pantalla del editor de funciones con lo que obtenemos el gráfico siguiente:

Entramos ahora en la tabla de valores y probamos distintos valores de X hasta obtener el valor más aproximado a 30 para el número de goles.

En lo que se refiere al apartado c), hemos de cambiar las definiciones de cálculo y de gráfico para estudiar la relación entre las listas CLAS y PEMP:

Al ver el gráfico podemos deducir una débil relación entre las variables, lo que se con-firma al calcular la línea de regresión: se obtiene como coeficiente de correlación r≅0’086, con lo que no merece la pena proseguir, pues la estimación no es fiable.


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2.12. Vehículos y víctimas

El parque de vehículos y el número de víctimas mortales en carretera en España ha evolucionado en los últimos años de la siguiente forma (datos obtenidos de Anuario EL PAIS, 1995):

Año 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993

Miles de vehículos 12.284 13.068 13.881 14.870 15.696 16.528 17.347 17.809 Víctimas mortales en carretera

4.065 5.041 5.419 6.095 5.936 5.744 5.088 4.735

a) ¿Podrías dar una estimación sobre el número de vehículos que se espera en 1994 y 1995?.

b) ¿Y sobre el número esperado de víctimas mortales en estos dos años?.

c) Quizá se podría pensar que el aumento del número de vehículos debe traer consigo un aumento del número de víctimas mortales. Cita algunas causas por las que creas que no ha sido así en estos ocho años.

La gráfica definida para responder a la primera cuestión sugiere una relación de tipo li-neal bastante fuerte, obteniendo la respuesta en la tabla de valores:

Para la segunda, la gráfica de la figura sugiere una relación no lineal, quizá cuadrática, de la que se obtienen las respuestas de la tabla:


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2.13. Calculando áreas

Vamos a considerar una nube de puntos como la siguiente, donde las líneas disconti-nuas representan x y y . Cada punto determina un rectángulo con dichas líneas

Si calculamos el área de cada rectángulo, ¿qué signo tendrá en cada caso?. Y si suma-mos las áreas, ¿cuál será el signo del resultado?.

¿Qué crees que significará un resultado positivo? ¿Y uno negativo?

Ya hemos tenido ocasión de comprobar que en varias situaciones aparece, al calcular una línea de regresión, un coeficiente “r”. Y que si el valor de r está cerca de 1 o de -1 la línea se ajusta bien a la nube de puntos, mientras que si es próximo a 0 el ajuste es bastante malo. La pregunta sería cómo se calcula ese número, y esta actividad comienza a dar las pistas necesarias.

Una vez más la calculadora se revela de gran utilidad para confirmar o refutar hipótesis. Veamos cómo, y para ello podemos proponer que prueben con distintas nubes de pun-tos.

Por ejemplo, vamos a considerar la siguiente tabla:

x 2 4 6 8

y 10 6 5 8

El proceso podría ser el siguiente:

Como ya se ha hecho con anterioridad, comenzamos por introducir los datos (… EDIT) y definir el gráfico estadístico y [STAT PLOT]. Para calcular las áreas y su suma, es de utilidad saber que en la pantalla de cálculo es posible realizar varios de ellos en una sola línea, siempre que separemos distintas órdenes mediante dos puntos.

Vamos a suponer que los datos se han almacenado en L1 (x) y L2 (y), y que ya hemos efectuado las operaciones previas de definición de gráfico. Ver las indicaciones de la actividad “Equipos de fútbol”.

2 1

3 4


Pág. 91


Calcular los parámetros de la distribución de 2 varia-bles

En la pantalla de cálculos:

… CALC

2 : 2−Var Stats

y [L1] ¢ [L2]

ƒ Ë para seguir en la misma línea

Calcular y almacenar todas las áreas.

… CALC 2:2–Var Stats

L1 , L2 :

(L1 − x )(L2 − y ) → L3

Las teclas de lista son se-gunda función del teclado numérico, y las medias es-tán almacenadas en ÷

→ proviene de ¿ y sirve para almacenar un re-sultado en una variable.

Calcular la suma de dichas áreas

ƒ Ë para seguir en la misma línea

y [LIST] MATH

opción 5 : sum y [L3]

Í

Si ahora cambiamos los datos de las listas L1 y L2 con …EDIT, veremos el gráfico con q 9:ZoomStat, y nos bastará con volver a la pantalla de cálculo (y KKKK) y pulsar Í (ello hace que se repita el último cálculo o conjunto de cálculos realiza-dos) para tener la nueva respuesta del valor de la suma de las áreas. Con ello es muy fá-cil repetir el proceso con tantas nubes de puntos como se desee.


Pág. 92

DATOS GRÁFICO VALOR DE LA SUMA DE LAS ÁREAS

… EDIT q 9 : ZoomStat y seguido de Í


Pág. 93


… EDIT q 9 : ZoomStat y seguido de Í

Obsérvese que en cada pantalla, la lista L3 contiene el valor de cada área del caso ante-rior, no del actual pues el nuevo cálculo todavía no ha tenido lugar tras la edición de L2.

Tras este proceso de investigación sobre el significado del signo, se puede proponer una nueva investigación sobre el valor de dicha suma. Puede ser instructivo comenzar por el último caso presentado.

¿Qué ocurrirá si repetimos dos veces cada uno de los puntos?. ¿Cuáles serán ahora las medias x y y?. ¿Y la suma de las áreas?.

Tras hacer hipótesis, pasamos a la comprobación. Lo más fácil es reescribir los puntos a continuación de los anteriores:


… EDIT q 9 : ZoomStat y [QUIT] seguido de

Í

¡La gráfica es la misma, pero la suma de áreas es doble!. Luego hay que introducir al-guna variación al cálculo que estamos realizando para que no sea sensible al número de puntos. ¿Cuál?.

Alumnas y alumnos deducirán con rapidez que lo ideal es dividir la suma entre el núme-ro de puntos para ver qué ocurre. Hemos llegado a la definición de covarianza σσσσxy.

Quizá sea un buen momento para ver cuánto vale la covarianza en todos los casos ante-riores. Para ello, debemos cambiar en nuestro cálculo repetitivo

sum (L3) por sum (L3) / “número de puntos”


Pág. 94

El número de puntos viene dado por la dimensión de las listas, lo que se consigue con las teclas

y [LIST] OPS 3 : dim

Recuperamos lo escrito con anterioridad con y ² y añadimos el número de pun-tos. Al pulsar ¸ repetidas veces tras modificar las listas, obtendremos ahora la co-varianza en cada uno de los casos.

Ya tenemos resuelto el problema de la influencia del número de puntos en el coeficiente que estamos calculando. Pero queda otro problema:

¿Qué ocurre si cogemos uno de los casos anteriores y multiplicamos por un mismo nú-mero cada uno de los datos?. ¿Cómo variará la suma de las áreas?. ¿Y la covarianza?.

Para modificar así los valores de las listas podemos reescribirlas, pero también se puede, desde la pantalla de cálculo, teclear:

3 L1 → L1 : 3 L2 → L2

Si calculamos la covarianza (y ² hasta que aparezca en pantalla la expresión de-seada, seguido de ¸), veremos que ha quedado multiplicada por 9, mientras que la gráfica es aparentemente la misma aunque con distinta escala.

Para resolver el problema de la escala, hay que dividir la covarianza entre las desviacio-nes típicas de x e y. Con pequeñas intervenciones por nuestra parte, alumnos y alumnos se acercarán cada vez más a esta solución; normalmente, tras alguna discusión en torno

IV. CORRELACIÓN Y REGRESIÓN: Más actividades

Pág. 95

a iniciativas equivocadas, alguien propone dividir entre algo que mida la dispersión de los datos en cada eje.

Llegamos al coeficiente de correlación ρσ

σ σxy

xy

x y

= que se puede calcular en alguno de

los casos propuestos para que alumnos y alumnas deduzcan por sí mismos que está siempre comprendido entre 1 y −1, y que mide lo alineados que están los puntos.

Al igual que hicimos antes, recuperamos lo escrito con anterioridad con y ² y añadimos las dos desviaciones típicas. Al pulsar ¸ repetidas veces tras modificar las listas, obtendremos ahora la covarianza en cada uno de los casos.

2.14. ¡Cuidado con las conclusiones!

Se ha estudiado, entre 1930 y 1936, el número de parejas de cigüeñas y la evolución de la población en la ciudad de Oldenburg, en Alemania, obteniendo los siguientes datos:

1930 1931 1932 1933 1934 1935 1936

parejas de cigüeñas 132 142 166 188 240 250 252

habitantes 55.400 55.400 65.000 67.700 69.800 72.300 76.000

¿Qué conclusión extraerías?.

Hay que recalcar que el coeficiente de correlación proporciona simplemente una medida de la relación entre dos magnitudes, nunca una relación de causa − efecto. No se debe confundir nunca un indicador con una prueba, un síntoma con una enfermedad.

3. Más actividades

Se propone a continuación una serie de actividades encaminadas al estudio de la regre-sión lineal entre variables. La calculadora nos va a permitir una vez más agilizar el estu-dio al permitir ensayar con distintas posibilidades en un corto plazo de tiempo; se co-mienza con actividades en que se pretende obtener respuestas intuitivas.

Los alumnos y alumnas conocen cómo utilizar la calculadora tan sólo parcialmente. De-berán calcular la ecuación de una recta que crean que se ajusta “lo mejor posible35” a las nubes de puntos, y dar argumentos por los que piensan que un ajuste es mejor o peor que otro. La calculadora presta una gran ayuda a la hora de representar gráficamente la

35Lo cual vuelve a ser un término subjetivo por el momento.


Pág. 96

nube de puntos e ir superponiendo distintas rectas para decidir cuál consideran más apropiada.

Se plantearán cuestiones que hagan reflexionar sobre el tipo de argumentos necesarios para elegir una recta, por qué decimos que es mejor aproximación que otra y que surja la idea de que una buena aproximación a los puntos ha de pasar necesariamente por el pun-to (x ,y ) así como la necesidad de medir lo “fuerte” que es la relación entre dos varia-bles mediante el coeficiente de correlación.

También se debe hacer hincapié en la interpretación de los resultados, y en si una deter-minada relación es funcional o estocástica y si se piensa que es debida al azar, a que una variable influye en la otra o a que ambas están influidas por una tercera.

3.1. Un ejemplo

Proyectar la nube de puntos definida por la tabla de valores:

1 2 3 4 5 6 7

7 10 9 13 14 18 20

Ir pidiendo posibles ecuaciones de rectas que se ajusten a las nubes de puntos. Por su-puesto, cada propuesta debe ser debidamente razonada; ante ideas como “porque pasa por los dos puntos…” alguien dará otra que pase por otros dos puntos; se trata de poner-se de acuerdo en algún criterio común.

No tardará en surgir la idea de suma de distancias mínima de los puntos de la nube a la recta (como diferencia de ordenadas). Es interesante explorar con la calculadora algún método que permita calcular rápidamente la suma de esas distancias para cada recta propuesta, lo que es cómodo dado que trabaja sobre toda una lista elemento a elemento:

sum (Y1(L1) − L2)

donde SUM se obtiene con 2 [LIST] MATH 5:sum(

Pero pronto será evidente que se puede obtener una suma nula con puntos que no están sobre la recta. Falta un valor absoluto, que obtenemos con � NUM 1:abs(

sum abs (Y1(L1) − L2)

En esta expresión se obtiene Y1 con ÷ Y-VARS opción 1:Function 1:Y1

También se llegará a que la recta debe pasar por (x ,y ). Ya tenemos suficientes útiles como para afrontar algunas otras actividades.

3.2. Mínimos cuadrados: Contaminación en el año 2.020

Veamos una actividad destinada a construir “la mejor” aproximación lineal a una nube de puntos según el método de los mínimos cuadrados. Se trata de que alumnos y alum-nas deduzcan por sí mismos dicha recta a través de este método, que se convenzan de la utilidad del mismo y de la bondad de la aproximación proporcionada. También deben darse cuenta tanto de que es inviable aplicar dicho método de una forma manual si no es en casos muy sencillos, como de que se podría aplicar en casos no lineales.

Las Matemáticas resuelven una parte del problema, pues proporcionan una fórmula para la pendiente de la recta, si bien su justificación está fuera del nivel en que nos movemos. Y la calculadora resuelve otra parte, pues como ya hemos visto nos proporciona direc-


Pág. 97

tamente las ecuaciones de distintos tipos de curvas y el nivel de ajuste en ciertos casos. Además, podremos ensayar de una manera rápida varias curvas y decidir (cosa que no hace la calculadora por nosotros) qué modelo elegir como más idóneo para el caso estu-diado.

Se ha hablado mucho sobre los efectos que esta contaminación tiene sobre las vías res-piratorias de los ciudadanos. A lo largo del año 2019 se observaron en una ciudad es-pañola los índices de contaminación y se compararon con el número de muertes produ-cidas por enfermedades respiratorias en el mismo período de tiempo. Los resultados se recogen en la siguiente tabla:

Trimestre Índice de contaminación Nº de muertes por enferme-

dades respiratorias

1º 6 3

2º 7 6

3º 6 2

4º 9 9

Intentaremos dar una estimación sobre el número de muertes por enfermedades respi-ratorias si el índice de contaminación llega a 12. Para ello:

1. Representa en unos ejes de coordenadas los datos y una recta de regresión..

1.a)¿Por qué punto debe pasar necesariamente la recta de regresión?.

1.b)Marca este punto y traza una recta que pase por él y que, según tu criterio, se aproxime a los cuatro puntos.

1.c)Escribe la ecuación de la recta.

1.d)Responde a la cuestión planteada a partir de tu recta.

2. Ahora vamos a buscar la mejor de todas las posibles. Vamos a llamarla

Yr=a⋅x+b

2.a) En el apartado 1a) has dado las coordenadas de un punto por el que debe pa-sar la recta. Obliga a la recta anterior a pasar por dicho punto y transforma la ecuación anterior en otra que sólo contenga el parámetro “a”.

2.b) Sustituye en la ecuación de esa recta el valor de la contaminación del primer trimestre que aparece en la tabla, ¿cuántas muertes hubo en el primer trimes-tre? (sale en función de “a”).

2.c) ¿Cuántas muertes hubo en ese trimestre, en realidad, según la tabla?.

2.d) Calcula la diferencia (también sale en función de “a”) y elévala al cuadrado.

Con ello habrás completado la primera fila de esta tabla:

Trimestre Contamina-

ción

xi

Muertes en rea-lidad

yi

Muertes según la recta

Yr=a⋅x+b

Diferencia

Yr-yi

Desarrolla di-ferencias al cuadrado

(Yr-yi)2

1 6 3 -a+5 -a+2 a2-4a+4


Pág. 98

2 7 6

3 6 2

4 9 9

Suma:

2.e) Haz lo mismo con los otros tres trimestres y suma los cuatro resultados. Para organizarte mejor, escríbelo en la tabla.

En realidad este trinomio de 2º grado en “a” que hemos obtenido no nos dice si los errores son grandes o pequeños. La verdad es que la pendiente no la sabe-mos todavía, pero estamos a punto de encontrarla. Todo consiste en hallar el valor de “a” que haga mínimo ese trinomio.

2.f) Considera el trinomio como una función; su representación es una parábola. Halla su vértice, ¿cuál será el valor de “a” que hace mínima esa función?.

2.g) ¿Cuánto vale la pendiente que buscábamos? Escribe la ecuación de la recta de regresión (recuerda que conoces el punto de medias). Represéntala.

2.h) Responde a la pregunta que se planteó y compárala con la que diste con ante-rioridad.

Esta actividad necesita del cálculo simbólico, no disponible en la TI-83 (sí en la TI-92), pero la calculadora ayudará al permitir visualizar la función a la que se hace referencia y a verificar el vértice.

3.3. Una conclusión inesperada: Venta de uva

Una vez finalizado el bloque, se propuso a alumnas y alumnos algunos problemas que tuvieran relación con todo lo estudiado a lo largo de los dos trimestres del curso. Uno de ellos, típico problema para optimizar una función, decía así :

Un intermediario ha comprado el 30 de septiembre 200 kg de uva para venderlos en Navidad. Le han costado a 40 pts el kilo y sabe que cada día que pase, su precio au-mentará en 1 pta/kg, pero pierde 1 kg de uva.

a) Encuentra una función que proporcione el importe de la venta de las uvas (si el in-termediario vendiese todos los kilos disponibles) cuando hayan transcurrido x días y represéntala gráficamente.

b) ¿Cuándo le interesa vender?. ¿Qué ganancia puede obtener como máximo?.

Un modo de desarrollar este problema fue propuesto por un grupo de alumnos y alum-nas:


Elaboración de una tabla de valores construida a partir del enunciado

… EDIT 1 : Edit


Pág. 99


Definir gráfico estadístico:

y [STAT PLOT]

1 : Plot1

Ver la nube de puntos q

9: ZoomStat

Se prueba un ajuste linal

Y uno cuadrático, que hace decidirse por él.


Pág. 100


Para asegurarse, se añade un punto a la nube, separado de los otros

… EDIT 1:Edit

y añadir un valor

y se dibuja el resultado, ajustando la ventana a los datos

q

9 : ZoomStat

Se cambian los valores que definen la ventana gráfica

p

y volvemos a ver la gráfica s

Ya seguros de lo que se hace, se da como expresión algebraica la así obtenida, y para el máximo se puede explorar la gráfica con el cursor, ajustando con el zoom y asegurándo-nos a partir de la tabla de valores.


Se puede buscar ese máxi-mo directamente, utilizando otras posibilidades adiciona-les que nos brinda la calcu-ladora. Estando en la pan-talla gráfica,

2 [CALC]

4 : maximum


Pág. 101


Marcar el extremo izquierdo del intervalo en que se bus-ca el máximo

Mover con el cursor hasta el lugar deseado

(LefT Bound)

seguido de Í

Ahora el extremo derecho (Right Bound) y Í

Luego, el lugar en que se empieza a buscar el máximo (Guess)

La calculadora nos da una muy buena aproximación al máximo en el intervalo se-ñalado

Í

Cuidado: la calculadora realiza un cálculo numérico, no simbólico, y el resultado es el máximo absoluto en el intervalo señalado. Se debe comprobar el resultado utilizando, por ejemplo, la tabla de valores.

3.4. Cálculo de derivadas.

Una vez estudiado en clase el concepto de derivada, un modo de enfocar el cálculo de funciones derivadas consiste en utilizar el menú � opción 8 : nDeriv( con el fin de, a partir de la tabla de valores obtenida, estudiar las regularidades observadas en ella y deducir a qué función corresponde. Así, alumnas y alumnos llegarán a deducir cuál es la función derivada de algunas funciones elementales en que dicha tabla de valores es fá-cilmente identificable 36, como por ejemplo:

y = C y = n⋅x y = xn y = ex y = ln x

Y también se habrán formado algunas ideas intuitivas, algunas correctas y otras no. En-tre las primeras, que la derivada de una suma es suma de derivadas o que en el caso de funciones polinómicas se rebaja el grado en una unidad; y que la primera de estas ideas es válida para el producto o cociente entre las erróneas. Mediante un método análogo al inicial podemos poner contraejemplos para ilustrar la falsedad de esta última idea.

También podemos ir un poco más lejos, y utilizar lo visto en este capítulo para cálculos un poco más complicados, en concreto para obtener funciones derivadas cuya expresión algebraica se ajuste a alguno de los modelos suministrados en la calculadora como línea de regresión, es decir,

36 Ver el capítulo dedicado a Análisis en que se explica el método con detalle


Pág. 102

� Funciones polinómicas de grado menor o igual a 4

� y = a + b⋅ln x

� y = a⋅bx

� y = a⋅xb

Calcular la función derivada de la función y = 3x4 − 2x3 + 4x2 + 2x − 7


Introducir la función o

Conseguir que la calculado-ra calcule los valores de su función derivada en cada punto

Cursor hacia abajo. Nos en-contramos ahora en disposi-ción de definir y2.

�

Opción 8:nDerive(

÷ Y-VARS

Opción 1:Function

Opción 1: Y1.37

¢ „ ¢ „38

Intentar descubrir la función derivada a partir de la tabla de valores de ambas funcio-nes…

2 &

Elegimos las opciones de la pantalla

…es realmente difícil 2 '

37Puesto que queremos calcular la derivada de la función que tenemos definida en Y1.

38 La primera vez que pulsamos <X,T,θ> indica que la variable de derivación es x. La segunda vez que pulsamos <X,T,θ>, le estamos indicando que calcule la derivada en cada valor de x (¡!)


Pág. 103


Vamos a intentar calcularla. Para ello, seguiremos el procedimiento ya utilizado anteriormente.

Primero, definir las listas

… EDIT 1:Edit

No necesitaremos más de 4 valores (¿por qué?)

Para DER, damos los valo-res Y2(X)

Calcular la regresión cúbi-ca39 que se ajusta a esta nu-be de puntos

… CALC

Opción 6:CubicReg

Podemos, salvo errores de redondeo, deducir cuál es la función buscada y, con algunos ejemplos más, deducir la regla general.

39 Es más que probable que ya se haya llegado a la conclusión de que la función derivada “rebaja el gra-do” en una unidad. De lo contrario, se puede ir probando con otras.

V - ÁLGEBRA LINEAL


Pág. 105

1. Teclado específico

Las teclas a las que nos vamos a referir son:

Vamos a trabajar con:

• Pantalla principal , funciones e instrucciones.

• Menús � y �.

En la pantalla principal, operaremos. Para volver a ella y [QUIT]

TECLA SUBMENÚS PANTALLA

� NAMES

Identifica los nombres de las matrices para su utiliza-ción.

Se seleccionan las matrices bien pulsando el número correspondiente o despla-zándose con el cursor y confirmando con Í


Pág. 106

TECLA SUBMENÚS PANTALLA

MATH

Operaciones específicas con matrices (sobre sus fi-las o columnas)

EDIT

Para definir o modificar una matriz.

1.1. Edición de matrices

Vamos a editar la matriz A =

−

−

1 0 1 4

2 1 0 2

1 3 1 0

TECLA PARA QUÉ SIRVE PANTALLA

�

EDIT

Editar matrices

Â (p.e) Í

¶ (p.e) Í

…

Dar el número de filas y columnas de la matriz


Pág. 107

TECLA PARA QUÉ SIRVE PANTALLA

À (p.e) Í

Ê (p.e) Í

…

Editar los elementos de la matriz

1.2. Operaciones con matrices

Todas las operaciones con matrices se realizan en la pantalla principal; por tanto, es condición indispensable que una vez editadas las matrices y antes de operar, pulsemos las teclas:

y [QUIT]

Por otra parte, al trabajar en la pantalla principal, después de cada instrucción, hay que pulsar la tecla Í; de manera que no se mencionará este hecho a partir de ahora.

Como modelos con los que trabajar en este apartado vamos a tomar las matrices:

A =

=

−

−

2 1

1 0

3 1

0 2 B

Numéricas: (Suponiendo que están editadas las matrices A y B)

OBJETIVOS PROCEDIMIENTO PANTALLA

Sumar matrices �1 : [A] <+>

�2 : [B]

Í 40

Multiplicar matrices � [A]

¯

� [B]

Multiplicar una matriz por un escalar

� [A]

¯

<k>

o al revés

40 En lo sucesivo, cuando se realicen operaciones con matrices, se indicará este proceso como: � [A] Ã � [B]


Pág. 108


Hallar la matriz opuesta Ì � [A]

Hallar la matriz inversa � [A]

—

Calcular potencias � [A] ¡

� [A] ›

<exponente>

Específicas de las matrices: Menú � MATH. (La siguiente tabla se refiere a las opciones de este submenú)


Calcular un determinante

Hallar la matriz traspuesta

1 : det � [A]

� [A] 2 : T

Concatenar dos matrices 7 : Augment

� [A]

¢

� [B]


Pág. 109

Intercambio de las filas i y fila j de la matriz A

Suma de las filas i y j de A (Se almacena en la fila j)

C : Rowswap( � [A] ¢ <i> ¢ <j>

D : Row+( � [A] ¢ <i> ¢ <j>

Multiplicar una fila por un valor

Suma de una fila j y una combinación lineal de otra fila i (Se almacena en j)

E : *Row(<valor> ¢

� [A] ¢ <fila>

F : *Row+(<valor> ¢� [A] ¢ <i> ¢ <j>

Triangular una matriz A: ref(� [A]

Triangular de forma reduci-da una matriz

B: rref( � [A]

1.3. Notas Importantes:

• Para salir de EDIT y [QUIT] (Voy a pantalla principal)

• Para tener una matriz: 1º editar (si pulso A,B,C, no puedo operar)

• En caso de error, ‘ o { , <valor nuevo>, Í.

• Si no se ve toda la matriz, emplear los cursores.

• Para obtener el resultado en forma de fracción:

� , Opción 1 : Frac , Í

IV. CORRELACIÓN Y REGRESIÓN: ACTIVIDADES

Pág. 110

• ALMACENAR MATRICES:. ¿Cómo llamar a la nueva matriz que resulta al ope-rar?

¿ (En la pantalla aparece Ans→), � [B] o [C],..., Í ó

� [A] (p.e.), � ¿[B], Í

2. ACTIVIDADES

2.1. Conexiones

La red de conexiones de cuatro ciudades A, B, C, y D mediante una línea de autobuses, los días laborables de 7 a 13 horas, puede expresarse:

A B C D

A 0 1 2 0

B 0 1 0 1

C 0 1 0 1

D 1 0 1 1

¿Sabrías explicar esta notación?

Con esta actividad, el objetivo que se pretende es doble: por una parte, empezar a ver una interconexión entre el Álgebra lineal y otras áreas del conocimiento; por otra, cono-cer la notación matricial.

2.2. Biblioteca.

En una biblioteca anotan los préstamos diarios de libros, así:

INF. CIENT. DIVULG. C.FICCION AVENTURAS

CASA 150 120 70 45 95

BIBLIO. 190 80 210 90 170

El Director quiere hacer balance y por ello, supone que todos los días (lunes a sábado) el número de libros prestados en las distintas modalidades permanece constante.

Expresa en forma matricial el número de libros prestados en las distintas modalidades en una semana y en un mes.

En esta actividad, nos encontramos con la posibilidad de operar con una matriz tanto sumando, como multiplicándola por un escalar. Es una ocasión, también, para aprender a editar matrices (Ver Edición matrices).


Editar una matriz 41

41 Procedimiento ya visto con anterioridad.


Pág. 111


Operar 42 y[QUIT]

Sumar la matriz tantas ve-ces como días tiene la se-mana

� [A] Ã � [A] …

Multiplicar la matriz por 6 � [A] ¯ ¸

o

¸ ¯ � [A]

2.3. I.N.E.

El I.N.E. quiere saber el gasto de las familias españolas durante los años 1980, 1981, 1982, 1983, y 1984. Para ello escoge 4 familias F1, F2, F3; y F4, y los consumos y pre-cio de pan, carne y mantequilla.

CONSUMOS PRECIOS

Pan Carne Mant. 1980 1981 1982 1983 1984

F1 430 157 8 P 81 87 95 100 105

F2 545 210 1 C 770 700 750 800 860

F3 1230 80 3 M 840 910 800 1000 1050

F4 860 110 0

GASTOS TOTALES

80 81 82 83 84

F1 162.440

F2 206.685

F3 163.750

F4 154.360

a) Completa la última matriz

b) ¿ Qué relación hay entre las tres matrices que aparecen?

42 A partir de este momento, ya no se mencionará este procedimiento


Pág. 112

Es una actividad interesante para poder entender el significado de la multiplicación de matrices en comparación con otro tipo de operatividad. Multiplicar las matrices A y B para poder obtener la matriz C sería pesado sin la calcula-dora gráfica. Es interesante comprobar la no conmutativi-dad de la multiplicación de matrices. Es una sorpresa para los alumnos notar la imposibilidad de ciertas multiplica-ciones de matrices al aparecer el mensaje:


Editar las matrices A (con-sumos) y B (precios).

Multiplicar dos matrices

� [A] ¯ � [B]

2.4. Fabricación de juguetes

La marca Happy Toy fabrica cuatro tipos de animales de peluche: osos panda, cangu-ros, conejos y dinosaurios. Para producir un muñeco hace falta cortar el material, co-ser y dar el acabado. La siguiente tabla muestra el número de horas necesario en cada tipo de trabajo para cada tipo de muñeco.

Panda Canguro Conejo Dinosaurio

Cortar 0.5 0.8 0.4 1

Coser 0.8 1.0 0.5 1.5

Acabado 0.6 0.4 0.5 2

La fábrica ha recibido los pedidos para los meses de octubre y noviembre. En la si-guiente tabla se muestra el número de cada tipo de muñecos que tienen que fabricar cada mes:

Octubre Noviembre

Panda 1000 1100

Canguro 600 850

Conejo 800 725

Dinosaurio 2500 2000

a) Tenemos que calcular el número total de horas de trabajo para octubre y noviembre. ¿Cómo las calcularías?

b) La empresa tiene tres fábricas: una en el norte, otra en el centro y otra en el sur del país. En esta tabla se dan los salarios en pesetas que cobran a la hora cada tipo de trabajador en cada una de las fábricas.


Pág. 113

Cortar Coser Acabado

Norte 750 900 840

Centro 700 800 760

Sur 840 1050 1000

Queremos saber cuánto cuesta producir cada tipo de muñeco en cada una de las fábri-cas. Redondea los resultados a dos decimales.

En esta actividad se sigue con la multiplicación de matrices, pero en ella se puede ob-servar la importancia de las dimensiones. Llamamos A a la matriz que nos da las horas, B a la que nos da el número de muñecos mensuales y C a la matriz que nos da los sala-rios.


Editar las matrices A, B, C

a) Multiplicar las matrices A y B

� [A] ¯ � [B]

b) Multiplicar las matrices C y A

� [C] ¯ � [A]

2.5. La urbanización

Un constructor hace una urbanización con tres tipos de viviendas: S(sencillas), N(normales) y L(lujo). Cada vivienda del tipo S tiene 1 ventana grande, 7 medianas y 1 pequeña. Cada vivienda del tipo N tiene 2 ventanas grandes, 9 medianas y 2 pequeñas. Y cada vivienda del tipo L tiene 4 ventanas grandes, 10 medianas y 3 pequeñas.

Cada ventana grande tiene 4 cristales y 8 bisagras; cada ventana mediana tiene dos cristales y 4 bisagras; y cada ventana pequeña tiene 1 cristal y 2 bisagras. A su vez, ca-da cristal cuesta 1200 pts y cada bisagra cuesta 250 pts.

¿Cuánto gasta el constructor en cristales y bisagras en cada vivienda?

Hasta el momento la presentación de las matrices ha sido bastante clara; por otra parte, hemos multiplicado dos matrices en todos los casos. En este problema, el alumno se en-cuentra con la necesidad de construir las matrices A (ventanas), B (cristales y bisagras) y C (precios), así como con el problema de multiplicar tres matrices. Además puede surgir la dificultad de trabajar con las matrices traspuestas.


Pág. 114



Multiplicar las matrices A, B y C

� [A] ¯ � [B]

¯ � [C]

2.6. Álgebra y matrices.

Encontrar una matriz D que verifique:

1 0 0

0 2 0

1 0 3

1 0 1

0 0 0

9 3 3

2

1 1 1

2 3 0

3 4 5

=

−

−

+

. .D

Explica como justificarías que la matriz obtenida es regular.

La "ecuación" escrita la consideramos así: A.D=B+2.C⇒D=A-1.(B+2.C)

El objetivo es operar con matrices. De no utilizar la calculadora gráfica, los cálculos pueden obligar a trabajar con muchas incógnitas en el sistema o a trabajar con la matriz inversa.

OBJETIVO PROCEDIMIENTO PANTALLA


Hallar la matriz D � [A] — ¯ £

� [B] Ã Á

� [C] ¤

2.7. Inducción

Dada la matriz A, calcula A2 , A3 . ¿Sabrías dar An ?

A =

1 1 1

0 1 1

0 0 1

En esta actividad más que el cálculo, lo que se pretende es que los alumnos a partir de unos resultados para A2, A3,...puedan generalizar. La calculadora les permite confirmar sus hipótesis con facilidad. Surgiría por primera vez la potencia de matrices. Sin necesi-dad de multiplicarla por sí misma, la calculadora nos da la respuesta.


Pág. 115


Editar la matriz A

Hallar la matriz A2 � [A] ¡

Hallar la matriz A3, ... � [A] › Â

2.8. Calcular

Si A es una matriz de dimensión (2x4), B de dimensión (2x4) y C de dimensión (4x2),

a) Obtén la matriz [(A-B)xC]11

b) Calcula |A×C|

c) Obtén la matriz (C×B)t

Puede ser una actividad interesante para observar el dominio de destrezas que el alumno ha conseguido con la calculadora gráfica.

2.9. Las notas

Las notas en Matemáticas y Lengua de cuatro alumnos en las tres evaluaciones del cur-so han sido:

1ª Eval. 2ª Eval. 3ª Eval.

M L M L M L

7 6 8 8 9 10

4 2 3 1 1 2

5 6 6 5 6 7

6 9 7 8 9 9

Expresa en forma matricial la nota media de estos alumnos en las dos asignaturas.

¿Se puede dividir una matriz por un número?

Esta pregunta que tiene respuesta rápida, al trabajar con la calculadora gráfica nos plan-tea un pequeño problema. Si llamamos a las matrices de cada evaluación A, B y C, pa-rece claro que nos piden las matriz (A+B+C)/3


Pág. 116



Multiplicar un número por una suma de matrices

£ � [A] Ã � [B] Ã � [C] ¤ ¯£À¥Â¤

� 1 : Frac

¿Y si escribo (A+B+C)/3? 43

¿O con (A+B+C)*1/3?

2.10. Otra ecuación con matrices

Encontrar una matriz X que verifique X-B2 = A.B, siendo:

A B=

=

−

1 2 1

1 3 1

0 0 2

1 0 1

2 2 2

0 0 6

Si trabajamos con incógnitas para los elementos de la matriz X, el problema se hace muy pesado. Si en la ecuación despejamos X, X=B2+A.B


Editar las matrices A, B

Operar con matrices � [B] ¡Ã � [A] ¯ � [B]

43 Está definido el producto de una matriz por un número, pero no el cociente.


Pág. 117

2.11. Rango de una matriz

Halla el rango de las siguientes matrices:

2 1 5 1 8

1 2 3 4 5

3 1 4 5 1

1 3 10 13 11

1 2 3

2 1 2

3 0 1

1 2 1 0

1 2 1 1

2 0 2 1

−

−

−

− −

−

−

−

, ,

Cuando buscamos el rango de una matriz podemos enfocar el estudio por diferentes ca-minos (determinantes, triangulación..). En esta actividad hemos preferido seguir el ca-mino de la triangulación de Gauss para poder ver la utilidad de los menús de la calcula-dora gráfica. Como modelo hemos elegido la matriz 1ª. De optar por trabajar con deter-minantes, la calculadora gráfica, nos permite cálculos mucho más rápidos, sin más que reducir la matriz.

A pesar de que las opciones � MATH ref( o rref( nos permiten triangular de forma inmediata, hemos preferido ver las dos posibilidades, teniendo en cuenta que en el desa-rrollo de la clase lo más habitual es ir triangulando paso por paso.

Recordemos que al trabajar con operaciones específicas de matrices, siempre hay que teclear � MATH

a) Triangulación “clásica”


Editar la matriz

Intercambiar las filas 1 y 2 C : RowSwap( � [A] ¢À ¢ Á

Triangular (1)

2×fila 1ª + fila 2ª

(se almacena en la 2ª)

F : *row+(Á ¢ y ± ¢ À ¢ Á

3×fila 1ª + fila 3ª F : *row+(Â ¢ y ± ¢ À ¢ Â


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fila 1ª + fila 4ª D : row+(Â ¢ y ± ¢ À ¢ Ây ± ¢ À ¢ ¶

Triangular (2)

−fila 2ª + fila 3ª


F : *row+(Ì À¢ y ± ¢ Á ¢ Â

F : *row+(Ì À¢ y ± ¢ Á ¢ ¶

Triangular (3)


F : *row+(Ì À¢ y ± ¢ Â ¢ ¶

Conclusión : Rango A = 3

b) Triangulación “inmediata”


Editar la matriz

Dar la matriz en forma triangular

A: ref(� [A]

Dar la matriz en forma triangular

A: rref(� [A]

Conclusión : Rango A = 3


Pág. 119

2.12. Calcular

Calcular el valor de los siguientes determinantes:

1 1 0 0

1 0 0 1

0 1 1 0

0 1 0 1

7 2 1 3

2 0 1 1

2 3 5 2

1 2 2 4

1 2 3 1

2 1 3 4

3 5 6 2

1 3 0 6

, ,−

−

−

− −

Sólo vamos a calcular el determinante 1º


Editar una matriz A

Calcular el determinante de A

� MATH

Opción 1: det

� [A]

2.13. Dependencia lineal

Estudia si los siguientes vectores son linealmente dependientes:

u = (-2,1,3,1), v = (1,0,0,-1), w = (-1,1,1,1), z = (0,0,1,2)

Si los vectores son linealmente independientes, la matriz formada por sus coordenadas tendrá determinante distinto de 0. Si optamos por trabajar triangulando, podemos seguir el camino que se nos plantea en Rango de una matriz.


Editar la matriz A

Calcular el determinante de A 44

44 Ver actividad anterior.


Pág. 120

2.14. Resolución

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) x + 3y − 5z = 1 b) x + y + z + t = 6 c) 2x + 5y − 4z + 3w = 12 2x − y + 2z = 0 2x − y + 3z − t = 9 x + y + z + w = 6 −x + 2y − 3z = −1 3x +2y + z + 2t = 10 5x − y + 5z − w = 6 −2y + 4z = 2 x −2y − 4z + t = −15 2x − 7y + 8z − 5w = −12

En esta actividad se recogen tres formas distintas que pueden surgir al resolver un sis-tema de ecuaciones, una por cada sistema .

a)


Editar la matriz ampliada, A (4×4)


Como det A ≠ 0 , Rango A = 4.

La matriz de los coeficientes tiene como máximo rango 3.

Conclusión: Sistema Incompatible.

b)


Editar la matriz de los co-eficientes A (4×4)


Como det A ≠ 0, Rango A=4, S.C.D. Para resolver-lo aplico la Regla de Cra-mer:


Pág. 121


Almacenar A en B, C, D, E � [A] ¿ � [D] .........

Editar las matrices B, C, D y E cambiando una colum-na por la columna de los términos independientes

Obtener las soluciones del sistema:

x = det B/det A

y = det C/det A

z = det D/det A

t = det E/det A

� MATH

Opción 1: det

� [B] ¥ � MATH

Opción 1: det � [A]

y ²

(cambio [B] por las demás matrices)

c) Recomendable trabajar con rangos


Pág. 122

2.15. Ecuaciones matriciales

Para las ecuaciones matriciales siguientes, determina si hay solución y calcúlala cuan-do sea posible:

a X

b X

) .

) .

−

−

=

−

−

−

−

−

−

=

−

−

1 1 2

3 0 1

1 2 3

2 1 0

0 1 2

3 0 1

2 1 0

0 1 2

3 0 1

1 1 2

3 0 1

1 2 3

Ya hemos encontrado antes una ecuación matricial, pero no escrita exactamente de esta forma; la novedad es que aquí proponemos el siguiente método de resolución:

En los sistemas A⋅⋅⋅⋅X = B, X = A-1⋅⋅⋅⋅B

a)


Editar las matrices A y B

Encontrar la matriz X � [A] — ¯ � [B]

Observamos que se emplea el mismo lenguaje que utilizamos en Álgebra Lineal. Nos permite este resultado investigar sobre matrices singulares. Con la calculadora gráfica, las conclusiones son muy rápidas. Además, nos permite trabajar de forma inmediata con la matriz inversa, cosa difícil de hacer de no contar con la calculadora.

b)


Editar las matrices A y B


Pág. 123


Encontrar la matriz X � [A] — ¯ � [B]

o también:

� [A] — ¯ � [B] � 1: Frac

2.16. Posición relativa

¿Qué posición ocupan en el espacio las rectas:

rx y

x y zs

x y z

x y z≡

− − = −

− − =

≡− − = −

+ + =

3 2

2

2 2 2 4

2 4 2 6

Al trabajar en Geometría Afín, es obvio que hay diferentes formas de enfocar el proble-ma; hemos escogido trabajar con determinantes.

Las ecuaciones de las rectas nos dan lugar a un sistema de 4 ecuaciones con 3 incógni-tas; por tanto, considero el sistema en forma matricial:

A⋅⋅⋅⋅X = B


Editar la matriz ampliada C

Calcular el determinante de C

Rango C = 4, Rango A= 3; el sistema es incompatible y las rectas se cruzan.

IV. CORRELACIÓN Y REGRESIÓN: INVESTIGACIONES

Pág. 124

2.17. La carretera

Para trazar una carretera que pase por encima del ferrocarril, un ingeniero realiza los siguientes cálculos.

• La trayectoria del ferrocarril es : xy z− = = +3

2 31

4

• La carretera ha de pasar por los puntos A(2,1,3) y B(6,7,7).

¿Crees que la ha diseñado bien?

Si la ha diseñado bien, las rectas han de cruzarse; por tanto, el sistema formado por las ecuaciones de ambas trayectorias, ha de ser incompatible, pero además Rango A=3 y Rango (A|B) = 4.

Mismo proceso que en Posición relativa.

3. INVESTIGACIONES

Obviamente, al tratarse de investigaciones, el aspecto operativo pasa a un segundo tér-mino y la utilización de la calculadora nos ayuda a encontrar regularidades o explicacio-nes con más rapidez. En estas actividades, por tanto, el posible enfoque o desarrollo es más bien un comentario sobre las respuestas que se obtuvieron en clase. Evidentemente, sólo aparecen en este estudio las cuestiones relativas a la utilización de la calculadora gráfica. Aquellas cuestiones en las que intervienen procesos algebraicos o geométricos, considero que no es necesario mencionar cuál es el posible desarrollo.

3.1. Lluvia en Tel-Aviv

El siguiente grafo muestra una descripción de la sucesión de días secos (1) y húmedos (2) en Tel-Aviv durante los meses de invierno, con las probabilidades de cambio co-rrespondientes:

1 23/4 2/3

1/4

1/3

a) Si hoy es un día seco, ¿cuál es la probabilidad de que mañana llueva? ¿ de que llue-va pasado mañana?

b) Si el día 1 de enero es un día seco, ¿qué cabe esperar para el 13 de enero?

c) ¿Cómo se distribuyen los días secos y húmedos en invierno?

Conceptos y procedimientos que surgen de un modo natural con esta actividad:

• Matrices y grafos. Interpretar el grafo matricialmente. Surge una matriz de transi-ción, T.


Pág. 125

T =

3 4 1 4

1 3 2 3

/ /

/ /

• Matrices y probabilidad. Probabilidad condicionada y total; diagramas de árbol.

• A la primera pregunta se puede contestar con un diagrama de árbol, recordando la probabilidad condicionada y la probabilidad total:

1

1

2

1

2

1

2

3/4

1/4

3/4

1/4

1/3

2/3

3/4 . 1/4

1/4 . 2/3

3/4.1/4+1/4.2/3

• Las operaciones recuerdan rápidamente al producto de matrices. Luego si pudiéramos calcular rápidamente T×T, tendríamos respuesta a esta pregunta y a las otras situa-ciones.

Así, para pasado mañana, tendremos:

Para poder encontrar un resultado interesante, nos conviene emplear 4 decimales para lo que se emplea la tecla z :


Pág. 126

• Responder a lo que puede ocurrir en trece días con diagramas de árbol parece dema-siado trabajoso (¿cuántas ramas tendría el árbol?). También sería muy largo calcular T13 a mano.

Surge la utilidad de la calculadora gráfica para calcular T13 y para estudiar cómo se comporta Tn con n grande.

• Nos encontramos con los resultados siguientes para días sucesivos:

A los 12 días, la probabilidad ya no varía.

Otra manera de trabajar con la calculadora sería:

• [A]¯ [A] ¿ [B]

• [B]¯ [A] ¿ [B]

• y ² (aparece en pantalla [B]×[A]→[B]) …

o simplemente, pulsar Í repetidamente

3.2. Vectores. Matrices. Probabilidad

Un vector fila de n componentes p =(p1,p2,.....pn) se denomina un vector de probabili-dad si todas sus componentes son no negativas y además la suma de sus componentes es igual a 1.

a) Al lanzar una moneda, podemos considerar el vector de probabilidad p = ( 1/2, 1/2). Al lanzar un dado el vector de probabilidad asociado es ...................

b) Si p= (1/4,1/3,x) es un vector de probabilidad. calcula x.

Una matriz cuadrada n x n es una matriz de probabilidad si cada una de sus filas es un vector de probabilidad.


Pág. 127

c) ¿Cuáles de las siguientes matrices son matrices de probabilidad?

0 1 2 1 2

1 2 0 1 2

08 3 01

0 1 0

05 05 0

0 3 0 3 0 2

0 4 05 0 4

0 3 0 2 0 4

/ /

/ /

. . .

. .

. . .

. . .

. . .

−

d) Si colocamos un ratón en una caja con tres compartimentos como la de la figura. y no disponemos de más información, podemos suponer que el ratón escoge cualquier puerta al azar y con la misma probabilidad.

El paso del compartimento I al II tiene una probabilidad de 1/3, lo escribiremos p12=1/3, mientras que p21= ¿? , podremos escribir en forma de matriz 3x3 todas estas posibles transiciones (cambios de estado; en este ejemplo cambio de compartimento).

A partir de este momento, la calculadora gráfica apoya muchísimo el trabajo investiga-dor.

Hay una propiedad que relaciona los vectores y las matrices de probabilidad

"Si p es un vector de probabilidad con n componentes y P es una matriz de probabili-dad n××××n, entonces p⋅⋅⋅⋅P es un vector de probabilidad".

Pon algún ejemplo y comprueba esta propiedad. ¿Sabrías demostrar este resultado?.

f) Escribe dos ejemplos de matrices de probabilidad ¿Será cierto que su producto es una matriz de probabilidad? Investígalo.

Se puede demostrar, que efectivamente el producto de dos matrices de probabilidad es una matriz de probabilidad.

g) ¿Será cierta la siguiente propiedad:

"Si M es una matriz de probabilidad, entonces M2, M3,... ... son matrices de probabi-lidad?

Es bastante evidente que en esta investigación, cada alumno/a trabaja con matrices dis-tintas y, por tanto, no parece especialmente interesante reflejar un desarrollo. En clase, resulta una actividad bastante completa, porque en ella aparecen tanto cuestiones de cál-culo matricial como de probabilidades. La calculadora nos permite acelerar el proceso.


Pág. 128

3.3. Movimientos migratorios

En la urbe de Megápolis los estudios realizados acerca de los movimientos de la pobla-ción indican que el 15% de los habitantes de la ciudad se muda cada año a los subur-bios y que el 10% de los habitantes de los suburbios se muda cada año a la ciudad. Si la población de Megápolis estaba repartida en 1989 de forma que el 60% vivía en la ciudad y el resto en los suburbios se pide:

a) ¿Cuál será la proporción de los habitantes en la ciudad en 1990 ?.

b) Calcula la probabilidad de vivir en los suburbios en 1990.

c) Calcula la probabilidad de vivir en la ciudad en 1991 y la probabilidad de vivir en los suburbios en 1991.

d) Calcula la probabilidad de habitar en la ciudad en 1999.

e) ¿Se alcanzará alguna proporción estacionaria o estable en el transcurrir de los años?

Como los alumnos ya habrán trabajado anteriormente con diagramas de árbol y probabilidad, lo más habitual es que lo enfoquen en esa línea de trabajo. En efecto, si consideramos el diagrama de árbol

P(habitar en la ciudad en 1990) = 0.6×0.85 + 0.4×0.1 = ?

P(habitar en los suburbios en 1990) = 0.6×0.15 + 0.4×0.9 = ?

En estos momentos varios alumnos se dieron cuenta de que podía ser interesante traba-jar con una matriz (matriz de transición) que nos relacionase las proporciones y dispo-ner los cálculos utilizando el estado inicial El y la matriz de transición T. Así al efectuar el producto de matrices E1.T obtendremos un vector con las probabilidades de vivir en la ciudad en l990 y de vivir en los suburbios en 1990. Esto es, el estado de proporciones de 1990. La matriz de transición es bastante clara,

ciudad suburbios

ciudad 0.85 0.15

suburbios 0.10 0.90

Pero surgió el problema del estado inicial. Muy pronto se planteó que bastaba con con-siderar una matriz o vector fila, (0.6,0.4).


Pág. 129

Tenemos las matrices:

El = (0.6,0.4)

T =

085 015

010 0 90

. .

. .


Editar las matrices A (E1) y B (T)

Multiplicar A por B � [A] ¯

� [B]

Para la segunda pregunta, bastará con efectuar el producto del vector estado de propor-ciones de 1990 por la matriz de transición T, o equivalentemente, por ser el producto de matrices asociativo

E1⋅T⋅T = E1⋅T2

donde E1 es el estado inicial que corresponde a 1989 y T es la matriz de transición.

Hasta este punto, la utilización de la calculadora gráfica, parece un poco superfluo, ya que los productos que surgen son sencillos, pero y ¿si vamos generalizando?

NOTA: Para que los resultados sean significati-vos, merece la pena dar los resultados con tres de-cimales.

Para contestar a la pregunta c), basta con ir genera-lizando el proceso (Después de la instrucción y ± ¯ � [B], Í, Í, Í,.....

Puede ser un buen momento para hablarles de las cadenas de Markov. Así para el año 2000, las probabilidades correspondientes a vivir en la ciudad y la de vivir en los subur-bios se podrá calcular efectuando el producto de matrices


Pág. 130

E1⋅T2000 − 1989

Podemos seguir los años que queramos y así, al transcurrir, por ejemplo 50 años, ten-dremos:

¡Curioso resultado! ¿O no?

La teoría de las cadenas de Markov demuestra que se alcanza un estado estacionario in-dependientemente del estado inicial de partida. En nuestro caso era el de la proporción en l989, (0.6,0.4), pero la proporción estacionaria sería la misma si el estado inicial hu-biese sido (0.2,0.8), por ejemplo.

3.4. Matrices. Límites. Inducción

Considera la matriz M =

3 4 1 4

1 4 3 4

/ /

/ /

a) ¿Es una matriz de probabilidad?

b) Calcula las potencias M2, M3.

c) Completa la matriz y generaliza el resultado para la potencia n-ésima de la matriz M.

d) Calcula lim Mn cuando n tiende a infinito.

Anteriormente hemos trabajado con una actividad de este tipo, pero en aquella ocasión, la calculadora gráfica no parecía especialmente interesante, ya que los cálculos no eran especialmente complicados. En este ejemplo la cosa no es tan sencilla. Editamos la ma-triz y operamos con ella. Es conveniente tener la precaución de trabajar en modo frac-ción para que los resultados sean significativos.


Pág. 131


Editar la matriz A(M)

Calcular M2 � [A] ¡

� 1 : Frac

Calcular M3 ¯� [A]

� 1 : Frac

Para poder generalizar, utilizando la calculadora y después de varias potencias más (pul-sar varias veces <ENTER>),

se llegó a dos resultados distintos

M nn n

n n

=+ −

− +

+ +

+ +

1

2

1

2

1

2

1

21

2

1

2

1

2

1

2

1 1

1 1

M n

n

n

n

n

n

n

n

n

=

+ −

− +

+ +

+ +

2 1

2

2 1

22 1

2

2 1

2

1 1

1 1

Conocer el lim Mn se convierte en algo simple con la calculadora gráfica


Pág. 132

3.5. Pirámides de población

Al cabo del tiempo la distribución de la edad de los habitantes de un país varía. Es co-nocido el fenómeno de envejecimiento de la población. Las pirámides de población pueden representar los cambios de forma clara. ¿Qué ocurrirá en el año 2050? ¿Es posible hacer predicciones sobre el futuro a partir de pirámides conocidas?

Una estrategia importante consiste en estudiar en primer lugar un ejemplo bastante más sencillo, pero no absurdo. Supongo que dentro de un área del trópico vive una es-pecie de insectos. La distribución de la población es fluctuante. Para los dos años si-guientes tengo:

¿Es posible construir la pirámide para el año t = 2?

Es una pregunta muy abierta y, sin duda, dará lugar a una discusión. Es necesario supo-ner algo sobre la mortalidad y la natalidad.

Imaginemos que los porcentajes de muerte de los grupos de edad no varían. Entonces todos los ancianos(edad 2) mueren; para el grupo de mediana edad la probabilidad de muerte es 2/3; para los jóvenes es 1/4.

La extrapolación da entonces:

La última pirámide ya necesita una base y la pregunta es: ¿qué generaciones producen los jóvenes? ¿qué sabemos sobre la reproducción?

Podemos hacer otra suposición: sólo los ancianos producen insectos nuevos. Podemos concluir que una pareja de insectos tiene una media de 8 hijos, pues el factor de repro-ducción por anciano es de 4. Ahora podemos hacer predicciones:


Pág. 133

Es sorprendente que la pirámide original vuelve a repetirse.

Partiendo de otra pirámide y suponiendo que los porcentajes de mortalidad y natalidad no varían, se puede esperar un movimiento periódico también. Observa el grafo de transición:

La matriz de transición para un año es:

T =

0 0 4

3 4 0 0

0 1 3 0

/

/

Para dos años es T 2

0 0 4

3 4 0 0

0 1 3 0

0 0 4

3 4 0 0

0 1 3 0

0 4 3 0

0 0 3

1 4 0 0

=

=

/

/

. /

/

/

/

Para tres años es T 3

0 4 3 0

0 0 3

1 4 0 0

0 0 4

3 4 0 0

0 1 3 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

=

=

/

/

. /

/

La propiedad T3=I causa la periodicidad. Si los insectos son menos fértiles, por ejemplo, el factor de reproducción es 2, tendremos T3 = ½ ⋅I y la consecuencia sería la extinción.

Si cambiamos el grafo, por ejemplo:

La matriz es ahora:

T =

0 2 2

3 4 0 0

0 1 3 0

/

/


Pág. 134

Y es en estos momentos cuando la calculadora gráfica o el ordenador nos pueden ayudar tremendamente, ya que los cálculos anteriores pueden realizarse con sencillez sin calcu-ladora gráfica. En clase, no se llegó más que a analizar algunos años.

Usando la calculadora, los alumnos pueden investigar si una población se extinguirá o crecerá explosivamente.

Si consideramos como matriz de transición

T =

0 3 4 0

2 0 1 3

2 0 0

/

/

(Les resultó curioso el cambio de criterio al dar la matriz de transición)

Y si partimos de una población de 6000 insectos en cada edad, los resultados que vamos obteniendo realizando la multiplicación iterativa: B×T×T..., donde B es la matriz 1×3 que en cada momento nos da la población [inicialmente B=(6000, 6000, 6000)], nos en-contraríamos:


Editar las matrices A (B) y B (T)

Encontrar la población des-pués de 1 año

� [A] ¯

� [B]

Encontrar la población en sucesivos años

¯

� [B]

De lo que deducimos la siguiente tabla:

t=0 t=1 t=2

6000 6000 6000

24000 4500 2000

13000 18000 1500

39000 9750 6000

31500 29250 3250

65000 23625 9750


Pág. 135

Si continuamos el proceso (cosa sencilla de hacer con la calculadora gráfica), nos encon-tramos además con la sorpresa de que la proporción entre los grupos de edad no cambia; la distribución de la edad es estable.

Aproximadamente los porcentajes finales son 59,42; 32,62 y 7,96.

En esta actividad, además del proceso demográfico, resulta muy curioso diferenciar una matriz y su traspuesta, a través de los diferentes resultados obtenidos.

VI - BIBLIOGRAFÍA

VI. BIBLIOGRAFÍA

Pág. 137

BAUDRANT, G. y VAGOST, D. Matemáticas, Física y Química con una calculadora gráfica programable, S.M., Madrid.

BOTELLA, L.M. (1996): La calculadora gráfica en correlación y regresión en SUMA nº 22, 71−78.

ENGEL, A. (1990): Les certitudes du hasard, Aleas Editeur. Lyon.

GRILLES, J.M. y PLÁ, F. (1991): Estadística y probabilidad, Generalitat Valenciana.

GRUPO AZARQUIEL (1985): Regresión y correlación: una introducción intuitiva. Universidad Autónoma de Madrid.

GUZMÁN, M. y COLERA, J. (1989): COU. Matemáticas II, Anaya, Madrid.

KELLY, B. (1993): Exploring functions with the TI-82 Graphics Calculator, Brendan Kelly Publishing, Burlington, Ontario.

KINDT, M. (1993): Matemática discreta como preparación a las Ciencias Sociales, en Aspectos didácticos de Matemáticas, 4, ICE Universidad de Zaragoza.

MILLÁN, L.M. (1996): El álgebra lineal y la calculadora gráfica, en SUMA nº 22, 63−69.

SALINAS, E. (1996): La calculadora gráfica en análisis, en SUMA nº 22, 59−62.

SAVALL, J.V.: Matrices. Operaciones. Aplicaciones e interpretación. Documento CEP Alicante.

Calculadora gráfica en bachillerato

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