Calcolo letterale
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Calcolo letterale
Le espressioni letterali
Sono espressioni contenenti numeri reali e lettere.
A=(B+b)h/2
A=2(b+h)
Le lettere rappresentano numeri reali.La stessa lettera assume sempre lo stesso
valore.
Le espressioni letterali
Le espressioni letterali tali che a nessuna delle lettere è applicata l’operazione di
reciproco sono dette intere.Altrimenti si dicono frazionarie.
Le espressioni letterali frazionarie possono perdere significato per alcuni dei valori
delle variabili.
Le espressioni letterali
ax2:b b≠0
1𝑎+2
a≠-2
(a)-1 a≠0
1𝑎−1b a≠0 e b≠0
I monomi
I monomi sono espressioni composte da prodotti tra numeri reali e lettere.
A=l•l=l2
A=bh/2
Un monomio si dice ridotto in forma normale quando le lettere compaiono una sola volta.
I monomi
Ogni monomio è composto da un coefficiente (segno più fattore numerico) e
da una parte letterale.
-2axy2 ab
I monomi
Si dice nullo il monomio avente coefficiente 0.
0 = 0a = 0xvtr …
I monomi
Dato un monomio non nullo ridotto in forma normale, si dice grado rispetto ad una sua
lettera l’esponente di questa lettera.
-2a7xy2
Si dice grado complessivo (o assoluto) del monomio la somma degli esponenti di tutte le sue lettere.
I monomi
Si dicono simili monomi aventi la stessa parte letterale.
2a 3a2
2a 2ab
2a 3a
I monomi
Si dicono uguali monomi aventi la stessa parte letterale e stesso coefficiente.
2a 2a2
2a 2ab
2a 2a
I monomi
Si dicono opposti monomi aventi la stessa parte letterale e coefficiente opposto.
2a -2a2
2a -2ab
2a -2a
Operazioni tra monomi
SommaPuò essere effettuata solo tra monomi simili
Il risultato è ancora un monomio simile avente come coefficiente la somma dei
coefficienti dei due addendi.
3a+2ax
3a+2a
⅛a-√2a
Operazioni tra monomi
DifferenzaPuò essere effettuata solo tra monomi simili
Il risultato è ancora un monomio simile avente come coefficiente la differenza dei
coefficienti dei due addendi.
3a-2ax
3a-2a
⅛a-(-√2a)
Proprietà delle operazioni
Somma•Commutativa •Associativa•Esistenza elemento neutro 0 a+0=a
Sottrazione•Commutativa•Associativa (ab-2ab)-ab ≠ ab-(2ab-ab)
•Esistenza elemento neutro 0 a-0=a
Operazioni tra monomi
MoltiplicazioneSi può effettuare tra monomi qualunque.
Il risultato è ancora un monomio che ha:• Coefficiente pari al prodotto dei coefficienti• Parte letterale formata da tutte le lettere presenti
nei due monomi, con esponente pari alla somma degli esponenti che le stesse lettere hanno nei due fattori. (3a) • (2a)
(3ab)•(2a2xy3)
(⅛avn)•(√2ba)
Operazioni tra monomi
Elevamento a potenza (esponente naturale)
Il risultato è ancora un monomio che ha:• Coefficiente pari alla potenza del coefficiente
della base• Parte letterale formata da tutte le potenze
delle lettere presenti nel monomio che costituisce la base.
(3a2b)3
(⅛√2bwa)1
(− 23 x y3𝑧)2
Operazioni tra monomi
DivisioneSi può effettuare tra due monomi A e B, con B non nullo, se il monomio A contiene tutte le lettere del monomio B
ma di grado maggiore o uguale.
Il risultato è ancora un monomio che ha:• Coefficiente pari al quoziente dei coefficienti• Parte letterale formata da tutte le lettere presenti nei
due monomi, con esponente pari alla sottrazione degli esponenti che le stesse lettere hanno nei due fattori.
(2x2):x
:
(2ax):(ax2) (2ax):(az)
Proprietà delle operazioni
Prodotto•Commutativa •Associativa•Esistenza elemento neutro 1 ax1=a•ax0=0•Legge di annullamento del prodotto
axb=0 (a=0 b=0)
Prodotto e sommaDistributiva ax(b+c) = axb + axc
Proprietà delle operazioni
DivisioneCommutativaAssociativa (8ya3:4y):2a ≠ 8ya3:(4y:2a)Esistenza elemento neutro 1 a:1=a0:a=0 a:0 IMPOSSIBILE0:0 forma indeterminataDivisione e sommaDistributiva (a+b):c = a:c + b:cDistributiva a:(b+c) ≠ a:b + a:cDivisione e prodotto a:(bc) ≠ (a:b)c
Proprietà delle operazioni
Elevamento a potenza
•ab ac = ab+c
•ab : ac = ab-c
•(ab) c = abc
•ab cb = (ac)b
•ab : cb = (a:c)b
Esercizi
Calcolare per a=2 e b=-3. +
Esercizi
[(𝑥2 𝑦− 13 𝑦 𝑥2)2
: (𝑥2−3 𝑥2)2]2
+( 12 𝑦 4𝑥2): (2𝑥2 )+𝑦4
{[(𝑎234𝑥20 𝑦12+ 47 𝑎234 𝑦12𝑥20)3: (𝑥2+3 𝑥2 )2]7}0
[𝑎−𝑥 (𝑥+𝑥3 )(𝑥− 𝑥3 ) :(𝑥+ 𝑥
3 )+ 23 𝑥2]2
−[2 (𝑎− 𝑎2 ) ]2
mcm e MCD
Si dice divisore di un monomio A ogni monomio B tale che la divisione di A per B dà
come risultato un monomio.
2x2
ya2b3
mcm e MCD
Il massimo comune divisore tra due monomi A e B, MCD(A,B), è ogni monomio C tale che:• C è divisore sia di A che di B• ogni altro monomio D che divide sia A che
B ha grado minore o uguale a quello di C.
3x2y2
z½x2z2
a-4x2yz3t
mcm e MCD
Considerare una sola volta tutte le lettere comuni ai vari monomi.Scegliere come esponente il più piccolo con cui quella lettera compare.Scegliere come coefficiente un numero reale ≠ 0.
3x2y2
z½x2z2
a-4x2yz3t
mcm e MCD
Si dice multiplo di un monomio A non nullo ogni monomio B tale che B=A•C, dove C è un
monomio.2x2
y
Il minimo comune multiplo tra due monomi A e B, mcm(A,B), è ogni monomio non nullo C tale che:• C è multiplo sia di A che di B• ogni altro multiplo D comune ad A e B ha
grado maggiore o uguale a quello di C.
mcm e MCD
Considerare una sola volta tutte le lettere comuni e non comuni ai vari monomi.Scegliere come esponente il più grande con cui quella lettera compare.Scegliere come coefficiente un numero reale ≠ 0.
3x2y2
z½x2z2
a-4x2yz3t
Esercizi
Calcolare il m.c.m. ed il M.C.D tra i seguenti monomi:
254𝑥2 𝑦2𝑝2
425
𝑥3 𝑦2𝑝8 −32𝑝𝑥2 𝑦3
38𝑎2𝑏8 𝑥3 −
113𝑎𝑏2 𝑥2 3
5𝑎𝑏𝑥
I polinomi
I polinomi sono espressioni composte dalla somma di monomi.
A=(B+b)h/2
A=2(b+h)
I polinomi
Un polinomio si dice ridotto in forma normale quando vi compaiono solo monomi ridotti in forma normale e non compaiono
monomi simili.
−3 𝑎𝑥3+2𝑡𝑦 𝑧 5
−3 𝑎𝑥3+2𝑡𝑦 𝑧 5𝑎2−2 𝑥3𝑎
−3 𝑎𝑥3+2𝑡𝑦 𝑧 5 𝑦2
I polinomi
Un polinomio ridotto in forma normale si dice omogeneo quando i monomi che lo compongono hanno tutti lo stesso grado.
−3 𝑎𝑥3+2𝑡𝑦 𝑧 2
−3𝑏𝑥2𝑎3 𝑥4+2 𝑡𝑦 𝑧5 𝑦 2
I polinomi
Si dicono uguali due polinomi ridotti in forma normale tali che ogni monomio del primo polinomio
compare anche nel secondo.
2a+4c2h-7qs3i2 4c2h-7s3i2q+2a
I polinomi
Si dicono opposti due polinomi composti dallo stesso numero di monomi e tali che per ogni monomio del primo, il secondo
polinomio contiene il suo opposto.
2a+4c2h-7qs3i2 -4c2h+7s3i2q-2a
I polinomi
Si dice nullo il polinomio composto dal solo monomio nullo.
I polinomi
Dato un polinomio non nullo ridotto in forma normale, si dice grado rispetto ad una sua
lettera il massimo esponente che assume questa lettera nei monomi che compongono il
polinomio.
Si dice grado complessivo (o assoluto) del polinomio il massimo dei gradi complessivi
dei vari monomi che lo compongono.
2a+4a2h-7qa3i2
Operazioni tra polinomi
SommaPuò essere effettuata sempre ed il risultato è
ancora un polinomio.Si scrive un unico polinomio ottenuto
sommando i vari addendi e poi si riducono gli eventuali termini simili.
3a+2ax -3ax+2ab-⅝b ⅛b-√2a-7ab
Operazioni tra polinomi
DifferenzaPuò essere effettuata sempre ed il risultato è
ancora un polinomio.Si ottiene sommando al polinomio A
l’opposto del polinomio B.
-3ax+2ab-⅝b ⅛b-√2a-7ab
Operazioni tra polinomi
MoltiplicazionePuò essere effettuata sempre ed il risultato è
ancora un polinomio.Si effettua ricorrendo alla proprietà
distributiva del prodotto rispetto alla somma e poi riducendo eventuali termini simili.
a-3b a2+ab-b
Operazioni tra polinomi
Moltiplicazione
L’importanza delle parentesi
(x+1)(x+2)
x+1(x+2) = x2+2x+x+2
Esercizi
( 13 𝑥− 12 𝑦 )(− 13 𝑥− 12 𝑦 )+𝑥 (𝑥− 𝑦 )−2𝑥𝑦
2 𝑥( 𝑥2 − 𝑥𝑦3 )( 𝑥2 +𝑥𝑦3 )=2𝑥3( 14 − 𝑦2
9 )
Verificare la seguente identità
Operazioni tra polinomi
Potenza di un polinomioPuò essere effettuata sempre ed il risultato è
ancora un polinomio.
L’operazione è generalmente lunga e complessa ma ci sono alcuni casi particolari che consentono di semplificare l’operazione.
Operazioni tra polinomi
Prodotti notevoli
Quadrato di un binomio
(a+b)2=a2+b2+2ab
a+b a b
b
a
Operazioni tra polinomi
Prodotti notevoli
Cubo di un binomio
(a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2
Operazioni tra polinomi
Prodotti notevoli
Somma per differenza
(a+b)●(a-b) =a2-b2
Esercizi
(3 𝑎2+5𝑎𝑏)(3 𝑎2−5𝑎𝑏)
( 13 𝑥− 12 𝑦 2𝑧)2
(𝑎+𝑏)3+(2𝑎+𝑏)3= (3𝑎+2𝑏)[𝑎 (2𝑎+𝑏 )+ (𝑎+𝑏)2]
Verificare la seguente identità
(2𝑎− 𝑧𝑦)3− (2𝑎−𝑧𝑦 ) (2𝑎+𝑧𝑦 )2−𝑎 (2𝑎−𝑧𝑦 )2
Operazioni tra polinomi
Divisione per un monomio non nulloSi può eseguire in modo esatto quando il
monomio divide tutti i monomi che compongono il polinomio.
Il risultato si ottiene applicando la proprietà distributiva della somma rispetto alla
divisione
3x3-4a2x2+¼x4a x2
Operazioni tra polinomi
Divisione tra due polinomi P e D (non nullo)
Si dice quoziente della divisione l’espressione letterale Q tale che P=Q●D.
In generale Q non è un polinomio. a+b 2ax
Se D è un divisore di P allora Q è un polinomio.ax-3a+2x-6 a+2
Operazioni tra polinomi
Divisione tra polinomi in una variabile
Dati due polinomi P e D nella stessa variabile e tali che P sia di grado maggiore rispetto a D, la divisione• può essere effettuata in modo esatto
quando esiste un polinomio Q tale che P=Q●D.
• può essere effettuata con resto quando esistono due polinomi Q e R tali che P=Q●D+R. R è di
grado inferiore a P
Operazioni tra polinomi
Divisione tra due polinomi in una variabile
Ordinare i due polinomi in modo decrescente rispetto al grado della variabile.
Inserire 0 al posto degli eventuali termini mancanti nel dividendo.
(2x4+3x3-x2+x+2):(x2+x-3)
(2a2-3a3-a4+2):(-3+a2-a)
(3x3y3-3x2y2+1):(xy-2)
Operazioni tra polinomi
Divisione tra due polinomi in più variabili
Scegliere una lettera e ordinare i due polinomi in modo decrescente rispetto al
grado di quella variabile. Inserire 0 al posto degli eventuali termini
mancanti nel dividendo.
(2x3-3ax2-4a3+2xa2):(a+x)
Operazioni tra polinomi
Teorema di Ruffini
Il resto della divisione di un polinomio P(x) per un binomio di primo grado (x-a) è dato da P(a).
Esempi:
(a2-2a+1):(a+2)
(x3y3-2x2y2+xy):(xy-3)
Operazioni tra polinomi
Teorema di Ruffini
Un polinomio P(x) è divisibile per il binomio (x-a) se e solo se P(a)=0.
Esempi:
(a2+2a+1):(a+1)
(x3y3-2x2y2+xy):(xy-1)
Ogni valore della variabile che rende nullo il polinomio è detto radice o zero del polinomio.
Esercizi
{[ (𝑎𝑏2−𝑎2𝑏) : (𝑎𝑏) ]2−2 (𝑎−𝑏 )2+ (𝑎2+𝑏2 ) }:(𝑎𝑏)
(𝑎𝑥3− 13 𝑎2𝑥−𝑎𝑥2+ 13 𝑎2) : (𝑥−1 )−𝑎(𝑥−1)2
(𝑎¿¿3+2𝑎2−9𝑎−18) :(3𝑎+6)¿
Determinare quoziente e resto
(−15 𝑥¿¿3 𝑦+2𝑥2 𝑦2−4 𝑥𝑦3−6 𝑦3) :(5 𝑥𝑦+𝑦2)¿
Scomposizione in fattori di un polinomio
Un polinomio si dice riducibile se può essere espresso come prodotto di polinomi di grado
inferiore. Altrimenti il polinomio si dice irriducibile.
Scomporre in fattori significa trasformare in un prodotto.
Si può scomporre un polinomio mediante:• Raccoglimenti• Prodotti notevoli• Teorema di Ruffini
Scomposizione in fattori di un polinomio
Raccoglimenti
Si sfrutta la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.
Consiste nel raccogliere i fattori comuni ai vari monomi che compongono il polinomio.E’ conveniente mettere in evidenza il MCD.
ax(b+c) = axb + axc
Scomposizione in fattori di un polinomio
Raccoglimenti
kx2+k2x-k3xy+k4
-3x2a3y15+x3a2y5z+4a2x2
3x(a-b)+5(a-b)+7y(a-b)
Scomposizione in fattori di un polinomio
Raccoglimenti successivi o parziali
Se i vari monomi che compongono il polinomio non hanno fattori comuni possiamo vedere se il polinomio può considerarsi come somma di polinomi che hanno fattori comuni e procedere a raccoglimenti parziali. Poi valutare se i termini ottenuti hanno fattori comuni e raccogliere.
3ax-3xb+5a-5b+7ay-7yb
Scomposizione in fattori di un polinomio
Raccoglimenti successivi o parziali
am-bm-cm+an-bn+cn-ad+bd-cd
x2a3-x3a2+3a-3x
Scomposizione in fattori di un polinomio
Prodotti notevoli
Si tratta di riconoscere lo sviluppo di un prodotto notevole e scriverlo come prodotto
o potenza.
Scomposizione in fattori di un polinomio
Prodotti notevoli
9a2+12ab+49b2
8a3-36a2b+54ab2-27b3
-a4b6+100a6b8
-x3a3+3x2a2b-3xab2+b3
81c4+18c2b2+b4
a4-2a2b2+b4-c2
Scomposizione in fattori di un polinomio
Prodotti notevoli e raccoglimenti
3a3-2a2-3a+2
a2-b2+a3b2-a2b3+ax-bx
Scomposizione in fattori di un polinomio
Teorema di Ruffini
Quando il polinomio da scomporre è in una variabile si può provare a vedere se è
divisibile in modo esatto per un binomio di primo grado nella stessa variabile, usando il
Teorema di Ruffini.
Il problema si riduce nel trovare un numero a tale che P(a)=0.
Infatti, se P(a)=0 allora P(x)=Q(x)(x-a).
Scomposizione in fattori di un polinomio
Teorema di Ruffini
Il problema si riduce nel trovare un numero a tale che P(a)=0.
Il valore di a deve essere cercato tra i divisori del temine noto o tra i suoi rapporti con i
divisori del coefficiente del termine di grado massimo del polinomio.
Scomposizione in fattori di un polinomio
Teorema di Ruffini
6x3+2x2-x+12
±1 ±2 ±3 ±4 ±6 ±12
Scomposizione in fattori di un polinomio
Teorema di Ruffini
x+4x3+1
2x3-2x2-3x-2
x2y2 -11xy+30
x3+5x2+6x
mcm e MCD
Il massimo comune divisore tra due polinomi A e B, MCD(A,B), è ogni polinomio C tale che:• C è divisore sia di A che di B• ogni altro polinomio D che divide sia A
che B ha grado minore o uguale a quello di C.
mcm e MCD
Per calcolare il massimo comune divisore tra due polinomi A e B si devono • scomporre in fattori i due polinomi• prendere i fattori comuni ai due polinomi
col minimo esponente• moltiplicare i termini ricavati
4x2+2x
4x2-1 4x2+4x+1
mcm e MCD
Il minimo comune multiplo tra due polinomi A e B, mcm(A,B), è ogni polinomio C tale che:• C è multiplo sia di A che di B• ogni altro multiplo D comune ad A e B
ha grado maggiore o uguale a quello di C.
3x2y2
z½x2z2
a-4x2yz3t
mcm e MCD
Per calcolare il minimo comune multiplo tra due polinomi A e B si devono • scomporre in fattori i due polinomi• prendere i fattori comuni e non comuni
ai due polinomi col massimo esponente• moltiplicare i termini ricavati
4x2+2x
4x2-1 4x2+4x+1
Esercizi
𝑚2+2𝑚𝑛+𝑛2
Determinare mcm e MCD
𝑥4−52𝑥3−3𝑥2+10 𝑥−4
𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2 𝑎𝑚−𝑛𝑏+𝑎𝑛−𝑚𝑏
𝑥2−4 𝑥2+4 𝑥+4
Le frazioni algebriche
Un rapporto tra due polinomi A e B, di cui B non nullo, è detto frazione algebrica.
Le frazioni algebriche
Il denominatore di una frazione algebrica non può essere nullo, dobbiamo quindi
capire quali valori fanno perdere significato all’espressione.
L’insieme dei valori per cui la frazione algebrica ha significato (che non annullano
il denominatore) si chiama dominio.
Le frazioni algebriche
Le frazioni algebriche
Due frazioni algebriche sono equivalenti quando assumono il medesimo valore per
tutti i valori per cui hanno entrambe significato.
Le frazioni algebriche
E’ possibile semplificare una frazione algebrica dividendo numeratore e denominatore per uno
stesso termine non nullo.
Le frazioni algebricheUna frazione algebrica in numeratore e
denominatore hanno almeno un fattore comune si dice riducibile.
Altrimenti si dice irriducibile.
E’ bene dividere numeratore e denominatore per il loro MCD.
Dopo aver diviso per il MCD la frazione si dice ridotta ai minimi termini.
Operazioni tra frazioni algebriche
Moltiplicazione
Il risultato è ancora una frazione algebrica avente per numeratore il prodotto dei
numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.
Per eseguire la moltiplicazione si deve:• Valutare il dominio delle frazioni
• Eseguire il calcolo• Ridurre ai minimi termini
Operazioni tra frazioni algebriche
Moltiplicazione
Operazioni tra frazioni algebriche
Elevamento a potenza
L’esponente si applica sia al numeratore che al denominatore.
Operazioni tra frazioni algebriche
Elevamento a potenza
Operazioni tra frazioni algebriche
Divisione
Data una frazione algebrica , la sua inversa è quella frazione algebrica che moltiplicata
per la prima dà 1.
Il quoziente di due frazioni algebriche A e B, con B non nulla, si calcola moltiplicando la prima frazione per l’inverso della seconda.
Operazioni tra frazioni algebriche
Divisione
Operazioni tra frazioni algebriche
Somma e sottrazioneSi opera come nella somma di frazioni
numeriche.
Esercizi
( 12 𝑦+1
+ 4 𝑦1−4 𝑦2
+ 11−2 𝑦 ): 𝑦
2+2 𝑦+11−2 𝑦
(− 13 𝑎
+ 13𝑎−2 ) ∙ (3 𝑎−1 ) :( 1𝑎 + 3
3 𝑎−2 )