CALCOLO DEGLI ELEMENTI DEL CAMPO MAGNETICO DELLE MASSE DI FORMA Q U A L U N Q U E

di CAMILLO CONTINI (*)

R i a s s u u t o - - Vengono deser i t t i i r e t i co t i -p ron tuar i di calcolo delle componen t i del campo magnet ico genera to dal la magnet izzaz ione di masse e lementa r i di ro taz ione in torno a un asse vert icale . Viene mos t r a to come ta l l reticoli , a scala var iabi le , r endano possibile il calcolo rap ido e suff icientemente appross ima to degli e lement i del campo di masse magne t i zza te di fo rma e di es tensione qua lunque . E ' spiegato come gli stessi reticoli possano servire anche per il calcolo degli e lement i EfTv6ss ian i . Inf ine sono dat i a lcuni ch ia r iment i per il calcolo delle influenze topograf iche.

S u m m a r y - - A descript ion is given of the d iagrams for compu t ing t he compo- nen ts of the magne t ic field genera ted by the magne t i za t ion of e lementa r masses of ro ta t ion round a ver t ica l axis. I t is f u r t he r shown how such d iagrams , in va r i ab l e scale, make it possible to make rapid and fair ly correct c o m p u t a t i e n s of the e lements of the field of magnet ized masses of any shape and size. An exp lana t ion is given fo how the same diagrams can also be used for comput ing the EgTv6ssian elements. At the end some detai ls are given on the com pu t a t i on of topographic influences.

B 6 s u m ~ - - On d~crit les graphiques pour le calcul des composan tes du champ ma- gn~tique g6n~r6 pa r la magn~t i sa t ion de masses ~Mmentaires de ro ta t ion a u t o n r d ' un axe vert ical . On mon t re com m en t ces grapldques , "~ 6chelle var iab le , r enden t possible un calcul rapide et suf l l samment exact des 616merits du champ de masses magn6tis6es de n ' i n p o r t e quelle forme et ex ten t ion . On explique c o m m e n t l~s mfime graph iques peuven t servir aussi pour calculer les ~l~ments E6Tvtissiens. Enf in on donne quelques 6claircissements sur le calcul des influences topographiques .

1 . P r e m e s s e - - Gli e l e m e n t i del c a m p o m a g n e t i c o g e n e r a t o dal le m a s s e m a - g n e t i z z a t e possono essere ca lco la t i r i g o r o s a m e n t e s o h a n t o s u p p o n e n d o c h e l a m a - gne t i zzaz ione delle s tesse masse sia u n i f o r m e . I n e f fe t to p e r b solo le m a s s e deli- m i t a t e da superf ic i del s e c o n d ' o r d i n e , come sfere, el l issoidi , c i l ind r i a sez ione cir- colare o e l l i t t i ca , ecc. possono essere m a g n e t i z z a t e u n i f o r m e m e n t e : q u i n d i p e r t u t t e le m a s s e a v e n t i a l t r e f o r m e g e o m e t r i c h e i v a l o r i d e t e r m i n a t i p e r v i a ana l i - t ica , i n b a s e a l la s u s c e t t i v i t h m a g n e t i c a e a l ia i n t e n s i t h di m a g n e t i z z a z i o n e , sa- r a n n 0 s o l t a n t o a p p r o s s i m a t i .

R i s u l t a da ci6 che i calcoli d ' i n f l u e n z a delle masse e t e r o g e n e e inc luse ne l sot- tosuolo che i n t e r e s s a n o i r i l i ev i di p r o s p e z i o n e m i n e r a r i a , le qua l i h a n n o le fo rme

(*) Dot t . Ing. CA~IILLO CONTINI, Consulente Geofisico, Via Lomazzo 2, M i l a n o .

- - 4 2 - -

pih diverse, saranno in effett0 piuttosto grossolani. Questo fat to ha ingenerato i n mohi operatori la convinzione, certamente esagerata, che addiri t tura risultasse pressoch~ superflua ogui interpretazione quant i ta t iva delle misure, e che anche le indicazioni qualitative dovessero essere accettate con molta prudenza, se non con ditfidenza.

I n realt~ l'irtfluertza delle variaziorti della polarizzazione delle masse, dovute alle forme particolari delle stesse (ossia dovute al campo smagnetizzante creato dalle masse magnetiche distribuite sulle superfici delle masse), ~ in generale del- l 'ordine di grandezza dell'influenza che deriva dall ' incertezza sui valori della su- scettivit~ da adottare nei calcoli e delle inevitabili eterogeneith delle masse stesse. Ma, come ~ risaputo, delle influenze paragonabil i a queste ultime si hanno, per i rilievi graVimetrici, dalle stesse eterogeneith e dell 'incertezza sui valori delia dert- sith; tertuto conto quindi che il fenomeno della bipolarith dei valori magnetici urt elemento caratteristico di notevole utilith nelle elaborazioni dei risultati, pos- siamo ritenere the le possibilit~t geologiehe effettive dei rilievi magnetici siano pressochb dell'or(line di quelle dei rilievi gravimetrici, naturalmente quando le differenzertziazioni magnetiche delle rocce siano di grandezza su~ciente.

Ci5 posto appare chiara la necessith di disporre, per effettuare l ' interpreta- zione geologica dei rilievi magnetiei, di una casistica e di uu sistema di mezzi di calcolo paragouabili a quelli che si ritengono rtormalmente neeessari per la mi- gliore interpretazione dei rilievi gravimetrici: l 'una utile per fissare i tipi delle strutture eorrispondenti alle anomalie rilevate e stabilirne le earatteristiehe prin- cipali e l 'altro per rendere le strutture emerse perfettameute corrispondenti ai valori delle stesse anomalie, sia pure eoll'ausillo di ipotesi semplificative, al fine di t ra r re dai rilievi la massima copia possibile di dati utili alle ricerche.

La casistic a magnetica che si pub raceogliere dalla letteratura esistente non certamente nb abbondante n~ molto varia, perb in eomplesso si pub ritenere

pressoehb sufficlente per la maggior parte dei tipi di strutture che praticamente interessano. Sono in partieolare da segnalare, per le trat tazioni teoriehe, gli studi di H. I-IAALCK, J H. Ki~I~IGSBERGER, A. •IPPOLDT, L. L. NETTLETON, K. JurcG e K. L. COOK (1) e, per i risultati pratiei, le famose anomalie di Kursk e di Ki- tuna e le anomalie rilevate da C. A. HEILA~D a Caribou, da N. I-I. STEARI~ nel- l 'Arkansas, da J. H. WILSON a Fort Collins e da DICK a Rio Bravo (2).

II sistema dei mezzi di calcolo delle influenze magnetiche c h e l a letteratura ci pub dare b assolutamente insufficiente e per di pih limitato alle strutture ci- lindriche infinite orizzontali, le quali in pratica sono possibili solo entro larga ap- prossimazione. Proprio per colmare questa grave lacurta noi abbiamo intrapreso la costruzione dei reticoli che ora presentiamo. Con tall reticoli, come vedremo pih avanti , n0 i siamo in grado di cteterminare con tu t ta la precisione desidera- bile le comportenti del campo, in un purtto qualsiasi dello spazio, corrispondente ad una massa di forma qualsiasi, nell'ipotesi di cui gi~ abbiamo detto, della ma- gnetizzazione uniforme.

Per il calcolo delle influenze relative atle s t rut ture cilindriche sono da segna- lare i procedimenti proposti da E. G. KOGBV, TLIA~TZ e da L. J . PV, TERS (a), gli ul- t imi utili per tentare il calcolo diretto delle strutture rtoti i valori d 'anomalia del campo magrtetico. :

Per unif0rmarci all'uso oramai diffuso, ehiameremo i nostri grafici-prontuari di calcolo deU'influenza delle masse magrtet izzate ancora col nome di (c Reti- coli ~, sebbene in questo caso sarebbe pih appropriato il nome di c~ Nomogrammi >~.

- - 43 - -

2. F o r m o l e g e n e r a l i - - L'intensi th di magnetizzaziorte J di una massa elemen- tare di volume d v sottoposta al campo magnetico /7, come b noto, si ottiene po- nendo (1) j � 8 8 k r ,

ore k b]a suscettivth magnetica della massa. I1 momento magnetico delFelemento di massa

d M ~ J dv = k F dv

e i l potenziale in un punto 0 qualsiasi posto alia distanza r b dato dalla

d M cos to (2) dV = ,

r 2

essendo co l 'angolo che il campo F forma colla congiungente il punto 0 con quello P ore si suppone concentrato l 'e lemento di massa.

Se adottiamo, per il riferimento, il sistema di assi cartesiani ortogonali X, u Z avente l 'origine in 0 e l'asse Z verticale e positivo verso il basso e indichiamo con I l ' inclinazione del campo F e con D la declinazione misurata rispetto al piano X Z

abbiamo x c o s l c o s D - ? y c o s l s e n D - ~ Z s e n I

COS ~ = r

e quindi x X - ~ y Y q - Z Z

(3) d V =: ( x 2 § y2 § z2)~/2

k dv

essendo x, y, z le coordinate del punto P e X, Y, Z, le componenti hello stesso punto del campo F secondo gli assi X, Y, Z r ispet t ivamente,

(4) i X = F c o s I c o s D , , Y F c o s I s e n D , i Z = F sen I .

I1 campo in 0, corrispondente alia massa elementare considerata, ha per com- ponent i secondo gli assi cartesiani le derivate parziali rispetto alle variabili cor- r ispondenti cambiate di segno

(5)

X ( 2 x 2 - y ~ - z ~)-~ 3 x ( y Y~- z Z ) d X o : k dv , (x2 ~_ y2 _? z2)5/2

u s _ z 2) 4_ 3 y ( x X 4 - zZ) d Y0= k d v , (x ~ + y2 § z2)5/2

Z ( 2 z 2 - x 2 - y ~ ) - L 3 z ( x X 4 - y Y ) d Z o = k dv .

(X 2 _~_ y2 _~ Z2)5/2

Se adottiamo le coordinate cilindriche e poniamo x --- ~ cos ~, y ~ ~ sen ~ ab- biamo

- - 44 - -

(6)

i X(3p~cos a S - p ~ - - z 2)~- 3 p c o s S ( p s ~ n S Y § zZ) d X o : kp dp dS dz , ( ~ + z=)~/~

d Y o = Y(3 pSsen 2 8 - p 2 - - z ~ )§ 3 p s e n S ( p c o s ~ X § zZ) (~2 § z~)~/~ kp dp d8 dz ,

d Z 0 = Z ( 2 z z ~ pz)§ 3 ~ z ( X c o s S + Y s e n S ) (p~ § z2)5/~ kp d~ d8 dz .

Se supponiamo che la suscettivith k sia costante e che iI campo F sia pure costante e parallelo al piano X Z , e ammet t i am0 c h e l a variabile 8 dia indispen- dente d a p e da z, integrando rispetto a 8 fra i l imiti $1 e 82 e rispetto a z fra i li- mit i z,_ e z ot teniamo

i k 8 X o = + - ~ H ( s e n 2 8 2 - - s e n 2 8 ~ ) ( 3 2 1 § 2 Y'3)--

k - - k Z ( s e n S ~ - - sen 81) E~ + - - ~ H ( 8 3 - $ 1 ) ~ 1 ,

k (7) ~ y 0 = § ~ H ( c o s 2 8 1 - c o s 2 8 2 ) ( 3 2 x § 223)

- - k Z (cos 8 1 - 8~) COS E~,

SZ0 = - - k H ( s e n 8 2 - s e n 8 1 ) y ~ - k Z ( 8 ~ - 81)~1,

ore con H 6 indicata la compoaente orizzontale del campo, in questo caso coin- cidente colla componente X, con SXo, SY0, ~Z0 sono iadicate le componenti se- condo gli assi X, Y, Z, r ispet t ivamente , nel punto 0 del campo SF 0 della massa magnet izzata e

21 = (p2 + z~)312 (P~ § z12)~12 dp ,

(8) ~2 " (p2 § z2)~12 (p~ § z1~)~t2 dp ,

~2 3 : . z2)a/e z12

Da queste u h i m e ponendo z costante ed eseguendo le integrazioni rispetto a p fra i l imiti P l e p ot teniamo r ispet t ivamente

Z ~ gl g'l ~ ' 1 = + + , ~ / ~ + z Cp~ + ~ ~/p~ + ~1 ~ ~/~ + ~

(p § V'~ + z~)(~1 + ~ / ~ + z~) = §

2 ' z : § log (P § ~r § zig ) (P1 § ~/P1 $ § Z~) (9)

Pl P P1 P

V~2 § Z2 V~2 § ~2 ~/~12 § g12 V~2 § ~12

(~ + C~1 ~ + ~----~ ez~ + ~ /~ + z~

- - 4 5 - -

P o n e n d o

a b b i a m o i n v e c e z ~ z~ + m ( 9 - - ~ )

(10)

~" lo

~ t P 2 0 m

/rb

(1 + m2)al ~

1

l + m 2

z 1 + - V' 92 + z2

1 log

(1 + m2)'~l 2

z + ~ + ~/~ ~ - - j - ~ ~ / ~ + , ~ log

,~ + p~ + ~ / ~ ~ /~2 + z~

z + m p z 1 + m,~ 1 ]

21

~/~12 + zi 2

+

m m z + p + V ~ V ~ 2 __, .-3 X"30 = - - E '10 + _ _ log , ~ +

Z t -4- A / /~ 2 .-$ 212 + log

z + ~/p2 + z 2

Se i n q u e s t e p o n i a m o

Z 1 = r/~ ~1 z = m 9

a b b i a m o inf ine , r i s p e t t i v a m e n t e ,

( 1 1 )

m ~ 2:1 m $ I " = l o g - +

(1 + m2)3/2 Pl ~r + z12 A/1 + m 2

I p p + ~ / ~ + z ,~ E2" - - log - - - - log _ _ ~-

(1 + m2)31 ~ Pl P1 + ~ / ~ l 2 + zl 2

+ "X/p~ + z12 ~/'1 + m - - - - - T '

' X3" m p z + ~/p~ § z "~ " = - - E " 1 + , _ _ log ~ - - log %/1 + m 2 Pl zl + %/~2 + zle

3. Cos t ruz ione dei ret icol i d i calcolo - - P e r d e t e r m i n a r e l ' i n f l u e n z a in 0 di u n a m a s s a Q q u a l u n q u e , m a g n e t i z z a t a u n i f o r m e m e n t e con i n t e n s i t h J = k F , sud-

- - 46

dividiamo la massa stessa secondo n set tor i cil indrici vert ical i col centro in 0 di aper tu ra costante

2rr (12) ~2-- 51 = - ,

n

calcoliamo per ognuno di questi separa tamente i valor i di ~X0, ~Y0 e ~Z 0 e infine facciamo le somme dei valori o t tenut i

(13) AX0 = Z (8 X0)n, 5Y0 = Z (8 Yo)n , A Z o = E (8 Zo)n.

Se le aper ture dei se t tor i sono molto piccole si pub ammet te re ehe nei set- tor i stessi la massa Q sia di rotazione int0rno all 'asse Z e quindi che siano appli- cabil i le formole (7). In effetto le integrazioni indicate in ta l i formole s~176 possi- bi l i soltanto quando sono note le funzioni z ~ f(p) che esprimono gli andamen t i delle quote z medic delle superfici l lmi t i di Q dei set tor i corr ispondent i alle diverse distanze ~ da 0. Queste funzioni in geuerale, per le masse-che occorrono helle prospezioni minerarie , sono molto c0mplesse, ta l i da impor tare delle integrazioni molto difficili e laboriose.

In pra t ica noi p0ssiamo operate graficamente nel seguente semplice modo : 1 ~ disegniamo su un sistema di assi ear tes iani i valori delle funzioni

p z p~ z ~ 0r +~ 6 , ~) = - ( ~ + ~)~/~ , '~ (0, ~) - (p~ + ~)~/~ , ~ (P, ~) = p (~ + ~)~/~

r i su l tant i per i diversi valori delle quote z e zj. quali si hanno dalle misure d i re t t e delle masse magnet izzate e de te rminiamo le aree ind iv idua te dalle cur,)e icoll'asse delle distanze p, Con un planimetro o c o n qualsiasi a l t ro s is tema; 2 ~ le differenze delle aree relat ive alle quote z e zj non sono a l t r o , ch e gli in tegral i E l , E 2 e Ea, quindi de terminiamo le influenze in 0 della massa: Q appl icando le (7).

I1 disegno delle curve in tegrande riesce di molto agevolato se predisponiamo dei reticoli speciali ove siano seguate molte curve di +~i (P, z), +~ (p, z) e +a (% z) corr ispondent i a valori costant i di z, per le diverse distanze ~, t an to ravv ic ina te da permet tere i l t racciamento del profilo del terreno nei set tori in terpolando sem- pl icemente fra le stesse curve. Per ovviare in par te a l l ' inconveniente di avere delle precisioni molto diverse per gli e lementi di massa che sono aUe diverse distanze

. . . . . ~ o ~

da 0 adot t iamo delle scale var iabi l i per le distar~ze % grandl pe} i punt i weml ad 0, di maggior influenza uni tar ia , e piccole per i pun t i p ih lontani di minore influenza, por tand 0 sull 'asse delle d i s t anze , anzich~ i valori di p, quelli di oppor- tune funzioni di p, che indichiamo con % (p), q~2 (p) e % (p), ie quaii crescanOr len- t amen te al crescere delle distanze e, quindi , d iv idendo i v a l o r i delle ordinate dat i dalle (14) per quelli delle der iva te dolle stesse funzioni r i spe t t o 'a ~. Quest 'ar t i - ficio equivale a porte , evidentemente ,

(15)

f ~ (0, z) dp = f+ ~ do

(9, z ) at1 (p), d~l (0)

:dp (0, z) ~ a~ (~),

(0, z) a-~ ('0)

- - 4 7 - -

Noi poniamo, per la costruzione pra t ica dei reticoli , 91 (,z) - - "~ (p) = % (p) - - ,? (~) e ado t t i amo la funz ione

(l(,) (~) = ~ ,og (1 + ~ p~),

ore ~ e [z cos tant i , la quale ha per der iva ta

(17) - - -~ 2 iz d~ 1 d- br pz

Pe r t u t t ' e t re i reticoli ado t t i amo i valor i per le cos tan t i ~ e [z di

= 5log~0e, ~ = 2 . 1 0 -4.

Risu l tano allora per le ascisse dei reticoli i valor i , espressi i n cen t imet r i ,

( i 8 ) x = 5 loglo (~ + 2 . 1 0 -4 o~).

Nella Tabel la I che segue r ipo r t i amo i valor i o t t e n u t i da ta le formula per le d is tanze di 0, 50, 100, 150, .... 20000, i n corr i spondenza alle qual i si sono t racc ia te sul reticolo le re t te ordinate . Come si vede, se l im i t i am o le d i s tanze ~ a 20000 ri- suha la lunghezza mass ima di 24.52 cm.

Per le o rd ina te ado t t i amo i valor i che r i su l tano dalle (14) d iv idendo per quell i delle (17) e moh ip l i cando per le cos tant i di scala qx ~- 400 loglo e, q2 - - 160 logloe,

TABELLA I - - Ascisse x dei reticoli in cm.

I x fl ,z f x [[

0 / 0 2o/618 50 0.88 300 6.39 10(

[00 2.39 400 7.59 15( [50 3.70 500 8.54 20( ~00 4.77 600 9.32 ' 25(

x

.55 3000

.52 4000 ;.27 5000 ,.52 6000 .49 7000

9C

16.28 17.53 18.50 19.29 19.96

8000 10000 12000 15000 20000

q3 -= 160 log~0e, r i spe t t i vamen te per i reticoli di calcolo di ~1, Z2, Za" Pe r i cal- coli pra t ic i r iescono m o h o ut i l i le seguent i formole semplif icate:

1 " ~ ,02 200000 4 ~ 4 z 2 (19) Y l - - ( i d ~ ~-]P2 ~a/2 ~ , Y 2 = ~ Yl- -Z- , Y 3 = - ~ - Y l - ~ ,

va lor i i n cen t imet r i .

Da t i t a l i va lo r i delle o rd ina te r i s u l t an o i r appor t i di scala per i t re retic01i di 1/ql , l / q2 e 1 /q3: i va lor i degl i i n t eg ra l i 21, Z2 e Z a sono q u i n d i ugua l i a quel l i delle differenze delle aree r e l a t ive aile curve delle quote z e delle quote zl divise per ql, q2 e q3.

- - - 4 8 - -

E' facile dimostrare che i valori degli integrali (8) sono indipendenti dalle unith di misura adottate per p e z e che quindi i valor segnati sui reticoli per le stesse grandezze possono intendersi espressi nell 'unith di misura che pitt si ritiene opportuna per l'esecuzione dei calcoli. In seguito vedremo come questa caratteri- stica dei reticoli possa tornare utile per l'esecuzione dei calcoli pratici.

Nella Tabelia I I riportiamo i valori delle ordinate de i tre reticoli calcolati mediante le (16). Ogni colonna di tale tabelia evidentemente contiene i valori relativi alle curve corrispondenti alle quote z segnate alle testate.

Per rendere agevole l 'uso dei reticoli abbiamo segnato sugli assi delle ascisse i valori delle distanze p in corrispondenza a quelli di x risultanti dalla (18) e abbiamo segnato su ogni curva il valore della quota z corrispondente.

I reticoli che riportiamo sono in grandezza meth di quella corrispondente alle costanti di scala ql, qz e q3 di cui sopra abbiamo detto (area un quarto).

4. Uso de i re t icol i - - Le ampiezze 32 - - 3 1 da adottare per i settori devono essere evidentemente fissate in relazione alia forma pitt a meno complessa delle masse magnetizzate Q e alia pret,isione che si vuole raggiungere nelle determina- zioni. In generale perb, per le masse che occorrono nella prospezione mineraria la suddivisione dello spazio in 32 settori risulter~ pitt che sufficiente per tut te le esigenze della pratica.

TABELLA II - Ordinate y dei reticoli i n cm.

Y3

- - 4 9

0 5,00 z : 2 0 | i

P

Y~ Y~ 0 _ _ - - - ~ ~

201 5"321 0 .27/ 40 6.22 6O 7.56 0.91 8O 9.13

100 10.73 2.15 120 12.23 140 13.52 3.79 160 14.57 180 15.36

2~0 15.91 6.36 220 16.25 260 16.4~ 300 16.21 9.72 340 15.72 400 14.76 11.81 500 13.06 13.06 600 11.54 13.85 800 9.17 14.67

1000 7.58 15.16

1200 6.42 15.40 1600 4.89 15.66 2000 3.95 15.78 3000 2.65 15.91 5000 1.60 15.96

10000 0.80 15.99 20000 0.40 16.00

(seguito Tab~elht H)

z = 250

Yl Y , ~

3.20 0 4,53 0.36 7.69 1.15 9.45 1,89

11.10 2,66 12.51 3,50 13.71 4,39 15.27 6.11 15.95 7.66 16.02

15.72 10,06 14,60 11.68 12.97 12.97

3.59 2.81 7.17 3.59

9.11

6.36

3.90 0

60 90

120 180 240 300 360 420 480

2.18 1.47 0,83 0.51 0.23 0.12

0.07

Y3

9.21 5.11 2.33 0.23 8.57 6.11 4,43

2.45 1 . 4 6

0,83

750 11.48 1000 9.18 1250 7.57 1500 6.41 2000 4.89 2500 3.94

54O 6O0 720 9OO

1200 1500 2100 3000 4500 6000

9000 12000 1500G 18000

z = 250

Yl Y2

13.78 14.68 15.13 15.38 15.65 15.77

z = 300

Y 3

0.51 0.23 0.12

Yl

350 14.72 420 15.54 560 15.49 840 13.20 225 10.19

750 7.56

z = 350

Y2

5.89 7.41 9.91

12.67 14.27

15.11

z = 400

Y3

I z = 350

Yl Y~

1.63 0 3.18 0.25 6.43{ 1.03{

10.10 2.42 12.97 4.15

Y'3

Y2 Y3

0 0.21 6.87 0.51 8.94 0.89 5.31

2.88 2.37 0.96 4,09 7.99 5.84 5.83 7.41 4.29 8.76

9.88 2.41 11.54 1.44 12.87 0.82 13.70 0.51 14.64 0.23 15.11 0.12 15.53 0.04 15.76 15.90 15.94

15.96 15.97

15.99

z = 500

0

50 O0 50 O0

Yl Y2 Y3 i

o8o I 0 1 ! 1.181 0.051 47.28/I 2.26 0,18 22.63] 3.87[ 0.45 / 17.18/I 5.76 I 0.92 [ 14.41[!

8eguito Tabella II)

5 0

z = 5 0 0 z = 6 0 0

P P Yl Y 2 ! Y8 Y l Y2 Y3

250 7.73 ,[ 12.37 9000 2.65 15.89 300 9.58 2.30 10.65 12000 1.99 15.94 350 11.27 15000 1.60 15.96 400 12.57 4 . 0 2 7.86 18000 1.33 15.98 450 13.63

z ~ 800 500 14.42 5.77 5.77 P 600 15.32 7.35 4.26 Yl Y~ Ya 700 15.55 800 15.23 9.75 2.40

900 14.94 1000 14.38 i l .50 1.44 1500 11.41 13.69 0.51

0 0.31 80 0.70 28.08

120 1.17 20.85 160 1.80 0.14 18.03

z = l O 0 0

P Yl Y2 Ya

800 12.29 3.93 7.68 1000 14.21 5.68 5.69

1200 15.17 7 . 2 8 4.21 1400 15.43 3.15

1600 15.28 9.80 2.32 1800 14.87 1.84 2000 14.33 11.46 1.43: 2500 12.82 0.82 3000 11.39 13.66 0.51 4000 9.13 14.61 0.23 5 0 0 0 : 7 . 5 4 0.12 6000 6.40 15.35 0 . 0 7

2000 9.14 1 4 . 6 3 0.23 3000 6.40 15.36 0.07 240 3.44 15.28

4000 4.89 15.64 0.03 4 8 0 9.27 2.22 10.31

5000 3 . 9 4 15.76 0.02 7500 2.65 15.90

10000 1.99 15.94 15000 1 . 3 3 15.98 20000 1.00 15.99

z = 6 0 0 P

Yl Y2 Y3

! C 0.56 0

320 5.37 0.86 13.43 8000 4.88 ] 0.03 10000 3.94 15.76 i 0.02

640 12.35 3.95 7.71 15000 2.64. 0.00 20000 1 .99 1.5.94

800 14.25 5.70 5.70 96O 15.26

z = 1200

1120 15.46 8.66 3.16 P 1280 15.29 Yl Y2 Y8 1440 14.88 10.71 1600 14.34 1.43 120 0.53 0.02 21.23 1760 13.76 i2.11 180 1.00 0.06 17.86 2080 12.53 240 1.64 0.13 16.40 2400 11.39 13.67 0.51 360 3.29 0.39 14.60 3200 9.13 14.6i 0 .231 480 5.23 0.84 13.09

90 1.41 0.08 25.02 4000 7.55 15.09 0,12 720 9.17 2.20 10.19 1 2 0 2.03 0.16 20.33 5600 5.54 15.52 0,04 960 12.26 3.92 7.66

1200 14.19 5.68 5.68 180 3.66 0.44 16.23 8000 3.94 15.76 0.02 1440 15.15 7.27 240 5.57 0.89 13.92 360 9.43 ~2.26 10.48 12000 2.65 15.89 1800 15.38 8.03 2.73

16000 1.99 15.94 480 12.45 3.98 7.78 600 i4.33 5 . 7 3 5.74 20000 1.60 15.96 2400 14.32 11.46 1.43 720 15.26 3600 11.39 13.67 0.51

840 15.50 8.68 31i 7

960 15.33 1080 14.91 10.74 1200 14.36 1.43

1500 12.83 12.88 1800 0.51 2100 1 0 . 1 7 1 4 . 2 4

!2400 0.23 ,3000 17.55 15.10 0 .12 ~4200 : 5.54 1 5 . 5 2 0.04 6 0 0 0 3,94 15.76 0.02

Yl

z - - l O 0 0 6000 7 .54 , 15.09 0,12 8400 5.54 15.52 0.04

Y~ Y8 12000 3.94 15.76 0.02 - - 18000 2.65 I5.89

0 0.20 0 100 0.59 0.02 23.64 150 1.06 0.06 18.91 200 1.70 0.14 16.97 300 3.34 0.40 14.84 400 5.28 0.84 13.21 500 7.30 1.46 11.68 600 9.2l 2 . 2 1 10.23

150 225, 300

z = 1 5 0 0

yl Y2 Ys

0.48 0.02 19.26 0 ,96 0,06 17.00 1.59 0.13 15.92

seg~tito 7'abella I I )

- - 5 1 - -

�9 450 600 900

1200 1500 1800 2400

3000 4500 6000 9000

]5000

z = 1500

Yl Y~ Y~

3.24 0.39 14.41 5.22 0.84 12.99 9.13 2A9 10.15

12.23 3.95 8.83 14.17 5.67 5.67 15.14 7.27 4.21 15.26 9.77 2.38

14.32 11.46 1.43 11.39 13.66 0.51

9.13 14.6] 0.23 6.40 15.35 0.07 3.94 15.76 0.02

iJ 30C 400 600 800

1000 1200 1400 1600 I 1800�9

2000 I 22001 2600 3000 3400 4000 5000 6000 8000

10000

12000 16000 20000

z ~ 2000

Yj Y2 ]

O.42 O.02 O.92 O.O6 1.56 0.12 3.21 O.39 5A6 0.83 7.19 1.44 9.11 2.19

10.80 3.02 12.21 3.91 13.32 4.8O

14.16 5.66 14.75 6.49 15.33 7.97 15.37 9.22 15.07 10.25 14.31 11,45 12.81 12.81 11.39 13.66

9.10 14.56 7.54 ] 15.08

I

6.39 15.35 4.88 i5.63 3.94 15.76

2.73

1.43

0.5] 0.23

0.07 0.03 0.02

z = 2500 "

P Yl Y2 ya r

250/ 0.43 0.02 17.021 5001 1.54{ 0 .12l 15.39tl

z = 2500

P i

_ _ i Y l

750 3.19 1000 5.15 1500 9.10~ 2000 12.21 [ 2500 14.15 3000 15.12 3500 f 15.40 40OO 15.25 I

5000 14.31 75OO 11.38

10000 9.13 1500O 6.40 I 20000 4.88

Y2 Y:~

0.38 14.19 0.82 12.87 2.19 10,11 3.91 7.63 5,66 5.66 7.26 8.62 3.14 9.76

11.45 1.43 13.66 0.51 14.61 O.23 15.351 0.07 15.63! 0.03

z = 300{"

P

Y2 0 -- 1

0 0.02 " 300 0.42 0,02 1 450 0.89 0.05 600 1.53 0.12 900 3.18 0.38 200 5.14 0.82 800 9.09 2.19 400 12.20 3.90 000 14.15 5.66 600 15.12 7.26

4200 15.40 8.62 4800 15.24 9.75 5400 14.84 6000 114.32 11.46 7200 13.11 12.58 9000 i11.38 13.66

12000 9,19 14.60 1.5000 7.54 15.08 21000 5.54 15.52

z = 400

- Y 41 I '0 0.02 16.251/ 60s }0 0.88 0.05 15.69// 90( )0 1.52 0.12 1520~ 120( )0 / 3.17 / 0.38 14.11 180(

z = 600

Yl } Y2 = Y3 I

0.39[/ 0.021 15.9ff I 0.88 / 0.05 L 15.57// 1.51] 0.12 15.14// 3.17] 0.38 14,08//

(seguito Tabella II)

- - 5 2 - -

2400 3600 4800 6000 7200 8400

9600 10800 12000 15000 18000 21000

z -~ 600{

Yl Y2

5.13 0.82 9.O8 2.18

12.19 3.90 1 4 . 1 4 5.66 15.12 7.25 15.39 8.62

15.25 9.76 t

14.84 '10 .68 14.31i11.45 12.80 12.90

10.16[ 14.23

z = 1 5 0 0 0

Yl Y2 Y3

6.14~ 7.16[ 1.43 11.45 9.08 .

10.78 3.02 8.80 12.19 i 13.30 14.14 5.66 5.66 b 15.11 15.39 8.61 - " 1 5 . 2 4 14.84 14.31 11.45

z = 8 0 0 0

Yl Y2

0.40 0.02 0.87 0.05 1.51 0.12 3.17 O.38 5.13 O.82 9.08 2.18

12.20 3.80 12.19 14.14 5.66 14.14 15.12 7.25 15.11 15.40 8.62 15.36

15.24 9.75 14.31 14.84 10.68 14.31 11.45 1.43 13.74 12.09 z 13.11 12.59 0.91 12.51 13.01

z = l O 0 0 0 1500

P 2250i Yl ] Y2 Y3 3000

-- - - - - I . . . . . 4500 O0 0.40 0.02 15.84 6000 O0 0.87 15.51 9000 O0 1.51 0.12 15.11 12000

500 2.28 15000 O0 3.16 0.38 14.07 18000 O0 4.12 24000 O0 5.121 0.82 12.80

z = 1 2 0 0

Yl Y~

0.401 0.02 0.87 0.05 1.51 0.12 3.16 0.38 5.13 0.82 9.08 2.18

3.90 7.62 5.66 5.66 7.25 9.22 2.73

11.45 1'43

: 1 5 0 0 0

Yl Y ~ Y~

0.40 0.02 5.80 0.87 0.05 5.49 1.50 0.12 5.09 3.16 0.38 4.06 5.12 0.82 2.80 9.08 2.18 0.09

12.19 3.90 7.62 14.14 5.66 5.66 15.11 7.25 4.20 15.25 9.76 2.38

P

20OO 3000 4000 6OOO 8000

10000 120.00 16000 20000

z = 2 0 0 0 0

Yi Y2 Y ~

0.39 0.02 5.78 0.87 0.09 5.48 1.51 0.12 5.09 3.16 0.38 4.06 5.12 0.82 2.80 7.16 1.43 1.45 9.08 2.18 0.09

12.19 3.90 7.62 14.14 5.66 5.66

z = 2 5 0 0 0

Yl Y~ Ya

0.39 0.02 15.76 0.87 0.05 15.48 1.51 0.12 15.09

14.61 3.16 0.32 5.12 0.82 12.80 9.08 2.18 10.09

12.19 3.90 7.62

3000 4500 6000 9000

12000 15000 18000 21000

z = 3 0 0 0 0

i

Y__A_ Y~ Y____E_ ~

0.39 0.C2 15.77 0.87 0.05 15.47 1.51 0.12 15.09 3.16 0.38 14.06 5.12 0.82 12.80 7.16 1 :43 11.45 9.08 2.18 10.09

10.78 3.02 8.80

P

4000 6OOO 8000

10000 12000 16000 20000

z = 4 0 0 0 0

Y ~ Y2 I Y3

0.39 0.02 15.76 0.87 0.05 15.47 1.51 0.12 15.09 2.28 0.23 14.61 3.16 0.38 14.06 5.12 0.82 12.80 7.16 1.43 11.45

53

(seguito Tabella 11)

5000 7500

10000 15000 20000

z = 50000

P Y ~ Y2 Y3

0.39 0 . 0 2 1 5 . 7 6 [ ] 800 0.87 0,05 15.47 1.51 0.12 15.09 1000 3,16 0 , 3 8 1 4 . 0 6 2000 5.12r 0.8211~.80r/ 5000

IOO00

z ~ 7 0 0 0 0 20000

Yl Y2 Y3

0.00 0.00 16.12

0.00 0,00 16.08 16,02 16.00 16.00

O.OOr 0.00 16.00

7 10 14 17 21

10000 15000 20000

m

~0 ~0 ~0 tO tO

.y~ Y,> Y 3

5 7 6 1 0.39 0,02 0.87 0.05 15.47 1.51 0.12 15.09 2.28 0.23 14.61 3.16 0.38 [ 14.06

z ~ 100000

Y L__I Y2 3'3

O.lO 0.00 I 19.94 0.25 0,01 t 15,85 0,39 0,02 ] 15.76 0,87 0,05 15.47 1,51 0,12 15.09

i _ _ _ Y l

7500 0.10 15000 0.39

i122500 I 0.87

z = 150000

Y~ Y3

0,00 15.94 0.02 15.76 0 . 0 5 1 5 . 4 7

9O IO0 120 150 2O0 3O0 4O0 50O 6OO

z ~ + co

Yl Y2 Y3

O.G,O 0.0024.0025"87

21.56 19.56 18.00 16.89 16.50 16.32 16.22

I

J

z

2<

Y l

0 31.25 24 30.63 40 29.52 5 6 2 9 . 9 9 80 25.19 96 23.31 20 20.68 ~0 17,10 )0 14.41 ~[) 12.37

20 9.58 ~0 7.78 ~0 3.97 90 1.99 )0 1.31

z = 80

Y~:

0 3.68 5.90 8.40

10,08 11.19 12,41 13,68 14.4I t 4 . 84

15,32 15.56 15.88 15.89 15.67

Y3

47.23 2 L 8 2 1 ) .08

~.48 L67 1.71 ).92 ).55

),24 ),12

0 30 36 48 60 72 96

120 150 210

300 600

1200 1800 3000

Yl

55.56 46,92 44.1 [ 38.64 33.79 29.69 23.52 19.28 15.65 11.31

7.96 4.00 2.00 1.33 0.80

z ~ 60

Y~ 0

9.38 I 7 10.59 I 4 12.36 I 2 13.52 t 1 14,25 15,05 15.42 15.65 15.83

15.92 15.98 15,99 16,00 16,00

Y 3

i,( L( L] L!

L{ LA L.( ).~

).]

16 20 24 32 40 48 56 64 80 95

100

120 I 160] 200

z = 40

Yl Y2 Y~

16.83 9 6 . 6 1 ! 1 9 . 3 2 87.89 21.09 71.71 22.95 44.82 58.34 23.34 23,34 47.91 23,00 13.30

8.15 33.86 21.66 5,29 25.49 20,39 2,85 20.22 19.41

19.21 19.21 1,23 15.34 18.40 0.68 10.91 17.46 0.27

8.49 16.97 0.14

240 280 400 600

1000 2000 4000 8000

z ~ 40

Yl Yz

6,95 16.68 5.90 16.51 4.06 16.25 2.69 16.12 1.60 16.04 0.80 16.01 0.40 16.00 O.20 16.00

90 120 150 210 300 450 600 900

1500 3000

6000

z = 30

Y~_~ Y~

18.41 22,09 12.38 19.80

9.22 18.44 6.17 17.28 4.16 16,64 2.71 16.29 2.02 16.16 1.34 16.08 0.80 16.03 0.40 ] 6,01

0.20 16,00

(seguito Tabella II~

- - - 5 4 --

100 120 160 200 300

500 1000 2000 4000

z - - 20

YJ [ Y2

1.31 22.63 8.61 20.67 5.84 18.68 4.43 17.73 2.80 16.78 1.63 16.28 0.80 16.07 0.40 16.02 0.20 16.01

z = l O

P y l Y~

100 5.91 23.64 150 3.24 19.43 200 2.24 17.93

z = 1 7

Yl . Y2

300 1.41 16.86 500 0.82 16.31

1000 0.40 16.08 2000 0.20 16.02

100 150 200 300 400 500 700

1000

z - - 5

Yl Y2

2.99 23.92 1.63 19.52 1.12 17.98 0.70 16.88 0.52 16.50 0.41 16.32 0.29 16.16 0.20 16.C8

100 160 200 400

z - - 2

Yl Y2

tl .99 23.99 0.60 19.11 0.4.5 18.00 9.21 16.50

z = 170

Yl . Y2

0 6.92 0.00 51 9.24 1.11

102 13.44 3.23 153 16.15 5.81 170 16.58 6.63 204 16.93 8.13

z--130 ~ z--70

Yl Y2

0 11.83 52 14.60

104 17.82 130 18.33 156 18.22

z - - l l O

0 44 88

110 132

2 8 35

42 8.36 49 9.3O 56 10.12 70 11.43 84 12.39

112 13.64 140 14.37 210 15.21

p z- -55 ,~ z=45

Y2 Y2

77 15.89 27 17.15 88 16.03 36 18.95

110 16.18 45 19.62 165 16.17 54 19.69

63 19.48 90 18.52

Z 50 135 17.41 Y2 180 16.86

p z ~ O

Y2

19

z--lO

100 24.00 20 19.32 120 21.56 2 5 7.38 150 19.56 30 3.32 200 18.00 40 0.94 250 17.28 50 0.36 300 16.90 60 0.17 400 16.50 600 16.22 p z--20 800 16.12

1000 16.08 I y3

Yl

280 15.54 20 11.06 16.53 18.35 I! 350 15.70 30 14.28 p z = 5 1500 1 ~ 3 76137 20.06 490 15.84 40 16.09 Y3 2000 16.02 20

50 16.97 3000 16.01 30 17.90 36 8.9O 19.98 60 17;33 15 1].75 5000 16.00 40 5.90

19.45 p z = 5 5 80 17,40 20 3.08 Y2 100 17.17 25 ] .09 50 2.46

z=70 150 16.70 p z = l O 60 1.21 30 0.47

Y2 33 12.18 200 16,44 Y3 70 "0.67 40 0.13 44 13.97 300 16.20 80 0.41

6.05 55 15 .01 500 16.08 10 288.5 100 0.18 7 . 2 7 66 15.58 15 63.41 120 0.10

I n effet to , pe r agevolare i calcoli p r a t i c i si p o t r a n n o a d o t t a r e d iverse ampiezze a seeonda del la compless i t~ del le m a s s e c o n t e n u t e nei se t tor i . Si possono a d o t , t a r e per e s e m p i o le suddiv i s ion i irt 32 se t to r i in eo r r i spondenza alle pa r t i pi~t com- plesse delle masse e in 16 in e o r r i s p o n d e n z a a cluelle m e n o eomplesse . Nella Ta-

- - 5 5 - -

bella I I I r ipor t iamo i valori degli angoli l imit i dei set tor i 81 e 82 e i valori fun- zione degli stessi angoli che figurano nelle (7) r ido t t i del rappot to di scala, in unith 1.10 -5, essendo

1 ~2 = - - (se~ 8~-- sen 8~) ~ ,

qz

~1 = -~- (sen2 ~2-- sen2 ~) --~ + (82-- ~ ) ~ , qt

(20)

~a'= + ( s e n 2 ~ 2 " s e n 2 8 1 ) 1 2 qa

v l = + (cos 2 ~1-- cos 2 ~2) - - 3

4 q~

1 ~ = - - (cos ~1-- cos ~ ) - - ,

q2

v a = -~ ( c o s 2 ~ l - - c o s 2 ~ 2 ) - - 1

2 qa

re la t iv i alla suddivisione delle spazio intorno ai punt i 0 in 32 set tor i fra loro uguali. Nelle stesse unit~ di m i su ra il termine in 82 e $1, che figura come coeffi- ciente di ~1 nell 'espressione di SZ0, costante per i diversi settori , ha il valore di

(21)

1 ~1 = - - ( ~ - 31) - - 113.

ql

Colle convenzioni ora poste le (7) si modificano nelle seguenti pih semplici

I X 0 = k H ~ l Z x BY0 : k H v 1 E 1 ~Z 0 = k H ~2 E2

Nella Tabel la IV r ipor t iamo i

-~ k H ~3 E ~ ~- k Z ~2 )22 , ~, k H uz Z3 -~- k Z v 2 ~2 , -~ k Z ~1 "cl �9

valori delle stesse costant i di cui le (20) rela- t i r e alla suddivisione dello spazio in 16 set tori . Gli az imut dei l imit i dei se t tor i sono riferi t i a origini diverse al fine di rendere agevole l ' inserzione dei set tor i re- la t iv i a una suddivi, ione fra quelli re lat ivi a l l ' a l t ra suddivisione.

Per la suddivisione in 16 set tor i la eostante ~t ~ evidentemente

~1 = - - 226 .

Per l 'eseeuzione pra t ica dei ealcoli operiarno nel seguente modo. Supposto di ado t ta re la suddivisione in 32 set tori di eguale ampiezza r i leviamo le quote me- die z delia superfieie della massa Q dei var i set tori in corr ispondenza alle diverse distanze p da 0 e col valori o t tenut i disegniamo sui t re retieoli di calcolo i pro- fili del terreno, possibi lmente con colori diversi per i diversi set toi i , ~onsiderando i v a l o r / d i ~ e di z segnati come met r i per le dis tanze da 100 a 20000 metri . Quindi considerando le distanze in cent imetr i e i valor i segnat i sui reticoli pure in centi- metr i disegnlamo i profili che si hanno per le dis tanze da 1 a 100 metr i , fra le ordinate corrispondenti ai valori 100 e 10000, col medesimi colori o segni adot - t a t i per i p r imi t r a t t i dei profili disegnati per gli stessi settori . Considerando le

B 5 6

TABELLA I I I --- Costanti di calcolo per 32 settori, unit?t 1 * 10 - 5

Set- 81 ~2 ~1 ~2 Vl V2 V3 ~2 tori

1 ~ 0 11o15 ' ,4,221.7 -4-275.4 -4- 32.9 27,6 -4- 54.8 - -280.8 2 11o15' 22 30 196.6 233.5 93.6 81.9 156.0 270.0 3 22 30 33 45 150.1 156.0 140.1 133.0 233.5 248.8 4 33 45 45 00 89.4 -4- 54.8 165.2 179.0 275.4 218.1 5 45 00 56 15 + 23.6 - - 54.8 165.2 218.1 275.4 179.0 6 56 15 67 30 - - 37.1 156.0 140.1 248.8 233.5 133.0 7 67 30 78 45 83.6 233.5 93.6 270.0 156.0 81.9 8 78 45 90 00 - -108 .7 - -275 .4 -4- 32.9 - -280 .8 -4- 54.8 - - 27.6

9 ~ 90o00 ' 101o15 ' - -108 .7 - -275 .4 - - 32.9 - -280 .8 54.8 -4- 27.6 10 101 15 112 30 83.6 233.5 93.6 270.0 156.0 81.9 11 112 30 123 45 37.1 156.0 140.1 248.8 233.5 133.0 12 123 45 135 00 -4- 23.6 - - 54.8 165.2 218.1 275.4 179.0 13 135 00 146 15 89.4 + 54.8 165.2 179.0 275.4 218.1 14 146 15 157 30 150.1 156.0 140.1 133.0 233.5 248.8 15 157 30 168 45 196.6 233.5 93.6 81.9 156.0 270.0 16 168 45 180 00 +22J .7 -4-275.4 - - 32.9 27.6 54.8 -4-280.8

17 ~ 180o00 ' 191o15' .4.221.7 -4-275.4 + 32.9 -4- 27.6 -4- 54.8 -4-280.8 18 191 15 202 30 196.6 233.5 93.6 81.9 156.0 2 7 0 . 0 19 202 30 213 45 150.1 156.0 140.1 133.0 233.5 248.8 20 213 45 225 00 89.4 -4- 54.8 165.2 179.0 275.4 218.1 21 225 00 236 15 -4- 23.6 54.8 165.2 218.1 275.4 179.0 22 236 15 247 30 37.1 156.0 140.1 248.8 233.5 133.0 23 247 30 258 45 83.6 233.5 93.6 270.0 156.0 81.9 24 258 45 270 00 J 1 0 8 . 7 - -275 .4 -4- 32.9 -4-280.8 -4- 54.8 -4- 27.6

25 o 279o00 ' 281o15 ' - -108 .7 - -275 .4 - - 32.9 -4-280.8 54.8 27.6 26 281 15 292 30 83.6 233.5 93.6 270.0 156.0 81.9

i 27 292 30 303 45 - - 37.1 156.0 140.1 248.8 233.5 133.0 J 28 303 45 3t5 00 -4- 23.6 54.8 165.2 218.1 275.4 179.0

29 3i5 00 326 15 89.4 -4- 54.8 165.2 179.0 275.4 218.1 i 30 326 15 337 30 150.1 156.0 140.1 133.0 233.5 248.8 t 31 337 30 348 45 196.6 233.5 93.6 81.9 156.0 270.0 I 32 348 45 360 00 ,4,4,221.7 -4-275.4 32.9 -4- 27.6 - - 54.8 - -280.8

d i s t anze in dec imi l l imet r i e i va lor i s egna t i sui re t icol i p u r e in dec imi l l imet r i di- segn lamo i profili pe r le d i s t anze da 1 a 100 cen t ime t r i , anco ra f ra le o rd i n a t e cor- r i s p o n d e n t i ai va lor i 100 e 1 0 0 0 0 , . . . . e cosl di segul to fino a cons ide ra t e t u t t i gli e l em en t i dei profili che r i su l t ano di inf luenza sens ib i le in 0. E ' facile c o m p r e n d e r e pe rb come in p ra t i ca n o n a w e r r h ma i di dove r cons idera re masse con quo te mi- nor i del m e t r o pe r le piccole d i s t anze e qu ind i di d o v e r cons ide ra re le d i s t anze espresse in un i th minor i del c e n t i m e t r o , da ta la necess i th p r a t i c a di col locare gli s t r u m e n t i sugli appos i t i t r epp ied i , de l l ' a l t ezza c e r t a m e n t e super iore al m e t r o pe r e f fe t tua re le mi su re degli e l emen t i del c a m p o magne t i co .

I n ogni s e t t o re e v i d e n t e m e n t e il profilo della massa Q a p p a r e chiuso su se

stesso o sulla ver t ica le per O. Le aree i n d i v i d u a t e sui reticoli dai profill di Q, chc per le (8) i nd iche remo con Y~I, Y~2 e Y s, a v r a n n o il segno corret to se per le p lani - met raz ion i , dai p u n t i di ascisse m i n i me , si par t i r~ seguendo colla p u n t a del pla- n ime t ro le l inee dei profili cor r i spondent i ai valor i maggior i delle quote . Na tu - r a lmen te , seguendo la convenzione comune , si r le aree da te dal

TABELLA IV - Costanti di calcolo per 15 settori, in unit?t ] . 10 - 5

Set- tori

i lo

4

6 7 8

9 ~ 10 11 12 13 14 15 16

348~ 11 15 33 45 56 15 78 45

101 15 123 45 146 15

168o45 191 15 213 45 236 15 258 45 281 15 303 45 326 15

~2

11o15 33 45 56 15 78 45

101 15 123 45 146 15 168 45

191o15 213 45 236 15 258 45 281 15 303 45 325 15 348 45

+443.4 346.7

+113.0 --120.7

217.4 --120.7 +113.0 ~- 346.7

+443.4 346.7

+113.0 --120.7

217.4 -120.7

§ -~ 346.7

~3

~-550.8 389.5 0

--389.5 550.8

--389.5 0

+389.5

+55o.8 +389.5

0 --389.5

550.8 --389.5

0 ?389 .5

V1

0 +233.7

330.4 +233.7

0 - -233.7

330.4 - -233.7

0 +233.7

330.4 +233.7

0 ---233.7

330.4 - - 2 3 3 . 7

V2

0 --214.9

397.1 518.8 561.6 518.8 397.1

--214.9

0 +214.9

397.1 518.8 561.6 518.8 397.1

-7214.9

V 3

0 -?389.5

550.8 +389.5

0 --389.5

550.8 --389.5

0 +389.5

550.8 +389.5

0 --389.5

550.8 --389.5

~2

- -561.6 518.8 397.1

- -214 .9 0

+214.9 397.1

+518.8

-%561.6 518.8 397.1

,~214.9 0

- -214.9 397.1

- -518.8

p l an ime t ro posi t ive oppure nega t ive a seconda che le l e t tu re finali s a r anno s ta te maggiori o mino r i delle inizial i .

Quando i valor i delle quote z si a rmul lano e divengorto nega t iv i (per i p u n t i della massa Q che s t anno sopra l 'o r izzonte dl O) le l inee dei profili fo rmano sem- p l icemente delle cuspidi in corr i spondenza agli assi delle ascisse nei reticoli ~E~ e ~3 e al ia l inea z - - O nel reticolo ~E2: ~ da tenere presente per5 che per i reticoli ~1 e ~E a b isogna seguire il verso di cui sopra abb iamo det to , quando si b a r r iva t i i n cor r i spondenza alle cuspidi colla p u n t a del p l an ime t ro , t enendo conto dei va- lori re la t iv i delle quote , e che per i l ret icolo Y~z b isogna seguire il verso opposto ; cib in relazione al fa t to che le funz ion i i n t eg rande ~1 (P, z) e ~a (?, z) m u t a n o di segno quando m u t a quello di z m e n t r e la 42 (?, z) ~ i n d i p e n d e n t e dal segno di z. E v i d e n t e m e n t e le cuspidi n o n possono che presentars i in n u m e r o pari .

Le aree de t e rmina t e per i profili di Q si moh ip l i eano per le cos tan t i cara t te - r is t iche dei set tor i cor r i spondent i secondo le ind icaz ioni del le (21) e si som m ano i p rodot t i o t t e n u t i per i diversi set tori , qu ind i si eseguono i p rodo t t i e le somme ancora secondo le ind icaz ioni delle (21). Se a do t t i am o Y~ come simbolo di s o n - mator ia abb i amo dalle (21) stesse per l ' in f luenza to ta le della massa Q ne l p u n t o 0 , i n conformith delle (13),

58

Z= a_. : : . . : . r H=a_..____i_r k=_ . . . . . . . . fO " $ TA ZIONE. N~ ____.

Fig. i

(22) A u o = -- k H E (vl E1)n -~ k H E (va Ea)~ -- k Z E (v~ E~)n,

AZ0 - - T k H E ( ~ E 2 ) ~ - k Z E ( ~ l E 1 ) n ,

pe r n uguale al n u m e r o dei se t to r i del ia sudd iv i s ione dello spazio in to rno al p u n t o O. N o t i a m o che essendo ~1 cos tan te per i d ivers i se t to r i si pub semplif icare l 'u l - t i m o t e r m i n e del l ' espress ione di ~Z 0 ponendo

k Z Z (~1 Zl )n = k Z ~l Z (E l ) n .

Nei qUadri d isegnat i sui ret icoli sono r i po r t a t e le cos tant i e sono ind ica te le

- - 5 9

Z = o . . . . . . . . . . . . r H=o . . . . . r ~= . . . . . iO - ' STAZ/ONE N- 0 . . . . . . .

�9 " ) Z z C . ,Z , "~"

. . . . . . . . . . iif

. , , [ . . . . . . . . . . . . . . 3-

5. [ ................ ,s~__

o ' ~ - -

, . , iiii~i~i i i i i i / ~-1

t I

Fig. 2

operazioni necessarie per il calcolo delle influenze AZ o e AX 0 nell ' ipotesi di ope- rare colla suddivisione dello spazio in 16 settori.

E ' da teuere presente chc se la suscettivit~ magnetica k della massa Q e gli elementi H e Z del campo magnetico sono espressi in uni th C.G.S. e si adottano le costanti calcolate nelle Tabelle I I I e IV i vaiori d ' iufluenza AX0, A u 0 e LXZ 0 delle (22) risultano espressi in unit~ 1.10 -5 C.G.S. (1.10 -5 F, essendo F il simbolo delle unith Gauss).

Per togliere ogni dubbio sul modo di utilizzare i reticoli e nel inedesimo tempo far vedere la precisione prat icamente raggiungibile cogli stessi calcoliamo ora

- - 6 0

Z = o . . . . . . . . . r H = o . . . . . . . . r tt=. . . . . . . . . 1 0 "~ STAZIONE o N C- ...................

Fig. 3

mediante i retieoli e mediante le formole rigorose le influenze re la t ive agli e le- ment i di urto s t ra to orizzontale alia profondith d i 1000 m collo spessore costante di 1000 m [formole (9)] e quelle relat ive a una serie di coni ver t ical i coi ver t ic i in O e diverse pendenze delle superfici la tera l i [formole (11)].

Come si s a u n a superfice p iana orizzontale indefini ta la quale sia sede di una distribuzione" uniforme di masse magnet iche con densith z ha influertze A X 0 e A Y 0 nulle e l ' influenza AZ 0 uguale a 2rc~, posi t iva o negat iva a seconda che le masse sulla superficie sono negat ive o posit ive.

Uno s t ra to orizzontale si pub ritenere0 almeno dal punto di v is ta teorico,

- - 6 1 - -

che sia cos t i tu i to da due superfici paral le le o r izzonta l i indef in i te sedi di masse m a g n e t i c h e con segni oppos t i : la super iore col segno nega t ivo e la infer iore col segno pos i t ivo per k pos i t ivo e v iceversa per k nega t ivo . La dens i th delle masse magne t i che sulle due superfici ~ e v i d e n t e m e n t e ugua le a l l ' i n t ens i th di magne t i z - zaz ione dello s t ra to k Z . Le r i su l t an t i in O delle inf luenze delle due superfici l imi t i dello s t ra to non possono qu ind i che r iuscire nu l le : consegue che t u t t e le l inee z - - c o s t a n t e del re t icolo Z1 debbono i n d i v i d u a r e delle aree, col l 'asse delle di- s tanze, fra loro ugua l i ed ugual i a q t cm, per le d i s tanze da 0 a -[- ~ . I n effet to noi t r o v i a m o , pe r le cu rve co r r i sponden t i al le quo t e z di 100, 150, 200, 250, 500,

TABELLA V - Valori rlgorosl e dei reticoli di Y'I', 22' e Y'3' per z 1 ~ 1000 e z = 2000, in unit& 1 �9 10 -3 .

Valori rigorosi u dei reticoli

Pl

.Z~' 23'

50 100 200 50O

1000

5OO 1000 ]

2000 ] 5000 l

]0000

- - 75 184 245

- - 100 -4- 91

- - 33 ~- 116 140 312 373 531 580 559

- - 5 3 1 + 373

- - 75 --- 29 183 141 244 376

- - 1 0 0 579 + 91 - - 5 3 3

+ 110 308 528 560

+ 369

1000, 1500, 2000, 5000 e 10000 le aree di 174.0, 173.1, 173.3, 173.5, 173.5, 172.9, 172.7, 174.6 e 173.4 cm, r i s p e t t i v a m e n t e . Come si v e d e la prec is ione di calcolo del ret icolo riesce pressapoco uguale a quel la co r r i sponden te agli er ror i di mi- sura delle aree del p lan imet ro .

Nel la Tabel la V sono raccol t i i va lor i , in un i th 1 . 1 0 -3, delle ~ '1 , Y"2 e Y"3 che

TABELLA VI - Valori rigorosi e dei reticoli di ~'1", Z~" e 23" per P2 = 100 e 9 = 10000, in uniter 1 �9 10 -3.

m

0.10 0.20 0.30 0.50 0.707 1.00 2.00

21"

+ 355 674 930

1206 1203

+ 931 - - 50

u rigorosi

62 233 495

1147 1808 2496

- - 3 1 6 0

23',

~- 4 32

101 378 8O4

1454 + 2746

Valori dei reticoli

~lp t . 2 2 , ,

+ 360 - - 63 680 237 936 495

1210 1144 1212 1815

+ 94O 2505 47 - - 3 1 6 8

+ 35 105 381 803

145~ § 2764

- - ~62 - -

risultano dalle (9) per z l . ~ 1000 m, z---- 2000 m e per le distanze P1 e ~.di 50 e 500 m, 100 e 1000 m, 200 e 2000 m, 5 0 0 e 5000 m, 1000e 10000 m e quel l i che r isuhan0 da i reticoli nelte stesse condizioni, divideudo i vator i delle aree per le costanti relative qz, q2 e qa" Come si vede, anche in qnesto caso i valoH dei reti- coti differiscono d a quel l i rigorosi di quanti t~ dell 'ordine dl grandezza della pre- cisione r isultante dagli errori d i m i s u r a delle aree. �9

Poich~ i ~alori di ~'x, ~'2, e ~ ' a sono indipendent i dalle uni th di lunghezza adottate per le distanze ~ e le quote z i valori della tabella possono essere deter- mina t i coi reticoli in diversi "modi, per esempio i vatori del la pr ima riga possono essere determinat i anclke considerando le quote z 1 ~ 2000 m e z z 4000 m fra le distanze P1 - - 100 m e 9 = 1000 m, oppure considerando le quote z,. -~ 5000 m e z---- 10000 m fra le distanze p~.---- 500 m e p = 5000 m, ecc. E facile compren- dere come questa proprieth permet tad i controllare la precisione di costruzione dei t re reticoli, anche senza ricorrere ai calcoli rigorosi, semplicemente confron- tando i valori che si ottengono variando le uni th di lunghezza.

, ~ " che risul- Nella Tabella VI sono invece raccohi i valori delle ~ i " ~2" e a tano dalle (11) per pj. - 100 m, ~ ---- 10000 m e le pendenze m di 0.10, 0.20, 0.30,

0.50, ~ ~/2_ 1.00, 2.00. E interessante notare che le linee dei profili, corrispon- denti ai diversi valori di m, tendono tu t te a disporsi parallele agli assi delle di, stanze nei tre reticoti e che nel reticolo ~ si ha la linea corrispondente a l l ' a rea

massima, i,~viluppo delle linee z �9 c~ per la pendenza di ~ ~/2, di equa- zione

40 40 1 (23) y~ = ~ -4- - - ~ �9

Come si vede, le differenze fra i valori rigorosi e dei reticoli sono ancora mi- nime, anche per le maggiori penderLze m delle superfici dei coni.

Q u a n d o la suscet t ivi th magnetica fosse variabile da pUnt0 a punto si suddi- viderh la massa Q i n tante porzioni in ognur~a delle quali si possa considerare co- stante la stessa suscettivith e si determineranno le influenze in O corrispondenti a ciascuna porzione nel modo sopra iadicato e quindi si faranno le somme.

Se, conformemente ai r isultat i degli esempi riportati , ammet t iamo che l 'er- rore medio delle determinazioni sia p e r 0gni settore de l l '0 rd ine di grandezza di quello corrispondente all 'errore di misura dell 'area mediante il planimetro, -4- 1 cm, per gli n settori r isultano gli errori medi delle influenze AX0, AY 0 e AX0, rispetti- vamente di

(24)

i k i z = ~ Y/H ~ [Z (~2)n] 2 ~- n 2 Z 2 ~l ~,

, ~ _ • k . ~/H~ [~ (~1)~1 ~ + H~ [~ (~3)~1 ~ + Z2 [~ (,,~)~1~,

~ ~ ~ / H ~ [ 2 (~1)~1~ + H~ [ 2 (~3)n] ~ + Z~ [ 2 ( ~ ) . V �9 \

Naturalmente, p6r ot tenere g l i errori med i effettivi delle determinazioni delle influenze, a questi errori zl, z2 e % devono essere aggiunti quelli conseguenti all ' incertezza d e i valori assunti per la suscettivit~ ma~netica, all,influenza dei

--- 63 - -

campi smagnetizzanti , all 'approssimazione del rilievo delle quote delle masse Q, quest 'u l t ima crescente col numero dei settori n, ecc.

Quando la direzione e l ' intensi th di magnetizzazione variassero sensibilmente da punto a punto si pub suddividere la massa M in tante porzioni e operare nello stesso modo indicato per tenere conto delia variazione delia suscettivit~ con- siderando perb che, in questo caso, le influenze in O risultano riferite ad assi diversi e che quindi, le somme dei valori d ' influenza devono essere fatte vetto- r ialmente.

Le influenze della magnetizzazione permanente delle rocce costi tuenti le masse M si possono determinate rigorosamente scomponendo il vettore magnetizzazione secondo l'asse Z e un asse orizzontale X!, contenuto hello stesso piano verticale, ed eseguendo i calcoli, relativi ai tre assi ortogonali X ' , Y' e Z, hello stesso modo indicato per la magnetizzazione indotta . Evidentemente , anche in questo~easo le influenze che risultano devono essere sommate vet tor ialmente a quelle re la t ive alia magnetizzazione indotta .

I valori da adottare per la suscettivith magnetica sono quelli effettivi ks delle rocce costi tuenti le masse Q ridotti di un opportuno coefficiente che tenga conto dell ' influenza de lcampo smagnetizzante: per le forme delle masse che si incon- trano n o r m a l m e n t e helle ricerche petrolifere, cupoie o pieghe senza fagliature notevoli, si pub porre approssimativamente

ke k - -

3 1 + - - ( ~ k~

Quando le masse Q fossero incassate in un sottosuolo di suscettivith costante k i si sostituirh in tale espressione la differenza delle suscettivith k e ~ k~ alia k e.

5. Estensione al calcolo degli elementi E6wvOssiani - - Vediamo ora come cogli stessi reticoli si possano determinare le influenze della massa Q sugli elementi E6Tv6ssiani del gradiente e della curvatura.

Se indichiamo con U la funzione potenziale delia gravit'~ cambiata di segno r con e; la densith della massa, posto

02U 02U

ax az ' Oy az '

OzU OzU O2U U.~.y ~ U A ~ - - - - -

Ox Oy Oy~ Ox ~

abbiamo le influenze, per il settore generico l imitato dai piani di azimut 81 e 82,

i 8U~z = + c z (sen 8 2 - sen 81) 22 , q2

8Uyz + c z (cos 81-- cos 8~) Z2 qz

(25) ',

c z (sen 2 8~-- sen 2 81) (3 ' 22.. ~- 2 8UA ~ - ql

ccY i. 8 U ~ u = § ' 4

q3

(cos2~z- - cos282) 3 + 2 , ql q3

64

ore c ~ 66.64.10 -9, c0stante del l ' a t t raz ione universale. Risul tano allora, ado t tando ancora le (20), le influenze to ta l i di M, in unit~ E~TVSS,

I Uxz = - - c z Y~ (~.2 Y'2)~ �9 10+4, AUuz = - - c z Z (42 Z1)~. 10 +4 ,

(26) AUA = - - c z Y , 3-~-~3Y1-4- 2~3Y~3 n. 10+ ,

, A U x y = + c z Z ( 3 4 1 2 1 + 43Z3)n-10 +4.

Confrontando queste colle (22) oppure le (25) colle (21) o t teniamo le note relazioni di EfT~C6s fra gli e lementi ESTVSssiani e quelli del campo magnetico.

Mediante le (26) possiamo evidentemente calcolare le influenze sugli e l e m e n t i ESTv6ssiani sia delle eterogeneith dei ter reni profondi sia delle (( Masse topo- grafiche )). Viceversa, mediante formole simili , possiamo uti l izzare i mezzi appron- t a t i per gli elementi ESTv6ssiani per calcolare le influenze magnetiche. ]~ un fa t to perb che in pra t ica non esistono, che noi si sappia, dei mezzi del genere che rie- scano pih comodi o comunque p ih consigliabili di quelli dei nostr i reticoli magnetici . Gli stessi ret icol i da noi app ron ta t i per i l calcolo degli elementi ESTvSssiani (4), i quali permet tono delle approssimazioni molto elevate, in effetto non possono es- sere ut i l izzat i per le influenze magnetiche in quanto servono soltanto per i cal- coli delle grandezze •2 e (3 Z 1 q- 2 Z3).

6. Osservazioni su l calcolo delle in f luenze topografiche - - Per determinare le formole base di costruzione dei reticoli abbiamo supposto 1 ~ c h e l a suscett ivith magnet ica k fosse costante, 2 o) che i l campo inducente F fosse di intensi th e dire- zione costanti ed impl ic i tamente abbiamo ammesso, 3 o) che i l campo smagnetiz- zante fosse hullo o costante. In realth nessuna di queste condizioni, eomunque si operi, si t rova r igorosamente verif icata in prat ica . Degli errori che conseguono abbiamo perb gih discusso esaur ientemente in a l t ra occasione (5): ora vogliamo soltanto precisare le difficoith che r isul tano nei calcoli d ' inf luenza per la r iduzione topografica delle misure.

Nei r i l ievi per ricerche petrol ifere in generale le rocce superficiali, cost i tuent i le (( Masse topografiche )), hanno suscet t ivi th magnet ica molto bassa e di conse- guenza danno luogo a delle (( Influenze topografiche )) molto l imi ta te . E da no- tare per5 che in ta l i casi di solito anche le differenze dei valori delia suscett ivith dei diversi s t ra t i sono molto l imi ta te e che quindi anche le ajaomalie magnetiche corrispondenti alle diverse configurazioni te t toniche degli s t ra t i stessi non pos- sono che riuscire poco appariscent i . In ta l l condizioni ev identemente le influenze topografiche, se pure r idot te , riescono ugualmente sensibili, quando la topografia superficiale ~ molto to rmenta ta . Condizioni mol to favorevoli invece r isul tano quando le rocce superficiali sono di suscet t ivi th bassa e le differenziazioni fra i va- lori re la t iv i agli s t ra t i da r i levare sono molto forti , come sovente a w i e n e helle ri- cerche di mineral i metall iferi . Viceversa, i r i l ievi r isul tano pressoch~ impossibi l i quando le rocce superficiali hanno suscett ivi th molto a l ta e le differenziazioni fra i valori degli s t ra t i da r i levare sono scarse.

Le rocce cost i tuent i i l cosidet to (( Strato aera to superficiale )) ossidate dalle acque aera te di circolazione superficiale, in generale accusano de i valori per la su- scet t ivi t~ magnet ica mo l to bassi r i spet to a quelli delle rocce ina l te ra te immedia ta - mente so t tos tant i : in pra t ica non sarh facile t ener conto di ta le s t ra to nei calcoli

65

delle influenze topografiche date le rapide e irregolari variazioni di potenza dello stesso strato helle zone con topografia to rmenta ta ; per tale strato, perb, le aspe- rith delle rocce di maggiore suscettivith vengono in realt~ al lontanate dalle Stazioni di misura e quindi, in generale, tu t to sommato, si avr~ un effetto favorevole sulla precisione delle riduzioni topografiche dalla presenza di una strato aerato non eccessivamente irregolare e di potenza non troppo ridotta.

Per determinate il valore pih appropriato della suscettivith magnetica da adot- tare per le riduzioni topografiche si pub applicare lo stesso metodo che L. L. NET- TLETO~ ha proposto per le analoghe riduzioni dei valori gravimetrici, na tura lmente con tu t t e le precauzioni e gli accorgimenti necessari per evitare le incertezze cui pub facilmente condurre (4).

Per il calcolo delle influenze topografiche mediante i reticoli gih abbiamo detto come le masse poste sopra l 'orizzonte delle stazioni di misura corrispondano a valori negativi delle quote z e come debbano essere calcolate le aree corrispon- denti. Per le deficienze di massa rispetto allo stesso orizzonte, ossi a per gli avval- lament i del terreno, le influenze sono in valore assoluto uguali a quelle relative alle masse poste sopra e quindi si calcoleranno allo stesso modo, esat tamente come si opera per le riduzioni gravimetriche. I1 valore della suscettivit~ magnetica da adottare per le deficienze di massa sara lo stesso della roccia ambiente, entro cui si sviluppa la tet tonica degli strati differenziati oggetto dei rilievi: cib ancora ana- logamente a quanto conviene fare nei rilievi gravimetrici.

Nei rilievi aeromagnetici evidentemente le influenze della topografia delia superficie del terreno in generale riesciranno ancora sensibili, sebbene notevol- mente ridotte, e la precisione riescirh notevolmente migliorata. E chiaro perb che anche tu t te le anomalie util i riescirarmo a t tenuate e quindi meno significative agli effetti delia prospezione mineraria.

Noi non ri teniamo conveniente in nessun caso applicare, per le riduzioni delle influenze topografiche, il metodo di assimilate le configurazioni del terreno a forme geometriche ben definite e di applicare dei coefficienti fissi di riduzione : per esempio di supporre una collina di forma ellissoidica e di applicare la riduzione della com- ponente verticale di ~ - 4 ~ k Z per le stazioni eseguite sulla sommith della col- l ina stessa, oppure di supporre una valle come un ' incis ione del terreno perfetta- mente cilindrica e di applicare la riduzione delia componente verticale, per le stazioni eseguite al fondo della stessa valle, di - - 2 = k Z se i fianchi sono a pen- denza dolce e di - - 3 = k Z se ir~vece i fianchi sono molto ripidi (s). Procedimenti del genere devono ritenersi utili soltanto per determinare l 'ordine di grandezza delle influenze della topografia.

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