Calcolo combinatorio e probabilità. La probabilità Tratta degli eventi (fatti, fenomeni) che non...
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Calcolo combinatorio e probabilità
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La probabilità
Tratta degli eventi (fatti, fenomeni) che non si verificano con certezza e che sono detti aleatori
o casuali.
Gli eventi aleatori sono eventi incerti e possibili, sono espressi da una proposizione che risulterà
vera se l’evento si verifica e falsa altrimenti.
Ci sono anche eventi impossibili, cioè che non si verificano mai.
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La probabilità
Lo spazio degli eventi o Universo è costituito da tutti i possibili risultati di un certo esperimento
(reale o concettuale) e può essere rappresentato mediante diagrammi di Eulero-Venn.
Un evento è un elemento dello spazio degli eventi.
L’evento certo è l’intero Universo.
L’evento impossibile è l’insieme vuoto.
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La probabilità
Si definisce evento contrario o complementare dell’evento A, l’evento che
si verifica se e solo se non si verifica A.
Si definisce somma logica o unione di due eventi A e B, l’evento che si verifica quando
si verifica almeno uno degli eventi A o B.
Si definisce prodotto logico o intersezione di due eventi A e B, l’evento che si verifica quando si
verificano entrambe gli eventi A e B.
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La probabilità
Secondo la concezione classica di probabilità essa è definita come rapporto tra i casi
favorevoli al verificarsi dell’evento ed i casi possibili (finiti ed equipossibili).
Nell’interpretazione insiemistica la probabilità è la cardinalità dell’insieme che rappresenta
l’evento.
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La probabilità
Dalla definizione classica si deduce che:
• L’evento certo ha probabilità 1
• L’evento impossibile ha probabilità 0
• L’evento possibile ha probabilità 0<p<1
• L’evento complementare ha probabilità 1-p(A)
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La probabilità
Inoltre si ha:
• La somma logica di due eventi incompatibili A e B (che non possono verificarsi insieme) ha probabilità p(A)+p(B).
• Il prodotto logico di due eventi A e B ha probabilità p(A)∙p(B).
• L’evento complementare ha probabilità 1-p(A)
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La probabilità
Problemi
• Lanciando un dado non truccato qual è la probabilità che esca 5?
• Qual è la probabilità che lanciando un dado non truccato esca un numero maggiore di 2?
• Qual è la probabilità di scegliere il 5 di quadri da un mazzo di carte non truccato di 52 carte?
• Qual è la probabilità di scegliere il 3 di cuori o una figura di picche da un mazzo di carte non truccato di 52 carte?
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La probabilità
Problemi
• Si consideri un test a risposta chiusa composto da 10 domande con 4 risposte di cui 3 errate e 1 corretta. Qual è la probabilità di rispondere correttamente a tutti i quesiti mettendo a caso le risposte?
• Un sacchetto contiene 4 palline bianche e 2 nere. Un secondo sacchetto ne contiene 3 bianche e 5 nere. Se viene estratta una pallina da ciascun sacchetto, qual è la probabilità che siano entrambe bianche?
• Una moneta non truccata è stata lanciata per 3 volte e ha sempre mostrato croce. Qual è la probabilità che lanciandola ancora esca ancora croce?
• Qual è la probabilità che in 10 lanci di una moneta non truccata non esca mai testa?
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Il calcolo combinatorio
Ha come oggetto lo studio dei modi in cui si possono associare, secondo regole stabilite,
gli elementi di due o più insiemi o di uno stesso insieme.
Risolve il problema di conoscere in quanti modi può presentarsi un fenomeno.
Per esempio il calcolo dei casi possibili.
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Il calcolo combinatorio
Permutazioni
In quanti modi diversi posso disporre k oggetti distinti?
k(k-1)(k-2) … 1 = k!
Esempio: Quante sigle diverse di 3 lettere posso formare con le lettere R, G e B?
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Il calcolo combinatorio
Permutazioni con ripetizione
In quanti modi diversi posso disporre k oggetti di cui k1, k2 … kn uguali tra loro?
Esempio: In quanti modi diversi posso disporre 2 pennarelli blu, uno nero e 3 rossi?
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Il calcolo combinatorio
Disposizioni
In quanti modi diversi posso scegliere k oggetti distinti da un insieme di n oggetti?
n(n-1) … (n-k+1) =
Esempio: Quattro fratelli possiedono un’auto a 2 posti. In quanti modi diversi possono uscire a due a due, usando l’automobile?
Gruppi con ordine diverso degli
elementi sono da intendersi
diversi.
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Il calcolo combinatorioDisposizioni con ripetizione
In quanti modi diversi posso scegliere k oggetti da un insieme di n oggetti?
n•n … n =
Esempio: Quante possibili targhe di automobile si possono ottenere con 2 lettere, 3 numeri e 2 lettere, considerando un alfabeto di 26 simboli e senza che la prima lettera sia z?
Gruppi con ordine diverso degli
elementi sono da intendersi
diversi.
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Il calcolo combinatorio
Combinazioni
In quanti modi diversi posso scegliere k oggetti distinti da un insieme di n oggetti?
Esempio: In quanti modi si possono assegnare 13 carte da un mazzo da 52?
Gruppi con ordine diverso degli
elementi sono da considerarsi
uguali
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Il calcolo combinatorioCombinazioni con ripetizione
In quanti modi diversi posso scegliere k oggetti da un insieme di n oggetti?
Il problema equivale a ripartire k oggetti identici (o considerabili come tali) i n
contenitori.
Esempio: In quanti modi posso collocare 3 matite in 5 cassetti?
Gruppi con ordine diverso degli elementi
sono da intendersi uguali.
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Il calcolo combinatorioProblemi
• In quanti modi diversi si possono collocare 10 libri diversi in una libreria?
• Quanti sono gli anagrammi della parola ORO?
• Quanti sono gli anagrammi della parola ORRORE?
• In quanti modi posso disporre 13 palline, sapendo che ce ne sono 3 gialle, 5 rosse e 4 bianche?
• Dati 5 frutti diversi, in quanti modi posso preparare una macedonia con 2 di essi?
• In quanti modi si possono scegliere i 3 rappresentanti in una classe di 12 alunni?
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Il calcolo combinatorioProblemi
• Quante quaterne si possono formare estraendo i 90 numeri del lotto?
• In quanti modi posso scegliere 3 delle 7 note musicali, tenendo conto che posso ripetere la stessa nota 3 volte?
• In quanti modi posso sistemare 15 pennarelli in 6 astucci?
• In quanti modi 3 persone possono occupare 6 posti?
• In quanti modi 3 persone possono iscriversi avendo a disposizione 5 palestre diverse.
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La probabilità
Problemi
• Qual è la probabilità che lanciando 10 volte un dado non truccato esca 5 volte il numero 3?
• Lanciando due dadi non truccati qual è la probabilità che la somma dei punteggi sia 4?