ESTRATEGIAS DE CÁLCULO

Carolina Aranda Guerra / Camila Ojeda Soto PSICOPEDAGOGIA 2014

El teorema de Pitágoras es uno

de los resultados más conocidos

de las matemáticas.

INTRODUCCIÓN

Las matemáticas o la matemática (del latín mathematĭca, y este del griego μαθηματικά, derivado de μάθημα, ‘conocimiento’) es una ciencia formal que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones entre entidades abstractas con números, figuras geométricas o símbolos, pese a que también es discutido su carácter científico. Las matemáticas se emplean para estudiar relaciones cuantitativas, estructuras, relaciones geométricas y las magnitudes variables. Los matemáticos buscan patrones, formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemática mediante rigurosas deducciones. Éstas les permiten establecer los axiomas y las definiciones apropiados para dicho fin. Algunas definiciones clásicas restringen las matemáticas al razonamiento sobre cantidades, aunque solo una parte de las matemáticas actuales usan números, predominando el análisis lógico de construcciones abstractas no cuantitativas.

Existe cierta discusión acerca de si los objetos matemáticos, como los números y puntos, realmente existen o simplemente provienen de la imaginación humana. El matemático Benjamín Peirce definió las matemáticas como "la ciencia que señala las conclusiones necesarias". Por otro lado, Albert Einstein declaró que:" cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son exactas; cuando son exactas, no se refieren a la realidad".

Para explicar el mundo natural se usan las matemáticas, tal como lo expresó Eugene Wigner (premio Nobel en 1963).

Mediante la abstracción y el uso de la lógica en el razonamiento, las matemáticas han evolucionado basándose en las cuentas, el cálculo y las mediciones, junto con el estudio sistemático de la forma y el movimiento de los objetos físicos. Las matemáticas, desde sus comienzos, han tenido un fin práctico.

“La enorme utilidad de las matemáticas en las ciencias

naturales es algo que roza lo misterioso, y no hay

explicación para ello. No es en absoluto natural que existan

“leyes de la naturaleza”, y mucho menos que el hombre sea

capaz de descubrirlas. El milagro de lo apropiado que

resulta el lenguaje de las matemáticas para la formulación

de las leyes de la física es un regalo maravilloso que no

comprendemos ni nos merecemos”.

Factores que condicionan la construcción del cálculo

El desarrollo de este conocimiento lógico – matemático, se da mediante una serie de nociones lógico – matemáticas que son:

Noción de clase o Clasificación: Es una serie de relaciones mentales en las cuales los objetos se reúnen por semejanzas, separan por diferencias y se define la pertenencia del objeto a una clase. Las relaciones que se establecen son las semejanzas, diferencias, pertenencias (relación entre un elemento y la clase a la que pertenece) e inclusiones (relación entre una subclases y la clase de la que forma parte).

La clasificación en el niño pasa por varias etapas:

a) Alineamiento: de una sola dimensión, continuos o discontinuos. Los elementos que escoge son heterogéneos.

b) Objetos Colectivos: colecciones de dos o tres dimensiones, formadas por elementos semejantes y que constituyen una unidad geométrica.

c) Objetos Complejos: Iguales caracteres de la colectiva, pero con elementos heterogéneos.

d) Colección no Figural: posee dos momentos.

Primer momento: forma colecciones de parejas y tríos, al comienzo de esta sub-etapa el niño todavía mantiene la alternancia de criterios, más adelante mantiene un criterio fijo.

Segundo momento: se forman agrupaciones que abarcan más elementos y que pueden a su vez, dividirse en sub-colecciones.

Noción de Seriación: Es una operación lógica. A partir de un sistema de referencias, permite comparar los elementos de un conjunto y ordenarlos según sus diferencias. Estas diferencias pueden ser en forma decreciente o creciente.

Posee la siguiente propiedad

Transitividad: Consiste en poder establecer deductivamente la relación existente entre dos elementos que no han sido comparados efectivamente.

Reversibilidad: Es la posibilidad de concebir simultáneamente dos relaciones inversas, es decir, considerar a cada elemento como mayor que los siguientes y menor que los anteriores.

La seriación pasa por las siguientes etapas:

Primera etapa: Formar parejas y tríos de elementos, combinándolos.

Segunda etapa: Serie por ensayo y error.

Tercera etapa: el niño realiza la seriación sistemática y consciente.

Noción de Conservación: Esta noción plantea que un objeto o conjunto de objetos, se considera invariante respecto a la estructura de sus elementos o en

cualquier parámetro físico. A pesar de su cambio de forma, con la condición de que no se le quite o agregue nada. Sus variables pueden ser: cantidad (sustancia, peso, volumen), longitud, superficie y número.

Esta noción supone un sistema de regulación interno que permite compensar las transformaciones externas que sufren los objetos. Además es un sistema operativo, donde su característica principal es la “reversibilidad”. La “reversibilidad”, se puede dar por inversión (anulación) o por compensación reciproca.

Actividad de conservación

Pasar al niño(a) la misma cantidad de palitos de fósforos.

En una hoja del mismo tamaño, realizar 2 tipos de trayecto diferente.

El niño deberá identificar, que ambos trayectos tiene la misma longitud.

Concepto de número: El número es una estructura mental que construye cada niño mediante una aptitud natural para pensar, ya que, no se aprende del entorno.

Es un proceso de abstracción reflexiva de las relaciones entre los conjuntos que expresan número. Puesto que cada número se construye mediante la adición repetitiva del 1, puede decirse que su misma construcción incluye la comprensión de la adición.

Es una síntesis de dos tipos de relaciones que el niño establece entre dos objetos: la de orden y la inclusión jerárquica.

Según Piaget, la formación del concepto de número es el resultado de las operaciones lógicas (clasificación, seriación, conservación, etc.)

I. ÁBACO

El ábaco es un dispositivo que sirve para efectuar operaciones aritméticas sencillas (sumas, restas y multiplicaciones). Consiste en un cuadro de madera con barras paralelas por las que corren bolas movibles, útil también para enseñar estos cálculos simples. Su origen se remonta a la antigua Mesopotamia, más de 2000 años antes de nuestra era. Es un instrumento utilizado para realizar a mano cálculos aritméticos, principalmente sumas y restas. Suele consistir en un tablero o cuadro con alambres o surcos paralelos entre sí en los que se mueven bolas o cuentas.

El ábaco moderno está compuesto de un marco de madera o bastidor con cuentas en alambres paralelos y de un travesaño perpendicular a los alambres que divide las cuentas en dos grupos.

Cada columna o barra —es decir, cada alambre— representa un lugar en el sistema decimal. La columna más a la derecha son las unidades, la que está a su izquierda son las decenas y así sucesivamente.

En cada columna hay cinco cuentas por debajo del travesaño, cada una de las cuales representa una unidad; y dos por encima del travesaño, que representan cinco unidades cada una. Por ejemplo, en la columna de las decenas cada una de las cinco representa diez y cada una de las dos representa 50. Las cuentas que se han de incluir como parte de un número se colocan junto al travesaño.

El ábaco fue utilizado tanto por las civilizaciones precolombinas y mediterráneas como en el Lejano Oriente. En la antigua Roma, era un tablero de cera cubierta con arena, una tabla rayada o un tablero o tabla con surcos. A finales de la edad media los mongoles introdujeron el

ábaco en Rusia, que provenía de los chinos y los tártaros, y que todavía hoy se utiliza en el pequeño comercio.

En China y Japón, también hoy muy a menudo lo utilizan los hombres de negocios y contadores.

Hay ábacos antiguos notables, que adoptaban formas muy diversas. Los romanos usaban como bolas o cuentas para los ábacos unas piedrecillas que llamaban “cálculos”, y de ahí proviene el vocablo “calcular”. Las cifras del ábaco no comprendían el “cero”.

Los usuarios expertos de ábacos fueron eran capaces de hacer operaciones más rápido que con una calculadora electrónica como las modernas.

Instrucciones

1. Revisa el problema matemático. Para la duración de esta instrucción, el problema será simplemente 5 más 3 más 4. Encontraremos el resultado de la suma usando el ábaco.

2. Prepara el ábaco empujando todas las cuentas al lado izquierdo. Las

cuentas del ábaco son de todas de diferentes colores; este factor ayudará en los siguientes pasos.

3. Asigna valores a las cuentas de colores o líneas del ábaco. Por ejemplo, en

el problema matemático para esta lección, 5 más 3 más 4, la primera línea de cuentas representará el 5, mientras que la segunda línea representa 3 y la tercera línea de cuentas representa el 4.

4. Mueve la primera línea de cuentas al colocar 5 cuentas del lazo izquierdo

del ábaco hacia el lado derecho. Procede a la segunda línea y mueve tres cuentas al lado derecho. Mueve cuatro cuentas en la tercera línea al lado derecho del ábaco.

5. Cuenta todas las que estén del lado derecho del ábaco. Por ejemplo cuenta

uno, dos, tres, cuatro, cinco en la primera línea, luego continúa hacia abajo a la segunda línea y sigue contando desde cinco: seis, siete, ocho. Continúa de esta manera hasta que alcances la suma total, 12.

II. MÉTODO POLYA

Creado por George Pólya, este plan consiste en un conjunto de cuatro pasos y preguntas que orientan la búsqueda y la exploración de las alternativas de solución que puede tener un problema. Es decir, el plan muestra cómo atacar un problema de manera eficaz y cómo ir aprendiendo con la experiencia.

La finalidad del método es que la persona examine y remodele sus propios métodos de pensamiento de forma sistemática, eliminando obstáculos y llegando a establecer hábitos mentales eficaces; lo que Pólya denominó pensamiento productivo. Pero seguir estos pasos no garantizará que se llegue a la respuesta correcta del problema, puesto que la resolución de problemas es un proceso

complejo y rico que no se limita a seguir instrucciones paso a paso que llevarán a una solución, como si fuera un algoritmo. Sin embargo, el usarlos orientará el proceso de solución del problema. Por eso conviene acostumbrarse a proceder de un modo ordenado, siguiendo los cuatro pasos.

A pesar de que su libro How to Solve It (Cómo plantear y resolver problemas) fue escrito en 1945, su pensamiento y su propuesta todavía siguen vigentes. En el prefacio de su libro, él dice:

"Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la solución de todo problema, hay cierto descubrimiento. El problema que se plantea puede ser modesto; pero, si pone a prueba la curiosidad que induce a poner en juego las facultades inventivas, si se resuelve por medios propios, se puede experimentar el encanto del descubrimiento y el goce del triunfo.

Experiencias de este tipo, a una edad conveniente, pueden determinar una afición para el trabajo intelectual e imprimir una huella imperecedera en la mente y en el carácter". Pólya recomienda que para desarrollar la capacidad de resolución de problemas es fundamental estimular, en los alumnos, el interés por los problemas así como también proporcionarles muchas oportunidades de practicarlos.

Un algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea y/o resolver un problema.

Fases y preguntas del plan de Pólya.

Fase 1: Comprender el problema.

Para poder resolver un problema primero hay que comprenderlo. Se debe leer con mucho cuidado y explorar hasta entender las relaciones dadas en la información proporcionada. Para eso, se puede responder a preguntas como:

• ¿Qué dice el problema? ¿Qué pide? • ¿Cuáles son los datos y las condiciones del problema? • ¿Es posible hacer una figura, un esquema o un diagrama? • ¿Es posible estimar la respuesta?

Fase 2: Elaborar un plan.

En este paso se busca encontrar conexiones entre los datos y la incógnita o lo desconocido, relacionando los datos del problema. Se debe elaborar un plan o estrategia para resolver el problema. Una estrategia se define como un artificio ingenioso que conduce a un final. Hay que elegir las operaciones e indicar la secuencia en que se debe realizarlas. Estimar la respuesta.

Algunas preguntas que se pueden responder en este paso son:

• ¿Recuerda algún problema parecido a este que pueda ayudarle a resolverlo?

• ¿Puede enunciar el problema de otro modo? Escoger un lenguaje adecuado, una notación apropiada.

• ¿Usó todos los datos?, ¿usó todas las condiciones?, ¿ha tomado en cuenta todos los conceptos esenciales incluidos en el problema?

• ¿Se puede resolver este problema por partes? • Intente organizar los datos en tablas o gráficos. • ¿Hay diferentes caminos para resolver este problema? • ¿Cuál es su plan para resolver el problema?

Fase 3: Ejecutar el plan.

Se ejecuta el plan elaborado resolviendo las operaciones en el orden establecido, verificando paso a paso si los resultados están correctos. Se aplican también todas las estrategias pensadas, completando –si se requiere– los diagramas, tablas o gráficos para obtener varias resolver el problema. Si no se tiene éxito se vuelve a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito.

Fase 4: Mirar hacia atrás o hacer la verificación.

En el paso de revisión o verificación se hace el análisis de la solución obtenida, no sólo en cuanto a la corrección del resultado sino también con relación a la posibilidad de usar otras estrategias diferentes de la seguida, para llegar a la solución. Se verifica la respuesta en el contexto del problema original.

En esta fase también se puede hacer la generalización del problema o la formulación de otros nuevos a partir de él. Algunas preguntas que se pueden responder en este paso son:

• ¿Su respuesta tiene sentido? • ¿Está de acuerdo con la información del problema? • ¿Hay otro modo de resolver el problema? • ¿Se puede utilizar el resultado o el procedimiento que ha empleado para

resolver problemas semejantes? • ¿Se puede generalizar?

III. CAJA MACKINDER

La caja Mackinder es uno de los elementos que ayudan a una mayor comprensión de las matemáticas en los niños y adolescentes, tiene que ver con asumir un enfoque metodológico más amable, lúdico, y cercano a los alumnos. Esto permite garantizar mayores niveles de comprensión de la

ciencia matemática.

Bajo este contexto, cobra relevancia la utilización de elementos prácticos, y de un coste muy bajo, entre los que se encuentra “La Caja Mackinder”.

La caja mackinder, es un instrumento para enseñar las operaciones básicas, suma, resta, división y multiplicación, para separar un subconjunto de un conjunto y sustracción de cardinales. Descomposición y recomposición en estructura aditiva de números. Es utilizada en Educación Diferencial, Párvulos, Enseñanza Básica (NB1 y NB 2).

¿Cómo elaborar una Caja Mackinder?

Para Elaborar la Caja mackinder, puedes buscar un cartón en forma rectangular, colocar una caja de fósforos grande en el centro, y a su alrededor 5 cajitas de fósforos pequeñas, la parte del centro es el todo y las pequeñas las partes.

Las cajas serán los grupos a representar y los fósforos serán los elementos a representar.

Ejemplo de Aplicación.

El docente invita a realizar los cálculos de las cantidades totales necesarias para la celebración. Para ello plantea problemas tales como: Hay ocho mesas y cada una debe tener 2 bebidas. ¿Cuántas bebidas se necesitan? Hay ocho mesas y cada una debe tener 5 servilletas. ¿Cuántas servilletas se necesitan? En cada mesa se sentarán 5 niños/as. Si a cada niño/a le daremos 5 masticables, ¿cuántos masticables necesitamos por mesa? Si son 8 mesas y necesitamos 25 masticables para cada una, ¿cuántos masticables necesitamos en total? En cada mesa se sentarán 5 niños/as. Si a cada niño/a le daremos 3 panes, ¿cuántos panes necesitamos por mesa? (Comentario) Cuando se habla de mesas se asocia las cajas de fósforos por lo que si se toma literalmente en la descripción de este material sólo se podrá trabajar con un máximo de cinco grupos, mesas, personas, cajas, etc.

IV. REGLETAS DE CUISENAIRE

Los educacionalistas María Montessori y Friedrich Froebel usaron regletas para representar números.

Fue Georges Cuisenaire1 (1891-1976) quien las introdujo para su uso con profesores a lo largo de todo el mundo a partir de la década de 1950. Cuisenaire fue un profesor de escuela primaria de Bélgica, que publicó un libro sobre su uso en 1952, llamado Los números en colores, propone que el niño debe aprender por medio de la acción, ya que al experimentar aprende a relacionar, puede autocorregirse y aprende de su propia experiencia. Descubrió además, que los niños al usar el

material adquirían gran capacidad para la aritmética -se confirmó después en 60 países- por tanto, su idea sobre la enseñanza activa se resume en:

“La visión se asocia a la acción, la comprensión, el cálculo, y la comprobación”

El uso de regletas es para la enseñanza tanto de las matemáticas como de idiomas fue desarrollado y popularizado por Caleb Gattegno, en muchos países de todo el mundo.

Las regletas de Cuisenaire son un versátil juego de manipulación matemática utilizado en la escuela, así como en otros niveles de aprendizaje e incluso con adultos. Se utilizan para enseñar a una amplia variedad de temas matemáticos, como las cuatro operaciones básica, fracciones, área, volumen, raíces cuadradas, resolución de ecuaciones simples, los sistemas de ecuaciones, e incluso ecuaciones cuadráticas.

Aunque se utilizan principalmente para las matemáticas, también se han vuelto populares en el aula de enseñanza de idiomas, en particular, The Silent Way. Pueden ser usadas para enseñar temas como preposiciones de lugar, frases y pronunciación

En el sistema, hay 10 regletas de 1 cm a 10 cm. A las regletas de igual longitud se les asigna el mismo color.

Las regletas de Cuisenaire siguen este sistema:

Regleta Blanca = 1 cm.

Regleta Roja = 2 cm.

Regleta Verde claro = 3 cm.

Regleta Carmín = 4 cm.

Regleta Amarilla = 5 cm.

Regleta Verde Oscuro = 6 cm.

Regleta Negra = 7 cm.

Regleta Café = 8 cm.

Regleta Azul = 9 cm.

Regleta Naranja = 10 cm.

Objetivos a conseguir:

Asociar la longitud con el color.

Establecer equivalencias.

Formar la serie de numeración de 1 a 10.

Comprobar la relación de inclusión de la serie numérica.

Trabajar manipulativamente las relaciones “mayor que”, “menor que” de los números basándose en la comparación de longitudes.

Realizar diferentes seriaciones.

Introducir la composición y descomposición de números.

Iniciar las operaciones suma y resta de forma manipulativa.

Comprobar empíricamente las propiedades conmutativa y asociativa de la suma.

Iniciarlos en los conceptos doble y mitad.

Realizar repartos.

Como presentarlas por primera vez con los más pequeños y cómo puedes usarlas para despertar interés en ellas. Mediante el Juego libre, presentaremos las regletas para que las manipulen, vean los colores, tamaño y diferencias de peso. Haremos trenes, torres y figuras, cada vez con más regletas. Nota: No importando la edad o necesidad específica del niño, debemos dejar que se familiarice con las regletas. Agruparán por tamaños y por colores, después iniciamos con escaleras ascendentes y descendentes:

Estas actividades se pueden trabajar individualmente, en parejas y en equipos no mayores a 6 niños. Cuando hemos visto que el material ha sido reconocido por los niños comenzamos con el concepto del número 1. Iniciamos presentando la regleta blanca y le ayudamos a buscar la siguiente en orden creciente, añadiendo otra blanca y comparándola con la del número correspondiente:

Otras ideas útiles para interiorizar el conocimiento es hacer ejercicios de mesa (en papel) para que de esta forma los niños se vayan habituando a los que se realizan comúnmente en las escuelas; por ejemplo, cuando se trabajan los colores, pueden relacionar un manchón en papel con determinada regleta, o bien repasar la silueta de cada una, relacionarla con la regleta y después colorearla (asociación visual). También inventar juegos como poner una de cada una en una bolsa oscura y con los ojos cerrados meter la mano y adivinar cuál es. Podemos hacer casi cualquier cosa con este material, aún sin conocimientos previos podemos crear muchas actividades que favorezcan el aprendizaje.

V. MINICOMPUTADOR DE PAPY

El minicomputador de Papy, es un ejercitador que nos permite desarrollar en los niños conceptos como la composición y descomposición de números utilizando el esquema multiplicativo y aditivo. Además, otra estrategia que permite el minicomputador de Papy es realizar las operaciones SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN, de las cuales nos encargaremos en esta experiencia de aula.

Podemos comenzar diciendo que, Frédérique Papy matemático belga, creó esta máquina para que los niños de los primeros grados se familiarizaran con los sistemas de numeración y llegaran a la comprensión de los distintos tipos de agrupaciones por medio del juego de cambios.

A continuación presentamos la máquina mini-computadora:

Los chicos juegan con fichas, con semillas, garbanzos, lentejas o cualquier otro tipo de objetos pequeños que ellos puedan manipular con facilidad haciendo los cambios. Por esta razón, el minicomputador de Papy (MIC), se destaca como sistema de representación y la conexión que hace entre este material didáctico y la comprensión por parte de los niños de las estructuras multiplicativas y aditivas.

A continuación presentamos una descripción del mismo:

1. Este juego útil de trabajo está basado en las regletas de

CUISINIERE de las que toma el valor de sus colores.

2. Es un cuadrado dividido en cuatro partes iguales también cuadradas con los siguientes colores: blanco, rojo, rosa y marrón.

3. El material puede ser madera de balsa o cartón duro.

4. Cambiamos los colores de estos cuadrados para no vernos sujetos a los valores de las regletas, estableciéndolos así: verde, amarillo, azul y rojo.

5. Ampliamos así el objetivo de agrupar en base dos para poder hacerlo en todas las bases.

3. Descripción general de la experiencia de aula

Objetivos que se cumplen con el minicomputador:

1. Ejercitar el sistema de agrupaciones y pasar a unidades de orden superior.

2. Automatizar el paso de una base a otra.

3. Pasar de una base al sistema decimal, realizando agrupación-transformación (que implica dividir) y el camino inverso- descomposición (que implica multiplicar).

4. Facilitar la comprensión de como se forman los números enteros.

5. Agilizar y automatizar el cálculo.

6. Acostumbrar a los niños a operar de derecha a izquierda y a leer los números de izquierda a derecha.

A continuación presentamos algunos componentes para tener en cuenta en su aplicación:

Proceso: La forma de funcionamiento del minicomputador está basada en la agrupación bajo consigna y se considera que cada cuadrado tiene el valor que se le asigne según la base en que se opere.

Regla fundamental: En cada cuadrado no puede haber un número igual o mayor al de la base tomada como modelo.

Automatización: El funcionamiento del minicomputador es como el de una máquina de transformar, de manera que en el primer cuadrado de la derecha entran las unidades, que agrupadas según la consigna dada constituyen una unidad de orden dos, y así sucesivamente...

En base 3: cada 3 unidades en el cuadrado rojo, equivalen a una en el cuadrado azul, cuando éste esté ocupado por tres, equivaldrá a una en la posición amarilla. Por ende, El niño con esta consigna, va entrando por el cuadrado rojo sus objetos y agrupándolos según la consigna establecida, hasta agotar todo el material expuesto.

Como máquina de imaginar: Anulando la regla fundamental, pero manteniendo el valor de cada cuadro en una determinada base, se invita a los niños a que representen de todas la formas posibles, un número en base decimal, trabajando

con ello la descomposición de un número en todos los sumandos posibles y propiedades de la suma como la asociativa y la conmutativa.

Operaciones: Para sumar podemos utilizar indistintamente fichas de igual o distinto color para representar los sumandos. Representados los distintos sumandos en el minicomputador se procede a agrupar fichas de acuerdo con las reglas establecidas, hasta obtener una formación, que es el resultado final.

La suma se realiza utilizando tres minicomputadores, dos de ellos son los sumandos y el tercero para los resultados, se colocan como las sumas sobre el papel una encima del otro y el vacío debajo de los dos.

Siguiendo el proceso anterior se suman color a color comenzando por el rojo y realizando con los resultados la misma agrupación y la misma consigna.

Ejemplo: calculemos 14 + 23 =

MULTIPLICACIÓN POR UNA CIFRA: Se expresa como una suma de sumandos iguales y se actúa con las mismas reglas de la suma, es decir, agrupando.

Ejemplo: 13 x 3 = 39

DIVISION: Observemos que hay tres minicomputadores uno de unidades, de decenas y otro de centenas. Cada uno con un color y un valor que los distingue.

CENTENAS DECENAS UNIDADES

La siguiente condición nos llevará a buscar un número.

Formemos el número 2.872 utilizando únicamente el color verde iniciando con el minicomputador de centenas de la siguiente forma.

Con el minicomputador de centenas llegamos hasta el 2.400, si le agregamos otra ficha nos pasamos, entonces restamos el número al cual debemos llegar con el que obtuvimos, así

En el minicomputador se tiene un puntaje de 400 ese valor se lo resta a 472.

472

- 400

72

El número que resultó se lo reparte en el minicomputador de unidades.

Para colocar el número 72 en el minicomputador de unidades se utilizan 9 fichas en el color verde. Y lo restamos.

72

- 72

0

Veamos un ejercicio completo.

1. Utilizando solo el color verde con valor de 8 se formará el número 3.072

Centenas Decenas Unidades

3.072

- 2.400

672

- 640

32

-32

0

Ahora observemos cuántas fichas hay en cada minicomputador: en el de centenas hay 3 fichas en el de decenas hay 8 fichas y en el de unidades hay 3 fichas. 384

Comparemos la resta con la división por resta.

3.072

- 2.400

672

- 640

32

-32

0

El número de fichas que hay en cada

Minicomputador es 384

Logros

Desarrollo de competencias de tipo argumentativo.

Comprensión lógica de los procesos utilizados en el desarrollo de las operaciones básicas de la matemática.

Desarrollo de un pensamiento lógico y estructurado.

Facilidad para argumentar la razón de las respuestas a dadas a determinados problemas numéricos.

El interés y agrado que demuestran los estudiantes al trabajar con esta estrategia lúdica en las clases.

Habilidad de los estudiantes al resolver problemas de estimación y cálculo mental.

Dificultades

Adaptación de los nuevos estudiantes a la propuesta pedagógica.

Errores en el proceso de cálculo de los números representados en el minicomputador.

VI. TANGRAM

El Tangram (chino: 七巧板, pinyin: qī qiǎo bǎn; "siete

tableros de astucia", haciendo referencia a las cualidades que el juego requiere) es un juego chino muy antiguo, que consiste en formar siluetas de figuras con las siete piezas dadas sin solaparlas. Las 7 piezas, llamadas "Tans", son las siguientes:

5 triángulos rectángulos, dos construidos con la diagonal principal del mismo tamaño, los dos pequeños de la franja central también son del mismo tamaño.

Esta es la configuración

normal de las piezas del

Tangram

1 cuadrado

1 paralelogramo o romboide

Normalmente los "Tans" se guardan formando un cuadrado.

Existen varias versiones sobre el origen de la palabra Tangram, una de las más aceptadas cuenta que la palabra la inventó un inglés uniendo el vocablo cantonés "tang" que significa chino, con el vocablo latino "grama" que significa escrito o gráfico. Otra versión dice que el origen del juego se remonta a los años 618 a 907 de nuestra era, época en la que reinó en China la dinastía Tang de donde se derivaría su nombre.

Historia del Tangram

El Tangram se originó muy posiblemente a partir del juego de muebles yanjitu durante la dinastía Song. Según los registros históricos chinos, estos muebles estaban formados originalmente por un juego de 6 mesas rectangulares. Más adelante se agregó una mesa triangular y las personas podían acomodar las mesas de manera que formaran una gran mesa cuadrada. Hubo otra variación más adelante, durante la dinastía Ming, y un poco más tarde fue cuando se convirtió en un juego.

Hay una leyenda que dice que un sirviente de un emperador chino llevaba un mosaico de cerámica, muy caro y frágil, y tropezó rompiéndolo en pedazos. Desesperado, el sirviente trató de formar de nuevo el mosaico en forma cuadrada pero no pudo. Sin embargo, se dio cuenta de que podía formar muchas otras figuras con los pedazos.

No se sabe con certeza quién inventó el juego ni cuándo, pues las primeras publicaciones chinas en la aparece son del siglo XVIII, y entonces el juego era ya muy conocido en varios países. En China, el Tangram era muy popular y se consideraba un juego para mujeres y niños.

A partir del siglo XVIII, se publicaron en América y Europa varias traducciones de libros chinos en los que se explicaban las reglas del Tangram, el juego era llamado "el rompecabezas chino" y se volvió tan popular que lo jugaban niños y adultos, personas comunes y personalidades del mundo de las ciencias y las artes; el tangram se había convertido en una diversión universal. Napoleón Bonaparte se convirtió en un verdadero especialista en Tangram desde su exilio en la isla de Santa Elena.

Paradojas

Una paradoja del tangram es una falacia aparente en la composición de figuras. Por ejemplo, dos figuras compuestas por el mismo conjunto de piezas, una de las cuales parece ser un subconjunto de la otra.1 Una de estas famosas paradojas es la de los dos monjes, atribuida a Dudeney, la cual consiste en dos formas

similares, una con pie y otra sin él.2 La otra fue propuesta por Sam Loyd en The Eighth Book Of Tan:

La séptima y octava figuras representan el cuadrado misterioso, construido con siete piezas. Hay una esquina que se suprime y, aun así, el resultado sigue

teniendo siete piezas.

Estas aparentes paradojas son, en realidad, falacias. Por ejemplo, en el caso de los dos monjes mencionados más arriba, el pie de uno de ellos se compensa, en realidad, por un cuerpo ligeramente mayor en el otro.

La paradoja de los dos monjes: dos figuras similares, pero una con un pie menos.

Paradoja de la taza mágica, de libro de Sam Loyd Eighth Book of Tan(1903). Cada una de estas tazas fue compuesta usando las mismas siete formas geométricas, pero la primera está completa y las otras tienen huecos de distintos tamaños.

La paradoja del cuadrado, del libro de Sam Loyd Eighth Book of Tan (1903)

En cuanto a las figuras que pueden realizarse con el Tangrama, la mayor parte de los libros europeos copiaron las figuras chinas originales que eran tan sólo unos cientos. Para 1900 se habían inventado nuevas figuras y formas geométricas y se tenían aproximadamente 900. Los primeros libros sobre el tangrama Se concedía más atención al juego mismo y sus siete componentes, de forma que el tangrama era producido y vendido como un objeto: tarjetas con las siluetas, piezas de marfil y envoltorios en forma de caja, etc. En los libros aparecían unos cuantos cientos de imágenes, en su mayor parte figurativas, como animales, casas y flores, junto a una escasa representación de formas muy extrañas.

Figuras: Una de las

tantas figuras que se

pueden realizar.

Usos actuales

Hoy en día, el Tangram se usa como entretenimiento, en psicología, en educación física, en diseño, en filosofía y particularmente en pedagogía. En el área de enseñanza de las matemáticas el Tangram se emplea para introducir conceptos de geometría plana, y para promover el desarrollo de capacidades psicomotrices e intelectuales de los niños, pues permite ligar de manera lúdica la manipulación concreta de materiales con la formación de ideas abstractas.

VII. BLOQUES MULTIBASE

Los bloques multibase se utilizan para facilitar la comprensión de la estructura del sistema de numeración decimal y las operaciones fundamentales.

Se emplean, principalmente, en los procesos iniciales de enseñanza y aprendizaje de los alumnos de primer ciclo.

Los bloques multibase están compuestos por una determinada cantidad de cubos, barras, placas y bloques (cajas). Pueden construirse en madera, plástico u otro material resistente a la manipulación.

Los cubos tienen una medida aproximada a un centímetro cuadrado en cada una de sus caras. Las barras equivalen a diez cubos, las placas contienen diez barras, y los bloques están conformados por diez placas.

La utilización de este material permite representar números y operaciones y realizar operaciones.

1. Representación de números

El proceso de representación numérica debe realizarse en forma gradual. Inicie con la representación de números de un dígito y aumente, progresivamente, su dificultad. Los bloques multibase permiten observar los cambios de unidad de orden, de unidades a decena, de decenas a centena y de centenas a unidad de millar. Se utilizan para representar números naturales, establecer equivalencias y representar números decimales.

Metodología

a) Inicialmente, se representan con cubos, números de un dígito hasta llegar al 9, luego se añade una unidad y se cambian los 10 cubos por una barra

b) Posteriormente, se procede a realizar representaciones con cubos y barras hasta el número 99. Luego, se agrega un cubo para realizar el cambio del número 99 al 100.

El número 99 se representa utilizando 9 cubos y 9 barras y, el número 100, se puede representar inicialmente con 9 barras y 10 cubos, para luego introducir el cambio de los 10 cubos por una barra, y así establecer la equivalencia entre 10 barras y 1 placa.

c) Una vez dominado el trabajo con cubos, barras y placas; introduzca el número mil. Hágalo de la misma forma que el punto b), agregue un cubo, represente el número mil y establezca las equivalencias correspondientes.

2. Realización y representación de operaciones

Los bloques multibase permiten resolver y representar las cuatro operaciones fundamentales: suma, resta, multiplicación y división.

Se pueden resolver operaciones con números naturales y decimales.

Suma

a) Represente los sumandos por separado. Luego, junte las representaciones y realice el total. Inicie con operaciones sencillas donde no haya que hacer transformaciones en el total o resultado.

Ejemplos:

3 + 5 =

10 + 7 =

21 + 8 =

b) Después, introduzca sumandos que permitan hacer transformaciones con el total o resultado. Es decir, si en el resultado hay 10 o más cubos sustitúyalos por barras y deje solamente la cantidad de cubos menor a 10.

c) Una vez dominada la transformación de cubos a barras (unidades a decenas), continúe, con operaciones que permitan transformaciones de barras a placas (decenas a centenas) y, finalmente, de placas a cubos (centenas a unidad de millar).

Ejemplos:

27 + 5 =

46 + 37 =

86 + 69 =

125 + 238 =

567 + 725 =

Resta

a) Represente el número del minuendo, luego, a esa representación del minuendo, retire la cantidad que representa el sustraendo. Inicie con operaciones sencillas que no requieran transformaciones.

Ejemplos:

9 – 5 =

19 – 3 =

29 – 8 =

b) Luego, introduzca operaciones que requieran transformaciones (pedir prestado). Aumente progresivamente la dificultad. Inicie con operaciones que requieran transformaciones de barras a cubos.

Ejemplos:

12 – 5 =

45 – 7 =

62 – 38 =

c) Después, continúe con transformaciones de placas a barras y cubos. Finalmente, transformaciones de bloque a placas, barras y cubos.

Ejemplos:

145 – 77 =

353 – 199 =

1245 – 896 =

d) Tome en cuenta que, en la resta, las transformaciones se realizan de una unidad mayor a una unidad menor.

Multiplicación

a) Represente la cantidad y el número de veces que se repite, cambiando el orden de los factores. Es decir, si se multiplica 11 x 4 , realice la representación de 11 veces 4 y 4 veces 11, o sea 44, haciendo las transformaciones necesarias para obtener cuatro barras y cuatro cubos. Aumente la dificultad de las operaciones y transformaciones en forma progresiva. Ejemplos:

2 * 3 =

3 * 6 =

12 * 4 =

25 * 6 =

126 * 8 =

b) Una vez dominadas estas transformaciones puede introducir variantes. Por ejemplo, en la multiplicación 215 x 3, primero se hace la representación de 215 (dos placas, una barra y tres cubos) y, luego las multiplicaciones en forma individual, dos placas (200) por 3, una barra (10) por 3 y cinco cubos (5) por 3, para juntarlos todos y encontrar el producto o resultado.

c) Los bloques multibase se pueden utilizar para representar áreas y comprobar la propiedad conmutativa de la multiplicación. Ejemplo: 23 x 4 se puede representar como 23 veces 4 ó 4 veces 23; se agrupan las barras y cubos, para luego comprobar que representan la misma área.

División

a) Se representa el dividendo y se reparte o divide en tantos grupos como indica el divisor.

b) Inicie el proceso de repartición por la unidad de orden superior en el dividendo.

c) Ejemplo: en la operación 1215 ÷ 5 = inicie por la unidad de millar.

1. Considere el bloque que representa la unidad de millar. Como no se puede repartir, se transforma en placas. Ahora se tienen 10 placas, más 2 que hay en las centenas, en total hay 12 placas, que si se pueden repartir en 5 grupos. Le corresponde 2 placas a cada grupo y sobran 2 placas.

2. Estas 2 placas que sobran se transforman en barras, ahora se tienen 20 barras, más 1 que hay en las decenas, en total hay 21 ba rras. Le corresponde 4 barras a cada grupo y sobra 1 barra.

3. Esta barra que sobra se transforma en cubos, ahora se tienen 10 cubos, más 5 que hay en las unidades, en total hay 15 cubos, que repartidos en 5 grupos, le corresponde 3 cubos a cada grupo.

4. Finalmente, tenemos como resultado en cada grupo 2 placas, 4 barras y 3 cubos, que corresponde al número 243.

d) Aumente, progresivamente, la dificultad de las operaciones y de las transformaciones.

Operaciones con decimales

a) Los decimales se trabajan cambiando la unidad de base. Es decir, si en las operaciones anteriores la unidad básica era el cubo, ahora se puede considerar la placa como la unidad, entonces las barras representan los décimos y los cubos los centésimos.

b) Si se desea trabajar con milésimos se debe variar la unidad básica. Entonces, el bloque representa la unidad, las placas los décimos, las barras los centésimos y los cubos los milésimos.

c) En la multiplicación se opera con valores entre 0 y 1 en el multiplicador. Si se quiere realizar la siguiente operación 4 x 0,5 se debe interpretar como 4 repetido 0,5 veces ó 4 repetido la mitad de las veces, que corresponde a 2. Es decir, 4 placas repetidas la mitad de las veces son 2 placas.

d) En la división se opera con valores entre 0 y 1 en el divisor.

e) Si se quiere realizar la siguiente operación 3 ÷ 0,5 = se procede a realizar grupos como indica el divisor, es decir, grupos de cinco décimas (5 barras, si se tiene la placa como la unidad). Para resolver la operación se transforma el 3 (placas) en barras, entonces 3 placas equivalen a 30 barras, luego se procede a formar grupos de cinco décimas. Con las 30 barras se pueden formar 6 grupos de cinco décimas, y obtener 6, como respuesta, resultado o cociente de la operación.

VIII. BARRAS NUMÉRICAS PEQUEÑAS MONTESSORI

Las barras numéricas azules y rojas se utilizan para el concepto de cantidad, relacionar cantidad símbolo, concepto de longitud y las primeras iniciaciones con el sistema métrico decimal. Se trata de dos juegos de 10 barras en las que cada centímetro está pintado de color, alternando en rojo y azul.

Como presentar las barras numéricas hay diferentes presentaciones o fases en progresión de dificultad:

En una primera presentación, se hace un primer reconocimiento sensorial de la longitud de las barras, presentamos las barras ordenadas y se va enseñando cada barrita y diciendo, - "este es el cinco" y contamos 1,2,3,4,5.

Y así vamos ordenando de nuevo las barras:

En una segunda presentación se pasa a la numeración, exponiendo los números en la parte superior y realizando de nuevo la escalera pero esta vez poniendo los números que corresponden:

Cada vez que se coloca una nueva barra la cogemos y decimos este es el 3, contamos los colores, 1,2, y 3 y cuando íbamos a coger el cuadrado de madera donde pone el número decíamos -"Aquí dice tres"

Es importante que el niño sienta cada una con sus manitas, que las toque, las recorra con sus manos, que sienta la longitud de la cantidad.

Y que cuente tocando con los deditos el número que es:

Hay que ver cómo imaginan los niños por ejemplo una forma que ellos tienen es empezar a jugar como si las barritas fuesen trenes.

Este material es autocorrectivo ya que como dice Maria Montessori en El método de la Pedagogía científica, el conjunto tiene la apariencia de un triangulo rectángulo escalonado en la hipotenusa, si el conjunto no se monta bien se altera la regularidad de la escalera que forma la hipotenusa. Así mismo, como hacíamos con la Torre Rosa si cogemos la pieza del uno y la llevamos a través de la escalera, se puede comprobar también si está bien ordenado.

Al haber 2 juegos de barras podemos jugar a construir números realizando así operaciones de sumas, vamos cogiendo una barra de cada juego para ir formando un número determinado, que es la barrita que ponemos primero:

Y así podemos ver de una forma sensorial y manipulativa que 10 es igual que 9+1, o que 8+2, o que 7+3... Hemos ido probando varios números...

También vemos la diferencia porque al poner de referencia un número, pongamos de ejemplo 9 y cogemos del primer grupo de barras el número 6 hay que contar cuántos cuadritos nos faltan para llegar a 9, en este caso 3. Acabamos de hacer una resta indirectamente.

También hemos estado haciendo sumas hasta 10 utilizando unos signos de sumar y de igual:

Al ser barritas que representan un número les resulta muy fácil de calcular, cuentan el total de los cuadritos y ya tienen el resultado. Después cogemos una barrita de lo que se ha estimado que es el resultado y se comprueba si hemos acertado.

También estuvimos relacionando las barritas con la escalera corta de perlas emparejando cada barrita de perlas con su correspondiente barra azul y roja.

IX. LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS, SEGÚN ALAN SCHOENFELD

La resolución de problemas, según Alan Schoenfeld (1985). Este investigador se considera continuador de la obra de Pólya, sin embargo sus trabajos están enmarcados en otra corriente psicológica, la del procesamiento de la información. Sus investigaciones se han centrado en la observación de la conducta de expertos y novicios resolviendo problemas. Su trabajo juega un papel importante en la implementación de las actividades relacionadas con el proceso de resolver problemas en el aprendizaje de las matemáticas y se fundamenta en las siguientes ideas:

• En el salón de clase hay que propiciar a los estudiantes condiciones similares a las condiciones que los matemáticos experimentan en el proceso de desarrollo de esta ciencia.

• Para entender cómo los estudiantes intentan resolver problemas y consecuentemente para proponer actividades que puedan ayudarlos es necesario discutir problemas en diferentes contextos y considerar que en este proceso influyen los siguientes factores:

El dominio del conocimiento, que son los recursos matemáticos con los que cuenta el estudiante y que pueden ser utilizados en el problema; tales como intuiciones, definiciones, conocimiento informal del tema, hechos, procedimientos y concepción sobre las reglas para trabajar en el dominio.

• Estrategias cognoscitivas, que incluyen métodos heurísticos; por ejemplo, descomponer el problema en casos simples, establecer metas relacionadas, invertir el problema, dibujar diagramas, el uso de material manipulable, el ensayo y el error, el uso de tablas y listas ordenadas, la búsqueda de patrones y la reconstrucción del problema.

• Estrategias metacognitivas que se relacionan con el monitoreo y el control. Están las decisiones globales con respecto a la selección e implementación de recursos y estrategias; es decir, acciones tales como planear, evaluar y decidir.

• El sistema de creencias, que se compone de la visión que se tenga de las matemáticas y de sí mismo. Las creencias determinan la manera como se aproxima una persona al problema, las técnicas que usa o evita, el tiempo y el esfuerzo que le dedica, entre otras.

Como dice Luis Roberto Dante, “enseñar a resolver problemas es más difícil que enseñar conceptos, habilidades o algoritmos matemáticos. No es un mecanismo directo de enseñanza, pero sí una variedad de procesos de pensamiento que necesitan ser cuidadosamente desarrollados por el estudiante con el apoyo e incentivo del docente”.

X. BLOQUES LÓGICOS DE DIENES

Conocer el marco teórico y su aplicación “La lógica matemática por medio de los bloques lógicos”, propuesta de Dienes y Ggolding, como recurso de intervención psicopedagógica.

Introducción a la lógica matemática por medio de los bloques lógicos La utilización de los bloques lógicos, como mediadores para el establecimiento de los esquemas básicos del razonamiento lógico matemático, tiene las siguientes ventajas pedagógicas:

Proporciona un soporte material para la fijación de esquemas de razonamiento.

La forma en que los estudiantes realizan la actividad con ellos, constituye un indicador de las competencias necesarias para el desarrollo del pensamiento lógico. El maestro puede detectar, en el alumno, dificultades clasificatorias, que ya consideraba superadas.

El desarrollo del cálculo proposicional, a través de las actividades propuestas con este material, permite asimilar los contenidos proposicionales, eliminando las dificultades de tipo sicológico que se involucran, cuando se trabaja sobre enunciados del lenguaje ordinario.

Las operaciones lógicas se plasman en la formación de los conjuntos que verifican las propiedades expresadas por dichas operaciones. La lógica se va desarrollando a la par con la teoría de conjuntos.

Presentación de los bloques lógicos. Se trata de un conjunto de 48 piezas, que consta de:

Tres colores: amarillo, azul y rojo.

Cuatro formas: cuadrado, rectángulo, círculo, triángulo.

Dos tamaños: grande, pequeño.

Dos espesores: grueso, delgado. Se tienen, entonces, cuatro variables, cuyos valores producen 48 figuras diferentes, el producto de 3 x 4 x 2 x 2. Juego de la pieza escondida. Un joven esconde una pieza. El resto del equipo tiene que descubrir cuál ha sido la pieza escondida. Inicialmente, se permite que los jóvenes manipulen los bloques y hagan sus ordenaciones. Más adelante, se les sugiere que descubran la pieza que falta sin tocar las demás. Una variación, más complicada, podría ser esconder tres piezas escogidas, por ejemplo tres colores distintos, pero de la misma forma, del mismo tamaño y del mismo grosor.

Juego de negación con dos equipos. Finalidad del juego: Si una cosa está en un determinado sitio, no puede estar al mismo tiempo en otra parte. (Principio de no contradicción). Se forman dos equipos; se colocan a lado y lado de una mesa con una pantalla de separación, de modo que cada equipo pueda observar sus bloques únicamente. Cada equipo posee 24 bloques elegidos al azar. Se trata de que cada equipo debe pedir al otro los bloques que posee, designándolos con los cuatro atributos. Cuando un bloque ha sido pedido una vez, no puede volver a pedirse.

Juego de las respuestas y deducciones. Para este juego, deben tenerse unas tarjetas con las siguientes inscripciones: no, grueso, delgado, grande, pequeño, cuadrado, rectángulo, círculo, triángulo, amarillo, azul y rojo. Un joven piensa en un bloque y, seguidamente, sus compañeros le formulan preguntas como: ¿es grande? ¿Es rojo?... A estas preguntas, el joven responde sí o no. Cada vez que se hace una pregunta, se coloca en la mesa la tarjeta donde está escrita la propiedad preguntada. Si la respuesta es negativa, se coloca la tarjeta con la palabra no, a la izquierda de la tarjeta correspondiente a la pregunta; si es afirmativa, basta dejar la tarjeta en su lugar. De esta manera, se va conformando una columna con las respuestas dadas por el joven. Se puede formar otra columna al frente de la de las respuestas, en esta se colocan las deducciones que los muchachos sacan de las respuestas.

Juegos de diferencia. Juego con una diferencia: Entre dos bloques lógicos hay, por lo menos, una diferencia. El juego siguiente sirve para ayudar a los muchachos a tomar conciencia de estas diferencias y semejanzas. Alumno coloca una pieza cualquiera del conjunto encima de la mesa. El alumno siguiente elegirá una pieza que difiera de la primera solamente en un atributo. Esta diferencia tendrá que referirse al tamaño, al grosor, al color o a la forma. El siguiente elegirá una pieza que se diferencie de la segunda, igualmente, por un solo atributo. El ejercicio continuará de esta manera, hasta que todas o casi todas las piezas estén colocadas en una hilera.

cuadrado amarillo pequeño delgado

círculo amarillo grande delgado

círculo amarillo grande grueso

cuadrado amarillo grande grueso

?

triángulo amarillo grande grueso

triángulo rojo grande grueso

rectángulo rojo grande grueso

rectángulo azul grande grueso

cuadrado azul grande grueso

cuadrado amarillo grande grueso

cuadrado rojo grande grueso

?

círculo amarillo grande delgado

círculo amarillo grande grueso

círculo azul grande grueso

triángulo amarillo grande grueso

triángulo rojo grande grueso

rectángulo rojo grande grueso