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Cahier du cours OPM3001 - Techniques quantitatives degestion

Eric LALLET , Jean-Luc RAFFY

TELECOM ÉCOLE DE MANAGEMENT - 1re ANNÉE

Année 2010-2011

Eric LALLET , Jean-Luc RAFFY 1

1 Présentation du module OPM3001 (TGQ)

1.1 Les objectifs d’OPM3001, Techniques quantitatives de gestion

L’objectif de ce cours est de vous présenter un éventail de techniques qui permettent d’optimiser desproblèmes classiques de gestion (durée d’un projet, gestion de stock, optimisation d’un profit, etc. . . ). Ilexiste de nombreux outils qui implémentent ces techniques et qui sauront faire tous les calculs à votreplace. Mais pour réussir à utiliser ces outils il vous faudradéjà savoir modéliser le problème pour le rendreconforme aux attentes de la technique utilisée. Donc le véritable enjeu de cours n’est pas de connaître lesalgorithmes des techniques, mais de savoir modéliser les problèmes pour pouvoir les utiliser. Mais il voussera impossible de faire cette modélisation si vous ne connaissez pas déjà parfaitement la technique visée.

Donc en résumé :– Ne perdez pas de vue que le véritable objectif de ce cours estde savoir modéliser les problèmes pour

utiliser une technique d’optimisation.– Sachez que vous ne pourrez faire cette modélisation que si vous maîtriser les techniques utilisées.

1.2 Le programme

Ce module se compose de 21h de cours-TD, d’un contrôle continu et d’un contrôle final. Éventuelle-ment, pour ceux qui s’attachent vraiment à ce sujet, un second contrôle final est prévu en septembre.

Les cours sont divisés en deux grandes parties :– La première repose sur les techniques utilisant les graphes. Elle durera 15h de cours-TD.– Le seconde concerne la programmation linéaire. Elle durera 6h de cours-TD.

Voici le programme plus détaillé :

TD1-2 : les problèmes d’ordonnancement.

TD3-4 : les arbres de recouvrement minimal.

TD5-6 : les recherches de plus court chemin.

TD7-8 : les calculs de flot maximal.

TD9-10 : les calculs de flot maximal à coût minimal.

Contrôle continu : le mardi 1er mars1 de 8h à 9h. Il porte sur tous les sujets précédents.

TD11-12 : programmation linéaire (méthode géométrique, et simplexe).

TD13-14 : programmation linéaire (dual) et révision générale.

Contrôle final 1 : le mercredi 30 mars entre 14h30 et 16h30. Il porte sur tout le programme.

Contrôle final 2 : rattrapage du module, le jeudi 1er septembre entre 14h et 16h. Il porte sur tout le pro-gramme.

1.3 Trois secrets pour échouer ce module

Pour échouer ce module, il faudra y mettre un peu du votre, mais il y a trois secrets qui permettent d’yarriver :

1. Le moyen le plus simple d’échouer est de ne pas venir en cours. Rien qu’avec ce premier secret onexplique 80% des échecs de ce module. Bien sûr beaucoup d’entre vous réussiraient ce module avecou sans les cours. Mais il se trouve que cette partie assiste généralement aux cours. Par contre ceuxqui n’y viennent pas en ont souvent besoin. Voici une petite anecdote pour illustrer mon propos :l’an dernier 50 étudiants ont échoué (ou ont été absents) au CF1. Lors du rattrapage, on a failli fairedemi-tour en entrant dans salle d’examen. Au début on pensait s’être trompé de salle, car alors qu’onétait censé connaître tous les étudiants, on ne reconnaissait aucune tête dans la salle. En s’y penchantde plus près, sur les 50 présents, on en a reconnu une petite dizaine. Tous les autres étaient parmi lesabsents récurrents des cours. . .

1les dates données dans ce cahier sont à titre indicatif. Il faut vérifier sur Gaspar les dates définitives

2 Eric LALLET , Jean-Luc RAFFY

2. Si vous tenez vraiment à venir aux cours, il vous suffit de nepas l’écouter soit en dormant, ou enlisant votre journal, ou encore mieux en discutant avec votre voisin. En fait s’est une version subtiledu premier secret : être absent, tout en étant dans la salle decours. En tant qu’enseignant, on atendance à préférer la première version, car là avec la seconde vous trichez. Vous aidez vos voisins àéchouer, alors qu’eux n’y ont pas mis du leur pour cela.

3. Si vraiment vous venez en cours et que vous l’écoutez, votre échec devient plus qu’improbable. Maisje vois encore un moyen d’y parvenir : ne poser aucune question quand vous ne comprenez pasquelque chose, et ne faites aucun des nombreux exercices quivous seront proposés durant les TDs.Tout cela pour vous dire que vous avez le droit de ne pas comprendre du premier coup, qu’aussigéniaux soient vos enseignants (si si !) ils n’ont peut-êtrepas trouvé d’entrée la bonne façon de vousexpliquer. Alors n’hésitez pas à poser une question, soit durant le cours à chaud, soit lorsque voustentez de faire un exercice et que vous voyez que ça bloque. Ils seront là pour trouver ce qui est malpassé, et vous le ré-expliquer.

Enfin, faites aussi attention : le mieux est l’ennemi du bien.Ce cours demande de dessiner beaucoupde graphes et tableaux. Il n’est pas toujours possible de prévoir à l’avance une belle mise en page de toutcela. Et chaque année je vois plein d’étudiants entrain de fignoler au propre le dessin du dernier grapheou tableau alors que le cours est déjà passé à l’étape suivante. Même si on fera un maximum pour vousattendre, il faut faire tenir le cours dans les horaires. Alors n’hésitez pas à tracer vos tableaux à main levéepour pouvoir suivre le cours, plutôt que d’avoir un tableau réglé au millimètre près en ayant loupé la moitiédes explications du cours.

1.4 Les exercices

Lors des cours de nombreux exercices vous seront proposés (et corrigés).

À la fin de chaque chapitre de la documentation de cours vous trouverez une série d’exercices sur lesujet abordé. Leur correction complète se trouve en annexe de cette même documentation. Dans la section«Modélisation» vous trouverez aussi une nouvelle série d’exercices corrigés, mais sans indication de latechnique à utiliser pour les résoudre (ce qui correspond aux conditions d’examen).

Dans ce cahier vous trouverez aussi deux sections d’exercices (sans correction) :– La première est classée par thème et servira lors des TDs à illustrer le cours.– La seconde («Libérerez les prisonniers») contient 6 exercices qui n’indiquent pas le type la technique

à utiliser.Entre deux cours, vous aurez à trouver parmi les 6, le ou lesquels se rapportent ausujet du cours réalisé et vous devrez le modéliser pour la séance suivante. Cette recherche de mo-délisation est très importante : vous ne pourrez appliquer une technique que si vous savez modéliser.

1.5 Les contrôles

Comme il est déjà dit précédemment dans le programme, deux contrôles, plus éventuellement un troi-sième pour ceux qui ont échoué, sont programmés.

Le premier est un contrôle continu d’une heure (le mardi 1er mars de 8h à 9h). Il ne porte que sur lestechniques reposant sur la théorie des graphes (TD 1 à 10, et chapitre 1 à 5 de la documentation du cours).Durant ce contrôle on ne vous demandera pas de construire le moindre modèle, mais juste savoir appliquerles techniques vues en cours. Il se fera sans document ni calculatrice. Il comportera environ 6 questions. Cequi vous laisse 10 minutes pour savoir mettre en œuvre la technique de bout en bout. Il vous faudra bien laconnaître. Un exemple de contrôle continu ainsi que sa correction vous sont fournis en annexe de ce cahier.

Arrive ensuite le contrôle final 1 (le mercredi 30 mars entre 14h30 et 16h30). Il concerne tout le pro-gramme vu en cours. Cette fois vous aurez 2 problèmes à résoudre en 2 heures. Les problèmes vous serontdonnés de façon informelle (un texte en français), et vous devrez trouver le modèle avant d’appliquer latechnique (et enfin d’interpréter vos résultats). La barèmemettra l’accent sur la modélisation (même s’il y atoujours quelques points sur la technique). Vos documents de cours et calculatrices seront autorisés, mais lemoyen de trouver le bon modèle commence par la maîtrise de la technique. Donc si vous ne la connaissezpas avant le contrôle, vous ne réussirez jamais à modéliser le problème. Un exemple de contrôle final ainsique sa correction vous sont fournis en annexe de ce cahier. Deplus vous trouverez les annales des troisdernières années (2008, 2009, 2010), avec sujets, corrections, barèmes détaillés et analyses des principaleserreurs à cette URL :http ://www-lor.int-evry.fr/ epsi/TQG/


Arrive enfin le contrôle de rattrapage, ou contrôle final 2 (lejeudi 1er septembre). Oui, il a lieu enseptembre et non pas en juin. Si vous avez envisagé d’être ailleurs à cette date, arrangez vous pour ne pasavoir besoin du rattrapage, car il ne sera pas déplacé. Pour éviter de venir au rattrapage il faut faire ensorte que(CC + 2 × CF1)/3 ≥ 10 (CC = votre note de contrôle continu, CF1 = votre note du contrôlefinal). Le CF2 est un problème semblable au CF1, mais jamais plus facile. Pour valider le module en cas derattrapage, il faut obtenir au moins 10 au CF2.

2 Exercices

2.1 Ordonnancement

Exercice 2.1.1

Un producteur de cinéma est confronté au problème du planning de son film, «Le chemin le plus long».Il vous soumet les tâches qui doivent être exécutées afin que vous l’aidiez à s’organiser.

Codede latâche

Définition Durée (jours) Antériorités

A Écriture du scénario 30B Choix et recrutement des comé-

diens12 ne peut commencer que 15 jours après le

début de AC Choix du lieu du tournage 8 ne peut commencer que 20 jours après le

début de AD Découpage technique 4 A et C doivent être terminéesE Préparation des décors 7 C et D doivent être terminéesF Tournage des extérieurs 10 A, B, C et D doivent être terminéesG Tournage des intérieurs 12 D,E et F doivent être terminéesH Synchronisation 3 F et G doivent être terminéesI Montage 14 H doit être terminéeJ Accompagnement sonore 7 Ne peut commencer que 3 après le début

de I et après la fin de HK Mixage 6 I et J doivent être terminéesL Tirage de la copie zéro 1 Ne peut commencer que 3 jours après la fin

de K

2.2 Arbre de recouvrement minimum

Exercice 2.2.1Conception d’un réseau de transmission de données

Une banque désire installer au moindre coût un réseau de transmission de données entre son agencecentrale située dans le quartier de la Bourse et sept de ses succursales.

Le coût de construction d’une ligne entre 2 agences est donnédans le tableau suivant (en unités moné-taires).

B O E R SL L N CBourseOpéra 5Étoile 18 17

République 9 11 27St-Lazare 13 11 23 20Louvre 12 12 15 15 6Neuilly 38 38 20 40 40 35Chatelet 22 15 25 25 30 10 45


2.3 Plus court chemin

Exercice 2.3.1Sécurisation d’un réseau

Le trafic issu de La Rochelle à destination de Chambéry est actuellement acheminé par la route sui-vante : La Rochelle, Limoges, Clermont-Ferrant, Lyon, Chambéry. Cependant pour répondre à des règlesde sécurité et de qualité, ce trafic doit être birouté. Un étatdes possibilités sur les différents arcs du réseaua été réalisé, et les arcs pouvant accueillir un surcroît de trafic sont ceux appartenant au graphe ci-joint.

Pour réaliser ce biroutage, les règles suivantes doivent être respectées :– La route existante est maintenue telle qu’actuellement– Les deux routes ne devront avoir aucun noeud en commun, à part les noeuds extrémités– La route devra être réalisée au meilleur coût (les coûts de liaison sont indiqués sur les arcs.Quelle sera cette deuxième route, et quel sera son coût ?

Le Mans Paris Troyes

Nantes Poitiers Orléans Nevers Dijon Lons

La Rochelle Limoges Clermont-Ferrant Lyon Chambéry

7

56

3

54

4 2

8 71

2

34

2

7

2

3

2

1

1

Exercice 2.3.2Gestion de production

Une unité de production de téléphones portables doit satisfaire durant 4 périodes consécutives aux de-mandesDi (i=1..4).

Elle peut produire de manière habituelle une quantitéMi durant la période i, au coût unitairePi. Ellepeut aussi pendant cette même période, produire en supplément une quantitéSi au coût unitaireQi> Pi.

Enfin le stockage est possible avec un coût de stockage par article et par période égal a K.

Sachant que les articles fabriqués durant la période i peuvent être utilisés pour satisfaire les demandesDj (j >= i), on cherche à établir un plan de production minimisant les coûts et permettant de satisfaire toutesles demandes.

Les données qui suivent sont en milliers de téléphones et lescoûts associés en milliers d’euros.

Période 1 2 3 4Di 30 40 60 80Mi 20 40 40 50Si 20 10 20 30Pi 100 120 150 200Qi 150 150 180 250

K=20 quelque soit la période (coût par millier).

Remarque : On commence et on termine avec un stock nul.

Exercice 2.3.3Logistique : Trafic du Beurre.


L’histoire se passe dans 7 pays : La France, les Pays-Bas, la Belgique, l’Allemagne, la Suisse, l’Italie etl’Espagne.

Dans chacun de ces pays le beurre a un prix différent. Certains surproduisent quand d’autres doiventimporter. Les gouvernements de ces pays décident de créer unorganisme de régulation afin d’aider lesproducteurs.

Pour cela chaque pays passe un accord commercial avec chacunde ces voisins sous forme d’aide auxproducteurs ou de taxes aux importations. Ceci peut se résumer en 2 tableaux (voir les tableau 1 et 2, lescoûts sont donnés en milliers d’euros pour 20 tonnes transportées).

Une société des Pays-Bas doit transporter son beurre jusqu’en Espagne. Elle décide de tirer parti desaccords passés et contacte dans chaque pays ses transitaires. Ses coût de transport sont donnés en milliersd’euros par 20 tonnes de beurre dans le tableau 3.

TAB . 1: TaxesPB B A S I F E

PBB 15 8 22A 5 5 15S 5I 15 8FE 5

TAB . 2: AidesPB B A S I F E

PB 15 5BA 10S 5 15IF 10 11 5 8 5E

TAB . 3: Coûts de transport et de manutentionPB B A S I F E

PB 2 4B 2 3 2A 4 3 3 4S 3 2 5I 2 6F 2 4 5 6 6E 6

Le transport s’effectue par camion de 20 tonnes.

Quel chemin devra parcourir le beurre et à quel coût la société pourra t-elle le transporter jusqu’enEspagne ?

2.4 Flot max

Exercice 2.4.1Logistique

Trois dépôts A, B et C disposent respectivement de 30, 20 et 45tonnes de marchandises. Cinq desti-nations D, E, F, G, H en demandent des quantités respectives de 10, 25, 20, 25 et 15 tonnes. Des camionsfaisant route entre les points désignés offrent les disponibilités suivantes :


D E F G HA 5 5 20 10B 20 10 5C 10 5 10 10 10

Exercice 2.4.2Gestion de production et logistique

Chaque semaine la succursaleSi (i=1..5) d’une société laitière peut acheminer jusqu’àAij litres de laità l’établissementEj (j=1..6). Voir le tableau ci-dessous.

Sachant que durant la semaine les succursales disposent respectivement de 2000, 3000, 2500, 3000,1500 litres et qu’un établissement n’arrive jamais à consommer plus de 2500 litres, trouver la quantitémaximale de lait pouvant être utilisée hebdomadairement dans l’ensemble des établissements.

E1 E2 E3 E4 E5 E6

S1 1000 800 400 0 0 0S2 1200 1100 1500 0 0 0S3 0 400 900 1000 0 0S4 0 0 900 1000 400 900S5 0 0 0 800 1000 500

Exercice 2.4.3Optimisation et logistique : Voyage organisé.

Lors de la mise en place d’un voyage organisé, un vol charter est prévu au départ d’une ville F, unsamedi soir.

Les participants à ce voyage viennent de 3 villes, A, B et C.

Les possibilités d’acheminement sont limitées.

Les départs sont prévus de A, B et C, les jeudi, vendredi et samedi matin. Les destinations possibles etle nombre de places disponibles sont indiquées dans le tableau suivant :

Départs de A vers C A vers F B vers C B vers F C vers FJeudi matin 10 20 30 20 20

Vendredi matin 10 20 30 20 20Samedi matin 0 25 0 65 40

Pour chacun de ces départs, l’arrivée a lieu le soir même. Il est possible de prévoir des transits et depasser une ou plusieurs nuits dans chacune des villes en fonction des capacités d’hébergement suivantes.

Villes A B C Fnuit jeudi-vendredi 30 50 40 25

nuit vendredi-samedi 15 55 40 40

Le nombre de personnes pouvant rester dans une ville durant la journée n’est pas limité. Cependant tousles participants au voyage doivent être pris en charge à partir du jeudi matin (transport et hébergement).

Il y a, a priori, une limitation sur le nombre d’inscriptions: 100 au plus au départ de chaque ville.

Déterminer le nombre maximal de participants pouvant être acheminer vers F pour prendre le vol charterdu samedi soir.

Indiquer la façon de les acheminer.

Exercice 2.4.4Logistique : Transport de sable.

Du sable importé par cargo au port A, situé à l’embouchure d’un fleuve doit être acheminé vers uneusine de fabrication de verre.

Son transport peut être effectué :– soit par train du port A à l’usine C.– soit par péniche du port A à l’usine C.


– soit par bateau de petit tonnage du port A à un port B, puis partrain ou péniche du port B vers l’usineC.

Au début de chaque heure, il est possible de faire partir de A vers C au plus 300 tonnes de sable par letrain et 500 par péniche, de B vers C au plus 150 tonnes par train et 400 tonnes par péniche et enfin au plus1500 tonnes par bateau de petit tonnage de A vers B.

Les capacités de stockage sur les quais de chargement sont limités à 500 tonnes en A et à 400 tonnes enB (initialement le stock en B est nul).

Les temps de transport, en heures, compte tenu des temps de chargement et de déchargement sont lessuivants :

– de A vers C : 6 heures par train, 7 heures par péniche.– de B vers C : 3 heures par train, 5 heures par péniche.– de A vers B : 4 heures par bateau de petit tonnage.Le tonnage qui arrive par cargo au port A sera considéré commeillimité. On ne procède qu’à un seul

déchargement du cargo.

Donner une modélisation du problème.

Quelle quantité maximale de sable peut-on acheminer de A vers C en 8 jours et quels moyens de trans-port doivent alors être utilisés ?

2.5 Flot max à coût min

Exercice 2.5.1Optimisation et gestion des coûts

Un négociant en pommes fait ses achats à Carpentras le lundi et le mardi matin et à Cavaillon le lundimatin. Ses fruits seront livrés à Rungis pour y être vendus lemercredi matin.

A Carpentras, le prix d’achat est de 1e/kg le lundi et de 1,2e/kg le mardi. Les quantités pouvant êtreachetées sont respectivement, 1500 kg et 900 kg.

Ces pommes peuvent être acheminées vers Rungis par train le lundi, arrivée le mardi soir ou par train lemardi avec une arrivée le mercredi matin.

Les coûts de transport et les quantités transportées sont respectivement pour les trains du lundi et dumardi 1e/kg pour 1200 kg et 0,9e/kg pour 1000 kg.

Une possibilité de stockage est prévue à Carpentras le lundisoir et à Rungis pour les fruits arrivant lemardi soir. Les capacités de stockage et les coûts associés sont respectivement de 600 kg au coût unitairede 0,1e/kg (à Carpentras) et de 2000 kg au coût unitaire de 0,1e/kg à Rungis.

À Cavaillon, le prix d’achat est de 0,80e/kg. Le négociant peut y acheter jusqu’à 1500 kg.

Il n’existe pas de possibilité de stockage à Cavaillon. Les fruits devront donc partir le lundi, soit parcamion jusqu’à Rungis, où ils arriveront le mardi soir (et ilfaudra les stocker) soit par camionnette au traindu lundi à Carpentras (mais on ne pourra pas utiliser les capacités de stockage de Carpentras).

Les coûts et les quantités sont respectivement pour le transport par camion et par camionnette de 0,9e/kgpour une capacité de 1200 kg et 0,3e/kg pour une capacité de 200 kg.

Ce négociant fait appel à vous pour savoir combien de pommes il pourra mettre en vente à Rungis lemercredi matin et quel sera le coût global de l’opération afinqu’il puisse déterminer au plus juste son prixde vente.

2.6 Programmation linéaire

Exercice 2.6.1Gestion de production et optimisation

Une raffinerie peut traiter 2 pétroles bruts différents. Elle tire du brut 1 : 20% d’essence, 40% de gas-oilet 40% de fuel lourd et du brut 2 : 40% d’essence, 20% de gas-oilet 40% de fuel lourd.

Pour des raisons de capacité de stockage et de débouchés sur le marché, la production annuelle de cetteraffinerie est limitée à 1,2Mt d’essence, 1,2 Mt de gas-oil et1,4 Mt de fuel lourd.


Quelle quantité de chacun des 2 bruts la raffinerie devra traiter pour réaliser un bénéfice maximal sachantqu’elle a une marge de 4e/t de brut 1 et de 5e/t de brut 2 ?

Exercice 2.6.2Optimisation : Élagage des manguiers

L’élagage des manguiers présente de nombreux avantages. Ilpermet surtout de produire plus de manguessur une même superficie.

De plus, les arrosages et les traitements des arbres sont plus faciles d’exécution et la récolte des manguesse fait plus rapidement. L’élagage présente aussi des désavantages : il requiert une main-d’oeuvre expéri-mentée et nombreuse car il faut prévoir en saison un élagage tous les 15 jours. Le risque des infectionscryptogamiques au niveau des blessures est élevé et les fruits produits bien que plus nombreux sont pluspetits.

Un producteur de mangue sénégalais dispose d’un verger de 5 hectares. Il obtient un rendement de 0,6m3 de fruits par are en consacrant 5h/are de main-d’oeuvre pour l’élagage durant la saison. Le même arede manguiers fournit 0,4 m3 de fruits, plus gros cependant, lorsqu’il se contente d’un bref émondage, cequi exige 1h/are de main-d’oeuvre pour la saison. La main-d’oeuvre familiale peut consacrer 600 heures detravail à la récolte et 1800 heures en saison à l’émondage et àl’élagage des manguiers. La récolte d’un areélagué prend 1 heure, tandis qu’un are simplement émondé exige 1,5 h. Enfin, le producteur et sa familledispose de suffisamment de temps pour arroser et traiter les arbres du verger.

Le producteur écoule toute sa production auprès d’intermédiaires qui assurent le transport des manguesvers les marchés ou les usines de transformation. Il obtient900 F CFA par m3 de petits fruits provenant desarbres élagués et 12000 F CFA par m3 de grosses mangues. Certains intermédiaires lui offrent également31 200 F CFA pour un lot comprenant 2 m3 de petites mangues et 1 m3 de grosses mangues.

De quelle manière le producteur doit-il procéder pour maximiser les revenus qu’il tire de son verger?

Exercice 2.6.3Optimisation : Les piles.

Une entreprise fabrique trois types de piles : sèches de type1 (PS1), sèches de type 2 (PS2) et à com-bustible.

Le processus de fabrication comporte trois étapes :

1. l’assemblage

2. un test de qualité

3. un traitement d’isolation

Seules les piles satisfaisant au test de qualité sont soumises au traitement d’isolation. Les piles qui ratentle test sont mises au rebut.

Au cours du prochain mois, l’entreprise disposera en temps-machine de 10000 heures pour l’assem-blage, de 1300 heures pour les tests de qualité et de 7500 heures pour le traitement d’isolation.

Le tableau suivant résume les informations pertinentes du procédé de fabrication.

Type Assemblage(sec/unité)

Test(sec/unité)

Isolation(sec/unité)

Profit(e/unité)

Taux d’échec Perte(e/unité)

PS1 30 3 15 1,25 3% 0,5PS2 25 4,5 22 1 1% 0,65PC 24 4 21 1,1 2% 0,75

Quel doit être le plan de production pour maximiser le bénéfice, et quel est celui-ci ?

Exercice 2.6.4Optimisation : Alimentation du bétail.

On désire déterminer la composition, à coût minimal, d’un aliment pour bétail qui est obtenu en mélan-geant au plus trois produits bruts : orge, arachide et sésame.

L’aliment devra comporter au moins 22% de protéines, et 3,6%de graisse. Le tableau ci-dessous indiqueles pourcentages de protéines et de graisse de chacun des aliments de base ainsi que leur coût.


Produit brut Orge Arachide Sésame % requisProtéines 12% 52% 42% 22%Graisse 2% 2% 10% 3,6%

Coût par tonne 25 41 39

3 Libérez les prisonniers

3.1 Introduction

Le véritable problème de ce cours n’est pas d’appliquer une technique, mais de trouver quelle techniqueil faut utiliser, et savoir modéliser le problème pour la mettre en œuvre. Le but des petits problèmes suivantsest de vous exercer sur ce point.

Cette section contient 6 exercices différents. Chaque technique vue en cours peut s’appliquer au moinsà l’un d’entre eux. Il vous faudra entre chaque séance de cours :

– trouver le ou les exercices qui peuvent être résolus par lestechniques vues lors de la dernière séance,– modéliser le problème pour que cette technique puisse s’appliquer.Vous pourrez ensuite, si vous souhaitez vous exercez un peu,mettre en œuvre cette technique pour

répondre à la question.

3.2 Les exercices

Après avoir gagné une bataille, une armée a fait 129 prisonniers : 100 soldats et 29 officiers. Elle accepted’en libérer contre une rançon. Il y a 3 tarifs proposés :

– Pour libérer un groupe de 3 officiers il faut payer 2 pièces d’or– Pour libérer un groupe de 2 officiers et 10 soldats, il faut payer 2 pièces d’or– Pour libérer un groupe de 5 soldats il faut payer 5 pièces d’argent (1 pièce d’or = 10 pièces d’argent)

Question 3.2.1Quel est le prix minimal à payer pour libérer tous les prisonniers ?

Un espion de l’armée vaincue a obtenu le plan de la prison (voir figure 1). Les prisonniers sont enfermésdans chacune des 10 salles (S1 à S10) de cette prison (voir figure 1). 14 couloirs (C1 à C14) permettent lacirculation entre les salles jusqu’à la sortie. Dans chaquecouloir on trouve un nombre variable de portesfermées. Il faut 15 minutes pour crocheter chaque porte. L’espion a réussi à corrompre les gardes de nuit. Ila huit heures pour libérer tous les prisonniers.

FIG. 1: Plan de la prison

Question 3.2.2Quel est le temps minimal qu’il lui faudra pour libérer tous les prisonniers ? Aura-t-il assezde temps ?


Avant que l’espion n’ait eu le temps d’agir, les gardiens de prisons qui craignaient (avec raison) unetentative de libération ont modifié les portes. Dans cette nouvelle configuration les portes ne s’ouvrent qued’un seul coté. Donc pour les ouvrir, il y a un sens de parcoursobligatoire (voir les flèches sur la figure 2).De plus ils ont réunis tous les prisonniers dans la salle S10,et ont placé une alarme dans la salle S3. Enfinles gardes se font maintenant relever toutes les 6 heures.

FIG. 2: Plan de la seconde prison

Question 3.2.3Sachant qu’une équipe de garde est toujours corrompue, l’espion aura-t-il assez de tempspour libérer les prisonniers ? (les serrures se fracturent toujours en 15 minutes). Quel est le temps minimalpour libérer les prisonniers ?

Pour briser les serrures l’espion va se servir de fioles d’acide. L’efficacité de ces fioles s’estompe avant24h. Elles doivent donc être préparées le jour même. L’évasion est prévue pour ce soir. L’équipe de gardienscorrompus prendra ses fonctions à 20h.

Avec les bons ingrédients, l’apothicaire que connaît l’espion met environ 3 heures pour préparer l’acideet les mettre en fiole. L’acide ne devient vraiment efficace qu’1h30 après sa mise en fiole.

Les ingrédients doivent être récoltés la journée même pour être efficace. L’espion qui connaît bien leslieux compte 3h pour tout récolter et les apporter à l’apothicaire. Il doit aussi aller payer le prix du pot-de-vin versé aux gardiens corrompus. Mais le lieu de livraison est assez lointain, il lui faudra 4h de voyage(2h aller, et 2h retour). Il compte y aller sitôt les ingrédients livrés à l’apothicaire. Enfin, une fois les fiolesrécupérées, il lui faudra encore 1h de déplacement pour aller de la boutique de l’apothicaire à la prison.

Question 3.2.4À quelle heure au plus tard l’espion doit-il commencer ses activités pour arriver à l’heureet opérationnel à la prison. L’apothicaire mettra peut-être un peu plus de 3h pour préparer les fioles.Jusqu’à combien de temps peut-il mettre sans retarder l’espion ?

FIG. 3: Plan de la troisième prison

L’espion a réussi à libérer les prisonniers, mais décidément la chance ne sourit pas à son camp. Lui et35 autres personnes sont tombé dans une prison magique. Les 36 prisonniers ont été piégés dans la salleS10 de la nouvelle prison (voir figure 3). Dans cette prison iln’y a pas de gardes. Par contre chaque jour lesportes s’ouvrent automatiquement 1 fois pendant 1 h, mais pas toutes en même temps :


– Les portes P12 et P14 s’ouvrent entre 8h et 9h.– Les portes P5, P9 et P11 s’ouvrent entre 10h 11h.– Les portes P2, P4, P8 et P13 s’ouvrent entre 12 et 13h.– La porte P1 s’ouvre entre 14 et 15h.– Les portent P3, P7 et P10 s’ouvrent entre 16 et 17h– La porte P6 s’ouvre entre 18 et 19h.

La capacité en nombre de personnes de chaque salle est limitée (même en comptant l’espace dans lescouloirs) :

S1=8 S2=6 S3=4 S4=20 S5=7S6=8 S7=14 S8=10 S9=6

Question 3.2.5Combien de prisonniers peuvent quitter la prison chaque jour ? Combien de jours faudra-t-il pour que tout le monde soit libéré ?

En fait les portes ne s’ouvrent pas automatiquement. Elles sont ouvertes par des gnomes qui demandentun droit de passage pour chaque prisonnier qui les franchit.Le prix par prisonnier dépend de la porte (prixen pièce d’or) :

P1=2 P2=3 P3=3 P4=1 P5=3 P6=2 P7=3P8=5 P9=3 P10=4 P11=3 P12=2 P13=6 P14=1

Question 3.2.6Quel est le prix journalier minimal pour faire sortir le maximum de prisonniers ?


Annexes.


A Exemple de sujet de contrôle continu

durée 1h, sans document ni calculatrice.

Question 0 (1pt)

Nom : Prénom :Groupe : K1 :� K2 : � K3 : � K4 : �

Question 1 (3pt)

Calculez la durée du projet, les dates au plus tôt, les dates au plus tard et les marges des tâches du projetmodélisé par le graphe suivant (répondez soit directement sur le graphe, soit dans le tableau en dessous).Surlignez le chemin critique sur le graphe.

FIG. 4: Graphe modélisant les tâches du projet (unité : jour)

Si vous choisissez la version avec tableau :


Question 2 (2pt)Appliquez l’algorithme de Kruskal en dessinant le graphe des diverses étapes pour legraphe suivant :

(a) Graphe (unité : k euros) (b) Itération 1 (c) Itération 2

(a) Itération 3 (b) Itération 4 (c) Itération 5


Quel est le poids de l’arbre de recouvrement minimal ?

Réponse :


Question 3 (2pt)Appliquez l’algorithme de Prim en utilisant directement lamatrice (faites bien ressortirl’arête choisie à chaque étape). Vous choisirez le sommetS1 comme sommet de départ de l’algorithme.

Unité : semaine.

S1 S2 S3 S4 S5 S1 S2 S3 S4 S5 S1 S2 S3 S4 S5

S1 S1 S1

S2 5 S2 S2

S3 4 4 S3 S3

S4 2 5 1 S4 S4

S5 3 8 6 2 S5 S5

Matrice du graphe Itération 1 Itération 2


S1 S1 S1

S2 S2 S2

S3 S3 S3

S4 S4 S4

S5 S5 S5

Itération 3 Itération 4 Itération 5

Quelles sont les arêtes de l’arbre de recouvrement minimal que vous avez trouvé ?

Réponse :

Quel est le poids de cet arbre ?

Réponse :


Question 4 (4pt)Trouvez le plus court chemin allant de A à F. Appliquer l’algorithme de Ford-Mooredans le tableau.

FIG. 5: Graphe des chemins (unité : k euros)

Tableau pour l’algorithme :

Quel est le chemin le plus court :

Quelle est sa longueur :


Question 5 (4pt)Prouvez grâce au marquage de l’algorithme de Ford-Fulkerson que le flot du graphesuivant n’est pas maximal (faites le marquage sur le graphe ci-dessous) :

Quelle est la chaîne améliorante que vous avez trouvée :

Quel gain permet-elle :

Reportez ce gain sur le graphe, et prouvez avec le marquage del’algorithme de Ford-Fulkerson quemaintenant le flot est maximal.

Quel est ce flot maximal ?

Question 5 (4pt)Utilisez l’algorithme de Busacker et Gowen pour trouver le flot max à coût min dugraphe suivant (vous avez le droit de voir les plus courts chemins sans les prouver, et le flot maximal dugraphe est de 3 tonnes).


Première itération :

Reportez le flot trouvé par cette première itération et calculez le nouveau graphe associé :

Si le flot max n’est pas atteint :

Deuxième itération :

Reportez le flot trouvé par cette deuxième itération et calculez le nouveau graphe associé :


Troisième itération :

Reportez le flot trouvé par cette troisième itération et calculez le nouveau graphe associé :

Quel est le coût minimal du flot maximal ?

Réponse :


B Exemple de contrôle final

Durée : 2 heures.

Avertissement: Les chiffres ont été très simplifiés pour rendre les calculssimples. Les solutions peuventse trouver de façon triviale. Ce n’est pas le «bon» résultat qui compte, mais la démarche que vous avezsuivie pour le trouver : modélisation, suivie de l’utilisation d’une technique vue en cours, et terminée parson interprétation.

B.1 Les vignes de l’abbaye (10pt)

Une abbaye de Bourgogne possède 2 hectares de vignes pour sa propre consommation. Mais commeelle produit plus de vin qu’elle n’en a besoin, elle commercialise le surplus.

Son vignoble contient deux cépages différents : 1 hectare depinot noir, et 1 hectare de gamay. Cetteannée les vendanges ont permis la récolte de 2400 litres de pinot noir et de 6000 litres de gamay.

Pour son usage propre, l’abbaye met d’entrée de coté 400 bouteilles (1 bouteille = 0,75 litre) de pinotnoir et 4000 bouteilles de gamay.

Elle compte commercialiser le vin restant sous la forme de deux vins :– Des bouteilles de pinot noir : ce vin est composé uniquementde pinot noir. Chaque bouteille (0,75

litre) se vendra à 30 euros.– Des bouteilles de passe-tout-grain : ce vin est composé d’un tiers de pinot noir et deux tiers de gamay.

Chaque bouteille (0,75 litre) se vendra à 12 euros.Question 1Comment cette abbaye doit repartir le vin restant pour gagner le plus d’argent possible ?

Question 2Cette répartition laisse-t-elle encore du vin sans usage ? Si oui lequel ?

B.2 Barcelone ou Dublin ? (10pt)

Une agence de voyage fidélise sa clientèle en délivrant des «Hermès» à chaque voyage acheté. Ellepropose ensuite d’échanger ces Hermès contre des voyages. Chaque semaine elle offre ainsi une liste detrajets possibles avec leur coût en Hermès.

Un client bordelais qui a accumulé une belle somme d’Hermès compte en utiliser une partie pour sepayer un voyage. Deux destinations le tente : soit Dublin, soit Barcelone. Il consulte les propositions devoyages de la semaine, et voici la liste des trajets qu’il a retenus pour aller à destination en partant deBordeaux (dans chaque ville les correspondances sont réalisables) :

– En avion il peut faire :

Bordeaux->Madrid : pour 45 Hermès.

Paris->Londres : pour 25 Hermès.

Paris->Barcelone : pour 50 Hermès.

Madrid->Barcelone : pour 25 Hermès.

Toulouse->Barcelone :pour 15 Hermès.

Toulouse->Dublin : pour 30 Hermès.

Londres->Dublin : pour 25 Hermès.

Bruxelles->Dublin : pour 30 Hermès.

Bruxelles->Barcelone : pour 25 Hermès.

– En train il peut faire :

Bordeaux->Paris : pour 20 Hermès.

Paris->Londres : pour 30 Hermès.

Paris->Bruxelles : pour 20 Hermès.

Question 1 Quelle destination doit-il choisir pour minimiser sa dépense d’Hermès. Combien va-t-ildevoir en dépenser et en prenant quels trajets ?


C Correction de l’exemple du sujet de contrôle continu

durée 1h, sans document ni calculatrice.

Question 0 (1pt)

Nom : Parfait Prénom : ModesteGroupe : K1 :� K2 : ⊠ K3 : � K4 : �

Question 1 (3pt)

Calculez la durée du projet, les dates au plus tôt, les dates au plus tard et les marges des tâches du projetmodélisé par le graphe suivant (répondez soit directement sur le graphe, soit dans le tableau en dessous).Surlignez le chemin critique sur le graphe.

FIG. 6: Graphe modélisant les tâches du projet (unité : jour)

Si vous choisissez la version avec tableau :

Tâches α A B C D E F G ωdi 0 3 2 5 8 3 2 2 0Γ−

i α α α A A, B E, C D, F Gti 0 0 0 0 3 3 6 11 13Γ+

i A, B, C D, E E F G F G ωTi 0 0 4 1 3 6 9 11 13Mi 0 0 4 1 0 3 3 0 0


Question 2 (2pt)Appliquez l’algorithme de Kruskal en dessinant le graphe des diverses étapes pour legraphe suivant :

(a) Graphe (unité : k euros) (b) Itération 1 (c) Itération 2



Quel est le poids de l’arbre de recouvrement minimal ?

Réponse : L’arbre pèse 21 unités.


Question 3 (2pt)Appliquez l’algorithme de Prim en utilisant directement lamatrice (faites bien ressortirl’arête choisie à chaque étape). Vous choisirez le sommetS1 comme sommet de départ de l’algorithme.

Unité : semaine.


S1 S1 S1

S2 5 S2 5 S2 5S3 4 4 S3 4 S3 4S4 2 5 1 S4 2 ok S4 �A2 ok 5 1 okS5 3 8 6 2 S5 3 S5 3 2

Matrice du graphe Itération 1 Itération 2Sommet 1 ajouté Sommet 4 ajoutéArêteS1S4 prise ArêteS3S4 prise


S1 S1 S1

S2 5 S2 5 S2

S3 �A4 4 S3 �A4 4 ok S3

S4 �A2 ok 5 �A1 ok S4 �A2 ok 5 �A1 ok S4

S5 3 6 2 ok S5 �A3 8 �A6 �A2 ok S5

Itération 3 Itération 4 Itération 5Somme 3 ajouté Sommet 5 ajoutéArêteS4S5 prise ArêteS2S3 prise

Quelles sont les arêtes de l’arbre de recouvrement minimal que vous avez trouvé ?

Réponse : les arêtes de l’arbre trouvé sont :S1 − S4, S3 − S4, S4 − S5 etS2 − S3

Quel est le poids de cet arbre ?

Réponse : Son poids est de 9 unités.


Question 4 (4pt)Trouvez le plus court chemin allant de A à F. Appliquer l’algorithme de Ford-Mooredans le tableau.

FIG. 7: Graphe des chemins (unité : k euros)

Tableau pour l’algorithme :

m λ(A) λ(B) λ(C) λ(D) λ(E) λ(F) Sommets Γ+

changés0 0 ��HH∞ ��HH∞ ��HH∞ ��HH∞ ��HH∞ A B, C, D1 5/A ��HH4/A 3/A B E, C

C E, FD C, F

2 3/B ��HH9/B ��XXX11/D C E, F��HH8/C ��XXX12/C E F

F3 7/C ��XXX11/C E F

��HH8/E F4 7/E F

Quel est le chemin le plus court : Il passe par A, B, C, E, F.

Quelle est sa longueur : Il fait 7 unités.


Question 5 (4pt)Prouvez grâce au marquage de l’algorithme de Ford-Fulkerson que le flot du graphesuivant n’est pas maximal (faites le marquage sur le graphe ci-dessous) :

Quelle est la chaîne améliorante que vous avez trouvée :

2− 0 = 2 2 1− 0 = 1A −→ C ←− B −→ E

Quel gain permet-elle : elle permet un gain de 1 tonne.

Reportez ce gain sur le graphe, et prouvez avec le marquage del’algorithme de Ford-Fulkerson quemaintenant le flot est maximal.

Quel est ce flot maximal ? 6 tonnes peuvent circuler de la A versE.

Question 5 (4pt)Utilisez l’algorithme de Busacker et Gowen pour trouver le flot max à coût min dugraphe suivant (vous avez le droit de voir les plus courts chemins sans les prouver, et le flot maximal dugraphe est de 3 tonnes).


Première itération :

Le plus court chemin (au sens du coût) sur le graphe passe par A→ C→ B→ D et coûte 1+1+1 = 3kela tonne. On peut faire circuler 2 tonnes par ce chemin (le minimum des 3 capacités qui de toute façonvalent 2 toutes les 3).

On peut donc faire passer un premier flot de 2 tonnes pour un coût global de2 = 6 ke.

Reportez le flot trouvé par cette première itération et calculez le nouveau graphe associé :


Deuxième itération : Le flot max n’est pas atteint. Sur le nouveau graphe, le plus court chemin (au sensdu coût) passe par A→ B→ C→ D. Il coûte 5 -1 + 5 = 9 kela tonne. On peut faire circuler 1 tonne (leminimum des 3 capacités qui est celle de l’arc A→ B).

On peut donc faire circuler un second flot de 1 tonne pour un coût global de1 = 9 ke.

Le flot total passe donc à 3. Le flot maximal est atteint. L’algorithme s’arrête ici (il n’est pas utile decalculer le graphe associé).

Reportez le flot trouvé par cette deuxième itération et calculez le nouveau graphe associé :

Si le flot max n’est pas atteint : il est atteint.

Troisième itération :

Reportez le flot trouvé par cette troisième itération et calculez le nouveau graphe associé :

Quel est le coût minimal du flot maximal ?

Réponse : la somme des deux flots vaut6 + 9 = 15 ke.


D Correction de l’exemple du contrôle final

D.1 Les vignes de l’abbaye (10pt)

Question 1

Trouver un gain maximal avec des ressources que l’on doit repartir sur divers produits... c’est typique-ment un problème de programmation linéaire.

Comme toujours, le meilleurs point d’attaque pour modéliser ce type de problème consiste à trouver lafonction économique. Le gain est obtenu grâce à la vente des bouteilles de pinot noir (Bpn) et de passe-tout-grain (Bptg). Les premières rapportent 30 euros et les secondes 12 euros. Donc la fonction économiques’exprime ainsi (Z exprimé en euro) :

Z = 30×Bpn + 12×Bptg

Il faut ensuite exprimer les contraintes. Le nombres de bouteilles que l’on peut produire est limité parles ressources (la quantité de vin obtenu pour chaque cépage). Mais pour ce problème un petit traitementest nécessaire pour retrouver les bonnes données. En effet on nous donne le total des récoltes, mais seul cequi reste après le retrait des quantités utilisées directement par l’abbaye nous intéresse.

– Les vendanges ont permis de récolter2 400 litres de pinot noir, mais400 bouteilles, donc400×0.75 =300 litres sont d’office mis de coté. Il reste donc2 100 litres de pinot noir pour la vente.

– Les vendanges ont permis de récolter6 000 litres de gamay, mais4 000 bouteilles, donc4 000 ×0.75 = 3 000 litres sont d’office mis de coté. Il reste donc3 000 litres de gamay pour la vente.

Maintenant que l’on connaît les véritables ressources utilisables, on peut exprimer les contraintes :

– Chaque bouteille de pinot noir utilise0.75 litre de pinot noir, et chaque bouteille de passe-tout-grainutilise0.75× 1/3 = 0.25 litre de pinot noir. Donc0.75×Bpn + 0.25×Bptg ≤ 2100.

– Les bouteilles de pinot noir n’utilise pas de gamay, mais chaque bouteille de passe-tout-grain utilise0.75× 2/3 = 0.5 litre de gamay. Donc0.5×Bptg ≤ 3000.

La forme canonique du problème est donc :

Trouver le maximum deZ (exprimé en euro) avec


en respectant les contraintes :

(1) 0.75×Bpn+ 0.25×Bptg ≤ 2100(2) 0.5×Bptg ≤ 3000

Bpn ≥ 0 Bptg ≥ 0

Pour éviter d’avoir des fractions dans nos calculs on va multiplier par 4 l’inégalité (1) et par 2 l’inégalité(2). Mais attention, si à terme on doit interpréter les variables d’écarts qui seront associées à ces contraintes,il faudra se rappeler que leurs unités ont été changées ! On obtient donc :

Trouver le maximum deZ (exprimé en euro) avec


en respectant les contraintes :

(1) 3×Bpn+ Bptg ≤ 8400(2) Bptg ≤ 6000

Bpn ≥ 0 Bptg ≥ 0

Avec 2 variables, il est envisageable d’utiliser la méthodegéométrique. Mais attention, la seconde ques-tion du problème s’intéresse à l’utilisation totale des ressources, autrement dit elle va demander d’interpréterla valeurs des variables d’écart. Même si dans le cas présent(on va voir que ces variables sont nulles) la


méthode géométrique permettrait aussi de connaître simplement le résultat, il vaut mieux passer par unsimplexe lorsque vous voyez qu’il va falloir interpréter ces variables.

Voici donc le premier tableau du simplexe (après l’ajout des2 variables d’écarts nécessaires à notreproblème -une par contrainte-).

Bpn Bptg E1 E2 SommeE1 3 1 1 0 8400E2 0 1 0 1 6000∆ 30 12 0 0 0

Le premier pivot est sur la colonne deBpn (le plus grand∆) sur la ligne deE1 (le plus petit rapportSomme/Colonne du pivot). On obtient donc ce second tableau :

Bpn Bptg E1 E2 SommeBpn 1 1/3 1/3 0 2800E2 0 1 0 1 6000∆ 0 2 -10 0 -84000

Le second pivot est sur la colonne deBptg sur la ligne deE2 . On obtient donc ce troisième tableau.

Bpn Bptg E1 E2 SommeBpn 0 800Bptg 0 1 0 1 6000∆ 0 0 -10 -2 -96000

Comme tous les∆ sont négatifs ou nuls, l’algorithme va s’arrêter à cette itération. Voila pourquoi iln’est même pas nécessaire de calculer les coefficients à l’intérieur du tableau. On ne calcule que la ligne∆(pour vérifier qu’ils sont tous négatifs ou nuls) et la colonne Somme (pour avoir les résultats).

Donc pour la solution optimale, on a :Bpn = 800 etBptg = 6 000. Toutes les autres variables (E1, E2)sont nulles (puisqu’elles sont hors base). De plusZ vaut96 000.

L’abbaye doit donc embouteiller et vendre800 bouteilles de pinot noir et6 000 bouteilles de passe-tout-grain. Elle en obtiendra un gain de96 000 euros.

Question 2

La seconde question pose le problème des ressources inutilisés. Il faut donc interpréter les variablesd’écart. Ces deux variables sont nulles. Donc toutes les ressources sont utilisées. Il ne reste aucun vin sansusage.

Si on avait utilisé la méthode géométrique, on aurait constaté que la solution se trouve à l’intersectiondes deux droites «0.75×Bpn+0.25×Bptg = 2100» et «0.5×Bptg = 3000». Les solutions sur la premièredroite sont celles qui consomment tout le pinot noir, et sur la seconde droite celles qui consomment tout legamay. Donc à leur intersection on trouve la solution qui consomme la totalité des deux cépages. Il est doncaussi possible de déduire du modèle géométrique que tout le vin est utilisé. Par contre si la solution avaitlaissé un vin sans usage, il aurait été plus difficile de mesurer les quantités restantes (mais pas impossible,avec un dessin et une règle précis).


D.2 Barcelone ou Dublin ? (10pt)

Ici, il faut trouver le chemin le moins cher entre Bordeaux etsoit Barcelone soit Dublin. On nous indiquetoutes les étapes intermédiaires possibles, avec pour chacune un coût fixe. Aucun doute possible, il s’agitde la recherche d’un plus court chemin (les longueurs étant exprimées en «Hermès»).

La première étape consiste à dessiner le graphe pour modéliser tous les chemins possibles. Pas dedifficulté majeure ici, sauf deux petits pièges qui se cachent dans les données :

– On trouve des possibilités de voyage à partir de Toulouse, mais le client bordelais n’a aucun moyende joindre cette ville. Il faut donc retirer ces données parasites de notre problème.

– Entre Paris et Londres, il y a deux moyens de transport possible. Notre but étant de trouver le pluscourt chemin, c’est à dire le moins cher, on peut d’office oublier le plus cher des deux. Donc on retiredes données le voyage en train entre Paris et Londres.

On obtient le graphe suivant :

Ce graphe a un seul point d’entrée (Bordeaux), mais plusieurs points de sortie (Dublin et Barcelone).Cela ne pose aucun problème puisque les recherches de plus court chemin permettent de trouver la valeurde tous les plus courts chemins depuis 1 point d’origine verstous les autres points du graphe.

Une fois cette modélisation terminée, mais avant de mettre en œuvre la technique de recherche du pluscourt chemin on peut simplifier le graphe : on supprime les états sur lesquels il n’y a qu’un seul arc entrantet un seul arc sortant. On remplace les 2 arcs par un nouvel arcvalué par la somme des deux valeurs.

On obtient ce nouveau graphe :


Il ne reste plus qu’à mettre en œuvre l’algorithme de Ford-Moore

m Bor Par Bru Dub Bar changés Γ+

0 0 ��HH∞ ��HH∞ ��HH∞ ��HH∞ Bor Par, Bar1 20/Bor ��XXX70/Bor Par Bru, Dub, Bar

Bar2 40/Par 70/Par ��XXX70/Par Bru Dub, Bar

BarDub

3 70/Bru 65/Bru BarDub

Le plus court chemin vers Barcelone mesure 65 Hermès, et versDublin 70 Hermès.

Le client bordelais devrait donc choisir d’aller à Barcelone en prenant le train pour Paris, puis le trainjusqu’à Bruxelles pour finir en avion jusqu’à Barcelone.


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