Café LCUL ORMEL & QUATIONS Notre but est de développer de nouvelles méthodes de « résolution »...
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CaféLCUL
ORMEL &QUATIONS
Notre but est de développer de nouvelles méthodes de « résolution » par le calcul formel d'équations fonctionnelles, c'est-à-dire d'équations où les inconnues
représentent des fonctions plutôt que des valeurs numériques, et de faciliter le transfert de ces méthodes dans les sciences de l'ingénieur en produisant les
programmes et outils nécessaires.
OMPUTER
LGEBRA &
UNCTIONAL
QUATIONS
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Fonction de Lambert (1758) :
Existe-t-il une formule explicite W(z)= (.. Exp,Sin,Log…) ?
Non ! W(z) n’est pas une fonction liouvillienne de z.
[BroDav]
:
• Combinatoire:
• Equations à retard:
Equations et Formules
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Classes d’équations
Récurrences linéaires
Contrôle
Différentielles linéairesEDO non-linéaires
EDP linéaires
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« Décomposer »
Recouvrir l’ensemble des solutions par des sous-ensembles
ayant de bonnes propriétés
Produire des logiciels efficaces et distribuables pour décomposer des systèmes fonctionnels
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Repousser les limites du traitement par le calcul formel de telles équations
algorithmes
Mathématiques
Implémentation
Serveurs
Ambition scientifique
• Nouvelles classes d’équations ou de solutions
• Gain d’efficacité / passage à l’échelle
• Produire des logiciels robustes/efficaces et des services web de résolution.
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Contributions
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La théorie de Galois a permit le développement d’algorithmesde recherches de solutions Liouvilliennes (Kovacic 1986),...
Pas de solutions Liouvilliennes
J.Carette (WMI, 1999): et les fonctions spéciales ?
Définies par des équations de la forme:
Solutions en termes de fonctions spéciales
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Chercher les arguments et indices d’une fonction spéciale
Implémentation en Maple + serveur Web de resolution
solution de
[BroLaf 2002]: calcul de toutes les solutions
Solutions en termes de fonctions spéciales (suite)
revient à résoudre :
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: factorisation
: décomposition
Polynômes :
Factorisation vs. Décompositionf(x)=g(x)h(x) Sol(f)=Sol(g) U Sol(h)
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Factorisation différentielle
DécompositionSinger (1996)
EDO LinéairesFactorisation
Beke (1884)
Schwarz(1989)
...
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Factorisation différences
Factorisation[BroPet 1996]
Equations aux différences linéaires ordinaires
Décomposition(Bomboy 1999)
SolutionsLiouvilliennes
(2001)
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Factorisation non linéaire
Equations différentielles non-linéaires Décomposition
Hubert (2000)
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Forme résolvanteLa décomposition d’un système différentiel non-linéaire
produit
soit:
Dans le cas ordinaire:
Où p=0 est une EDO scalaire
[CluHub 2002]
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Exemple: Lotka-Volterra
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http://www.w3.org/Math/
MathML 2.0« Le format natif des mathématiques sur le Web »
• Pour tous documents hypertextes et livres électroniques contenant des formules mathématiques
• La version 2.0: février 2001 - intègre/prend en compte les nouvelles technologies Web - mécanisme d'extension sémantique clair (OpenMath)
• Standard adopté par: - Mozilla (en standard) & Internet Explorer (plug-in) - Maple & Mathematica - USPTO, Airbus, Springer, initiative Open e-book …
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Logiciels
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• Bibliothèque diffalg:
• Bibliothèques libaldor
• Bibliothèque
• Serveurs Bernina & Shasta
Logiciels distribués
Décomposition des EDO:EDP non linéairesPartie intégrante de Maple Appelé « silencieusement » par dsolve:Evolution première version F. Boulier
Bibliothèque standard du langage AldorBibliothèque libre de calcul formel (FreeBSD)Distribution standard du compilateur AldorCollaboration Café/ETH/LIFL
Extension Aldor de LibAlgebra Intègre les algorithmes de Café (linéaires)Disponible par ftp (Café)
Serveurs interactifs sur SumitInterfaces Maple et MuPADDisponible Médicis et Café
& libalgebra
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Objectifs 2002-2005
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Algorithmes de décomposition des systèmes d’EDP linéaires
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Factorisation EDPDécomposition
Min Wu & CAFE (2005)
EDP LinéairesFactorisation
Li/Schwarz/Tsarev (2002)
+Tsai & al (97-2002)
(holonome)
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Applications à l’automatique
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Systèmes de contrôle1) Systèmes de contrôle linéaires 1-D:
• Systèmes de Kalman
• Systèmes polynomiaux
2) Systèmes de contrôle linéaires 2-D:
3) Systèmes multidimensionnels linéaires (EDP sous-détermineés):
Élasticité, électromagnétisme, hydrodynamique …
Retard
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Analyse algébrique pour l’automatiqueUn système de contrôle linéaire est défini par une matrice à coefficients dans un anneau A d’opérateurs:
EDP
Utilisation de la théorie des modules pour l'analyse et la synthèse des systèmes (Kalman 1965,…):
Propriétés structurellesdu système
Propriétés algébriques du module
Boite à outils pour systèmes multidimensionels(Mgfun, Algo)
Algorithmes
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Platitude des systèmes non-linéaires
Un système de contrôle est plat si ses trajectoires peuvent être paramétrisées à l'aide de certaines fonctions des éléments du système (1995) [Fliess-Lévine-Martin-Rouchon … Pomet (MIAOU)]
Exemple: Les trajectoires du système
sont paramétrées par
(1)
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Platitude (suite)Un système plat est équivalent à un système linéaire contrôlable (linéarisation par feedback).
Applications: suivi de trajectoire, stabilisation,…
Problème: Pas de test systématique de platitude connu
Etude algorithmique de la platitude et du problème deMonge (généralisation aux EDP),
Collaboration CAFE-MIAOU
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Décomposition des systèmes symétriques
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Factorisation par les symétries de Lie
Groupe de symétrie:
Ensemble générateur des invariants différentiels
Dérivations invariantes
[G. Metivier, IRMAR Rennes]
Section :
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Règles de commutation
Syzygies:
Système réécrit en terme des invariants
Factorisation par les symétries de Lie (suite)
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Services Web mathématiques
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Services Web mathématiques
rendre accessibles les logiciels développés dans le projet sous forme de services Web
Développer des outils logiciels pour
Service Webcourtier
Autre service Web
Butineur(netscape..)
LogicielCafé
Application
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Exemple prototype: outils pour l’étude de systèmes hamiltoniens
Hamiltonien H(p,q,m) dépendant de paramètres.
Génériquement: non intégrable
But: « assistants de calcul » pour éliminer le plus possible de valeurs des paramètres pour
lesquelles le système n’est pas intégrable
Outils algorithmiques: Linéarisation, théorie de Galois différentielle,…
Principe du serveur: rendre ces outils efficaces et indolores
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Services Web: architecture
• Encodage des objets mathématiques: OpenMath , MathML
• Protocoles d’échange: soap , wsdl
Définition d’un service Web mathématique - Spécification des opérations - Caractéristiques du service
Définition d’un courtier
Déjà fait En cours A faire [projet MONET]
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