Caderno do Aluno By:Patrick -Matemática- 2° Bimestre
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Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 2
1
Páginas 3-5
1. Sendo cinco o número de participantes, cada um dará quatro flores (menos para si
mesmo), o que significa um total de 5 . 4 = 20 flores. Com o mesmo raciocínio,
temos que, com seis participantes, o total de flores será 6 . 5 = 30 flores, e com sete,
7. 6 = 42 flores.
2.
NNúúmmeerroo ddee ppaarrttiicciippaanntteess
NNúúmmeerroo ddee fflloorreess qquuee ccaaddaa uumm vvaaii rreecceebbeerr
TToottaall ddee fflloorreess
3 2 3 . 2 = 6
4 3 4 . 3 = 12
5 4 5 . 4 = 20
6 5 6 . 5 = 30
11 10 11 . 10 = 110
x x –1 x(x – 1)
y + 1 y (y + 1)y
3. Alternativa c. Tendo compreendido o item anterior, o aluno pode experimentar os
valores apresentados nas alternativas, calculando: 29 . 28 = 812; 30 . 29 = 870;
31 . 30 = 930.
4. Substituindo os valores das alternativas na última forma da equação:
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
ALGUNS MÉTODOS PARA RESOLVER EQUAÇÕES DE 2o GRAU
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 2
2
a) x = 29 não é solução, pois
292 – 29 – 930 ≠ 0
b) x = 30 não é solução,
pois 302 – 30 – 930 ≠ 0
c) x = 31 é solução, pois
312 – 31 – 930 = 0
841 – 29 – 930 = – 118 ≠ 0 900 –30 –930 = – 60 ≠ 0 961 – 31 – 930 = 0
5.
a) Indicando a medida do lado do quadrado por x, teremos:
Representação geométrica Expressão algébrica
x2 = 49
A solução dessa equação é simples, basta pensar qual número elevado ao quadrado
resulta 49, isto é, 7. Você, professor, pode também trazer para a discussão que, assim
como 72 = 49, temos (–7)2 = 49, comentando que, embora satisfaça a equação,
tratando-se da medida do lado de um quadrado, esse valor negativo não deve constar
no conjunto-solução. Portanto, a solução será 7 cm.
b) Indicando a medida do lado do retângulo por y, teremos:
Representação geométrica Expressão algébrica
2y . y = 242
2y2 = 242
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 2
3
Se 2y2 = 242, então y2 = 121. Da mesma forma que no exercício anterior, podemos
admitir y = 11 ou y = –11, uma vez que (11)2 = 121 e (–11)2 = 121. Como se trata da
medida do lado de um retângulo, a equação só permite como solução o valor de
y = 11. Portanto, o maior lado mede 2 . 11 = 22 cm.
c) Indicando a medida do cateto por a, teremos:
Representação geométrica Expressão algébrica
1822
.
..2
1
..2
1
2
aaaA
catetocatetoA
alturabaseA
Como 182
2
a
, podemos concluir que a2 = 36. Desse modo, os valores 6 e –6
satisfazem a equação, mas somente o 6 é solução da equação, pois a medida do lado
de um triângulo deve ser positiva. Para encontrarmos a medida da hipotenusa,
podemos aplicar o Teorema de Pitágoras: 2666 222 hh .
Portanto, a resposta para esse exercício será: catetos de medida 6 cm e hipotenusa de
medida 26h cm. Mais uma vez, desprezamos a solução negativa.
d) A área do retângulo será dada pela equação: x(x + 8) = 65, que pode ser
resolvida por meio de tentativas. Basta descobrir dois números cuja diferença seja 8 e
o produto 65.
x 1 2 3 4 5
x + 8 9 10 11 12 13
x(x + 8) 9 20 33 48 65
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 2
4
Assim, verifica-se que os lados do retângulo medem 5 cm e 13 cm. O perímetro do
retângulo será igual a 5 cm + 5cm + 13 cm + 13 cm = 36 cm.
e) Se x for considerada a medida do lado do quadrado original, com a redução de
2 metros o lado do quadrado interno medirá x – 4 metros:
Portanto, é possível escrever a seguinte equação: (x – 4)2 = 144. A solução dessa
equação pode ser feita com cálculo mental. Para isso, deve-se notar que 144 é o
quadrado do número 12 e que, portanto, x – 4 = 12, isto é, x = 16. Logo, a área
original desse quarteirão era de 256 m2.
Página 6
6.
IItteemm EEqquuaaççããoo uuttiilliizzaaddaa EEqquuaaççããoo ttrraannssffoorrmmaaddaa
a) x2 = 49 x2 – 49 = 0
b) 2y2 = 242 2y2 – 242 = 0
c) a2 = 36 a2 – 36 = 0
d) x(x + 8) = 65 x2 + 8x – 65 = 0
e) (x – 4)2 = 144 x2 – 8x – 128 = 0
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 2
5
Todas as equações possuem um termo no qual a incógnita está elevada à segunda
potência.
Além disso, apenas os problemas (d) e (e) apresentam equações de 2o grau com três
termos.
Páginas 6-9
7.
Os valores encontrados para cada equação devem ser experimentados para que se verifique se
satisfazem as mesmas.
a)
satisfaz
945
9425
b)
satisfaz
162
1624
2)2(
e
satisfaz
162
1624
2)2(
c)
satisfaz
000
00.903
e
satisfaz
02727
0)3.(9)3( 3
e
satisfaz
02727
0)3.(9)3( 3
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 2
6
d)
satisfaz
01616
016)2( 4
e
satisfaz
01616
016)2( 4
8.
a) – 3 ou 3.
b) – 3 ou 3.
c) – 3 ou 3.
d) – 4 ou 4.
e) 2
5
2
5ou .
f) 5
2
5
2ou .
g) Não há solução real, pois não há número real que elevado ao quadrado seja
igual a –1.
h) – 2 ou 2.
i) 2
7
2
7ou .
j) 0.
k) 0.
l) 0.
9.
a) –2, 6
b) 2
1,
3
2
c) 0, 4
d) –1, 0
e) 3, 5
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 2
7
Página 10
10.
a) – 6 ou 6.
b) – 7 ou 11.
c) Não há solução real.
d) 0 ou 4.
e) – 5 ou 5.
Página 12
11.
13122 xx
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 2
8
136.22 xx
49)6(3613366.2 22 xouxx
Sendo a nova área 49, a medida do lado do novo quadrado será 49 = 7. Assim, o
lado do quadrado x + 6 = 7; portanto, x = 1 é a solução.
Páginas 14-15
12.
a)
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 2
9
1030
1020
40010
400)10(
100300100202
2
xoux
x
x
x
xx
b)
612
5
2
74
49
2
5
4
49
2
5
4
256
4
255
2
2
xoux
x
x
x
xx
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 2
10
c)
122 xx
Não há solução, pois a área não pode ser negativa. Contudo, é possível
extrapolar o limite dado pelo método e interpretar a equação da seguinte forma:
1,010)1(1112 22 xxxxx
Páginas 15-18
13.
a) Sim; (x + 2)2.
b) Sim; (x – 3)2.
c) Sim; (2x + 3)2.
d) Sim; (5x + 10)2.
e) Não é, pois o termo central não corresponde ao dobro do produto do primeiro
termo, x, pelo segundo, 1.
14.
a) 81
b) 12
c) 100
d) 28
e) 9
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 2
11
15.
a) (x – 3)2 = 0, logo x = 3.
b) (x + 6)2 = 0, logo x = –6.
c) (x – 2)2 = 0, logo x = 2.
d) (x + 2
1 )2 = 0, logo x =
2
1 .
16.
a) 3 e 4, pois 3+4 = 7 e 3 . 4 = 12
b) 3 e 8, pois 3+8 = 11 e 3 . 8 = 24
c) –1 e 12, pois 12 + (–1) = 11 e 12 . (–1) = –12
d) –2 e 12, pois 12 + (–2) = 10 e 12 . (–2) = –24
e) – 5 e –8, pois (–5) + (–8) = –13 e (–5) . (–8) = 40
f) 4 e –10, pois 4 + (–10) = – 6 e 4 . (–10) = – 40
17.
a) (x + 2).(x + 15)
b) (x – 4).(x – 8)
c) (x + 5).(x – 12)
d) (x – 10).(x + 6)
18.
a) (x – 5).(x + 3) = 0, logo, x = 5 ou x = –3.
b) (x + 3).(x + 4) = 0, logo, x = –3 ou x = –4.
c) (x – 6).(x – 6) = 0, logo, x = 6.
d) (x + 9).(x – 4) = 0, logo, x = – 9 ou x = 4.
e) (x – 4).(x – 9) = 0, logo, x = 4 ou x = 9.
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 2
12
Página 18
19.
EEqquuaaççããoo FFoorrmmaa ffaattoorraaddaa SSoolluuççããoo
a) x2 – 2x – 8 = 0 (x – 4).(x + 2) = 0 x = 4 ou x –2
b) x2 – 8x + 16 = 0 (x – 4).(x – 4) = 0
ou (x – 4)2 = 0 x = 4
c) x2 – 10x + 24 = 0 (x – 4).(x – 6) = 0 x = 4 ou x = 6
d) x2 + 2x = 0 x(x + 2) = 0 x = 0 ou x = –2
e) 6x2 – 18x +12 = 0 6(x – 1).(x – 2) x = 1 ou x = 2
f) 2x2 – 18x + 36 = 0 2(x – 3).(x – 6) x = 3 ou x = 6
Páginas 19-21
20. Algumas respostas possíveis:
a) (x + 5).(x – 3) = 0
x2 + 2x – 15 = 0
b) (x – 4).(x – 12) = 0
x2 – 16x + 48 = 0
c) (x + 2).(x + 2,5) = 0
x2 + 4,5x + 5 = 0
d) (x + 2
1).(x –
3
2) = 0
x2 –6
1x –
3
1 = 0
e) (x).(x – 12) = 0
x2 – 12x = 0
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 2
13
f) (x + 5).(x –5) = 0
x2 – 25 = 0
21.
a) x = 1 ou x = –3
b) x = –1 ou x = 3
2
c) x = 1 ou x = 6
d) x = –1 ou x = 2
1
e) Não tem solução real.
f) x = 2
3
22. O valor da expressão b² – 4ac é tão importante que foi denominado discriminante.
De fato, seu valor vai determinar se uma equação de 2o grau pode admitir duas raízes
reais distintas ou duas raízes reais idênticas (uma raiz dupla), ou, então, não admitir
raízes reais. Ele foi representado por uma letra grega Δ (delta). Assim, Δ = b2 – 4ac.
Como ele é o radicando de uma raiz quadrada, podemos estabelecer as seguintes
relações:
ΔΔ == 00 ΔΔ >> 00 ΔΔ << 00
Duas raízes reais idênticas
(uma raiz dupla), pois a raiz
quadrada de zero é igual a
zero e, desta forma, somando-
se ou subtraindo-se da
fórmula de Bhaskara,
obtemos um único valor para
a razis da equação.
Duas raízes reais
distintas, pois a raiz
quadrada de um número
positivo sempre será um
número real. Somando-se
a da fórmula de
Bhaskara, obteremos um
valor distinto daquele
obtido pela subtração da
mesma raiz quadrada.
Não admite raízes reais,
pois não existe um número
real que seja resultado de
uma raiz quadrada de
número negativo.
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 2
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Páginas 21-22
23.
a) 2.
b) Não existem raízes reais.
c) 3 ou 5.
d) 4
331
4
331 ou .
e) –1 ou 3.
f) –1 ou 3.
g) –1 ou 3.
24. Qualquer uma dessas equações é resultado da multiplicação dos dois membros, em
relação a uma delas, por um mesmo número real diferente de 0. Assim, pelo
princípio multiplicativo da igualdade, todas são equações equivalentes e, por isso,
têm as mesmas raízes.
Página 23
25.
a) x(x + 5) = 3 . 2 para x ≠ 0
x2 + 5x – 6 = 0
x = 1 ou x = –6
b) 2
92
1
10
xxx para x ≠ 0, –1 e –2
10x(x + 2) = 2(x + 1).(x + 2) + 9x(x + 1)
10x2 + 20x = 2x2 + 6x + 4 + 9x2 + 9x
–x2 + 5x – 4 = 0
x = 1 ou x = 4
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 2
15
Páginas 25-30
1.
a) Se considerarmos x o total do bando, temos que xx
128
2
. Resolvendo a
equação, encontramos duas possibilidades: 16 e 48.
b) Consideremos inicialmente x a distância do tronco da palmeira maior ao peixe.
Como os pássaros chegam ao mesmo tempo, supomos que voem à mesma
velocidade, considerando que a distância por eles percorrida é a mesma. Portanto, os
2 triângulos retângulos possuem a mesma medida de hipotenusa. Dessa forma,
aplicando-se o Teorema de Pitágoras, podemos escrever 302 + x2 = 202 + (50 – x)2.
Embora pareça uma equação de 2o grau, os termos em x2 se cancelarão, resultando
em uma equação de 1o grau de raiz 20. Portanto, o peixe apareceu a 20 côvados da
palmeira maior.
c) A equação será 11x2 + 7x = 6,25. As raízes da equação serão 2
1 e
22
25 .
Contudo, somente a solução positiva tem significado nessa situação: a medida do
lado do quadrado deve ser igual a 2
1 ou 0,5.
2. Geralmente, no início do problema devemos decidir se o professor será ou não
considerado no total de pessoas. No caso, podemos supor que ele observou os
cumprimentos entre as pessoas, desconsiderando, portanto, os referentes a ele. Para
resolver esse problema, o aluno deve considerar inicialmente que o número de
cumprimentos que cada pessoa dá é 1 unidade a menos que o número total de
pessoas; afinal, uma pessoa não cumprimenta a si mesma. Indicando por x o número
de pessoas, o número total de cumprimentos será x(x – 1). Depois, como o
cumprimento do aluno A com o aluno B é o mesmo cumprimento de B com A esse
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2
EQUAÇÕES DE 2o GRAU NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 2
16
total de cumprimentos poderá ser expresso pela equação 662
)1(
xx, isto é,
x2 – x – 132 = 0, que terá como raízes os números 12 e –11. Como a raiz negativa
não tem significado, podemos concluir que 12 pessoas o acompanharam.
3. Na resolução desta questão, o aluno obterá a equação x² – 5x + 10 = 0, cujo
discriminante é negativo, indicando, assim, que não existem dois números reais que
satisfazem às condições do problema.
4.
a) – 9 ou –1.
b) – 6 ou 6.
c) Uma possível resposta: b = 5, uma vez que esta questão não tem uma única
resposta. Sua discussão permite antecipar a compreensão de noções importantes
relacionadas à função modular, que poderão ser desenvolvidas mais adiante, durante
o Ensino Médio.
5.
a) Retângulo: duas diagonais; pentágono: cinco diagonais.
b)
NNúúmmeerroo ddee llaaddooss ddee uumm ppoollííggoonnoo NNúúmmeerroo ddee ddiiaaggoonnaaiiss ddee uumm ppoollííggoonnoo
3 0
4 2
5 5
6 9
7 14
... ...
n 2
)3( nn
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 2
17
c) 90.
d) 11 lados.
e) Basta mostrar que a equação 422
)3(
nn, ou seja, n2 – 3n – 84 = 0 não possui
raízes inteiras positivas.
Páginas 30-31
6. A área ocupada pelas pedras pode ser decomposta em dois retângulos de área igual a
6x e 15x e um quadrado de área x2. Assim, podemos escrever a equação
x2+15x+6x = 46, cuja solução positiva é 2. Portanto, a medida do lado x é igual a 2.
7. Sendo x o número de fios de linha azul, podemos escrever a equação
x(x+5) = 6 800, cuja solução positiva é 80. Portanto, são 80 fios azuis e 85 fios
vermelhos.
8. A área da moldura pode ser decomposta em quatro quadrados de área x2, dois
retângulos de área 2x e 2 retângulos de área 4x. Resolvendo a equação
4x2 + 2 . 2x + 2 . 4x = 7, obtemos as raízes – 3,5 e 0,5. Portanto, o valor de x será
0,5 m.
Desafio!
Página 32
9.
a) x3 – 6x = 0; logo, x(x2 – 6) = 0.
Portanto, x = 0 ou x2 – 6 = 0 x = 6 . A equação tem, portanto, como soluções:
S = 6,6,0 .
b) x(x2 – 6x) = 0.
x = 0 é uma das soluções.
x2 – 6x = 0x = 0 ou x = 6.
A solução da equação é S = {0, 6}.
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 2
18
Páginas 34-35
1. Podemos dizer que o preço de dez maçãs está relativamente baixo em comparação
com o preço de cinco maçãs. Se o preço fosse diretamente proporcional ao número
de maçãs, dez delas custariam 2 reais, e não R$ 1,80. Por isso, a oferta do feirante era
realmente boa para a compra de dez maçãs.
2.
a) São grandezas diretamente proporcionais, pois, por exemplo, quando o valor de
uma grandeza dobra o valor correspondente da outra também dobra; quando este
triplica, o outro também triplica, etc. Isto é, a razão y
x é constante e a sentença que
expressa a relação entre x e y é y = 10x.
b) São grandezas inversamente proporcionais, pois, por exemplo, quando o valor de
uma grandeza dobra o valor correspondente da outra se reduz à metade; quando este
triplica, o outro reduz a um terço, etc. O produto de x . y é constante e a sentença que
expressa a relação entre x e y é x . y = 48 ou x
y48
.
c) Não são grandezas nem direta nem inversamente proporcionais, pois não se
observa uma constante nem para y
x nem para x . y. A sentença que relaciona x e y
pode ser y = 2x + 1 (analisando a tabela, pode-se perceber que os valores de y são
iguais ao dobro dos correspondentes valores de x acrescidos de 1 unidade).
d) Também não são grandezas nem direta nem inversamente proporcionais, pois
não se observa uma constante nem para y
x nem para x . y. A sentença que relaciona
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3
GRANDEZAS PROPORCIONAIS: ESTUDO FUNCIONAL, SIGNIFICADOS E CONTEXTOS
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 2
19
x e y é y = 2x2 (analisando a tabela, pode-se perceber que os valores de y são iguais
ao dobro do quadrado dos correspondentes valores de x).
Páginas 35-37
3.
xx 1 2 3 4 5 6 7
yy 3 5 7 9 11 13 15
yy –– 11 2 4 6 8 10 12 14
Sim, há proporcionalidade direta entre x e y – 1. Percebemos que a razão x
y 1 é
constante. Como 21
x
y, o valor 2 representa a constante de proporcionalidade.
4.
xx 1 2 3 4 5 6 7
xx22 1 4 9 16 25 36 49
yy 2 8 18 32 50 72 98
Construindo uma nova tabela, observamos que os valores de y são diretamente
proporcionais ao quadrado de x, isto é, 2x
y é constante e, como 2
2
x
y, a constante
de proporcionalidade é 2.
5.
a) Não. Quando a idade de uma pessoa dobra (digamos, passa de 2 para 4 anos),
não é verdade que sua massa também dobra. Se houvesse proporcionalidade direta,
imagine a massa de uma pessoa aos 40 anos...
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 2
20
b) Sim. O preço a pagar p é o produto do preço de 1 metro do fio pela quantidade x
de metros: p = kx, onde k é o preço de 1 metro de fio. Mas, às vezes, o vendedor
pode fazer algum desconto se a pessoa comprar muitos metros e, nesse caso, a
proporcionalidade deixa de existir.
c) Sim. De fato, quando o número de cópias dobra (digamos, passa de cinco para
dez), o preço a ser pago também dobra.
d) Sim. O perímetro p é igual à soma das medidas dos três lados, ou seja, p é o
produto da medida a do lado por 3, ou seja p = 3a. Portanto, o perímetro é
proporcional à medida do lado do triângulo equilátero.
e) Sim. A diagonal d é igual ao produto de a por 2 , ou seja, ad .2 . É
possível perceber essa relação aplicando-se o Teorema de Pitágoras.
f) Sim. O quociente entre C e r é igual a uma constante: 2π. Ou seja,
rCe
r
C.22
g) Não. A área do círculo não é proporcional ao seu raio. No entanto, como a área
de um círculo é dada pela expressão A = πr2, observamos a seguinte
proporcionalidade: 2r
A. Portanto, a área de um círculo é proporcional ao
quadrado do seu raio.
Páginas 37-41
6.
a) 100
1
20
4
10
1222
v
dk .
b) Para d = 83, temos 83.100
1 2 v , cuja solução é 91,1. Portanto, a velocidade
deve ser de aproximadamente 90 km/h.
c) Para v = 80, temos 280.100
1d , cuja solução é 64 metros.
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 2
21
7.
a) x = 100 e C = 1 500. Substituindo esses valores na expressão, chegamos ao valor
de k = 5. Isso significa que, a cada quantidade produzida, o custo total aumenta
5 reais.
b) Aumentará, em ambos os casos, 5 reais, pois a variação foi de 1 unidade
produzida.
c) x = 200, pois 5 . 200 = 1 000.
d) Não. O custo total C não é diretamente proporcional a x, pois a razão x
C não é
constante. Veja: para x = 1, temos C = 1 005 e, para x = 2, temos C = 1 010;
1
0051
2
0101 , ou seja,
x
C não é constante.
e) Sim. A diferença entre o custo total e o custo fixo é diretamente proporcional a
x, ou seja, o custo variável é diretamente proporcional a x e a constante de
proporcionalidade é igual a 5.
f)
NNoo ddee pprroodduuttooss ((xx))
CCuussttoo ttoottaall DDiiffeerreennççaa eennttrree oo
ccuussttoo ttoottaall ee oo ccuussttoo ffiixxoo ((ccuussttoo vvaarriiáávveell))
RRaazzããoo eennttrree aa ddiiffeerreennççaa ee xx
1 1 000 + 5 . 1 = 1 005 1 005 – 1 000 = 5 51
5
2 1 000 + 5 . 2 = 1 010 1 010 – 1 000 = 10 52
10
3 1 000 + 5 . 3 = 1 015 1 015 – 1 000 = 15 53
15
4 1 000 + 5 . 4 = 1 020 1 020 – 1 000 = 20 54
20
10 1 000 + 5 . 10 = 1 050 1 050 – 1 000 = 50 510
50
8.
a) Mulher: n = 3 . 13 – 22 = 17 / Homem: n = 3 . 16 – 25 = 23.
b) A mulher, pois a parcela subtraída na fórmula é menor do que a do homem.
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 2
22
c) A resposta é não. Construindo uma tabela, como a apresentada a seguir,
observamos que a diferença entre os números dos homens e os das mulheres
permanece em 3 unidades e que cada uma delas cresce com a mesma variação: 3 por
polegada.
CC 9 10 11 12 13 14 15 16 17
NNoo hhoommeemm 2 5 8 11 13 15 17 20 23
NNoo mmuullhheerr 5 8 11 13 15 17 20 23 26
Para seguir o raciocínio da atividade, teríamos a seguinte resposta algébrica:
Como queremos saber se os números de sapato podem ser iguais para determinado
comprimento de pé, tanto masculino quanto feminino, os valores de n em ambas as equações
devem ser iguais. Portanto, 3c – 22 = 3c – 25.
Na tentativa de resolver a equação, ficamos com 3c – 3c = - 25 + 22. Então, 0 = - 3 (impossível
encontrar o valor de n).
Páginas 41-42
9.
a) Quando se passa da superfície (x = 0) para uma profundidade de 10 m (x = 10), a
pressão aumenta 1 atmosfera. Assim, a 10 m de profundidade a pressão será 1 + 1 =
2 atmosferas. Logo, 2 = 1 + k . 10. Calculando k, obtém-se k = 0,1. Esse valor
poderia ser mais rapidamente calculado, bastando dividir o acréscimo de 1 atmosfera
de pressão por 10.
b) A cada metro que descemos, a pressão aumenta 0,1 atm.
c) x = 20 m.
d) Não, pois a razão entre p e h não é constante.
e) Sim, pois a razão entre a diferença entre as pressões (acréscimo de pressão) e a
profundidade é constante.
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 2
23
Páginas 42-43
10.
a)
DDiissttâânncciiaa ((dd)) 1 2 3 4 5 6 7
ÁÁrreeaa ((AA)) 1 4 9 16 25 36 49
b) A = d2.
c) A não é diretamente proporcional a d, pois d
A não é constante.
d) A é diretamente proporcional a d2 e a razão de proporcionalidade é 1.
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 2
24
Páginas 44-47
1.
I – c.
II – d.
III – b.
2.
a) 30 gramas.
b) 2 cm3.
c) Por meio da leitura do gráfico podemos verificar que a amostra de 1 cm3 de ferro
tem massa de 7,5 gramas. A massa de 2 cm3 é 15 gramas, enquanto a de 4 cm3 é
30 g. Por outro lado, podemos ler o gráfico com base no eixo vertical: o volume de
uma amostra de ferro de massa 22,5 gramas é de 3 cm3. Esse gráfico indica como
varia a massa m (em gramas) de amostras de ferro de acordo com a variação do
volume V dessas amostras. Observe, então, que ao duplicar o volume (de 1 cm3 para
2 cm3) a massa também duplicou (de 7,5 gramas para 15 gramas); ao triplicar o
volume (de 1 cm3 para 3 cm3) a massa também triplicou (de 7,5 gramas para
22,5 gramas). Assim, concluímos que a massa (ferro) é diretamente proporcional ao
volume.
d) Observando os valores das massas e dos volumes apresentados, verificamos
que: 31
5,7
cm
gramas= 7,5 g/cm3; 32
15
cm
gramas= 7,5 g/cm3;
33
/5,73
5,22cmg
cm
gramas .
Portanto, ao variar o volume V do bloco, sua massa também varia, mas o quociente
entre a massa m e o volume V permanece constante (igual a 7,5 g/cm3).
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE GRANDEZAS PROPORCIONAIS E DE ALGUMAS NÃO PROPORCIONAIS
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 2
25
e) VmouV
m5,75,7 .
3.
a)
tt ((hh)) 1 1,5 2 3 4 5 6 8 12
vv ((kkmm//hh))
120 80 60 40 30 24 20 15 10
b) Podemos dizer que as grandezas envolvidas nesse problema – a velocidade
média e o tempo gasto para percorrer a distância dada – não são diretamente
proporcionais, e sim inversamente proporcionais, porque quando o valor de uma
delas é multiplicado por 2, o valor correspondente da outra é dividido por 2. Da
mesma forma, quando um deles é dividido por 6, o correspondente da outra é
multiplicado por 6 e assim por diante. Ou seja, duas grandezas x e y são
inversamente proporcionais quando os produtos dos valores de uma pelos
correspondentes valores da outra forem constantes. Gráficos de grandezas
inversamente proporcionais são denominados hipérboles.
c) v . t = 120.
Páginas 47-49
4.
a) As grandezas não são diretamente proporcionais porque a razão q
p não é
constante. Por exemplo: 400
10= 0,025 é diferente de
500
8 = 0,016. As grandezas
também não são inversamente proporcionais, pois o produto de p e q também não é
constante. Por exemplo, 10400 = 4000 é diferente de 16.100 = 1600.
Analisando a relação existente entre as grandezas envolvidas, percebemos que
quando há aumento de uma ocorre diminuição da outra. Por isso, essa relação pode
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 2
26
ser chamada de decrescente. As grandezas em questão não são inversamente
proporcionais, pois, quando se compra uma quantidade de camisetas duas vezes
maior, o valor da cada camiseta diminui, mas não se reduz à metade; quando a
quantidade de itens vendidos é triplicada, o preço por unidade diminui, mas não se
reduz a um terço, etc. Portanto, essas grandezas não são direta nem inversamente
proporcionais.
b) O preço varia em 2 reais.
c) O preço diminui 2 reais para cada aumento de 100 unidades vendidas. Portanto,
o preço não se modificou para uma unidade vendida.
d) Considerando que, para cada diminuição de 100 unidades o preço aumenta 2
reais, então, o preço inicial das camisetas seria 18 reais. Como a cada unidade
vendida o preço diminui 0,02 real, então, podemos escrever que p = 18 – 0,02q.
5.
a) Sim, porque o produto das grandezas envolvidas é constante (36).
b)
No de bombons (n)
No de caixas (c)
2 18
3 12
4 9
6 6
9 4
12 3
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 2
27
c)
Páginas 50-53
6.
a)
RReettâânngguullooss PPeerríímmeettrroo ((ccmm)) ÁÁrreeaa ((ccmm22))
I 22 24
II 22 10
III 22 30
b) 2x + 2y = 22, logo y = –x + 11.
c) Nesta tabela, consideramos apenas os valores inteiros de x.
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
y 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 2
28
d) À medida que o valor de x aumenta, é possível observar também que o valor de
y diminui. Trata-se de uma função decrescente. As variáveis y e x não são
proporcionais entre si.
e) A = x . y = x(– x + 11) = – x2 + 11x.
f) Considerando-se apenas os valores inteiros de x, obtêm-se:
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A 0 10 18 24 28 30 30 28 24 18 10 0
g) A partir da tabela, pode-se observar que os valores de A e x não são nem direta
nem inversamente proporcionais.
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 2
29
h)
Observando o gráfico construído, pode-se concluir que a maior área será obtida para
x entre 5 e 6, isto é, 5,5. Para essa medida, os lados do retângulo devem ser iguais, ou
seja, a área máxima será a de um quadrado.
7.
a) p = 4x
b) A = x²
c) x² = 4x; logo, x = 4
Páginas 54-55
8.
a) Se o ingresso custar 4 reais, o lucro será de 12 reais, como mostra o gráfico.
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 2
30
b) Não, para valores maiores que 6 reais e menores que 10 reais haverá lucro. A
partir daí, haverá prejuízo. Também haverá prejuízo para valores menores que 2
reais.
c) O lucro cresce até 6 reais. A partir daí, ele decresce.
d) O lucro máximo de 16 reais é obtido com o ingresso custando 6 reais.
e) Nesses intervalos o projeto tem prejuízo.
f) Para esses valores, o lucro é o mesmo, isto é, 7 reais. Observa-se que os valores
encontram um eixo de simetria, paralelo ao eixo y, que passa pelo ponto máximo da
função.