Cadenas Markov Discreta.ppt

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Cadenas de Markov discretasCadenas de Markov discretas


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Anlisis EstacionarioAnlisis Estacionario

Se define el vector de probabilidad estacionaria como:

Se dice que la cadena de Markov tiene probabilidad detransicin estacionaria si se cumple la ecuacin matricial:

Definicin:

;0,1,2...., jiij i PPparajE

()limnn



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Se dispone de 4 mdulos de atencin que sevan activando secuencialmente a medida quela cantidad de usuarios que deben seratendidos aumenta.

Cada mdulo tiene un mximo de usuarios alos que puede entregar servicio.

Cuando un mdulo est completamenteutilizado, entra en servicio el siguientemdulo.

Si un mdulo deja de ser utilizado, el mdulose desactiva temporalmente, quedando enservicio los mdulos anteriores.

Ejemplo:

CentralTelefnica

G1 G2 G3 G4



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Interesa conocer: Cul es la probabilidad de que

cada mdulo est en uso?. Es decir, se desea conocer, con que

probabilidad se utiliza cada mdulo,en cualquier instante de tiempo.

Ejemplo:

CentralTelefnica

G1 G2 G3 G4



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La definicin de estados para elejemplo ser:

Estado 1: El mdulo 1 est siendoutilizado. Estado 2: El mdulo 2 est siendo

utilizado. Estado 3: El mdulo 3 est siendo

utilizado. Estado 4: El mdulo 4 est siendo

utilizado.

Ejemplo:

CentralTelefnica

G1 G2 G3 G4



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Las probabilidades de transicin, asociada a cada mduloson:

Ejemplo:

Desde el 1 al 1: 0.3Desde el 1 al 2: 0.7Desde el 1 al 3: 0Desde el 1 al 4:0

Desde el 2 al 1: 0.4Desde el 2 al 2: 0.2Desde el 2 al 3: 0.4Desde el 2 al 4: 0

Desde el 3 al 1: 0Desde el 3 al 2: 0.3Desde el 3 al 3: 0.1Desee el 3 al 4: 0.6

Desde el 4 al 1: 0Desde el 4 al 2: 0Desde el 4 al 3: 0.5Desee el 4 al 4: 0.5



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El diagrama de estados que representa la situacin antesdescrita es el siguiente:

Ejemplo:

1 2 3 4

0.3 0.7

0.2

0.4

0.1

0.6 0.5

0.3 0.50.4



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La matriz de transicin asociada al ejemplo es:Ejemplo:

El vector de probabilidad de transicin estacionaria es:

5.05.000

6.01.03.0004.02.04.0

007.03.0

P

4321



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Considerando las ecuaciones matricial:

Ejemplo:

P (1)

123341

(2)

Condicin de probabilidades totales

En estado estacionario laprobabilidad de estar en estado i

en el paso n, es igual a laprobabilidad de estar en estado i

en el paso n+1

1 = 0,31+0,42

2 = 0,72+0,22+0,33

3 = 0,42+0,11+ 0,63

4 = 0,5 3 + 0,5 4

Hay que eliminar una delas ecuaciones del

sistema y agregar la

ecuacin 2



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Resolviendo el sistema de ecuaciones anteriores, seobtiene:

Ejemplo:

1 0,127

2 0,222

3 0,296

4 0,355


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Eejmplo 3: un modelo para el


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j p pdesplazamiento poblacional

Para efectos de una investigacin, en un determinado pas,una familia puede clasificarse como habitante de zonaurbana, rural o suburbana. Se ha estimado que durante unao cualquiera, el 15% de todas las familias urbanas secambian a zona suburbana y el 5% a zona rural. El 6% de lasfamilias suburbanas pasan a zona urbana y el 4% a zona

rural. El 4% de las familias rurales pasan a zona urbana y el6% a zona suburbana.

Cadenas de Markov: ejemplo


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Cadenas de Markov: ejemplo

Tendremos la siguiente matriz de transicin

Urb. Surb. Rur.

90006 0040

04090006 0

050150800

,,,

,,,

,,,

P

Cadenas de Markov


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Cadenas de Markov

Urb Surb. Rural

0,15 0,04

0,05

0,04

0,06 0,06

0,8

0,90

0,90

Aplicacin de resultados anteriores


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Consideremos el ejemplo 3, y supongamos que al inicio de lainvestigacin, el 35% de la poblacin viva en reas urbanas, el45% en rea suburbana, y el resto en rea rural.

a) Si inicialmente una familia vive en un rea rural, cul es laprobabilidad de que tres aos despus esta familia viva en unrea urbana?

b) Cual es la probabilidad de que tres aos despes de iniciada

la investigacin una familia viva en el rea urbana?



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a) 0,0967b) 0,2691

),,,(a

,,,

,,,

,,,

P

t 20045 035 0

74110162200967 0

1055 07593013520

1248033530539903

Ejemplo (desplazamiento poblacional:


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ejemplo 3)

Dado que la matriz del ejemplo 3 es ergdica,podemos hacer:

102

1

90006 0040

04090006 0

05 015 0800

321

321321

,,,

,,,

,,,

),,(),,(

continuacin


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continuacin

Una opcin es:

321

3212

3211

1

06 090015 0

04006 0800

,,,

,,,

continuacin


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continuacin

Cuya solucin es

( 1, 2, 3) = (0.2077 , 0.4918 , 0.3005)

Es decir, si con el paso del tiempo se mantiene elcomportamiento descrito por el modelo (lo cual esmuy poco probable) despus de muchos aos,aproximadamente, el 21% de la poblacin ocuparlas zonas urbanas, el 49% las suburbanas y el 30% larural.

Tiempo de primera pasada


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Estamos interesados en tener informacin respecto alnmero de pasos (transiciones) que hace el procesoal ir de un estado i a un estado j por primera vez. Se

define

Ti,j = tiempo de primera pasada al ir del estado i al

estado j



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Definimos el tiempo esperado de recurrencia

E(Ti,j ) = ij

Se puede demostrar que se cumple:

jnnjinij

j

jj

p1

1

Cadenas de Markov: Otrosadenas de Markov: OtrosEjemplosjemplos


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Dos Posibles estados: 0 Llueve 1 No llueve

Supuesto: El tiempo de maana slo depende del de Hoy.

Llueve Hoy Prob. que llueva maanaNo llueve Hoy Prob. que llueva maana

Prediccin del TiempoPrediccin del Tiempo

Ejemplosjemplos

Cadenas de Markov: Otrosadenas de Markov: Otros Ejemplosjemplos


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La matriz de transicin P queda:

Grficamente:

108

P

1

1

0 1

0

1

0 17,0

4,0

11

Ejemplosjemplos


Cadenas de Markov: Otrosadenas de Markov: OtrosEjemplosjemplos


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Sea la probabilidad que llueva hoy de 0.2

Cual es la Probabilidad incondicional de que maanallueva?

P 0 7 0 30 4 0 6. .. .

Ejemplosjemplos




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Aplicando el Teorema de Probabilidades Totales: Sea : Probabilidad incondicional de que

llover maana. = P(maana llover /hoy llueve) + P(maana llover /hoy no llueve)

02 0800 10. . P P 0 2 0 7 0 8 0 4 0 46. . . . .

Ejemplosjemplos




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0 1 0 111

0 0 1

1 0 11 1 ( ) ( ) 1 0 1

Ejemplosjemplos

Prediccin del TiempoPrediccin del TiempoEn el caso General:

Cadenas de Markov otros ejemplos


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Cadenas de Markov otros ejemplos

Si a = 0.7 y b = 0.4, entonces la probabilidad lmite quellover ser:

es decir:

0 4 7 /

1 3 7 /

0 1 4 7 3 7/ /



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Ejemplos varios

113


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Matriz de probabilidades de transicin :


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0 1/3 1/3 1/3

1/2 0 1/2 0

1/3 1/3 0 1/3

1/2 0 1/2 0

P =

SOLUCIONES ESTACIONARIAS


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SOLUCIONES ESTACIONARIAS

Soluciones Estacionarias parta la Cadena de Markov Regular

1 = 1/2 2 + 1/3 3 +1/2 4

2= 1/3 1 + 1/3 3

3= 1/3 1 +1/2 2 + 3 + 4 se elimina

4= 1/3 1 + 1/3 3

1+ 2 + 3 + 4 = 1

Sol 1=3/10 = 3

2==2/10 = 4

117

12 3 4

1 0 1/3 1/3 1/32 1/2 0 1/2 03 1/3 1/3 0 1/34 1/2 0 1/2 0

Preguntas


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Preguntas

1. Cuales son las probabilidades de que encondiciones estacionarias se encuentre encada una de las piezas ?

2. 1=3/103. 2=2/104. 3=3/105. 4=2/10

Existe distribucin lmite porque :


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Para acabar con el ratn Se pone queso envenenado en la cocina

Se abre la puerta de la entrada (SE)

p q

El sistema tiene una sola clase final

Esa clase final es aperidica

S

C HE

Ahora el sistema carece de distribucin lmite


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-Hay dos distribuciones finales

E S

C H

S E 1/3

1/3

1/3

1/3

1/3

1/3

1/3

1/3

Que probabilidad hay de que el sistema sea


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absorbido en cada estado final ?

1. E, S y H son estados transitorios.2. C y SE son estados recurrentes o finales.

La situacin inicial del ratn determinar lasituacin futura.

Si inicialmente est en E es ms probable quesalga de casa.

Si inicialmente est en H es ms probable que sequede en la cocina.

Matriz de transicin: Estructura de P :1 0 0 0 0


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1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

1/3 0 0 1/3 1/3

0 1/3 1/3 0 1/3

0 1/3 1/3 1/3 0

P = P =

I O

R Q

1. Matriz identidad (tantas columnas y filas como estadosfinales) ( I)

2. Matriz 2 x 3 (tantas columnas como transitorios y tantasfilas como estados finales) (O)

3. Matriz 3 x 2 (Probabilidades de absorcin en un solo salto)(R)

4. Matriz 3 x 3 (Probabilidad de transicin entre transitorios)(Q )

Resolvemos el sistema:


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1 -1/3 -1/3

-1/3 1 -1/3-1/3 -1/3 1

1/3 0

0 1/3

0 1/3

I - Q R

M a t r iz d e

a b s o r c i n e n u n s o lo s a lt o

Mat r iz de pr ob . Ent r e t r ansit or ios

Preguntas


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Preguntas

1. Cual es la probabilidad de que termineenvenenado ?

2. Cuanto tiempo permanecer el ratn en la

casa si parte de S ?

Matriz inversa (I-Q)


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Matriz inversa (I Q)

1.498 0.748 0.748 0.748 1.498 0.748 = (I-Q) -1

0.748 0.748 1.498 2) Si parte de S permanecer en la casa

0.748+1.498+0.748 = 2,994

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Matriz NR


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NR =

1) =0,751 si parti del saln

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SE Patio Entrada C cocinaE 0,501 0,499

S 0,249 0,751

H 0,249 0,751


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Probabilidades condicionales


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Una fabrica conservera mexicana de ajes ( chiles ) envasa 4 variedades de chiles:serranos, pasilla, habaneros y poblanos. La fbrica consta de tres plantas de produccin 1,2,y 3. La primera planta produce tres veces ms ajes que la segunda y tercera queproducen lo mismo. En cada cadena se envasas los cuatro tipos de ajes en las siguientesproporciones.

Prob Serranos Pasilla Habaneros Poblanos

1 3/5 10% 30% 50% 10%

2 1/5 30% 40% 10% 20%

3 1/5 40% 10% 20% 30%


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1. Si se toma una lata al azar y no es pasilla ni proviene de la segunda planta Cul es laprobabilidad de que provenga de la primera plantas y se de la variedad habanero?

Se puede reformular el problema inicial cambiando el espacio muestral eliminado laspasilla y la planta 2 . Lo que cambia las probabilidades cono se indica a continuacin

Prob de elegir la 1 planta y la probabilidad de elegir la 2 es Si se elige la primerala probabilidad de que se aun Habanero es 0,5/0,7 = 0,7143 Pore lo tanto laprobabilidad de elegir la 1 planta y un habanera en este caso ser 0,75( 0,7143)

=0,5357 Tambin se puede resolver por Bayes



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1. Si la primera planta produce el 10 % de las conservas defectuosas, la segunda un 20%

y la tercera un 15% y se elige al azar un conserva que resulta defectuosa, Calcule laprobabilidad de que provenga de la tercera planta. Calcule la probabilidad de que esaconserva defectuosa se pasilla

D= defectuoso P(D/1) = 0,1 P(D/2) =0,2 P(D/3)= 0,15

P(3/D) = P(3) P(D/3)/P(D) = 0,03/ 0,13 = 0,23

P(D/3) = 0,23 0,1 = 0,023

Reemplazo de autos


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p

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2. Cada ao su auto puede estar funcionando en buen estado B, funcionando con fallas F, oparado por una pana mayor P, de acuerdo a las siguientes probabilidades de transicinanual y costos.

Si su auto esta pana mayor P usted procede a comparar uno similar de inmediato.

Estados B F P

B 0,85 0,10 0,05

F 0,0 0,70 0,30

Valor de venta $6 millones $ 2 millones $ 0 millones

Costo anual Operacin $ 1 milln $ 1,5 milln $ 0 milln

LE CONVIENE REEMPLAZAR SU AUTO INMEDIATAMENTE CUANDO COMIENZA A PRESENTARFALLAS (F) Y NO ESPERAR UNA PANA MAYOR (P)?


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Benitez y Sandoval estn empatados en la final del Master de tenis. Cualquiera de ellos quegane el prximo punto tendr ventajas y si tiene ventajas y vuelve a ganar ganar el juego. Si las

probabilidades de ganar el prximo punto depende del estado empate o ventaja , de la siguientemanera para cada uno de ellos:Estado Prob. Benitez gane prximo

puntoProb. de Sandoval gane prximo punto

empate 2/3 1/3ventaja 3/4 1/2

Si el juego est empatado1) Modele el trmino del juego como una Cadena de Markov2) Cuantos puntos ms durar el juego?3) Cul es la probabilidad que gane Sandoval ?

Estados del juego


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Estados transientes Empate = 1 Ventaja Benitez = 2 Ventaja Sandoval = 3 Estados absorbentes Gana Benitez = 4 Gana Sandoval = 5

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Soluciones ion del juego


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Si parten empatados

2)Duracin del juego = +1/2+1 = 3 pts

3) Probabilidad que gane Sandoval =

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