断熱性断熱性 サッシの断熱性とは、サッシを通して流れる 熱の量を示し、内外の温度差が20 の 状態でサッシから伝導する熱量から熱貫流
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第3章 二次元定常熱伝導
伝熱工学の基礎: 伝熱の基本要素、フーリエの法則、ニュートンの冷却則
1次元定常熱伝導: 熱伝導率、熱通過率、熱伝導方程式
2次元定常熱伝導: ラプラスの方程式、数値解析の基礎
非定常熱伝導: 非定常熱伝導方程式、ラプラス変換、フーリエ数とビオ数
対流熱伝達の基礎: 熱伝達率、速度境界層と温度境界層、層流境界層と乱流境界層、境界層厚さ、混合平均温度
強制対流熱伝達: 管内乱流熱伝達、円柱および球の熱伝達、管群熱伝達
自然対流熱伝達: 垂直平板自然対流熱伝達、密閉層内自然対流、共存対流熱伝達
輻射伝熱: ステファン-ボルツマンの法則、黒体と灰色体、輻射率、形態係数
凝縮熱伝達: 鉛直平板膜状凝縮、凝縮数、水平円管膜状凝縮、滴状凝縮
沸騰熱伝達: 沸騰曲線、気泡力学、沸騰熱伝達率
各座標系における三次元熱伝導方程式
熱伝導率が一定とした場合、( :熱容量)
温度伝導率(Thermal Diffusivity): [m2/s]とすると、
直交座標系:
円筒座標:
球座標:
c
cq
zT
yT
xTT
2
2
2
2
2
2
cq
zTT
rrTr
rrT
2
2
2
2
211
ck
cqT
rT
rrTr
rrT
2
2
2222
2 sin1sin
sin11
2次元定常熱伝導における基礎方程式
熱源のある非定常3次元熱伝導方程式
熱源のない定常2次元熱伝導の場合
解くべき方程式 ラプラス方程式
cq
zT
yT
xTT
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
yT
xT0
0yT
xT
2
2
2
2
第3章 2次元定常熱伝導2次元熱伝導の数学的解析(その1)
矩形平板3つの板端の温度: T1
上端の温度分布: f(x)
T=f(x)
T=T1
T=T1
T=T1
x
y
H
W
02
2
2
2
yT
xT
境界条件(その1)
1
1
1
1
sin
00
TWxTTHy
TTWxTTxTTy
m
で
で
で
で
基礎方程式:
基礎式の変形
仮定した解Tを、基礎方程式に代入
2
2
2
2 11dy
YdYdx
XdX
x,yはそれぞれ独立であり、両辺はある定数に等しくなければならない。よって、
0,0 22
22
2
2
Ydy
YdXdx
Xd
XYT ただし yYY
xXX
変数分離法
分離定数の適合性(x方向に正弦関数の境界条件)
yCCxCCTyCCYxCCX
4321
43
212 0
のとき
yCyCeCeCTyCyCY
eCeCX
xx
xx
sincossincos
0
8765
87
652
のとき
この関数は境界条件に適合しないのでは不適な条件である
この関数は境界条件に適合しないのでは不適な条件である
適合する分離定数
yy
yy
eCeCxCxCTeCeCY
xCxCX
1211109
1211
1092
sincos
sincos0
のとき
この条件は境界条件に適合する。 として境界条件を代入する。境界条件は
1TT
WxTHy
Wxxy
m
sin00000
で
で
で
で
未定係数の決定
deCeCxCxC
WxT
ceCeCWCWCbeCeCCaCCxCxC
HHm
yy
yy
1211109
1211109
12119
1211109
sincossin
sincos00
sincos0
この境界条件を適用すると、
09
1211
CCC(a)より
(b)より
(c)より yy eeWCC sin0 1210 0sin Wよって、分離定数を整数であるとすると、 ,2,1,0 n
Wn
解の決定
Wyn
WxnCTT
nn
sinhsin1
1
最後の境界条件(d)を適用すると、
これより、n>1に対しCn=0でなければならない。よってW
HnW
xnCW
xnTn
nm sinhsinsin
1
1sin
/sinh/sinh T
Wx
WHWyTT m
求める微分方程式の解は、異なるnに対する一般解の和として記述することができる。すなわち、
0,sinhsinsin 321 CCWH
WxC
WxTm
境界条件(その2):
2
1
1
1
00
TTHyTTWxTTxTTy
で
で
で
で
Wyn
WxnCTT
nn
sinhsin1
1
境界条件の最初の3式より、次式の解が得られる。
2次元熱伝導の数学的解析(その2)
T=T2
T=T1
T=T1
T=T1
x
y
H
W
解の決定
温度差T2-T1を区間0<x<W上のフーリエ級数に展開する。
1
1
1212 sin112n
n
Wxn
nTTTT
第4の境界条件を代入すると
WHn
WxnCTT
nn
sinhsin1
12
この2式を比較すると、
nwHnTTC
n
n11
/sinh12 1
12
よって、最終的な解は、
wHn
wynW
xnnTT
TTn
n
/sinh/sinhsin112
1
1
12
1
関数展開の原理
関数F(x) が既知関数
1
2211
)(
)()()()(
kkk
mm
xc
xcxcxcxF
)(,),(),( 21 xxx m
線形結合によって記述されるとする。
係数 mccc ,,, 21 が適切に算出されれば、
任意関数F(x) は、既知関数 )}({ xm
によって記述できたことになる。
関数展開のために望ましい性質
nmdxxxba nm 0)()(
1.直交条件(orthogonal):
)()( xx nm のときノルム(norm)が定義できる
ba mm dxx)(2
2.正規化条件(normalize):
正規直交関数
正規直交関数による展開係数の決定
ba mkkm dxxx )()(正規直交関数
)(0)(1
kmkm
mk クロネッカのデルタ関数
dxxxcdxxFxba
k
ba kmkm
1)()()()(
mba
ba mkm cdxxcdxxFx )()()( 2
ここで
}{ mc
定数の正弦波(sin波)による展開
101)( xxu
区間[0 1]における関数
10)12sin(1)(1
xxmcxu
mm
を正弦波で展開すると、
ここで、展開係数cm は、
124
m
cm
長方形を展開するのに十分な展開項数は?
Program: ORTHG
2次元熱伝導方程式の厳密解
2次元熱伝導方程式(Laplace方程式): 10,1002
2
2
2
yx
yu
xu
境界条件:
(解)
1sinsinh
sinh112,
m
mxmym
mmtxu
1011,
1000,100,1100,0
xxuxxuyyuyyu
(Dirichlet条件)
Program: POLAX
差分法における空間の記述
連続的な空間(x,y)を等間隔に
x方向にi番目、y方向にj番目おける変数をu(ix,jy)
で分割。
x方向にx
y方向にy
と記述する。jiu ,
∆x
∆y
ii-1 i+1x
y
j
j-1
j+1
内点境界点
xOx
uuxOx
xu
xuu
xu jiji
ji
jiji
ji
,,12
,2
2,,1
, 21
3
,3
32
,2
2
,,,1 6
121 x
xux
xux
xuuu
jijijijiji
空間の前進差分近似
ui+1,jを点(i,j)においてxについてTaylor展開
j,ix/u について解く
これは、導関数 を表現する差分商 の1つがx/u xu / xO
xuu
xu
xu jiji
,,1
であることを示している。これを空間の前進差分近似(forward space difference)という。
xOxuu
xOxxu
xuu
xu jiji
ji
jiji
ji
,1,2
,2
2,1,
, 21
3
,3
32
,2
2
,,,1 6
121 x
xux
xux
xuuu
jijijijiji
空間の後退差分近似
ui-1,jを点(i,j)においてxについてTaylor展開
j,ix/u について解く
これは、導関数 を表現する差分商 の1つがx/u x/u
xOxuu
xu
xu jiji
,1,
であることを示している。これを空間の後退差分近似(backward space difference)という。
3
,3
32
,2
2
,,,1 6
121 x
xux
xux
xuuu
jijijijiji
空間の中心差分近似ui+1,j 、ui-1,jを点(i,j)においてxについてTaylor展開
上式から下式を差し引く
3
,3
32
,2
2
,,,1 6
121 x
xux
xux
xuuu
jijijijiji
3
,3
3
,,1,1 6
122 xxux
xuuu
jijijiji
j,ix/u について解くと
2,1,1
, 2xO
xuu
xu jiji
ji
これは、導関数 がxu /
2,1,1
2xO
xuu
xu
xu jiji
であることを示している。
3
,3
32
,2
2
,,,1 6
121 x
xux
xux
xuuu
jijijijiji
2階の導関数の差分商(1/2)
ui+1,j 、ui-1,jを点(i,j)においてxについてTaylor展開
上式と下式を足し合わせる
3
,3
32
,2
2
,,,1 6
121 x
xux
xux
xuuu
jijijijiji
j,i22 x/u について解く
22
,1,,1
,2
2 2xO
x
uuu
xu jijiji
ji
2
,2
2
,,1,1 2 xxuuuu
jijijiji
22
j,1ij,ij,1i2
2
xOx
uu2uxu
2階の導関数の差分商(2/2)
であることを示している。これを空間の中心差分近似(centered space difference)という。
これは、導関数 を表現する差分商 の1つがx/u x/u
空間の差分商(1/2)
niu の時空間の点(i,n)における空間についての差分商
22
112
2 2 xOx
uuuxu n
ini
ni
xOx
uuxu n
ini
1 (前進差分近似)
xOxuu
xu n
ini
1 (後退差分近似)
2112
xOxuu
xu n
ini
(中心差分近似)
Poisson方程式の差分スキーム
Poisson方程式
gyu
xu
2
2
2
2
空間に中心差分近似を用いた差分方程式
jijijijijijiji g
yuuu
xuuu
,21,,1,
2,1,,1 22
jijijijijiji gxuuuuu ,2
1,1,,,1,1 4
x=yとする。
5点差分スキーム(Five-term recurrence scheme)
jijijijijiji gxuuuuu ,2
1,1,,,1,1 4
x=yとした場合のPoisson方程式の差分近似式
jijijijijiji gxuuuuu ,2
1,1,,1,1, 41
ui,jについて整理すると、
変数、ui+1,j, ui-1,j, ui,j+1, ui,j-1 が既知の場合、ui,j の値が求まることを示している。
・表計算による熱伝導方程式の解法・C言語による数値解析
問題3-1
平均熱伝導率が、kA=1.3[W/m・K]の材料で作られた厚さ
ΔXA=10[mm]の壁がある。この壁に、平均熱伝導率が、
kB=0.35[W/m・K]の断熱材をつけ、1m2当たりの熱損失を
1830[W]以下にしたい。壁の内側の表面温度を1300℃と
し、断熱材の外側の温度を30[℃]と仮定するとき、必要と
なる断熱材の厚さΔXBをもとめなさい。
問題3-2
一様な熱源q(W/m3)が分布した厚さ2L、熱伝導率が、k[W/m・K]の平板壁がある。片面の温度をT1 [℃]とし、もう一方の面の温度をT2 [℃]に保つとき、平板壁内での温度分布を導け。