第３章 磁気

磁界と

ローレンツ力

ヘンドリック・アントーン・ローレンツ（Hendrik Antoon Lorentz、 1853年7月18日 - 1928年2月4日）

磁石

電荷の同極同士（+と+、と）と同じように、磁石の同極同士（NとN、SとS）は反発し合い、異極同士（NとS）は引き寄せ合う。

N極からS極までの、各点の磁界の向きを表した線を磁力線という。

磁石による磁気の特性 磁極間に発生する磁力線

磁界（磁場）

磁石を割っても必ずN極とS極の対になっている。これを磁気双極子という。磁石は必ず磁気双極子の形で存在し、単極のみの粒子（モノポール）は存在しない。これを磁気単極子不在の法則という。

磁気単極子不在の法則より、閉じた空間を貫く電気力線の代数和は必ずゼロになる。これを磁界に関するガウスの法則という。

磁気単極子不在の法則 磁力線とガウスの法則

地球の磁界

地球は大きな磁石で、北にS極、南にN極を配置した形になっている。ただし、地理上の北極とは一致しておらず、また長い周期で極性が反転しているのも知られている。磁気的北極を北磁極、磁気点南極を南磁極と呼ぶ。

実際には地球の磁力線は、直線的に南極側から北極側に向かっておらず、地域により地球の構造的影響を受け、複雑に曲がっている。

例えば、北海道では真北から西寄り約９度を北として指し、東京付近では約７度、沖縄では約５度西寄りになる。これを西偏と呼ぶ。

世界の偏角

磁界の強さ

磁界と電界の違いは？

電界 単位面積当たりの電気力線の本数に比例

磁界 単位面積当たりの磁力線の本数に比例

力 電荷 電界の強さ= ×

F = qE

力 磁荷？ 磁界の強さ= ×

F = qvB （後述）

電界と力の関係から調べてみる・・・

磁界中のコイルと磁束

図a)のように、面積Sの１回巻きコイルを の磁力線が貫くときを考える。このような磁力線の数を磁束（magnetic flux）と呼び、[Wb（ウェーバー）]という単位で表す。また、単位面積あたりの磁束を磁束密度といいBで表すと、= BSとなる。一般的に磁界を表すときは、この磁束密度Bを用いる。図b)のように、磁界Bに対してコイルが の角度を持つとき、 = BScosと

なる。

また、磁界の強さをHとすると、 = 0SHとなる。

B

S

B

S

a) 磁界に対して垂直 b) 傾きの位置

S: コイルの断面積 : コイルを貫く磁

力線（磁束） : コイル面と磁界

のなす角B: 磁束密度

磁気に関する記号と単位

B : 磁界（磁場）、磁束密度 [T = Wb/m2 = N/Am]H : 磁界強度 [A/m = N/Wb] : 磁束 [Wb] : 透磁率(= 0S) [H/m]0 : 真空中の透磁率 [H/m = T･m/A = N/A2]S : 比透磁率 []Rm : 磁気抵抗(= / Sl) [A/Wb]

I : 電流 [A]E : 電界（電場） [V]V : 電位差、電圧 [V]

※地磁気の大きさは、約30[T]程度

ローレンツ力

磁束密度 B の磁界の中で、図のように磁界と垂直な方向に荷電粒子を速度 v で移動させると、これらと垂直な方向に電荷の大きさ q に比例した力が発生する。この力をローレンツ力（電磁力）という。

F qvB

N

S

力

と を含む面の法線ベクトルを

とすると、

ローレンツ力

負の電荷の場合、力の働く方向は逆になる。

磁界と荷電粒子の速度が垂直でない場合、ローレンツ力は磁束密度と速度の作る平行四辺形の面積に比例した力となる。よって、

負の電荷に働く力 磁界と速度が垂直でない場合

磁束密度 B

速度 v

sinF qvB

cosa b a b sina b a b

力 Fvsin

sinF qv B qv B n

※内積と外積v B

n

磁界中の荷電粒子の動き

一様な磁界 B の中に、磁界に垂直に荷電粒子が速度 v で進入した場合を考える。

荷電粒子は速度と磁界に垂直な方向にローレンツ力 F を受ける。荷電粒子の電荷を q、質量をm とすると、

より、

また、ニュートンの法則より、速度と加速度の方向が垂直なため、進行方向の速度は変えないで、向きだけ変える運動、すなわち等速円運動をする。このとき、円運動の半径を r とすると、

より、

F ma qvB

qvBa m 2 qvBva r m

mvr qB

電流に働く力

電流は電子の流れなので、まわりに磁界があると力を受けることになる。断面積 S の導線の長さ の区間にのみ一様な磁束密度 B がある。左から右に電流を流すと、各電子には速度と磁界とに垂直な力が働く。電流に働く力は、この各電子に働く力の和となる。電子の電荷を e とす

ると、各電子に働く力 Fは、

である。磁界がある部分の導線の体積は S であり、電子の密度を n とすると、電子の総数は nS となる。よってこの区間に加わる力 Fは、

となる。電流は I = envSなので、

と表すことができる。

F evB

F envBS

F BI

磁束密度 B

速度 v

電流 I

力 F

フレミングの左手の法則

1) 中指、人差し指、親指の長い方から、電磁力

2) 親指、人差し指、中指がそれぞれ、F（力）B（磁束密度）I（電流）

IからBに右ねじ方向にして、F（親指）を進行方向にする。

ブラウン管

最近、見られなくなってきているが、ブラウン管ディスプレイが電子と磁界と力の関係をよく表している例である。

ブラウン管後部にある電子銃では、フェラメントから放出させた電子を電荷によって加速する。加速された電子を磁界によって上下左右に曲げ

ることで、ブラウン管全面に塗られた赤、緑、青の蛍光物質を発行させる。1秒当たり30フレーム（画像）を525本の走査線で表現し、まずは奇数行目に、次に偶数行目に走査することで残像を使って継ぎ目のない画像にしているが、これはちらつきの原因にもなっている。

電流の作る磁界

導線の下に方位磁針を置き、電流を流すと方位磁針は一定の方向を向く。これは電流の回りに磁界ができていることを意味する。

直線的な電流の回りにできる磁界の向きは、電流を右ねじを押し込む方向とすると、右ねじをまわす方向であることから、右ねじの法則と言われる。

I

I

右ねじの法則

電流I

右ねじの進む向き

右ねじを回す向き

磁界の向き B

電流I

親指の向き

４本指の向き

磁界の向き B

電流I

電流I

磁界の向き B

磁界の向き B

※コイルにできる磁界

右ねじの法則による左手の法則の確認

I

S

N

弱め合う

強め合う

S

N

電流によるトルク

導線が図のように長方形の場合に、この電流に働く力を考える。a の部分に働く力は、

となり、c の部分でも同じため、oo'を中心としたトルクを発生する。

例えば、下図のように角度 だけ回転した状態で考えると、

このトルクは aの部分では、

となる、c の部分も同様に考えると、全体で、

というトルクが発生する。長方形の面積は S = hなので、これは、

と書くことができる。この式は長方形だけでなく、円形など他の一般的な形の電流でも成り立つことが知られている。

この原理を利用したのがモーターである。

a

c b

d

B

h

I

F

F o

o'

F BI

12 sina BIh

sinBIh

sinBIS

b、dh B

a

c

F

F

直流モーター

図のようなフレームに直流の電流を流すと、磁界から力を受ける。ブラシによって、回転しても常に同じ方向に電流が流れるようにすると、モーターは同一方向に回転する。

NS

ブラシ

電流

実際のモーター

長方形のモーターではトルクが弱いため、実際にはこれをコイルにして強めている。

また磁界との角度によってトルクが変化してしまうのを防ぐために、図のように磁石となる部分を３つ以上にして、いつでも回転する力が働くようにしている。

電流のつくる磁界

ジャン＝バティスト・ビオ（Jean-Baptiste Biot、1774年4月21日 - 1862年2月3日）フェリックス・サバール （Félix Savart、1791年6月30日 -1841年3月16日）

アンドレ＝マリ・アンペール（André-Marie Ampère、 1775年1月20日 -1836年6月10日）

荷電粒子のつくる磁界

磁界の中を運動する荷電粒子は、磁界から力を受けるだけでなく、荷電粒子の動き自体がまわりの磁界を発生する。

電荷 q の荷電粒子が速度 v で運動する場合につくる磁束密度の大きさは、荷電粒子からの距離を r とし、速度ベクトルとのなす角度を とすると、

となる。ここで、比例係数 0 は真空の透磁率といい、

である。磁界の方向は右ねじの進む方向と同じなので、これを右ねじの法則という。

024sinqvBr

70 4 10 [T m/A]

r

q v

ビオ-サバールの法則電流は移動する電子の集まりなの

で、電流による磁束密度は多くの電子からの磁束密度の重ね合わせで考えることができる。

区間 d、断面積 S の区間にある自由電子の数は、電子の密度を nとすると nSd 個となり、この区間の電荷は q = enSd と表すことができる。電流 I と電荷の関係は、qv =Id となるので、この区間によってできる磁束密度 dBは、

となる。これを積分することで、電流による磁束密度 B を求めることができる。

これをビオ-サバール（Biot-Savart）の法則という。

024sin

d dIBr

024sin

dIBr

I d

r

0 004 2sin d

I IB x x

= x / tan d = (x / sin2) dr = x / sin

より、

x

O

直流電流のつくる磁界

直流電流のつくる磁界の方向は、右ねじの法則からわかる。また、そのときの磁束密度は、電流の強さに比例し、距離に反比例する。電流からの距離を r とすると、磁束密度 Bは、

となる。

02IB r

２つの直流電流に働く力

電流は磁界をつくり、磁界は電流に力を及ぼす。したがって、電流の間には互いに力が働くことになる。

距離 d離れて長さ の２つの直流電流をおく。電流２が電流１につくる磁束密度は、

である。一方、この磁束密度によって電流が受ける力は、F = BIより、

となる。

0 22 2

IBd

0 1 22 1 2

I IF B Id

アンペールの法則

電流のまわりの閉曲線を考える。この経路を長さ d の小さな線分に分割する。その大きさと方向を表すベクトルを としたとき、磁界との内積 を全体に対して積分すると、

となる。これをアンペールの法則という。これはちょうど電界に対するガウスの法則と同様に扱うことができる。

証明）

と、

より、

d

Bdr

'

dB d

0dB I

d cos ' dr

02IB r

0 002 2

d d cos '

d d

B B l

I Ir Ir

直流電流のまわりの磁界

直流電流のまわりの磁界を求めるときは、半径 rの円を考えると、

となる。よって、

02d dB B rB I

02IB r

d

Br

ソレノイドの作る磁界

導体をコイル状に巻いたものをソレノイドまたはコイルという。

電流の向きI I

磁界の向き

I I I I I

磁界の向き

線間磁界

電流の向き

ソレノイドの中の磁界

アンペールの法則より、

長さ1[m]の区間ABCDを考えると、この区間には電流が存在しないので、B = 0 となる。区間ABFEを考えると、EF間だけ磁界と平行になるため、cos' = 1となり、d = 1[m]より、

となる。また、この区間内にn本の電流があったとすると、

となる。

0dB I

dB B

n本

0dB B nI

ソレノイドコイルを強くする

ソレノイドコイルに強磁性体を入れることでコイルの磁束密度を大きくすることができる。

この rを比透磁率という。

0B nI

0rB nI

材質 比透磁率

銅 0.999991水 0.999991

真空 1.0空気 1.0000004

コバルト 250ニッケル 600軟鉄 2,000

鉄（純度99.6%） 5,000珪素鋼 7,000

純鉄（純度99.96%） 200,000スーパーマロイ 1,000,000

磁性体の磁化特性

Bi は入力した磁束密度を表し、Boは検出器での磁束密度を表している。磁化の特性（磁気特性）は、はじめにO点から出発し、その後A → B → C →D → E → F → A → B → C → D →･･･を繰り返す。±BCは保磁力を示し、これが大きいほどこの磁性体が永久磁石に適することとなる。

ヒステリシス曲線（磁気特性）

被測定磁性体

積分器交流源 OBC

Bi

CBC

D E

F

A

横軸(x) 縦軸(y)

磁気特性測定構成例

Bo

B

BI

コイルの利用

電流 I によってよって生じる磁束は全て磁芯内を循環し、理想的には外に漏れることはない。

I

トロイダルコイル 可動コイル型電流計

N S

永久磁石目盛

軟鉄心

回転できるコイル

N

SI

磁界に関するクーロンの法則

本来、磁荷は存在しないが、磁気双極子の端だけに注目すると、あたかも単極のみの磁荷が存在するように見なすことができる。仮にこのような磁荷 qm1[Wb] と qm2[Wb] が存在すると仮定した場合、これらの間に働く力 F[N] は、

と表すことができる。これを磁界に対するクーロンの法則という。

磁界強度 H[N/Wb] を用いると、

と表すことができる。

1 220

14

m mq qFr

mF q H

qm1

qm2

r

F

F

地磁気方位センサ

図はフラックスゲート（Flux gate）型の地磁気方位センサの構造である。高透磁率材料のトロイダルコアとその励磁コイル、およびコアの外側から囲む形で巻線される直交検出コイル X から構成される。コアは数kHzの交流により過飽和励磁され磁心X1、X2部分の検出コイルには交流磁界によって発生する磁束密度 BA による電圧が誘起する。この誘起電圧 VX1 と VX2 は大きさが等しく、互い

に逆極性であることから検出コイル X全体では出力電圧はゼロとなる。ここで、地磁気のような外部からの磁界 BSが作用すると、X1、X2部分の磁界はそれぞれ BA + BS、BA BS となり、その差に比例した電圧が検出コイル X から出力される。出力電圧の大きさは外部からの作用磁界の大きさに比例し、作用磁界が地磁気のみであれば、作用する地磁気の磁心断面に対する角度に応じて出力磁界が変化する。

トロイダルコア

BA

BA励磁コイル磁心部分X1

磁心部分X2

地磁気

検出コイル

IA

ホール効果（ホール素子）

左図のような導体に電流 I を流し、これと垂直方向に磁束密度 B の磁界があったとき、導体内の自由電子はローレンツ力 FL によって運動方向が曲げられる。その結果、導体の下面が負に、上面が正に帯電するので、導体内に上面から下面への電界 Eが発生する。電界 E による力 eEはローレンツ力 FL と釣り合い、電子が直進するようになる。これより、右図のように導体の上下面間に、流した電流 I や加えた磁界に比例した電位差（ホール電圧）V が生じる。なお、導体がp型半導体の場合はキャリアが正孔（ホール）のために、電界 E がn型半導体と逆方向になる。いずれも発生した電位差Vを測定することによって、磁界の大きさや強さを知ることができる。

ローレンツ力による自由電子の変動 ホール電圧の発生

v

FL

Vv

FLI I

eE

B B

例題

例題1 図のように半径Rの円形の導線に電流Iが流れている。この円の中心軸上で、中心からzだけ離れた点における磁束密度を求めなさい。

軸に垂直な成分は、円周上の反対の部分と打ち消しあうので、軸方向の成分のみを考えれば良い。よって、ビオサバールの法則より、

となる。ここで、

なので、

よって、

IR

z

dB

d

2 2r R z

0

24cosd cos d

IB Br

2 2r R z

cos Rr

03 22 24 / d( )

I RBR z

03 22 22 /( )

I RBR z

例題

例題2 図のような導線にI[A]の電流が流れている。点Oでの磁束密度を求めなさい。また、この結果を利用して非常に長い直流電流の作る磁束密度の大きさを求めなさい。

である。よって、

ここで、

より、

また、非常に長い場合は、1 = 0、2= を代入すると、

図のAB以外からの影響はない。区間AB内の点 x = Rcos での微小区間 dx から点Oまでの距離は r= R / sin であるので、この区間が点Oに作る磁束密度 dBは、

30 0

2 24 4sin sin

d dI IB x dxr R

30

24sin

dIB xR

2dd d dd sinx Rx

2

1

0

01 2

4

4

sin d

(cos cos )

IB RIR

02IB R

例題

例題3 図のように中心に半径Rの非常に長い直線の導線に一様に電流が流れている。導線内外の磁束密度を求めなさい。

導線内の半径 r の円内の電流は、電流は面積に比例するので、

である。よって、この円にアンペールの法則を適用すると、

となる、これより、

となる。

r > Rのときは、

I

22rrI IR

20 22d ( )rB B r IR

022rB IR

02IB r