数学史第３回　

ギリシャの数学

図形数

ピタゴラス

(Pythagoras, 569BC頃~500BC頃）

1. すべてのものは数である．

2. 数学はあらゆるものの基礎である．

3. 幾何学は数学研究のなかで最上位にある．

4. この世界は数学を通して理解され得る．

初期のピタゴラス学派

数を視角的にとらえた

砂の上に小石を並べる等

図形数

Figurative Number

三角数

四角数

(Triangular number)

(Square number)

「四角数は二つの連続する三角数の和である」

たとえば

という命題の証明：

という公式の証明：

2で割ると

という公式の証明：

その後の発展（１）

「Treatise on Figurative Numbers」

パスカル

（Blaise Pascal, 1623/7/19~1682/8/19)

（「図形数に関する論文」）

「すべての正の整数は３つ以下の三角数の和として表せる」

と主張

たとえば

その後

ガウス

（Johann Carl Friedrich Gauss, 1777/4/30~1855/2/23)

によって証明された

1796年7月10日の日記：

”見つけたぞ！”（エウレカ，ユリイカ）

その後の発展（２）

オイラー

（Leonhard Euler, 1707/4/15~1783/9/18)

「三角数であって四角数でもある数」

を求める問題とその一般化を研究

両辺を４倍すると

とおくと

別の見方：

一般に，整数 に対して

の整数解 を求める問題は

ペル方程式

とよばれる．

(*)

「２次体の整数論」とよばれる分野

(*)の一般解：

の整数部を

の係数を

とすればすべて得られる

n

n

さらに

問題

プルタークは100AD頃に

「三角数を８倍して１を足すと四角数になる」

と主張した．三角数 について，このことを

図形的に証明せよ．

ヒント：