線形代数1A 第5回 講義資料注意事項 1 注意事項 2 階段行列と連立1...
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線形代数 1A 第 5 回 講義資料 担当：山中 c ⃝2020 Suguru Yamanaka 線型代数 1A 第 5 回 1 / 24
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線形代数 1A第 5回 講義資料
担当：山中
c⃝2020 Suguru Yamanaka 線型代数 1A 第 5 回 1 / 24
注意事項
1 注意事項
2 階段行列と連立 1次方程式の解法
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注意事項
この講義の実施方法について説明します．
この講義はオンライン授業です．自己学習型の実施方法で進めます．具体的には，講義資料を教員のWebページから取得し，講義資料を読み進めることで学習を行ってください．
教員Webページの URL:http://www.gem.aoyama.ac.jp/˜syamanaka/index.html
講義当日の朝までに資料をアップロードします．
成績評価はレポートによって行います．詳細は後日にアナウンスします．3回程度に分けて出題する予定です．注：講義資料内の [問]はレポート課題ではありません．
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階段行列と連立 1 次方程式の解法
1 注意事項
2 階段行列と連立 1次方程式の解法
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階段行列と連立 1 次方程式の解法
はじめに
前回は連立 1次方程式が行列によって表現され，掃き出し法による連立方程式の変形が拡大係数行列の基本変形に対応していることをみました．
しかし，基本変形をやみくもに行ったところで，解が得られるとは限りません．
今回は，係数行列・拡大係数行列をどのような形に変形していけば解が得られるのかをみていきます．
また，行列のランクという概念を通して，連立 1次方程式の解が存在する条件を与えます．
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階段行列と連立 1 次方程式の解法
階段行列
ここまで，掃き出し法による連立 1次方程式の解法の過程が，拡大係数行列の基本変形に対応することをみてきた．
では，どのような行列の形を目指して基本変形を行えば良いのだろうか．
たとえば，前回の資料の例 2では，掃き出し法・拡大係数行列の基本変形の過程で， 1 −2 3 9
0 5 −7 −160 0 9 27
という行列が登場している．
このように行列の左下側の要素が 0になっていて階段のように見える行列を階段行列という（定義は次ページ）．
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階段行列と連立 1 次方程式の解法
階段行列
m × n行列 Aの第 i行の成分を左から見ていくとき，はじめて 0でない成分が現れるまでの 0の個数を jiとする．このとき，Aが
j1 < j2 < · · · < jr = jr+1 = · · · = jm = n (1 ≤ r ≤ m)
あるいは
j1 < j2 < · · · < jm < nを満たすならば Aを階段行列という．
また，上の定義に関わらず零行列は階段行列とみなすことにする．
0 · · · 0 a1 j10 · · · · · · · · · 0 a2 j2 ∗...0 · · · · · · · · · · · · · · · 0 ar jr0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0...
...0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0
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階段行列と連立 1 次方程式の解法
階段行列
定理
任意の行列は，基本変形を繰り返すことによって階段行列に変形できる．
（略証）行列が零行列であれば階段行列である．A , Oとする．行列
A =
a11 · · · a1n...
...am1 · · · amn
に対し，a11 , 0と仮定する（そうでないならば，行あるいは列の入
れ替えを繰り返すことによって，a11 , 0とできる）．第 2行以降の各行に対して，すなわち i ≥ 2なる第 i行に対して（第 i行）+（第 1行）× −ai1
a11という行基本変形を行うことで，
a11 a12 · · · a1n0... B0
の形に変形できる．第 1行と第 1列を除いた部分を行列 Bとして，同様の操作を行うこ
とを繰り返せば，最終的に階段行列に変形できる．
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階段行列と連立 1 次方程式の解法
行列のランク
行列 Aに基本変形を行って階段行列にしたとき，零ベクトルではない行の個数を行列 Aのランク（階数）といい，rank Aと表す．
すなわち，行列 Aが下図のような階段行列 (a1 j1 , a2 j2 , · · · , ar jr , 0)に変形できるとすれば，rank A = rである．
0 · · · 0 a1 j10 · · · · · · · · · 0 a2 j2 ∗...0 · · · · · · · · · · · · · · · 0 ar jr0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0...
...0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0
（コメント）行列 Aのランクは一意に定まります (次回に確認します)．
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階段行列と連立 1 次方程式の解法
行列のランク
例：行列
A =
1 −2 3 92 1 −1 24 2 7 31
のランクは，Aが階段行列1 −2 3 9
0 5 −7 −160 0 9 27
に変形できることから，rank A = 3
[問] 次の行列をそれぞれ階段行列に変形し，ランクを求めよ.1 2 1
2 4 31 2 3
1 2 −12 1 11 3 2
1 −1 2 12 −1 2 2−2 3 −1 20 3 −1 4
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階段行列と連立 1 次方程式の解法
階段行列と行列のランクを導入しました
次に，階段行列を利用して連立 1次方程式を解く方法を整理するとともに，連立 1次方程式の解の存在条件を与えます
まず，Ax = 0 (連立斉 1次方程式)の解法をみます
次に，一般の場合の Ax = bの解法をみていきます
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階段行列と連立 1 次方程式の解法
連立斉一次方程式の解法
次の連立斉 1次方程式を考える
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0
...
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = 0
(1)
Step 1: この連立 1次方程式は，基本変形（と変数番号の適当な付け替え）を行うことで次の形にできる（係数行列を階段行列に変形したことに対応）
c11x1 + c12x2 + · · · +c1nxn = 0c22x2 + · · · +c2nxn = 0
...
crr xr + · · · +crnxn = 0
(2)
注：rは係数行列のランクである．変形の途中で自明な式0x1 + · · · + 0xn = 0が出てきた場合はその式を取り去っている
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階段行列と連立 1 次方程式の解法
連立斉一次方程式の解法
Step 2: さらに，第 i行をそれぞれ 1/cii倍することで，次の形に変形できる
x1 + c12x2 + · · · +c1nxn = 0x2 + c23x3 + · · · +c2nxn = 0
...
xr + cr r+1xr+1 + · · · +crnxn = 0
(3)
Step 3: 第 i行 (ただし i < r)に対して（第 i行）+（第 r行）×(−cir)という行基本変形を行うことで，第 i行の xr の係数を 0にできる．同様に，ci r−1 = 0 (i < r − 1)，ci r−2 = 0 (i < r − 2)· · ·，となるように行基本変形を行っていくことで，以下の形を得る
x1 + 0x2 + · · · +0xr + c1 r+1xr+1 + · · · +c1nxn = 0x2 + 0x3 + · · · +0xr + c2 r+1xr+1 + · · · +c2nxn = 0
...
xr + cr r+1xr+1 + · · · +crnxn = 0
(4)
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階段行列と連立 1 次方程式の解法
連立斉一次方程式の解法
Step 4: 移項によって次の形を得る．x1 = −(c1 r+1xr+1 + · · · + c1 nxn)x2 = −(c2 r+1xr+1 + · · · + c2 nxn)...
xr = −(cr r+1xr+1 + · · · + cr nxn)
(5)
Step 5: これより，xr+1 = kr+1, . . . , xn = kn を任意に与えた上で，上式からx1, x2, . . . , xr を求めれば，x = T (x1, x2, . . . , xn)が解になる．
すなわち，変数の個数 nと rの関係が n > rであるならば，解が無数にあることになる（解は不定である，という）
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階段行列と連立 1 次方程式の解法
連立斉一次方程式の解法
(5)式と，xr+1 = kr+1, . . . , xn = kn (任意の定数)より解はベクトルの形式で次のよう表せる．
x1x2...xr
xr+1xr+2xr+3...
xn−1xn
= kr+1
−c1 r+1−c2 r+1...
−cr r+1100...00
+ kr+2
−c1 r+2−c2 r+2...
−cr r+2010...00
+ · · · + kn
−c1 n−c2 n...−cr n
000...01
(6)
なお，変数の個数 nと係数行列 Aのランク rが一致するならば（n = r），解は x = 0となる．
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階段行列と連立 1 次方程式の解法
一般の連立 1次方程式の解法
前ページまでで連立斉 1次方程式 Ax = 0を扱った．次に，一般の連立 1次方程式 Ax = bを扱う．
次の連立斉 1次方程式を考えるa11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2...
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
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階段行列と連立 1 次方程式の解法
連立 1次方程式の解法
この連立 1次方程式に対し，基本変形（と変数番号の適当な付け替え）を行うことで次の形にできる
c11x1 + c12x2 + · · · · · · · · · +c1nxn = d1
c22x2 + · · · · · · · · · +c2nxn = d2
...
crr xr + · · · +crnxn = dr
0x1 + 0x2 + · · · · · · · · · +0xn = dr+1
0x1 + 0x2 + · · · · · · · · · +0xn = 0...
0x1 + 0x2 + · · · · · · · · · +0xn = 0
(7)
ここで，r = rank Aである．
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階段行列と連立 1 次方程式の解法
連立 1次方程式の解法
ここで，r + 1番目の式
0x1 + · · · + 0xn = dr+1
に注目する．
連立 1次方程式が解をもつならば，dr+1 = 0である必要がある．
逆に，dr+1 = 0であれば連立 1次方程式は，先の連立斉 1次方程式の議論と同様にして，
x1 + 0x2 + · · · +0xr + c1 r+1xr+1 + · · · +c1nxn = d1
x2 + 0x3 + · · · +0xr + c2 r+1xr+1 + · · · +c2nxn = d2
...
xr + cr r+1xr+1 + · · · +crnxn = dr
(8)
の形に変形できる．
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階段行列と連立 1 次方程式の解法
連立 1次方程式の解法
さらに，移項によって次の形を得る．x1 = d1 − (c1 r+1xr+1 + · · · + c1 nxn)x2 = d2 − (c2 r+1xr+1 + · · · + c2 nxn)...
xr = dr − (cr r+1xr+1 + · · · + cr nxn)
(9)
これより，xr+1 = kr+1, . . . , xn = kn を任意に与えた上で，上式からx1, x2, . . . , xr を求めれば，x = T (x1, x2, . . . , xn)が解になる．
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階段行列と連立 1 次方程式の解法
連立 1次方程式の解法
(9)式と，xr+1 = kr+1, . . . , xn = kn (任意の定数)より解はベクトルの形式で次のよう表せる．
x1x2...xr
xr+1xr+2xr+3...
xn−1xn
=
d1d2...
dr000...00
+ kr+1
−c1 r+1−c2 r+1...
−cr r+1100...00
+ kr+2
−c1 r+2−c2 r+2...
−cr r+2010...00
+ · · · + kn
−c1 n−c2 n...−cr n
000...01
(10)
なお，変数の個数 nと係数行列 Aのランク rが一致するならば（n = r），解は x = ⊤(d1, d2, · · · , dr)となる．
c⃝2020 Suguru Yamanaka 線型代数 1A 第 5 回 20 / 24
階段行列と連立 1 次方程式の解法
連立一次方程式の解とランク
以上の議論で，dr+1 = 0が連立 1次方程式が解をもつための必要十分条件であることがわかった．
ここで，dr+1 = 0であることは，rankA = rank(A, b)を意味する．したがって，連立 1次方程式 Ax = b(Aは m × n行列)の係数行列 Aと拡大係数行列 (A, b)のランクの間に
rank A = rank (A, b)の関係が成り立つことが，Ax = bが解をもつための必要十分条件である．
rank A = rank (A, b)とする．このとき，前ページの式から，連立 1次方程式の変数の個数 nが n = r(= rank A)を満たせば，解が一意に定まることがわかる．また，n > rであれば，解は無数に存在する．
c⃝2020 Suguru Yamanaka 線型代数 1A 第 5 回 21 / 24
階段行列と連立 1 次方程式の解法
例: 2変数の場合
次の連立 1次方程式の解を求める．x1 + 2x2 = 42x1 − x2 = 3
この連立 1次方程式を拡大係数行列で表せば(1 2 42 −1 3
)である．
この拡大係数行列に行基本変形を行うことで(1 2 40 −5 −5
)を得る．この段
階で，この連立 1次方程式が解をもつことがわかる (rank A = rank (A, b))．また，n = rank A = 2となるので，解が一意に定まることもわかる．
拡大係数行列をさらに変形することで，(1 0 20 1 1
)を得る．
これにより，解 x = ⊤(2, 1)を得る．
c⃝2020 Suguru Yamanaka 線型代数 1A 第 5 回 22 / 24
階段行列と連立 1 次方程式の解法
例: 2変数の場合
次の連立 1次方程式の解を求める．2x1 + x2 = −14x1 + 2x2 = 1
この連立 1次方程式を拡大係数行列で表せば(2 1 −14 2 1
)である．
この拡大係数行列に行基本変形を行うことで(2 1 −10 0 3
)を得る．この段階
で rank A = 1 < rank (A, b) = 2なので，この連立 1次方程式の解が存在しないことがわかる．
実際，2行目は 0x1 + 0x2 = 3という方程式を意味していて，これを満たす解は存在しない．
このように解が存在しない場合に，解は不能である，という．
c⃝2020 Suguru Yamanaka 線型代数 1A 第 5 回 23 / 24
階段行列と連立 1 次方程式の解法
例: 2変数の場合
次の連立 1次方程式の解を求める．2x1 + x2 = −14x1 + 2x2 = −2
この連立 1次方程式を拡大係数行列で表せば(2 1 −14 2 −2
)である．
この拡大係数行列に行基本変形を行うことで(2 1 −10 0 0
)を得る．この段階
で，rank A = rank (A, b) = 1なので，この連立 1次方程式に解が存在することがわかる．また，n > r = 1なので，解が無数に存在することがわかる．
1行目は 2x1 + x2 = −1という方程式を意味している．
pを任意の実数として，x2 = pとすれば x1 =12 (−1 − p)となり，解
x = ⊤( 12 (−1 − p), p)を得る．
このように解が無数に存在する場合に，解は不定である，という．
c⃝2020 Suguru Yamanaka 線型代数 1A 第 5 回 24 / 24
