C orrig«e de M icro «eco no mi e - Gwenn PARENT...
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Corrig ´ e de Micro ´ economie Prof. St´ ephane Saussier Universit´ e Paris 11 DEUG 1` ere Ann´ ee
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Corrige de Microeconomie
Prof. Stephane SaussierUniversite Paris 11
DEUG 1ere Annee
1. Les preferences et l’utilite
Exercice 1
a. Ensemble de paniers de biens
Dans l’enonce, on sait que
A ! B ! D D ! L K ! J ! MC " B F " M F ! G
C ! M ! E H ! I ! F
On voit donc que
F ! G ! H ! I " C ! E ! J ! K ! M " A ! B ! D ! L
Rappel 1 (La courbe d’indi!erence). La courbe d’indi!erence permet de de-
crire graphiquement les preferences d’un consommateur de facon commode.
La courbe d’indi!erence decrit l’ensemble des paniers pour lesquels le consom-
1
mateur est indi!erent. Prenons la panier A par exemple, l’ensemble de pa-
niers qui laisse le consommateur indi!erent est le panier B, D et L.
On peut avoir plusieurs courbes d’indi!erence, qui representent les di!erentes
prefence du consommateur. Une propriete de la courbe d’indi!erence est que
les di!erentes courbes d’indi!erence correspondant a des niveaux de satisfac-
tion di!erents ne peuvent pas se croiser.
x2
x1
A
Une courbe d’indi!erence :paniers indi!erents a A
On a 3 courbes d’indi!erence ici : ABDL, CEJKM et FGHI. Puisque
F " C " B, alors la courbe d’indi!erence FGHI donne au consommateur
2
plus de satisfaction que les paniers CEJKM , qui eux sont preferes par notre
consommateur a la courbe d’indi!erence/paniers ABDL.
b. Representer graphiquement les courbes d’indi!erence
Y
X
D
A
B
L
C
K
EJ
M
H
G
F
I
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 160
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 Preference +
Notons ici qu’on a suppose que le choix du consommateur porte sur les biens
divisibles.
3
Exercice 2
a. Vermouth et gin
« un doigt de Vermouth ou trois doigts de Gin ne me procure aucune
satisfaction, mais un doigt de Vermouth et trois doigts de Gin me
satisfont beaucoup »
Pour ce consommateur, le Vermouth et le Gin sont des biens complementaires.
Ainsi la courbe d’indi!erence de ce consommateur est donnee par :
0 1 2 3 4 5 6 7 80
1
2
3
4
5
6
7
8
Vermouth
Gin
4
b. Gold ou Kronenbourg
« Je ne fais pas attention si mon verre contient de la Gold ou de
la Kronenbourg des lors qu’il s’agit de biere »
Il s’agit ici donc de biens parfaitement substituables, ou des substituts par-
faits. De plus, ici le taux de susbtituabilite est de #1.
0 1 2 3 4
Kronenbourg
Gold
c. cheveux
« Je ne couperais pas mes cheveux pour faire plaisir a ma patronne
a moins qu’elle ne me paye pour cela. Mon prix serait alors de 300
euros plus 1 euro pour chaque centimetre de mes cheveux coupes »
Dans ce cas la, la courbe d’indi!erence est alors :
5
Euros
Cheveux (cm)
300
d. Bieres et Bretzels
« J’aime la biere et les bretzels. Mais apres 12 bouteilles, toute
bouteille de biere supplementaire me rend malade »
On voit donc ici qu’a partir de 12 bouteilles de biere, le consomateur n’aura
plus de satisfaction a consommer des bouteilles supplementaire. Apres 12
bouteilles de biere, toute bouteille supplementaire lui est indesirable. Le
consommateur atteint un point de saturation en 12 bouteilles de biere.
6
Bretzels
Bieres12
Exercice 4
Dans l’enonce, on sait que A ! B et A ! C. Si ces preferences appartiennent
au meme consommateur, on devrait avoir B ! C, i.e. le consommateur est
indi!erent entre les 2 paniers. En plus, on sait que XB > XC et YB > YC, et
que les courbes d’indi!erence sont convexes, donc on sait que les preferences
sont strictement monotone (et strictement convexe). Alors, B " C. Or, il est
impossible, avec une preference strictement convexe et strictement monotone,
d’avoir B ! C et B " C. Les deux courbes n’appartiennent pas au meme
consommateur.
x2
x1
Graphiquement, on choisit un point quelconque A et C, et on essaie de placer
le panier B sans que les courbes ne se croisent.
7
Exercice 4
Droite de budget
Rappel 2 (La droite de budget). La droite de budget l’ensemble des paniers
de biens (x1, x2) qui coutent exactement R. Ce sont des paniers qui absorbent
completement le revenu du consommateur.
On ecrit donc la droite de budget pour le consommateur :
p1q1 + p2q2 = R
$ 2q1 + 2q2 = 20
On peut facilement representer cette droite sur un plan q2 % q1. Pour ce faire,
on reecrit l’equation ci-dessus sous forme suivante :
q2 = 10 # q1
b. L’ensemble des consommations possibles
L’ensemble des consommations possibles est defini par
{(q1, q2|2q1 + 2q2 & 20}
Il definie les paniers de biens qui sont acessibles au consommateur compte
tenu de son revenu et les prix des biens.
8
q2
q1
10
10
La droite de budget
Ensemble de consommations possibles
(6,7)
c. Revenu necessaire
Si le consommateur veut consommer 6 unitees de bien 1 et 7 unitees de bien
2, on voit que ce panier lui est inaccessible compte tenu de son revenu et les
prix des bien. A prix constant, si le consommateur veut consommer ce panier
de biens, il lui faut disposer un revenu R! tel que
2 ' 6 + 2 ' 7 & R!
28 & R!
R! ( 26
Donc le consommateur doit disposer un revenu d’au moins 28, c’est-a-dire
que par rapport a son revenu actuel, qu’il devrait avoir au moins 6 de plus.
9
d. Variation des prix
Une hausse de p2 (p2 = 3) aura pour e!et un pivotement vers le bas de la
droite de budget, sans changement de l’origine de son abscisse. La nouvelle
droite de budget s’ecrit :
2x1 + 3x2 = 20
x2 =20
3+
2
3x1
q2
q1
10
10
203
SI le prix de bien 1 baisse de 2 a 1, la nouvelle droite de budget s’ecrit :
x1 + 2x2 = 20
x2 = 10 #1
2x1
Le consommateur pourra alors consommer plus de bien 1, mais sa consom-
mation de bien 2 maximale reste inchangee.
10
q2
q1
10
10 20
Une diminution du prix simultane de bien 1 et de bien 2 equivaut a une
augmentation de revenu. Dans ce cas la, la nouvelle droite de budget s’ecrit :
x1 + x2 = 20
x2 = 20 # x1
q2
q1
20
20
10
10
Au prix d’avant, c’est-a-dire p1 = p2 = 20, la variation de revenu qui aurait
le meme e!et sur la droite de budget est une augmentation de 10.
11
Exercice 6
a. Fonction d’utilite
Dans cet exercice, on a le fonction d’utilite suivante
U(x1, x2) = x1x22
On peut donc definir les courbes d’utilite qui sont en fait les courbes de
niveau de cette fonction a 2 variables de la maniere suivante :
{(x1, x2|k ) R, U(x1, x2) = k}
Les courbes d’indi!erences sont donc des courbes de niveau pour des valeurs
definies de la fonction U(x1, x2).
Pour designer les courbes d’in!erence pour un niveau d’utilite 4, on va ecrire
La fonction de la maniere suivante :
4 = x1x22
$ x2 =
!
4
x1=
2*
x1
On voit donc que
x2 x1
2 11 40.66 90.25 16
12
De la meme maniere, pour un niveau d’utilite egal a 16, on peut ecrire la
fonction suivante pour la courbe d’indi!erence :
x2 =4
*x1
On a donc les valeurs suivantes pour les deux variables :
x2 x1
4 12 41.66 91 16
A partir de ces valeurs, les courbes d’indi!erence peuvent etre tracees sans
probleme particulier. Il su"t de rapporter ces points sur un plan x2 % x1.
x2
X1
U(x1, x2) = 4
U(x1, x2) = 16
13
b. Taux marginale de substitution
Pour cette exercice, on a donc :
TMS2,1 =U !
x1(x1, x2)
U !
x2(x1, x2)
=x2
2
2x1x2
=x2
2x1
x2
X1
U(x1, x2) = 4
U(x1, x2) = 16
Commentaires :
1. Le taux marginal de substitution est decroissant en x1 le long de la
courbe d’indi!erence. Ceci signifie que le taux auquel le consommateur
est pret a echanger le bien 2 contre le bien 1 diminue au fur et a mesure
que x1 augmente. En plus, le consommateur a des preferences convexes.
2. Le TMS n’est pas constante. Elle depend des di!erents paniers de biens.
Les biens ne sont pas de suubstitus parfaits.
14
3. Le taux marginal de substitution est partout defini : les deux biens ne
sont pas de complements.
15
2. Les choix de consommation
Exercice 1*
a. Calcul des elasticite niveau
On constate la courbe de demande pour la location de cassettes est lineaire
avec une pente en valeur absolue de 20. On sait que l’elasticite de la demande
est definie par
ep =variation relative de quantite
variation relative de prix
=#q
#p
p
q
= 20p
q
Donc, pour une elasticite prix egale a 1, on resout :
1 = 20p
q
q = 20p
On voit dans la table que cette condition est satisfaite pour q = 60, p = 3.
On verifie bien que c’est le cas de la graphique avant.
16
De le meme facon, pour une elasticite prix egale a 0, on a :
0 = 20p
q
p = 0
Donc, au point ou p = 0, q = 6 l’elasticite est egale a 0.
Calcul de l’elasticite d’une variation
On utilise la definition de l’elasticite pour calculer l’elasticite prix de la de-
mande. On sait qu’au point q = 60, p = 3, ep = 1. De la meme facon, si le
prix est de 4 euros, l’elasticite prix de la demande devient :
ep=4 = 204
q(p = 4)
= 204
40= 2
Donc, quand le prix passe de 3 euros a 4 euros, l’elasticite de la demande va
passer de 1 a 2. L’elasticite prix de la demande en valeur absolue augmente
quand le prix augmente.
c. Expliquez literairement
L’elasticite prix directe de la demande mesure la variation relative de la
demande suit a une variation d’1% de prix. Au prix p = 3 euros par exemple,
la demande est dite iso-elastique, c’est-a-dire qu’une augmentation de 1% du
prix de location va entraıner un diminuation de 1% de la demande de location
en cassettes video.
17
Exercice 2
L’elasticite directe de la demande est l’elasticite prix de la demande : elle
mesure la variation de la demande suite a une variation de 1% de prix du
bien considere. Ici cette elasticite est de -1,2. Ceci signifie que quand le prix du
bien augmente de 1%, la demande va diminuer de 1,2%. L’elasticite revenu de
la demande mesure la variation relative de la demande suite a une variation
de 1% du revenu. Ici cette elasticite est de -0,4, ce qui signifie que si le revenu
augmente de 1%, la demande va diminuer de 0,4%. Le transport d’autobus
est un bien inferieur.
Rappel 3 (Bien normal, inferieur, luxe).
demande augmente demande diminue
Revenu augmente bien normal / super-ieur
bien inferieur
Prix augmente bien Gi!en bien normal / typique /ordinaire
Prix de l’autre bienaugmente
bien substituables /concurrent
bien complementaires
L’elasticite croisee mesure la variation de la demande suite a une variation du
prix d’un autre bien. Ici, on considere que le consommateur va choisir entre le
transport par autobus et le transport ferroviaire Cette elasticte croisee est de
+2,1, ce qui signifie que si le prix du transport ferroviaires augmente d’1%,
alors la demande du transport par l’autobus augmente de 2,1%. On voit
donc que pour les consommateurs, le transport par autobus et le transport
ferroviaire sont substituables. Les deux biens sont donc des biens concur-
rents. Votre entreprise connaıt des pertes. Pour la sauver, vous avez besoin
d’augmenter la recette, ce qui pourrait se faire en deux facons :
• faire des investissements pour etre plus e"cace et augmenter la capacite.
Cependant, l’elasticite revenu du transport d’autobus est de -0,4, ce qui
signifie que le transport par autobus est un bien inferieur. En clair, quand le
revenu augmente, la demande du transport va diminuer. Sachant que dans
une economie normale, le revenu des agents a une tendance a augmenter,
18
ceci laisse prevoir que la demande pour l’autobus va diminuer. Il n’est donc
pas interessant d’investir.
• augmenter le prix du transport. En e!et, la recette etant definie par
R = pq
On voit donc qu’une augmentation de prix va permettre d’augmenter la
recette. Cependant, une augmentation de prix va egalement entraıner une
modification de la demande. Supposons que le prix et la quantite se mo-
difient et deviennent respectivement p + !p et q + #q, alors la nouvelle
recette est egale a
R! = (p +#p)(q +#q)
= pq + q#p + p#q +#p#q
En soustrayant R de R!, on a donc
#R = q#p + p#q +#p#q
+ q#p + p#q
si le valeurs de #p et #q sont petites. On voit donc que
#R
#p= q + p
#q
#p
Donc, pour que la recette augmente suite a une variation du prix, il faut
que :
#R
#p( 0
$ q + p#q
#p( 0
$ p#q
#p( #q
$p
q
#q
#p( #1
$ ep ( #1
19
L’elasticite-prix est une grandeur negative, donc il faut multiplier par #1
les deux cotes, on obtient donc la condition suivante :
$ #ep & 1
$ |ep| & 1
Pour que la recette augmente suite a une augmentation du prix, il faut que
l’elasticite-prix en valeur absolue soit inferieur a l’unite. C’est un resultat
attendu : en e!et, quand le prix augmente de 1%, et que l’elasticite-prix
en valeur absolu est superieur a l’unite, alors la demande va baisser plus
que proportionellement par rapport au prix. En revanche, si la demande
est inelastique, i.e. avec une elasticite-prix en valeur absolue inferieur a 1,
alors la demande se modifie peu suite a une modification des prix. Ainsi
pour que l’augmentation du prix ait un impact positif sur la recette, il faut
que la demande ne baisse pas trop, d’ou la condition que la demande soit
peu elastique. Ici, on voit donc qu’une augmentation du prix n’aura pas un
impact positif sur la recette de l’entreprise, car la demande du transport
par autobus est elastique. Quand on augmente le prix, la demande va
diminuer plus que proportionellement, ce qui entraıne au contraire une
diminution de la recette. De plus, il faut tenir compte de la concurrence
avec le transport ferroviaire. En e!et, cette elasticite croisee indique que le
transport ferroviaire est un bien concurrent avec le transport par autobus.
En augmentant le prix de l’autobus, on risque de faire baisser encore plus
la demande, et donc d’essuyer plus de pertes.
La seule solution possible pour l’entreprise est donc de modifier l’o!re.
Exercice 3
On a la demande de bien 1 qui s’ecrit :
x1 =R2
2p1 + 0, 5p2 # 0, 2p3
20
Afin d’etudier la nature de ce bien avec les autres biens lies, il faut determiner
les elasticites de la demande par rapport au revenu, et aux prix.
On calcule d’abord l’elasticite-revenu de bien 1 :
ex1/R ="x1
"R
R
x1
=2R
2p1 + 0, 5p2 # 0, 2p3
R
x1
=2R2
2p1 + 0, 5p2 # 0, 2p3
1
x1
=2R2
2p1 + 0, 5p2 # 0, 2p3
2p1 + 0, 5p2 # 0, 2p3
R2
= 2
On voit que si le revenu augmente de 1%, la demande de bien X1 va augmenter
de 2%. X1 est un bien normal de luxe de facon isoelastique. On utilise le terme
isoelastique quand l’elasticite est constante le long de la courbe de demande.
On calcule ensuite l’elasticite-prix de bien X1 :
ex1/p1=
"x1
"p1
p1
x1
=#2R2
(2p1 + 0, 5p2 # 0, 2p3)2
p1(2p1 + 0, 5p2 # 0, 2p3)
R2
=#2p1
2p1 + 0, 5p2 # 0, 2p3)
=#2p1x1
R2
On voit donc que cette elasticite est negative (car p1 > 0, x1 > 0 et R2 > 0).
La demande du bien X1 diminue quand le prix p1 augmente. Il s’agit donc
d’un bien typique/ordinaire non isoelastique.
21
On calcule ensuite l’elasticite croisee de bien X1 par rapport a p2 :
ex1/p2 ="x1
"p2
p2
x1
=#0, 5R2
(2p1 + 0, 5p2 # 0, 2p3)2
p2(2p1 + 0, 5p2 # 0, 2p3)
R2
=#0, 5p2x1
R2
Cette elasticite est de signe negatif. La demande du bien X1 diminue donc
quand le prix du bien X2 augmente de 1%. On peut donc voir que le bien X2
est un bien complementaire au bien X1 qui est non isoelastique.
On calcule l’elasticite croisee du bien X1 par rapport au bien X3 :
ex1/p3=
"x1
"p3
p3
x1
=0, 2R2
(2p1 + 0, 5p2 # 0, 2p3)2
p3(2p1 + 0, 5p2 # 0, 2p3)
R2
=0, 2p3x1
R2
Cette elasticite est de signe positif. La demande du bien X1 augmente avec
le prix du bien X3 varie de 1%. X1 est donc un substitut de X3, de facon non
iso-elastique.
Exercice 4
Les preferences d’un consommateur sont representees par la fonction d’utilite
suivante :
U(x1, x2) = 6x0,251 x0,75
2
22
a. Les fonctions de demande des biens
On suppose en general que le consommateur cherche a maximiser sa fonction
d’utilite sous contrainte budgetaire. On sait en plus que sa fonction d’utilite
atteint son maximum, etant donnee sa contrainte budgetaire quand le taux
marginal de substitution est egale au rapport des prix.
Le contraite budgetaire du consommateur s’ecrit :
p1x1 + p2x2 & R
A l’optimum, cette contrainte est saturee. C’est-a-dire que le consommateur
va depenser la totalite de son revenu dans la consommation des biens. L’op-
timum se trouve donc sur la droite de budget, qui est :
p1x1 + p2x2 = R
On sait en outre qu’a l’optimum, le taux marginal de substitution est egal
au rapport des prix. Ceci nous donne :
TMS =p1
p2
"U(x1, x2/"x1
"U(x1, x2/"x2=
p1
p2
6 ' 0, 25x"0,751 x0,75
2
6 ' 0, 75x0,251 x"0,25
2
=p1
p2
x2
3x1=
p1
p2
p2x2 = 3p1x1
Sachant que le panier optimum se trouve sur la droite de budget, il su"t de
23
rapporter cette equation sur dans la droite de budget, ce qui nous donne :
p1x1 + 3p1x1 = R
x#
1 =R
4p1
De la meme facon, on aura :
1
3p2x2 + p2x2 = R
x#
2 =3R
4p2
On constate que le prix du bien 1 n’aura pas d’impact direct sur le prix du
bien 2 pour ce consommateur, et vice-versa. Les deux biens ne sont ni des
biens concurrents, ni des biens complementaires.
b. Elasticite revenu du bien 1
On calcule l’elasticite revenu du bien 1 qui est defini comme suit :
ex1/R ="x1
"R
R
x1
=1
4p1
R
x1
= 1 > 0
On voit donc que le bien 1 est un bien normal/superieur car l’elasticite revenu
de ce bien est positive. En e!et, ceci indique la demande de bien 1 augmente
lorsque le revenu du consommateur augmente. C’est un bien dont la demande
est isoelastique.
24
c. Elasticite prix du bien 2
L’elasticite prix du bien 2 est donne par
ex2/p2 ="x2
"p2
p2
x2
= #3R
4p22
p2
x2
= #1 < 0
On voit que l’elasticite prix du bien 2 est negative, ce qui implique que la
demande de bien 2 diminue suite a une augmentation du prix de bien 2.
Le bien 2 est donc un bien de type/ordinaire/normal dont la demande est
isoelastique.
25
3. L’echange
Exercice 1
On a deux consommateurs qui ont les fonctions d’utilites suivantes respecti-
vement :
UA(q1, q2) = q2
UB(q1, q2) = 2q1 + Q2
et les dotation initiales q0A = (7; 5) et q0
B(4; 2).
a. Courbe d’indi!erence
De la fonction d’utilite de l’agent A on voit que le consommateur est indif-
ferent par rapport au bien 1. Son utilite augmente uniquement avec le bien
2.
De la fonction d’utilite de l’agent B , on voit que pour ce consommateur,
le bien 1 et le bien 2 sont des substituts parfaits. Ce qui compte pour le
consommateur, c’est le nombre total des deux biens qu’il consomme.
26
Les courbes d’indi!erence pour le consommateur A sont donnees par le gra-
phique suivant :
q2
q1
UA(7; 5) = 5
Les courbes d’indi!erence pour le consommateur B sont donnees par le gra-
phique suivant :
Ici, on voit donc que les utilites des agents vont augmenter s’ils echangent
leurs biens.
27
q2
q1
UB(4; 2) = 5
b. TMS et rapport de prix
Pour etudier ceci, on utilise les resultats de la theorie du consommateur
precedement etudiee. On sait qu’a l’optimum, le TMS devrait etre egal au
rapport des prix.
Pour l’agent A, le TMS du bien 2 par rapport au bien 1 s’ecrit :
TMSA2/1 =
U !
q1(q1, q2)
U !
q2(q1, q2)
=0
1= 0
Donc, le consommateur est pret a renoncer a 0 bien 2 pour augmenter sa
consommation du bien 1, tout en restant sur la meme courbe d’indi!erence.
Le rapport des prix p1
p2expriment le taux d’echange objectif (que le consom-
mateur obtiendra sur le marche) du bien 1 par rapport au bien 2. Donc, sip1
p2> TMSA
2/1 alors le consommateur A a interet d’echanger, car il obtient
plus de bien 2 par rapport a ce qu’il est pret a renoncer pour l’obtenir. Le
28
consomateur A est un demandeur de bien 2 et un o!reur de bien 1.
Pour le consommateur B, le TMS du bien 2 par rapport au bien 1 est :
TMSB2/1 =
U !
q1(q1, q2)
U !
q2(q1, q2)
=2
1= 2
Donc pour augmenter sa consommation d’une unite de bien 1, le consomma-
teur B est pret a renoncer a 2 unites de bien 2. On a de la meme facon,
• si p1
p2> 2, alors le consommateur B devrait renoncer a plus de 2 unites de
bien 2 contre 1 unite supplementaire de bien1 : il n’a pas interet a renoncer
a la consommation du bien 2. Il est donc demandeur du bien 2 et o!reur
du bien 1 pour ces prix.
• si p1
p2> 2, alors pour obtenir 1 unite supplementaire du bien 1, il devrait
renoncer a moins de bien 2 qu’il est pret a le faire. Donc il a interet a
renoncer a la consommation du bien 2 pour augmenter sa consommation
de bien 1. Pour ces prix, le consommateur B est demandeur de bien 1 et
o!reur du bien 2.
c. Interet a l’echange
On a vu que
• le consommateur A est un o!reur de bien 1 et un demandeur de bien 2. Si
le rapport des prix est tel que p1
p2> 0, il aura plus de bien 2 et il sera plus
satisfait.
• le consommateur B est pret a renoncer a du bien 2 pour augmenter sa
consommation de bien 1 si p1
p2< 2. Il augmentera ainsi son niveau d’utilite.
En revanche, si p1
p2> 2, alors il prefere augmenter sa consommation de bien
2 et diminuer sa consommation du bien 1. Son niveau d’utilite sera plus
grand dans ce cas.
29
Ces 2 agents ont interet a echanger si 2 > p1
p2> 0. Les deux agents gagnent
alors en niveau d’utilite par rapport a la consommation de leurs paniers
initiaux. On voit que des lors les TMS sont di!erents. Les agents a interet a
echanger.
En revanche, si p1
p2> 2, les deux agents sont demandeurs de bien 2 et o!reurs
du bien 1. Il n’y a aucun echange possible.
d. Les di!erents paniers
Au prix p = (1; 1), on est dans la fourchette ou les deux agents a inte-
ret a echanger. Le consommateur A est demandeur de bien 2 alors que le
consommateur B est o!reur du bien 2 et demandeur du bien 1. Il y aura
donc echange.
Au prix p = (6; 2), le rapport de prix est de 3. A ce prix, les deux agents
sont des demandeurs de bien 2 et o!reurs de bien 1. Il n’y aura donc pas
d’echange, car les deux agents n’ont pas de gain a tirer de l’echange.
On voit donc quel’echange peut avoir lieu si et seulement si elle augmente les
utilites des deux agents.
30
Exercice 1**
On a ici une economie forme de 2 agents et 2 biens. L’agent 1 et 2 ont la
fonction d’utilite suivante :
U1(qx, qy) = 3qy
U2(qx, qy) = 5qx
Les agents sont dotes initialement de 12 de chaque bien.
a. Tracer les courbes d’indi!erence dans la boıte d’Ed-geworth
On remarque d’abord que les fonctions d’utilite de chaque agent ne dependent
que d’un seul bien. Ainsi l’agent 1 est neutre au bien x et l’agent 2 est neutre
au bien y. Les courbes d’indi!erence vont etre des lignes, horizontales ou
verticales.
La boıte d’Edgeworth est un outil graphique permettant de representer les
dotations et les preferences de 2 agents afin d’etudier les di!erents resultats
de l’echange.
Une allocation est une paire de paniers de consommation. Une allocation est
dite realisable si la quantite totale consommee de chaque bien est egale a la
quantite totale disponible. Ici la quantite totale disponible
• de bien x est 12 + 1
2 = 1
• de bien y est 12 + 1
2 = 1
31
Donc l’ensemble des allocations realisables est caraterise par q1x, q
2x, q
1y , q
2y tel
que
• q1x + q2
x = 1
• q1y + q2
y = 1
La « taille »de la boıte d’Edgeworth est determinee donc par les quantites
disponibles de chaque bien dans l’economie.
qy
qxAgent 1
Agent 2
Dotation initiale
C
E
b. Allocation initiale Pareto optimal ?
Une allocation est dite Pareto optimale s’il n’existe pas d’autre allocation
realisable qui ameliore le bien-etre d’un agent sans deteriorer le bien-etre des
autres agents. On rappelle que si les taux marginal de substitution de tous
les agents sont egaux, alors l’allocation est Pareto optimale dans le cas des
preferences normales.
32
Dans cet exercice, les agents n’ont pas de preferences normales (i.e. prefe-
rences convexes). En e!et, il est facile de constater que pour l’agent 1, le
TMS1q2,q1
est egal a 0, alors que celui de l’agent 2 est +,. Il n’est donc pas
possible d’appliquer le critere de l’egalite des TMS pour verifier l’optimalite
d’une allocation ici.
On voit que l’agent 1 ne se soucie que du bien y alors que l’agent 2 ne se soucie
que de bien x. Donc tout transfert de bien y de l’agent 2 permet d’ameliorer
le niveau d’utilite de l’agent 1, sans que le niveau d’utilite se deteriore pour
l’agent 2. De la meme facon, tout transfert de bien x de l’agent 1 vers l’agent
2 permet d’augmenter le niveau d’utilite de l’agent 2, sans que le niveau
d’utilite de l’agent 1 en soit deteriorer. Donc tout echange du bien x contre
le bien y entre les deux agents permet d’ameliorer le niveau d’utilite des deux
agents simultanement. On en deduit que l’allocation initiale des biens n’est
pas Pareto optimale.
c. Courbe des contrats
La courbe des contrats est l’ensemble des allocations qui sont optimales au
sens de Pareto dans une boıte d’Edgeworth. Cette appelation decoule de
l’idee que tous les contrats finaux resultant du processus d’echange doivent
etre situes dans le’n ensemble de Pareto, car si ce n’est pas le cas, alors il est
possible d’exploiter encore des gains des echanges.
Dans notre cas, on peut facilement reprendre le raisonnement entame pre-
cedemment. Il est facile a voir que seul le point C en haut a gauche de la
boıte d’Edgeworth peut etre optimal au sens de Pareto. L’agent 1 consomme
alors 1 unite de bien y et l’agent 2 consomme une unite de bien x. Ce point
constitue donc la courbe des contrats.
33
d. Allocation concurentielle et rapport d’echange
L’allocation concurrentielle est l’allocation telle que la quantite totale que les
agents desirent acheter ou vendre aux prix en vigueur est egale a la quantite
totale disponible. Le rapport d’echange concurrentiel ou le prix de marche,
est alors l’ensemble de prix tel que chaque consommateur choisisse, parmi les
paniers accessibles, celui qu’il prefere et que les choix de tous les consomma-
teurs soient compatibles dans le sens ou la demande est egale a l’o!re sur
chaque marche.
Ici le seul point d’equilibre est le point C indique ci-dessus. Le rapport de
prix d’equilibre est donne par la pente du segment CE, qui est egale a 1.
Exercice 2**
a. TMS pour les di!erents dotations des biens
On note pour l’agent i, sa dotation de bien (qi1, q
i2), i = A, B. Pour un agent
i, i = A, B, le TMSi2,1 est donne par le rapport des utilites marginales :
TMSi2,1(q
i1, q
i2) =
U !
q1,i(q1, q2)
U !
q2,i(q1, q2)
=qi2
qi1
34
b. Montrer l’egalite des rapports d’allocation optimale
On va ecrire les dotations q1 et q2 qui sont reparties entre les deux individus :
q1 = qA1 + qB
1
q2 = qA2 + qB
2
Donc la somme des dotations en di!erents biens entre les deux individus est
egale a la ressource disponible dans l’economie.
On sait en plus qu’a l’optimum, il faut que le TMS des deux individus soient
egaux (sinon ils auraient avanatge a convenir d’un troc entre les biens) :
TMSA2,1 = TMSB
2,1, d’ou on a
qA2
qA1
=qB2
qB1
On sait en plus que lorsque deux fractions sont egales, elles sont egales a la
fraction obtenue en additionnant les numerateurs et les denominateurs. Par
exemple si2
3=
4
6alors
2
3=
4
6=
2 + 4
3 + 6=
6
9
Il en resulte donc
qA2
qA1
=qB2
qB1
=qA2 + qB
2
qA1 + qB
1
=q2
q1
35
c. Representation graphique
36
q1
q2
60
6Agent A
Agent B
la ligne des optima de Pareto
37
d. Utilite de l’agent B=49
Ici, on cherche a determiner le niveau d’utilite de l’agent A quand le niveau
d’utilite de l’agent B est egal a 49. La dotation (qB1 , qB
2 ) qui procure un niveau
d’utilite 49 est donc
49 = qB1 qB
2
Or on sait en plus qu’a l’optima on a
qB2 =
q2
q1qB1
Donc on en deduit que
q2
q1(qB
2 )1 = 49
qB1 = 7
!
q1
q2
Les dotations de l’agent A sont alors :
qA1 = q1 # qB
1
qA2 = q2 # qB
2
d’ou l’utilite de l’agent A a l’optimum :
UA = qA1 aA
2
= (q1 # qB1 )(q2 # qB
2 )
= (q2 # 7
!
q1
q2)(q2 #
q2
q1qB1 )
38
e. Determiner l’allocation Pareto optimale parmi les al-locations
Pour calculer le niveau d’utilite de A pour les trois allocations, et tel que le
niveau d’utilite de l’agent B est egal a 49, on a employe successivement les
formules calculees ci-dessus :
qB1 = 7
!
q1
q2
qB2 =
q2
q1qB1
qA1 = q1 # qB
1
qA2 = q2 # qB
2
UA = qA1 qA
2
Le tableau suivant retrace les calculs numeriques :
q1/q2 qB1 qB
2 qA1 qA
2 UA env.Cas I 0,0476 1,53 32,13 2,47 51,87 128Cas II 0,5 3,5 14,0 4,5 18 81Cas III 0,1 2,21 22,14 3,79 37,86 143
Le cas II est evidemment la solution optimale permettant a l’individu B un
niveau d’utilite de 49. Le niveau d’utilite de l’individu A est alors d’environ
143.
39
4. La firme neoclassique,technologie, contraintestechniques et les couts
Exercice 1*
On considere une entreprise et deux facteurs de production : le travail note
L et le capital note K, les deux mesures en heures d’utilisation. On a dans le
tableau le volume produits pour certaines valeurs d’utilisation des facteurs.
a. Productivite marginale du travail,K=10
On appelle la productivite marginale du travail le supplement d’output ob-
tenu par unite additionnelle de travail. Formellement, on a
#Q
#L=
f(L +#L, K) # f(L, K))
#L
Dans l’exercice, en considerant K = 10, quand on passe de 35 a 36 heures de
40
travail, le volume produit passe de 149 a 151, d’ou
PmL(35, 10) =151 # 149
36 # 35
=2
1= 2
quand on passe de 36 a 38 heures, le volume produit passe de 151 a 154, d’ou
PmL(36, 10) =154 # 151
2= 1, 5
La productivite marginale de travail pour une utilisation de 10 heures de
capital quand les heures de travail passent de 35 a 38 est en moyenne 1,75.
b. Productivite marginale de travail, K=16
Pour une utilisation de 16 heures de capital,
L Q Variation Rapport PmL
31 158 6 8 632 166 14 4,66 6,335 180 3 3 3,8336 183 4 2 2,538 187 5 1 1,542 19243 193 3 0,7547 196 2 0,25 0,5
On constate donc que la productivite marginale decroit avec le travail. Il s’agit
d’une carateristique habituelle de la plupart des processus de production.
Notons qu’ici les autres facteurs de production (ici K) sont maintenus a un
niveau constant.
41
c. Calcul du TMST direct
Le taux marginal de susbtitution technique mesure le taux auquel la firme
doit substituer un input par l’autre tout en maintenant constante la quantite
d’output. Formellement,
TMST(K,L) = ##L
#K=
PmK
PmL
qui est l’expression du taux de substitution technologique du capital par le
travail.
Pour cette exercice, quand on passe de L=38 et K=12 a L=38 et K=13, le
taux marginal de substitution technologique est de
TMST = ##L
#K= 2
d. Calcul du TMST par la productivite marginale
On va calculer le TMST a partir des productivites marginales.
Au point L=32 et K=16,
PmL(32, 16) = 6, 3
PmK(32, 16) =1
2(171 # 166
1+
166 # 162
1) = 4, 5
TMSTK =4, 5
6, 3= 0, 7
Pour rester sur la meme isoquante, on doit substituer 0,7 heures de travail a
1 heure d’utilisation de capital.
42
Au point L=36 et K=13,
PmL(36, 13) =1
2(170 # 166
2+
166 # 165
1) = 1, 5
PmK(36, 12) =1
2(172 # 166
1+
166 # 162
1) = 5
TMSTK =5
1, 5= 3, 3
On remarque pour ce couple d’inputs, le niveau d’outputs est de 166 aussi.
Au point L=47 et K=11,
PmL(47, 11) =1
2(168 # 166
4+
166 # 164
4) = 0, 5
PmK(47, 11) =1
2(172 # 166
1+
166 # 160
1) = 6
TMSTK =5
1, 5= 12
Auxiliairement, on constate egalement une productivite marginale du capital
decroissante.
On constate que en K=13, il y a un ecart sensible entre TMST et le rapport
des productivites marginales (2 -=3,3). Ceci est du au fait les variations ici ne
sont pas assez petites pour l’approximation par le calcul des derivees.
Au fur et a mesure que le capital augmente, on constate egalement une de-
croissance de la TMST en K.
43
e. Graphique
Exercice 2
La fonction de production s’ecrit Q(K, L) = (3K0,5 + 2L0,5)2.
a. Productivite moyennes
La productivite moyenne d’un facteur est la quantite d’outputs en moyenne
par unite de facteur de production. Il s’agit donc de mesurer combien d’out-
puts en moyenne 1 unite de facteur de production peut produire. Il su"t
donc de diviser la quantite totale produite par la quantite totale de facteur
44
utilise. La productivite moyenne du travail est donc,
PMoL =Q(K, L)
L=
(3K0,5 + 2L0,5)2
L
De la meme facon, la productivite moyenne du capital est donc,
PMoK =Q(K, L)
K=
(3K0,5 + 2L0,5)2
K
b. Productivites marginales
La productivite marginale d’un facteur est le supplement de quantite produite
suite a une unite supplementaire de ce facteur utilise dans la production.
C’est donc, si on passe a la limite, la derivee de la fonction de production
par rapport a ce facteur. Ainsi la productivite marginale du travail est
PmL ="Q(K, L)
"L= 2L"0,5(3K0,5 + 2L0,5)
De la meme facon, la productivite marginale du capital est
PmL ="Q(K, L)
"L= 3K"0,5(3K0,5 + 2L0,5)
c. Rendement d’echelle
Le rendement d’echelle mesure de combien la quantite produite va etre mul-
tipliee si on multiple par la meme proportion tous les facteurs de production.
Si le niveau d’outputs double quand les inputs ont double, alors on parle de
45
rendements d’echelle constants. Si le niveau d’outputs font plus que doubler
quand tous les inputs ont double, alors on parle de rendements d’echelle crois-
sants. Pour etudier le rendement d’echelle de cette fonction de production,
supposons qu’on multiple par # le capital et le travail, ou # > 1 :
Q(#K,#L) = [3(#K)0,5 + 2(#L)0,5]2
= [3#0,5K0,5 + 2#0,5L0,5]2
= [#0,5(3K0,5 + 2L0,5)]2
= #(3K0,5 + 2L0,5)2
= #Q(K, L)
On voit que la technologie est caracterisee par des rendements d’echelle
constants.
d. TMST
On peut facilement calculer le TMST a partir de productivites marginales :
TMSTK =PmL
PmK
=2K0,5
3L0,5
On note qu’ici, qu’on a ce qu’on appelle une fonction CES, qui a la forme
generale suivante :
f(K, L) = ($K! + %L!)1/!
avec $ > 0, % > 0 et & < 1. Ce type de fonction est caracterisee par le
fait qu’elles sont homogenes de degre 1 (rendements d’echelle constants) et
qu’elles ont une elasticite de substitution constante.
46
Exercice 3
On pretend parfois qur la profession de taxi est une activite a rendements
constants. L’output de l’activite : le nombre de kilometres par jour (par
exemple). L’input de l’activite : conducteur de taxi (travail), voiture On
voit donc qu’en augmentant les inputs dans la meme proportion, on voit
que l’output produit va augmenter dans la meme proportion. Ainsi, cette
activite est caracterisee par des rendements d’echelles constants. En e!et,
si on augmente D’une unite voiture et cha!eur, a priori on est capable de
doubler le nombre de kilometres des trajets par jours.
Exercice 4
L’investissement necessaire a la realisation d’une capacite de production dans
une fourchette [500; 100] est defini par la relation :
I = 10000X0,7
a. Graphique et le cout marginal de l’investissement
Graphiquement, on peut representer cette relation comme suivante :
47
I
X500
Le cout marginal de l’investissement est donne par l’expression :
Im(X) ="I(X)
"X
="aXb
"X= abXb"1
On peut des lors calculer l’investissement de son cout marginal pour les va-
leurs respectives de 500 et 1000. Pour un niveau de capacite de 500, l’inves-
tissement necessaire est de :
I(500) = a(500)b = 7, 75 ' 105
et le cout marginal est alors :
Im(500) = abXb"1 = 1, 085 ' 103
Pour un niveau de capacite de 1000, l’investissement necessaire est alors :
I(1000) = a(1000)b = 1, 259 ' 106
48
et le cout marginal est alors :
Im(1000) = abXb"1 = 881, 248
On voit donc qu’au fur et a mesure que la capacite augmente, le niveau d’in-
vestissement necessaire augmente egalement. Le cout marginal d’investisse-
ment diminu au fur et a mesure. Le cout marginal de l’investissement est
decroissant : une augmentation de l’investissement va augmenter la capacite
de production a une taux decroissant.
b. E!ets d’apprentissage
On considere une activite dans laquelle les e!ets d’apprentissage conduisent
a une reduction de la quantite de travail necessaire a la production d’un bien
donne, d’autant plus important que le nombre n de ce bien, deja produit, est
eleve. Cet e!et d’apprentissage se traduit par la relation suivante :
hn = h1(n)b
ou hn represente la quantite d’heures de travail pour la production de l’unite
n.
On cherche la valeur de b telle que le doublement de la quantite produite
se traduit par une baisse de 20% de la quantite de travail necessaire par
unite. Sans e!ets d’apprentissage, pour produire en total 2n unites, il faut
2nh1 unite de travail. Aves l’e!et d’apprentissage, en produisant 2n unite en
totale, la quantite de travail necessaire est alors h1(2n)b. A 20% d’economies,
on a donc :
0, 8 ' h1 = h1(2)b
b =ln 0, 8
ln 2= #0, 322
49
De facon general, pour une economie de (1# k) en terme d’heures de travail
liee a des e!ets d’apprentissage, on a :
b(k) =ln k
ln 2
c. Loi de progres a 80%
Avec une economie de 20%, il faudra pour l’unite n = 10, une quantite de
travail h(10,#0, 322) = 4, 76 · 104.
Exercice
On a une fonction de cout qui s’ecrit
C(Q) = Q2 + 3Q + 20
avec Q le volume produit.
a. Allure des couts
De la forme de la fonction de cout, on pourra deja en deduire que la courbe
du cout total sera croissante et convexe. La courbe de cout marginal est
croissante et lineaire, alors que la courbe de cout variable moyen est, elle
aussi, lineaire. En ce qui concerne la courbe du cout moyen de long terme,
elle sera en forme de U.
50
0 1 2 3 4 5 6 7 8 90123456789
10111213141516171819202122232425262728293031323334353637
Q
Cout
51
b. Les autres couts
Le cout marginal est alors
Cm(Q) ="CT (Q)
"Q= 2Q + 3
Le cout moyen est donne par
CM(Q) =CT (Q)
Q= Q + 3 +
20
Q
Le cout variable total est
CV T (Q) = Q2 + 3Q
Le cout variable moyen est alors
CV M(Q) = Q + 3
On voit donc le cout marginal est bien croissant. Il coupe la courbe de cout
moyen de long terme au point ou ce dernier est minimum. Il en est de meme
en ce qui concerne le cout variable moyen. Le cout total moyen est en forme de
U car il y a des cout fixes. Le cout variable moyen, quant a lui, est croissant.
52
5. Les couts de production
Exercice 0
a. Cout moyens et marginaux de long terme
Le cout moyen (cout unitaire) est le cout total de production divise par la
quantite totale.
CMo(y) =CT (y)
y
Qx = 100 # 8px # 9py
ou px est le prix du bien X et py est le prix du bien Y .
Le cout marginal est le supplement de cout de production engendre par la
production d’une unite supplementaire d’output.
Cma(y) =CT (y +#y)
#y!
"CT (y)
"y
Pour cette exercice, on a le tableau suivant :
53
Production Cout Total CMo #Q Rapport Cma
0 0 -32 32
(32)1 32 32
16 124
2 48 2434 34
253 82 27,33
58 5846
4 140 3588 88
735 228 45,6
124 124106
6 352 58,67 124
b. Courbes des couts
0 1 2 3 4 5 6 7 8 90
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Q
Cout ('10)
54
On constate donc que
1. le cout moyen decroıt avant de croıtre. La courbe de cout moyen est en
forme de U.
2. le cout marginal est croissant
c. Cout moyen minimal
Le cout moyen de long terme est minimal pour un niveau de production
Q = 2.
d. Cma=CMo
Le cout marginal de long terme est egal au cout moyen de long terme pour le
niveau de production tel que ce dernier est minimum. Ici, le cout marginal de
long terme est egal au cout moyen de long terme pour le niveau de production
Q = 2.
Exercice 1
a. Cout marginal en Q=15
De 14 a 15, le cout augmente de C1 = 800 = 22890 # 22090. De 15 a 19,
la production augmente de 4 unites (=19-15), alors que le cout augmente de
3670 = 26560 # 22890, donc C2 = 3670/4 = 917 environs.
55
Le cout marginal pour Q = 15 peut alors etre estime par la moyenne de ces
resultats, soit 858.
b. Calcul de couts moyens
Le tableau suivant indique les resultats. On note Q le niveau de production,
C(Q) le cout total, !C!Q le cout marginal dans les zones intermediaires et
CM(Q) le cout moyen.
Q C(Q) !C!Q CM(Q)
14 22090800
157715 22890
9171526
19 265601080
139722 29800
12161354
25 337001310
133826 34700
14061336
29 388001540
134432 43800
16401362
33 450401705
137035 48650
18701390
40 58000 1450
56
c. Graphique
Le cout moyen est en forme de U, et le cout marginal est croissant. Ces deux
cas peuvent etre consideres comme etant normaux.
Le cout moyen est minimum autour de Q = 26. Il coupe visiblement le cout
marginal dans cette zone, ce qui est absolument general.
d. Approximation cout marginal et cout fixe
Le cout marginal est approximativement lineaire. Donc on pourra lui donner
une forme approximative qui s’ecrit :
Cm(Q) = aQ + b
ou a est la pente de la courbe de cout marginal, et b est une constante.
On sait que le pente peut etre estimee par
a =#C
#Q
Ici, quand le production augmente de 14,5 a 37,5, le cout marginal augmente
57
de 800 a 1870, d’ou le cout marginal augmente en moyenne de
1870 # 800
37, 5 # 14, 5= 46, 5
par unite supplementaire de produit.
On a donc
Cm(Q) = 46, 5Q + b
Il reste a determiner la constante.
On sait de plus que la courbe de cout marginal coupe la courbe de cout moyen
au point ou le cout moyen est minimum. On voit que pour Q = 26, le cout
moyen est minimum : CM(26) = 1336. Puisque les deux courbes se coupent
a ce point, on sait qu’au point Q = 26, Cm(26) = 1336. On a donc :
Cm(26) = 46, 5 ' 26 + b = 1336
$ b = 126
d’ou le cout marginal est aproximativement donne par
Cm(Q) = 46, 5Q + 126
Sachant que le cout marginal est obtenu en derivant la fonction de cout total
par rapport au quantite produite. Il en resulte que :
CT (Q) =
"
Q
Cm(x)"x
=46, 5
2Q2 + 126Q + c
ou c est la constante de l’integration, ou bien, le cout fixe (car le cout fixe
est la partie du cout qui ne depend pas de la quantite produite).
Pour estimer le cout fixe, i.e. la constante de l’integration, il su"t de prendre
n’importe que niveau de production et de resoudre l’equation qui en resulte.
58
Par exemple, pour Q = 26, le cout total est de 34700, d’ou
CT (26) = 23, 25 ' (26)2 + 126 ' 26 + CF = 34700
CF = 16000
Les couts fixes representent donc environ la moitie du cout total autour de
Q = 26. Cette part considerable explique la decroissance du cout moyen
jusqu’a cette valeur.
Exercice 2
On a une fonction de cout qui s’ecrit
C(Q) = Q2 + 3Q + 20
avec Q le volume produit.
a. Allure des couts
De la forme de la fonction de cout, on pourra deja en deduire que la courbe
du cout total sera croissante et convexe. La courbe de cout marginal est
croissante et lineaire, alors que la courbe de cout variable moyen est, elle
aussi, lineaire. En ce qui concerne la courbe du cout moyenne de long terme,
elle sera en forme de U.
59
0 1 2 3 4 5 6 7 8 90123456789
10111213141516171819202122232425262728293031323334353637
Q
Cout
b. Les autres couts
Le cout marginal est alors
Cm(Q) ="CT (Q)
"Q= 2Q + 3
60
Le cout moyen est donne par
CM(Q) =CT (Q)
Q= Q + 3 +
20
Q
Le cout variable total est
CV T (Q) = Q2 + 3Q
Le cout variable moyen est alors
CV M(Q) = Q + 3
On voit donc le cout marginal est bien croissant, et qu’il coupe la courbe de
cout moyen de long terme au point ou ce dernier est minimum. Il en est de
meme en ce qui concerne le cout variable moyen. Le cout total moyen est en
forme de U car il y a des cout fixes. Le cout variable moyen, quant a lui, est
croissant.
Exercice 3
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Exercice 4
On a une fonction de production CES qui s’ecrit :
Q(K, L) = (2K2 + 2L2)1/2
Le prix des facteurs est de w = 10 pour le travail et r = 70 pour le capital.
Le cout fixe est egal a 30.
L’objectif de cet exercice est de trouver la fonction de cout total a prtir de la
fonction de production. On appelle la fonction de cout total la fonction qui
associe le cout minimum pour produire un niveau d’output donne.
a. Sentier d’expansion
La fonction de cout se deduit de l’equation du sentier d’expansion, de la
fonction de production et de l’equation du cout.
On sait que l’entreprise cherche a maximiser son profit. Si elle est price-
taker, alors elle va determiner le niveau d’output qui maximiserait son profit.
L’equation du profit s’ecrit :
' = pQ # wL # rK # 30
Si une entreprise maximise ses profits et choisit un niveau d’output, elle doit
minimiser son cout de production pour ce niveau d’output. S’il n’en etait pas
ainsi, alors il existerait une autre facon plus economique de produire cette
quantite d’output, et l’entreprise ne maximise alors pas son profit au depart.
Ainsi, pour un niveau d’output donne, on sait que le probleme de la firme
62
est de minimiser son cout de production :
maxK,L
wL + rK + 30
s.t. Q(K, L) = Q
Pour un niveau donne de production, et compte tenu des prix des facteurs de
production, la firme va choisir la combinaison des facteurs de telle facon que
le cout de production sera minimum. Cette combinaison optimale est donne
par l’egalite de la productivite marginale des facteurs et le prix de facteur :
pPmL(K, L) = w = 0, 5(2K2 + 2L2)"0,54L
pPmK(K, L) = r = 0, 5(2K2 + 2L2)"0,54K
En e!et, si la productivite marginale de facteur est plus grande que le prix
que l’entreprise va payer, alors l’entreprise aura interet a en acheter plus.
elle est capable de produire marginalement plus que ce que cette unite sup-
plementaire de facteur lui coute. Dans le cas contraire, elle aura interet a
diminuer la quantite du facteur utilisee.
En terme equivalent, la quantite du travail et de capital utilisee optimales
pour un niveau de production donne est telle que le TMST est egale au
rapport des prix :
PmK(K, L)
PmL(K, L)=
0, 5(2K2 + 2L2)"0,54K
0, 5(2K2 + 2L2)"0,54L=
K
L=
70
10
En d’autres termes, K = 7L. C’est le sentier d’expansion.
b. Fonction de cout
On a alors, si l’entreprise respecte cette combinaison optimal des facteurs,
avec une quantite L de travail, l’entreprise est capable de produire :
Q = Q(K(L), L) = [2(7L)2 + 2L2]0,5 = (98L2 + 2L2)0,5 = 10L
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Or, pour un niveau de production donne, l’entreprise devrait utiliser
L = 0, 1Q
quantite de travail.
De la meme facon, on trouve
K = 7 ' 0, 1Q = 0, 7Q
Ainsi, l’equation du cout s’ecrit :
C(K, L) = wL + rK + 30
Or, sachant que l’entreprise a combiner de facon optimal le travail et le capital
pour un niveau de production donne, on a alors la fonction de cout suivante :
CT (Q) = C(K(Q), L(Q))
= 70 ' 0, 7Q + 10 ' 0, 1Q + 30
= 50Q + 30
c. Cout marginal, moyen
Une fois que la fonction de cout est trouvee, il est facile de connaıtre le cout
marginal et le cout moyen. Le cout marginal est tout simplement ici :
Cm(Q) ="CT (Q)
"Q= 50
et le cout moyen est
CM(Q) =CT (Q)
Q= 50 +
30
Q
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