現代天文学 II

物理部門　羽部朝男

宇宙の膨張モデルについて

How we can talk about cosmology….

Large look-back times show the universe when it was different

膨張宇宙モデルについて

• 宇宙の膨張の観測的証拠• 銀河の距離と後退速度

• 宇宙の広がり• 一様等方宇宙モデル• 宇宙の膨張の仕方

v = Hr, H = 70km/s/300MLyr

銀河の速度

膨張速度の測定

• ドップラー効果

• ハッブルの観測した銀河は1000km/s

• クェーサーは，v/c=0.1以上の輝線

=3

z =�� �0

�0=

v

c

cは光速（３０万km／s）

膨張宇宙モデルについて

• 宇宙の膨張の観測的証拠• 銀河の距離と後退速度の比例関係

• 宇宙の広がり　• 一様等方宇宙モデル• 宇宙の膨張の仕方

v = Hr, H = 70km/s/330MLyr

v

c=

�� �0

�0,v

c⇠ 0� 1100

6宇宙はどこまでひろがっているか？

• ニュートンが考えたこと��

•

•

• アインシュタインが考えたこと星はどこまでも一様に分布？

どこまでも広がっている宇宙を調べたい一般相対論を作った

太陽は宇宙の中心にはないだろう

太陽と星は同じだ

宇宙は星の集まりだ

こうすると太陽は動いてしまう

一様等方宇宙の仮定•宇宙には特別な方向が無い

–どの方向を向いても同じ•宇宙には特別な場所は無い

–どの場所の密度も温度も同じ–宇宙には果てがない

7

この二つを宇宙原理とよぶ

なぜ一般相対論的宇宙モデル？•一様等方な宇宙は一般相対論の対象•重力加速度：質量に比例し距離の２乗に反比例

•密度ρが一定なら加速度はrに比例、rが無限大なら加速度も無限大に

8

a =GM

r2

M =4�r3

3⇥

=3

a =4�G�r

3

古典力学モデル

=3

M =4�r3�

3 は一定なので=3

d2r

dt2= �GM

r2=3

12

�dr

dt

�2

=GM

r+ E

が得られる=3

12

�dr

dt

�2

� GM

r= E

=3

d2r

dt2= �4�Gr3�

3r2

一様な半径rの球が一様に膨張するときのrの運動方程式

r

簡単な解=3

E = 0 として=3

r = r0(t/t0)n と仮定して，代入すると=3

12(nr

t)2 � GM

r= 0

左辺の１項目と２項目の時間のべきが同じになるためには=3

2(n� 1) = �n =3

n = 2/3より=3

r = r0(t/t0)2/3 これを代入すると=3

t =1�

6�G�

=3

r = r0(t/t0)2/3

=3

r/r0

=3

t/t0

レポート• 現在の宇宙の平均密度が，1立方メートルあたり水素原子１個と同じ値であると仮定して

=3

t =1�

6�G�

を求め，宇宙の年齢138億年と比較しなさい

すこし一般相対論のお話•重力とエレベーター

13

重力 加速度

重力も加速度も同じ効果

すこし一般相対論のお話（２）•重力で光が曲がる

14

加速度

重力で空間が歪む

重力で時間の進み方も影響をうける

一般相対論によるGPSの誤差の補正

重力とは• ガリレオの物体の落下の法則• 重力の効果を加速度系で表せる• エレベーターの思考実験• 光は重力でまがるー＞空間が重力で歪む

• 強い重力場を一般相対論で扱うGM

r� v2 � c2

相対論の時間と空間• ３次元空間（たて、よこ、高さ）x, y, z

• 時間軸を加えて４次元• 異なる一定速度で動くふたつの系の間で時間の進み方が異なる（動く時計はゆっくり）

+

相対論の時間と空間

等方に出した光は

動いていると前方に向かう

時間と空間は慣性系の速度に依存

一般相対論の基礎方程式

• アインシュタイン方程式• 時空のゆがみ＝物質のエネルギーと運動量

• 時空の曲率で時空のゆがみを表す

４次元空間

一般相対論的宇宙モデル• アインシュタイン方程式を一様等方宇宙に適用するとフリードマン方程式

• フリードマン方程式には、膨張あるいは収縮する解

• 膨張する解には、時間に始まりがある• 宇宙の曲率は物質のエネルギーや密度が決める

20一般相対論的宇宙モデル

•

a:宇宙のスケールファクター、Λ:宇宙項(ダークエネルギー） ρ:宇宙の平均密度、k:宇宙の曲率を表す定数

12a2 � 4�G⇥a3

3a= �1

2kc2 +

�c2a2

6

この式はΛ=0なら地上で物体を投げ上げたときの運動を表す式と同じ，宇宙膨張(a)は減速する

Einstein方程式を一様等方宇宙に適用するとFriedman方程式が得られる

宇宙項があると宇宙は加速膨張する曲率は平坦か正か負であり、宇宙の膨張にも影響

M =4�⇥a3

3

曲率とは

• 曲率ゼロ　三角形の内角の和がπ• 正の曲率　三角形の内角の和がπより大きい

• 負の曲率　三角形の内角の和がπより小さい

宇宙膨張の解

22時間

宇宙の大きさ

a

正の曲率

曲率ゼロ負の曲率

ダークエネルギーありで曲率ゼロ

v = Hr � t = r/v = 1/H

ハッブル係数H と宇宙年齢

膨張宇宙の証拠は？•銀河の距離と後退速度の関係

•宇宙背景放射

•水素ヘリウムの元素比

•銀河の形成と進化（宇宙論的星形成率）

24

次回は膨張宇宙の進化について

25

3

Present Status and Implications of SFR(z) The Milky Way exhibits an integrated star formation rate of a few solar masses per year (see Diehl et al. 2006 for a summary of various tracers and estimates). Radioactive isotopes like 26Al and 60Fe, ejected during the explosions of massive stars and prior by the strong winds of their progenitors, trace the global, galactic star formation activity well. The local galaxy density of ~ 10-2 Mpc-3 thus implies a local SFR-density of a few solar masses per year per cubic Mpc. On a larger scale, γ-rays from supernovae produce a cumulative background in the MeV regime (Fig. 1), which can be used to determine the global star formation history of the universe (Watanabe et al. 2003). Using observations of the Hubble Deep Field (HDF) Madau (1997) and collaborators determined the SFR-density to z ~ 5 (Fig 2), which demonstrated that this key function had a maximum at z ~ 1-2, and a relatively fast decline beyond. Shortly after this study, a flurry of activities led to improved estimates, with better low-z calibrations and taking dust extinction into account. The SFR(z) function moved up substantially, and it’s high-z tail flattened out. The measurement of SFR(z) is essential for the determination of the MeV background mentioned above, and the associated neutrino background in the ~10 MeV-window, which may soon be detectable by Super-Kamiokande (Horiuchi, Beacom & Dwek 2009). These neutrinos probe the dense, hot interiors of proto- neutron stars at the heart of core-collapse SNe. In addition to

direct SFR measures from rates of SNIa and SNII in the “nearby” Universe (the limit of direct SN searches is approaching z~2, e.g., Riess et al. 2001), these two backgrounds offer a valuable, cumulative measurement of the SFR function. It must be mentioned that all these methods require a conversion from event rates to star formation rates, which inevitably involves the Initial Mass Function (IMF), and various assumptions about its evolution and dependence on environment. Extending the Madau plot to redshifts larger than those reachable with supernovae is an important goal for observational cosmology. Directly tracing SFR(z) back to the first stars is an even more daunting task. Here, GRBs offer a unique way to accomplish this goal. The long-soft class of GRBs

is believed to be produced during the final stages of the evolution of some massive stars, when an accretion disk forms around a black hole and enormous energy release in its vicinity drives ultra-relativistic jets through the star along its rotation axis. Short-hard GRBs are also believed to be associated with a black hole - accretion disk – jet system, but with merging binary systems of compact stars (e.g., a neutron star binary) as progenitors. Both of these source classes trace, more or less directly, the cosmic star formation history, and

Fig. 2: The classic Madau plot: Star formation rate density (per co-moving volume) vs. z from the Hubble Deep Field (Madau 1997).

Fig 1. MeV gamma-rays emerging from supernovae (mostly due to 56Ni from

SNIa) produce a cumulative diffuse γγγγ-ray background (Strigari et al. 2005)

赤方変位

星形成率（共動座標体積当たり）

宇宙論的星形成率の時間変化

現在 過去