C. Idrostatica

7/23/2019 C. Idrostatica

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C. Statica dei fluidi

Eq. indefinita della statica dei fluidi

Legge di Stevin - Distribuzione idrostatica delle pressioni

Pressioni relative ed assolute - Piano dei carichi idrostatici

Spinte idrostatiche su superfici piane

Equazione globale equilibrio statico

Spinte idrostatiche su superfici curve

Galleggianti

Fluidi piccolo peso specifico

Equazione Mariotte

C0



Si esamini un fluido in quiete, o più in il caso generale in moto in assenza di moto relativo tra particelle

adiacenti 0

Obiettivo: studiare il campo di pressione, p( x, y, z ) nel fluido e gli effetti di p su superfici immerse.

Variazione della pressione in un punto con l’orientamento di un piano passante per

il punto stesso - F = m a

z x

y

p y x z

p z x y

p s x s

s

x y z

2

y

x

z Lungo le direzioni z ed y

Dalla geometria:

y = s cos ; z = s sin

p y – p s = r a y ( y/2)

p z – p

s = (r a

z + ) ( z /2)

Prendendo il limite per x, y, z 0 (mantenendo fisso ) p y = p s; p z = p s p y = p z = p s

La pressione in un punto di un fluido in quiete (o in moto) è indipendente dalla direzione finché gli

sforzi tangenziali sono identicamente nulli.

Pressione in un fluido in quiete

C1



z

x

y i

j

k

rf x y z

Equazione indefinita della statica dei fluidi

Bilancio di forze di massa e di superficie

Forza di superficie risultante in direzione y

Forze di superficie risultanti in direzione x, z

Campo di forze specifiche di massa f [F/M]

Espansione di p in serie di Taylor

Forza di superficie totale

C2

z y x y

p z x y

y

p p z x p F

y

z y x x

p

F x

z x y y

p p

z x p

y x p

y x z z

p p

Seconda legge di Newton F = ma = 0

F = Fs +rf x y z = 0

p z

p

y

p

x

p

k j i

Gradiente di pressione

(grad p o p )

- p d xdydz + rf d xdydz = 0

p = rf

Sostituendo le forze di superficie, essendo

si ha



Equazione globale dell’equilibrio statico

r

W

dV p grad dV f

A

dA p n

Risultante delle forze

di massa su W

Risultante delle spinte

elementari p n sugli

elementini della superficie di

contorno

G +P

= 0

C3

V

A

A

n

Integrando l’equazione indefinita su un volume di

controllo finito V di superficie A e applicando il lemma di

Green (parte A)

L’equazione esprime l’equilibrio tra le forze di massa applicate ad un volume finito e le forzedi superficie che agiscono sul contorno dello stesso



1) In un fluido pesante = sottoposto sola azione gravità f = – g k

0

y

p

x

p

z

p

La pressione decresce muovendoci verso l’alto in un fluido in quiete.

La legge di distribuzione delle pressioni nel fluido in quiete è determinata dalla soluzione

delle

1. Equazione indefinita p + k = 0

2. Equazione di stato r = r( p, temperatura)

3. Condizioni al contorno forniscono la soluzione particolare

2) r = costante (z + p / 0; z + p / = costante

z + p / = quota piezometr ica o carico piezometr ico LEGGE DI STEVIN

Legge di Stevin

p + k = 0

ovvero per componenti

C4

quota geodetica altezza piezometrica



Dati due punti qualunque 1 e 2, di quota z 1 e z 2

rispetto a un riferimento

p2 – p1 = – ( z 2 – z 1) p1 – p2 = ( z 2 – z 1)

x

z

y

z 2

z 1

h = z 2 – z 1

p 2

p 1

p1 – p2 = h; p1 = h + p2

Distribuzione idrostatica delle pressioni

La pressione varia linearmente con la profondità

Se p = costante (superfici isobariche) z = costante Le superfici

isobariche sono dei

piani orizzontali

La pressione aumenta col diminuire della quota Esiste piano orizzontale a quota z 0 nel quale la pressione si annulla = piano dei carichi idrostatici assoluto

Distribuzione idrostatica delle pressioni

C5

Superficie libera, atmosfera ( p = patm )



Vuoto; p = 0

z = 0

A

z A

z 0

p

p A

p.c.i. assoluto (superficie libera del liquido)

Piano dei carichi idrostatici assoluto

h A

La pressione in un punto A ad una profondità h A rispetto al p.c.i. è p A = h A

C6



Pressioni relative ed assolute – Piano dei carichi idrostatici relativi

La pressione vista sinora si indica come pressione assoluta pass = p*

Nei problemi applicativi, con recipienti in atmosfera, si utilizza la pressione relativa prel = pass – patm

con patm = pressione atmosferica; prel può anche essere negativa, pass no !Si definisce allora il p.c.i. relativo come quel piano su cui si annulla la pressione relativa; per

recipienti a pelo libero, esso concide con la superficie libera

p.c.i. Relativo; z a = z M + p M /

= z M + (p *M - p atm ) /

z = 0

M

z M

h

h * = p *M /

p atm /

z 0z a

p.c.i. Assoluto; z 0 = z M + p *M /

Il p.c.i. assoluto e relativo sono utili per trovare la p nei punti della massa fluida considerata

p M = ( z a – z M ) = h p* M = ( z 0 – z M ) = h*

patm= 101.330 Pa 10.33 m (altezza piezometrica della pressione atmosferica in m di colonna

d’acqua)

C7



Vuoto; p * = 0

p atm

z = 0

M

z M

h Mz 0

z a

p

p *M

p M

p atm

p.c.i. assoluto (superficie libera del liquido)

p.c.i. relativo

Piani dei carichi idrostatici assoluti e relativi

C8



A B

h

La pressione in un punto non dipende dalla

forma del recipiente che contiene il fluido

F 1 = p A1 F 2 = p A2

Trasmissione della pressione fluida

(torchio idraulico)

Una piccola forza può originare unaforza più grande

p = F 1 /A1 = F 2 /A2

C9

Applicazioni



MISURA DELLA PRESSIONE

• M

h

p.c.i.Piezometro : consente di visualizare la quota del p.c.i.

p M =

h

r1

r2

A

h 1

h 2

Aria (p = 0) p.c.i.(1)

p.c.i.(2)

arctan 1

arctan2

h ’

2 h ’ = p A = 1 h 1

h ’ =

2

1

h 1

C10



p.c.i.

hp.c.i.

M N ’

N

M

M

D

M > p M = p N + M D

D

M M h p

Manometro Semplice

M > p N =0 = p N ’

p M = M D

D

M M h p

h

M

N ’ N

M

p.c.i.

M

D

p.c.i.

C11



Manometro Differenziale 1/2

p N = h

p M = (h – D – )

p N = p M + D M

(h – D – ) + D M = h

D M

M >

D

h – D

h

N

M

p.c.i.

M

h

(h – D)

arctg

M

arctg

C12



Manometro Differenziale 2/2

1

2

M >

D

h – D

h

N

M

p.c.i.

M

A

B

p.c.i.

1

p.c.i.

2

arctg

2

arctg

1

arctg

M

2

12

2

2

D h M

C13



Spinta Idrostatica su Superficie Piana

Spinta su superficie infinitesima d S = pn dA = hdAn

Spinta su superficie finita

C14

S R = p A ; p = h Spinta superficie;

Spinta applicata nel baricentro

H

p

S R

p = patm

Superf icie orizzontale

dA

d S

A

h

p.c.i.

A

R R R S hdAS nS ;

Spinta superficie (larga L);

Spinta appl. nel centro di spinta baricentro

Superf icie verticale

H

S R

p = patm

h

2 H /3

A

H

G R A p HL H L H hLdhhdAS 0

2

22



Spinta Idrostatica su Superficie Piana Inclinata (1/2)

yG

y

S

d S hG

h

O

yC x

y

xG

xC

x

G

C A

dA

p.c.i. L inea di sponda

S R = pG A

C15

Ah A y

ydAdA yhdAS

S hdAdA pd

GG

A A A

A A A

sen

sensen

nnnSS

Modulo dell a spinta

M

I

A y

I

A y

I

S

I y

dA y I I dA y

dA yhydA pydASy

x

G

x

G

x xC

A x x

A

A A AC

sen

sensen

;sensen

sen

22

2

Punto di applicazione della spin ta

I x: momento d’inerzia dell’area A rispetto all’asse

x, formato dall’intersezione tra il piano

contenente la superficie e la superficie libera



Spinta Idrostatica su Superficie Piana Inclinata (2/2)

yG

y

S

d S hG

h

O

yC x

y

xG

xC

x

G

C A

dA

p.c.i. L inea di sponda

C16

M

I

A y

I

A y

I

S

I x

xydA I I xydA

dA xyhxdA pxdASx

xy

G

xy

G

xy xy

C

A xy xy

A

A A A

C

sen

sensen

;sensen

sen

Punto di applicazione dell a spin ta

I xy: momento centrifugo dell’area A rispetto agli assi x e y

Le espressioni precedenti si trasformano

ricordando che (teorema di Huygens-

Steyner) I x = I xG + A y2

G, con I xG: momento d’inerzia dell’area rispetto a un asse passante per il suo

baricentro G e parallelo all’asse x; ne consegue

M

I y y xG

GC

ESEMPI



b/2

b/2 s

eS

B

C

A

h

Paratoia rettangolare verticale alta b e larga L incernierata in C.

Determinare il modulo della spinta S sulla paratoia e il suo momento

M rispetto C, nell’ipotesi che l’acqua a monte della paratoia abbia

una profondità h = 2b sulla cerniera stessa..

Ah A pS GG

e

2

12

222

3

0

b AB Lb

Lbb

M

I bb s

Spinta

braccio

sS M Momento

A

C

B

a

L

H

Determinare la più piccola lunghezza L della base AB in modoche l’elemento non si ribalti e l’angolo a per cui la lunghezza è

minima.

Affinché la struttura non si ribalti la spinta complessiva

sull’elemento ABC deve passare al limite per B, ossia che sia

nullo il momento rispetto B delle spinte su AB e BC.

(Si considera un elemento di larghezza unitaria)

HLS AB

2

1

2

1

2 HL

LS M AB

a

sen

H H S

BC 2

1

a

2

3

2

6

1

sen

H braccioS M

BC

21 M M

a

sen

H L

3

L è min per sena max ossia per a = p/2

C17



Spinte su superfici curve 1/4

dS = p n dA

dSx = p (cos [nx ] dA) = p dAx

dSy = p (cos [ny ] dA) = p dAy

dSz = p (cos [nz ] dA) = p dAz

(ha per normale l’asse x )

xox A

x A

x A

x x AhdAhdA pdS S x x x

La superficie Ax è piana

h 0x è il baricentro di Ax piana

yoy

A

y

A

y

A

y y AhdAhdA pdS S

y y y

1. Proiezione Ax , Ay

2. h 0 = p 0 baricentro

3. Applicata (S x , S y ) nel centro di spinta

In genere non riconducibile ad un’unica forza (2 forze: 1 orizzontale, 1 verticale)

C18

A

dA

dAx

pz

x

y

Ax

CP

Sx

y

z

S i fi i /




W dW dAhdA pdS S

z z z z A A

z z

A

z

A

z z

1. Peso cilindro con generatici verticali poggiante

sulla curva che forma il contorno di A

2. Applicata nel baricentro del cilindro

S x

, S y

non complanari - Sistema equivalente

S oriz. = ; S vert . = S z

S vert . non passa più per il baricentro del volume della

colonna sovrastante, a meno che S x e S y siano complanari

(coppia = 0)

In generale si calcola così: S x in C x , S y in C y , S z nelbaricentro di W .

22

y x S S

Sz

Az

C19

S i t fi i 3/4 i l b l d ll’ ilib i t ti



Spinte su superfici curve 3/4 : uso equazione globale dell’equilibrio statico

C

B

O

P1

O

G

C

BA

C

BA

(baricentro)

Si isola un volume finito W (volume di controllo): la sua scelta

dipende dal tipo di problema che si affronta

G + P1 + P2 + P0 = 0

G + P = 0

C20

P2

P0

S=P0

S = P0 = G + P1 + P2

La forza incognita (spinta su superficie curva) è determinata infunzione di forze note (peso e spinte su superfici piane)

S i t fi i 4/4




p.c.i.

h 0

G + P0 + P1 = 0

S =P0 = –

P1 – G

P1 = h 0 A (applicata nel centro di spinta)

G = W (peso; applicato nel baricentro)

P1

P1G

- G

P0

C21

I) Sup. concava:

S = – P0 = G + P1

II) Sup. convessa: riempio V di fluido

S = P0 = – G – P1

I )

V

P0

P0

G

P

1

II )

V

C i i i ll i ti



Corpi immersi o galleggianti

GALLEGGIANTI (parz. immersi)

G

G + P = 0; P = S;S = spinta liquido sul corpo;

S = -G

Un corpo immerso in un liquido riceve una spinta verso l’alto pari al peso di un volume di liquido uguale a quello del corpo

immerso; esso passa per il baricentro del volume di fluido

(PRINCIPIO DI ARCHIMEDE).

S

P peso proprio corpo

P > S corpo affonda;P = S eq. indifferente;

P < S corpo si innalza;

P

B

C

S

B = baricentro nave;

V = volume di carena;C = centro di carena(baricentro di V)V

C22

Caso della nave :

P V S

Applicata nel baricentro del volume

immerso (CENTRO DI CARENA)

L’equilibrio è indifferente per traslazioni

orizontali, stabile per traslazioni verticali

P

S

EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE ATTORNO ASSE ORIZZONTALE



Per piccoli sbandamenti (sena tga a) si dimostra che

con J momento d’inerzia della superficie di

galleggiamento rispetto all’asse di rotazione scelto e V volume di carena.V

J MC

EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE ATTORNO ASSE ORIZZONTALE

S

C

M

G

P

a

C’ GC

a

MS

P

a

M

G

C C’

G = baricentro; C = centro di carena; C’ = centro di carena in posizione sbandata; M = metacentro

= intersezione della verticale per C’ con GC

a) G sotto C; equilibrio sempre

stabile (STABILITA’ DI PESO)

Momento stabilizzante

a senGC MC V M s

b) G C; equilibrio sempre

stabile

Momento stabilizzante

a sen MC V M

s

c) G sopra C

Momento stabilizzate

) a senGC MC V M

s

Equilibrio stabile se

Equilibrio indifferente se

Equilibrio instabile se

GC MC

GC MC

GC MC

C23

Fluidi di piccolo peso specifico



Fluidi di piccolo peso specifico,

Anche fluidi sottoposti ad elevate pressioni in piccoli contenitori

1. Gas (modeste altezze); nei gas p costante

Aria 20 ºC

p A = 9.806 N/cm2 9.8 x 104 N/m2 [Pa]

= 23.24 N/m3 cost.

p B = p A + x 5 = p A + 116 (p B – p A) / p B x 100 1.2 ‰

B

A

Spinta su superficie piana Spinta su superficie curva

S = p A

S A

p dS x = p dA cos a = p dAx

S x = p Ax

S y = p Ay

S z = p Az

Ax

p S x

S a

C24



2. Liquidi con p elevate

Come nei gas, p cost

2 dT = S S = p D dL

dT = s e dL

e = dT / s dL

Formula di Mariotte

dL

D e e

dT dT

p

C25

e

pD

2s

C. Idrostatica

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