电动力学第六章：狭义相对论，动力学

杨焕雄

中国科学技术大学物理学院近代物理系

hyang@ustc.edu.cn

June 13, 2019

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电动力学的相对论不变性：

电磁现象的基本规律是Maxwell方程组和外电磁场之 Lorentz力作用下带电粒子的 Newton第二定律. 在真空中，它们分别是：

r � ~E = �=�0; r� ~E+ @t~B = 0r � ~B = 0; r� ~B� �0�0@t~E = �0~J

和d~pdt

= q(~E+~u� ~B)

请问： 这两组方程是狭义相对论意义下的物理规律吗？

根据相对性原理，狭义相对论所认可的物理规律其数学形式必须与惯性参考系的选择无关. 因此，欲回答上述问题，我们须事先考察这两组方程在 Lorentz变换下的变换性质.

要领：把方程组中出现的 �,~J, ~E, ~B和~p等物理量联系于相应的四维协变量.

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四维电流密度矢量：

首先考虑电荷体系的电荷密度 �.

对任一电荷分布而言，其自身参考系是唯一的. 电荷分布在其自身系中始终处于静止状态，其电荷密度 �0和体积微元 dV0可以分别称为固有电荷密度和固有体元.

1 �0和 dV0天然地是两个四维标量，它们不受 Lorentz变换的影响.

2 电荷分布的总电荷量可以写为：

Q =

ˆ�0dV0 ⇝ Q是一个四维标量.

现在假设电荷体系相对于惯性系 Σ以速度 ~u运动. 若 Σ系中的观测者测到的电荷密度和体元分别为 �与 dV，则此电荷分布在Σ系中获得了如下电流密度矢量:

~J = �~u

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且其总电荷量 Q可以等价地表达为：

Q =

ˆ�dV =

ˆ�0dV0

鉴于运动尺度的缩短效应，我们有：

dV = dV0

q1� (u=c)2; 请问：为何不是 dV = dV0

�q1� (u=c)2

�3?

总电荷量 Q的 Lorentz不变性意味着：

� =�0p

1� (u=c)2:= u�0; u =

1p1� (u=c)2

; ⇝ ~J = u�0~u

1 电荷密度 �与电流密度矢量~J构成的四元数组 J� = (~J; ic�)具有性质：

J� = (~J; ic�) = u�0(~u; ic) = �0U�; U� = u(~u; ic)

因此，J�形成了一个四维矢量，称之为4-电流密度矢量.

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电荷守恒定律：

作为 4-电流密度矢量 J�的一个应用，我们现在来考察电荷守恒定律作为相对论意义下的物理规律的资格.

电荷守恒定律是一条实验规律，

r �~J+ @t� = 0

注意到 4-电流矢量 J�和 4-梯度算符 @�的分量表达分别是：

J� = (~J; ic�); @� =

�r; � i

c@

@t

�

我们有：

0 = r �~J+ @�

@t= r �~J� i

c@

@t(ic�) = r �~J+ @J4

@x4

即电荷守恒定律可以通过四维协变量重新表达为：

@�J� = 0

此方程的各项均为 4-标量，因而在任意惯性系中成立.所以，电荷守恒定律确为狭义相对论所承认的一条物理规律.

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四维电磁势矢量, 1

现在开始讨论Maxwell方程组的 Lorentz变换性质.

Maxwell方程组可以表达为规范势的波动方程. 在 Lorenz规范中，用势表出的Maxwell方程组是：

r2~A� 1c2@2t~A = ��0~J

r2'� 1c2@2t ' = ��=�0

Lorenz规范条件为：

r � ~A+1c2@t' = 0

请问： 这些方程的数学形式与参考系的选择有关吗？

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四维电磁势矢量，2

注意到~J和 �合成了 4-电流密度矢量 J� = (~J; ic�)，

⇝ J4 = ic�

而 4-梯度算符与自身的缩并可以形成一个四维标量算符：

@�@� = @i@i + @24 = r2 � 1

c2@2

@t2

这正是出现在电磁波波动方程中的达朗贝尔算符.

因此，Lorenz规范中规范矢势和标势所满足的方程可以分别表达为：

@�@�~A = ��0~J; @�@�' = ��=�0进而，

��0J4 = � 1�0 c2

(ic�) = � ic(�=�0) =

ic@�@�'

由此看到：若将 ~A与 '按如下方式合成一个四元数组

A� = (~A; i'=c) ⇝ A4 :=ic'

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四维电磁势矢量, 3

则 Lorenz规范中规范势的波动方程可以表达为：

@�@�A� = ��0J�

1 加上 Lorenz规范条件后，此方程与Maxwell方程组等价.2 方程右端是一个四维矢量，而左端作用于数组 A�的微商算符 @�@�是一个四维标量算符.

因此，倘若假设数组 A�在 Lorentz变换下形成四维矢量：

A� =

�~A;

ic'

�⇝ A0� = a��A�

称之为4-电磁势， 则规范势的波动方程 @�@�A� = ��0J� 在所有惯性系中均采取相同的形式、从而获得了狭义相对论意义下物理规律的资格.

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四维电磁势矢量, 4

承认 A� = (~A; i'=c)是一个四维矢量，则意味着 Lorenz规范条件

0 = r � ~A+1c2@'

@t= r � ~A+

@A4

@x4= @�A�

也与参考系的选择无关. 因此它也是一条合格的物理规律.

在 Lorentz变换下，x� ⇝ x0� = a��x�，4-电磁势的变换法则是：

A� ⇝ A0� = a��A�其显式形式如下：

A0i = Ai + 2

+ 1�i�jAj � �i'=c; '0 = ('� c�iAi)

或者等价地，

~A0 = ~A+ 2

+ 1(~� � ~A)~� � 1

c ~�'

'0 = '� c(~� � ~A)9 / 78

电磁场张量，1

将 4-梯度算符 @�作用于 4-电磁势，可以构造如下反对称的四维张量：

F�� = @�A� � @�A� ⇝ F�� = �F��其在 Lorentz变换 x� ⇝ x0� = a��x� 下的变换法则是：

F�� ⇝ F0�� = a��a��F��

按照定义式，F�� 中的独立分量数目为：

# =4� 3

2= 6

试问： F�� 的诸分量各有何物理意义？

回顾场强与规范势的关系式 ~B = r� ~A与 ~E = �r'� @t~A，可知在 Cartesian直角坐标系中，

Bi = �ijk@jAk; Ei = �@i'� @tAi

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电磁场张量, 2

且 A4 = i'=c, @4 = � ic@t, 我们有：

Fij = @iAj � @jAi = �ijk(r� ~A)k = �ijkBk

Fi4 = @iA4 � @4Ai =ic(@i'+ @tAi) = � i

cEi

F4i = �Fi4 =icEi

F44 = 0

即 F�� 的非零独立分量是电磁场的场强：

Fij = �ijkBk; Fi4 = �iEi=c :鉴于此，F�� 常称为电磁场张量.

1 求上式的反变换式，也可以将电磁场的场强用电磁场张量表达出来：

Ei = icFi4; Bi =12�ijkFjk :

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Maxwell方程组的参考系选择无关性, 1

请问： F�� 有什么用？

电磁场张量的第一个用处是有助于我们把Maxwell方程组完全用四维协变量表达出来，从而验证其参考系选择无关性.

首先考虑r � ~E = �=�0. 由于 4-电流密度 J� = (~J; ic�), 所以：

�0J4 =(ic�)c2�0

=ic(�=�0) =

icr � ~E =

ic@iEi =

ic@i(icFi4)

= �@iFi4 = �@iFi4 � @4F44 = �@�F�4

接着考虑Maxwell方程 r� ~B� �0�0@t~E = �0~J.

�0Ji = �ijk@jBk� 1c2@tEi =

12�ijk�mnk@jFmn+@4Fi4 = �@jFji�@4F4i = �@�F�i

所以，以上两个Maxwell方程可以合写为：

@�F�� = ��0J�此式的两端均为四维矢量，因此其形式与参考系的选择无关.

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Maxwell方程组的参考系选择无关性, 2

考虑r � ~B = 0.

0 = @iBi =12�ijk@iFjk = @1F23 + @2F31 + @3F12

再考虑 r� ~E+ @t~B = 0.

0 = �ijk@jEk+@tBi = ic�ijk@jFk4+ic@412�ijkFjk =

ic2�ijk(@jFk4+@kF4j+@4Fjk)

即：@jFk4 + @kF4j + @4Fjk = 0

所以，这两个Maxwell方程可以统一地写为：

@�F�� + @�F�� + @�F�� = 0

此方程的两端均为四维三阶张量，因此其数学形式不因惯性参考系的变换而改变.

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Maxwell方程组的参考系选择无关性, 3

完整的Maxwell方程组可以通过电磁场张量表达为：

@�F�� = ��0J�@�F�� + @�F�� + @�F�� = 0

鉴于 F�� 和 J�分别是四维二阶张量和四维矢量，而 @�是四维矢量算符，这两个方程具有明显的 Lorentz变换不变性. Maxwell方程组在任一惯性参考系中都成立.

1 定义电磁场张量 F�� 的对偶张量F�� , 它也是一个四维二阶反对称张量：

F�� =12�����F��

显见F�� = �F��. 借助于它可以把Maxwell方程组表达成更对称的四维协变形式：

@�F�� = ��0J� ; @�F�� = 0:

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Maxwell方程组的参考系选择无关性, 4

证明如下. 齐次Maxwell方程 @�F�� + @�F�� + @�F�� = 0可改写为：

0 = �����(@�F�� + @�F�� + @�F��)= @�(�����F��) + @�(�����F��) + @�(�����F��)= 2@�F�� + 2@�F�� + 2@�F��

= 6@�F��

⇝ @�F�� = 0

证毕.

Ex(optional)：请证明 F�� 与F�� 的对偶关系也可以表达为，

F�� =12�����F��

请问：应该怎样理解 F�� 与F�� 之间的对偶关系？15 / 78

对偶电磁场张量：

对偶电磁场张量F�� 的物理内容分析如下，其纯空间分量是：

Fij =12�ij��F�� =

12(�ijk4Fk4 + �ij4kF4k) = �ijkFk4 = � i

c�ijkEk

计算中利用了恒等式 �ijk4 = �ijk. 同理，

Fi4 =12�i4��F�� =

12�i4jkFjk =

12�ijk�mjkBm = Bi

综合起来，即有：

Fij = � ic�ijkEk; Fi4 = Bi :

将其与电磁场张量 F�� 的对应分量进行比较，

Fij = �ijkBk; Fi4 = �iEi=c :

即知 F�� 与F�� 之间对偶关系的本质是电磁对偶.16 / 78

电磁场场强的 Lorentz变换法则：

电磁场张量的第二个用处是有助于我们找到电磁场场强矢量 ~E和~B的 Lorentz变换法则.

Maxwell方程组的参考系选择无关性要求 F�� 形成四维张量. 所以，在 Lorentz变换 x� ⇝ x0� = a��x� 下，

F�� ⇝ F0�� = a��a��F��

据此，并注意到 Ei = icFi4和 Bi = 12�ijkFjk，我们有 Ei ⇝ E0i,

Bi ⇝ B0i. 这里：

E0i = icF0i4 = icai�a4�F�� = icaija4�Fj� + icai4a4�F4�

= icaija4kFjk + icaija44Fj4 + icai4a4jF4j

= icaija4k�jklBl + (aija44 � ai4a4j)Ej

右端第一项是磁场部分：

第一项 = ic

"�ij +

2

+ 1�i�j

#(�i �k)�jklBl = c �ikl�kBl

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第二项是电场部分：

第二项 =

"�ij +

2

+ 1�i�j

# Ej � (i �i)(�i �j)Ej

= Ei � 2

+ 1�i�jEj

两项相加，即得：

E0i = Ei � 2

+ 1�i�jEj + c �ijk�jBk

此式可写成与坐标系选择无关的形式：

~E0 = (~E+ c~� � ~B)� 2

+ 1~�(~� � ~E)

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同理有：

B0i =12�ijkF0jk =

12�ijk aj�ak�F��

=12�ijk ajmak�Fm� +

12�ijk aj4ak�F4�

=12�ijk ajmaklFml +

12�ijk ajmak4Fm4 +

12�ijk aj4aklF4l

=12�ijk�mln ajmaklBn +

12�ijk ajmak4(�iEm=c) + 1

2�ijk aj4akl(iEl=c)

=12�ijk�mln ajmaklBn � i

c�ijk ajmak4Em

右端第二项是电场部分：

第二项 = � ic�ijk ajmak4Em = � i

c�ijk

"�jm +

2

+ 1�j�m

#(i �k)Em

=

c�ijk�kEj

= � c�ijk�jEk

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而第一项是磁场部分：

第一项 =12�ijk�mln ajmaklBn

=12�ijk�mln

"�jm +

2

+ 1�j�m

# "�kl +

2

+ 1�k�l

#Bn

=12�ijk�mln

��jm�kl +

2

+ 1(�k�l�jm + �j�m�kl)

+ 4

( + 1)2�j�m�k�l

�Bn

= Bi + 2�2

+ 1(�2Bi � �i�nBn)

= Bi � 2

+ 1�i�jBj

两项相加即得：

B0i = (Bi � �ijk�jEk=c)� 2

+ 1�i�jBj

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亦即：

~B0 =

�~B� 1

c~� � ~E

�� 2

+ 1~�(~� � ~B)

以上就是电磁场场强在不同惯性系之间的变换关系. 其反变换式如下：

~E = (~E0 � c~� � ~B0)� 2

+ 1~�(~� � ~E0)

~B =

�~B0 +

1c~� � ~E0

�� 2

+ 1~�(~� � ~B0)

显见：电场与磁场是同一个电磁场的两个侧面. 在给定参考系中，电磁场的电场与磁场表现出不同性质. 但是当参考系变换时，它们可以互相转化.

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举例：

例：求以速度 ~v = c~� 相对于惯性系Σ作匀速直线运动的点电荷 Q所激发的电磁场.

ΣΣ′

~v

O

O ′

x

x ′

y y ′

zz ′

解：选择 Σ0系为点电荷自身系. 由于在 Σ0系中点电荷始终处在静止状态，故 Σ0系中只存在静电场：

~E0 =Q~r0

4��0r03; ~B0 = 0:

按照 Lorentz变换，Q在实验室系 Σ中激发的电磁场场强为：

~E = ~E0 � 2

+ 1~�(~� � ~E0); ~B =

c~� � ~E0:

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注意到场点位置矢量在二惯性系 Σ、Σ0之间的的 Lorentz变换是：

~r0 =~r+ 2

+ 1~�(~� �~r)� c~�t

倘若假设 Σ系中的观察者是在 t = 0时刻进行测量，则有：

~r0 =~r+ 2

+ 1~�(~� �~r)

且，

r02 =~r0 �~r0

= r2 +2 2

+ 1(~� �~r)2 + 4�2

( + 1)2(~� �~r)2

= r2 + 2(~� �~r)2

⇝ ~E0 =Q

4��0�r2 + 2(~� �~r)2�3=2

"~r+

2

+ 1~�(~� �~r)

#

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于是：

~E = ~E0 � 2

+ 1~�(~� � ~E0)

=Q

4��0�r2 + 2(~� �~r)2�3=2

� ~r+

3

+ 1~�(~� �~r)� 2

+ 1~�(~� �~r)

� 4�2

( + 1)2~�(~� �~r)

�

= Q~r

4��0�r2 + 2(~� �~r)2�3=2

Σ系中所测得的磁感应强度是：

~B =

c~� � ~E0 =

~�

c�" ~E0 � 2

+ 1~�(~� � ~E0)

#

=1c~� � ~E

= �0Q(~v�~r)

4��r2 + 2(~� �~r)2�3=2

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作业：

若点电荷作非相对论运动， v� c，则可以略去 �2级项⇝ � 1，得到：

~E � Q~r4��0r3

; ~B � �0Q(~v�~r)4�r3

:

恰如预期，这两个方程分别是静电库仑定律与静磁 Biot-Savart定律.

本章第三次作业：

郭硕鸿著《电动力学》(第三版)，第 236页，第 12，13题.

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电磁场不变量：

请问：可否找到这样的两个惯性系，使得电磁场在其中一个惯性系中表现为纯粹的电场、而在另一个惯性系中表现为纯粹的磁场？

为了使上述问题的答案一目了然，现在由电磁场张量 F�� 与其自身的缩并构造一个 Lorentz标量：

F��F��这个四维标量的物理内涵是什么呢？

由于 Fij = �ijkBk, Fi4 = �iEi=c，我们看到：F��F�� = Fi�Fi� + F4�F4� = FijFij + Fi4Fi4 + F4iF4i = FijFij + 2Fi4Fi4

= �ijk�ijlBkBl � 2c2EiEi = 2

�BiBi � EiEi=c2

�即

(~E2 � c2~B2) is a Lorentz scalar.所以上述问题的答案是否定的.

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把电磁场张量 F�� 与其对偶张量F�� 进行缩，也可以构造出一个 Lorentz标量：

F��F��

现在考察其物理内涵. 此标量所涉及的两个四维张量均为反对称张量，各自的独立分量分别为 Fij = �ijkBk, Fi4 = �iEi=c和Fij = � i

c�ijkEk, Fi4 = Bi. 我们有：

F��F�� = Fi�Fi� + F4�F4� = FijFij + Fi4Fi4 + F4iF4i

= FijFij + 2Fi4Fi4

= �ijk�ijlBk(�iEl=c) + 2(�iEi=c)Bi= �4i

cEiBi = �4i

c~E � ~B

即~E � ~B is a Lorentz scalar.

因此，倘若电磁场在某个惯性系中表现为纯粹的电场 (或纯磁场)，则在其他惯性系中测得的电场强度矢量与磁感应强度矢量必定相互正交.

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检验：

电磁场强的 Lorentz变换法则是：

~E = (~E0 � c~� � ~B0)� 2

+ 1~�(~� � ~E0)

~B =

�~B0 +

1c~� � ~E0

�� 2

+ 1~�(~� � ~B0)

如果电磁场在惯性系 Σ0中表现为纯电场，即 ~B0 = 0，则以上两式简化为：

~E = ~E0 � 2

+ 1~�(~� � ~E0) ; ~B =

c~� � ~E0

注意到矢量的混合积性质：

~E0 � (~� � ~E0) = 0; ~� � (~� � ~E0) = 0

所以 ~E � ~B = 0，即在 Σ系中电场强度与磁感应强度相互正交. 证毕.

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相对论力学：

在经典力学中，质点动力学的基本规律是 Newton第二定律：

~F =d~pdt

式中 ~F是作用于质点上的外力，而~p = m~u是质点的动量.

倘若 Newton第二定律的上述形式可以推广到相对论力学中、应用于描写高速粒子的运动，

试问：

1 相对论力学中质点的动量还能沿用 Newton力学中的定义式~p = m~u吗？

2 若不能，质点的动量~p应如何定义？3 什么样的力 ~F才是相对论力学中合格的力矢量？

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Newton第二定律作为物理规律的资格：

之所以要问这几个问题，是因为我们遭遇了一个难题：Newton第二定律 ~F = d~p=dt是否可以无条件地被狭义相对论承认为一条物理规律?

按照相对性原理，只有当对于任意选择的两个惯性参考系 Σ与Σ0而言，牛二可以分别表达为

Σ : ~F =d~pdt

和

Σ0 : ~F0 =d~p0

dt0

即它的数学形式不依赖于惯性系的选择时，它才有资格作为狭义相对论意义下的物理规律.

满足相对性原理的要求不是一件容易的事情，它将对~p和 ~F提出非常苛刻的限制.

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相对论力学中质点的动量：

首先讨论相对论力学中质点动量的定义. 定义动量的一般原则是：若质点的运动速度远小于光速，u� c，则应有~p � m~u.

根据此原则，质点的动量可以有如下两种候选定义：1 一种选择是直接沿用 Newton力学中质点动量的定义，即无论质点的速度是否可以与光速相比拟，其动量总是定义为：

~p = m~u

式中 m是在质点自身系中测得的惯性质量(静止质量).

2 另一种选择是引入质点的 4-动量，p� := mU�，并将其空间分量认同为为质点的物理动量：

um~u =m~up

1� (u=c)2� ~p

显然，倘若 u� c，则~p � m~u，从而也符合定义质点动量的一般性原则.

困惑：究竟应该如何取舍呢？31 / 78

带电粒子在外电磁场中的运动：

若电量为 q的带电粒子处于外电磁场中，则外电磁场将对该带电粒子施加 Lorentz力，

~F = q~E+ q~u� ~B

的作用，式中 ~u是该粒子相对于惯性系 Σ的运动速度，~E与 ~B是Σ系中测得的电磁场强度. 假设牛二在此情形下成立，则此带电粒子的动力学方程可表为：

d~pdt

= q~E+ q~u� ~B

式中的~p应理解为粒子相对于 Σ系的物理动量.

现在的问题是：

如何选择~p才能使上面的动力学方程与惯性系的选择无关、从而成为狭义相对论承认的一条物理规律？

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注意到 q是一个四维标量，~E与 ~B均为电磁场张量 F�� 的非零分量，

Ei = icFi4; Bi =12�ijkFjk

且粒子物理速度 ~u与其 4-速度的关系：

U� = u(~u; ic); ⇝ ui =Ui

u

可以把 Lorentz力公式重新表达为：

Fi = qEi + q�ijkujBk = qicFi4 +12quj �ijk�mnkFmn

= qFi4(ic) + qFijuj =q u

(Fi4U4 + FijUj)

=q u

Fi�U�

把此式代回到粒子的动力学方程中，得：

udpidt

= qFi�U�

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由于 dt与固有时 d� 之间有关系 dt = ud�，所以上式又可以写为：dpid�

= qFi�U�

此式右端是四维矢量的空间分量. 倘若此方程是相对论承认的一条物理规律，则其左端也必须是四维矢量的空间分量.

注意到 d� 是一个四维标量，⇝

质点的物理动量~p必须是某个四维矢量 p�的空间分量.

计及质点动量的非相对论极限，

~p����u�c

� m~u

这个四维矢量 p�的选择没有任意性，它只能定义为：

p� := mU� = (~p; p4)

称之为粒子的 4-动量.34 / 78

因为，U� = u(~u; ic)

粒子的物理动量的显示表达式是：

~p = m u~u =m~up

1� (u=c)2

粒子 4-动量的时间分量为：

p4 = m uic =imcp

1� (u=c)2

请问： p4的物理意义是什么？

将电磁场中带电粒子的运动方程推广成完整的四维协变形式，即有：

dp�d�

= qF��U�

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因此，p4满足的动力学方程应该是：

dp4

dt=

1 u

dp4

d�=

1 u

qF4�U� =q u

F4jUj

=q u

(iEj=c)( uuj) =icqEjuj

=icq~E �~u

即：d(�icp4)

dt= q~E �~u

由于上式右端恰为电磁场对带电粒子所施 Lorentz力做功的功率，~F �~u =

�q~E+ q~u� ~B� �~u = q~E �~u

(�icp4)应该诠释为粒子的能量：

W � �icp4 = �ic( uic) = mc2p1� (u=c)2

这就是相对论力学中静止质量为 m的质点所具有的能量.36 / 78

相对论的能量、动量关系式：

前面的分析表明，要使带电粒子在电磁场中的动力学方程

d~pdt

= q~E+ q~u� ~B具有惯性参考系选择无关这一物理规律的基本属性，粒子的物理动量~p、能量W必须分别定义为其 4-动量

p� = mU�

的空间分量和时间分量：

p� =

�~p;

icW�

计及 U� = u(~u; ic)，我们有：

~p =m~up

1� (u=c)2; W =

mc2p1� (u=c)2

这里 m是粒子的静止质量.37 / 78

注意到 4-速度与其自身缩并所形成的四维标量是：

U�U� = �c2

粒子 4-动量与其自身的缩并可以形成如下四维标量：

p�p� = �m2c2

1 将 p�p�在某个惯性系，如 Σ中用其分量表出，即为：

p�p� = pipi + p4p4 = ~p2 � W2

c2

所以：W2 = ~p2c2 + m2c4

这个公式称为相对论的能量、动量关系式. 其四维形式就是：p�p� = �m2c2.

38 / 78

粒子的动能与静能：

动能：粒子因为运动而具有的能量称为动能，记作 K，其定义式是：

K :=mc2p

1� (u=c)2� mc2

静止能量：

W0 = mc2

称为粒子的静止能量.

静止能量的发现是狭义相对论最重要的概念突破之一，揭示了惯性质量与能量之间的等价性、质量转化为能量的可能性.

39 / 78

小测验：

1 若在惯性系 Σ中某质点的速度远小于光速，u� c，试证明其动能可以近似地写为 Newton力学中著名的关系式：

K � 12mu2

参考解答如下. 若参数 x� 1，则函数 (1� x)�12 可以在 x = 0的

邻域内做 Taylor展开：

1p1� x

= 1 +x2+

3x2

8+ � � � � 1 +

x2

所以，若 u� c，我们有：

K = mc2"

1p1� (u=c)2

� 1#� mc2

�1 +

12(u=c)2 � 1

�� 1

2mu2:

40 / 78

四维电磁力：

带电粒子在外电磁场中的动力学方程，倘若写为明显的与惯性参考系无关的形式，即为：

dp�d�

= qF��U�

这个方程等价于如下两个具有鲜明物理意义的动力学方程：

d~pdt

= q~E+ q~u� ~B; dWdt

= q~E �~u前者的优势在于其具有不言而喻的 Lorentz变换不变性，虽然后者本质上也是 Lorentz变换下不变的.

现在将上述动力学方程的四维形式改写为：

dp�d�

= K�

其中K� = qF��U�

是一个四维矢量(why ?)，称之为 4-电磁力.41 / 78

现在考察 4-电磁力 K� = qF��U� 的诸分量与 Lorentz力

~F = q(~E+~u� ~B)

的关系, K�的空间分量计算如下：

Ki = qFi�U� = qFijUj + qFi4U4 = q u�(�ijkBk)uj + (�iEi=c)(ic)

�= q u(�ijkujBk + Ei)

=1p

1� (u=c)2q(~E+~u� ~B)i

=Fip

1� (u=c)2

即：

~K =~Fp

1� (u=c)2=

1p1� (u=c)2

q(~E+~u� ~B)

42 / 78

同理计算 K�的时间分量：

K4 = qF4�U� = qF4jUj = q u(iEj=c)uj =ic uqEjuj

=ic

1p1� (u=c)2

q~E �~u =ic

1p1� (u=c)2

~F �~u

式中的 ~F是 Lorentz力，~F = q(~E+~u� ~B)

所以，4-电磁力 K� = qF��U� 诸分量的物理内涵是：

K� = u

�~F;

ic~F �~u

�=

1p1� (u=c)2

�~F;

ic~F �~u

�

虽然 4-电磁力 K�的空间分量和时间分量分别联系于 Lorentz力和 Lorentz力的功率，但其空间分量并不直接是 Lorentz力、其时间分量也并不直接是 Lorentz力的功率,

43 / 78

相对论力学的基本方程：

现在讨论一般情形下相对论力学中质点的动力学方程,

假设在相对论力学中，质点在外力 ~F作用下其运动状态的演化规律仍可以写为 Newton第二定律：

~F =d~pdt

=ddt

"m~up

1� (u=c)2

#

这一方程要获得相对论意义下物理规律的资格，就必须具有惯性参考系选择的无关性, 这就意味着必须存在一个四维矢量 K�，称之为 4-力，使得上述 Newton第二定律可以推广为如下具有明显 Lorentz变换不变性的四维形式：

K� =dp�d�

式中 p� = (~p; iW=c) = mU�.

44 / 78

Newton第二定律 Fi = dpi=dt必须完全等价于 � = i时上述四维协变的动力学方程,所以，

Ki =dpid�

= udpidt

= u Fi

即：

~K = u ~F =~Fp

1� (u=c)2

相对论的能量、动量关系式 p�p� = �m2c2暗示 4-力 K�应具有如下性质：

K�p� = p�dp�d�

=12

dd�

(p�p�) = �12d(m2c2)

d�= 0

据此，

0 = K�p� = mK�U� = m u(Kiui + K4ic) = m u( uFiui + K4ic)

即 K�的时间分量应该联系于力 ~F的功率：

K4 =ic u~F �~u =

ic

~F �~up1� (u=c)2

45 / 78

� = 4情形下的四维协变的动力学方程将解释为功能定理，

~F �~u =dWdt

小结：

Newton第二定律 ~F = d~p=dt成为相对论意义下质点动力学方程的前提条件是存在一个四维力矢量 K�，使其可包容于:

K� = dp�=d�

1 K�在 Lorentz变换 x� ⇝ x0� = a��x� 下的变换法则是：K� ⇝ K0� = a��K� :

2 K�的时空分量与作用于质点上的外力 ~F、质点的速度 ~u之间应有关系：

K� = u�~F; i~F �~u=c

�=

1p1� (u=c)2

�~F; i~F �~u=c

�以保证其与 4速度 (或 4-动量)之间的相互正交： K�U� = 0.

46 / 78

四维力矢量的典型代表：

Question: 弱弱地问一句，满足这些条件的四维力矢量存在吗?

4-电磁力 K� = qF��U� 是四维力矢量的典型代表，1 由于 q是四维标量、F�� 是四维二阶张量和 U�是四维矢量，所以 4-电磁力明显地是一个四维矢量,

2 F�� 的反对称性质 F�� = �F��天然地保证了正交条件：K�U� = qF��U�U� = 0

4-电磁力 K� = qF��U� 的存在，保证了带电粒子在电磁场中的动力学方程的数学形式

ddt

"m~up

1� (u=c)2

#= q(~E+~u� ~B)

独立于惯性系的选择，此乃其作为相对论意义下物理规律的基本前提.

47 / 78

经典力学中的几种常见的力矢量：

在经典力学中，出现在质点或质点组的动力学方程

~F =d~pdt

左端的力矢量 ~F，常见的情形中往往有如下几种基本候选者：1 常力，例如：~F = m~g:2 弹性力：~F = k~x:3 正压力：~F = ~N:4 摩擦力：~F = ��N~u=u:5 万有引力：

~F = �GMm~rr3

6 静电库仑力：

~F =1

4��0Qq~rr3

7 静磁洛伦茨力：~F = Q~u� ~B:48 / 78

构造四维力矢量的一般方法：

4-电磁力 K� = qF��U� 是与 Lorentz力 ~F = q(~E+~u� ~B)相联系的四维力矢量.

问题：对于其他任意指定的力 ~F，如何找到与之相联系的四维力矢量？

设粒子相对于实验室参考系 Σ以速度 ~u运动,在 Σ系中，4-力矢量 K�的诸分量与物理力 ~F及粒子运动速度之间有如下关系：

K� = u�~F; i~F �~u=c�

倘若以 Σ0表示粒子的瞬时自身系，设 4-力和物理力在 Σ0中的表现形式分别为 K0�和 ~F0，则有：

K0� = (~F0; 0)

49 / 78

4-力 K�是四维矢量意味着：

K� = a��K0�此处的 a��表示联系两个惯性参考系 Σ与 Σ0的 Lorentz变换：

aij = �ij + 2u

u + 1�i�j; ai4 = i u�i; a4i = �i u�i; a44 = u:

式中 �i = ui=c且 u = 1=p

1� (u=c)2.

如此，就可以从粒子瞬时自身系中的物理力 ~F0出发求出实验室参考系中的物理力：

uFi = Ki = a�iK0� = ajiK0j + a4iK04 = ajiF0j =

"�ji +

2u

u + 1�j�i

#F0j

= F0i + 2u

( u + 1)(~F0 �~u)ui

c2

即：

~F =1 u

"~F0 +

2u

( u + 1)(~F0 �~u)~u

c2

#

50 / 78

在实验室参考系中，相对论力学中合格的力矢量 ~F都是与质点的速度相关联的:

1 若物理力在粒子瞬时自身系中是常矢量，~F0 =~g，则在实验室参考系中此力不再是常矢量：

~F =1 u

"~g+

2u

( u + 1)(~g �~u)~u

c2

#

所以，在相对论力学中，严格意义下的常矢力是不存在的,2 若物理力在带电粒子的瞬时自身系中是静电库仑力，~F0 = q~E0,则在实验室参考系 Σ中此力变为：

~F =q u

"~E0 +

2u

( u + 1)(~E0 �~u)~u

c2

#

从物理上考虑，此力应为 Σ系中的广义 Lorentz力.

擂台赛：

请检验这一猜想的真伪,51 / 78

下面的计算仅供参考. 粒子自身参考系中的电场强度 ~E0与 Σ系中同一电磁场的场强矢量由如下 Lorentz变换相联系：

E0i = icF0i4 = icai�a4�F�� = icaija4�Fj� + icai4a4�F4�

= icaij�a4kFjk + a44Fj4

�+ icai4a4jF4j

= ic��ij +

2u

u + 1�i�j

��(�i u�k)�jklBl + u(�iEj=c)

�+ ic(i u�i)(�i u�j)(iEj=c)

= u

��ikl(c�k)Bl + Ei +

2u

u + 1(~� � ~E)�i

�� 2

u(~� � ~E)�i

= u

��ikl(c�k)Bl + Ei � u

u + 1(~� � ~E)�i

�

即：

~E0 = u

�~E+~u� ~B� u

u + 1(~E �~u)~u

c2

�

此式有推论 (小练习)：~E0 �~u = ~E �~u

52 / 78

把以上两式代入到前面写出的 Σ系中电磁力的表达式，即有：

~F =q u

"~E0 +

2u

( u + 1)(~E0 �~u)~u

c2

#

=q u

� u~E+ u~u� ~B� 2

u u + 1

(~E �~u)~uc2

+ 2u

u + 1(~E �~u)~u

c2

�

= q(~E+~u� ~B)

这正是前面由物理直观所预期的 Lorentz力公式.

这个计算表明：在相对论力学中，严格意义下的静电库仑力也是不存在的. 电磁场施加给带电粒子的作用力一般情形下是广义的 Lorentz力.

53 / 78

四维力矢量的反例：

存在满足正交条件 K�U� = 0的 4-力 K�是保证质点运动方程K� = dp�=d� 自洽性的必要条件. 然而，

警告：不是每一个满足正交条件的 4-力都能够导致真实存在的物理规律.

正交条件 K�U� = 0若有解，则意味着必定存在四维二阶反对称张量 A�� (= �A��)使得：

K� = g A��U�

因为如此一来，

K�U� = g A��U�U� =12g A��U�U� +

12g A��U�U�

=12g A��U�U� +

12g A��U�U�

=12g�A�� + A��

�U�U� = 0

4-电磁力 K� = qF��U� 就是一个典范，相应的四维二阶反对称张 54 / 78

量是电磁场张量 F�� .

利用 F�� 与 ����� 之间的缩并可以构造电磁场张量的对偶张量F��，它也是一个四维二阶反对称张量. 现在尝试将其用于4-力矢量的构造：

K� = g F��U�

由于F�� = �F��，正交条件 K�U� = 0的成立不言而喻. 但是，若考察动力学方程 K� = dp�=d� 的空间分量，注意到：

Fij = �i�ijk(Ek=c); Fi4 = Bi我们有：

dpid�

= Ki = g Fi�U� = g FijUj + q Fi4U4

= g u�� i�ijk(Ek=c)uj + Bi(ic)

�= ig c u(Bi � �ijkujEk=c2)

即：d~pdt

= ig c�~B�~u� ~E=c2�

实验上并未观测到点磁荷的存在，这个运动方程纯属虚构.55 / 78

4-力计算举例：

例：某质点相对于实验室系 Σ以速度 ~u运动. 设施加在质点上的物理外力在质点瞬时自身系 Σ0中表现为常矢量 ~G. 试求与此物理力相联系的 4-力矢量在 Σ系中的表达式.

解：设此 4-力矢量在 Σ系中可表为，

K� = � ic���U�

式中 ��� = ����是一个待定的四维二阶反对称张量. 在质点瞬时自身系 Σ0中，

(~G; 0) = K0� = � ic�0��U

0� = �0�4

故 �0�� 的诸分量如下：

�0ij = 0; �0i4 = ��04i = Gi; �044 = 0:

56 / 78

在实验室系 Σ中，��� = a��a���0��

这里的 a�� 表示二惯性系 Σ与 Σ0之间的 Lorentz变换，其矩阵元是：

aij = �ij + 2u

u + 1�i�j; ai4 = i u�i; a4j = �i u�j; a44 = u:

所以，��� 的非零分量为：

�ij = a�ia�j�0�� = (akia4j � a4iakj)�0k4

= Gk[�ki(�i u�j)� �kj(�i u�i)] = � ic u(Giuj � Gjui)

�i4 = a�ia�4�0�� = (akia44 � a4iak4)�0k4

= Gk u

"�ki +

2u

u + 1�k�i � u�i�k

#

= uGi � 2u

u + 1(~G �~u)ui

c2

57 / 78

Σ系中 4-力矢量的空间分量计算如下：

Ki = (�i=c)�i�U� = (�i=c)[�ij( u uj) + �i4( u ic)]

= �(1=c2) 2u(Giu2 � Gjujui) + 2

uGi � 3u

u + 1(~G �~u)ui

c2

= Gi + 2u

u + 1(~G �~u)ui

c2

此即：

~F =1 u

"~G+

2u

u + 1(~G �~u)~u

c2

#

这里的 ~F := ~K= u是实验室系中的物理力. 这正是前面得到过的结论.

58 / 78

Σ系中 4-力矢量的时间分量计算如下：

K4 = (�i=c)�4�U� = (�i=c)�4j( u uj)

= �(i=c)"� uGj +

2u

u + 1(~G �~u)uj

c2

#( u uj)

= (i=c) u� u (~G �~u)� 2

u�2

u + 1(~G �~u)�

= i u (~G �~u)=c

因为，

~K �~u = (~G �~u) + 2u�

2

u + 1(~G �~u) = u(~G �~u)

K�时间分量的上述计算结果又可以表达为：

K4 = i (~K �~u)=c

这正是 4-力矢量 K�的时空分量之间应有的联系. 解毕.

59 / 78

牛顿运动定律评述：

在相对论力学中，

1 牛顿第一定律仍是定义惯性系的理论依据.2 采取了相对论性质点的动量

~p =m~up

1� (u=c)2

后，牛顿第二定律

~F =d~pdt

仍成立. 不过，须注意相对论力学中的力矢量一般是参考系牵连速度相关的，诸如常力、库仑力等概念只在施力者自身系中有意义.

更准确地说，牛顿第二定律在相对论力学问题中是否成立取决于是否存在反对称的 4-张量 A�� (A�� = A��)使得

~F =d~pdt

⇝ A��U� =dp�d�

60 / 78

K� = A��U� 称为 4-力矢量，它的诸分量与物理力 ~F及粒子运动速度之间应有联系：

K� = u

�~F;

ic~F �~u

�

1 牛顿第三定律完全没有意义. 牛顿第三定律涉及分别作用于受力者和施力者的作用力与反作用力，这两个力的要点是同时发生. 然而，在相对论力学中两个事件是否是同时发生依赖于参考系的选择，并没有绝对的意义.

在经典质点力学中，牛顿第三定律等价于由两个粒子构成的质点组体系的动量守恒定律. 因此，牛顿第三定律在相对论力学中的失效意味着相对论不承认自然界存在着真正的二体相互作用. 相对论所认可的相互作用都是需要传播媒介的.例如，两个点电荷之间的电磁相互作用必须借助于电磁场作为媒介才能实现.

61 / 78

4-动量守恒定律：

对于 N个质点构成的质点组，组内各个质点的 4-动量分别为：

p(a)� = (~p(a); iW(a)=c); a = 1; 2; � � � ;N

作为一条实验定律，相对论认为：若体系不受外力作用，则其总 4-动量不随时间变化

dd�

" NXa=1

p(a)�

#= 0

1 4-动量守恒定律与惯性系的选择无关.2 4-动量守恒的实质是相对论的能量、动量皆守恒.

本章第四次作业：

郭硕鸿著《电动力学》(第三版)，第 237-238页，第 16，17，18，21, 22, 23，24题.

62 / 78

分析力学简述：

为了量子力学的需要，现在研究在电磁场中运动的带电粒子的Lagrange函数和 Hamilton量,

Hamilton原理 (最小作用量原理)：

对于一个理想的保守力学体系，在相同的时间内的任何真实的动力学过程 P! Q，必定满足作用量泛函

S =ˆ Q

Pdt L(qi; qi)

取极值，即：

�S = 0

Q

P

qi

t

δqi

作用量泛函的核 L(qi; qi)称为体系的 Lagrange函数，其中 qi为广义坐标，qi为相应的广义速度,

63 / 78

Lagrange方程：

保守力体系的动力学方程，即 �S = 0，可以通过 Lagrange函数表为：

@L@qi

� ddt@L@qi

= 0

此式称为 Lagrange方程,

证明如下,

若广义坐标 qi发生了一个变分 �qi，它将诱导 Lagrange函数发生如下变分：

�L =@L@qi

�qi +@L@qi

�qi

交换求时间导数和求变分的次序，即令 �qi = ddt(�qi)，则可把上

式重新写为：

�L =

�@L@qi

� ddt@L@qi

��qi +

ddt

�@L@qi

�qi�

64 / 78

因此，Hamilton原理 �S = 0表述为：

0 = �S =

ˆ Q

Pdt �L

=

ˆ Q

Pdt�@L@qi

� ddt@L@qi

��qi +

�@L@qi

�qi�����

Q

P

注意到广义坐标在路径的两个端点处的变分均为零，�qijP = 0,�qijQ = 0,上式最后一项为零,所以：

0 =

ˆ Q

Pdt�@L@qi

� ddt@L@qi

��qi

由于 �qi的任意性，上式的成立意味着：

@L@qi

� ddt@L@qi

= 0

这正是期待的 Lagrange方程,

65 / 78

在非相对论力学中，保守力体系的 Lagrange函数可写为其动能与势能之差：

L =NXi=1

�12mq2

i � V(qi)�

代入到 Lagrange方程中，即得：

mqi = �@V@qi

此方程正是期望中的 Newton第二定律,

Question:电磁场不是保守力场,那么，在电磁场中运动的带电粒子的Lagrange函数如何构造呢？

66 / 78

Hamilton正则方程：

最小作用量原理亦可等价地表述为 Hamilton正则方程,为此，引入与广义坐标相关的广义动量 Pi1:

Pi =@L@qi

在 Hamilton表述中，Lagrange函数的地位由所谓 Hamilton量所替代：

H =XiPiqi � L

显然，H只是正则变量的函数，它与体系的广义速度无关，@H@qi

= Pi � @L@qi

= 0 ⇝ H = H(qi; Pi)

借助于 Hamilton量，可以把体系的动力学方程重新表达为所谓的 Hamilton正则方程：

qi =@H@Pi

; Pi = �@H@qi

:

1在 Hamilton表述中，qi 与 Pi 更多地被分别称为正则坐标和正则动量,67 / 78

电磁场中带电粒子的 Lagrange函数：

Question: 怎样定义电磁场中带电粒子的 Lagrange函数？

1 狭义相对论对物理规律的基本要求是其形式不随惯性系的选择而改变,换句话说，物理规律必须能够完全用四维张量表达出来,因为物理规律按照 Hamilton原理可写为 �S = 0，所以：体系的作用量泛函 S必须是一个 Lorentz标量,

2 注意到：

S =ˆ

dt L =

ˆd� L

故 L必须是 Lorentz标量,3 电磁场中带电粒子的动力学规律是 Lorentz力作用下的

Newton第二定律，d~pdt

= q(~E+~v� ~B)与此方程中出现的物理量相关的四维张量是 U�和 F��2.

2p� = mU�.68 / 78

据此能够构造出的 Lorentz标量是：

U�U� = �c2; F��F�� ; U�U�F�� = 0

显见，上述候选者中有效的 Lorentz标量只有 U�U�. 这是因为 F��F�� 不反映带电粒子与电磁场之间的相互作用，而U�U�F�� 恒为零,为了反映带电粒子与电磁场之间的相互作用，我们用规范势A�替代电磁场张量 F�� 描写电磁场,这样，电磁场与带电粒子之间的相互作用期待可以包含在如下 Lorentz标量中:

U�A�

这是著名的势流相互作用拉氏量,

于是，电磁场中带电粒子的 Lagrange量的候选形式即为：

L = �1U�U� + �2U�A� = ��1c2 + �2 �~v � ~A� '�

69 / 78

即：

L = ��1c2q

1� (v=c)2 + �2�~v � ~A� '�

Lagrange函数的整体系数是无关要紧的，所以 �1和 �2中只有一个是独立的,注意到 Lagrange函数具有能量的量纲，不妨取�1 = m. 这样，

L = �mc2q

1� (v=c)2 + �2�~v � ~A� '�

下面确定系数 �2. 取 Cartesian直角坐标 xi为带电粒子的广义坐标，我们有：

@L@xi

= �2(vj@iAj � @i')@L@vi

=mvip

1� (v=c)2+ �2Ai = pi + �2Ai

在粒子的轨道上，~x = ~x(t)且~v = ~x，我们有：dAi

dt=@Ai

@t+@Ai

@xjdxjdt

= @tAi + vj@jAi70 / 78

所以：ddt@L@vi

= pi + �2(@tAi + vj@jAi)

带电粒子的 Lagrange方程写为：

0 =ddt@L@vi

� @L@xi

= pi + �2(@tAi + vj@jAi)� �2(vj@iAj � @i')= pi + �2

h(@i'+ @tAi) + vj(@jAi � @iAj)

i= pi + �2

h� Ei + vj �jikBk

i即：

d~pdt

= �2(~E+~v� ~B)所以，�2 = q: 因此，电磁场中运动的带电粒子的一个合格的Lagrange函数是：

L = �mc2q

1� (v=c)2 + q�~v � ~A� '�

71 / 78

电磁场中带电粒子的正则动量：

1 带电粒子的 Lagrange函数的具体形式依赖于规范选择，但由此导致的 Lagrange方程

d~pdt

= q�~E+~v� ~B�

具有明显的规范变换不变性,

电磁场中带电粒子的正则动量定义如下：

Pi =@L@vi

=mvip

1� (v=c)2+ qAi = pi + qAi

即：

~P = ~p+ q~A =m~vp

1� (v=c)2+ q~A

Tip: 对于在电磁场中运动的带电粒子而言，其正则动量不等于它的机械动量~p，而是附加了一项与电磁势相关的项 q~A.

72 / 78

电磁场中带电粒子的 Hamilton量：

电磁场中带电粒子的 Hamilton量定义如下：

H = Pivi � L

=

�mvip

1� (v=c)2+ qAi

�vi + mc2

q1� (v=c)2 + q('� viAi)

=mc2p

1� (v=c)2+ q'

上式第一项是带电粒子自由运动时的总能量，它可以通过粒子的机械动量重新表达为：

mc2p1� (v=c)2

=q~p2c2 + m2c4

把此式代回到 Hamilton量的表达式中，并注意到：~p = ~P� q~A，就可以把 Hamilton量最终写为正则变量的函数：

H =q(~P� q~A)2c2 + m2c4 + q'

73 / 78

1 带电粒子的正则动量和 Hamilton量均依赖于规范的选择,但由此通过 Hamilton正则方程组

xi =@H@Pi

; Pi = �@H@xi

确定的带电粒子动力学方程不依赖于规范的选择,

证明如下,因为，

H =q(~P� q~A)2c2 + m2c4 + q'

我们有：

ui = xi

=@H@Pi

=(Pi � qAi)c2q

(~P� q~A)2c2 + m2c4

74 / 78

此式自乘，得：

u2

c2=

(~P� q~A)2c2

(~P� q~A)2c2 + m2c4= 1� m2c4

(~P� q~A)2c2 + m2c4

于是，mc2q

(~P� q~A)2c2 + m2c4=q

1� (u=c)2

所以，Hamilton正则方程组中的第一个方程可以改写为：

ui =p

1� (u=c)2

m(Pi � qAi)

⇝ Pi = pi + qAi =muip

1� (u=c)2+ qAi

此式恰为带电粒子正则动量 ~P与机械动量~p = m~u=p

1� (u=c)2之间的联系,

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Hamilton正则方程组中的第二个方程是：

Pi = �@H@xi

= �q@i'+(Pj � qAj)c2q

(~P� q~A)2c2 + m2c4q@iAj

= �q@i'+

p1� (u=c)2

mpjq@iAj

= �q@i'+ quj@iAj

结合 Hamilton正则方程组中的两个方程，我们有：

pi + qAi = �q@i'+ quj@iAj

在粒子轨道上，~x = ~x(t). 所以，

Ai = @tAi + xj@jAi = @tAi + uj@jAi

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代入上式，即得：

pi = �qAi � q@i'+ quj@iAj

= q�� @i'� @tAi

�+ quj

�@iAj � @jAi

�= qEi + quj�ijkBk

此式正是所预期的带电粒子在电磁场中运动的动力学方程：

d~pdt

= q~E+ q~u� ~B

它具有明显的规范选择无关性,

若取非相对论极限，

H � mc2 +(~P� q~A)2

2m+ q'

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因为 Hamilton量出现在 Hamilton正则方程中，对它加减一个常数不会改变物理,所以，非相对论力学中带电粒子的 Hamilton量常写为：

H =1

2m(~P� q~A)2 + q'

Tip: 过渡到量子力学时，需要把粒子的正则动量 (而不是其机械动量)厄米算符化：

~P ! ~P = �iℏr

1 描写微观带电粒子在电磁场中运动的动力学方程是如下形式的 Schrodinger方程：

iℏ@t =

"� ℏ2

2m

�r� i

qℏ~A�2

+ q'

#

其在规范变换下是不变的.78 / 78