『解と係数の関係』

前回から引き続き，『解と係数の関係』について学んでいきます。

それでは，復習を兼ねて 分でどうぞ

問　 次方程式 の解が ， のとき， ， の値を求めよ。

　『 解と 係数の 関係 』の利用

解が ， なので，『 』より，

解の和

･解の積

よって，

， …

　『解 代入して 』の利用

は，解なので代入が出来る

…①

同様にして，

は，解なので代入が出来る

･

…②

①と②より，連立して，

よって，

， …

解法を パターン紹介しました。

『 』の方がラクに解けますが， つ目の方法で解いた人も中にはいると思います。

『 』は“いつ使うのか”の判断が結構難しいですよね。

絶対ではないですが，参考までに“いつ使うのか”まとめておきます。

　　　　　　①　直接，解を求めると式が複雑になる など

　　　　　　②　和と積 基本対称式 が登場する

　　　　　 ③　解から係数を求める

今回の問の解法の判断として ③ 解から係数を求める を使ってますね。

それでは，今回の内容に入ろうと思います。

前半の目標は，“解から 次方程式を作れるようになる”ことです。

問　解が ， となる 次方程式を つ求めよ。

数学Ⅱ　第 章　複素数と方程式【解と係数の関係②】

-1-

　解から逆算して考えていきます。

解から逆算して

次方程式を作る

次方程式から

解を求める

解が ， なので，

，

今回の目標がイメージ出来ましたか？

もう気付いた人もいるかもしれませんが，もう少し細かく見てみますね。

，

“ ･ ”

つまり，

“ 解の和 解の積 ”

と表すことが出来る。

裏を返せば，

次方程式を作るためには，“解の和と積”が必要

ということになります。

　　　

　　　

　　

， 　　　　　 ，

また，問題文の“ つ求めよ”というのは，

を 倍した

　　　　　　　　 倍した

　　　　　　　　　　　　　　　

全部，解は，もちろん ， 。すると，答えが一杯出てきちゃうので，

「たくさん答え書かないでね。 個だけ書けばいいよ」という意味です。

なので，答え方を統一しておきましょう。

原則：係数は整数で表し，約分しきっておくこと

例 ： は， で割って とすること

例 ： は， 倍して とすること

では，練習しましょう。

問　次の 数を解とする 次方程式を作れ。

　 ， 　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ，

　　

　 ， 　　　　　　　　　　　 　 ，

　　　　　　　　　　　　　　　　

　“解の和と積”を求めて， 解の和 解の積 に代入。

解の公式より

，

　 ，

　

和：

･積：

なので，

…

数学Ⅱ　第 章　複素数と方程式【解と係数の関係②】

-2-

解の公式より

，

　和：

･積：

なので，

…

解の公式より

，

　

和：

･積：

なので，

…

解の公式より

，

　和：

･積：

なので，

…

これで，“和と積”が分かれば， 次方程式が作れますね。

早速，役に立つ所をお見せしましょう。

問　和が ，積が になる 数を求めよ。

　解法を パターン見せますね。

解法 ：連立して解く

数を ， とすると，条件より，

和： …①

積： …②

なので，①より， を②に代入して，

ⅰ と ⅱ はどちらも

と のペア。

単純に“和が ，積が ”

となる つの数を求めたいので

答えはまとめちゃう

“区別が無いときは同じものとする”

数学 で学びましたね。

，

よって，

ⅰ　 のとき，①より，

ⅱ　 のとき，①より，

実際は， 数 ， の“区別が無い”ので，

， …

中学校で学ぶ連立方程式の解き方になります。

腕力派でも解けることが，大事

解の和 解の積解法 ：『 』の利用

和が ，積が なので，

次方程式 が作れる。

を解くと，

，

これが，和が ，積が となる つの数なので，そのまま答えになる

数学Ⅱ　第 章　複素数と方程式【解と係数の関係②】

-3-

使いこなせるかは置いといて，解法 の方が，サクッと答えが出ちゃいますね。

さらに，次のような問題でも使えます

まずは，自力で解いてみること。 分でどうぞ。

問　次の連立方程式を解け。

　 　　　　　　　　　　 　

『 』は，いつ使うのか？確認して下さいね。

“ ② 和と積 基本対称式 が登場する”ときに使えます。

…①

…②

①より，②は，

「和が ，積が

になる つの数を求めよ」

と同じ問題よって，

和：

積：

なので， と を解とする，

次方程式 が作れる。

ちゃんと「和が ，積が 」

になっている

，

今回は， ， と“区別がある”ので，

のとき，

のとき，…

う～ん なんか不思議な感じでイマイチ納得出来ないなぁ

では，参考までに，連立した解法も紹介しておきますね。

を消去しましょう。

①より， なので，②に代入すると，

よって，

あれ？

見覚えのある式

，

ⅰ　 のとき，① より，

ⅱ　 のとき，① より，

ちゃんと同じ答えになりましたね。

しかも，途中からは『 』を使った解答と似た式が出てきましたよ～

数学Ⅱ　第 章　複素数と方程式【解と係数の関係②】

-4-

では，今度は を消去してみます。

①より， なので，②に代入すると，

あれ？これも

見覚えのある式

よって，

，

ⅰ　 のとき，①より，

ⅱ　 のとき，①より，

気付きましたか？

急に“ ”が出てきてビックリした人もいると思いますが，実は

の は“ でもあり， でもある ”んです。

途中，似た式の

と

が出てきましたよね？

別に偶然出てきた訳ではありません。必然なんです。

逆に言えば，

“ でもあり， でもある”から，まとめて別の文字“ ”を使った

ということになります。

まとめると，

を求める ， を求めることと同じ

ということです。

連立方程式

を解きたい

式変形をして

文字を消去する

ここが 番大変

文字が 種類の

方程式の

解を求める

今までの

　解法

和と積 基本対称式

の値を求める

『 』

　の利用

文字が

だけ

文字が

だけ

イメージ

イメージしやすい様に流れをまとめておきました。どっちの解法でもゴールは同じ。

とにかく，大事なことは“簡単に，文字が 種類の方程式が作れる”ということです

では， を解いていきましょう。

　　　　　　　　　　　　　　　…①

…②

“和と積”が分かれば， 次方程式が作れましたね。

でも，今回は“積”しか分かってません。どーしよ

① は“対称式”ですね。覚えてますか？

対称式は，基本対称式 和と積 で表すことが出来る

とゆーことで，①より，

　　　

数学Ⅱ　第 章　複素数と方程式【解と係数の関係②】

-5-

② より，

解の和 解の積ⅰ　 のとき

次方程式

を解くと，

ちゃんと「和が ，積が 」

になっているし，①も成り立つ

，

よって，

は でもあり， でもあるので，

，

，…

解の和 解の積ⅰ　 のとき

次方程式

を解くと，

ちゃんと「和が ，積が 」

になっているし，①も成り立つ

，

よって，

は でもあり， でもあるので，

，

，…

以上が，『 』の役に立つ解法の つです。

もう少しだけ，解から 次方程式を作っていきます。

問　 次方程式 の つの解を ， とするとき，次の 数を解とする

　　 次方程式を作れ。

　　 　 ， 　　　　　 　 ， 　　　　　　 　 ，

　 次方程式を作るためには，“解の和と積”が必要なのを忘れないこと。

　解が文字になっても同じです。

解は， ， なので，

解の和：

解の積：

ここで，

， は の解なので，『 』より，

が成り立つ。

よって，

解の和：

解の積： ･

以上より，

， を解とする 次方程式は，

…

数学Ⅱ　第 章　複素数と方程式【解と係数の関係②】

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　解は ， なので，

解の和：

･解の積：

よって，

解の和：

解の積：

以上より，

， を解とする 次方程式は，

…

対称式は

基本対称式に直す　解は ， なので，

解の和：

･解の積：

よって，

解の和： ･

解の積：

以上より，

， を解とする 次方程式は，

…

『 』を扱う問題は，次で最後になります。実力試しに解いて下さい。

“問題文を式へ”を意識して頑張ってみましょう。では， 分でどうぞ

問　 次方程式 の つの解に，それぞれ を加えた数を解にもつ

　　 次方程式が であるという。定数 ， の値を求めよ。

最初に，

つの解を ，

と置けるかが，勝負

実際に，解を求めると大変

の つの解を ， とすると，『 』より，

また，

， に を加えた数 ， を解にもつ 次方程式を作ると，

解の和：

解の積：

よって，さっき求めた，

なので，

解の和：

解の積：

よって，

， を解にもつ 次方程式は，

…①

また，

， を解にもつ 次方程式は， でもあるので，

①と同じ式にならないといけない。

よって，

係数比較すると，

の係数

定数項

数学Ⅱ　第 章　複素数と方程式【解と係数の関係②】

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より，

以上より，

， …

数学は，

“つなげる”こと，“まとめる”こと

が重要です。

あの式とこの式が同じと，“つなげる”

同じ余りで，“まとめる”

などなど。

今回は，

， を解にもつ 次方程式を 通りで表し，“つなげて 係数比較 ”あげまし

た。

闇雲に解くのではなく，常に“つなげる”こと，“まとめる”ことを意識して

立式してみて下さいね。

後半戦は，数学Ⅰでも扱った【解の配置問題】を学んでいきましょう。

先に断っておくと，今回『 』を使った解法は紹介しません。

理由は つ

時間に余裕があれば

授業で説明したいと思ってます

①　数学Ⅰでの解法をまず，マスターしてほしいから

②　『 』だと早く解けるが，応用が難しいから

です。

なので，『 』を使った解法は，各自で聞きに来て下さいね。

【解の配置問題】

では，そもそも【解の配置問題】とは何なのか？

次の問題文を見比べて下さい。

例 　 が異なる つの実数解をもつ

例 　 が異なる つの正の実数解をもつ

例 は，“解の個数だけ”なので

判別式 でおしまい

違いに気付きましたか？

例 にはないけど，例 にはある言葉。

そう 　“ 正の ” ですね。

例 では“解の個数だけ”聞かれてますが，

少なくとも戸村は

例 では“解の場所 符号 まで”聞かれてますね。

そういった，問題を『解の配置問題』と呼んでいます。

では，『解の配置問題』の解法を紹介しておきます。

　『解の配置問題』… 解の個数 解の場所 符号

　　※ 理想のグラフを書く

　　　

① 判別式

② 軸

③ 端点

条件をリズミカルに 回

唱えれば覚えられる

簡単に，なぜ，条件が つ必要か，お話をします。

イメージは“ キャッチャー”です

数学Ⅱ　第 章　複素数と方程式【解と係数の関係②】

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①　判別式は，“アームの上下の動き”に対応します。

判別式 判別式判別式

　『判別式とグラフの関係』

②　軸は，“アームの左右の動き”に対応します。

軸 軸軸

③　端 たん 点は，“アームの開き具合”に対応します。

正

負

この キャッチャーは

アームの開き具合まで

決められる特別製

少しはイメージが出来たでしょうか？

では，以上のことを踏まえて，例 を解いていきましょう。

例 　 が異なる つの正の実数解をもつように，定数 の値の

　　　範囲を定めよ。

解の配置問題は，最初に“理想のグラフ”を書きます。

では，

今回は，「異なる つの正の実数解をもつ」ようにグラフを，書いてみて下さい。

書けましたか？自分のグラフと見比べて下さいね。

解の配置問題は

理想のグラフが書けるかどうかに

懸かってます

そしたら，理想のグラフになって欲しいな～っと，グラフを見ながら，

つの条件を考えてみましょう。

①　判別式

　　　　　　　　　　　　　　　　②　軸

　　　　　　　　　　　　　　　　③　端点 のとき，正

以上が，理想のグラフになるための条件になります。

理由を含めて， つずつ確認していきますね。

一緒に計算しながら読み進めていって下さい。

数学Ⅱ　第 章　複素数と方程式【解と係数の関係②】

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①　判別式について

理想のグラフは， ヶ所で 軸と交わっているので，『判別式とグラフの関係』より

問題文に

「異なる つの実数解をもつ」

とあるので，これは大丈夫でしょう

では，計算してみましょう。

なので，

よって，

， …①

②　軸について

理想のグラフより，軸は より右側なので，

軸

右側

軸

ここで，

とし，平方完成すると，

　　　　　　　　　　　

よって，

　　　　　　　　　　　　　　　軸：

軸 なので，

　　　　　　　　　　　　　　　 　

　　　　　　　　　　　　　　　　 …②

“①判別式”と“②軸”だけじゃダメなの？ダメです。

逆に，ダメなグラフを書けますか？

①と②だけじゃ，こんなグラフもありえちゃいますよ。

軸

条件

①判別式

②軸

を満たしているが，

「正と負の解を つずつもっている」グラフ

とゆーことで，

理想のグラフになるよう，最後に“アームの開き具合”を調整してあげましょう。

③　端点について

理想のグラフと，ダメなグラフの違いを考えてみると，

正 軸より上

軸より下 負

理想のグラフ ダメなグラフ

端っこの点 端点 を代入したときの値が，“ 軸より，上か下か”で。

つまり，“正か負か”でグラフの開き具合が決まりそうですね。

よって，

理想のグラフは， 軸より上になって欲しいので，

端点 のとき，正 より大きい

数学Ⅱ　第 章　複素数と方程式【解と係数の関係②】

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を代入すると，

なので，

…③

① ～③ を全て満たして，理想のグラフは出来るので，

“同時に満たす”ときは，“共通部分”が答えでしたね。

① ①②

③

よって，① ～③ より，

…

ちなみに，

“軸 ”がダメな理由は，

軸 のとき，正と負の解を つずつもつから。

どんなに極細のグラフでも，

次関数は“軸に対して対称”だから

負の解をもってしまう

“端点 のとき， 以上”がダメな理由は，

解が と正の解の つになってしまうから。

は正でも負でもないので，

“異なる つの正の解”に反してしまう

以上が，『解の配置問題』の解法でした。

では，練習あるのみ 制限時間は 分。始め

問　 が次のような異なる つの解をもつように，定数 の値の

　　 範囲を定めよ。

　 つとも負　　　　　　　 　異符号　　　　 　 つの解がともに より大きい

　 つの解は より大きく，他の解は より小さい

　「 つとも負」なので，理想のグラフは，下の図のようになっていれば

　　　　　　　　　　　　　　 よって，

　　　　　　　　　　　　　　　 つの条件について考えると，

　　　　　　　　　　　　　　　　①　判別式 　　　　　… ●印が対応している

　　　　　　　　　　　　　　　　②　軸 　　　　　　　　… 点線が対応している

　　　　　　　　　　　　　　　　③　端点 のとき，正 … 印が対応している

あとは，計算するだけ。

①　判別式 について

なので， より，

　　　　　　　 　 　　 最初に で割った

数学Ⅱ　第 章　複素数と方程式【解と係数の関係②】

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， …①

②　軸について

とし，平方完成すると，

係数が複雑なときは，

『軸の公式』

　 次関数 の軸は

　

を用いてもよい

なので，

　　　　　　　　　　　　　　軸：

よって，軸 より，

　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　 …②

③　端点について

を代入したときの値が， 軸より上になって欲しいので，“正”となればよい。

よって，

① ①

②③

…③

以上，① ～③ より，

…

途中式など，少し省略したけど大丈夫そうですか？

理想のグラフ通りに， つの条件を考えることが，ポイントですよ。

『負の解をもつから，端点 を代入して負』など勘違いしないよーに。

　「異符号」つまり，「正の解と負の解を つずつもつ」なので，理想のグラフは，

下の図のようになっていれば

では， つの条件を考えていこうと思うんですが，

実は，今回の条件は『端点のみ』でいいんです

先に，まとめておきます。

具体的な点を，またぐときは端点のみ

この状態を

“またいでいる”とします

理由は後でお話します。先に解答をみせますね。

具体的な点 をまたいでいるので，

条件は，端点 のみ考えればよい。

負 軸より下

理想のグラフより，

を代入したときの値が， 軸より下になって欲しいので，“負”となればよい。

よって，

　 …

条件に，判別式と軸が要らないことより，「 って端じゃないじゃーん」という

衝撃の方が大きいと思います。

数学Ⅱ　第 章　複素数と方程式【解と係数の関係②】

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端点は必ずしも『端』ではないので，注意して下さいね。

条件『③端点』の表現に合わせなければ，

正確には，

『具体的な点を，またぐときは，具体的な点の 座標の符号のみ』

になりますが，長くて覚えにくいので，『端点のみ』にしました。

ここでいう『端点』という言葉は，数学用語ではなく

『解の配置問題』専用の言葉なので

色々不都合が生じちゃうんです。

また，人によっては『端点』のことを

『 軸』『 座標』『境界』など表現することも。

戸村的には応用が全く効かなくなる『 軸』で覚えなければ

あとは，正直どれでも

なぜ，端点のみで良いのか考えていきます。

先に，『条件②軸』が必要ない理由から。

端点

負

軸 軸 軸

上の図から分かるように，軸の符号が正でも負でも，端点 の値が“負”なら

正の解と負の解を つずつもちますね。なので『軸』の符号は関係ないので，ムシ

『条件①判別式』が必要ない理由は，下の図から分かるように，

負

ある点 上の図では で 軸より下 負 にいれば，びよーんとグラフは伸びていく

ので，必ず 軸とぶつかる。しかも，放物線は左右対称なので，絶対 ヶ所ぶつかる。

よって，

下に凸のグラフで説明したが

上に凸のグラフではどうなるか

考えてみて欲しい

端点 の符号が“負” 異なる つの実数解をもつ

と言えるので，『判別式』はいらない。

簡単にいうと

“ 端点が判別式も兼ねてる ”ということです。

以上が，条件が『端点のみ』でよい理由です。

応用問題になる程，“理想のグラフ”が書けるかが勝負になります。

　「 つの解がともに より大きい」なので，理想のグラフは，下の図のようになっ

端点が であることを

強調させるため 軸は消去した

ていれば

数学Ⅱ　第 章　複素数と方程式【解と係数の関係②】

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よって， つの条件について考えると，

理想のグラフから条件を判断すること

なんでもかんでも， ではない

①　判別式

②　軸

③　端点 のとき，正

細かい計算はすでに でしているので，省略しますよ。

①　判別式について

より，

， …①

②　軸について

軸： なので，軸 より，

…②

③　端点について

を代入したときの値が， 軸より上になって欲しいので，“正”となればよい。

よって，

より，

①①

②

③

…③

以上，① ～③ より，

　　　　　　　　　　　　　　　　 …

理想のグラフが書けて，“正しい”条件が考えられれば，同じような計算をするだけ

軸と端点の条件が“ ”に変わりましたね。

“軸 と端点 ”がダメな理由を考えましょう。

軸

より大きい解をもつとは限らない

①のように， つとも より小さい解をもつ

②のように， つだけ より大きい解をもつ

グラフが考えられちゃう

軸

① ②

先ほど同様，ダメなグラフが書けますか？

軸 がダメな理由の図

端点 がダメな理由の図

条件が“ のとき，正”だと

①のように， より小さい解をもつグラフが考えられちゃう

ちなみに，「 より大きい解」なので

条件が“端点 のとき， 以上”だと

②のように を解にもつのでダメ

正

① ②

数学Ⅱ　第 章　複素数と方程式【解と係数の関係②】

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　「 つの解は より大きく，他の解は より小さい」なので，理想のグラフは，

下の図のようになっていれば

負 軸より下

　　　　　　　　　　　　　　　　　具体的な点 をまたいでいるので，

　　　　　　　　　　　　　　　　　条件は『端点のみ』

理想のグラフより，

を代入したときの値が， 軸より下になって欲しいので，“負”となればよい。

よって，

より，

…

どうでしたか？

これで『解の配置問題』の典型問題は，ある程度網羅していると思います。

あとは，解の配置問題かどうか判断出来れば大丈夫でしょう。

演習を繰り返し，定着させていって下さいね。

悩みの種である

“ イコール 付けるか，付けないか問題”

は，その都度変わってくるので，

「このグラフでええのんかい？」「この条件でええのんかい？」と色々なパターンの

グラフを書いて，考えてみて下さい。

年生での疑問が少しでも解消されればいいなと思ってます。

最後に，解説までは出来ませんが，考え方だけ紹介して，おしまいにしようと思います。

では，お疲れ様でした。

問　 が の範囲に異なる つの実数解をもつように

　　 の値の範囲を定めよ。

　“解の場所まで”聞かれているので，『解の配置問題』

理想のグラフは，

軸

端点は“ 個”とは限らないよって， つの条件は，

　　　　　　　　　①　判別式

　　　　　　　　　②　 軸

　　　　　　　　　③　端点 のとき 以上，かつ，端点 のとき 以上

以上より，

…

数学Ⅱ　第 章　複素数と方程式【解と係数の関係②】

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