248 v - 5STEREOMETRIJA - GEOMETRIJA PROSTORA

A'

C'

A"

c C

b

A 8aSl. 185.

Svaki od njih je jednak IAA'l/n. Neka m od tih djelisnih tocaka lezi na visini AA".Tadaje

IAA'I . m S IAA"I S IAA'I . (m + 1),n m

odnosnom IAA"I m 1-<-<-+-.n - IAA'I - n n

(*)

Djelisnim tockama povucimo ravnine paralelne bazi. One dijele kvadar P na njednakih (izometricnih) kvadara, pa svaki od njih ima volumen (zbog (V2) i (V3))jednak VI n. Kvadar pi sadrzi prvih m malih kvadara, racunajuCi odozdo a sadrzanje u prvih m+ 1 malih kvadara. Zbog monotonosti volumena (sto je posljedica (VI)i (V2)) slijedi daje

V I V( )-.m<V <-. m+l

n - - n

odnosnom V' m 1- < - < - +-.n-V-n n

Iz (*) i (**) slijedi da su oba broja IAA"I/IAA'1 i V'IV izmeau mln i mln + Iln,pa se oni razlikuju za najvise I/n. Kako n moze biti po volji velik, Iln moze bitipo volji mali, pa nuzno slijedi da je

(**)

V' - IAA"IV - IAA'I'

cime je nasa tvrdnja dokazana.Sada uzmimo jedinicnu kocku K i tri kvadra s duljinama bridova a, 1, 1; a, b, 1;

a, b, c. OznaCimo njihove volumene redom sa Vl, V2 i V. Prema upravo dokazanom

V - 5 POLIEDRI 249

lmamoVl_a V2_b V_cT - l' Vl - l' V2 - l'

IzmnozimoIi ove tri relacije, dobivamo V = abc. .TEOREM 9 (volumen paralelepipeda). Ako postoji vo/umen v, onda je vo/u-men para/e/epipeda jednak produktu povrsine baze p(B) i pripadne visine h, tj.

v(P) = p(B) . h.

Dokaz. Nekaje ABCDA1B1C1Dl (kosi) paralelepiped (s1.186a)). Bridom BCpovucimo ravninu okomitu na bazu ABC D i dopunimo kosi paralelepiped trostra-nom prizmom BBl B2CCl C2. Od tako dobivenog poliedra odsijecimo trostranuprizmu AA1A2DD1D2 ravninom kroz brid AD okomitom na bazu ABCD.

A1

2Cz

A

a) b)

Sl. 186.

.

Tako opet dobivamo paralelepiped. Taj paralelepiped ima isti volumen kao ipolazni paralelepiped. To je zato jer su dopunjena i odsjecena prizma kongruentne,-sto se dobiva translacijom za vektor AB, pa ta tvrdnja slijedi iz (V2) i (V3). Tomtransformacijom paralelepipeda sacuvaju se povrsina baze i duljina visine, sacuvajuse takoaer povrsine pobocki, a preostale dvije strane ostaju okomite na bazu.

Primijenimo Ii jos jedanput takvu transformaciju na kose strane, dobivamo par-alelepiped kojem su sve pobocke okomite na bazu, tj. dobivamo uspravni paralele-piped.

Tako dobiveni uspravni paralelepiped sad a podvrgnimo analognoj transforma~.ikoja ga prevodi u kvadar. To se napravi tako da ga se prvo dopuni prizmom L!J,a zatim oduzmemo (odsijecemo) prizmu rn (s1. 186b)). Ita transformacija sacuvavolumen paralelepipeda, povrsinu baze i visinu.

Volumen kvadra je prema prethodnom teoremu jednak produktu duljina po-bocnih bridova iz jednog vrha. Produkt dvaju bridova je povrsina baze, a trecaje visina. Stoga je volumen kvadra jednak produktu povrsine baze i pripadnevisine. Kako se pri opisanim transformacijama pocetnog paralelepipeda u kvadarcuvaju volumen, povrsina baze i visina, to je i volumen danog paralelepipeda jednakproduktu povrsine baze i visine. .

Da izracunamo volumen prizme treba nam prvo jedna lema.

246 STEREOMETRIJA - GEOMETRIJA PROSTORA 'V-5

Drugi tip su jednakostrani - polupravilni poliedri, tj. takvi koji imaju kon-gruentne strane (ali ne nuzno pravilne) i sve prostorne kutove pravilne (ali ne nuznomedusobno jednake). Takvi su, npr., pravilne bipiramide. Drugi je primjer romb-ski dodekaedar (sl. 181) koji ima 12 sukladnih rombova za strane, a 14 pravilnihprostornih kutova, od kojih 6 eetverobrida i 8 trobrida.

U kristalografiji se susrecu tzv. izoedri; npr. kristal kuprita (CU20) jest izoedar,omeden s 24 kongruentna nepravilna peterokuta (sl. 182).

Osim pravilnih konveksnih poliedara, promatraju se i pravilni zvjezdasti poliedri(definicija je sliena). Jos je J. Kepler naSao dva tipa: mali i veliki zvjezdastidodekaedar. A. Cauchy je mnogo kasnije nasao jos dva tip a i dokazao da su tosvi. NasI. 183 je mali zvjezdasti dodekaedar. Taj jednostavni simplicijalni poliedarima f-vektor f = (32,90,60)

5.5. Volumen poliedra

Sada cemo strogo zasnovati pojam volumena poliedra, kao sto smo to uCinili zapovrsine poligona (1. dio, str. 240). I ovdje cemo promatrati malo prosireni pojampoliedra. Smatrat cemo, nairne, da je poliedar u sirem smislu zbroj PI + P2++. . .+ Pn od konaenomnogojednostavnih poliedara PI, . . . , Pn, tj. unija od konaenomnogo jednostavnih poliedara kojima su unutraSnjosti disjunktne. Na sl. 184 suneki primjeri takvih poliedara.

rg)

--4~Sl.184.

Kao i kod poligona i ovdje se svaki poliedar u gornjem smislu moze trianguli-rati, tj. prikazati kao unija od konaenomnogo tetraedara s disjun~tnim unutraS-njostima, pri eemu svaka dva tetraedra ili nemaju zajedniekih toeaka ili se sijekuu jednom vrhu ili duz zajedniekog brida ili u zajedniekoj strani (bolje bi stogabilo reCi tetraedrizirati ili simpleksirati, ali zbog analogije s poligonima u ravniniostajemo kod naziva triangulirati).

.,.......

I

I v - 5 247POLIEDRI

LEMA 1 (0 triangulaciji). a) Svaki jednostavni poliedar se moze prikazati kaosuma konveksnih poliedara.

b) Svaki konveksni poliedar se moze triangulirati.c) Svaki konveksni poliedar se moze triangulirati bez uvoaenja novih vrhova.

Dokaz. a) Povucimo sve ravnine koje sadrZe strane danog poliedra. Dijeloviprostora na koje one dijele prostor su konveksni, pa se na taj naCin jednostavnipoliedar razlaze na konveksne poliedre.

b) Unutar konveksnog poliedra uzmimo bilo koju toeku 0, a svaku stranu tri-angulirajmo na trokute. Trostrane pi rami de s vrhom 0 Cije su baze trokuti trian-gulacije strana daju prikaz konveksnog poliedra u obliku zbroja tetraedara koji sesijeku sarno u zajedniekim vrhovima, bridovima ili stranama, tj. konveksni poliedarse moze triangulirati.

c) Dokaz cemo provesti indukcijom po broju vrhova n. Za n = 4 tvrdnja jetrivijalna. Pretpostavimo da je tvrdnja toena za bilo koji konveksni poliedar s nvrhova. Neka je P konveksni poliedar s n + 1 vrhova. Neka je A neki vrh od P ipromotrimo konveksnu P' ljusku svih ostalih vrhova od P osim A. P' je konveksnipoliedar s n vrhova pa ga prema pretpostavci indukcije trianguliramo bez novihvrhova. Preostali dio P \ P' je poliedar (mozda i nekonveksni) s istaknutim vrhomA s kojim su svi ostali vrhovi od P' spojeni bridovima. Sada trianguliramo natrokutove bez novih vrhova sve strane od P' koje ne sadrze vrh A. Trostranepiramide s vrhom A, eije su osnovke ti trokuti daju trazenu triangulaciju od P'. .

Nekaje P skup svih poliedara u prostoru (ukljueujuci 0). Volumen (obujam,zapremina, sadl'zaj) v na skupu P je funkcija v : P -+ R s ovim svojstvima(aksiomima)(VI) v(P) 2: 0, VP E P,(V2) V(PI + P2) = v(Pd + v(P2), VPt, P2 E P,(V3) Izometrieni poliedri imaju jednake volumene, tj. PI =::P2 ~ v(Pd = v(P2),(V4) Postoji bar jedna kocka K sa bridom duljine 1 takva da je v(K) = 1.

Za poliedar P broj v(P) se zove volumen (obujam, zapremina, sadriaj)poliedra P.

Kao i u slueaju poligona i ovdje se slieno pokazuje da su to nezavisni aksiomi,kao i da vrijede sliena svojstva.

Za dokaz egzistencije i jedinstvenosti funkcije v sada bismo mogli postupitisasvim analogno kao i u slueaju povrsine poligona (pokusajte uCiniti to sami!), alicemo mi postupiti drukeije kako bismo upoznali svo bogatstvo ideja i metoda.

TEOREM 8 (volumen kvadl'a). Ako postoji volumen v i ako jeP = ABGDA' B'G' D' kvadar s bazom (pravokutnikom) ABGD, takav da je IABI == a, IADI = b, IAA'I = c, onda je v(P) = abc.

Dokaz. Prvo dokazimo da se volumeni kvadra sa zajedniekom bazom odnosekao njihove visine. Neka su P = ABGDA'B'G'D' i P' = ABGDA"B"G"D" dvakvadra s bazom ABG D i visinama AA' i AA" i neka je IAA"I < IAA'I. OznaCimovolumene V = v(P), V' = v(P/). PodijelimovisinuAA' na n jednakih dijelova.