BURULMA (Torsion) ve BURKULMA (Buckling) M.Feridun Dengizek
description
Transcript of BURULMA (Torsion) ve BURKULMA (Buckling) M.Feridun Dengizek
BURULMA (Torsion)ve
BURKULMA (Buckling)
M.Feridun Dengizek
• Daha önce görmüş olduğumuz moment kavramı ile yapısal elemanları bükmeye çalışırken SKK yüzeylerine dik çekme veya basma gerilimleri oluşturan etki olduğunu görmüştük.
• Tork ise yapısal elemanlardan çok mekanik elemanları döndürmeye ve eğer dirençle karşılaşırsa onları burmaya çalışan, ve SKK elemanının yüzeylerine paralel gerilimler yaratan etkidir.
BURULMA (Torsion)
• Tork aktarımı daha çok şaftlar vasıtasıyla gerçekleştirilir.
• Şaft boyunu x koordinat eksenine yerleştirirsek şaft içindeki bir noktanın koordinatları p(x,ρ,θ) olarak tanımlanır.
• Daha önceki derslerimizde kesme gerilimini (ζxy ) kesme gerinimi (γxy)olarak tanımlanan açısal yamulmaya bağlı bir değer olak tarif etmiştik
Gerilim miktarı elastik deformasyon bölgesi dışına çıkmamış ise üç boyutlu SKKP üzerinde bu gerilimler aşağıdaki gibi formüle edildiğinden bahsetmiştik.
Burada G “modulus of rigidity” veya burulma elastikiyet modülüdür ve değeri çelik için G=80.000 N/mm2 dir
• Burulma durumunda bir şaft üzerindeki SKK elemanların x eksenine dik konumdaki yüzeyleri birbirine paralel kalacak şekilde elastik sınır içinde de γo açısı kadar da deforme olurlar.
• Şaftın merkezinde kesme gerilimi sıfır, dış çapa doğru gittikçe gerilim artar ve dış çapta maksimum olur
• Kesme gerilimi (shear stress) polar koordinartlara göre yeniden yazılırsa
• Yeniden şaftımıza dönersek yarı çapı R olan bir şaft üzerindeki
maksimum gerilimin ρ=R de, minimum gerilimin ise ρ=0 (eksende) olacağı açıktır. Bunu formülüze edersek
ve olarak ifade edilebilir.
G*G,x
maxR
maxR
• Birim alan üstünde etkin gerilimlerin oluşturduğu birim kuvvet dF=ζdA
• Bu kuvvetin oluşturduğu birim tork dT=dF*ρ dT=(ζdA)*ρ
A
dAT
A
2maxmax
A
dAR
TdA)R(T
maxR
• Daha önce atalet momenti olarak tanımlanmıştı
• Aynı şekilde polar atalet momenti olarak tanımlanır.
• Böylece
A
2dA
A
2dAyI
A
2dAJ
J
R*TJ
RT max
max
Şaftlar için polar atalet momenti
Delik şaftlar için polar atalet momenti
BURULMA AÇISI Φ (TWIST ANGLE)• Tork altındaki bir mekanik elemanın çevresinde iki uç
arasında birbirine göre kesme gerinimi (γ) olarak tanımlanan bir dönme meydana gelir. Bu dönme miktarı merkezde sıfır dış çapta ise maksimum olan dönme miktarı (BB’) na eşittir
dx
d
Rdx
d
dx*d*R
L**R'BB
max
maxBA
G
J
Tve Olduğunu daha önce
bulmuştuk
Eğer şaft üzerinde sadece tork etkin ise burulma açısı boya göre lineer değişir.
L GJ
TLdx
GJ
T
dxGJ
Td
GJ
T
dx
ddx
d
GJ
T
dx
d
G
Not: formülde belirtilen Φ açısı birimi radyandır 2π rad= 3600 dir
ÖRNEK PROBLEM 1
A noktasından sabit olan bir şafta
B noktasında 565 N-m tork uygulanmaktadır.
Şaft çapı d=50 mm
Şaft boyu L= 1300 mm olduğuna göre
a. Şaft üzerinde oluşan maksimum kesme gerilimini bulunuz
b. Şaftın kesme gerinimini bulunuz.
c. Şaft kaç derece burulur.
Not : Burulma Elastikiyet modü G=80 GPa
T=565N-mT=565,000N-mm
D=50 mm R=25 mm
G=80GPa G=80,000N/mm2
MPa23
mm/N23592,613
25*000,565
J
R*T
max
2maxmax
44
mm592,61332
50*J
rad287
radyan10X287
000,80
23
G6
086.0
rad2
derece360rad015.0
rad015.0592,613*000,80
1300*000,565
J*G
L*T
• Şaft üzerinde farklı çap ve tork değerlerinin var olması durumunda toplam burulma açısı daha önce gördüğümüz toplam boy uzaması formülüne benzer aşağıdaki formülden hesaplanır
ÖRNEK PROBLEM 2
Çelik bir şaft yandaki resimde göründüğü gibi D noktasından sabitlenmiş durumdadır.
Şaftın burulma elastik modülü G=80GPa
Çeliğin çekme dayanımı σy=200N/mm2
1.Şaftdaki maksimum burulma açısını
2.Maksimum kesme gerilimini
3.Emniyet katsayısını bulunuz.
ÇÖZÜM
Önce D noktasında ortaya çıkacak reaksiyon tork TR miktarını buluruz.
ΣT=0 TR=TA+TB+TC
TR=40-80+120
TR=80 N-m TR=80,000N-mm
POLAR ATALET MOMENTLERİ
TOPLAM BURULMA AÇISI
1 2 3
T(N-mm) 80,000 -40,000 40,000
L(mm) 200 500 400
d(mm) 32 24 16
J(mm4) 32,768π 10,368π 2,048π
G(N/mm2) 80,000 80,000 80,000
768,3232
32
32
dJ
44
1
368,1032
24
32
dJ
44
2
048,232
16
32
dJ
44
3
048,2*000,80
400*000,40
368,10*000,80
500*000,40
32768*000,80
200*000,80
JG
LT
ii
ii
043.1
rad025.0
)048,2
400*40
368,10
500*40
32768
200*80(
000,80
1000
211 mm/N43.12
*768,32
16*000,80
222 mm/N7.14
*368,10
12*000,40
J
R*Tmax
1 2 3
T(N-mm) 80,000 -40,000 40,000
L(mm) 200 500 400
d(mm) 32 24 16
J(mm4) 32,768π 10,368π 2,048π
G(N/mm2) 80,000 80,000 80,000
MAKSİMUM KESME GERİLİMİ
Yukarıdaki formülde gözüktüğü gibi maksimum kesme gerilimi tork ve çapa bağlı bir değerdir.
Bu nedenle maksimum kesme gerilimini bulmak için sadece maksimum torkun uygulandığı bölgeye bakmak yetmez, diğer bölgelerde incelenmelidir.
Görüldüğü gibi 1.bölgede maksimum tork olduğu halde şaft çapı büyük olduğu için minimum kesme gerilimi oluşmakta, Minimum çapın olduğu 3.bölgede ise maksimun kesme gerilimi oluşmaktadır .
Bu genel bir kural değildir. Bu nedenle her bölgedeki kesme gerilimleri ayrı ayrı hesaplanmalıdır.
EMNİYET KATSAYISINI BELİRLEME
σy=200 N/mm2 ζy=0.5*σy ζy=0.5*200=100 N/mm2
23max
233 mm/N7,49mm/N7.49
*048,2
8*000,40
2N
27.49
100N
max
y
GÜÇ-TORK İLİŞKİSİ• Şaftlarda tork genellikle motordan
gelen çevirme hareketi ve bu harekete direnen kuvvet nedeni ile ortaya çıkar.
• Motordan gelen çevirme hareketi genellikle dakikada devir sayısı (rpm), kuvvet ise tork olarak verilir
• Güç=KuvvetXHız olarak belirtilmiş idi
• Şaftı çevirme için gereken güç
P=T*w olarak formülüze edilir.• Karşımıza en sık çıkan Güç-
Devir-Tork formülleri şunlardır.
• Güç sabit ise torkun arttırılabilmesi için devrin düşürülmesi veya devrin arttırılması için torkun düşürülmesi gerekir.
• Bu nedenle motor ile şaft arasında genellikle dişli kutusu veya şanzuman kullanılır
ÖRNEK PROBLEM 3 Resimde görünen mekanizmada A noktasında
uygulanabilecek maksimum torku (T1) ve ortaya çıkacak maksimum burulma açısını emniyet katsayısı N=3 olacak şekilde hesaplayınız.
Kullanılacak malzeme SAE1020 dirÇÖZÜM: Mekanizmada farklı çaplarda iki şaft bulunmakta
ve bu şaftlara dişli oranları nedeni ile iki ayrı tork etki etmektedir.
Bu nedenle şaftların bu torklara dayanıp dayanamayacağı ayrı ayrı incelenmelidir.
Her iki şaft için T formülünü yazarsak
16
D**T
31
1
16
D**T
32
2
3
1
2
1
2
D
D
T
T
16
D**T
2/D32D*
*T
2
DR,
32
D*J
R
J*T
J
R*T
3
4
4
375.320
30
T
T3
1
2
Yukarıda verilen sistemde dişli çaplarının oranları kadar Tork artışı gerçekleşecektir.
Dişlilerden gelen Tork artış oranının (4.28) şaft çaplarının izin verebileceği orandan (3.375) büyük olması nedeniyle dikkate alınacak tork büyük torkun etkin olduğu C-D şaftındaki tork olmalıdırr.
Eğer Tork artış oranı şaft çaplarının izin verebileceği orandan küçük veya eşit olsaydı, dikkate alınacak tork şaft çapının daha küçük olduğu A-B şaftında etkin olan tork olurdu
28.435
150
R
R
T
T
1G
2G
1G
2G Şaft çaplarının izin verebileceği tork oranı
Dişlilerden gelen tork oranı
Büyük torkun etkin olacağı C-D şaftı için tork dayanımını hesaplıyacak olursak
SAE1020 σy=240N/mm2 , G=80,000N/mm2
Emniyet kasayısı N=3
A noktasına uygulanabilecek maksimum tork
2yy
2y mm/N120240*5.0*5.0mm/N240
2y mm/N403
120
N
mN212T
mmN058,21215
79522*40T
mm152
30
2
DR
mm522,7932
30*
32
D*J
R
J*T
2
2
444
22
2
22
mmN5.49T
mmN546,4928.4
058,212T28.4
T
T
1
11G
2G
• Birici şaft üzerindeki burulma
444
11 mm708,15
32
20*
32
D*J
1
111 J*G
L*T
01
1
37.1
rad024.0708,15*000,80
600*546,49
2
222 J*G
L*T mm522,79
32
30*
32
D*J
442
2
02
2
89.1
rad033.0528,79*000,80
1000*058,212
Maksimum burulma C-D şaftında 1.890 olarak ortaya çıkar
BURULMA AÇISI Φ
ÖRNEK PROBLEM 4
• Bir önceki problemde verilen mekanizmanın A ucunda bir motor bağlı olsaydı, D ucunda 212 N-m tork ve 350 rpm devir elde edebilmek için kullanılması gereken motor devri ve gücü ne olurdu.
Kw5.79550
350*212
9550
)rpm(N*)mN(T)KW(P
rpm150035
150*350N
R
RNN
N
N
R
R
1
1G
2G21
2
1
1G
2G
BURKULMA (Buckling)• Mekanik veya yapısal bir eleman eksenel
olarak basma kuvveti altında iken, kuvvet belli bir kritik büyüklüğe ulaşınca eleman ani bir deformasyona uğrar. Bu fenomen Burkulma (buckling) olarak adlandırılır.
• Kritik yük büyüklüğü (Fcr) – mekanik elemanın yapıldığı malzemeye – geometrik ölçülerine – başlarının mafsallı olup olmadığına göre değişir.
• Burkulma fenomeni EULER formülü ile tanımlanmış bulunmaktadır
2
2
cr L*K
I*E*F
• Burkulma kesitine göre boyu çok uzun olan elemanlarda ortaya çıkar.
• Bu nedenle özellikle ince uzun malzemelerde burkulma hesabı yapılmalıdır.
• Eğer σcr< σy ise malzeme akma sınırına ulaşmadan burkulacak demektir. Bu nedenle uygulanabilecek maksimum kuvvet σcr göz önüne alınarak hesaplanmalıdır.
• Eğer σcr > σy ise malzeme akma sınırından sonra burkulacak demektir. Bu nedenle uygulanabilecek maksimum kuvvet σy göz önüne alınarak hesaplanmalıdır.
• Burkulmada esas alınacak atalet momentinde ince kesit boyunun küpü alınmalıdır.
• Burkulma için tipik örnek termal stress nedeni ile demir yollarında ortaya çıkan kıvrılmalardır.
• Bir diğer örnek elektrik direkleridir. Uzun yıllar bekleyen bir direkte yığılma (creep) veya korozyon nedeni ile kesitinde ortaya çıkan incelme direğin burkulmasına sebeb olabilir.
BURKULMADA KOLON SONLARINDA MAFSAL FAKTÖRÜ (K)
2
2
cr L
I*E*F
2
2
cr L*25.0
I*E*F
2
2
cr L*5.0
I*E*F
2
2
cr L*4
I*E*F
• ÖRNEK PROBLEM2 metre boyunda ve 200mmX300mm kesit alanı olan alumiyum bir kolon emniyet katsayısı N=2 olması şartı ile en fazla ne kadar kuvvet altında bulunabilir.
• σy=240 Mpa=240 N/mm2
• E=70 Gpa = 70,000 N/mm2
• Başlarda mafsal olmadığı için K=4
4633
mm10X20012
200*300
12
bhI
2
2
cr L*K
I*E*F
kN636,82000*4
10X200*000,70
L*K
I*E*F
2
62
2
2
cr
2crcr mm/N144
300X200
000,636,8
A
F Uygulanabilecek maksimum
kuvvetin belirlenmesinde Fcr dikkate alınmalıdır.
kN43182
8636
N
FF crmax
2cr mm/N240