BUKU SISWA RELASI DAN FUNGSI

X

PENGERTIAN RELASI

Dalam sebuah keluarga, setiap anggota keluarga tersebut mempunyai selera makan yang

berbeda-beda. Maka terjadilah hubungan antara masingmasing anggota keluarga tersebut dengan

jenis makanan yang disukainya.

Amati teman-teman sekelas Anda, apakah semua teman Anda mempunyai kegemaran olahraga

yang sama? Sudah pasti tidak. Ada yang suka sepak bola, ada yang suka basket, ada yang suka

memancing dan sebagainya. Maka terjadilah hubungan antara teman-teman Anda dengan jenis

olahraga yang disukainya.

Dua contoh di atas, yaitu tentang selera makan dan kegemaran olahraga, yang menunjukkan

adanya hubungan antara anggota suatu himpunan dengan anggota himpunan yang lain. Dalam

matematika, konsep hubungan tersebut dinamakan relasi.

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan

A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu.

CARA MENYATAKAN SUATU RELASI

Dari peristiwa di atas Anda dapat membuat relasi antara dua himpunan, yaitu:

• Himpunan anak yang beranggotakan : Jarjit, Ehsan, Fizi, Mei mei dan Mail.

• Himpunan makanan yang beranggotakan : pempek, model, tekwan, bakso dan mie ayam.

Dalam hal ini kita dapat membuat dua macam relasi dengan aturan yang berbeda, yaitu: makanan

kesukaannya dan makanan yang dimakannya.

Relasi dengan aturan “makanan kesukaannya” sebagai berikut:

Jarjit → bakso ; Jarjit → mie ayam; Ehsan → pempek; Fizi → tekwan; Mei mei → mie

ayam.

Relasi dengan aturan “ makanan yang dimakan” sebagai berikut:

Jarjit → Bakso ; Ehsan → pempek ; Ehsan → model ; Fizi → tekwan ; Fizi → bakso ; Mei

mei → mie ayam ; Mail → pempek.

Tiga cara menyatakan relasi, yaitu:

1. Dengan Himpunan Pasangan Berurutan

2. Dengan Diagram Panah

3. Dengan Diagram Cartesius

Upin sedang berulang tahun, ia mengajak teman-temannya: Jarjit, Ehsan, Fizi, Mei mei, dan

Mail makan dirumahnya. Menu yang disediakan upin yaitu : pempek, model, tekwan, bakso

dan mie ayam. Dari menu tersebut ternyata masing-masing anak tidak sama menu favoritnya.

Jarjit suka Bakso dan mie ayam tetapi kali ini ia hanya memakan Bakso.

Ehsan suka pempek namun makanan yang ia makan tidak hanya pempek tetapi model

juga.

Fizi memakan tekwan dan bakso walaupun sebenarnya ia hanya menyukai tekwan.

Mei mei hanya menyukai mie ayam, ia hanya memakan mie ayam.

Mail tidak menyukai semua menu tersebut tetapi ia tetap makan namun hanya pempek.

HIMPUNAN PASANGAN BERURUTAN

Menyatakan relasi dengan himpunan pasangan berurutan dapat dilakukan dengan langkah-

langkah sebagai berikut:

Langkah 1

Himpunan anak kita nyatakan sebagai himpunan A dan himpunan makanan yang disediakan di

nyatakan sebagai himpunan B.

Kita daftarkan masing-masing anggota himpunan A dan anggota himpunan B, yaitu:

A = {Jarjit, Ehsan, Fizi, Mei mei, Mail }

B = { pempek, model, tekwa, bakso, mie ayam}

Langkah 2

Kita pasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan relasi: ”makanan

kesukaannya” dalam bentuk (x , y) dengan x ϵ A dan y ϵ B

Relasi dari himpunan A ke himpunan B kita nyatakan dengan himpunan pasangan berurutan

sebagai berikut:

{(Jarjit, bakso) , (Jarjit , mie ayam) , (Ehsan , pempek) , (Fizi , tekwan) , (Mei mei , mie ayam)}

Kita pasangkan juga anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan relasi:

”makanan yang dimakan” dalam bentuk (x , y) dengan x ϵ A dan y ϵ B

Relasi dari himpunan A ke himpunan B kita nyatakan dengan himpunan pasangan berurutan

sebagai berikut:

{(Jarjit , bakso) , (Ehsan , pempek) , (Ehsan , model) , (Fizi , Tekwan) , (Fizi , bakso) , (Mei mei

, mie ayam) , (Mail , pempek)}.

Himpunan yang anggotanya semua pasangan berurutan (x , y)

dinamakan himpunan pasangan berurutan.

DIAGRAM PANAH

A B

Dengan demikian langkah membuat diagram panah relasi makanan kesukaannya dari himpunan

A ke himpunan B atau ditulis R : A → B adalah:

X ●

● Y

Langkah-langkah cara menyatakan relasi dengan diagram panah:

Membuat dua lingkaran atau ellips (bisa juga bangun lainnya, misalnya:

persegipanjang)

untuk meletakkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B

x ϵ A diletakkan pada lingkaran A dan y ϵ B diletakkan pada lingkaran B

x dan y dihubungkan dengan anak panah

Arah anak panah menunjukkan arah relasi

Anak panah tersebut mewakili aturan relasi

A B A B A B

Jarjit ●

Ehsan ●

Fizi ●

Mei ●

Mail ●

● pempek

● model

● tekwan

● bakso

● Mie

Jarjit ●

Ehsan ●

Fizi ●

Mei ●

Mail ●

●pempek

● model

● tekwan

● bakso

● Mie

DIAGRAM CARTESIUS

Pada diagram cartesius diperlukan dua sumbu yaitu; sumbu mendatar (horisontal) dan

sumbu tegak (vertikal) yang berpotongan tegak lurus.

x ϵ A diletakkan pada sumbu mendatar

y ϵ B diletakkan pada sumbu tegak

Pemasangan x → y ditandai dengan sebuah noktah yang koordinatnya ditulis sebagai

pasangan berurutan (x , y)

y ● (x,y)

x

Sebagai contoh, lihat pada diagram panah sebelumnya, maka diagram cartesiusnya dapat di lihat

di samping kanannya.

A B

y

Mail

Mie ●

Fizi ●

Ehsan ●

Jarjit ● ●

Pempek Model Tekwan Bakso Mie x

Sumbu tegak

Sumbu Mendatar

Jarjit ●

Ehsan ●

Fizi ●

Mei ●

Mail ●

●pempek

● model

● tekwan

● bakso

● Mie

PENGERTIAN FUNGSI

Perhatikan relasi yang dinyatakan dengan diagram panah di bawah ini :

A B Pada relasi di samping mempunyai ciri:

Anggota himpunan A, yaitu: Jarjit, Ehsan, Fizi, Mei, Mail,

semuanya makan dan masing-masing hanya memakan satu

jenis makanan. Dengan kata lain semua anggota A makan

makanan dan tidak ada yang makan lebih dari satu.

Secara matematika dikatakan bahwa: setiap anggota

himpunan A dipasangkan dengan anggota himpunan B

dan pemasangannya adalah tepat satu.

Relasi yang seperti ini disebut fungsi atau pemetaan

DOMAIN , KODOMAIN DAN RANGE FUNGSI

Suatu fungsi f : A → B dinyatakan dengan diagram panah sebagai berikut:

A B

Domain fungsi f adalah Df = {Jarjit, Ehsan, Fizi, Mei,

Mail}

Kodomain fungsi f adalah Kf = {pempek, model, tekwan,

bakso, mie}

Range fungsi f adalah Rf = {pempek, tekwan, bakso, mie}

Jarjit ●

Ehsan ●

Fizi ●

Mei ●

Mail ●

●pempek

● model

● tekwan

● bakso

● Mie

Fungsi/pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan setiap

anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B

Fungsi f dari himpunan A ke himpunan B dinotasikan dengan f : A → B

Himpunan A disebut Daerah asal atau Domain

Himpunan B disebut Daerah kawan/lawan atau Kodomain

Himpunan bagian dari himpunan B yang anggotanya dipasangkan dengan anggota

himpunan A disebut Daerah hasil atau Range

Jarjit ●

Ehsan ●

Fizi ●

Mei ●

Mail ●

●pempek

● model

● tekwan

● bakso

● Mie

MENENTUKAN NILAI FUNGSI

Untuk melambangkan fungsi kita gunakan huruf kecil, seperti: f, g, h. Sehingga kita sebut

fungsi f, fungsi g, dan fungsi h.

Fungsi f dari himpunan A ke himpunan B kita notasikan dengan

f : A → B atau f : x → y dengan x ϵ A dan y ϵ B

(f : x → y dibaca ”fungsi f memetakan x ke y”)

Penulisan lain dari notasi f : x → y yaitu f(x) = y yang disebut sebagai rumus fungsi f

Menentukan nilai fungsi yang dinotasikan dengan f : x → y atau dirumuskan dengan f (x) = y

adalah menentukan nilai y atau f (x) jika nilai x diberikan.

CONTOH 1

Suatu fungsi f dinotasikan dengan f : x → 2x + 8

a. Tulis rumus fungsi f

b. Tentukan nilai dari: f (-3), f (0), f (a + 4) dan f (3/2)

Penyelesaian:

a. Notasi fungsi f adalah f : x → 2x + 8

Rumus fungsi f adalah f(x) = 2x + 8

b. f (–3) = 2 (–3) + 8 = –6 + 8 = 2

f (0) = 2 (0) + 8 = 0 + 8 = 8

f (a + 4) = 2 (a + 4) + 8 = 2a + 8 + 8 = 3a + 16

f (3/2) = 2 (3/2) + 8 = 3 + 8 = 11

Contoh 2

Fungsi f dirumuskan dengan f (x) = 3 – xy

Jika f(4) = 11, tentukan p dan rumus fungsi f

Penyelesaian :

f (x) = 3 – xy

f(4) = 3 – xy = 11

3 – (4) y = 11

3 – 4y = 11

-4y = 8

y = -2

Rumus fungsi f adalah f(x) = 3 – (–2)x

f(x) = 3 + 2x