Ábrázoló geometria

(MFABR31E04)

2013/2014. őszi félév

Információk

Teendők a szorgalmi időszakban:

1. Házi feladatok határidőre való elkészítése

A heti kiadott feladatok felét a következő héten kell leadni.

A kimaradó feladatokat legkésőbb a ZH napján kell leadni.

A hetente kiadott feladatok 10 pontot érnek.

Egy heti feladat akkor teljesített, ha legalább 5 pontot ér.

A ZH-t csak azok a hallgatók írhatják meg, akik az összes

kiadott házi feladatot leadták.

2. 2 db zárthelyi dolgozat

Egyenként 100-100 pont.

Mindkét zh-n külön el kell érni az 50 %-ot.

A szorgalmi időszakban összesen 310 pont szerezhető, melyet a vizsgajegybe beszámítunk.

Teendők a vizsgaidőszakban:

A vizsgaidőszakban hetente legalább egy időpontban,

írásban történik.

Elméleti kérdéseket nem tartalmaz, de a feladatok

megoldásán keresztül mérhető, ki mennyire tájékozott.

A dolgozattal 150 pont szerezhető, akkor sikeres, ha eléri az

50 %-ot.

A gyakorlatról hozott pontokkal összeadódnak.

Információk

Rövid történeti áttekintés

i.e. 13 körül Vitruvius római építőmester tervei alaprajzokból (felülnézet) és homlokrajzokból (elölnézet) álltak. Ezeket a szerkesztési eljárásokat egészen a középkorig csupán az építészek használták és gyakorlati jelentősége volt.

1350–1500 között Természetes volt, hogy az emberi látás sajátosságait szerették volna szerkesztésekkel reprodukálni. Ez a centrális képalkotás a perspektíva (gyakorlati perspektíva). Reneszánsz művészek írták össze a leképezés sajátosságait.

1640 körül G. Desargues volt az első tudós, aki egy értekezésében vizsgálni kezdte a különböző ábrázolási módok közös jellemzőit és bizonyítani próbálta a módszerek helyességét.

Rövid történeti áttekintés

1700-as évek vége Az ábrázoló geometria önálló tudományágként jelenik meg, mindez G. Monge (1746-1818) nevéhez fűződik. Tankönyvét 1798-ban jelentette meg, melyben összefoglalta az ábrázoláshoz szükséges általános és elvont szabályokat.

1800-as évek Virágzásnak indul az ábrázoló geometria. Pohlke (1810-1876) ekkor dolgozza ki az axonometria általános elméletét.

XIX. század vége, XX. század eleje A fényképezőgép megjelenésével új irányt vett a centrális vetítés kutatása. Napjainkban az ábrázoló geometria összemosódik a komputergrafikával.

Az ábrázoló geometria célja

Az ábrázoló geometria feladata a háromdimenziós tér alakzatainak szemléltetése és az azokkal megfogalmazott geometriai feladatok megoldása

a rajz síkján. a térbeli alakzatok ábrázolása a síkon (leképezés);

a térre vonatkozó szerkesztések elvégzése a síkon (szerkesztés);

a síkbeli képekből (vetületekből) a térbeli alakzat visszaállítása (rekonstruálás).

Az ábrázoló geometria a fejben lévő térbeli absztrakciós

képességet teszi próbára.

Vetítések

Párhuzamos vetítés

Centrális vetítés

Pont- és egyenestartó

Illeszkedéstartó

Párhuzamosságtartó

Aránytartó

Pont- és egyenestartó

Illeszkedéstartó

NEM párhuzamosságtartó

Arányok hányadosát megtartja

Monge-féle kétképsíkos ábrázolás Két egymásra merőleges

képsíkot használunk.

Az alakzatot merőleges

vetítjük a képsíkokra.

Monge-féle kétképsíkos ábrázolás Két egymásra merőleges

képsíkot használunk.

Az alakzatot merőleges

vetítjük a képsíkokra.

A vetítések után a képsíkokat

egyesítjük.

Minden alakzatot két képpel

(felül- és elölnézettel)

adunk meg.

Monge-féle kétképsíkos ábrázolás

Monge-féle kétképsíkos ábrázolás

Képsíkok:

K1: vízszintes helyzetű

K2: függőleges helyzetű

Képsíktengely:

X1,2: a képsíkok

metszésvonala

Térnegyedek

A képsíkok a teret négy

részre bontják.

A térbeli alakzatokat

általában az I.

térnegyedben fogjuk

elhelyezni.

Pont ábrázolása

A pontot merőlegesen

vetítjük mindkét

képsíkra.

P→(P’, P”)

P’P” egyenes neve:

rendező

Mindig merőleges a tengelyre!

Pont ábrázolása

A pontot merőlegesen

vetítjük mindkét

képsíkra.

Q→(Q’, Q”)

Egyenes ábrázolása

Az egyenest merőleges vetítjük mindkét

képsíkra.

a→(a’, a”)

Speciális helyzetű egyenesek

Vetítő egyenes: képsíkra merőleges egyenes.

Főegyenes: képsíkkal párhuzamos egyenes.

Profilegyenes: x1,2-re merőleges egyenes, amely

nincs egyik képsíkban sem.

Vetítő egyenes

Az egyik képsíkra vetítve pontnak látszik.

Főegyenes

f1 párhuzamos K1-gyel

↓

f1” párhuzamos x1,2-vel

f1’ tetszőleges

(nem merőleges x1,2-re)

Főegyenes

f2 párhuzamos K2-vel

↓

f2’ párhuzamos x1,2-vel

f2” tetszőleges

(nem merőleges x1,2-re)

Profilegyenes

Egyik képsíkra sem merőleges,

de az x1,2 tengelyre igen!

Mindig két pont kijelölésével

ábrázoljuk!

Egyenespár térbeli viszonya

A térben két egyenes egymáshoz viszonyítva a

következőképpen helyezkedhet el:

Párhuzamos

Metsző

Kitérő

Síkot határoznak meg!

(Nem párhuzamos és nem kitérő helyzet,

nem határoznak meg síkot!)

Egyenespár ábrázolása

Párhuzamos helyzet

Metsző helyzet

Kitérő helyzet

Sík ábrázolása

Egy sík egyértelműen megadható:

1. Három általános helyzetű pontjával

2. Párhuzamos egyenespárral

3. Metsző egyenespárral

4. Egy ponttal és egy rá nem illeszkedő

egyenessel

(Közülük bármely pont nem illeszkedik a

másik kettő által meghatározott egyenesre.)

Sík ábrázolása 1. 2.

3. 4.

Sík ábrázolása

Három ponttal adott sík Metsző egyenespárral

adott sík

A sík bármilyen megadása esetén a síknak újabb

pontját, egyenesét lehet kijelölni!

Speciális helyzetű síkok

Fősíkok: Olyan síkok, melyek vagy az első, vagy a

második képsíkkal párhuzamos helyzetűek.

Vetítő síkok: A képsíkokra merőleges helyzetű

síkok.

Profilsíkok: Mindkét képsíkra merőleges síkok.

Vetítősíkok

Első vetítősík

A rá illeszkedő

egyeneseknek közös

az első képe.

Első fedőegyenesek

Közös vetítősíkban

lévő egyenesek,

vagyis az első képeik

egybeesnek.

Első vetítősík

Metsző

egyenespárral Egy ponttal és rá

nem illeszkedő

egyenessel

Párhuzamos

egyenespárral

Első vetítősík

Egy

főegyenessel és

egy

vetítőegyenessel

Egy

vetítőegyenessel

és egy rá nem

illeszkedő

ponttal

Három ponttal

Általános helyzetű síkok

Dőlt sík: Mindkét képen a

síknak ugyanazt az

oldalát látjuk.

Feszített sík: A két képen a

sík különböző oldalai

látszanak.