0?"

r~*~-.

DlSSEfcTATIO MATHEÄIÅTICA,DE

LINE1S CORVIS ,

ESECTIONIBUS CONICIS,

PER

ADDITLONEM VEI, SURTRACTIONEM COSINUS,DER1VATIS.

■ ■ ® 1®

QJJ A M

APPROBANTE AMPL. ORD. PHIL. UPS.p. P.

mag. JONAS J. BRÄNDSTRÖMASTRONOMIE DOCENS

ST3 P. PIP ER.

ET

CAROLUS SAMUELISFREDER, ZE1PELU PLAN DI.

IN AUDIT» GUSTAVIANO D, X DEC. MDCCCVIII.

H. C.

U.PSALUETYPIS EDMANNIANIS

IN S-ACR-AM REGIA KI MAJESTATEM

MAGN'JE FIDEI VIRO

GK NEROS IS Sl MO LIBERO BARON I

Tif

, 1AF

UPLANDORUM GUBERNATORI

REI G E O D iE TIC iE

DTRECTORI SUPREMO

REG. ORD. DE STELLA POLAR! CO M M ENDATO Rf

M MC E N A TI MA XIM O !

SA C R LT m

Debui, Voloi

CAROL. S. FR. VON ZEIPEL.

konungens trotjenabe

lieutenanten och brukspatronvälborne herr

samt dess fru

CHRIST. JUL vom ZElPELFÖDD % I ER VOGELj

Mine Huldaste For åldrar!Eder tillegnas dessa blad, såsom ett, ehuru ringa, offer

for Edra ouphorliga omforger, evigt dyrbara for

Eder

Iydigste So*

CARL S. FREDRIC,

©cI

EINEIS CUR VIS E SECTIQNTBUS CONICIS

PER

4DDITI0NEM VEL SUBTRACTIONEM COSINUS

DERIVATIS,

.rf~^jx quo Carte Hus Ålgetram In Geon\etria> non tantwnvulgatiorem fecerit, verum etiam primus, felicisfimo, quembucusque nemo fufpicarus erat, fuccesfu, illius' introduxeritufum; amplior patuit Änalyflis matte fin proinovendi aditcs,& innumerae ortse funt theoriam cuivarum comtemplandi fa-tiones. Non mirum igitur , fi materiein Se<3;ionum Conica-rum, qua rum latentes & exiinias propriefates, viri vere ma¬gni, poft vigiiias mulfas, fatis fuperque eruisfe videantur#amplius. &, quantum nobis quidtm conftat, novo fere revo*candam opinamur confpe&u. Eaium, quas lieic dare no¬bis propofuimus curvas, e Sedione quadam Conica per -addi¬tionem vel fubtradionem Cofinus oriundas, ab Ellipfi deriva-tas ordiamur, eas qusc Parabolam & Hyperbolam fpcdant itiproximam differen tes occafipnem.

1

T • • ". y L v

^Sit ABDE Eüipfis, «-cujus Gentium C efl abfcisi;nmi7 ■ origo>«■xis major AB zci^ minor B)Fl __ ib, .asquatio coordina-tarunj reiatiönetn etfprimens, erit y = — — iv2 , denotan-'

a

te x abfeisfam & y ordinatam. Si.vjam flngulis ordinal is veifinubus FX Ellipfis audantur correfpondeiites cojfinus vei ab-IcislcC CX zZ Fl , höva ctirva DGÉH generabi'ur, cujus aeqqa«

•' 'b • ii—1tio erit. z zzz— a2 —x2\ x-, quas fiånoi radicali reinotö ,

hane fimpHcem fufeipit fon-nam ; a2 (x —- z-)2 -f- b2.(x2—: a2)ztz o: /Neminem fugit, 'hane lineani ciirvani fecund i es fe ordi-

% nis i ',*8t quiciem Errpiln,* cfijns- pfoprietates, qiias " piurés & fin»gul åres funr, - i emqne datas cömmunes, pro moduio 'viriumfumus expofi'uri.

§■»• ' _

Sr ponamus x — o „ evadit z — + b, unde evidens efiEllipfin no va m per puncft D Si E, axis minoris exTema , foretranHruram. Ponamus deinde x zzz a erit z ^ a > ^vero x portafur > ~h ci. ordinata evadit imaginaria > exitide pa¬rtet , fi in punclis A & B erigantur perpendiculares AG, BB\

' • am«

) 3

^ambae äquales axis majoris dimidio AC, curvam in pnr.clis G Sc Hreverti vel retroire , ibique a perpendiculai ibus ipfis jfangi. Pun¬da K åc.L, ,-ubi. cjurva nova\axem majorem ftcer, faddime in-

abveniuntur: pofito enim z zz. o , ei it ~ + ~~ =:

\fa* -f_ bz •'BC.CD •

Jundis pundis B & D per redarn BD 9

yBCq+ CDqSc du da a centro linea Cl, BD pérpendiculari, habetur ob fi-militudinem triangulorum BCD , CDI, BC: BD : ; Cl: CD,five, BC. CD zz BD . Cl; & quum BD zz \/BCq-\- CDq,

^7?D TTevadit x; zz. -f~ ~ z~h

_ ' z: —f~C/.Si igitur\/BCq -4- DCq BD

centro C, Sc radio tequali Cl, elefcribatur circulus, erunt pun-da interfedionis K Sc L cum axe, in Ellipfi noya, qua; ideoper ipfa hxc punda tranfire debet. Hsec punda K Sc L , alioetiam modo, Sc quidem expeditiori determinantur. QuoniamAC zz AG, erit ordinata refponderts pundo JU, ubi QG Ei-liplin fecat, asqualis abfcisfie fua; got refpondénti ; ordinata veropuncto K refpondens, per genehm Eilipfis novas, etiam eritfuae abfcisfe a?qualis'; in EÜipfi vero qualibet, d*uae ordinata; dar inequcunf, quas ambse, ad eamdem partem fumtse, fuis asquaiesfuiit- abfcislis ; quapropter ordinata; pundis M Sc K refponden-tes coincidant necesfe eft, Sc fi a puncto M demittatur perpen-diculus MK, in pundum interfedionis K cadet, quod etiamde altero puncto L valet.

Per fubfidium ordinatarum ad punda M\ M' pertinentiumduo alia punda N, O, Eilipfis noftrae appofite habentur. FiatTangens AP zz AB axi majori , Sc producatur ordinata KM>usque dum occurrat jundä; iinesc CP, in pundo quodam . N,

■ A 2

} 4 I

quod pundunr in ipfa EJlipfl no va fitum er it quoniam - eninvliabemus, AC: AP :: CK: KN, eft KA =z iCK; In hoc ve-ro puncto efi CK = KM, ideoq.ue MA xxl CK. Quum jam ipfagenelis Eilipfis nofirse hoc idern requirit, ut fciiicet omnes ordi-natarum partes , inter ambas curvas , abfcisfas correfpodenti sequs-les finterit hoc punctum occurfus N in EUipfi jiova. Si' ea~dem peragitur ad ordinatam ML eonArudio-, akeium & corre-fponiens puudunr ocomfus Ohabetur.

Si inquiratur ubi cüiva nova dia tam interfécer, duo iterunrhabentur punda Q & R, per qua; curva tranfire debet. Quo»*iam in his pundis ordinatas a-d ambas Eilipfes äquales, funt^

b ; b —

erit z zzzx - — \faz — x2 ~ y — ~ \/a2— x2 , qua a>-a a ^

2 ab

quatione. foluta> habetur x: en 4; ■ • — zr Al. » \fa2 -+- 4 b 2'

ES . DEr completo paralelloeramo AE. Jundis vero-

VESq DE qD+&. S per Üneam redarn DS, & duda a pundo E lineaET, DS perpendiculari, habetur ob fimilitudinem frianguloruniDES & DET, ES: DS :: ET: DE, five ES. DE =

DS. ET; &, quum DS— ^ESq DEq, evadit x m +ES. IDE „ rj..

~

=r ± DS -ET — ± et,\/ESq -f- DEq: \ DS

Fadta igitur abfeisfa CU asquali ET, erigatur ordinataQU, ad quxfitum commune interfedionis pundum Q, invenien-dumi Eodem modo habetur akerum pundum j?3 faciendoabfeisfam CU' äqualem, eidem ET.

. ' Ipfa

) s C

Jpfa cur va Ellipfis eft adeo modo, quem exhibuimus, de-terminata puntåis D, N\ G, Q, K, jE, O, /f, i?, L, quaeiuiit cardinaJia, ideoque circumfcrentiam Ellipfis confiituunk

§. nr.Quoniam AG ti1 Tangens curva?, in extremo diametri

GH) Sc quidem CD parallella , crunt DE, GH diametri con-• jugatte, quaruin illa zzz 2b, hsec vero ~ 2flj/'2j quare , cum

angulum temiretflum Sc longitudo Sc pofitio harum dia¬metrorum efi determiisata. Datis jam Iiis duabus conjugatisCD, CG, quas angulum obliquum DCG sr: q confiituunt, duaSalias femidiametros conjugatas, angulum recfium comprehenden-tes, vel quod idem efls duas conjugatas orthogonales, quae.axes dicuntur,. reperire labor erit- Si harum axium majo¬ris dimidium vocetur A, minoris vero B, e theoria curva-rrtra habemus A- -f- B2 — CDq-jr CGq, Sc A. B =z CD\CG,

CD . CG . Sin. qSin. q, quoniam asquat fuperficiem triangijliCDG, fumma vero quadratorum binarum diametrorum conjuga-tarum, öc quidem paraleliograma fuper easdem defcripta, femperquantitates funt confiantes. Ex his erit, ii priori sequationi addaturpofleiior elupplicata, radicem fcilicet quadraticam extrahendo;;

A -4- B —. ^CDq -{- 2 CD • CG. Sin. q -p CGq jSc fi a priori fubtrahatur poAtrior dupplicata, ejusdem radicisope habetur :

A — B rr: \fCDq — 2 CD . CG . Sin. q -+- CGqmodo vulgari deinde, dimidio fummie addendo vel fubtrahendodimidium differentias, obtinentur dimidia ambarum axium ,, quaeaimirum fequuntur:

A z=. ^ VCDq -f- 2 CD . CG Sin. q -f- CGq ,

<+ iVCDq; -yCDXGSin.q + CGqrB

JS zzz *5 *\/CDq —J— zCD .CG , Sin. q —f— CGq— ^yCPq.-~ iCD.CG . Sm~qi~\~~CGq — ;

^*15 I* 'Quoniam q angulus eA fenuredus, et it Sin. qz=z- , CD vero

% . JA) V2fcimus b, & CG a\/2 fTi igiiur Iii debiti v a i ores fubAi-tuantur, novi & ultimi emergunt valöres axium A & i?, peraxes EUipfis datas a di b expresli, fciiicet:

A — \ (o-H ^')2 ~+- ß2 •+ ^\/— &)2 + ß2, &B = £ v^ß Hh % -f-«2 — I V «*— £)2 -b ß2.

Ex bis datis _vnjotibus„ iongitujo axium Gebmetrice etb mdeferminari poteÄ. Gmnpleto pardeltogramo' AV, & jundisGE & GD, eiit [n -f i)2r= GS$r, & _(« — b )2' — E>Vq,quare, debitå^£ubAirunoneemergat iiecesfe' eA

GJE-+- GD *»> . GE -— GZ)A 1— - ~ 7~* & J5 ' —tt—•

2

axium iterum fummi\ A -+• B.z=z GE, axium vero diAerentiaA — B — GD. ' ■

EA, ut fupra diximus, A. B = CD GG. Sin DCG\ A: . ■ * 't *. w '* "

valöres refpedivi a\f 2, loco C£), CG, & 5/'«. OCGV2

ponuntur, lvabemus A. B ^2 a.C, ^uiide paret redangulum axiumnovas Eilipfis, åsquaie esfe redangu'cf«-axium darrende quo etiunconvincimur, valöres pro A & B fupra inveatos multiplicando.

tflfi K i . g. IV. • •

Longitudine axium jun data, per défcripfiQiiem earumgeometricam, ipfv poAtio quidem habetur,' fed/prséltet tarnen in.quirere, qualis-Jlt rqrgulus-,' quem *axfswnova ,cum data faeeredebet. Ut. höc Aat, At ab axis i$gjor, & cd axis minor 5 pro-

du-

') 7 C

. • -* Svi * iducatur axis major Ca, usqne dum occurrat Tangenti AG produ¬cta, in puncto quodam m, &. ex G in Cm demittatur perpendiculusGh. V-ocetur angulus ACh, quem invenire oportet angulusAC ~r p & angulus ACG~ GCD. zzzq. Quoniam CmG zzz DChzz GCD- ' Ch rr ACG -GChzzzq -p, enr Sin.CmG ~ Sin. (q-p);oc quum Sin. CG'm db Sin. AGC ~ Sin ACG — Sin. q, habe¬tur in trianguio C GM, Sin. CmG : Sin. CGm — Sin. (q—p):

CG. Sin, qSin q —: CG: Cm ss - —- —c-ft vero , e natura Ellipfis,1 Sin .{q—p) t*

Caq Caq . 'Sin. (q-p)Ch = ——, unde Chzzz1——— > ex. proprietate veroCm' CG. Sin. q.

trianguli CGh, tA i : Cofp — CG : Chzzz CG:Caq. Sin. (q -p)

CG,. Sin. q.Si exirfde Caq . Sin. (q —pj zzz CGq . Sin. q . Cof.p ; quumvero Sin . (q — pj — Sin. q . Cof. p — Sin. p « Cof. q, ha-bemus, hoc valöre fubftituto, Caq. Sin. q. Cof p — Caq Sin.p . Cof q = CGq . Sin q . Cof p, & deinde (Caq sCGq ).Sin. q . Cof.p zzz Caq . Sin. p . Cof. q'.. CIve, ope divifo-

Caq - CGq Sin. q Sin pris, Caq Cof.p. Cof q, — & ulti-

Caq Loj q Loj. p-Sin. q . Sin. p

nio valoribus, Tang.qzz: ~ —, Tang p zzz — p—, in fubfidiumCof q Cof. p

vocatis, emergit Tang, pCaq —CGq

Caq. Tang. q. Eft vero

P' zzz GCh — ACh - ACG ~ y - q & Tang, p ~ Tang, (y - q)Tang, y— Tang, q Caq—CGq ' '

= " = p—— . Tang, q; Si hasc Tolva-*—jL i ang. y. I ang.q Laq

tur sequatio, modo vulgari elicifur; *(2 Caq — CGq). Tang: q

Tang, y ~Caq -f- (CGq - Caq), Tang3-, q.

, &, quoniam fu-pra

8 {

pra obfervavimus Ca zzz A, CG Tang. /7 = 1, habe»mus ultimum reqaifitum valorem:

A2 —a2 (A a) . (A -f- ci)Tang, y = — = — .

a2 a2

Sjmplicior vix ac ne vix quidem hic defidera tur valör, nifi,pr»o^fu quodam ipecialij relatio in:er axes .a & i? fit data,

f v-Ut fitus focorum <p t <$ babeatur, obfervare fat erit, A &

B dimidia axium denotantibus , e natura Eilipfis esfe C(p = C(p'—B* , &, v:ilocibus fnpra chitis, infertis, obtinttui:

OjJs±-h GD — GE— GD _= ± y/GE.GD;

unde patet diftantiam focorum a cent ro aequalem esfe mediasprqportionali inter GE & GD,, quas media proportional«, perelementa, fine ullo negotio reperitur.

Quonlam fupra demonfirafum efi esfe redangula axiumäsqualia, five A.Bzza.b, erunt medias proportionales iateraxes ambarum Ellipfium äquales, ideoque etiam rpfae area:, qua:asquant circuios, radio his mediis proportionalibus asquali, de-fcriptos. Area Ellipfis data: efi idco asqualis area: Eilipfisnovas, ex quo deinde fequitur, quattuor ifias luuulas DaQ, REbtDBRd, AEcQy esfe aequales.

zzf— \fa*—xz. dx -f-—, ande patef, k »mbx cnrvx aiM

CBM'

Quoaiam z s; — —x*-\- x, erit area Eilipfis fzdxa v

) 9 C

eamdem diametrum AB referahtur, areas eide-m abfcisfe refpot*dentes, revera differre dimidio qua d rat i abfcisia* , & esfe igitur,

CX1 FT2exempli gratia, DI T lunulam zzz- > & DMN.2 -2/

CK2 MN*

a .2,

§• vi.

Quales fint anguli Tangentium ad prxcipua bujusmodi cur-varum punda, hand abs re erir inquirere. Condpiatur tångensqusedam ad pundum T duda, & vocenfur anguli, quos tångenscum lir.ea abfcisf-rum AB, & ordinata quadam XT faciat,

zdx dz zdxß Sc T habetur .z = i: Tang, ß zz. —, <5c .z : ——} dz dx dz

dxzzz z : Tang. $ zu —. Si difFerentietur aequatio curvse derivatac,,dz

bx

provenit dz zz (i Zp ). dx, å deinde Tang, ß zz:a\ra'' — x-

zzz i ip ~ , & Tang. $ zz ^ zzz i -+*.dx a\/a'1—- x* dz

bx. Ha rum formularum ope tangcntes angu-

a^I ' bxlorum ß <Sc <£, od quodeunqun curvae pundum, (ine ullo nego¬tio deteguntur. Oblervari tarnen oportet, fignum fuperius esfeadhibendum, II caJculus inftituatur in pundum cujus ordinata,ad diametrum AB rclata, e pofitiva Eilipfis datse ordinata iitorta, alias vero inferius, Ii fciiicet e negativa provenerit ordina¬ta, quod paucis exponere fas eft exemplis.

£ Quo -

) ti C

DT 2 DTlotes Tangmtis ßzzz i 4* ^ f -f ■> quemcümque pö-

& S /

tius velimus, fi-ve per parfes iineaö DS, vel lin t se BD expres-fum. Eisdeni abfeisfis CU, CU' duo alia refpondent pundaq <Jfe r, pro qnibus, eadem via, duo diverfi obtinentur valöres1

DT 2 DIexprimentes Tmgmtem ß = i — ——r:='i jg/"

abQuoniam deiede abfcisfse CK> CL jfuat sr:

-yte2 -|- b*Baud disfimili modo habetur in pundis K St L y Tang. /3 =rfite o2 v DEq CDq7- rr: i 4- ■— r= i —_—== 1 -f -^r > ope vero valorum,tpf" ß2 qö/if BCqper fimilitudinem trianguioiu-m nuperrime-didam, provenientium,

DTeoncinniores Ila bentur expresfiones Tangeniis ß m 1 4- —-

4 5 iDl

3-1 + ——. Erédem abfcisfse C7T, CL, duobus aliis etiam

refpondent pundis N, Ö, pro quibus fequentes habentür valo-DT DI

res, fe i licet Tang, ß ~ i — - — 1 — ——.40 l JU

Quas in hac paragrapho exhibuimus Tangentes-, eorum tan-fum hueusque fuere anguiorum, quos Tangentes curvas, cumlinea abfcisiarum Bl B faciunt; ex vc-ro, quas oiliifnr.us, angu¬iorum fcilicet o, quos tangentes cum ordinatis facere debtnt,eodein modo expeditislTmo, per alferam datam deducuntur for-mulam. Unumquemque hunc inflituentem calculutn fugereaequit, valöres, qtui pro eisdem pundis oriuntur, easdem esfe

fra-

) 12 (

fradiones, Ted converfas , vel quod eodem redir, cotangentesesfe angulorum ß, quod eti«m, fine ulteriori quodam calculo,patebit.

Ex hac tangenrium qusefitarum pro punrtis Q, i?, q, r%K, L, N, O, & quotcunquc de cerero voiueiis , ad unirateinratione, fat fuperque liquet, anguios ipfos, quos horum pundio-rum fangenfes, cum linea abfciskrum vei ordiriatis faciunt, de-teriuinationem pati Geometricam.

Obfervationum noflrarum heic cogimur abrumpere filum,éorum quse reftant, notmalium , curvdtura?, & qua? reliqua fint,expofirioneui, benigoiori refervantes oceafioni. Corouidis iocoobiter indicasfe fufficiat, curvam per fubtradlionem Cofinus abEilipfi orituram, eamdtm omniuo esle, fed pofitione tantuma jam expofita differre.