Brands math

คณตศาสตร (2)_______________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2010

เซต เซตจากด คอ เซตทสามารถระบจานวนสมาชกได เซตอนนต คอ เซตทมจานวนสมาชกมากมาย เซตวาง คอ เซตทไมมสมาชก หรอมจานวนสมาชกเปนศนย เขยนแทนดวย φ หรอ { } ตวอยางท 1 ให A เปนเซตจากด และ B เปนเซตอนนต ขอความใดตอไปนเปนเทจ 1) มเซตจากดทเปนสบเซตของ A 2) มเซตจากดทเปนสบเซตของ B *3) มเซตอนนตทเปนสบเซตของ A 4) มเซตอนนตทเปนสบเซตของ B จานวนสมาชกของเซตจากด ให n(A) แทนจานวนสมาชกของเซต A 1. n(U) = n(A) + n(A′) 2. n(AU B) = n(A) + n(B) - n(AI B) 3. n(AU BU C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(AI B) - n(AI C) - n(BI C) + n(AI BI C) 4. n(A - B) = n(A) - n(AI B)

โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2010 _______________________________ คณตศาสตร (3)

ตวอยางท 2 ถากาหนดจานวนสมาชกของเซตตางๆ ตามตารางตอไปน

เซต AU B AU C BU C AU BU C AI BI C จานวนสมาชก 25 27 26 30 7

แลวจานวนสมาชกของ (AI B)U C เทากบขอใดตอไปน *1) 23 2) 24 3) 25 4) 26 ตวอยางท 3 นกเรยนกลมหนงจานวน 46 คน แตละคนมเสอสเหลองหรอเสอสฟาอยางนอยสละหนงตว ถา

นกเรยน 39 คนมเสอสเหลอง และ 19 คนมเสอสฟา แลวนกเรยนกลมนทมทงเสอสเหลองและเสอ สฟามจานวนเทากบขอใดตอไปน

1) 9 2) 10 3) 11 *4) 12 ตวอยางท 4 นกเรยนกลมหนงจานวน 50 คน ม 32 คน ไมชอบเลนกฬาและไมชอบฟงเพลง ถาม 6 คน ชอบฟง

เพลงแตไมชอบเลนกฬา และม 1 คน ชอบเลนกฬาแตไมชอบฟงเพลง แลวนกเรยนในกลมนทชอบเลนกฬาและชอบฟงเพลงมจานวนเทากบขอใดตอไปน

*1) 11 คน 2) 12 คน 3) 17 คน 4) 18 คน ตวอยางท 5 กาหนดให A และ B เปนเซต ซง n(AU B) = 88 และ n[(A - B)U (B - A)] = 76

ถา n(A) = 45 แลว n(B) เทากบขอใดตอไปน 1) 45 2) 48 3) 53 *4) 55


ตวอยางท 6 ในการสอบถามพอบานจานวน 300 คน พบวามคนทไมดมทงชาและกาแฟ 100 คน มคนทดมชา 100 คน และมคนทดมกาแฟ 150 คน พอบานทดมทงชาและกาแฟมจานวนเทาใด (ตอบ 50 คน)

สบเซต บทนยาม เซต A เปนสบเซตของเซต B กตอเมอสมาชกทกตวของเซต A เปนสมาชกของเซต B และ

เขยนเปนสญลกษณ คอ A ⊂ B ตวอยางท 7 ให A = {1, 2} และ B = {1, 2, 3, 4, 5} เนองจากสมาชกของเซต A ทกตวเปนสมาชกของ

เซต B ดงนน A ⊂ B เพาเวอรเซต บทนยาม เพาเวอรเซตของเซต A คอ เซตทมสมาชกเปนสบเซตทงหมดของเซต A เขยนแทนดวย P(A) ตวอยางท 8 ให A = {1, 2, 3} จะไดสบเซตทงหมดของ A ไดแก φ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} P(A) = {φ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} สมบตของสบเซตและเพาเวอรเซต 1. φ เปนสบเซตของเซตทกเซต 2. φ เปนสมาชกของเพาเวอรเซตเสมอ 3. A ⊂ A 4. A ∈ P(A) 5. ถา A ⊂ B แลว P(A) ⊂ P(B) 6. จานวนสบเซตของเซต A ทงหมดเทากบ 2n(A) 7. จานวนสมาชกของ P(A) ทงหมดเทากบ 2n(A)


การดาเนนการทางเซต 1. ยเนยน เซต A ยเนยนกบเซต B คอ เซตทมสมาชกเปนสมาชกของเซต A หรอเซต B เขยนแทนดวย AU B 2. อนเตอรเซกชน เซต A อนเตอรเซกชนกบเซต B คอ เซตทมสมาชกเปนสมาชกของเซต A และเซต B เขยนแทนดวย AI B 3. ผลตาง ผลตางของ A และ B คอ เซตทมสมาชกในเซต A แตไมเปนสมาชกในเซต B เขยนแทนดวย A - B 4. คอมพลเมนต ถา A เปนเซตเซตใดในเอกภพสมพนธ U แลว คอมพลเมนตของเซต A คอ เซตทมสมาชกเปนสมาชกของ U แตไมเปนสมาชกของ A เขยนแทนดวย A′ ตวอยางท 9 กาหนดให U = {1, 2, 3, ..., 10} A = {1, 2, 4, 8} B = {2, 4, 6, 10} จะได AU B = {1, 2, 4, 6, 8, 10} AI B = {2, 4} A - B = {1, 8} B - A = {6, 10} A′ = {3, 5, 6, 7, 9, 10} และ B′ = {1, 3, 5, 7, 8, 9} ตวอยางท 10 ถา A - B = {2, 4, 6}, B - A = {0, 1, 3} และ AU B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} แลว AI B เปนสบเซตในขอใดตอไปน 1) {0, 1, 4, 5, 6, 7} 2) {1, 2, 4, 5, 6, 8} *3) {0, 1, 3, 5, 7, 8} 4) {0, 2, 4, 5, 6, 8}


การใหเหตผล การใหเหตผลทางคณตศาสตรทสาคญมอย 2 วธ ไดแก 1. การใหเหตผลแบบอปนย (Inductive Reasoning) หมายถง วธการสรปผลในการคนหาความจรง จากการสงเกตหรอการทดลองหลายๆ ครงจากกรณยอยแลวนามาสรปเปนความรแบบทวไป 2. การใหเหตผลแบบนรนย (Deductive Reasoning) หมายถง วธการสรปขอเทจจรงโดยการนาความรพนฐาน ความเชอ ขอตกลง หรอบทนยาม ซงเปนสงทรมากอนและยอมรบวาเปนจรง เพอหาเหตผลนาไปสขอสรป ตวอยางท 1 จงพจารณาการใหเหตผลตอไปนเปนการใหเหตผลแบบอปนยหรอนรนย 1) เหต 1. นทชอบทานไอศกรม 2. แนทชอบทานไอศกรม ผล เดกทกคนชอบทานไอศกรม 2) เหต 1. เดกทกคนชอบทานไอศกรม 2. แนทเปนเดก ผล แนทชอบทานไอศกรม ตวอยางท 2 จงหาคา a จากแบบรปของจานวนทกาหนดให 1, 4, 9, 16, 25, a 2, 4, 8, 16, 32, a ความสมเหตสมผล สวนประกอบของการใหเหตผล การตรวจสอบความสมเหตสมผลโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร 1. a เปนสมาชกของ A 2. a ไมเปนสมาชกของ A


3. สมาชกทกตวของ A เปนสมาชกของ B 4. ไมมสมาชกตวใดใน A เปนสมาชกของ B 5. สมาชกบางตวของ A เปนสมาชกของ B 6. สมาชกบางตวของ A ไมเปนสมาชกของ B ตวอยางท 3 กาหนดเหตใหดงตอไปน เหต ก. ทกจงหวดทอยไกลจากกรงเทพมหานครเปนจงหวดทมอากาศด ข. เชยงใหมเปนจงหวดทมอากาศไมด ขอสรปในขอใดตอไปนสมเหตสมผล *1) เชยงใหมเปนจงหวดทอยไมไกลจากกรงเทพมหานคร 2) นราธวาสเปนจงหวดทอยไมไกลจากกรงเทพมหานคร 3) เชยงใหมเปนจงหวดทอยไกลจากกรงเทพมหานคร 4) นราธวาสเปนจงหวดทอยไกลจากกรงเทพมหานคร ตวอยางท 4 จงพจารณาขอความตอไปน 1. คนตกอลฟทกคนเปนคนสายตาด 2. คนทตกอลฟไดไกลกวา 300 หลา บางคน เปนคนสายตาด 3. ธงชยตกอลฟเกงแตตไดไมไกลกวา 300 หลา แผนภาพในขอใดตอไปน มความเปนไปไดทจะสอดคลองกบขอความทงสามขางตน เมอจดแทนธงชย

1) 2) *3) 4)


ตวอยางท 5 จากแบบรปตอไปน

1 2 47

2 4 814

3 6 1221

. . . a b c77

โดยการใหเหตผลแบบอปนย 2a - b + c มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 11 2) 22 3) 33 *4) 44 ตวอยางท 6 พจารณาขอความตอไปน ก. นกกฬาทกคนมสขภาพด ข. คนทมสขภาพดบางคนเปนคนด ค. ภราดรเปนนกกฬา และเปนคนด แผนภาพในขอใดตอไปน มความเปนไปไดทจะสอดคลองกบขอความทงสามขอขางตน เมอจดแทนภราดร

1) 2)

3) *4)

ตวอยางท 7 เหต 1. ไมมคนขยนคนใดเปนคนตกงาน 2. มคนตกงานทเปนคนใชเงนเกง 3. มคนขยนทไมเปนคนใชเงนเกง ผล ในขอใดตอไปนทเปนการสรปผลจากเหตขางตนทเปนไปอยางสมเหตสมผล 1) มคนขยนทเปนคนใชเงนเกง *2) มคนใชเงนเกงทเปนคนตกงาน 3) มคนใชเงนเกงทเปนคนขยน 4) มคนตกงานทเปนคนขยน


ระบบจานวนจรง

แผนผงแสดงความสมพนธของระบบจานวน

จานวนเชงซอน

จานวนจนตภาพจานวนจรง (R)

จานวนอตรรกยะ (Q′) จานวนตรรกยะ (Q)

จานวนตรรกยะ (I′) ทไมใชจานวนเตม จานวนเตม (I)

จานวนเตมลบ (I-)จานวนเตมศนย (I0)

จานวนเตมบวก (I+) (จานวนนบ) (N)

จานวนอตรรกยะ หมายถง จานวนทไมสามารถเขยนใหอยในรปเศษสวนของจานวนเตม หรอทศนยม ซาได เชน 2 , 5 , - 3 , π, 2.17254... เปนตน จานวนตรรกยะ หมายถง จานวนทสามารถเขยนในรปเศษสวนของจานวนเตมได ตวอยางท 1 พจารณาขอความตอไปน ก. มจานวนตรรกยะทนอยทสดทมากกวา 0 ข. มจานวนอตรรกยะทนอยทสดทมากกวา 0 ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ผด 2) ก. และ ข. ถก 3) ก. ผด และ ข. ถก *4) ก. และ ข. ผด ตวอยางท 2 กาหนดใหคาประมาณทถกตองถงทศนยมตาแหนงท 3 ของ 3 และ 5 คอ 1.732 และ

2.236 ตามลาดบ พจารณาขอความตอไปน ก. 2.235 + 1.731 ≤ 5 + 3 ≤ 2.237 + 1.733 ข. 2.235 - 1.731 ≤ 5 - 3 ≤ 2.237 - 1.733 ขอสรปใดตอไปนถกตอง *1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด

คณตศาสตร (10)______________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2010

สมบตของจานวนจรง 1. สมบตการเทากนของจานวนจรง กาหนดให a, b, c ∈ R 1) สมบตการสะทอน a = a 2) สมบตการสมมาตร ถา a = b แลว b = a 3) สมบตการถายทอด ถา a = b และ b = c แลว a = c 4) สมบตการบวกดวยจานวนทเทากน ถา a = b แลว a + c = b + c 5) สมบตการคณดวยจานวนทเทากน ถา a = b แลว a + c = b + c 2. สมบตของจานวนจรงเกยวกบพชคณต กาหนดให a, b, c ∈ R

สมบต สมบตของการบวก สมบตของการคณ สมบตปด a + b ∈ R a ⋅ b ∈ R สมบตการสลบท a + b = b + a a ⋅ b = b ⋅ a สมบตการเปลยนกลม a + (b + c) = (a + b) + c a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c สมบตการมเอกลกษณ ม 0 เปนเอกลกษณการบวก

ซง 0 + a = a = a + 0 ม 1 เปนเอกลกษณการคณ ซง 1 ⋅ a = a = a ⋅ 1

สมบตการมอนเวอรส สาหรบจานวนจรง a มจานวนจรง -a ท (-a) + a = 0 = a + (-a)

สาหรบจานวนจรง a ท a ≠ 0 จะม a-1 ท a ⋅ a-1 = a-1 ⋅ a = 1

สมบตการแจกแจง a(b + c) = ab + ac ตวอยางท 3 ให a และ b เปนจานวนตรรกยะทแตกตางกน c และ d เปนจานวนอตรรกยะทแตกตางกน พจารณาขอความตอไปน ก. a - b เปนจานวนตรรกยะ ข. c - d เปนจานวนอตรรกยะ ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) ก. และ ข. ถก *2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด

โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณตศาสตร (11)

ตวอยางท 4 พจารณาขอความตอไปน ก. สมบตการมอนเวอรสการบวกของจานวนจรง b ท b + a = 0 = a + b ข. สมบตการมอนเวอรสการคณของจานวนจรงกลาววา สาหรบจานวนจรง a จะมจานวนจรง b

ท ba = 1 = ab ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) ก. และ ข. ถก *2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด ทบทวนสตร 1. กาลงสองสมบรณ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 2. กาลงสามสมบรณ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3a2b - b3 3. ผลตางกาลงสอง a2 - b2 = (a - b)(a + b) 4. ผลตางกาลงสาม a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) จากสมการพหนามกาลงสอง ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b และ c เปนคาคงท, a ≠ 0

จะได x = 2a 4ac b b 2 -- ±

ถา b2 - 4ac > 0 แลว x จะม 2 คาตอบ ถา b2 - 4ac = 0 แลว x จะม 1 คาตอบ ถา b2 - 4ac < 0 แลว x จะไมมคาตอบทเปนจานวนจรง

สมบตของอสมการ ให a, b และ c เปนจานวนจรง 1. สมบตการถายทอด ถา a > b และ b > c แลว a > c 2. สมบตการบวกดวยจานวนจรงทเทากน ถา a > b แลว a + c > b + c 3. สมบตการคณดวยจานวนทเทากน ถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc ถา a > b และ c < 0 แลว ac < bc 4. ให a และ b เปนจานวนจรง จาก a < x < b จะได a < x และ x < b ชวงของจานวนจรง ให a และ b เปนจานวนจรง และ a < b 1. (a, b) = {x|a < x < b} เสนจานวน คอ a b

2. [a, b] = {x|a ≤ x ≤ b} เสนจานวน คอ a b

3. (a, b] = {x|a < x ≤ b} เสนจานวน คอ a b

4. [a, b) = {x|a ≤ x < b} เสนจานวน คอ a b

5. (-∞, a) = {x|x < a} เสนจานวน คอ a

6. [a, ∞) = {x|x ≥ a} เสนจานวน คอ a

ตวอยางท 5 ตองการลอมรวรอบทดนรปสเหลยมผนผาซงมพนท 65 ตารางวา โดยดานยาวของทดนยาวกวาสองเทาของ

ดานกวางอย 3 วา จะตองใชรวทมความยาวเทากบขอใดตอไปน 1) 30 วา *2) 36 วา 3) 42 วา 4) 48 วา


ตวอยางท 6 เมอเขยนกราฟของ y = ax2 + bx + c โดยท a ≠ 0 เพอหาคาตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0 กราฟในขอใดตอไปนแสดงวาสมการไมมคาตอบทเปนจานวนจรง

1)

y

x50

5

-5

-5

2)

y

x50

5

-5

-5

3)

y

x50

5

-5

-5

*4)

y

x50

5

-5

-5

ตวอยางท 7 แมคานาเมลดมะมวงหมพานต 1 กโลกรม ถวลสง 3 กโลกรม และเมลดฟกทอง 4 กโลกรม มาผสมกน

แลวแบงใสถง ถงละ 100 กรม ถาแมคาซอเมลดมะมวงหมพานต ถวลสง และเมลดฟกทองมาในราคากโลกรมละ 250 บาท 50 บาท และ 100 บาท ตามลาดบ แลวแมคาจะตองขายเมลดพชผสมถงละ 100 กรมน ในราคาเทากบขอใดตอไปนจงจะไดกาไร 20% เมอขายหมด

1) 10 บาท *2) 12 บาท 3) 14 บาท 4) 16 บาท

ตวอยางท 8 เซตคาตอบของอสมการ -1 ≤ 2 + 21

x-

≤ 1 คอเซตในขอใดตอไปน

1) [ 2 - 1, 1] 2) [ 2 - 1, 2] *3) [3 - 2 2 , 1] 4) [3 - 2 2 , 2] คาสมบรณ บทนยาม ให a เปนจานวนจรง

|a| =

<

≥

0 a เมอ a0 a เมอ a

-

ทฤษฎบทเกยวกบคาสมบรณ 1. |x| = a กตอเมอ x = a หรอ x = -a 2. ให a เปนจานวนจรงบวก |x| < a กตอเมอ -a < x < a |x| ≤ a กตอเมอ -a ≤ x ≤ a |x| > a กตอเมอ x < -a หรอ x > a |x| ≥ a กตอเมอ x ≤ -a หรอ x ≥ a ตวอยางท 9 พจารณาสมการ |x - 7| = 6 ขอสรปใดตอไปนเปนเทจ 1) คาตอบหนงของสมการมคาระหวาง 10 และ 15 2) ผลบวกของคาตอบทงหมดของสมการมคาเทากบ 14 *3) สมการนมคาตอบมากกวา 2 คาตอบ 4) ในบรรดาคาตอบทงหมดของสมการ คาตอบทมคานอยทสดมคานอยกวา 3


ตวอยางท 10 จานวนสมาชกของเซต

+= 0 เทากบรงซงไมเปนจานวนจ a เมอ a

1 |a| |a|1 a x x 22

--

เทากบขอใดตอไปน 1) 1 *2) 2 3) 3 4) มากกวาหรอเทากบ 4

ตวอยางท 11 ผลบวกของคาตอบทกคาตอบของสมการ x3 - 2x = |x| เทากบขอใดตอไปน 1) 0 2) 3 *3) 3 - 1 4) 3 + 1


ความสมพนธและฟงกชน ผลคณคารทเชยน กาหนดให A และ B เปนเซตใดๆ ผลคณคารทเชยนของ A และ B คอ A × B = {(a, b)|a ∈ A และ b ∈ B} เชน ให A = {1, 2} และ B = {a, b, c} จะได A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)} B × A = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)} สมบตของผลคณคารทเชยน ให A, B และ C เปนเซตใดๆ 1. A × φ = φ × A = φ 2. A × B ≠ B × A 3. n(A × B) = n(A) × n(B) 4. A × (BU C) = (A × B)U (A × C) (BU C) × A = (B × A)U (C × A) 5. A × (BI C) = (A × B)I (A × C) (BI C) × A = (B × A)I (C × A) ตวอยางท 1 กาหนดให A = {1, 2} และ B = {a, b} คอนดบในขอใดตอไปนเปนสมาชกของผลคณคารทเชยน A × B * 1) (2, b) 2) (b, a) 3) (a, 1) 4) (1, 2) ความสมพนธ คอ เซตของคอนดบทเกยวของกนตามเงอนไขทกาหนดและเปนสบเซตของผลคณคารทเชยน กาหนดให A และ B เปนเซตใดๆ r เปนความสมพนธจาก A ไป B เขยนแทนดวย r ⊂ A × B r เปนความสมพนธใน A เขยนแทนดวย r ⊂ A × A *จานวนความสมพนธทงหมดจาก A ไป B เทากบ 2n(A)×n(B)


ตวอยางท 2 กาหนดให A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {1, 2, 3, ... , 11, 12} S =

+=×∈ 2a 2a b B A b)(a,

จานวนสมาชกของเซต S เทากบขอใดตอไปน 1) 1 * 2) 2 3) 3 4) 4 ตวอยางท 3 ถา A = {1, 2, 3, 4} และ r = {(m, n) ∈ A × A | m ≤ n} แลวจานวนสมาชกในความสมพนธ r

เทากบขอใดตอไปน 1) 8 * 2) 10 3) 12 4) 16 โดเมนของ r เขยนแทนดวย Dr คอ เซตของสมาชกตวหนาของคอนดบทงหมดใน r สญลกษณ คอ

Dr = {x|(x, y) ∈ r} เรนจของ r เขยนแทนดวย Rr คอ เซตของสมาชกตวหลงของคอนดบทงหมดใน r สญลกษณ คอ

Rr = {y|(x, y) ∈ r} เชน จาก r = {(-2, 4), (-1, 1), (1, 1)} จะได Dr = {-2, -1, 1} และ Rr = {1, 4} การหาโดเมนและเรนจของความสมพนธของ r ⊂ R × R 1. โดเมน หาโดยจดรปสมการเปน y ในรปของ x และพจารณาวา x สามารถเปนจานวนจรงใดไดบาง

ทสามารถหาคา y ทเปนจานวนจรงได 2. เรนจ หาโดยจดรปสมการเปน x ในรปของ y และพจารณาวา y สามารถเปนจานวนจรงใดไดบาง ฟงกชน คอ ความสมพนธทคอนดบทกๆ ตวในความสมพนธ ถาสมาชกตวหนาของคอนดบสองคเทากนแลวสมาชกตวหลงของทงสองคอนดบตองเทากนดวย นนคอ r เปนฟงกชนกตอเมอ ถา (x, y) ∈ r และ (x, z) ∈ r แลว y = z r ไมเปนฟงกชนกตอเมอ ม (x, y) ∈ r และ (x, z) ∈ r ซง y ≠ z


การตรวจสอบฟงกชน 1. กรณ r เขยนแบบแจกแจงสมาชก ถามสมาชกตวหนาของคอนดบ ซงเปนสมาชกใน r จบคกบสมาชกตวหลงของคอนดบมากกวา 1 ตวขนไป r ไมเปนฟงกชน เชน r1 = {(a, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 4)} จะได r1 ไมเปนฟงกชน เพราะ b จบคกบ 2 และ 3 r2 = {(p, 2), (q, 4), (r, 6)} จะได r2 เปนฟงกชน เพราะสมาชกตวหนาของคอนดบทกตวจบคกบสมาชกตวหลงเพยงตวเดยวเทานน 2. กรณ r วาดเปนรปกราฟ ใหลากเสนตรงตงฉากกบแกน x ถามกรณทเสนตรงทลากตงฉากกบแกน x ตดกบกราฟของ r เกนเกน 1 จดขนไป r ไมเปนฟงกชน เชน เนองจากมกรณทเสนตรงทตงฉากกบแกน x ตดกบกราฟ r

เกน 1 จด ดงนน r1 ไมเปนฟงกชน

เนองจากไมมกรณทเสนตรงทตงฉากกบแกน x ตดกบกราฟ

r เกน 1 จด ดงนน r2 เปนฟงกชน

ตวอยางท 4 จานวนในขอใดตอไปนเปนสมาชกของโดเมนของฟงกชน f = (x, y)|y =

2 3x xx

2 ++ +

1x12x

2 --

1) -2 2) -1 * 3) 0 4) 1

y r1

x

y

r2

x

ตวอยางท 5 ให A = {1, 99} ความสมพนธใน A ในขอใดไมเปนฟงกชน 1) เทากบ 2) ไมเทากบ * 3) หารลงตว 4) หารไมลงตว ตวอยางท 6 จากความสมพนธ r ทแสดงดวยกราฟดงรป

1 2

y

x30

123

-3 -2 -1

-3-2-1

ขอใดตอไปนถกตอง 1) r เปนฟงกชนเพราะ (1, 1), (2, 2) และ (3, 3) อยในแนวเสนตรงเดยวกน 2) r เปนฟงกชนเพราะมจานวนจดเปนจานวนจากด * 3) r ไมเปนฟงกชนเพราะมจด (3, 3) และ (3, -1) อยบนกราฟ 4) r ไมเปนฟงกชนเพราะมจด (1, 1) และ (-1, 1) อยบนกราฟ ฟงกชนประเภทตางๆ ฟงกชนเชงเสน (Linear Function) คอ ฟงกชนทอยในรป f(x) = ax + b เมอ a, b ∈ R ฟงกชนคงท (Constant Function) คอ ฟงกชนเชงเสนทม a = 0 กราฟของฟงกชนจะเปนเสนตรงขนานกบแกน X ฟงกชนกาลงสอง (Quadratic Function) คอ ฟงกชนทอยในรป f(x) = ax2 + bx + c เมอ a, b, c ∈ R และ a ≠ 0 ถา a > 0 กราฟหงาย มจดวกกลบเปนจดตาสดของฟงกชน และถา a < 0 กราฟควา มจดวกกลบเปนจดสงสดของฟงกชน

ถารปทวไปของสมการ คอ f(x) = ax2 + bx + c เมอ a, b, c ∈ R จดวกกลบอยท

2ab f,2a

b -- หรอ

4a b 4ac ,2a

b 2--

ถารปทวไปของสมการ คอ f(x) = a(x - h)2 + k เมอ a, k ∈ R และ a ≠ 0 จดวกกลบอยท (h, k)

การแกสมการโดยใชกราฟ 1. ในกรณทกราฟไมตดแกน x จะไมมคาตอบของสมการทเปนจานวนจรง 2. กราฟของ y = a(x + c)2 เมอ c > 0 จะตดแกน x ทจด (-c, 0) สมการมคาตอบเดยว คอ x = -c กราฟของ y = a(x - c)2 เมอ c > 0 จะตดแกน x ทจด (c, 0) สมการมคาตอบเดยว คอ x = c

3. นอกเหนอจากนกราฟตดแกน x สองจด โดยพจารณาจากการแกสมการ หรอสตร x = 2a 4ac bb 2 -- ±

ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล (Exponential Function) คอ ฟงกชนทอยในรป y = ax เมอ a > 0 และ a ≠ 1 ฟงกชนคาสมบรณ (Absolute Value Function) คอ ฟงกชนทอยในรป y = |x - a| + c เมอ a, c ∈ R ฟงกชนขนบนได (Step Function) คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนสบเซตของ R และมคาฟงกชนคงตวเปนชวงๆ มากกวาสองชวง กราฟของฟงกชนจะมรปคลายบนได ตวอยางท 7 คาของ a ททาใหกราฟของฟงกชน y = a(2x) ผานจด (3, 16) คอขอใดตอไปน * 1) 2 2) 3 3) 4 4) 5 ตวอยางท 8 ทก x ในชวงใดตอไปนทกราฟของสมการ y = -4x2 - 5x + 6 อยเหนอแกน x * 1)

31 ,3

2 -- 2)

23 ,2

5 -- 3)

76 ,4

1 4)

23 ,2

1

ตวอยางท 9 กาหนดให a และ b เปนจานวนจรงบวก ถากราฟของฟงกชน y1 = 1 + ax และ y2 = 1 + bx ม

ลกษณะดงแสดงในภาพตอไปน

0x

1

2

yx

2 b 1 y +=x

1 a 1 y +=

ขอใดตอไปนเปนจรง 1) 1 < a < b 2) a < 1 < b * 3) b < 1 < a 4) b < a < 1


ตวอยางท 10 ถาเสนตรง x = 3 เปนเสนสมมาตรของกราฟของฟงกชน f(x) = -x2 + (k + 5)x + (k2 - 10) เมอ k เปนจานวนจรง แลว f มคาสงสดเทากบขอใดตอไปน

1) -4 * 2) 0 3) 6 4) 14 ตวอยางท 11 กาหนดให f(x) = x2 - 2x - 15 ขอใดตอไปนผด 1) f(x) ≥ -17 ทกจานวนจรง x 2) f(-3 - 2 - 3 ) > 0 3) f(1 + 3 + 5 ) = f(1 - 3 - 5 ) * 4) f(-1 + 3 + 5 ) > f(-1 - 3 - 5 )


เลขยกกาลง สมบตของเลขยกกาลง ให a และ b เปนจานวนจรงใดๆ โดยท m และ n เปนจานวนเตมบวก และ k เปนจานวนเตม 1. am ⋅ an = am+n

2. nm

aa = am-n

3. (am)n = amn 4. (am ⋅ bn)k = amk ⋅ bnk

5. k

nm

ba

= nk

mk

ba , b ≠ 0

6. a-n = na1 , a ≠ 0

7. a0 = 1, a ≠ 0 เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนตรรกยะ บทนยาม เมอ a เปนจานวนจรงบวก และ n เปนจานวนทมากกวา 1 a1/n = n a บทนยาม กาหนด a เปนจานวนจรง m และ n เปนจานวนเตมทมากกวา 1 ท ห.ร.ม ของ m และ n เทากบ 1 n m a = am/n สมการในรปเลขยกกาลง ให a และ b เปนจานวนจรงบวกทไมเทากบ 1 และ m, n เปนจานวนตรรกยะ จะไดวา 1. am = an กตอเมอ m = n 2. am = bm กตอเมอ m = 0 และ a, b ≠ 0

ตวอยางท 1 คาของ 22)(- +

+32

22 81/2 เทากบขอใดตอไปน

1) -1 2) 1 * 3) 3 4) 5

ตวอยางท 2 ถา 4

1258

= x/1

62516

แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 43 * 2) 3

2 3) 23 4) 3

4 ตวอยางท 3 ขอใดตอไปนผด 1) (24)30 < 220 ⋅ 330 ⋅ 440 2) (24)30 < 230 ⋅ 320 ⋅ 440 * 3) 220 ⋅ 340 ⋅ 430 < (24)30 4) 230 ⋅ 340 ⋅ 420 < (24)30 ตวอยางท 4 ( 18 + 2 3 125- - 3 4 4 ) มคาเทากบขอใดตอไปน * 1) -10 2) 10 3) 2 5 - 5 2 4) 5 2 - 2 5

ตวอยางท 5 2

152

65

- มคาเทากบขอใดตอไปน

* 1) 103 2) 10

7 3) 5 - 2 4) 6 - 2

อสมการในรปเลขยกกาลง ให a เปนจานวนจรงบวกทไมเทากบ 1 และ m, n เปนจานวนตรรกยะ จะไดวา 1. am < an และ a > 1 จะไดวา m < n 2. am < an และ 0 < a < 1 จะไดวา m > n ตวอยางท 6 เซตคาตอบของอสมการ 4(2x2-4x-5) ≤ 32

1 คอเซตในขอใดตอไปน

1)

25 ,2

5 - 2)

1 ,2

5 - 3)

1 ,2

1 - * 4)

25 ,2

1 -

ตวอยางท 7 ถา 8x - 8(x+1) + 8(x+2) = 228 แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 3

1 * 2) 32 3) 3

4 4) 35

ตวอยางท 8 ถา x3

83 3

+ = 81

16 แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน

* 1) - 94 2) - 9

2 3) - 91 4) 9

1

ตวอยางท 9 ขอใดตอไปนผด 1) 10 0.9 + < 0.9 + 10 * 2) ( 0.9 )( 4 9.0 ) < 0.9 3) ( 0.9 )( 3 1.1 ) < ( 1.1 )( 3 9.0 ) 4) 300 125 < 200 100

ตวอยางท 10 ถา 4a = 2 และ 16-b = 41 แลว a + b มคาเทากบเทาใด (ตอบ 0.75)

ตวอยางท 11 คาของ x ทสอดคลองกบสมการ 2(x2)

= 4(4x)

42 เทากบขอใดตอไปน

1) 2 2) 3 * 3) 4 4) 5 ตวอยางท 12 อสมการในขอใดตอไปนเปนจรง 1) 21000 < 3600 < 10300 2) 3600 < 21000 < 10300 * 3) 3600 < 10300 < 21000 4) 10300 < 21000 < 3600

ตวอยางท 13 35

2732- + 3/2

6

(64)2 มคาเทากบขอใดตอไปน

* 1) - 2413 2) - 6

5 3) 32 4) 24

19

ตวอยางท 14 ( 2 + 8 + 18 + 32 )2 มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 60 2) 60 2 3) 100 2 * 4) 200


อตราสวนตรโกณมต ทฤษฎบทพทาโกรส ถา ABC เปนรปสามเหลยมมมฉากซงม BCAˆ เปนมมฉาก c แทนความยาวของดานตรงขามมมฉาก a และ b แทนความยาวของดานประกอบมมฉากจะไดความสมพนธระหวางความยาวของดานทงสามของรปสามเหลยมมมฉาก ABC ดงน

a

A C

B

b

c c2 = a2 + b2

อตราสวนตรโกณมตของรปสามเหลยมมมฉาก บทนยาม กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก

ไซน (sine) ของมม A = sin A = ความยาวของดานตรงขามมม A ความยาวของดานตรงขามมมฉาก

โคไซน (cosine) ของมม A = cos A = ความยาวของดานประชดมม A ความยาวของดานตรงขามมมฉาก

แทนเจนต (tangent) ของมม A = tan A = ความยาวของดานตรงขามมม Aความยาวของดานประชดมม A

sin A = c

a , cos A = cb , tan A = b

a

และยงมอตราสวนอนๆ อก คอ 1. csc A = Asin

1 , sec A = Acos1 , cot A = Atan

1

2. tan A = AcosAsin , cot A = Asin

Acos

3. sin2 A + cos2 A = 1 4. tan2 A + 1 = sec2 A 5. 1 + cot2 A = csc2 A

a

A C

B

b

c


ความสมพนธระหวางมม A กบมม 90° - A ในรปสามเหลยมมมฉาก

A B

C

sin A = cos (90° - A), csc A = sec (90° - A) cos A = sin (90° - A), sec A = csc (90° - A) tan A = cot (90° - A), cot A = tan (90° - A) อตราสวนตรโกณมตของมม 30°, 45° และ 60°

มม sin cos tan csc sec cot

30° 21

23 3

1 2 32 3

45° 22 2

2 1 22 = 2 2

2 = 2 1

60° 23 2

1 3 32 2 3

1

การเปรยบเทยบมาตรการวดมมระบบองกฤษและระบบเรเดยน 360° = 2π เรเดยน 180° = π เรเดยน 90° = 2

π เรเดยน

60° = 3π เรเดยน 45° = 4

π เรเดยน 30° = 6π เรเดยน

ตวอยางท 1 จากรป ขอใดตอไปนถกตอง * 1) sin 21° = cos 69° 2) sin 21° = cos 21° 3) cos 21° = tan 21° 4) tan 21° = cos 69°

A 21° B

C

ตวอยางท 2 ขอใดตอไปนถกตอง * 1) sin 30° < sin 45° 2) cos 30° < cos 45° 3) tan 45° < cot 45° 4) tan 60° < cot 60° ตวอยางท 3 กาหนดใหตาราง A ตาราง B และตาราง C เปนตารางหาอตราสวนตรโกณมตของมมขนาดตางๆ

ดงน ตาราง A ตาราง B ตาราง C

θ sin θ θ cos θ θ tan θ 40° 0.643 40° 0.766 40° 0.839 41° 0.656 41° 0.755 41° 0.869 42° 0.669 42° 0.743 42° 0.900

ถารปสามเหลยม ABC มมม B เปนมมฉาก มม C มขนาด 41° และสวนสง BX ยาว 1 หนวย แลวความยาวของสวนของเสนตรง AX เปนดงขอใดตอไปน

1) ปรากฏอยในตาราง A 2) ปรากฏอยในตาราง B * 3) ปรากฏอยในตาราง C 4) ไมปรากฏอยในตาราง A, B และ C ตวอยางท 4 ถารปสามเหลยมดานเทารปหนงมความสง 1 หนวย แลวดานของรปสามเหลยมรปนยาวเทากบ

ขอใดตอไปน

1) 23 หนวย * 2) 3

32 หนวย 3) 34 หนวย 4) 2

3 หนวย

A C

B

X


ตวอยางท 5 กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม C เปนมมฉาก และ cos B = 32 ถาดาน BC ยาว

1 หนวย แลว พนทของรปสามเหลยม ABC เทากบขอใดตอไปน

1) 55 ตารางหนวย * 2) 4

5 ตารางหนวย

3) 35 ตารางหนวย 4) 2

5 ตารางหนวย

ตวอยางท 6 กาหนดให ABCD เปนรปสเหลยมผนผาซงมพนทเทากบ 12 หนวย และ tan DBAˆ = 3

1

ถา AE ตงฉากกบ BD ทจด E แลว AE ยาวเทากบขอใดตอไปน

1) 310 หนวย 2) 5

102 หนวย

3) 210 หนวย * 4) 5

103 หนวย

ตวอยางท 7 พจารณารปสามเหลยมตอไปน โดยท EFCˆ , BACˆ , BEAˆ

และ BDEˆ ตางเปนมมฉาก ขอใดตอไปนผด 1) sin ( 1 ) = sin ( 5 ) 2) cos ( 3 ) = cos ( 5 ) * 3) sin ( 2 ) = cos ( 4 ) 4) cos ( 2 ) = sin ( 3 )

C

F

A D B

E12 3 4

5


ลาดบและอนกรม ลาดบ (Sequences) บทนยาม ลาดบ คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจานวนเตมบวก n ตวแรก หรอโดเมนเปนเซต

ของจานวนเตมบวก ลาดบทมโดเมนเปนเซตของจานวนเตมบวก n ตวแรกเรยกวา ลาดบจากด (Finite Sequences) ลาดบทมโดเมนเปนเซตของจานวนเตมบวก เรยกวา ลาดบอนนต (Infinite Sequences) ลาดบเลขคณต (Arithmetic Sequences) บทนยาม ลาดบเลขคณต คอ ลาดบทผลตางซงไดจากพจนท n + 1 ลบดวยพจนท n มคาคงตว

คาคงตวนเรยกวา ผลตางรวม (Common difference) 1. เมอกาหนดใหพจนแรกของลาดบเลขคณต คอ a1 และผลตางรวม คอ d โดยท d = an+1 - an พจนท n ของลาดบนคอ an = a1 + (n - 1)d 2. ลาดบเลขคณต n พจนแรก คอ a, a + d, a + 2d, ..., a + (n - 1)d ตวอยางท 1 ลาดบเลขคณตในขอใดตอไปนมบางพจนเทากบ 40 1) an = 1 - 2n 2) an = 1 + 2n * 3) an = 2 - 2n 4) an = 2 + 2n ตวอยางท 2 พจนท 31 ของลาดบเลขคณต - 20

1 , - 301 , - 60

1 , ... เทากบขอใดตอไปน

1) 125 2) 30

13 * 3) 209 4) 15

7

ตวอยางท 3 ถา a1, a2, a3, ... เปนลาดบเลขคณต ซง a30 - a10 = 30 แลว ผลตางรวมของลาดบเลขคณตน

มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 1.25 * 2) 1.5 3) 1.75 4) 2.0


ลาดบเรขาคณต (Geometric Sequences) บทนยาม ลาดบเรขาคณต คอ ลาดบทอตราสวนของพจนท n + 1 ตอพจนท n เปนคาคงตว

คาคงตวนเรยกวา อตราสวนรวม (Common ration) 1. เมอกาหนดพจนแรกของลาดบเรขาคณตเปน a1 และอตราสวนรวม คอ r โดยท r =

nna

1 a +

พจนท n ของลาดบเรขาคณตน คอ an = a1 ⋅ rn-1 2. ลาดบเรขาคณต n พจนแรก คอ a, ar, ar2, ..., arn-1 ตวอยางท 4 กาหนดให a1, a2, a3 เปนลาดบเรขาคณต โดยท a1 = 2 และ a3 = 200 ถา a2 คอคาในขอใดขอหนง

ตอไปนแลวขอดงกลาวคอขอใด * 1) -20 2) -50 3) 60 4) 100 ตวอยางท 5 กาหนดให a1, a2, a3, ... เปนลาดบเรขาคณต พจารณาลาดบสามลาดบตอไปน ก. a1 + a3 , a2 + a4 , a3 + a5 , ... ข. a1a2 , a2a3 , a3a4 , ... ค.

1a1 ,

2a1 ,

3a1 , ...

ขอใดตอไปนถก * 1) ทงสามลาดบเปนลาดบเรขาคณต 2) มหนงลาดบไมเปนลาดบเรขาคณต 3) มสองลาดบไมเปนลาดบเรขาคณต 4) ทงสามลาดบไมเปนลาดบเรขาคณต ตวอยางท 6 พจนท 16 ของลาดบเรขาคณต 625

1 , 5125

1 , 1251 , ... เทากบขอใดตอไปน

1) 25 5 2) 125 * 3) 125 5 4) 625


ตวอยางท 7 ลาดบในขอใดตอไปน เปนลาดบเรขาคณต * 1) an = 2n ⋅ 32n 2) an = 2n + 4n 3) an = 3n2 4) an = (2n)n อนกรมเลขคณต (Arinmetic Series) เมอ a1, a2, a3, ..., an เปนลาดบเลขคณต จะไดวา a1 + a2 + a3 + ... + an เปนอนกรมเลขคณต ให Sn แทนผลบวก n พจนแรกของอนกรม คอ S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 M M Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต Sn = 2

n [2a1 + (n - 1)d] หรอ Sn = 2

n [a1 + an]

ตวอยางท 8 คาของ 1 + 6 + 11 + 16 + ... + 101 เทากบขอใดตอไปน 1) 970 2) 1020 3) 1050 * 4) 1071 ตวอยางท 9 ถา a1, a2, a3, ... เปนลาดบเลขคณต ซง a2 + a3 + ... + a9 = 100 แลว S10 = a1 + a2 + ... + a10 มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 120 * 2) 125 3) 130 4) 135


ตวอยางท 10 กาหนดให S = {101, 102, 103, ... , 999} ถา a เทากบผลบวกของจานวนคทงหมดใน S และ b เทากบผลบวกของจานวนคทงหมดใน S แลว b - a มคาเทากบขอใดตอไปน

* 1) -550 2) -500 3) -450 4) 450 อนกรมเรขาคณต (Geometrics Series) เมอ a1, a2, a3, ..., an เปนลาดบแรขาคณต จะไดวา a1 + a2 + a3 + ... + an เปนอนกรมเรขาคณต ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต

Sn = r 1)r (1a n

1-- เมอ r ≠ 1

ตวอยางท 11 ขอใดตอไปนเปนอนกรมเรขาคณตทม 100 พจน 1) 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + ... + 199 2) 1 + 3

1 + 51 + ... + 1)(2n

1- + ... + 199

1

3) 1 + 2 + 4 + ... + (2n-1) + ... + 2199

* 4) 51 + 125

1 + 31251 + ... + 12n5

1- + ... + 1995

1

ตวอยางท 12 ผลบวกของอนกรมเรขาคณต 1 - 2 + 4 - 8 + ... + 256 เทากบขอใดตอไปน 1) -171 2) -85 3) 85 * 4) 171 ตวอยางท 13 กาหนดให Sn เปนผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต ซงมอตราสวนรวมเทากบ 2 ถา S10 - S8 = 32 แลวพจนท 9 ของอนกรมนเทากบขอใดตอไปน 1) 3

16 2) 320 3) 3

26 * 4) 332


ความนาจะเปน กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ 1. กฎการบวก ถาการทางานอยางหนงแบงออกเปน k กรณ โดยทกรณท 1 มจานวน n1 วธ กรณท 2 มจานวน n2 วธ กรณท 3 มจานวน n3 วธ M M กรณท k มจานวน nk วธ ดงนน จานวนวธในการทางานทงหมดจะเทากบ n1 + n2 + n3 + ... + nk วธ 2. กฎการคณ ถาการทางานอยางหนงแบงออกเปน k ขนตอน โดยทขนตอนท 1 มจานวน n1 วธ ขนตอนท 2 มจานวน n2 วธ ขนตอนท 3 มจานวน n3 วธ M M ขนตอนท k มจานวน nk วธ ดงนน จานวนวธในการทางานทงหมดจะเทากบ n1 × n2 × n3 × ... × nk วธ แฟกทอเรยล นยาม กาหนดให n เปนจานวนเตมทมคามากกวาหรอเทากบ 0 ขนไป n! = n × (n - 1) × (n - 2) × (n - 3) × ... × 3 × 2 × 1 เชน 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 * 0! = 1 ตวอยางท 1 ในการคดเลอกคณะกรรมการหมบานซงประกอบดวยประธานฝายชาย 1 คน ประธานฝายหญง

1 คน กรรมการฝายชาย 1 คน และกรรมการฝายหญง 1 คน จากผสมครชาย 4 คน และหญง 8 คน มวธการเลอกคณะกรรมการไดกวธ

1) 168 วธ 2) 324 วธ * 3) 672 วธ 4) 1344 วธ


ตวอยางท 2 มาลตองการเดนทางจากเมอง A ไปยงเมอง C โดยตองเดนทางผานไปยงเมอง B กอน จากเมอง A ไปเมอง B มาลสามารถเลอกเดนทางโดยรถยนต รถไฟ หรอเครองบนได แตจากเมอง B ไป เมอง C สามารถเดนทางไปทางเรอ รถยนต รถไฟ หรอเครองบน ขอใดตอไปนคอจานวนวธใน การเดนทางจากเมอง A ไปยงเมอง C ทจะตองเดนทางโดยรถไฟเปนจานวน 1 ครง

* 1) 5 2) 6 3) 8 4) 9 ตวอยางท 3 ครอบครวหนงมพนอง 6 คน เปนชาย 2 คน หญง 4 คน จานวนวธทจะจดใหคนทง 6 คนยนเรยงกน

เพอถายรป โดยใหชาย 2 คนยนอยรมสองขางเสมอเทากบขอใดตอไปน 1) 12 วธ 2) 24 วธ 3) 36 วธ * 4) 48 วธ การทดลองสม คอ การทดลองใดๆ ซงทราบวาผลลพธอาจจะเปนอะไรไดบาง แตไมสามารถทานายผลลวงหนาได ความนาจะเปน คอ อตราสวนระหวางจานวนสมาชกของเหตการณทสนใจกบจานวนสมาชกของแซมเปลสเปซ เขยนแทนดวย P(E) ความนาจะเปนของเหตการณ E คอ P(E) = n(S)

n(E)

โดยท n(E) คอ จานวนของเหตการณทสนใจ n(S) คอ จานวนเหตการณทเปนไปไดทงหมด สมบตของความนาจะเปน 1. 0 ≤ P(E) ≤ 1 2. P(φ) = 0, P(S) = 1 3. P(E1U E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1I E2) 4. P(E1U E2U E3) = P(E1) + P(E2) + P(E3) - P(E1I E2) - P(E1I E3) - P(E2I E3) + P(E1I E2I E3) 5. P(E) = 1 - P(E′) เมอ P(E′) แทนความนาจะเปนของเหตการณทไมตองการ


ตวอยางท 4 พจารณาขอความตอไปน ก. การทดลองสมเปนการทดลองททราบวาผลลพธอาจเปนอะไรไดบาง ข. แตละผลลพธของการทดลองสมมโอกาสเกดขนเทาๆ กน ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) ก. และ ข. ถก * 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด ตวอยางท 5 โรงเรยนแหงหนงมรถโรงเรยน 3 คน นกเรยน 9 คน กาลงเดนไปขนรถโรงเรยนโดยสม ความ

นาจะเปนทไมมนกเรยนคนใดขนรถคนแรกเทากบขอใดตอไปน

1) 9

31

* 2)

932

3)

391

4)

392

ตวอยางท 6 โรงแรมแหงหนงมหองวางชนทหนง 15 หอง ชนทสอง 10 หอง ชนทสาม 25 หอง ถาครสมใจ

ตองการเขาพกในโรงแรมแหงนโดยวธสมแลว ความนาจะเปนทครสมใจจะไดเขาพกหองชนทสองของโรงแรมเทากบขอใดตอไปน

1) 101 * 2) 5

1 3) 103 4) 2

1

ตวอยางท 7 ในการหยบบตรสามใบ โดยหยบทละใบจากบตรสใบ ซงมหมายเลข 0, 1, 2 และ 3 กากบ ความ

นาจะเปนทจะไดผลรวมของตวเลขบนบตรสองใบแรกนอยกวาตวเลขบนบตรใบทสามเทากบขอใด * 1) 4

1 2) 43 3) 2

1 4) 32


ตวอยางท 8 กลอง 12 ใบ มหมายเลขกากบเปนเลข 1, 2, ... , 12 และกลองแตละใบบรรจลกบอล 4 ลก เปน ลกบอลสดา สแดง สขาว และสเขยว ถาสมหยบลกบอลจากกลองแตละใบ ใบละ 1 ลก แลว ความนาจะเปนทจะหยบไดลกบอลสแดงจากกลองหมายเลขค และไดลกบอลสดาจากกลองหมายเลขคเทากบขอใดตอไปน

1) 2

121

* 2)

1241

3)

1221

4)

4121

ตวอยางท 9 กาหนดให A = {1, 2, 3} B = {5, 6, ... , 14} และ r = {(m, n) | m ∈ A และ n ∈ B} ถาสมหยบคอนดบ 1 ค จากความสมพนธ r แลวความนาจะเปนทจะไดคอนดบ (m, n) ซง 5 หาร

n แลวเหลอเศษ 3 เทากบขอใดตอไปน 1) 15

1 2) 101 * 3) 5

1 4) 53

ตวอยางท 10 ชางไฟคนหนงสมหยบบนได 1 อนจากบนได 9 อน ซงมความยาว 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 และ

12 ฟต แลวนามาพาดกบกาแพง โดยใหปลายขางหนงหางจากกาแพง 3 ฟต ความนาจะเปนทบนไดจะทามมกบพนราบนอยกวา 60° มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 91 * 2) 9

2 3) 93 4) 9

4

ตวอยางท 11 ถาสมตวเลขหนงตวจากขอมลชดใดๆ ซงประกอบดวยตวเลข 101 ตว แลวขอใดตอไปนถก * 1) ความนาจะเปนทตวเลขทสมไดมคานอยกวาคามธยฐาน < 2

1

2) ความนาจะเปนทตวเลขทสมไดมคานอยกวาคาเฉลยเลขคณต < 21

3) ความนาจะเปนทตวเลขทสมไดมคานอยกวาคามธยฐาน > 21

4) ความนาจะเปนทตวเลขทสมไดมคานอยกวาคาเฉลยเลขคณต > 21


สถต สถตเชงพรรณนา (Descriptive) คอ การวเคราะหขนตนทมงวเคราะห เพออธบายลกษณะกวางๆ ของขอมลชดนน เชน การวดคาแนวโนมเขาสสวนกลาง คาวดการกระจาย การแจกแจงความถของขอมล และการนาเสนอผลสรปดวย ตาราง แผนภมแทง เพออธบายขอมลชดนน สถตเชงอนมาน (Inferential Statistice) คอ การวเคราะหขอมลทเกบรวบรวมไดจากตวอยางเพออางองไปถงขอมลทงหมด องคประกอบของสถต 1. การเกบรวบรวมขอมล เชน การสอบถาม การสงเกต การทดลอง เปนตน 2. การวเคราะหขอมล โดยขอมลทนามาวเคราะหเพยงสวนหนง เรยกวา กลมตวอยางและขอมลทเลอกมาจากขอมลทงหมด เรยกวา ประชากร 3. การนาเสนอขอสรป ขอมล คอ ขอความจรงหรอสงทบงบอกถงสภาพ สถานการณหรอปรากฏการณ โดยทขอมลอาจเปนตวเลขหรอขอความกได สารสนเทศหรอขาวสาร คอ ขอมลทผานการวเคราะหเบองตนหรอขนสงแลว ประเภทของขอมล 1. แบงตามวธเกบ 1.1 ขอมลปฐมภม คอ ขอมลทผใชเกบรวบรวมเอง เชน การสามะโน การสารวจกลมตวอยาง 1.2 ขอมลทตยภม คอ ขอมลทไดจากผอนเกบรวบรวมไวแลว เชน รายงาน บทความ เปนตน 2. แบงตามลกษณะของขอมล 2.1 ขอมลเชงปรมาณ คอ ขอมลทใชแทนขนาดหรอปรมาณซงวดออกมาเปนจานวนทสามารถนามาใชเปรยบเทยบกนไดโดยตรง 2.2 ขอมลเชงคณภาพ คอ ขอมลทไมสามารถวดออกมาไดโดยตรง แตอธบายลกษณะหรอคณสมบตในเชงคณภาพได ตวอยางท 1 ขอใดตอไปนเปนเทจ 1) สถตเชงพรรณนาคอสถตของการวเคราะหขอมลขนตนทมงอธบายลกษณะกวางๆ ของขอมล 2) ขอมลทเปนหมายเลขทใชเรยกสายรถโดยสารประจาทางเปนขอมลเชงคณภาพ * 3) ขอมลปฐมภมคอขอมลทผใชเกบรวบรวมจากแหลงขอมลโดยตรง 4) ขอมลทนกเรยนรวบรวมจากรายงานตางๆ ทไดจากหนวยงานราชการเปนขอมลปฐมภม


การวเคราะหขอมลเบองตน ขอมลเชงปรมาณทใชในการวเคราะหทางสถตมสองประเภท คอ ขอมลทไมไดแจกแจงความถ ซงจะเหนคาของขอมลทกตวและขอมลทแจกแจงความถ จะเหนเปนอนตรภาคชน ความกวางของอนตรภาพชน = ขอบบน - ขอบลาง จดกงกลางอนตรภาคชน = (ขอบบน + ขอบลาง) ÷ 2 ฮสโทแกรม คอ รปสเหลยมมมฉากวางเรยงตอกนบนแกนนอน โดยมแกนนอนแทนคาของตวแปร ความกวางของสเหลยมมมฉากแทนความกวางของอนตรภาคชน และพนทของรปสเหลยมมมฉากแทนความถของแตละ อนตรภาคชน ซงถาความกวางของทกชนเทากน ความสงของรปสเหลยมจะแสดงความถ แผนภาพตน-ใบ (Stem-and-Leaf Plot) เปนวธการสรางแผนภาพเพอแจกแจงความถและวเคราะหขอมลเบองตน โดยเรมจากการนาขอมลมาแบงกลม โดยใชเลขหลกสบ แลวนามาสรางเปนลาตน (Stem) แลวใชเลขโดดในหลกหนวยมาสรางเปนใบ (Leaf) การวดตาแหนงของขอมล : มสองขนตอน คอ การหาตาแหนงและการหาคา 1. ควอรไทล (Quartiles) คอ การแบงขอมลออกเปน 4 สวนเทาๆ กน โดย Q1, Q2, และ Q3 คอ คะแนนของตวแบงทง 3 ตว 2. เดไซล (Deciles) คอ การแบงขอมลออกเปน 10 สวนเทาๆ กน โดย D1, D2, ..., D9 คอ คะแนนของตวแบงทง 9 ตว 3. เปอรเซนไทล (Percentiles) คอ การแบงขอมลออกเปน 100 สวนเทาๆ กน ม P1, ..., P99 คอ คะแนนของตวแบงทง 99 ตว การหาตาแหนง : ตาแหนงของ Qr คอ 4

1)r(N +

ตาแหนงของ Dr คอ 101)r(N +

ตาแหนงของ Pr คอ 1001)r(N +

การหาคา : ใชการเทยบบญญตไตรยางค หมายเหต เมอหาคาขอมลทมคาสงสด ตาสด Q1, Q2 และ Q3 สามารถนามาสรางแผนภาพกลอง (Box-and-Whisker Plot หรอ Box-Plot) โดยแผนภาพจะทาใหเราทราบถงลกษณะการกระจายของขอมล การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง 1. คาเฉลยเลขคณต, Mean, x

x ของขอมลทไมแจกแจงความถ x = N

N

1 iix∑

=

x ของขอมลทแจกแจงความถ x = N

k

1 iixif∑

=


ขอสงเกต 1. ∑=

N

1 iix = N x

2. )N

1 ixi(x ∑

=- = 0

3. 2)N

1 iai(x ∑

=- มคานอยทสดเมอ a = x

4. ถา x1, x2, x3, ... , xn มคาเฉลยเลขคณตเปน x x1 + k, x2 + k, x3 + k, ... , xn + k มคาเฉลยเลขคณตเปน x + k x1k, x2k, x3k, ..., xnk มคาเฉลยเลขคณตเปน x k

5. x รวม = 22

2211N N

xN xN++

2. มธยฐาน, Median, Me Me สาหรบขอมลทไมแจกแจงความถ Me = คาของขอมลตาแหนงตรงกลาง (ตวท 2

1N + ) เมอเรยงลาดบขอมลแลว ขอสงเกต 1. การหามธยฐานมสองขนตอน คอ หาตาแหนง และหาคาโดยใชสตรหรอการเทยบบญญตไตรยางค

2. ∑=

N

1 i|aix| - มคานอยสดเมอ a = Me

3. ฐานนยม, Mode, Mo Mo สาหรบขอมลทไมแจกแจงความถ Mo = คาของขอมลทมความถมากทสด ขอสงเกต ใชไดกบขอมลเชงคณภาพ ตวอยางท 2 สวนสงของพนอง 2 คน มพสยเทากบ 12 เซนตเมตร มคาเฉลยเลขคณตเทากบ 171 เซนตเมตร

ขอใดตอไปนเปนสวนสงของพหรอนองคนใดคนหนง 1) 167 เซนตเมตร 2) 172 เซนตเมตร 3) 175 เซนตเมตร * 4) 177 เซนตเมตร

ตวอยางท 3 ขอมลชดหนงประกอบดวย 4, 9, 2, 7, 6, 5, 4, 6, 3, 4 ขอใดตอไปนถกตอง 1) คาเฉลยเลขคณต < ฐานนยม < มธยฐาน * 2) ฐานนยม < มธยฐาน < คาเฉลยเลขคณต 3) ฐานนยม < คาเฉลยเลขคณต < มธยฐาน 4) มธยฐาน < ฐานนยม < คาเฉลยเลขคณต ตวอยางท 4 ความสงในหนวยเซนตเมตรของนกเรยนกลมหนงซงม 10 คน เปนดงน 155, 157, 158, 158, 160, 161, 161, 163, 165, 166 ถามนกเรยนเพมขนอกหนงคน ซงมความสง 158 เซนตเมตร แลวคาสถตใดตอไปนไมเปลยนแปลง 1) คาเฉลยเลขคณต 2) มธยฐาน 3) ฐานนยม * 4) พสย ตวอยางท 5 การเลอกใชคากลางของขอมลควรพจารณาสงตอไปน ยกเวนขอใด 1) ลกษณะของขอมล * 2) วธจดเรยงลาดบขอมล 3) จดประสงคของการนาไปใช 4) ขอดและขอเสยของคากลางแตละชนด การวดการกระจายของขอมล 1. พสย (Range) Range = xmax - xmin 2. สวนเบยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)

S.D. = N

N

1 i

2)x i(x∑=

-

= N2x

N

1 i

2ix

-∑=

ขอสงเกต 1. ความแปรปรวน (Variance) = S.D.2 = S2 2. S.D. ≥ 0 3. S.D. = 0 ↔ x1 = x2 = ... = xn = x 4. ถา x1, x2, ..., xn มสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน S.D. ความแปรปรวนเปน S.D.2 x1 + k, x2 + k, ..., xn + k มสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน S.D. ความแปรปรวนเปน S.D.2 x1k, x2k, ..., xnk มสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน S.D.|k| ความแปรปรวนเปน S.D.2k2

5. The 95% Rule กลาววา มจานวนขอมลทอยในชวง ( x - 2s, x + 2s) ประมาณ 95% ของจานวนขอมลทงหมด 6. โดย The 95% Rule ไดวา s ≈ 4

Range

ความสมพนธของ x , Me และ Mo

x = Me = Mo x > Me > Mo x < Me < Moโคงปกต โคงเบขวา โคงเบซาย

การสารวจความคดเหน 1. ขอบเขตของการสารวจ กาหนดดวยพนท ลกษณะผใหขอมล การมสวนไดสวนเสยกบขอมล 2. วธเลอกตวอยาง การสมตวอยาง (Sampling) การเลอกตวอยางแบบชนภม การเลอกตวอยางแบบหลายขนและการเลอกตวอยางแบบกาหนดโควตา 3. การสรางแบบสารวจความคดเหน แบบสารวจทดประกอบดวย ลกษณะของผตอบทคาดวามผลตอการแสดงความคดเหน ความคดเหนของผตอบในดานตางๆ และขอเสนอแนะ โดยตองไมเปนคาถามทชนา และมจานวนไมมากเกนไป ตลอดจนความสอดคลองของความรของผใหขอมลกบเรองทสอบถาม 4. การประมวลผลและวเคราะหความคดเหน 1. รอยละของผตอบแบบสารวจความคดเหนในแตละดานทเกยวของ 2. ระดบความคดเหนเฉลย ตวอยางท 6 ขอมลชดหนงมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 20 มธยฐานเทากบ 25 และฐานนยมเทากบ 30 ขอสรปใด

ตอไปนถกตอง * 1) ลกษณะการกระจายของขอมลเปนการกระจายทเบทางซาย 2) ลกษณะการกระจายของขอมลเปนการกระจายทเบทางขวา 3) ลกษณะการกระจายของขอมลเปนการกระจายแบบสมมาตร 4) ไมสามารถสรปลกษณะการกระจายของขอมลได


ตวอยางท 7 พจารณาขอมลตอไปน 10, 5, 6, 9, 12, 15, 8, 18 คาของ P80 ใกลเคยงกบขอใดตอไปนมากทสด 1) 15.1 2) 15.4 * 3) 15.7 4) 16.0 ตวอยางท 8 ในกรณทมขอมลจานวนมาก การนาเสนอขอมลในรปแบบใดตอไปนทาใหเหนการกระจายของ

ขอมลไดชดเจนนอยทสด 1) ตารางแจกแจงความถ 2) แผนภาพตน-ใบ 3) ฮสโทแกรม * 4) การแสดงคาสงเกตทกคา ตวอยางท 9 จากการสอบถามเยาวชนจานวน 12 คน วาเคยฟงพระธรรมเทศนามาแลวจานวนกครง ปรากฏผล

ดงแสดงในแผนภาพตอไปน

1 2 30123

4 5 6

45

นจานวนเยาวช

าระธรรมเทศนทเคยฟงพจานวนครง

มธยฐานของขอมลนคอขอใด * 1) 3 ครง 2) 3.25 ครง 3) 3.5 ครง 4) 4 ครง ตวอยางท 10 ขอใดตอไปนมผลกระทบตอความถกตองของการตดสนใจโดยใชสถต ยกเวนขอใด 1) ขอมล 2) สารสนเทศ 3) ขาวสาร * 4) ความเชอ

เกงขอสอบ O-NET 1. กาหนดใหเอกภพสมพทธคอเซต U = {a, b, c, d, e} และ A, B, C เปนเซตใดๆ ซงเปนสบเซตใน U โดยม

เงอนไข ดงน n(A) = n(B) = n(C) = 3 n(AI B) = n(BI C) = n(AI C) = 2 และ n(AU BU C) = n(U) ขอใดตอไปนผด 1) n[AU (BI C)] = 3 2) n(AU C) = 4 3) n[AI (BI C)] = 2 4) n(AI BI C) = 1 2. กาหนดให A = {1, 2, {3}} ขอใดตอไปนผด 1) 1 ∈ A 2) {3} ∈ P(A) 3) {2, {3}} ⊂ A 4) {{1, 2}, {3}} ⊂ P(A) 3. กาหนดให a, b, c และ d เปนจานวนจรงใดๆ โดยท 0 < a bd ข. c

a < db

1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด 4. กาหนดให A คอ เซตคาตอบของอสมการ |2x + 1| ≤ 5 และ B คอ เซตคาตอบของอสมการ |x + 3| ≥ 2 ขอใดตอไปน คอเซตคาตอบของ AI B 1) [-5, -1] 2) [-1, 2] 3) [-5, 2] 4) [-1, 5] 5. ถา x - 1 หารพหนาม x2 + 2x - 1 เศษเหลอมคาเทากบ a และ x - 2 หารพหนาม x2 + 3ax - b ลงตว แลวคาของ a + b มคาตรงกบขอใด 1) 12 2) 14 3) 16 4) 18

6. กาหนดให n เปนจานวนเตม 3/2n

12n13n14n15n

555 5

++

++

++ มคาตรงกบขอใด

1) 5 2) 25 3) 125 4) 625


7. กาหนดให 5 - a = 102 7 - คาของ a ตรงกบขอใด 1) 2 2) 3 3) 4 4) 5 8. กาหนดให A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} และ B = {{1}, {2, 3}, 4, 5, 6, ...} จานวนความสมพนธทงหมดจากเซต A - B ไปเซต B - A มคาเทาใด 1) 16 จานวน 2) 32 จานวน 3) 64 จานวน 4) 128 จานวน 9. ถาสามจานวนนเรยงกนเปนลาดบเลขคณตคอ x - 2, x, x2 - 4 แลวผลบวกของคา x ทงหมดตรงกบขอใด 1) -2 2) -1 3) 1 4) 2

เฉลย 1. เฉลย 4) n(AI BI C) = 1 จากสตร n(AU BU C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(AI B) - n(AI C) - n(BI C) + n(AI BI C) และ n(AU BU C) = n(U) = 5 จะไดวา 5 = 3 + 3 + 3 - 2 - 2 - 2 + n(AI BI C) n(AI BI C) = 5 - 9 + 6 = 2 2. เฉลย 2) {3} ∈ P(A) ทถกตอง คอ {{3}} ∈ P(A) 3. เฉลย 2) ก. ถก และ ข. ผด จาก 0 < a bd 4(-2) > 9(-3) -8 > -27 ดงนน ก. ถก ข. c

a < db

24

- < 39-

-2 < -3 ดงนน ข. ผด


4. เฉลย 2) [-1, 2] จาก |2x + 1| ≤ 5 จะได -5 ≤ 2x + 1 ≤ 5 -5 - 1 ≤ 2x + 1 - 1 ≤ 5 - 1 -6 ≤ 2x ≤ 4 2

6- ≤ 22x ≤ 2

4

-3 ≤ x ≤ 2 จะได A = [-3, 2] จาก |x + 3| ≥ 2 จะได x + 3 ≤ -2 หรอ |x + 3| ≥ 2 x ≤ -5 หรอ x ≥ -1 จะได B = (-∞, -5]U [-1, ∞) ดงนน AI B = [-1, 2] 5. เฉลย 4) 18 ให p(x) = x2 + 2x - 1 จาก x - 1 หารพหนาม x2 + 2x - 1 เศษเหลอมคาเทากบ a นนคอ p(1) = a 12 + 2(1) - 1 = a a = 2 ให q(x) = x2 + 3ax - b q(x) = x2 + 3(2)x - b q(x) = x2 + 6x - b จาก x - 2 หารพหนาม x2 + 3ax - b ลงตว นนคอ q(2) = 0 22 + 6(2) - b = 0 b = 16 ดงนน a + b = 2 + 16 = 18


6. เฉลย 3) 125

จาก 3/2n

12n13n14n15n

5 55 5

++

++

++ =

3/2n

n12nn14n

1) (551) (55

++

+

+

= 3/2n

12n14n

55

+

+

= [5(4n+1)-(2n+1)]3/2n = [52n]3/2n = 52n ⋅ 3/2n = 53 = 125 7. เฉลย 1) 2 จาก 5 - a = 102 7 -

5 - a = 2 52 2) (5 ⋅+ -

5 - a = 22 )2( 2 52 )5( +⋅-

5 - a = 2)2 5( - 5 - a = 5 - 2 จะได a = 2 8. เฉลย 3) 64 จานวน A - B = {1, 2, 3} จะได n(A - B) = 3 B - A = {{1}, {2, 3}} จะได n(B - A) = 2 จากสตร จานวนความสมพนธทงหมดจากเซต A ไปเซต B เทากบ 2n(A)×n(B) ดงนน จานวนความสมพนธทงหมดจากเซต A - B ไปเซต B - A เทากบ 2n(A-B)×n(B-A) = 23×2 = 26 = 64 จานวน


9. เฉลย 3) 1 จาก x - 2, x, x2 - 4 เปนลาดบเลขคณต นนคอ (x2 - 4) - x = x - (x - 2) x2 - x - 4 = 2 x2 - x - 6 = 0 (x - 3)(x + 2) = 0 จะได x = -2, 3 ดงนน ผลบวกของคา x ทงหมดเทากบ -2 + 3 = 1


ตรรกศาสตร ประพจน (Proposition หรอ Statement) คอ ประโยคทเปน “จรง” หรอ “เทจ” อยางใดอยางหนงเทานน ประโยคทมลกษณะดงกลาวจะอยในรปประโยคบอกเลาหรอประโยคปฏเสธกได การเชอมประพจน เปนการนาเอาประพจนมาสรางเปนประพจนใหม โดยเตมตวเชอม (connectives) ตวเชอมประพจนหลกๆ มอย 5 ชนด ไดแก คาวา “และ” (∧), “หรอ” (∨), “ถา...แลว...” (⇒), “กตอเมอ” (⇔) และ “นเสธ (ไม)” (∼) ประพจนทนามาเชอมกนดวยตวเชอมตางๆ เรยกวา ประพจนยอย (atomic statement) การหาคาความจรงของประพจน

p q p ∧ q p ∨ q p → q p ↔ q ∼p ∼q T T T T T T F F T F F T F F F T F T F T T F T F F F F F T T T T


ขอสงเกตเกยวกบคาความจรงทไดจากการเชอมประพจน ตวเชอม T F

∧ ทกประพจนเปน T มประพจนอยางนอย 1 ตวเปน F

∨ มประพจนอยางนอย 1 ตวเปน T ทกประพจนเปน F

⇒ F ⇒ ? (หนาเปน F)

? ⇒ T (หลงเปน T) T ⇒ F (หนาเปน T และหลงเปน F)

⇔ หนา-หลง เหมอนกน หนา-หลง ตางกน ประพจนทสมมลกน คอ ประพจนทมคาความจรงเหมอนกนทกกรณ กรณตอกรณ แทนดวย p ≡ q ประพจนทไมสมมลกน คอ ประพจนทมคาความจรงตางกนอยางนอยหนงกรณ แทนดวย p ≡ q ประพจนทเปนนเสธกน คอ ประพจนทมคาความจรงตรงขามกนทกกรณ กรณตอกรณ แทนดวย p ≡ ∼q การตรวจสอบประพจนทสมมล ทาได 3 วธ คอ 1. ใชตาราง 2. ใชรปแบบประพจนทสมมล 3. แทนคาประพจน สจนรนดร (Tautology) คอ รปแบบของประพจนทมคาความจรงเปนจรงทกกรณ การตรวจสอบสจนรนดร ทาได 3 วธ คอ 1. ใชตาราง 2. ใชรปแบบประพจนทสมมล 3. การหาขอขดแยง รปแบบของประพจนทสมมลกน 1. p ∧ q ≡ q ∧ p 2. p ∨ q ≡ q ∨ p 3. p ∧ p ≡ p 4. p ∨ p ≡ p 5. (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) 6. (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) 7. p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) 8. p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) 9. p ⇒ (q ∧ r) ≡ (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r) 10. p ⇒ (q ∨ r) ≡ (p ⇒ q) ∨ (p ⇒ r)


11. (p ∧ q) ⇒ r ≡ (p ⇒ r) ∨ (q ⇒ r) 12. (p ∨ q) ⇒ r ≡ (p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r) 13. p ⇒ q ≡ ∼p ∨ q ≡ ∼q ⇒ ∼p ** 14. p ⇔ q ≡ q ⇔ p ≡ ∼p ⇔ ∼q ≡ ∼q ⇔ ∼p 15. ∼(∼p) ≡ p 13. ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q 17. ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q 18. ∼(p ⇒ q) ≡ p ∧ ∼q 19. ∼(p ⇔ q) ≡ ∼p ⇔ q ≡ p ⇔ ∼q ≡ q ⇔ ∼p ≡ ∼q ⇔ p ขอสงเกตของสมมล 1. ♥ ∨ ∼♥ ≡ T 2. ♥ ∧ ∼♥ ≡ F 3. ♥ ∨ T ≡ T 4. ♥ ∧ T ≡ ♥ 5. ♥ ∨ F ≡ ♥ 6. ♥ ∧ F ≡ F 7. T ⇒ ♥ ≡ ♥ 8. ♥ ⇒ F ≡ ∼♥ 9. ♥ ⇒ T ≡ T 10. F ⇒ ♥ ≡ T ประโยคเปด คอ ประโยคบอกเลา หรอประโยคปฏเสธ ทมตวแปรและเมอแทนคาของตวแปรดวยสมาชกในเอกภพสมพทธแลวไดประพจน เชน กาหนดใหเอกภพสมพทธ คอ เซตของจานวนจรง 2x + 1 = 3 เปนประโยคเปด เพราะเมอแทน x ดวยจานวนจรงใดๆ แลวไดประพจน แทน x = 1 ได 2(1) + 1 = 3 จรง แทน x = 3 ได 2(3) + 1 = 3 เทจ สญลกษณแทนประโยคเปด P(x), Q(x), R(x), ... แทน ประโยคเปดทมตวแปรเปน x เชน P(x) : x + 3 = 2 P(x, y), Q(x, y), R(x, y), ... แทน ประโยคเปดทมตวแปรเปน x, y เชน Q(x, y) : x - 2y = 0

ตวบงปรมาณ (Quantifier) ∀x แทนคาวา “สาหรบ x ทกตว” หรอ “สาหรบแตละคาของ x” ∃x แทนคาวา “สาหรบ x บางตว” หรอ “ม x บางคา” เชน คาความจรงของประโยคเปดทมตวบงปรมาณ (ตวแปรเดยว)

ประพจน มคาความจรงเปน “จรง” เมอ มคาความจรงเปน “เทจ” เมอ

∀x[P(x)] ทก x ∈ U แทนใน P(x) แลวทาให P(x) เปนจรง

มบาง x ∈ U แทนใน P(x) แลวทาให P(x) เปนเทจ

∃x[P(x)] มบาง x ∈ U แทนใน P(x) แลวทาให P(x) เปนจรง

ทก x ∈ U แทนใน P(x) แลวทาให P(x) เปนเทจ

คาความจรงของประโยคเปดทมตวบงปรมาณ (หลายตวแปร)

ประพจน มคาความจรงเปน “จรง” มคาความจรงเปน “เทจ”

∀x∀y[P(x, y)] ทก x, y ∈ U

เมอแทนใน P(x, y) แลวทาให P(x, y) เปนจรง

มบาง x, y ∈ U เมอแทนใน P(x, y)

แลวทาให P(x, y) เปนเทจ

∀x∃y[P(x, y)] ทก x ∈ U จะม y ∈ U


มบาง x ∈ U ททก y ∈ U เมอแทนใน P(x, y)


∃x∀y[P(x, y)] มบาง x ∈ U ซงทก y ∈ U


ทก x ∈ U จะม y ∈ U เมอแทนใน P(x, y)


∃x∃y[P(x, y)] มบาง x, y ∈ U เมอแทนใน P(x, y)

แลวทาให P(x, y) เปนจรง

ทก x, y ∈ U เมอแทนใน P(x)

แลวทาให P(x) เปนเทจ ตวอยาง จงหาคาความจรงของประโยคเปดทมตวบงปรมาณ เมอกาหนดเอกภพสมพทธใหในแตละขอตอไปน 1. ∀x∀y[x + y = y + x] เมอ U = {0, 1} 2. ∀x∃y[y < x] เมอ U = {0, 1, 2} 3. ∃x∀y[x + y = 0] เมอ U = {-1, 0, 1} 4. ∃x∃y[x + 3 = 2y] เมอ U = {4, 5, 6}


สมมลของประโยคทมตวบงปรมาณ ∀x[P(x)] ≡ ∀x[Q(x)] กตอเมอ P(x) ≡ Q(x) ∃x[P(x)] ≡ ∃x[Q(x)] กตอเมอ P(x) ≡ Q(x) นเสธของประโยคทมตวบงปรมาณ ∼∀x[P(x)] ≡ ∃x[∼P(x)] ∼∃x[P(x)] ≡ ∀x[∼P(x)] ∼∀x∀y[P(x, y)] ≡ ∃x∃y[∼P(x, y)] ∼∃x∀y [P(x, y)] ≡ ∀x∃y[∼P(x, y)] การอางเหตผล ประกอบดวยสวนทสาคญ 2 สวน คอ 1. เหตหรอสงทกาหนดให ไดแก P1, P2, P3, …, Pn 2. สวนทเปนผล ไดแก Q การตรวจสอบการอางเหตผล 1. สรางประพจน เพอตรวจสอบสจนรนดร (1) เชอมเหตทกตว “และ” จะได P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ ... ∧ Pn (2) เชอม “ขอ 1” กบ “ผล” ดวย “⇒” จะได (P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ ... ∧ Pn) ⇒ Q (3) ถาประพจนในขอ (2) เปนสจนรนดร แสดงวา การอางเหตผล “สมเหตสมผล (valid)” ถาประพจนในขอ (2) ไมเปนสจนรนดร แสดงวา การอางเหตผล “ไมสมเหตสมผล (invalid)” 2. ใชรปแบบประพจนทสมเหตสมผล รปแบบการอางเหตผลทสมเหตสมผล 1) เหต 1. p → q 2) เหต 1. p → q 2. p 2. ∼q ผล q ผล ∼p 3) เหต 1. p ∨ q 4) เหต 1. p → q 2. ∼p (หรอ ∼q) 2. q → r ผล q (หรอ p) ผล p → r 5) เหต 1. p → q 6) เหต 1. p ∧ q 2. q → s ผล p (หรอ q) 3. p ∨ q ผล r ∨ s 7) เหต 1. p → q 8) เหต 1. p ผล ∼p ∨ q ผล p ∨ q ∨ r หรอ ∼q → ∼q


แบบทดสอบ 1. กาหนดให p, q และ r เปนประพจน พจารณาขอความตอไปน ก. ถา q ∧ r มคาความจรงเปนจรง แลว p และ p ∨ [(q ∧ r) ⇒ p] มคาความจรงเหมอนกน ข. ถา p มคาความจรงเปนเทจ แลว r และ (p ⇒ q) ∧ r มคาความจรงเหมอนกน ขอใดตอไปนเปนจรง * 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด 2. กาหนดให ประพจน (∼p ↔ ∼r) ∨ (p ↔ q) มคาความจรงเปนเทจ ประพจนใดตอไปนมคาความจรงเปนเทจ 1) ∼p → (q ∨ r) 2) ∼p → (q ∧ r) 3) p ∨ q ∨ ∼r * 4) p ∧ q ∧ ∼r 3. กาหนดให p, q และ r เปนประพจน ถาประพจน p → (q ∧ r) มคาความจรงเปนเทจ และ (p ∨ q) ↔ r

มคาความจรงเปนจรง แลวพจารณาคาความจรงของประพจนตอไปน ก. (p ↔ q) ↔ ∼r ข. p ↔ (q ∨ ∼r) 1) ก. และ ข. จรง 2) ก. จรง และ ข. เทจ 3) ก. เทจ และ ข. จรง 4) ก. และ ข. เทจ 4. กาหนดให p, q, r เปนประพจน จงพจารณาขอความตอไปน ก. ประพจน p ⇒ (p ⇒ (q ∨ r)) สมมลกบประพจน p ⇒ (q ∨ r) ข. ประพจน p ∧ (q ⇒ r) สมมลกบประพจน (q ⇒ p) ∨ ∼(p ⇒ ∼r) ขอใดตอไปนถก 1) ก. และ ข. ถก * 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด 5. พจารณาขอความตอไปน ก. ถา q มคาความจรงเปนเทจแลว ประพจน p → (q → r) มคาความจรงเปนจรง ข. นเสธของประพจน (p → q) → r คอ (∼p ∧ ∼r) ∨ (∼r ∧ q) ขอใดตอไปนถก * 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด 6. กาหนด p, q, r และ s เปนประพจน ประพจนในขอใดตอไปนไมเปนสจนรนดร 1) [(p ∨ (q ∧ r)] ↔ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)] 2) [p ∨ (q ∧ r)] ∨ ∼[p ∨ (q ∧ r)] 3) [(p ∨ q) → r] ↔ [∼r → (∼p ∧ ∼q)] * 4) [(p → q) ∧ (q → r) ∧ (s ∨ ∼r) ∧ ∼s] ↔ p 7. ประพจนตอไปนขอใดเปนสจนรนดร ก. [(p → q) ∨ (q → r)] ∨ (p → r) เมอ p, q และ r เปนประพจนใดๆ ข. (∼p → q) ∨ (∼p ∨ q) เมอ p และ q เปนประพจนใดๆ ขอใดตอไปนถก * 1) ก. และ ข. เปนสจนรนดร 2) ก. เปน แต ข. ไมเปนสจนรนดร 3) ก. ไมเปน แต ข. เปนสจนรนดร 4) ก. และ ข. ไมเปนสจนรนดร

8. เอกภพสมพทธในขอใดตอไปน ทาใหประโยค ก. และ ข. ทกาหนดใหขางลางนมคาความจรงเปนเทจทงค ก. ∀x [(x2 - 1)(x2 - 3x) = 0] ข. ∃x[ 2 |x| + = 2] 1) {-2, 0, 1, 2} 2) {-1, 0, 1, 3} * 3) {-3, -1, 0, 1} 4) {-1, 0, 2, 3} 9. พจารณาประโยคตอไปน ก. ∃x[ 2 |x| + < x] ข. ∃x[2|x| > 3x] เอกภพสมพทธในขอใดทาใหประโยค ก. และ ข. มคาความจรงเปนจรง 1) {-2, 0, 2} * 2) {-2, 0, 3} 3) {0, 1, 2} 4) {0, 1, 3} 10. เอกภพสมพทธ U ทกาหนดใหขอใดตอไปนททาใหประโยค

∃x [2x2 + x - 1 ≤ 0 ∧ 44x x2 +- ≤ 3] มคาความจรงเปนจรง 1) U = เซตของจานวนเตมบวกค 2) U = เซตของจานวนเตมบวกค 3) U = เซตของจานวนเตมลบค * 4) U = เซตของจานวนเตมลบค

11. กาหนดให U =

<∈ + 1 5 x 1) (x R x 2

-

ให P(x) แทนประโยค |x| < 5 และ Q(x) แทนประโยค 1 < x2 < 16 ถา U เปนเอกภพสมพทธ แลวขอความในขอใดตอไปนมคาความจรงเปนเทจ 1) ∀x[P(x)] ⇒ ∀x[Q(x)] 2) ∃x[P(x)] ∧ ∃x[Q(x)] 3) ∀x[P(x)] ∨ ∃x[Q(x)] * 4) ∃x[Q(x)] ⇒ ∀x[P(x)] 12. กาหนดให P(x) และ Q(x) เปนประโยคเปด โดยท ∀x[P(x)] → ∃x[∼Q(x)] มคาความจรงเปนเทจ เมอ

เอกภพสมพทธ คอเซตของจานวนจรง ขอใดตอไปนมคาความจรงเปนจรง 1) ∃x[P(x) ∧ ∼Q(x)] 2) ∃x[∼Q(x) ∨ ∼Q(x)] 3) ∀x[P(x) → ∼Q(x)] * 4) ∀x[P(x) → Q(x)] 13. กาหนดให เอกภพสมพทธ คอ U = {-3, -2, -1, 1, 2, 3} ขอใดตอไปนมคาความจรงเปนเทจ 1) ∃x∀y[x + y < y] 2) ∃x∀y[x - y2 < x] * 3) ∃x∀y[xy2 = x] 4) ∃x∀y[x2y = y] 14. กาหนดใหเอกภพสมพทธคอเซต {-2, -1, 1, 2} ประโยคในขอใดตอไปนมคาความจรงเปนเทจ 1) ∃x∃y[x ≤ 0 ∧ |x| = y + 1] 2) ∃x∀y[x ≤ y ∧ -(x + y) ≥ 0] 3) ∀x∃y[x + y = 0 ∨ x - y = 0] * 4) ∀x∀y[|x| < |y| ∨ |x| > |y|] 15. กาหนดใหเอกภพสมพทธคอ U = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}} ขอใดตอไปนถก * 1) ∀x∀y[xI y ≠ ∅] 2) ∀x∀y[xU y = U] 3) ∀x∃y[y ≠ x ∧ y ⊂ x] 4) ∃x∀y[y ≠ x ∧ y ⊂ x]

16. กาหนดให U = { n ∈ I+ | n ≤ 10 } ประโยคในขอใดตอไปนมคาความจรงเปนเทจ 1) ∀x∀y[(x2 = y2) ⇒ (x = y)] * 2) ∀x∃y[(x ≠ 1) ⇒ (x > y2)] 3) ∃x∀y[xy ≤ x + y] 4) ∃x∃y[(x - y)2 ≥ y2 + 9xy] 17. พจารณาขอความตอไปน ก. ใหเอกภพสมพทธคอเซตของจานวนเฉพาะบวก ขอความ ∀x∃y[x2 + x + 1 = y] มคาความจรง

เปนจรง ข. นเสธของขอความ ∀x[P(x) → (Q(x) ∨ R(x))] คอ ∃x[P(x) ∧ ∼Q(x) ∧ ∼R(x)] ขอใดตอไปนถก 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด * 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด 18. พจารณาขอความตอไปน ก. ถา p, q เปนประพจน โดยท p มคาความจรงเปนจรง และ ∼q → (∼p ∨ q) เปนสจนรนดร

แลว q มคาความจรงเปนจรง ข. นเสธของขอความ ∃x[(∼P(x)) ∧ Q(x) ∧ (∼R(x))] คอขอความ ∀x[Q(x) → (P(x) ∨ R(x))] ขอใดตอไปนถก * 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด 19. กาหนดให P(x) และ Q(x) เปนประโยคเปด โดยท ∀x[P(x)] ⇒ ∃x[∼Q(x)] มคาความจรงเปนเทจ เมอ

เอกภพสมพทธ คอเซตของจานวนจรง ขอใดตอไปนมคาความจรงเปนจรง 1) ∀x[∼P(x)] ⇒ ∃x[Q(x)] * 2) ∀x[Q(x)] ⇒ ∃x[∼P(x)] 3) ∃x[P(x)] ⇒ ∀x[Q(x)] 4) ∃x[∼Q(x)] ⇒ ∀x[P(x)] 20. นเสธของขอความ ∀x∃y[(xy = 0 ∧ x ≠ 0) → y = 0] สมมลกบขอความในขอใดตอไปน 1) ∃x∀y[(xy = 0 ∨ x = 0) ∧ y ≠ 0] 2) ∃x∀y[(xy ≠ 0 ∧ x = 0) ∨ y = 0] * 3) ∃x∀y[(xy = 0 ∧ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0] 4) ∃x∀y[xy ≠ 0 ∨ x = 0 ∨ y = 0] 21. นเสธของ ∀r > 0 ∃s > 0 ∀x ∈ R [|x + 1| < s → |f(x) - 2| < r] คอประพจนในขอใดตอไปน 1) ∃r ≤ 0 ∀s ≤ 0 ∃x ∈ R [|x + 1| ≥ s → |f(x) - 2| ≥ r] * 2) ∃r > 0 ∀s > 0 ∃x ∈ R [|x + 1| < s ∧ |f(x) - 2| ≥ r] 3) ∃r ≤ 0 ∀s ≤ 0 ∃x ∈ R [|x + 1| < s ∧ |f(x) - 2| ≥ r] 4) ∃r > 0 ∀s > 0 ∃x ∈ R [|f(x) - 2| ≥ r → |x + 1| ≥ s]


22. พจารณาขอความตอไปน ก. ถา p ⇒ (q ∧ r) มคาความจรงเปนจรง และ (p ∨ q) ⇒ r มคาความจรงเปนเทจ แลว

q ⇒ (p ∨ r) มคาความจรงเปนจรง ข. การอางเหตผลตอไปนสมแหตสมผล เหต 1. (∼p) ∨ q 2. (p ∨ q) ⇒ ∼r 3. p ⇒ ∼r ผล q ∨ r ขอใดตอไปนถก 1) ก. และ ข ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก * 4) ก. และ ข. ผด 23. กาหนดให เหต 1. ∼p → ∼q 2. p → (r ∨ s) 3. q ∨ t 4. ∼t ผลในขอใดตอไปนทาใหการอางเหตผลน สมเหตสมผล 1) s → r 2) s → ∼r 3) r → ∼s * 4) ∼r → s 24. พจารณาการใหเหตผลตอไปน ก. เหต 1. p → (q → r) ข. เหต 1. p → (q → ∼s) 2. p 2. p ∧ s 3. ∼t → q ผล p ผล r → t ขอใดตอไปนถก 1) ก. และ ข. สมเหตสมผล 2) ก. สมเหตสมผล และ ข. ไมสมเหตสมผล * 3) ก. ไมสมเหตสมผล และ ข. สมเหตสมผล 4) ก. ไมสมเหตสมผล และ ข ไมสมเหตสมผล 25. พจารณาการอางเหตผลตอไปน เมอ p, q และ r เปนประพจน ก. เหต 1. p ∨ (p ∧ ∼q) ข. เหต 1. ∼p → r 2. p → q 2. ∼r ∨ s 3. ∼s ผล q ผล p ขอใดตอไปนถก * 1) ก. และ ข. สมเหตสมผล 2) ก. สมเหตสมผล และ ข. ไมสมเหตสมผล 3) ก. ไมสมเหตสมผล และ ข. สมเหตสมผล 4) ก. ไมสมเหตสมผล และ ข ไมสมเหตสมผล


26. กาหนดให p, q, r และ s เปนประพจน ในการอางเหตผล ถา “เหต” คอ 1. (p ∨ q) → (r ∧ s) 2. r → ∼s แลว ประพจนในขอใดตอไปนเปน “ผล” ททาใหการอางเหตผลมความสมเหตสมผล 1) p 2) q * 3) ∼p ∧ ∼q 4) ∼p ∧ q 27. กาหนด เหต 1. A ↔ ∼B 2. ∼A → (C → ∼B) 3. (∼D ∨ ∼C) → ∼(∼B) 4. ∼D ผลในขอใดตอไปนไดจากการสรปทสมเหตสมผลจากเหตทกาหนดใหทงสขอ 1) A 2) ∼B * 3) ∼C 4) D 28. กาหนดเหตใหดงตอไปน 1) เอกภพสมพทธไมเปนเซตวาง 2) ∀x[P(x) → Q(x)] 3) ∀x[Q(x) ∨ R(x)] 4) ∃x[∼R(x)] 29. ขอความในขอใดตอไปนเปนผลททาใหการอางเหตผล สมเหตสมผล 1) ∃x[P(x)] 2) ∃x[Q(x)] 3) ∀x[P(x)] * 4) ∀x[Q(x)]


ระบบจานวนจรง โครงสรางของระบบจานวนจรง

จานวนจรง (R) จานวนตรรกยะ (Q) จานวนอตรรกยะ (Q′) จานวนเตม เชน ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... ทศนยมไมรจบแบบไมซา เชน 0.1637... เศษสวน เชน 2

1 , 45 n A เชน 2 , 5 , 3 7 , 4 11 , 5 25

ทศนยมรจบ เชน 0.3, 0.123 ♥ 49 , 3 343 , 4 2401 ไมใชจานวนอตรรกยะ ทศนยมซา เชน 10.& , 320. && , 50.32& π = 3.14159... ≈ 3.1416 ≈ 7

22

e = 2.718... ≈ 2.718 สมบตของระบบจานวนจรง ให a, b, c ∈ R

สมบต การบวก การคณ ปด 1. a + b ∈ R 6. ab ∈ R การสลบท 2. a + b = b + a 7. ab = ba การเปลยนหม 3. (a + b) + c = a + (b + c) 8. (ab)c = a(bc) การมเอกลกษณ 4. มจานวนจรง 0 ซง

0 + a = a = a + 0 9. มจานวนจรง 1, 1 ≠ 0 ซง 1 ⋅ a = a = a ⋅ 1

การมอนเวอรส 5. สาหรบ a จะมจานวนจรง -a โดยท (-a) + a = 0 = a + (-a) เรยก -a วาอนเวอรสการบวกของ a

10. สาหรบ a ทไมเปน 0 จะมจานวนจรง a-1 โดยท a-1 ⋅ a = 1 = a ⋅ a-1 เรยก a-1 วาอนเวอรสการคณของ a

การแจกแจง 11. a(b + c) = ab + ac การแกสมการพหนามตวแปรเดยว เราสามารถหาคาตอบของสมการพหนามตวแปรเดยวโดยใชการแยกตวประกอบ หรอสตรตางๆ ของการแยกตวประกอบ

สตรการแยกตวประกอบของพหนาม ผลตางกาลงสอง A2 - B2 = (A + B)(A - B) กาลงสองสมบรณ A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 ผลตางกาลงสาม A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) ผลบวกกาลงสาม A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2) กาลงสามสมบรณ A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 = (A - B)3 การแกสมการกาลงสอง 1. แยกตวประกอบพหนาม 2. ใชสตร ถา ax2 + bx + c = 0 โดยท a, b และ c เปนจานวนจรงใดๆ แลว

x = 2a 4ac b b 2 -- ±

ถา b2 - 4ac > 0 แลว คาตอบของสมการม 2 คาตอบ ถา b2 - 4ac = 0 แลว คาตอบของสมการม 1 คาตอบ ถา b2 - 4ac < 0 แลว ไมมคาตอบสมการในระบบจานวนจรง การแกสมการพหนามโดยใชทฤษฎบทเศษเหลอ นนคอ แทนคา x = c ลงใน p(x) จะได p(c) เปนเศษ นนคอ 1. สาหรบพหนาม p(x) ถา x - c เปนตวประกอบแลวจะได p(c) = 0 2. สาหรบพหนาม p(x) ถา p(c) = 0 แลว x - c จะเปนตวประกอบของ p(x)

ทฤษฎบทเศษเหลอ (remainder theorem) เมอ p(x) คอ พหนาม anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 โดยท n เปนจานวนเตมบวก an, a n-1, ..., a1, a0 เปนจานวนจรง ซง an ≠ 0 ถาหารพหนาม p(x) ดวย x - c เมอ c เปนจานวนจรง เศษเหลอจะเทากบ p(c)

ทฤษฎบทตวประกอบ (factor theorem) เมอ p(x) คอ พหนาม anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 โดยท n เปนจานวนเตมบวก an, a n-1, ..., a1, a0 เปนจานวนจรง ซง an ≠ 0 พหนาม p(x) จะม x - c เปนตวประกอบกตอเมอ p(c) = 0

การหารสงเคราะห (Synthetic Division) ตวอยาง จงหาผลหารและเศษจากการหารพหนาม 2x3 + 3x2 - 5x + 4 ดวย x + 3 วธทา ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... สมบตของการไมเทากน ถา a และ b เปนจานวนจรงแลว a = b, a b จะเปนจรงเพยงอยางใดอยางหนง เทานน เรยกวา “สมบตไตรวภาค” ทฤษฎบท กาหนดให a, b และ c เปนจานวนจรงใดๆ 1. ถา a > b และ b > c แลว a > c 2. ถา a > b แลว a + c > b + c 3. ถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc และถา a > b และ c < 0 แลว ac < bc 4. ถา ac > bc และ c > 0 แลว a > b และถา ac > bc และ c < 0 แลว a 0 6. ถา a < 0 และ b > 0 แลว ab < 0 7. ถา a > 0 และ b < 0 แลว ab < 0 8. ถา a 0 ∗ ถาอสมการอยในรปเศษสวน ตองระวงไวเสมอวา ตวสวนตองไมเปนศนย 3. ใหตวประกอบแตละตว เทากบ 0 แลวแกสมการหาคา x จากนนจงนาคา x ทไดไปเขยนบนเสนจานวน ซงคา x ทไดจะแบงเสนจานวนเปนชวงๆ 4. พจารณาเครองหมายของพหนามในแตละชวง สวนใหญเครองหมายบวก ลบ จะสลบกนไป 5. จากนนพจารณาชวงคาตอบ ถาอสมการมเครองหมายเปน “>” ใหตอบชวงทเปน บวก ถาอสมการมเครองหมายเปน “<” ใหตอบชวงทเปน บวก 6. กรณทวงเลบใดไมสามารถแยกตวประกอบได ใหคงไวอยางนน แลวคดเครองหมายไดเลย เชน (x2 + 4) (2x + 1)(3x - 2) ≤ 0

ทฤษฎบทตวประกอบจานวนตรรกยะ (Factor Theorem) เมอ p(x) คอ พหนามในรป anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 โดยท n เปนจานวนเตมบวก an, a n-1, ..., a1, a0 เปนจานวนจรง ซง an ≠ 0 ถา x - m

k เปนตวประกอบของพหนาม p(x) โดยท m และ k เปนจานวนเตมซง m ≠ 0

และ ห.ร.ม. ของ m และ k เปน 1 แลว m หาร an ลงตว และ k หาร a0 ลงตว

การแกสมการและอสมการในรปคาสมบรณ คาสมบรณของจานวนจรง a เขยนแทนดวย |a| หมายถง ระยะจากจด 0 ถงจด a บนเสนจานวน บทนยาม ให x เปนจานวนจรง ทฤษฎบทของคาสมบรณ เมอ x และ y เปนจานวนจรง 1. |x| ≥ 0 2. |x| = |-x| 3. |x ⋅ y| = |x| ⋅ |y| 4. yx = |y|

|x|

5. |x - y| = |y - x| 6. |x|2 = x2

7. 2x = |x| 8. |x + y| ≤ |x| + |y| 9. |x - y| ≥ |x| - |y| การแกสมการในรปคาสมบรณ 1. ถา |f(x)| = 0 แลว f(x) = 0 2. ถา |f(x)| = a และ a ≥ 0 แลว f(x) = a หรอ f(x) = -a 3. ถา |f(x)| = a และ a < 0 แลว x ∈ ∅ 4. ถา |f(x)| = |g(x)| แลว f(x) = g(x) หรอ f(x) = -g(x) 5. ถา |f(x)| = g(x) แลว f(x) = g(x) หรอ f(x) = -g(x) โดยท g(x) ≥ 0 6. ถา |P(x)| = P(x) แลว P(x) ≥ 0 ถา |P(x)| = - P(x) แลว P(x) ≤ 0 7. ถา |P(x)| + |Q(x)| = |P(x) + Q(x)| แลว P(x) ⋅ Q(x) ≥ 0 ถา |P(x)| - |Q(x)| = |P(x) - Q(x)| แลว P(x) ⋅ Q(x) ≥ 0 ∧ P(x) ≥ Q(x) การแกอสมการในรปคาสมบรณ 1. |x| ≤ ∆ กตอเมอ -∆ ≤ x ≤ ∆ |x| < ∆ กตอเมอ -∆ < x < ∆ 2. |x| ≥ ∆ กตอเมอ x ≤ -∆ หรอ x ≥ ∆ |x| > ∆ กตอเมอ x < -∆ หรอ x > ∆ 3. |P(x)| < |Q(x)| กตอเมอ (P(x) + Q(x)) ⋅ (P(x) - Q(x)) < 0

|x| =

<

>=

0 x ;x 0 x ; 0 0 x ; x

-


แบบทดสอบ 1. ให a เปนจานวนเตม ถา x - a หาร x3 + 2x2 - 5x - 2 เหลอเศษ 4 แลว ผลบวกของคา a ทงหมดท

สอดคลองเงอนไขดงกลาว เทากบขอใดตอไปน 1) -6 * 2) -2 3) 2 4) 6 2. กาหนดให x + 1 และ x - 1 เปนตวประกอบของพหนาม P(x) = 3x3 + x2 - ax + b เมอ a, b เปนคาคงตว

เศษเหลอทไดจากการหาร P(x) ดวย x - a - b เทากบขอใดตอไปน 1) 15 2) 17 3) 19 * 4) 21 3. กาหนดให f(x) = x3 + kx2 + mx + 4 เมอ k และ m เปนคาคงตว ถา x - 2 เปนตวประกอบหนงของ

f(x) และเมอนา x + 1 ไปหาร f(x) ไดเศษเหลอ 3 แลวคาสมบรณของ k + m เทากบ เทาใด (ตอบ 4) 4. กาหนดให k และ l เปนจานวนเตม ซงเมอหาร x3 - 6x2 + (k + l)x + 2 ดวย x - 2 แลวเหลอเศษเปน

-4 ถา k : l = 3 : 2 แลว ผลหารของการหาร 6x3 + 2x2 + 8x + 1 ดวย kx - l มคาเปนเทาใด (ตอบ 9) 5. ให P(x) = x3 + ax2 + bx + 10 เมอ a, b เปนจานวนเตม และ Q(x) = x2 + 9 ถา Q(x) หาร P(x) เหลอ

เศษ 1 แลว P(a) + P(b) มคาเทาใด (ตอบ 922) 6. ให p(x) เปนพหนาม ถาหาร p(x) ดวย x - 1 จะเหลอเศษ 3 และ ถาหาร p(x) ดวย x - 3 จะเหลอเศษ 5

ถา r(x) = ax + b คอ เศษทเกดจากการหาร p(x) ดวย (x - 1)(x - 3) แลว 3a + 2b เทากบเทาใด (ตอบ 7) 7. ให a และ b เปนจานวนจรงททาให x2 + ax + b หาร x3 - 3x2 + 5x + 7 มเศษเทากบ 10 คา a + b

เทากบขอใดตอไปน * 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 8. กาหนดให S = {x ||x|3 = 1} เซตในขอใดตอไปนเทากบเซต S 1) {x | x3 = 1} * 2) {x | x2 = 1} 3) {x | x3 = -1} 4) {x | x4 = x} 9. กาหนดให S เปนเซตคาตอบของสมการ 2x3 - 7x2 + 7x - 2 = 0 ผลบวกของสมาชกทงหมดของ S

เทากบขอใดตอไปน 1) 2.1 2) 2.2 3) 3.3 * 4) 3.5 10. ถา a, b และ c เปนคาตอบทง 3 คาตอบของสมการ x3 - 8x2 + 5x + 7 = 0 แลวคาของ a2 + b2 + c2

มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 39 * 2) 54 3) 63 4) 74 11. กาหนดให A = {x ||x - 1| ≤ 3 - x} และ a เปนสมาชกคามากทสดของ A คาของ a อยในชวงใด

ตอไปน 1) (0, 0.5] 2) (0.5, 1] 3) (1, 1.5] * 4) (1.5, 2]

12. กาหนดให A เปนเซตคาตอบของสมการ x3 + x2 - 27x - 27 = 0 และ B เปนเซตคาตอบของสมการ x3 + (1 - 3 )x2 - (36 + 3 )x - 36 = 0 AI B เปนสบเซตของชวงในขอใดตอไปน * 1) [-3 5 , -0.9] 2) [1.1, 0] 3) [0, 3 5 ] 4) [1, 5 3 ] 13. กาหนดให A = {x | (2x + 1)(x - 1) < 2} และ B = {x | 16 - 9x2 > 0} เซต AI B เปนสบเซตของ

ชวงในขอใดตอไปน 1)

37 ,3

2- * 2)

35 1,- 3)

45 ,3

4- 4)

1 ,3

5-

14. กาหนดให S =

++

≥1 x2 x

2 3x xxx 22

-- ชวงในขอใดตอไปนเปนสบเซตของ S

1) (-∞, -3) * 2) (-1, 0, 5) 3) (-0.5, 2) 4) (1, ∞) 15. กาหนดให A เปนเซตคาตอบของอสมการ x2

1)1)(x (2x -

-+ ≥ 0

และ B เปนเซตคาตอบของอสมการ 2x2 - 7x + 3 < 0 ถา AI B = [c, d) แลว 6c - d เทากบขอใดตอไปน * 1) 4 2) 5 3) 6 4) 7 16. กาหนดให A = {x | (x2 - 1)(x2 - 3) ≤ 15 } ถา a เปนสมาชกคานอยสดในเซต A และ b เปนสมาชก

คามากสดในเซต A แลว (b - a)2 เทากบขอใดตอไปน * 1) 24 2) 16 3) 8 4) 4 17. กาหนดให S เปนเซตคาตอบของอสมการ

65x x36 13x x

224

+++- ≥ 0 ถา a เปนจานวนทมคานอยทสดในเซต

SI (2, ∞) และ b เปนจานวนลบทมคามากทสด ซง b ∉ S แลว a2 - b2 เทากบขอใดตอไปน 1) -9 2) -5 * 3) 5 4) 9 18. กาหนดให A เปนเซตคาตอบของสมการ |(2x - 1)(x + 3) | = |(x + 7)(3 - 4x) | ผลบวกของสมาชก

ทงหมดของ A เทากบขอใดตอไปน * 1) -15 2) - 2

15 3) 215 4) 15

19. กาหนดให I เปนเซตของจานวนเตม ถา S = {x | 2x2 - 9x - 26 ≤ 0 และ |1 - 2x| ≥ 0} แลว ผลบวก

ของสมาชกของ S เทากบเทาใด (ตอบ 17) 20. เซตคาตอบของอสมการ |3x - 1| | (2x + 1) < 1 และ 5x < 1 เทากบขอใดตอไปน 1)

∞ 3

1 , -- U

51 0, 2)

∞ 2

1 , -- U

51 0,

3) (-∞, 0) U

51 ,6

1 * 4)

∞ 6

1 , -- U

51 0,

21. ถาเซตคาตอบของอสมการ |x2 + x - 2| < (x + 2) คอชวง (a, b) แลว a + b มคาเทากบเทาใด (ตอบ 2)

22. กาหนดให A เปนเซตคาตอบของอสมการ |x2 + x - 2| ≤ |x2 - 4x + 3| และ B = A - {1} ถา a เปนสมาชกของ B ซง a - b ≥ 0 ทก b ∈ B แลว พจารณาขอความตอไปน

ก. 34 a เปนจานวนค ข. a

5 เปนจานวนค

ขอใดตอไปนถก 1) ก. และ ข. ถก * 2) ก. ผด และ ข. ถก 3) ก. ถก และ ข. ผด 4) ก. และ ข. ผด 23. กาหนดให A = {x|x2 + 2x - 3 < 0} และ B = {x|x + 1 ≥ 2|x|} ถา A - B = (a, b) แลว

3|a + b| มคาเทาใด (ตอบ 10) 24. กาหนดให U เปนเซตคาตอบของอสมการ ||x + 1| + 2 | ⋅ ||x + 1| - 2 | ≤ 25 ประโยคในขอใดตอไปนม

คาความจรงเปนจรง 1) ∃x∃y[x + y = 14] 2) ∃x∃y[x + y = 11] * 3) ∃x∃y[x + y = -11] 4) ∃x∃y[x + y = -14] 25. ถา A = {(x, y) ∈ R × R ||x + y| ≥ |x| + |y|} แลว A คอเซตในขอใดตอไปน 1) A = {(x, y) ∈ R × R | x = 0 หรอ y = 0} 2) A = {(x, y) ∈ R × R | x ≥ 0 หรอ y ≥ 0} 3) A = {(x, y) ∈ R × R | xy ≤ 0} * 4) A = {(x, y) ∈ R × R | xy ≥ 0} 26. ถา A = { x ∈ R+

| 3|x + 2| ≤ |2x2 + x|} แลวสมาชกของ A ทมคานอยทสดเทากบคาในขอใดตอไปน

1) 21 13 - * 2) 2

1 13 + 3) 13 - 1 4) 13 + 1 27. กาหนดให P(x) และ Q(x) เปนพหนามดกร 2551 ซงสอดคลองกบ P(n) = Q(n) สาหรบ n = 1, 2, 3, ...,

2551 และ P(2552) = Q(2552) + 1 คาของ P(0) - Q(0) เทากบขอใดตอไปน 1) 0 2) 1 * 3) -1 4) หาคาไมไดเพราะขอมลไมเพยงพอ


ทฤษฎจานวนเบองตน นยามการหารลงตว ให a และ b เปนจานวนเตมโดยท b ≠ 0 b หาร a ลงตวกตอเมอ มจานวนเตม c ททาให a = bc เรยก b วา ตวหาร (Divisor) ของ a และเรยก a วา พหคณ (Multiple) ของ b b | a แทน “b หาร a ลงตว” และ b | a แทน “b หาร a ไมลงตว” สมบตการหารลงตว ♥ ถา a, b และ c เปนจานวนเตมโดยท b และ c ไมเทากบศนย แลว a | b และ b | c แลว a | c ♥ ถา a | b และ c | d แลว ac | bd ♥ ถา a และ b เปนจานวนเตมบวก ซง a | b และ b ≠ 0 แลว a ≤ b ♥ ถา a, b และ c เปนจานวนเตม ซง a | b และ a | c จะได a | (bx + cy) โดย x, y ∈ I และเรยก

bx + cy วา “ผลรวมเชงเสน” ตวอยางท 1 กาหนด a, b และ c เปนจานวนเตมใดๆ ทไมเปนศนย ถา a | (b + c) แลวขอใดตอไปนถก 1) a | b 2) a | c 3) a | (b2 + c2) 4) a | (b2 - c2) ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ตวอยางท 2 ถา d เปนจานวนเตมบวก ซง d | 15k + 27) และ d | (3k + 2) แลว d ตรงกบขอใดตอไปน 1) 1 หรอ 17 2) 3 หรอ 11 3) 2 หรอ 13 4) 4 หรอ 19 ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................


จานวนคและจานวนค ♥ จานวนค เขยนแทนดวย 2n เมอ n เปนจานวนเตม ♥ จานวนค เขยนแทนดวย 2n + 1 หรอ 2n - 1 เมอ n เปนจานวนเตม ตวอยางท 3 จงแสดงวา ถา x เปนจานวนเตมค แลว 4 | (x2 - 1) วธทา ....................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... จานวนเฉพาะ (Prime numbers) ♥ จานวนเตม p ≠ 0 จะเปนจานวนเฉพาะ กตอเมอ p ≠ 1, -1 และถาจานวนเตม x หาร p ลงตว แลว

x ∈ {1, -1, p, -p} ♥ เรยกจานวนเตมทไมใชจานวนเฉพาะ และไมใช -1, 0, 1 วาเปน “จานวนประกอบ (composite

numbers)” ตวอยางท 4 จงหาจานวนเตมบวก n ทงหมดททาให n3 - 14n2 + 64n - 93 เปนจานวนเฉพาะ ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ทฤษฎบทหลกมลทางเลขคณต ♥ จานวนเตม n ทกจานวนทมากกวา 1 สามารถเขยนไดในรปผลคณของจานวนเฉพาะไดเพยงแบบเดยว

เทานน เชน 28 = 22 × 7 60 = 22 × 3 × 5 ♥ จานวนตวประกอบทงหมดทเปนบวกของ n = 1c

1p ⋅ 2c2p ⋅ 3c

3p ⋅... ⋅ kckp มคาเทากบ

(c1 + 1)(c2 + 1)(c3 + 1) … (ck + 1)


1) d | a และ d | b 2) ถา c เปนจานวนเตม ซง c | a และ c | b จะไดวา c | d

ตวอยางท 5 จานวนเตมบวกทงหมดทหาร 210 ลงตว มจานวนเทากบขอใดตอไปน 1) 14 2) 15 3) 16 4) 17 ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ตวอยางท 6 ถา A = {x ∈ I | x เปนจานวนเฉพาะ และ 2x | (252 - 6x)7} แลว จานวนสมาชกทงหมดใน A เทากบขอใด 1) 1 2) 2 3) 4 4) 6 ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ตวหารรวมมาก (ห.ร.ม.) ♥ กาหนดจานวนเตม a, b ซง a2 + b2 ≠ 0 จานวนเตมบวก d จะเปนตวหารรวมมาก (ห.ร.ม.) ของ a

และ b กตอเมอ ♥ d = (a, b) = ห.ร.ม. ของ a และ b ♥ เราสามารถเขยน d ในรปของผลรวมเชงเสนของ a และ b คอ d = am + bn เมอ m, n ∈ I ♥ ถา (a, b) = 1 เราเรยก a, b วาเปน “ จานวนเฉพาะสมพทธ (Relative primes) ” ตวอยางท 7 ถา a เปน ห.ร.ม. ของ 403 และ 465 และ b เปน ห.ร.ม. ของ 431 และ 465 แลว a - b มคาเทาใด ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ตวอยางท 8 จานวนเตมทงหมดตงแต 0 ถง 100 ทไมเปนจานวนเฉพาะสมพทธกบ 15 มทงหมดกจานวน ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................

1. m | c และ n | c 2. ถา a เปนจานวนเตม ซง m | a และ n | จะได c | a

ขนตอนวธการหาร ให m และ n เปนจานวนเตม ซง n ≠ 0 แลว จะมจานวนเตม q และ r ชดเดยว ซง m = nq + r โดยท 0 ≤ r < | n | เรยก q วา ผลหาร และ r วา เศษเหลอ ตวอยางท 9 กาหนดให n เปนจานวนนบใดๆ และ r เปนเศษเหลอจากการหาร n2 ดวย 11 จานวนในขอใดตอไปนเปนคาของ r ไมได 1) 1 2) 3 3) 5 4) 7 ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ตวอยางท 10 กาหนดให n เปนจานวนเตมทมคามากทสด ซงมสมบตวา n หาร 551 และ 731 เหลอเศษ r เทากน และ n หาร 1093 เหลอเศษ r + 2 แลว n

1r - มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 171 2) 18

1 3) 191 4) 20

1

.........................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................... ขนตอนวธยคลด กาหนดจานวนเตมบวก a และ b จากการนาขนตอนการหารมาใชซาๆ กน จะไดสมการ b = (a ⋅ q1) + r1 0 < r1 < a ...(1) a = (r1 ⋅ q2) + r2 0 < r2 < r1 ...(2) r1 = (r2 ⋅ q3) + r3 0 < r3 < r2 ...(3) M M rn-2 = (rn-1 ⋅ qn) + rn 0 < rn < rn-1 ...(n) rn-1 = (rn ⋅ qn+1) + 0 0 < r1 < a ...(n + 1) ตวคณรวมนอย (ค.ร.น.) ♥ ให m และ n เปนจานวนเตมทไมเปนศนย c จะเปนตวคณรวมนอย (ค.ร.น.) ของ m และ n กตอเมอ ♥ c = [ m, n ] = ค.ร.น. ของ m, n ♥ ถา d และ c เปน ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ทเปนบวกของจานวนเตม m, n ตามลาดบ จะไดวา dc = mn

rn = (a, b) = ห.ร.ม.

แบบทดสอบ 1. ถา d เปนจานวนเตมบวก ซง d | (20k + 36) และ d | (4k + 3) แลว d ตรงกบขอใดตอไปน 1) 1 หรอ 11 * 2) 3 หรอ 5 3) 2 หรอ 11 4) 4 หรอ 5 2. ให a, b และ c เปนจานวนเตม จงพจารณาขอความตอไปน ก. ถา a | bc แลว a | b หรอ a | c ข. ถา a | b และ b | c แลว a | (c - b) ขอใดตอไปนถก 1) ถกทง ก. และ ข. 2) ถกเฉพาะขอ ก. * 3) ถกเฉพาะขอ ข. 4) ผดทง ก. และ ข. 3. กาหนดให a, b และ c เปนจานวนเตม ขอใดตอไปนเปนจรง 1) ถา a | (b + c) แลว a | b หรอ a | c 2) ถา a | bc แลว a | b หรอ a | c * 3) ถา a | (2a - 3b) และ a | (4a - 5b) แลว a | b 4) ถา a | c และ b | c จะได ab | c 4. พจารณาขอความตอไปน ก. 3 | (a4 + 2a3 - a2 - 2a) ทกจานวนเตม a ข. {x ∈ I- | 6x3 + 17x2 + 14x + 3 ≥ 0} มสมาชกเพยงตวเดยว ขอใดตอไปนถกตอง * 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด 5. พจารณาขอความตอไปน ก. ถา a, b และ c เปนจานวนเตมซง a | (2b - c) และ a2

| (b + c) แลว a | 3c

ข. ถา A =

<∈ + 1 2 x

2 2x x R x -- และ B = {x ∈ R | x3 - 2x2 < 0} แลว A = B

ขอใดตอไปนถก 1) ก. และ ข. ถก * 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด 6. ถา A = {p | p เปนจานวนเฉพาะบวก และ p | (980 - p)3} แลว ผลบวกของสมาชกทงหมดใน A เทากบ

ขอใด 1) 10 2) 12 * 3) 14 4) 16 7. กาหนด a เปนจานวนเตมใดๆ จงพจารณาขอความตอไปน ก. (a2 + a) เปนจานวนค ข. (a2 - a) เปนจานวนค ขอใดกลาวถกตอง 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด * 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด

8. ขอความใดตอไปนผด 1) ถา a และ b เปนจานวนคแลว (a - b)2 เปนจานวนค 2) ถา b | a และ |a| < |b| แลว a = 0 * 3) ห.ร.ม. ของ 364 และ 1012 คอ 2 4) ถา a เปนจานวนค และ b เปนจานวนคแลว a2 + 2b เปนจานวนค 9. กาหนดให a เปนคาตอบของ 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 5 + 5 ⋅ 6 และ b เปนคาตอบของ 4 ⋅ 6 + 6 ⋅ 8 + 8 ⋅ 10 + 10 ⋅ 12 แลว (a, b) มคาตรงกบขอใดตอไปน 1) 70 * 2) 68 3) 66 4) 64 10. กาหนดให a และ b เปนจานวนเตมบวก ซง (a, b) = c แลว ห.ร.ม. ของ 2a และ 2b ตรงกบขอใดตอไปน 1) c * 2) 2c 3) 4c 4) 8c 11. กาหนดให a, b และ c เปนจานวนเตมบวกใดๆ พจารณาขอความตอไปน ก. ถา a | b และ b | c แลว a | c ข. ถา a | b แลว ห.ร.ม. ของ a กบ b คอ a ขอใดตอไปนถก * 1) ถกทง ก. และ ข. 2) ถกเฉพาะขอ ก. 3) ถกเฉพาะขอ ข. 4) ผดทง ก. และ ข. 12. กาหนดให x และ y เปนจานวนเตมบวก โดยท x < y ห.ร.ม. ของ x, y เทากบ 9 ค.ร.น. ของ x, y

เทากบ 28215 และจานวนเฉพาะทแตกตางกนทงหมดทหาร x ลงตว ม 3 จานวน คาของ y - x เทากบขอใดตอไปน

1) 36 2) 45 3) 9 * 4) 18 13. ให x และ y เปนจานวนเตมบวก ซง 80 < x < 200 และ x = pq เมอ p และ q เปนจานวนเฉพาะ

ซง p ≠ q ถา x และ y เปนจานวนเฉพาะสมพทธ และ ค.ร.น. ของ x, y เทากบ 15015 แลว ผลบวกของคาของ y ทงหมดทสอดคลองเงอนไขทงหมดทกาหนดใหเทากบเทาใด (ตอบ 270)

14. ถา 1 = ax + by โดย a, x, b, y เปนจานวนเตม จงหา ห.ร.ม. ของ x, y (ตอบ 1) 15. ให a เปนจานวนเตมบวก ซง 3 | a และ 5 | a หา ห.ร.ม. ของ a และ 7 เทากบ 1 แลว ห.ร.ม. ของ a และ

105 เทากบขอใดตอไปน 1) 5 * 2) 15 3) 35 4) 105 16. กาหนดใหเอกภพสมพทธคอ {x | x เปนจานวนเตมทไมใช 0 และ -100 ≤ x ≤ 100} ให A = {x | ห.ร.ม. ของ x กบ 21 เปน 3} จานวนสมาชกของ A เทากบขอใดตอไปน 1) 29 2) 34 3) 68 * 4) 58 17. สาหรบจานวนเตม a, b ใดๆ ให (a, b) = ห.ร.ม. ของ a และ b ให A = {1, 2, 3, ..., 400} จานวน

สมาชกของเซต {x ∈ A | (x, 40) = 5} มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 30 * 2) 40 3) 60 4) 80

18. ถา a เปน ห.ร.ม. ของ 403 และ 465 และ b เปน ห.ร.ม. ของ 431 และ 465 แลว a - b มคาเทาใด (ตอบ 30)

19. กาหนดให n เปนจานวนเตมบวกทมคานอยทสด ซงหารดวย 7 แลวมเศษเหลอเทากบ 4 ถา 9 และ 11 ตางกหาร (n - 2) ลงตวแลว n คอจานวนใด

20. กาหนด a, b, n, r เปนจานวนเตมใดๆ จงพจารณาขอความตอไปน a = b(n) + r b = r(2) + 70 r = 70(1) + 21 70 = 21(3) + 7 21 = 7(3) + 0 ขอใดตอไปนผด 1) (a, b) = (70, 21) * 2) (b, n) = 3 3) (r, 70) = (70, 21) 4) (a, b) = 7 21. ถา a, b, q1, q2 เปนจานวนเตมบวก ซง a = bq1 + 231 b = 231q2 + 126 แลว ห.ร.ม. ของ a, b เทากบเทาใด (ตอบ 21) 22. กาหนดให a และ b เปนจานวนเตมบวก ถา b หาร a ไดผลลพธ 1 เหลอเศษ 24 โดยท 24 < b, 24

หาร b ไดผลลพธ 1 เศษ 12 แลว ห.ร.ม. ของ a และ b เทากบจานวนในขอใดตอไปน 1) 1 2) 2 3) 6 * 4) 12 23. ให n ∈ I+ ซง ห.ร.ม. ของ n และ 42 เทากบ 6 ถา 42 = n q0 + r0 , 0 < r0 < n n = 2 r0 + r1 , 0 < r1 < r0 และ r0 = 2 r1 โดยท q0, r0, r1 เปนจานวนเตม แลว ค.ร.น. ของ n และ 42 มคาเทากบเทาไร (ตอบ 210) 24. กาหนดให a, b เปนจานวนเตม ซง a เปน ห.ร.ม. ของ b และ 216 ให q1, q2 เปนจานวนเตมบวกโดยท 216 = bq1 + 106 b = 106q2 + 4 ถา f(x) = x3 + ax2 + bx - 36 แลว เมอหาร f(x) ดวย x - a ไดเศษเทากบเทาใด 1) 192 * 2) 200 3) 236 4) 272 25. ในระบบจานวนเตม ให a และ b > 0 a = 1998 b + r , 0 < r < 1998 1998 = 47 r + r1 , 0 < r1 < r และ (r, r1) = 6 ขอความใดตอไปนถกตอง 1) (a, b) = 6 * 2) (a, 1998) = 6 3) (b, r) = 6 4) (1998, r) > 6


26. เมอหารจานวนเตมบวก x ดวย 6 มเศษเหลอเปน 4 จงหาเศษเหลอ เมอหาร 4x ดวย 3 (ตอบ 1) 27. ถา n เปนจานวนเตมบวกทมากทสดซงหาร 90 เหลอเศษ 6 และหาร 150 เหลอเศษ 3 แลว n หาร 41

เหลอเศษเทากบขอใดตอไปน 1) 5 2) 6 3) 18 * 4) 20 28. ขอความในขอใดตอไปนผด 1) ถา a, b, n เปนจานวนเตมบวก ซง n | a และ n | b แลวจะไดวา n หาร ห.ร.ม. ของ a, b ลงตวดวย 2) ถา a, b, n เปนจานวนเตมบวก ซง a | n และ b | n แลวจะไดวา ค.ร.น. ของ a, b หาร n ลงตวดวย * 3) ถา a, m, n เปนจานวนเตมบวก และ a | mn แลวจะไดวา a | m และ a | n 4) ถา d และ c เปน ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจานวนเตมบวก m, n แลวจะไดวา dc = mn 29. ให a เปนจานวนคบวก และ b เปนจานวนคบวก ขอใดตอไปนถก 1) a และ b เปนจานวนเฉพาะสมพทธ 2) a + b เปนจานวนเฉพาะ 3) ห.ร.ม. ของ a และ b เทากบ ห.ร.ม. ของ a และ 2b * 4) ค.ร.น. ของ a และ b เทากบ ค.ร.น. ของ a และ 2b 30. กาหนดให m เปนจานวนเตมบวก และ n เปนจานวนเฉพาะ ถา m หาร 777 และ 910 แลวเหลอเศษ n

แลว m – n มคาเทากบเทาใด (ตอบ 2) 31. ถา n เปนจานวนเตมบวกทมคานอยสด ซง 3 | (n - 2) และ 7 | (n - 6) แลว ห.ร.ม. ของ n และ (n + 4)

มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 3 * 2) 4 3) 5 4) 7 32. ให m และ n เปนจานวนเตมบวก ถา 5 หาร m เหลอเศษ 4 และ 5 หาร n เหลอเศษ 2 แลว 5 หาร

(m + n) เหลอเศษเทากบขอใดตอไปน * 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 33. ถา S เปนเซตของจานวนเตม m ทมสมบตดงน 50 ≤ m ≤ 100 และ 7 หาร m3 เหลอเศษ 6 แลว

จานวนสมาชกของ S เทากบขอใดตอไปน 1) 7 2) 14 3) 18 * 4) 21 34. ถา n เปนจานวนเตมบวกซงมสมบตดงน 100 ≤ n ≤ 1000, 45 และ 75 หาร n ลงตว, 7 หาร n เหลอเศษ

3 แลว n มคาเทากบเทาใด (ตอบ 675) 35. กาหนดให n เปนจานวนนบใดๆ และ r เปนเศษทเหลอจากการหาร n2 ดวย 11 จานวนในขอใดตอไปนเปน

คาของ r ไมได 1) 1 2) 3 3) 5 * 4) 7 36. กาหนดให n เปน ห.ร.ม. ของ 14097 และ 14351 จานวนในขอใดตอไปนหารดวย n แลวไดเศษเหลอเปน

จานวนเฉพาะ 1) 135 * 2) 144 3) 153 4) 162


ความสมพนธและฟงกชน ผลคณคารทเซยน (Cartesian product) A × B = {(x, y) | x ∈ A และ y ∈ B} สมบตของผลคณคารทเซยน 1. A × B = B × A กตอเมอ A = B หรอ A = ∅ หรอ B = ∅ 2. A × ∅ = ∅ = ∅ × A 3. ถา A และ B เปนเซตจากดแลว n(A × B) = n(A) × n(B) 4. มสมบตการแจกแจง A × (BU C) = (A × B)U (A × C) A × (BI C) = (A × B)I (A × C) A × (B - C) = (A × B) - (A × C) ความสมพนธ (relation) ♥ ความสมพนธ คอ เซตทเกดจากสมาชกของผลคณคารทเซยนทสอดคลองกบเงอนไขทกาหนด ♥ r เปนความสมพนธจากเซต A ไปเซต B เมอ r ⊂ A × B ♥ r เปนความสมพนธใน A เมอ r ⊂ A × A ♥ ถา (x, y) ∈ r แสดงวา x มความสมพนธ r กบ y เขยนแทนดวย x r y ♥ ถา (x, y) ∉ r แสดงวา x ไมมความสมพนธ r กบ y เขยนแทนดวย x r y ♥ จานวนความสมพนธทเปนไปไดจาก A ไป B = 2n(A)×n(B) ความสมพนธ โดเมนและเรนจของความสมพนธ ♥ โดเมนของความสมพนธ r (Dr) คอ เซตของสมาชกตวหนาของคอนดบ Dr = {a | (a, b) ∈ r} ♥ เรนจของความสมพนธ r (Rr) คอ เซตของสมาชกตวหลงของคอนดบ Rr = {b | (a, b) ∈ r} ♥ การหา Dr และ Rr ของความสมพนธ 1) จดรปสมการ หาโดเมน ⇒ จด y ใหอยในรปของ x (หรอ y = ... x) หาเรนจ ⇒ จด x ใหอยในรปของ y (หรอ x = ... y) 2) ตรวจสอบคา x, y โดย

ถา ∆

แลว ∆ ≠ 0

ถา = ∆ แลว ≥ 0 และ ∆ ≥ 0 หรอ ถา = - ∆ แลว ≤ 0 และ ∆ ≥ 0 ถา = | ∆ | แลว ≥ 0 และ ∆ ∈ R หรอ ถา = -|∆| แลว ≤ 0 และ ∆ ∈ R ถา = ∆2 แลว ≥ 0 และ ∆ ∈ R หรอ ถา = -∆2 แลว ≤ 0 และ ∆ ∈ R อนเวอรสของความสมพนธ ♥ ถา r = {(a, b)} แลว r-1 = {(b, a)} ♥ 1r

D - = Rr และ 1rR - = Dr

ฟงกชน (Function) คอ ความสมพนธทสมาชกในโดเมนแตละตวจบคกบสมาชกในเรนจของความสมพนธเพยงตวเดยวเทานน

r1 เปนความสมพนธทเปนฟงกชน r1 เปนความสมพนธทไมเปนฟงกชน นนคอ f จะเปนฟงกชน กตอเมอ f เปนความสมพนธ ซงถาม (x, y) ∈ f และ (x , z) ∈ f แลว y = z แทนฟงกชนดวยสญลกษณ f = {(x, y) | y = f(x)} หรอ y = f(x) ฟงกชนแบบตางๆ 1. f เปนฟงกชนจาก A ไป B เมอ f เปนฟงกชน ทม Df = A และ Rf ⊂ B แทนดวยสญลกษณ f : A → B 2. f เปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B เมอ f เปนฟงกชน ทม Df = A และ Rf = B แทนดวยสญลกษณ f : A →ทวถง B หรอ f : A →onto B 3. f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B เมอ f เปนฟงกชนจาก A ไป B ซงถา f(x1) = f(x2) แลว x1 = x2 แทนดวยสญลกษณ f : A → 1 1 - B 4. f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปทวถง B เมอ f เปนฟงกชน 1 - 1 ทม Df = A และ Rf = B แทนดวยสญลกษณ f : A → 1 1 - B หรอ f : A → 11 - B 5. f เปนฟงกชนเพมใน A กตอเมอ สาหรบ x1 และ x2 ใดๆ ใน A ถา x1 < x2 แลว f(x1) < f(x2) 6. f เปนฟงกชนลดใน A กตอเมอ สาหรบ x1 และ x2 ใดๆ ใน A ถา x1 < x2 แลว f(x1) > f(x2) ฟงกชนประกอบ (composite function) กาหนด f และ g เปนฟงกชน โดยท RfI Dg ≠ ∅

gof

f CBA g D

ฟงกชนคอมโพสทของ f และ g เขยนแทนดวย gof โดยท (gof)(x) = g(f(x))

1 2 3

-1 -2 -3

r1

1 2 3

-1 -2 -3

r2

onto ทวถง


การหาคาของฟงกชนจากฟงกชนประกอบ ตวอยางท 1 กาหนดให f = {(1, 3), (3, 5), (5, 1)} และ g = {(3, 1), (1, 1), (2, 5), (5, 3)} จงหา gof = .............................................................................................................................................. fog = .............................................................................................................................................. fof = .............................................................................................................................................. gog = .............................................................................................................................................. ตวอยางท 2 กาหนดให f(x) = x + 1 และ (gof)(x) = x2 + 2x + 3 จงหา g(x)

ตวอยางท 3 ถา f(g(x)) = x2 และ f(x) = x – 1 จงหา g(x)

ฟงกชนอนเวอรส (Inverse Function) การหาอนเวอรสของฟงกชน จะเหมอนกบการหาอนเวอรสของความสมพนธ r ซงมหลกการดงน กาหนด f = {(x, y) ∈ A × B | y = เทอมของ x} จะไดวา f-1 = {(x, y) ∈ B × A | y = เทอมของ x} หรอ f-1 = {(y, x) ∈ B × A | x = เทอมของ y} สมบตของฟงกชนอนเวอรส 1. Df = 1f

R - ; Rf = 1fD -

2. กราฟของ f-1 จะสมมาตรกบกราฟของ f เมอเทยบกบเสนตรง y = x 3. (fog)-1 (x) = (g-1of-1)(x) เมอ f(x) และ g(x) เปนฟงกชน 1 - 1 4. (fof-1)(x) = x 5. (f-1o f)(x) = x 6. ถา f (∆) = แลว ∆ = f-1( ) พชคณตของฟงกชน (Algebra of functions) 1. f + g = {(x, y) | y = f(x) + g(x) และ Df+g = DfI Dg} 2. f - g = {(x, y) | y = f(x) - g(x) และ Df-g = DfI Dg} 3. fg = {(x, y) | y = f(x) g(x) และ Dfg = DfI Dg} 4. g

f = {(x, y) | y = g(x)f(x) และ Df/g = DfI Dg - {x | g(x) = 0}}


แบบทดสอบ 1. กาหนดให S เปนเซตคาตอบของอสมการ x2 ≤ 8x + 20 ถา A = {x ∈ S | x เปนจานวนเฉพาะบวก}

และ B = {x ∈ S | x เปนจานวนเตมค} แลว (A × B) - (B × A) มจานวนสมาชกเทากบขอใดตอไปน 1) 11 * 2) 15 3) 21 4) 23 2. ให A = {0, 1, 2, 3} และ P(A) คอเพาเวอรเซตของ A ถา r เปนความสมพนธจาก A ไปยง P(A)

กาหนดโดย r = {(a, B) | a ≥ 2, a ∉ B และ a + 1 ∉ B} แลว r มจานวนสมาชกกจานวน (ตอบ 12) 3. กาหนดให S = [-2, 2] และ r = {(x, y) ∈ S × S | x2 + 2y2 = 2} ชวงในขอใดตอไปนไมเปนสบเซตของ

Dr - Rr 1) (-1.4, -1.3) 2) (-1.3, -1.2) 3) (1.2, 1.4) * 4) (1.4, 1.5) 4. กาหนดให r = {(x, y) | (x - 2)(y - 1) = 1} และ s = {(x, y) | xy2 = (y + 1)2} เซตในขอใดตอไปน

ไมเปนสบเซตของ RrI Rs 1) (-∞, -1) 2)

21 2, -- * 3)

2 ,21 4) (1, ∞)

5. กาหนดให r = {(x, y) ∈ R × R | x2 + y2 = 16}, s = {(x, y) ∈ R × R | xy2 + x + 3y2 + 2 = 0}

เซตในขอใดตอไปนเปนสบเซตของ Dr - Ds 1) [-4, -1] 2) [-3, 0] * 3) [-2, 1] 4) [-1, 2] 6. กาหนดให A = [-2, -1]U [1, 2] และ r = {(x, y) ∈ A × A | x - y = -1} ถา a, b > 0 และ

a ∈ Dr, b ∈ Rr แลว a + b เทากบขอใดตอไปน 1) 2.5 * 2) 3 3) 3.5 4) 4 7. กาหนดให r = {(x, y) | x > 0, x ≠ y, x - 3 x = y - 3 y } สมาชกคามากทสดของ Dr เทากบขอใด

ตอไปน 1)

334 * 2)

338 3) 9

4 4) 98

8. กาหนดให r = {(x, y) | x ≥ y และ y2 = x2 + 2x - 3} พจารณาขอความตอไปน ก. Dr = [1, ∞) ข. Rr = (-∞, ∞) ขอใดตอไปนถก 1) ก. และ ข. ถก * 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด 9. ถา r = {(x, y) | y ≤ x2 และ y ≥ 2x} แลวเรนจของ r-1 คอเซตในขอใดตอไปน 1) [0, 2] 2) [0, 4] * 3) (-∞, 0]U [2, ∞) 4. (-∞, 0]U [4, ∞)

10. หนดให r = {(x, y) | x ∈ [-1, 1] และ y = x2} พจารณาขอความตอไปน ก. r-1 = {(x, y) | x ∈ [0, 1] และ y = ± |x| } ข. กราฟของ r และกราฟของ r-1 ตดกน 2 จด ขอใดตอไปนถก * 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด 11. ให R เปนเซตของจานวนจรง และ f : R → R กาหนดโดย

f(1 - x) =

>

<=

0 x ; x 1 0 x ; 0 0 x ; x 1

-

--

ถา x * y = f(y – x2) สาหรบจานวนจรง x และ y ใดๆ แลวคาของ f(-2) * f(3) มคาอยในชวงใดตอไปน * 1) (-4, -2] 2) (-2, 2] 3) (2, 4] 4) (4, 6)

12. กาหนดให f(x) =

≥<<

≤

+ 2 x ; 1) (x 2 x 1 ; 1) (x

1 x ; 2 2 --

- เซตคาตอบของสมการ f(|x|) - 4 = 0 เปนสบเซตของเซต

ซงเปนชวงในขอใดตอไปน 1) (-3, 5) 2) (-6, -1) * 3) (-5, 4) 4) (1, 6) 13. กาหนดให f(x) = x - 1 เมอ x ∈ (-∞, -1]U [0, 1] และ g(x) = 2x เมอ x ∈ (-∞, 0] ขอใดตอไปนถก * 1) Rg ⊂ Df 2) Rf ⊂ Dg 3) f เปนฟงกชน 1 - 1 4) g ไมเปนฟงกชน 1 - 1 14. ให A = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = {a, b, c} เซต S = {f | f : A → B เปนฟงกชนทวถง} มจานวนสมาชก

เทากบขอใดตอไปน 1) 12 2) 24 * 3) 36 4) 39 15. กาหนดให A = {1, 2} และ B = {1, 2, 3, 4} เซต { f | f : A → 11 - B และ f(x) ≠ x ทก x ∈ A }

มจานวนสมาชกเทาใด (ตอบ 7) 16. ให A = {1, 2, 3, 4} และ B = {1, 2, 3, 4, 5} ถา f เปนฟงกชนจาก A ไป B โดยท f(1) = 2 หรอ

f(2) = m เมอ m เปนจานวนค แลว จานวนของฟงกชน f ทมสมบตดงกลาวเทากบขอใด 1) 75 2) 150 * 3) 425 4) 500 17. กาหนดให f(x) = x2 + x + 1 และ a, b เปนคาคงตวโดยท b ≠ 0 ถา f(a + b) = f(a - b) แลว a2 อย

ในชวงใดตอไปน * 1) (0, 0.5) 2) (0.5, 1) 3) (1, 1.5) 4) (1.5, 2)

18. กาหนดให n เปนจานวนนบ ถา f : {1, 2, ..., n} → {1, 2, ..., n} เปนฟงกชน 1 – 1 และทวถง ซงสอดคลองกบเงอนไข f(1) + f(2) + ... + f(n) = f(1)f(2) ... f(n) แลวคามากสดทเปนไปไดของ f(1) - f(n) เทากบขอใดตอไปน

* 1) 2 2) 5 3) 8 4) 11 19. ถา f(x) = x

1 และ g(x) = 2f(x) แลว gof(3) + fog-1(3) มคาเทาใด (ตอบ 7.5) 20. กาหนดให f(x) = x - 5 และ g(x) = x2 ถา a เปนจานวนจรงซง (gof)(a) = (fog)(a) แลว (fg)(a) มคา

เทากบขอใดตอไปน 1) -25 * 2) -18 3) 18 4) 25

21. กาหนดให f(x) = 3x - 1 และ g-1(x) =

<

≥

0 x , x0 x , x

2

2

- คาของ f-1(g(2) + g(-8)) เทากบขอใดตอไปน

* 1) 32 1 - 2) 3

2 1 + 3) 32 1

-- 4) 3

2 1-

+ 22. กาหนดให f(x) = x2 และ g เปนฟงกชนพหนามโดยท gof(x) = 3x2 + 1 ถาเซต {y | y = g-1of(x), x ∈ [-10, 10]} คอชวง [a, b] แลว 3(a + b) มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 88 2) 90 * 3) 98 4) 100 23. กาหนดให f(x) = 10x และ g(x) = 23x100 - จานวนเตมทมคามากทสดทเปนสมาชกของ Rgof มคา

เทาใด (ตอบ 10) 24. กาหนดฟงกชน f และ g ดงน f(2x - 1) = 4x - a, a > 0 และ g-1(x) = 1x + ถา (fog)(a) = a2 + 20

แลว f(a) มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 6 * 2) 7 3) 10 4) 17 25. กาหนดให f, g เปนฟงกชน ซง Df = [0, ∞) โดยท f-1(x) = x2 ; x ≥ 0 และ g-1(x) = (f(x))2 + 1 ; x ≥ 0

ถา a > 0 และ f(a) + g(a) = 19 แลว f -1 (a) + g-1 (a) เทากบขอใดตอไปน * 1) 273 2) 274 3) 513 4) 514 26. กาหนดให f(x) = ax2 + b และ g(x - 1) = 6x + c เมอ a, b, c เปนคาคงตว ถา f(x) = g(x) เมอ

x = 1, 2 และ (f + g)(1) = 8 แลว (fog-1)(16 ) มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 9

31 2) 961 3) 10 * 4) 20

27. ให I เปนเซตของจานวนเตม ถา f และ g เปนฟงกชนซงกาหนดโดย f(x) = 2x และ g(x) = x - 1 ทก

x ∈ I แลวเรนจของ (fog) + f คอเซตในขอใดตอไปน * 1) {x ∈ I | 2

x เปนจานวนเตมค} 2) {x ∈ I | 2x เปนจานวนเตมค}

3) เซตของจานวนเตมคทงหมด 4) เซตของจานวนเตมคทงหมด

28. กาหนดให f และ g เปนฟงกชน ซงนยามโดย f(x) =

≥

<

0 x ; 1 x

0 x ; 1x 3 --

และ g(x) = x2 + 4x + 13 ถา a

เปนจานวนจรงบวก ซง g(a) = 25 แลว f-1(-2a) + f-1(13a) มคาเทากบขอใดตอไปน * 1) 0 2) 2 3) 4 4) 6 29. กาหนดให f และ g เปนฟงกชน ซงนยามโดย f(x) = x2 + 1 และ g(x) = ax เมอ a ∈ (0, 1) ถา k เปน

จานวนจรงททาให (fog)(k) = (gof)(k) แลว (fog-1)

2k1 มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 1 * 2) 2 3) 3 4) 4 30. กาหนดให f, g เปนฟงกชนซง f(x) = (x - 1)3 + 3 และ g-1(x) = x2 - 1, x ≥ 0 ถา gof-1(a) = 0

แลว a2 อยในเซตใดตอไปน * 1) [10, 40] 2) [40, 70] 3) [70, 100] 4) [100, 130] 31. กาหนดให f(x) = 3x + 5 และ h(x) = 3x2 + 3x - 1 ถา g เปนฟงกชน ซงทาให fog = h แลว g(5) มคา

เทาใด (ตอบ 28) 32. กาหนดให f(x) = -(x - 1)2 ทก x ≤ 1 และ g(x) = x1 - ทก x ≤ 1 พจารณาขอความตอไปน ก. f-1(x) = 1 - |x| ทก x ≤ 0 ข. (g-1of-1)

41- = 4

3

ขอใดตอไปนถก 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด 33. กาหนดให f และ g เปนฟงกชน ซง f(x) < 0 ทก x ถา (gof)(x) = 2[f(x)]2 + 2f(x) - 4 และ

g-1(x) = 31 x + แลว พจารณาขอความตอไปน

ก. gof เปนฟงกชนคงตว ข. f(100) + g(100) = 300 ขอใดตอไปนถก 1) ก. และ ข. ถก * 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด

34. กาหนดให f(x) =

≥<<

≤

+ 2 x ; 1) (x 2 x 1 ; 1) (x

1 x ; 2 2 --

- และ g(x) = f(x) + 2 ถา k เปนจานวนเตมทนอยทสดททาให

g(k) > 5 แลว (gof)(k) มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 5 2) 6 * 3) 7 4) 8


35. กาหนด f เปนฟงกชนจากเซต {0, 1, 2, ..., 2551} ไปยงเซตของจานวนเตมบวก ถา f สอดคลองทกเงอนไขตอไปน

(1) f(2x + 1) = f(2x) (2) f(3x + 1) = f(3x) (3) f(5x + 1) = f(5x) และ (4) f(7x + 1) = f(7x) แลวเรนจของ f มจานวนสมาชกมากทสดทเปนไปไดกจานวน (ตอบ 584)


เมตรกซ (Matrices)

A = [aij]m×n =

mnm2m1

2n22211n1111

a ... a a

a .... a aa ... a a

MMM เปนเมตรกซทม m แถว และ n หลก

นนคอ A เปนเมตรกซทมมต m × n โดยท aij คอ สมาชกของเมตรกซ A ทอยในแถวท i และหลกท j ชนดของเมตรกซ 1. เมตรกซศนย (zero matrix หรอ null matrix) คอ เมตรกซทมสมาชกทกตวเปนศนย แทนดวย 0 2. เมตรกซจตรส (square matrix) คอ เมตรกซทมจานวนแถวเทากบจานวนหลก 3. เสนทแยงมมหลก (main diagonal) คอ แนวทลากจากมมบนซาย ทแยงมายงมมลางขวาของเมตรกซจตรส หรอสมาชกในตาแหนง a11, a22, a33, …, ann 4. เมตรกซหนงหนวย หรอเมตรกซเอกลกษณ (Unit matrix หรอ Identity matrix ; In)

เชน I1 = [1]1×1 I2 = 221 0

0 1

×

I3 =

331 0 00 1 00 0 1

×

5. เมตรกซสามเหลยม (Triangular matrix) คอ เมตรกซจตรสทมสมาชกทอยดานบน หรอดานลางของแนวเสนทแยงมมหลก เปนศนยทงหมด เชน

9 03 2

6 0 05 403 2 1

6 2 40 400 0 0

0 0 50 0 00 0 0

การเทากนของเมตรกซ เมตรกซจะเทากนกตอเมอมมตเทากน และสมาชกในตาแหนงเดยวกนมคา

เทากน เชน

01

=

30

03

การบวกและการลบเมตรกซ ถา A = [aij]m×n และ B = [bij]m×n แลว A ± B = [aij ± bij]m×n นนคอ จะตองตรวจสอบกอนวาเมตรกซทนามาบวกหรอลบกนนน มมตเทากนหรอไม - ถาเทากนใหนาสมาชกทอยในตาแหนงเดยวกนมาบวก หรอลบกน เชน

1 0 2 1

- +

2 13 1

- =

++

++

2 1 1)( 032 11)(

--

=

3 15 0

-

1 0 2 1

- -

2 13 1

- =

2 1 1)( 032 11)(

------

=

1 1 1 2

---

- ถาไมเทากน ไมสามารถนามาบวก หรอลบกนได


การคณเมตรกซ 1. คณเมตรกซดวยคาคงท ถา A = [aij]m×n แลว c ⋅ A = [c ⋅ aij]m×n

เชน 10 ⋅

6 5 43 2 1

=

60 50 4030 20 10

2. คณเมตรกซดวยเมตรกซ เมตรกซจะคณกนไดกตอเมอ จานวนหลกของเมตรกซตวตง เทากบ จานวนแถวของเมตรกซตวคณ และผลคณทไดจะมมตเทากบ “แถวของเมตรกซตวตง (ตวหนา) × หลกของเมตรกซตวคณ (ตวหลง)” ดงน

เทากน

× =22A × 32B × 32C ×

3. สมบตเกยวกบการคณของเมตรกซ ถา A, B และ C เปนเมตรกซทบวก ลบ และคณกนได และ k เปนจานวนจรงใดๆ แลว 1. ถา A เปนเมตรกซจตรสแลว An = A ⋅ A ⋅ A ⋅ ... ⋅ A 2. เมตรกซทจะนามายกกาลงได ตองเปนเมตรกซจตรสเทานน 3. AI = IA = A (I เปนเมตรกซหนงหนวย) 4. k(AB) = A(k)B = (AB)k 5. (AB)C = A(BC) 6. A(B + C) = AB + AC (การแจกแจงดานซาย) 7. (A + B)C = AC + BC (การแจกแจงดานขวา) 8. (kA)n = kn ⋅ An 9. (-A)2 = A2 10. AB อาจจะเทาหรอไมเทากบ BA กได 11. ถา AB ≠ BA แลว 1) (A + B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + AB + BA + A2 2) A - B)2 = (A - B)(A - B) = A2 - AB - BA + A2 3) (A + B)(A - B) = A2 - AB + BA - B2 12. ถา AB = BA แลว 1) (A + B)2 = A2 + 2AB + A2 = A2 + 2BA + A2 2) (A - B)2 = A2 - 2AB + A2 = A2 - 2BA + A2 3) (A + B)(A - B) = A2 - B2 13. ถา AB = 0 แลว A = 0 หรอ B = 0 หรอ ทง A, B ≠ 0


ทรานสโพสของเมตรกซ (At) คอ เมตรกซทเกดจากการเปลยนสมาชกในแถว m ใดๆ เปนหลก m หรอ

เมตรกซทเกดจากการเปลยนสมาชกในหลก n ใดๆ เปนแถว n เชน ถา A = [1 4] แลว At =

41

สมบตเกยวกบทรานโพสของเมตรกซ 1. (At)t = A 2. (A + B)t = At + Bt 3. (A - B)t = At - Bt 4. (cA)t = cAt 5. (AB)t = BtAt 6. (ABC)t = CtBtAt 7. (At)n = (An)t ดเทอรมแนนต (Determinant) คอ คาของจานวนจรงทไดจากเมตรกซจตรสเทานน ดเทอรมแนนตของเมตรกซ A แทนดวย det (A)

หรอ |A| หรอ

d c ba

การหาคา Determiant 1. ดเทอรมแนนตของเมตรกซ 1 × 1 เชน ถา A = [1] แลว det A = 1 2. ดเทอรมแนนตของเมตรกซ 2 × 2 เชน

ถา A =

1 32 1

-

6

-1 แลว det (A) = คณลง - คณขน = (-1) - (6) = -7

3. ดเทอรมแนนตของเมตรกซ 3 × 3 เชน

ถา A =

2 5 41 3 2 0 1 1

-

- 1 -12

5-43

6 4 0

0 5 -4

แลว det (A) = คณลง - คณขน = (6 + 4 + 0) - (0 + 5 - 4)

4. ดเทอรมแนนตของเมตรกซ n × n เชน

กาหนดให A =

333231232221131211

a a aa a aa a a

และ C(A) =

333231232221131211

c c cc c cc c c

พจารณาแถวท 1 det A = a11c11 + a12c12 + a13c13 พจารณาแถวท 2 det A = a21c21 + a22c22 + a23c23 พจารณาหลกท 1 det A = a11c11 + a21c21 + a31c31 พจารณาหลกท 2 det A = a12c12 + a22c22 + a32c32

= 10 - 1 = 9


สมบตของดเทอรมแนนต กาหนดให A, B, C เปนเมตรกซมต n × n 1. det (At) = det (A) 2. det (A ⋅ B ⋅ C ⋅ ... ⋅ Z) = det (A) ⋅ det (B) ⋅ det (C) ⋅ ... ⋅ det (Z) 3. det (I) = 1 4. det (0) = 0 5. det (Ak) = (det A)k 6. det (A-1) = (det A)-1 = (A)det

1

7. det (kA) = kn ⋅ det (A), n เปนมตของ A 8. det (adj A) = (det A)n-1 9. ถา A = B แลว det (A) = det (B) อนเวอรสการคณของเมตรกซ 1. อนเวอรสการคณของ A เขยนแทนดวยสญลกษณ A-1 ซง A ⋅ A-1 = I = A-1 2. A-1 = (A)det

(A) adj

นนคอ เมตรกซ A ใดๆ จะหาอนเวอรสได กตอเมอ A เปนเมตรกซจตรสเทานน และ det (A) ≠ 0 ถา “det (A) = 0” เรยก A วา “เมตรกซเอกฐาน (Singular Matrix)” ถา “det (A) ≠ 0” เรยก A วา “เมตรกซไมเอกฐาน (Non - Singular Matrix)” การหาอนเวอรสการคณของเมตรกซ

1. อนเวอรสการคณของเมตรกซ 2 × 2 ถา A =

d c ba

แลว A-1 = (A)det a cb d

--

2. อนเวอรสการคณของเมตรกซ n × n หาไดดงแผนภาพตอไปน

M(A)A C(A) adj(A) A-1

ไมเนอร (Minor) เชน M(A) =

333231232221131211

m m mm m mm m m

โดยท

ไมเนอรตาแหนง ij (mij) คอ ดเทอรมแนนตของเมตรกซทไดจากการตดแถวท i และหลกท j ของเมตรกซ เชน

m11 = det

333231 232221

131211

a a a a a a

a a a = det

33322322

a aa a

= a22a33 - a32a23

แถวท 1

หลกท 1


โคแฟกเตอร (Cofactor) เชน C(A) =

333231232221131211

c c cc c cc c c

โดยท cij = (-1)i+j ⋅ mij

เมตรกซผกพน (Adjoint) adj (A) = [C(A)]t อนเวอรสการคณของเมตรกซ A-1 = (A)det

(A)adj

ระบบสมการเชงเสน กาหนดระบบสมการเชงเสน a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3

เขยนสมการดงกลาวในรปเมตรกซ

333222111

c b ac b ac b a

⋅

zyx

=

321

ddd

หรอ A X = B การแกระบบสมการเชงเสน 1. โดยใชอนเวอรสของเมตรกซ ถา AX = B แลว X = A-1B เมอ det A ≠ 0 2. โดยใชกฎของเครเมอร (Kramer’s rule)

x =

c bac bac ba

c bd c bd c bd

333222111

333222111

= DDx ; y =

c bac bac ba

c d a c d a c d a

333222111333222111

= DDy ; z =

c bac bac ba

d ba d ba

d ba

333222111333222 111

= DDz

3. โดยใชการดาเนนการตามแถว (row operation) วธดาเนนการบนแถวของเมตรกซ 1. สามารถสลบ 2 แถวใดๆ ได 2. สามารถคณแถวใดแถวหนงดวยตวเลขทไมใชศนยได 3. สามารถนาสองแถวใดๆ มาบวก หรอ ลบกนได 4. สามารถคณแถวใดแถวหนงดวยตวเลขทไมใชศนย แลวนาไปบวก หรอ ลบกบอกแถวหนงได

133312221111

d c b ad c b ad c b a

∼

z 1 0 0 y0 1 0 x0 0 1

[A : I] ∼ [I : A-1]


แบบทดสอบ

1. A =

432 1

และ B =

1 11 2

- พจารณาขอความตอไปน

ก. (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 ข. (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 ค. A2 - B2 = (A - B)(A + B) ขอใดสรปเกยวกบขอความขางตนไดถกตองทสด 1) ถกทกขอ 2) มถก 2 ขอ 3) มถก 1 ขอ * 4) ผดทกขอ

2. det

1

5 1 32 2 00 x 0

2

-

= 1 x 1- แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 1 2) 2 3) 3 * 4) 4

3. นดเมตรกซ A และ B ดงน A =

x22

22 x2 -, B =

0 2 4x 2

-- โดยท x เปนจานวนจรง ถา

det (2A) = -76 แลว เมทรกซ C ในขอใดตอไปน ททาใหคาของ det (BC) อยภายในชวง (-100, -50)

* 1) C =

2 11 1 -

2) C =

1 1 2 1

- 3) C =

411 2

- 4) C =

1 31 2

-

4. กาหนดให a, b เปนจานวนจรง และ A =

b1a 1

, B =

3 23 1 -

ถา (A + B)2 - 2AB = A2 + B2 แลว

det (A) เทากบขอใดตอไปน 1) 0.5 2) 1.5 3) 3.5 4) 4.5 5. กาหนดให A เปนเมทรกซทมมต 2 × 2 และ det (A) = 4 ถา I เปนเมทรกซเอกลกษณ และ A - 3I เปน

เมทรกซเอกฐาน แลว det (A + 3I) เทากบขอใดตอไปน 1) 0 2) 6 3) 13 * 4) 26 6. ให A เปนเมตรกซมต 3 × 3 และ Aij คอเมตรกซทไดจากการตดแถวท i และหลกท j ของเมตรกซ A ออก

ถา adj A =

1 5 17 1 10 281 5 2

------

, A11 =

8 5 2 1

-- และ A32 =

2 31 1

--

แลว det (A) มคาเทากบขอใด

1) -92 * 2) -15 3) 15 4) 92


7. กาหนดเมตรกซ A = [aij] ถา det (A) = -92 และ adj(A) = -9

2 1 22 1 11 3 3

--

แลว 3a11 + 3a21 – a31

มคาเทากบเทาใด (ตอบ 9)

8. ให A เปนเมตรกซมต 3 × 3 ถา M13 =

2 1 3 1

-, M21 =

42 1 1

- และ M32 =

0 11 2

- แลว

det A มคาเทากบเทาใด (ตอบ 15) 9. ให A เปนเมตรกซจตรสมต 4 × 4 และ Mij(A) คอไมเนอรของ aij ถา M23(A) = 5 แลว M32(2At)

เทากบขอใดตอไปน 1) 10 2) 20 * 3) 40 4) 80

10. กาหนดให A =

1 2 1 0 8 34 2 1

-- สมาชกในแถวท 3 หลกท 1 ของ A-1 เทากบเทาใด (ตอบ 5

1 )


y1 22 x 21 2 1 -

โดยท x และ y เปนจานวนจรง ถา C11(A) = 13 และ C21(A) = 9 แลว

det(A) มคาเทากบขอใดตอไปน 1) -33 2) -30 3) 30 * 4) 33

12. กาหนดให

41 0 0 1 1 3 2 2

--

สมาชกในแถวท 2 และหลกท 3 ของ A-1 เทากบขอใดตอไปน

1) - 32 2) -2 * 3) 3

2 4) 2

13. กาหนดเมทรกซ A =

2x 2 x 11 0 11x 2

-- โดยท x เปนจานวนจรง ถา C22(A) = 14 แลว det (adj (A)) ม

คาเทาใด (ตอบ 36)


1 0x 1 1 31 1x

- ถา C12(A) = 4 แลว det (2A) มคาเทาใด (ตอบ 16)


15. ถา A และ B เปนเมทรกซซง 2A - B =

6 3 43

และ 2A + B =

2 42 1

--

แลว (AB)-1 คอเมทรกซใน

ขอใดตอไปน

1)

1 1 0 4

1

--

2)

41 1 0 1

--

3)

1 041 1

- * 4)

41 01 1

--

16. กาหนดให n เปนจานวนนบ และ x เปนจานวนจรงซงไมเทากบ 1 ถา A คอตวผกผนการคณของเมทรกซ

x 0 0x x 0

xx x

2

n2

แลวคาของ n ททาให [1 0 0]A

200

= [2 0 0]A

300

เทากบขอใดตอไปน

1) 1 * 2) 3 3) 6 4) 9


2b 0 0

a 2c 0

c b2a

ถา A + AT เปนเมทรกซเอกฐานและ a3 + b3 + c3 = 1 แลว det (A-1)

เทากบขอใดตอไปน * 1) 24 2) 8 3) 2 4) 0

18. ถา A เปน 2 × 2 เมตรกซ ซงมใชเอกฐาน และ ถา

403020 60

A =

5 00 5

แลว A-1 คอเมตรกซในขอ

ใดตอไปน

1)

432 6

2)

6 1218 9

--

* 3)

8 6 412

4)

8 3020 12

19. ให A เปนเมตรกซ และ I เปนเมตรกซเอกลกษณมต 3 × 3 ถา B =

0 1 21 0 3 1 2 1

-

- และ

C =

1 2 02 1 33 2 0 -

- สอดคลองกบสมการ AB - AC - 2

1 I = 0 แลว A-1 คอเมตรกซในขอใดตอไปน

1)

1 1 21 1 0 2 0 1

---- * 2)

2 2 42 2 0

40 2

---- 3)

1 1 2 1 1 0 2 0 1

---

4)

2 2 4 2 2 0 4 0 2

---


20. กาหนดให X =

zyx

สอดคลองสมการ AX = C เมอ A =

2 1 0 1 0 21 2 1

- , B =

0 411 0 20 1 1

--

และ C =

3 22

- ถา (2A + B)X =

cba

แลว a + b + c มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 3 2) 6 * 3) 9 4) 12 21. ถา x, y และ z สอดคลองกบระบบสมการ x + 2y - 2z = -2 2x + y + 2z = 5 x - 3y - 2z = 3

แลว ดเทอรมแนนต 3y x y2x 2y x

2 2 23 1 2

--- -

++

มคาเทากบขอใดตอไปน

* 1) 60 2) 75 3) 90 4) 105 22. ถา x, y และ z เปนจานวนจรงซงสอดคลองกบระบบสมการเชงเสน 2x - 2y - z = 1 x - 3y + z = 7 -x + y - z = -5 แลว x

1 + y2 + z


* 1) 0 2) 2 3) 5 4) 8 23. ถา x, y และ z เปนจานวนจรงซงสอดคลองระบบสมการ 2x - 2y - z = -5 x - 3y + z = -6 -x + y - z = 4 ขอใดตอไปนถกตอง * 1) x2 + y2 + z2 = 6 2) x + y + z = 2 3) xyz = 6 4) z

xy = -2

24. กาหนดให B =

1 0 32 1 00 1 1 -

, C =

201

, X =

zyx

และ I เปนเมตรกซเอกลกษณ ถา A เปนเมตรกซมต

3 × 3 ซงสอดคลองกบสมการ 2AB = I และ AX = C แลว คาของ x + y + z เทากบขอใดตอไปน 1) 20 2) 24 3) 26 4) 30



c 0 1 b3 2

a 2 1

-, X =

zyx

, B =

011

โดยท a, b, c เปนจานวนจรง ถา AX = B

และ A ∼

2 0 11 1 0 3 2 1

--- R2 - 2R1 แลว x มคาเทากบเทาใด

1) -1 * 2) - 32 3) 4

3 4) 2


0 0 15 10 73 12 4

--

และ B, C, D เปนเมตรกซมต 3 × 3 ซง A ∼ B ∼ C ∼ D

โดยท B ไดจาก A โดยการดาเนนการ R1 - 34 R2

C ไดจาก B โดยการดาเนนการ 5R1 D ไดจาก C โดยการดาเนนการ R23 แลว det (D) เทากบขอใดตอไปน 1) -3,750 2) -150 * 3) 150 4) 3,750


2 1 19 0 23 x 3

เมอ x เปนจานวนจรง

ถา 3 x 32 0 91 1 2

1 0 00 1 00 0 1

∼ 9

-5-2

1 0 00 1 00 0 1

5-3-1

218

-36

แลว x มคาเทากบเทาใด

28. ให x, y และ z เปนคาตอบของระบบสมการเชงเสน a11x + a12y + a13z = 2 a21x + a22y + a23z = 1 a31x + a32y + a33z = 0

ถา

1 0 0 a a a0 1 0 a a a 0 0 1 a a a

333231 232221

131211 ∼

0 3 2 1 0 01 2 0 0 1 01 1 1 0 0 1

--

แลว คาของ x + y + z เทากบเทาใด

(ตอบ 6)

29. กาหนดให a เปนจานวนจรง และ A =

a 0 40 3 02 0 1

ถา a > 0 และ det (adj A) = 225 แลว a มคา

เทากบขอใดตอไปน 1) 11 2) 12 * 3) 13 4) 14 30. ให A และ B เปนเมตรกซจตรสมต 4 × 4 และ I เปนเมตรกซเอกลกษณมต 4 × 4 โดยท A(adj A) - BA

= I ถา det B = 0 แลว det A มคาเทากบขอใดตอไปน 1) -1 2) 0 * 3) 1 4) 2

31. กาหนดให A = [aij]3×3 โดยท aij =

≠

=

j i; 2 j i; 2 1i-

det

(A)det )(A adj4 t เทากบขอใดตอไปน

* 1) -16 2) -4 3) 4 4) 16

32. ถา A เปนเมตรกซซง A-1 =

2 0x 1 1 30 2 1

-- , x > 0 และ det (2 adj A) = 18

1 แลว x เปนจรงตาม

ขอใดตอไปน 1) x < 5 2) 5 ≤ x < 9 * 3) 9 ≤ x < 13 4) x ≥ 13


เรขาคณตวเคราะห และภาคตดกรวย 1. ระยะตางๆ 1.1 ระยะระหวางจดสองจด

B

A

(x2, y2)

y2 - y1

(x1, y1) x2 - x1

AB = 212

212 ) y (y ) x (x -- +

1.2 ระยะตงฉากจากจด (m, n) ไปยงเสนตรง Ax + By + C = 0

d

(m, n)

Ax + By + C = 0

d = 22 BA

|CBnAm|+

++

1.3 ระยะระหวางเสนคขนาน

d

Ax + By + C = 0

Ax + By + D = 0

d = 22 BA

|DC|+

-

2. จดแบงสวนของเสนตรง 2.1 จดกงกลาง

B(x2, y2)

A(x1, y1))y,xP(

P )y,x( =

++

2 y y ,2

x x 2121


2.2 จดแบงสวนของเสนตรงออกเปนอตราสวน m : n

B(x2, y2)

A(x1, y1)P(x, y)n

m P(x, y) =

++

++

n mny my ,nm

nxmx 2121

2.3 จดตดของเสนมธยฐาน

x = 3 x xx 321 ++

y = 3 y yy 321 ++

3. ความชนของเสนตรง (Slope, m) 3.1 กาหนดมม θ

θ

m = tan θ

3.2 กาหนดจดสองจด

m = 1212

x xyy

--

= 2121

x xyy

-- โดยท x1 ≠ x2

3.3 กาหนดสมการเสนตรง แบบท 1 y = ax + b จะได a คอ ความชน b คอ ระยะตดแกน y แบบท 2 Ax + By + C = 0 จะได - B

A คอ ความชน

- BC คอ ระยะตดแกน y

B(x2, y2)

A(x1, y1)P(x, y)

1D C(x2, y2)

2

B(x2, y2)

A(x1, y1)

y2- y1

x2 - x1

3.4 ความชนแบบตางๆ

m = O m > O m < O m หาคาไมได

3.5 มมระหวางเสนตรงสองเสน

Y

θ1θ2

θ

X

L2L1 tan θ =

1212

mm 1mm

+-

3.6 ความสมพนธระหวางเสนตรงสองเสน

m1 = m2

L1

L2

L1

L2

m1 ⋅ m2 = -1

4. สมการเสนตรง y - y1 = m(x - x1) เมอ m คอ ความชน และ (x1, y1) คอ จดบนเสนตรง

(x1, y1)


5. วงกลม (Circle) คอ เซตของจดทงหมดในระนาบทหางจากจดๆ หนงทตรงอยกบทเปนระยะทางคงตว 5.1 สมการรปแบบมาตรฐานของวงกลม x2 + y2 = r2 (x - h)2 + (y - k)2 = r2

Y

X

P(x, y)r

C(0, 0)

Y

X

P(x, y)r

C(h, k)

5.2 สมการรปแบบทวไปของวงกลม x2 + y2 + Ax + By + C = 0 จดศนยกลาง (h, k) =

2B ,2

A --

รศม (r) = Ckh 22 -+ = 2 4C B A 22 -+

5.3 ระยะจากจดใดๆ ไปยงวงกลม ใหวงกลมมสมการเปน x2 + y2 + Ax + By + C = 0 หรอ (x - h)2 + (y - k)2 = r2 ♥ ความยาวเสนสมผสวงกลม PA = C By Ax y x 11

21

21 ++++

หรอ PA = 22

12

1 r k) (y h) (x --- + ♥ ระยะทางทสนทสดจากจดไปยงวงกลม • P เปนจดภายนอกวงกลม PA = PO - r • Q เปนจดภายในวงกลม QB = r - QO

A

O

P(x1, y1)

A

O

r

Q

B

P


♥ ระยะทางทยาวทสดจากจดไปยงวงกลม • P เปนจดภายนอกวงกลม PA = PO + r • Q เปนจดภายในวงกลม QB = QO + r 6. พาราโบลา (Parabola) คอ เซตของจดทงหมดในระนาบซงหางจากจด F ทตรงอยกบทจดหนงและเสนตรง l ทตรงอยกบทเสนหนงเปนระยะทางเทากน V คอ จดยอดของพาราโบลา F คอ จดโฟกสของพาราโบลา l คอ เสนไดเรกตรกซ (directrix) c คอ ระยะโฟกส AB คอ เสนเลตสเรกตม (latus rectum line)

F(h, k + c)

y = k - c

(x, y)

2

4

6

8

10

12

-5 5 10

y = k + c

F(h, k - c)(x, y)

6

4

2

-2

-4

5-5

-6

(x - h)2 = 4c(y - k) (x - h)2 = 4c(y - k)

A

Or

Q

B

r

P

A

V

cB

พาราโบลาF

l

คณตศาสตร (100)_____________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2010

x = h - c

F(h + c, k)

(x, y)

2

-2

10

10

5

8

6

4

x = h + cF(h - c, k)

(x, y)

2

4

6

8

10

-2

(y - k)2 = 4c(x - h) (y - k)2 = 4c(x - h) 7. วงร (Ellipse) คอ เซตของจดทงหมดในระนาบซงผลบวกของระยะทางจากจดใดๆ ไปยงจด F1 และ F2 ทตรงอยกบทมคาคงตว โดยคาคงตวนมคามากกวาระยะหางระหวางจดทตรงอยกบททงสอง จดสองจดทตรงอยกบทนเรยกวา โฟกส (focus) ของวงร

Y

G

CV X

P1P2 B

a

c

b

V′ F′ F

G′

P1F1 + P1F2 = P2F1 + P2F2 = 2a

B′ ca x 2

=ca x 2

-=

♥ C คอ จดศนยกลางของวงร ♥ V, V′ คอ จดยอดของวงร ♥ F, F′ คอ จดโฟกสของวงร ♥ VV′ คอ แกนเอก (major axis) ของวงร ยาว 2a หนวย ♥ BB′ คอ แกนโท (minor axis) ของวงร ยาว 2b หนวย ♥ CF = CF′ คอ ระยะโฟกส ยาว c หนวย

♥ GG′ คอ เลตสเรกตม ยาว a2b2

หนวย

♥ 0 < b < a เสมอ ♥ สมการรปแบบมาตรฐานของวงร

โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณตศาสตร (101)

22

ah) (x - + 2

2

bk) (y - = 1 เมอ c2 = a2 - b2 2

2

ak) (y - + 2

2

bh) (x - = 1 เมอ c2 = a2 - b2

Y

V(h + a, k)C(h, k)

O X

P(x, y)

F(h + c, k)

B(h, k + b)

F′(h - c, k)V′(h - a, k)

B′(h, k - b)

Y V(h, k + a)

C(h, k)

O X

P(x, y)

F(h, k - c)

B(h + b, k)

F′(h, k + c)

V′(h, k - a)

B′(h - b, k)

8. ไฮเพอรโบลา (hyperbola) คอ เซตของจดทงหมดในระนาบซง ผลตาง ของระยะทางจากจดใดๆ ไปยงจด F1 และ F2 ทตรงอยกบทมคาคงตว โดยคาคงตวนอยกวาระยะหางระหวางจดคงททตรงอยกบททงสอง จด F1 และ F2 ดงกลาวน เรยกวา โฟกส ของไฮเพอรโบลา

Y

F1(-c, O) X

P(x, y)

F2(c, O) |PF1 - PF2| = คาคงตว = 2a

สวนประกอบของไฮเพอรโบลา

bG1

B1

C(h, k)V1

acF2

B2

V2

G2

G3

G4

2l

2

-4

5-5

-2

1l


♥ C คอ จดศนยกลางของไฮเพอรโบลา ♥ V, V′ คอ จดยอดของไฮเพอรโบลา ♥ F, F′ คอ จดโฟกสของไฮเพอรโบลา ♥ VV′ คอ แกนตามขวาง (transveral axis) ยาว 2a หนวย ♥ BB′ คอ แกนสงยค (conjugate axis) ยาว 2b หนวย ♥ CF = CF′ คอ ระยะโฟกส ยาว c หนวย

♥ GG′ คอ เลตสเรกตม ยาว a2b2

หนวย

♥ l1, l2 คอ เสนกากบ(asymptote) ♥ สมการรปแบบมาตรฐานของไฮเพอรโบลา

22

ah) (x - + 2

2

bk) (y - = 1 เมอ c2 = a2 + b2 2

2

ak) (y - + 2

2

bh) (x - = 1 เมอ c2 = a2 + b2

Y

X

VF(h + c, k)

V′

B(h, k + b)

F′(h - c, k)

B′(h, k - b)

(h - a, k) (h + a, k)

Y

X

B(h + b, k)

F(h, k + c)V(h, k + a)

C(h, k)

F′(h, k - c)V′(h, k - a)

B′(h + b, k)


แบบทดสอบ 1. กาหนดให A = {(x, y) | x2 + y2 = 1} และ B = {(x, y) | x2 + y2 - 10x - 10y + 49 = 0} ถา p ∈ A

และ q ∈ B แลว ระยะทางมากสดทเปนไปไดระหวางจด p และ q เทากบขอใดตอไปน 1) 5 2 หนวย * 2) 2 + 5 2 หนวย 3) 2 5 หนวย 4) 5 + 2 5 หนวย 2. ให a, b และ c เปนจานวนจรง ถาวงกลม x2 + y2 + ax + by + c = 0 มจดศนยกลางท (2, 1) และม

เสนตรง x - y + 2 = 0 เปนเสนสมผสวงกลม แลว | a + b + c | (ตอบ 5.5) 3. กาหนดใหเสนตรง l1 และ l2 สมผสวงกลม (x - 5)2 + y2 = 20 ทจด P และ Q ตามลาดบ และจด

ศนยกลางของวงกลมอยบนเสนตรงทผานจด P และ Q ถา l1 มสมการเปน x - 2y + 5 = 0 แลวจดใน ขอใดตอไปนอยบน l2

1)

25 0, 2) (8, -1) 3) (1, -8) * 4) (15, 0)

4. กาหนดให วงกลมรปหนงมจดศนยกลางอยทจด (2, 1) ถาเสนสมผสวงกลมทจด x = 1 เสนหนงมความชน

เทากบ 3

1 แลวจดในขอใดตอไปนอยบนวงกลมทกาหนด

* 1) (0, 1) 2) (0, 2) 3) (1, 0) 4) (3, 0) 5. กาหนดให C1 และ C2 เปนวงกลมทมสมการเปน x2 + y2 = 2y และ x2 + y2 + 2y = 3 ตามลาดบ และ

L เปนเสนตรงทความชนนอยกวา 0 ซงสมผสทงวงกลม C1 และ C2 ขอใดตอไปนเปนความชนของ L 1) - 2 2) -

21 * 3) - 3 4)

31

6. วงกลมวงหนงมจดศนยกลางอยทจดศนยกลางของวงรทมสมการเปน 9x2 + 4y2 - 36x - 24y + 36 = 0

ถาวงกลมนสมผสกบเสนตรงทผานจด (1, 3) และ (5, 0) แลว รศมของวงกลมนเทากบขอใดตอไปน * 1) 5

3 2) 54 3) 8

7 4) 139

7. พาราโบลามจดยอดท (-1, 0) และมจดกาเนดเปนโฟกส ถาเสนตรง y = x ตดพาราโบลาทจด P และจด Q

แลว ระยะทางระหวางจด P กบจด Q เทากบเทาใด (ตอบ 8) 8. ถาเสนตรงหนงผานจดกาเนดและจดยอดของพาราโบลา y2 - 4y + 4x = 0 และตดเสนไดเรกตรกซทจด

(a, b) แลว a + b มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 4 2) 5 * 3) 6 4) 7 9. ถาระยะทางระหวางจด (x, y) กบจด (2, 2) เทากบระยะทางระหวางจด (x, y) กบเสนตรง x + y = 0 แลว

จด (x, y) อยบนกราฟของสมการในขอใดตอไปน * 1) (x - y)2 = 8(x + y - 2) 2) (x - y)2 = 4(x + y - 2) 3) (x + y)2 = 8(x + y) - 12 4) (x + y)2 = (x + y) + 2


10. วงกลม C มจดศนยกลางทจดกาเนด และผานจดโฟกสของพาราโบลาซงมสมการเปน (x - 2)2 = 8y โดยเสนไดเรกตรกซของพาราโบลาตดวงกลม C ทจด P และจด Q ถาจด R อยบนพาราโบลาและอยหางจากจดโฟกสเปนระยะทาง 4 หนวย แลวสามเหลยม PQR มพนทเทากบขอใด

1) 8 หนวย 2) 9 หนวย 3) 10 หนวย 4) 12 หนวย 11. วงรวงหนงม F1(1, 1) และ F2(1, -3) เปนจดโฟกส ถา A และ B เปนจดบนวงรททาใหรปสามเหลยม

ABF2 มเสนรอบรปยาว 12 หนวย และสวนของเสนตรง AB ผาน F1 แลวจดในขอใดตอไปนอยบนวงร * 1)

1 55

3 3, - 2)

1 55

3 2, - 3)

1 55

2 3, - 4)

1 55

2 2, -

12. กาหนดให วงรรปหนงมโฟกสอยทจด (±3, 0) และผานจด

221 2, จดในขอใดตอไปนอยบนวงรท

กาหนด

* 1) (-4, 0) 2)

225 0, 3) (6, 0) 4) (0, -3 2 )

13. กาหนดใหวงร E มโฟกสทงสองอยบนวงกลม C ซงมสมการเปน x2 + y2 = 1 ถา E สมผสกบ C ทจด

(1, 0) แลวจดในขอใดตอไปนอยบน E 1)

23 ,2

1 2)

25 ,2

1 3)

32 ,3

1 * 4)

34 ,3

1 14. ให E เปนวงรทมแกนเอกขนานกบแกน x มจดศนยกลางท (-2, 1) สมผสเสนตรง x = 1 และ y = 3 โดยม

F1 และ F2 เปนจดโฟกสของ E ให C เปนวงกลมทม 21FF เปนเสนผานศนยกลาง ถาวงร E ตดวงกลม C ทจด P, Q, R, S แลว พนทรปสเหลยม PQRS มคาเทากบขอใดตอไปน


24 ตารางหนวย 3) 536 ตารางหนวย * 4) 5

48 ตารางหนวย 15. ถา k, λ และ m เปนจานวนจรงททาใหวงร kx2 + λy2 - 72x - 24y + m = 0 มจดศนยกลางอยทจด

(4, 3) และสมผสแกน Y แลว ขอใดตอไปนผด 1) ความยาวแกนเอกเทากบ 12 หนวย 2) ความยาวแกนโทเทากบ 8 หนวย 3) ระยะหางระหวางจดโฟกสทงสองเทากบ 4 5 หนวย 4) จด (2, 6) อยบนวงร 16. ให F1 , F2 เปนจดโฟกสของวงรทมสมการเปน kx2 + 4y2 - 4y = 8 และ B เปนจดทวงรตดแกน y และ

อยเหนอแกน x ถา F1, B, F2 ไมอยในแนวเสนตรงเดยวกน และ F1BF2 เปนสามเหลยมทมพนทเทากบ

473 ตารางหนวยแลว k มคาเทากบเทาใด

17. กาหนดใหวงรวงหนงมสมการเปน 3x2 + 4y2 - 6x + 8y - 5 = 0 ถา P เปนจดบนวงร ซงมระยะหางจาก

โฟกสจดหนงเปนสองเทาของระยะระหวางโฟกสกบจดยอด จงหาระยะทางระหวางจด P กบจดยอดของวงร (ตอบ 7 )

18. กาหนดให E เปนวงรทมโฟกสอยทจดยอดของไฮเพอรโบลา x2 - y2 = 1 ถา E ผานจด (0, 1) แลว จดในขอใดตอไปนอยบน E

* 1)

22 1, - 2) (1, 2 ) 3)

21 1, - 4)

23 1,

19. กาหนดให A และ B เปนโฟกสของไฮเพอรโบลา 3x2 - y2 = 3 ถา P เปนจดใดๆ บนวงรทมโฟกสทจด

A, B และ AP + BP = 8 แลวสมการของวงรคอขอใดตอไปน 1) 4x2 + 3y2 = 24 2) 4x2 + 3y2 = 48 3) 3x2 + 4y2 = 24 4) 3x2 + 4y2 = 48 20. กาหนด H เปนไฮเพอรโบลาทมแกนตามขวางยาว 6 หนวย และแกนสงยคยาว 8 หนวย โดยม F1 และ F2

เปนจดโฟกส ถา P เปนจดบนไฮเพอรโบลา H ททาให 21 FPF ˆ = 90° แลวรปสามเหลยม F1PF2 มพนท กตารางหนวย (ตอบ 16 ตารางหนวย)

21. กาหนดให H เปนไฮเพอรโบลาทมสมการเปน 16x2 - 9y2 - 144 = 0 ถาจด A(6, k) เมอ k > 0 เปนจดอยบนเสนกากบของ H และ F1, F2 เปนโฟกสของ H แลว พนทของรปสามเหลยม AF1F2 เทากบขอใดตอไปน


45 ตารางหนวย 3) 30 ตารางหนวย * 4) 40 ตารางหนวย 22. กาหนด F เปนจดโฟกสของพาราโบลา y2 - 2y + 4x + 9 = 0 และ C เปนจดศนยกลางของวงกลม x2 + y2 - 6x + 4y + 12 = 0 ถาสวนของเสนตรง FC ตดวงกลมทจด T แลวสวนของเสนตรง FT มความยาวเทากบขอใดตอไปน 1) 4 2) 29 - 1 3) 41 - 1 * 4) 3 5 - 1 23. กาหนดให A = {a | เสนตรง y = ax ไมตดกราฟ y2 = 1 + x2} และ B = {b | เสนตรง y = x + b ตดกราฟ y2 = 1 - x2 สองจด} เซต {d | d = c2 , c ∈ B - A} เทากบชวงในขอใดตอไปน 1) (0, 1) 2) (0, 2) * 3) (1, 2) 4) (0, 4) 24. กาหนดให A = {(x, y) | x2 + y2 > 1}, B = {(x, y) | 4x2 + 9y2 < 1}, C = {(x, y) | y2 - x2 > 1}

ขอใดตอไปนผด 1) A - B = A 2) B - C = B 3) BI (AU C) = ∅ 4) AI (BU C) = ∅ 25. ให A และ B เปนจดยอดของไฮเพอรโบลา 4x2 - y2 - 24x + 6y + 11 = 0 สมการของพาราโบลาทม

AB เปนเลตสเรกตม และมกราฟอยเหนอแกน X คอสมการในขอใดตอไปน * 1) (x - 3)2 = 4(y - 2) 2) (x - 3)2 = 8(y - 1) 3) (x - 2)2 = 4(y - 2) 4) (x - 2)2 = 8(y - 1) 26. กาหนดให S = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 17}, A = {(x, y) | x2 - y2 = 1}, B = {(x, y) | y2 - x2 = 1}

ถา p ∈ SIA และ q ∈ SI B แลวระยะทางทนอยสดทเปนไปไดระหวางจด p และ q เทากบขอใดตอไปน * 1) 3 2 - 4 2) 3 2 - 2 3) 2 3 - 2 4) 2 3 - 3


ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล และฟงกชนลอการทม (Exponential and Logarithm Functions)

เลขยกกาลง

บทนยาม ถา a เปนจานวนจรง และ n เปนจานวนนบ 1. an = a × a × a × ... × a n ตว 2. am ⋅ an = am+n 3. (an)m = anm 4. (ab)n = an ⋅ bn

5. n

ba

= n

n

ba เมอ b ≠ 0

6. nm

aa = am-n เมอ a ≠ 0

7. a0 = 1 เมอ a ≠ 0 8. a-n = na

1 เมอ a ≠ 0 รากท n ในระบบจานวนจรง คาหลกของรากท n

บทนยาม ให n เปนจานวนเตมทมากกวา 1, x และ y เปนจานวนจรง y เปนรากท n ของ x กตอเมอ yn = x

บทนยาม ให x เปนจานวนจรงทมรากท n จะกลาววา จานวนจรง y เปนคาหลกของรากท n ของ x กตอเมอ 1. y เปนรากท n ของ x

2. yx ≥ 0 แทนคาหลกของรากท n ของ x ดวย n x

ขอสรปเกยวกบรากท 2 ของจานวนจรง 1. รากทสองของจานวนจรงบวก (A) ม 2 คา คอ 1) รากทเปนบวก ( A ) 2) รากทเปนลบ (- A ) 2. รากทสองของจานวนศนย ม 1 คา คอ 0 3. รากทสองของจานวนจรงลบ ไมสามารถหาคาได 4. สญลกษณแทน รากทสองทเปนบวกของ 25 คอ 25 = 5

รากทสองทเปนลบของ 25 คอ - 25 = -5 5. A เรยกสญลกษณ วา กรณฑ (Radical) ท 2

อานวา กรณฑท 2 ทเปนบวกของ A หรอ อานวา square root A 6. คาหลกของรากท 2 ของจานวนจรงบวก คอ รากทสองทเปนบวกของจานวนจรงนน ขอสรปเกยวกบรากท 3 ของจานวนจรง 1. รากทสามของจานวนจรง มเพยง 1 คา 2. รากทสามของจานวนจรงบวก เปนจานวนจรงบวก รากทสามของจานวนศนย เปนศนย รากทสามของจานวนจรงลบ เปนจานวนจรงลบ 3. สญลกษณแทน รากทสามของ 64 คอ 3 64 = 4 รากทสามของ 0 คอ 3 0 = 0 รากทสามของ -343 คอ 3 343- = -7 4. 3 A เรยก 3 วา กรณฑทสาม อานวา กรณฑทสามของ A

5. คาหลกของรากท 3 ของจานวนจรง คอ ตวมนเอง ทฤษฎบทเกยวกบรากท n ทฤษฎบทท 1 ถา x ≥ 0 และ y ≥ 0 แลว x ⋅ y = xy

ทฤษฎบทท 2 ถา x ≥ 0 และ y > 0 แลว yx = y

x

ทฤษฎบทท 3 ถา x และ y มรากท n แลว n x ⋅ n y = n xy

ทฤษฎบทท 4 ถา x และ y มรากท n และ y ≠ 0 แลว n

n

yx = n y

x เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนตรรกยะ บทนยาม เมอ a เปนจานวนจรง n เปนจานวนเตมทมากกวา 1 และ a มรากท n แลว a1/n = n x บทนยาม ให a เปนจานวนจรง p, q เปนจานวนเตมท (p, q) = 1, q > 0 และ a1/q ∈ R โดยเมอ p < 0 แลว a ตองไมเปน 0 ap/q = (a1/q)p

การหารากทสองของจานวนทอยในรป x ± 2 y x + 2 y = ( a + b )2 เมอ y = a × b และ x = a + b x - 2 y = ( a - b )2 เมอ y = a × b และ x = a + b ตวอยาง จานวนจรง x ทเปนคาตอบของสมการ 15 - b = 1052 22 - มคาเทากบเทาใด ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล (Exponential Function) คอ ฟงกชน f = {(x, y) ∈ R × R+ | y = ax ; a > 0 and a ≠ 1}

0 < a < 1 ฟงกชนลด

1

2

3

21 43 5-1-2

a > 1 ฟงกชนเพม

1

2

3

-1-2 1 2-3-5 -4

การแกสมการฟงกชนเอกซโพเนนเชยล แบบท 1 สมการม 2 พจน 1. จดสมการในรป ax = ay โดยใชสมบตของเลขยกกาลง 2. ถา ax = ay แลว x = y แบบท 2 สมการม 3 พจนขนไป 1. ใชวธการสมมต 2. การแกสมการทมหลายพจนพยายามถอดตวรวมออก แบบท 3 การแกสมการทตองใช Conjugate เขาชวย การแกอสมการฟงกชนเอกซโพเนนเชยล

อสมการ ฐาน (a) ขอสรป 0 < a < 1 x < y ax > ay

a > 1 x > y

ฟงกชนลอการทม (Logarithm Function) คอ ฟงกชน f = {(x, y) ∈ R+ × R|x = ay; a > 0 and a ≠ 1} f = {(x, y) ∈ R+ × R|y = loga x; a > 0 and a ≠ 1}

0 < a < 1 ฟงกชนลด

1

2

3

-1-30

0-1

-2

-2

-3

-4

1 3 4 5 6 72

a > 1 ฟงกชนเพม

1

2

3

-30

0-2 1 3 4 5 6 72

-4-3

-2

-1-2

ตวอยางท 1 จงเขยนสมการแตละขอตอไปนใหอยในรปของลอการทม

1) 25 = 32 2) 82/3 = 2 3) 3

31

= 27

1 4) 3 = 31 ตวอยางท 2 จงเขยนสมการแตละขอตอไปนใหอยในรปเลขยกกาลง 1) log10 100 = 2 2) log1 16 = -4 3) log5 1 = 0 4) log6 6 = 1 สมบตของลอการทม 1. loga 1 = 0 2. loga 1 = 0 3. ya

log Mx = yx loga M 4. loga M = xa

log Mx

5. loga (x ⋅ y) = loga x + loga y 6. loga

yx = loga x - loga y

7. yalogx = xalogy 8. Maloga = M

9. loga x = a log xlog

cc 10. loga x = a log

1x

การแกสมการลอการทม 1. ทาฐานของ log ใหเทากน แลวปลด log ออก โดยนาเอาทฤษฎตางๆ มาใช 2. เมอหาคา x มาได จะตองพจารณาดวยวาคา x ทไดมานนทาใหสมการเปนจรงหรอไม การแกอสมการลอการทม

0 < a < 1 a > 1

yx < yx >

ylogx log aa >

0y0x >∧>

แบบทดสอบ 1. ถา 4x-y = 128 และ 32x+y = 81 แลวคาของ y เทากบขอใดตอไปน 1) -2 * 2) -1 3) 1 4) 2 2. ถา 6x+y = 36 และ 5x+2y = 125 แลวคาของ x เทากบขอใดตอไปน 1) 1 2) 1.5 * 3) 2 4) 2.5

3. ถา xy = 2 แลว 2y)(x

2y)(x

22

-

+ มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 4 2) 8 3) 64 * 4) 256 4. กาหนดให x, y > 0 ถา xy = yx และ y = 5x แลวคาของ x อยในชวงใดตอไปน 1) [0, 1) * 2) [1, 2) 3) [2, 3) 4) [3, 4) 5. ถา x > 0 และ 8x + 8 = 4x + 2x+3 แลวคาของ x อยในชวงใดตอไปน 1) [0, 1) * 2) [1, 2) 3) [2, 3) 4) [3, 4)

6. กาหนดสมการ x

254

+

x259

= 1 จงพจารณาขอความตอไปน

ก. ถา a เปนคาตอบของสมการ แลว a > 1 ข. ถาสมการมคาตอบ แลวคาตอบจะมเพยงคาเดยว ขอใดถก 1) ก ถก และ ข ถก 2) ก ถก และ ข ผด * 3) ก ผด และ ข ถก 4) ก ผด และ ข ผด 7. ให f : R → R+ ถา f สอดคลองสมการ f(x) - 3f

x1 = 4x สาหรบทกจานวนจรงบวก x แลว ขอใด

ตอไปนเปนจรง

1) ∃x[f(x) > 0] 2) ∃x

>+ 0 x1 f f(x)

* 3) ∃x[(f(x))2 < 8] 4) ∃x

<+ 9 x1 f f(x)

2

8. กาหนดให x เปนจานวนตรรกยะทสอดคลองสมการ ( 5 - 1)(3 + 5 )x + ( 5 + 1)(3 - 5 )x

= 4 ⋅ 2x ถาเขยน x = nm ในรปเศษสวนอยางตา โดยท m และ n เปนจานวนเตม จงหา n

m (ตอบ 21 )

9. คาตอบของสมการ 3x(3x+1) + 3x+1(3x+2) = 2[2x(2x+1) + 2x+1 (2x+2)] อยในชวงใด 1) (-1, 0) 2) [-2, -1) 3) (-2, -1] 4) (0, 1]

10. ถา a, b เปนคาตอบของสมการ 6x - 3x+1 - 2x+2 + 12 = 0 แลวคาตอบของสมการ (ab)2x+1 = (ab + 3)x เทากบขอใดตอไปน

1) 3 log 2 log3 log

- 2) 6log 7 log4log

- 3) 2 8 log1

5 - * 4) 2 5 log1

2 - 11. ให S เปนเซตคาตอบของสมการ 52x + 11 ≤ |12(5x) - 9| ถา a และ b เปนสมาชกของ S ทมคามาก

ทสดและนอยทสดตามลาดบ แลว a + b เทากบขอใดตอไปน 1) log5 15 * 2) log5 20 3) 2 4) log5 30 12. เซตคาตอบของอสมการ 2x2(x-3) < 82/3-x เปนสบเซตของเซตในขอใดตอไปน 1) (1, ∞) 2) (-2, 100) 3) (-10, 10) * 4) (-∞, 2) 13. กาหนดให A และ B เปนจานวนเตมบวก ถา A log50 5 + B log50 2 = 1 แลว A + B เทากบขอใด

ตอไปน * 1) 2 2) 3 3) 1 4) 2 14. กาหนดให a, b, c > 1 ถา loga d = 30, logb d = 50 และ logabc d = 15 แลวคาของ logc d เทากบขอ

ใดตอไปน * 1) 75 2) 90 3) 120 4) 120 15. จงพจารณาขอความตอไปน

ก. ถา (log a)3 = x - 1 และ (log b)3 = x + 1 แลว log(a + b) = 3 2 1x - ข. กราฟของ y = x2 และกราฟของ y = 2x ตดกนเพยงสองจดเทานน ขอใดตอไปนถก 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก * 4) ก. และ ข. ผด 16. ถา log4x 2x2 = log9y 3y2 = log25z 5z2 แลว logxz (yz) มคาเทากบขอใดตอไปน 1) log 6 2) log 10 * 3) log 15 4) log 30 17. ถา xlog y ⋅ ylog z ⋅ zlog x = 1 และ xy ≠ 1 แลว ขอใดตอไปนผด 1) ถา x = y แลว xz2 = 1 * 2) ถา x2y = 1 แลว z = x2 3) ถา x = y2 แลว xz3 = 1 4) ถา xy2 = 1 แลว z = x 18. กาหนดให a > 1 และ b, c > 0 ถา a2 + b2 = c2 และ x เปนจานวนจรงซง

logc+b a + logc-b a = x (logc+b a logc-b a) แลว x มคาเทาใด (ตอบ 2) 19. รากทมคานอยทสดของสมการ 2log (x-2) ⋅ 2log (x-3) = 2log 2 มคาเทาใด (ตอบ 4) 20. กาหนด logy x + 4 logx y = 4 แลว logy x3 มคาเทาใด (ตอบ 6) 21. ผลบวกของคาตอบทงหมดของสมการ log3 x = 1 + logx 9 อยในชวงใดตอไปน 1) [0, 4) 2) [4, 8) * 3) [8, 12) 4) [12, 16)

22. คาตอบของสมการ 2

log (4 - x) = log2 (9 - 4x) + 1 อยในชวงใดตอไปน

1) [-10, -6] 2) [-6, -2) * 3) [-2, 2) 4) [2, 6) 23. กาหนดให A = {n|n เปนจานวนนบและ n2+9 = nn3-9} B = {n|n เปนจานวนนบและ log n = log(n + 1)} ผลบวกของสมาชกทกตวในเซต AU B เทากบเทาใด (ตอบ 4) 24. ถา 4 (log x)2 + 9 (log y)2 = 12 (log x)(log y) แลวขอใดตอไปนถก 1) y2 = x 2) x2 = y * 3) x3 = y3 4) x2 = y3 25. ผลบวกของรากทงหมดของสมการ log3 (31/x + 27) = log3 4 + 1 + 2x


1) 0 2) 21 * 3) 4

3 4) 1 26. ถา log2 3 = 1.59 แลวคาของ x ทสอดคลองกบสมการ 22x+1 ⋅ 32x+2 = 122x เทากบเทาใด (ตอบ 2.09) 27. กาหนดให A =

+==∈ 33 y log x log 2y) (x log6 และ yx zR z - แลวผลบวกของสมาชกทงหมดใน

เซต A มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 3 * 2) 4 3) 5 4) 6 28. ผลบวกของคาตอบของสมการ log2 (4x-1 + 2x-1 + 6) = 2 + log2 (2x-1 + 1) มคาเทาใด (ตอบ 3) 29. ขอใดตอไปนถกตอง * 1) log7 3 < log7 3 < log7 10 2) log5 3 < log7 3 < log7 10 3) log7 3 < log7 10 < log5 3 4) log7 10 < log5 3 < log7 3 30. กาหนดให A เปนเซตคาตอบของอสมการ log4 log3 log2 (x2 + 2x) ≤ 0 จานวนเตมทเปนสมาชกของ

A มทงหมดกจานวน (ตอบ 3) 31. ถา A = {x|a < x < b} เปนเซตคาตอบของอสมการ log2 (2x - 1) - log4

+ 21 x2 < 2

1 แลว

a + b มคาเทาใด (ตอบ 2.5) 32. จานวนเตมทสอดคลองกบอสมการ log1/2 [log3 (x + 1)] > -1 มจานวนเทากบขอใดตอไปน 1) 6 2) 7 * 3) 8 4) มากกวา 8 33. กาหนดให S เปนเซตคาตอบของอสมการ 4 ⋅ 2log x2 - 9 ⋅ 2(log x/10 + 1) + 2 ≤ 0 ถา a และ b เปน

สมาชกของ S ทมคามากและคานอยสด ตามลาดบแลว ba เทากบขอใดตอไปน

1) 20 2) 100 * 3) 200 4) 1000 34. เซตคาตอบของอสมการ (4x - 2) ⋅ log (1 - x2) > 0 เปนสบเซตของเซตในขอใดตอไปน * 1)

21 2,- 2)

2 ,2

1- 3) (0, 10) 4)

20 ,21


ฟงกชนตรโกณมต (Trigonometry) 1. sin A = c

a ; cosec A = ac

cos A = cb ; sec A = b

c

tan A = ba ; cot A = a

b 2. cosec A = A sin

1 , sec A = Acos1 , cot A = Atan

1

tan A = A cosA sin , cot A = Asin

Acos

3. ถา A + B = 90° แลว 1) sin A = cos B 2) tan A = cot B 3) sec A = cosec B 4. -1 ≤ sin A ≤ 1 -1 ≤ cos A ≤ 1 5. sin2 A + cos2 A = 1 sec2 A - tan2 A = 1 cosec2 A - cot2 a = 1 วงกลมหนงหนวย (the unit circle) 1. x = cos θ , y = sin θ 2. ตาราง

มม θ° (เรเดยน) ฟงกชน 30°

π6 45°

π4 60°

π3

sin 21

21 = 2

2 23

cos 23

21 = 2

2 21

tan 3

1 = 33 1 3

B

CA

ac

b

S มม (+)

(0, 1)

0°π, 180°

มม (-)(1, 0)

T C

+

(0, -1)

(-1, 0)

(-, +) (+, +)

(+, -)(-, -)

°π 90 ,2

°π 270 ,23


3. cos (-A) = cos A sec (-A) = sec A sin (-A) = -sin A cosec (-A) = -cosec A tan (-A) = -tan A cot (-A) = -cot A สตรเอกลกษณตรโกณมต 1. sin (A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B cos (A ± B) = cos A cos B m sin A sin B มมบวก/ลบกน tan (A ± B) = B tanA tan 1

B tan A tanm

± 2. sin 2A = 2 sin A cos A =

A tan 1A tan22+

cos 2A = cos2 A - sin2 A = 2 cos2 A - 1 = 1 - 2 sin2 A

= A tan 1A tan 1

22

+-

tan 2A = A tan 1

A tan22-

3. sin 2

A = ± 2A cos 1 -

cos 2A = ± 2

A cos 1 + ครงมม

tan 2A = ± A cos 1

A cos 1+-

4. sin 3A = 3 sin A - 4 sin3 A cos 3A = 4 cos3 A - 3 cos A มม 3 เทา

tan 3A = A tan3 1

A tan A tan32

3

--

5. 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A - B) 2 cos A sin B = sin (A + B) - sin (A - B) ฟงกชนคณกน -2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A - B)

มม 2 เทา


6. sin A + sin B = 2 sin

+

2B A cos

2B A -

sin A - sin B = 2 cos

+

2B A sin

2B A -

cos A + cos B = 2 cos

+

2B A cos

2B A -

cos A - cos B = -2 sin

+

2B A sin

2B A -

7. คาของฟงกชนตรโกณมตของมมทนาสนใจ

มม θ° (เรเดยน) ฟงกชน

15° 36° 72° 22 21 °

sin θ 221 3 -

452 10 -

452 10 + 2

1 2 2 -

cos θ 221 3 + 4

1 5 + 41 5 - 2

1 2 2 +

tan θ 1 31 3

+

-

หรอ 2 - 3 1552 10

+

-15

52 10-

+2 2

2 2

+

-

หรอ 3 - 1 อตราสวนตรโกณมตของรปสามเหลยมทไมใชสามเหลยมมมฉาก 1. Law of cosine

a2 = b2 + c2 - 2bc cos A cos A = 2bca c b 222 -+

b2 = c2 + a2 - 2ac cos B cos B = 2ac b a c 222 -+

c2 = a2 + b2 - 2ab cos C cos C = 2abc b a 222 -+

2. Law of sine a

Asin = bBsin = c

Csin Asina = B sin

b = C sinc

พนท ∆ = 21 ab sin C = 2

1 ac sin B = 21 bc sin A

ฟงกชนบวก/ลบกน

B

C

A

a

c

b


ตวผกผนของฟงกชนตรโกณมต ฟงกชน โดเมน เรนจ

y = arcsin x x ∈ [-1, 1] y ∈

ππ

2 ,2 -

y = arctan x x ∈ R y ∈

ππ

2 ,2 -

y = arccosec x x ∈ (-∞, 1]U [1, ∞) y ∈

π 0 ,2 - U

π

2 0,

y = arccos x x ∈ [-1, 1] y ∈ [0, π] y = arccot x x ∈ R y ∈ (0, π)

y = arcsec x x ∈ (-∞, 1]U [1, ∞) y ∈

π

2 0, U

ππ ,2

ตวอยางท 1 จงหาคาของ 1) arcsin (0) = .................... 2) arcsin

21 = ....................

3) arccos

22 = .................... 4) arccos

23

- = ....................

5) arcsin

21

- = .................... 6) arctan (-1) = .................... ตวอยางท 2 จงเตมชองวางใหถกตอง 1) arcsin

21 = arccosec .......... = arccos ..........

2) arccos

53

- = arcsec .......... = arccot ..........

3) arctan

512 = arccot .......... = arcsec ..........

ตวอยางท 3 จงเตมชองวางใหถกตอง

1) sin

21 arcsin = .................... 2) sin

23 arcsin = ....................

3) sin (arctan (2)) = .................... 4) sec (arccosec ( 2 )) = ....................

5) cos

22 arcsin - = .................... 6) arccos

π

45 tan - = ....................

ตวอยางท 4 จงเตมชองวางใหถกตอง

1) sin

+ 54 arcsin 13

12 arcsin = .................... 2) sec

31 arcsin 2 = ..................


แบบทดสอบ 1. ถา 1 – cot 20° = o25cot 1

x-

แลว x มคาเทาใด (ตอบ 2)

2. ถา cos θ - sin θ = 35 แลวคาของ sin 2θ เทากบขอใดตอไปน

1) 134 2) 13

9 * 3) 94 4) 9

13 3. ถา B sin

A sin = 3

2 และ B cosA cos =

21 แลว tan2 B มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 4 * 2) 23 3) 1 4) 3

2 4. ถา sin 15° + sin 55° = x และ cos 15° + cos 55° = y แลว (x + y)2 - 2xy เทากบขอใดตอไปน * 1) 4 cos2 20° 2) 2 cos2 20° 3) 4 cos2 40° 4) 2 cos2 40°

5. ถา 2 2

2 2sin 3A cos 3A 2sin A cos A

− = แลว cos 2A มคาเทากบขอใดตอไปน

* 1) 41 2) 2

1 3) 2

1 4) 3

1

6. คาของ sin 30 cos30sin10 cos10

−o o

o o เทากบขอใดตอไปน

1) -1 2) 1 * 3) 2 4) -2 7. ถา (sinθ + cos θ)2 = 2

3 เมอ 0 ≤ θ ≤ 4π แลว arcos(tan 3 θ) มคาเทาใด (ตอบ 0)

8. ถา arcsin (5x) + arcsin (x) = 2

π แลวคาของ tan (arcsin x) เทากบขอใดตอไปน

* 1) 51 2) 3

1 3) 3

1 4) 21

9. ให -1 ≤ x ≤ 1 เปนจานวนจรงซง arccos x - arcsin x = 2552

π แลวคาของ sin 2552π เทากบขอใด

ตอไปน 1) 2x * 2) 1 - 2x2 3) 2x2 - 1 4) -2x 10. ถา arccos x - arcsin x = 6

π แลว arccos x - arctan 2x มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 12π 2) 12

5π 3) 127π 4) 12

11π 11. sec

+ 5

3 arccos 53 arcsin2

1 + tan

+ 5

4 arccos 54 arcsin2

1 มคาเทากบขอใด

1) 2 2) 3 * 3) 1 + 2 4) 2 + 3

12. กาหนดให arccos 54 + arcsin 13

12 + x = 2π แลว tan x มคาเทากบเทาใด

1) 6316 2) 63

6 * 3) - 6316 4) - 63

6

13. คาของ sin

243 arctan

+ cos

53 arcsin 2 เทากบขอใดตอไปน

1) 101 + 25

6 2) 3

1 + 256 *3)

101 + 25

7 4) 3

1 + 257

14. ถา arctan x = arctan 4

1 - 2 arctan 21 แลว sin (180° + arctan x) มคาเทากบขอใด

* 1) 175

13 2) 175

16 3) -175

13 4) -175

16 15. ถา a และ b เปนคาตอบของสมการ sin (2 arcsin x) = x โดยท a ≠ 0, b ≠ 0 และ a ≠ b แลว

|sin arctan (ab)| เทากบเทาใด (ตอบ 0.6) 16. ให A เปนเซตคาตอบของสมการ cos (2 arcsin x) + 2 = 4 sin2 (arccos x) ขอใดตอไปนคอ ผลคณของ

สมาชกในเซต A 1) - 4

1 * 2) - 21 3) 4

1 4) 21

17. -sin2 1° + sin2 2° - sin2 3° + … - sin2 89° + sin2 90° มคาเทากบเทาใด (ตอบ 0.5) 18. กาหนดให 0° < α < 30° ถา sin2 (7α) - sin2 (5α) = sin (2α) sin (6α) แลว α เทากบขอใดตอไปน *1) 10° 2) 15° 3) 20° 4) 25° 19. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมซงม 2 sin A + 3 cos B = 4 และ 3 sin B + 2 cos A = 1 คาของ

sin C เทากบขอใดตอไปน 1) 6

1 * 2) 31 3) 2

1 4) 1 20. พจารณาขอความตอไปน เมอเอกภพสมพทธคอเซตของจานวนจรง ก. ∃x(cot 2x - cot x = 0) ข. ∀x

=+ 2x sin 21 1 x cos x sin 244 -

คาความจรงของขอความ ก. และขอความ ข. เปนไปตามขอใดตอไปน 1) ก. เปนจรง และ ข. เปนจรง 2) ก. เปนจรง และ ข. เปนเทจ * 3) ก. เปนเทจ และ ข. เปนจรง 4) ก. เปนเทจ และ ข. เปนเทจ 21. กาหนดให x ∈ [ 0, 4π ] เซตคาตอบของสมการ cos x = 3 (1 - sin x) คอขอใดตอไปน 1)

πππ

613 ,6

5 ,6 2)

πππ

613 ,2 ,6

5

* 3)

ππππ

25 ,6

13 ,2 ,6 4)

ππππ

45 ,2 ,6

5 ,6

22. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมดาน AB ยาว 2 หนวย ถา BC3 + AC3 = 2BC + 2AC แลว cot C มคาเทากบเทาใด

* 1) 3

1 2) 21 3) 1 4) 3

23. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม A เทากบ 60°, BC = 6 และ AC = 1 คาของ cos 2B


1) 41 2) 2

1 3) 23 *4) 4

3 24. ถา A(1, 2) , B(4, 3) และ C(3, 5) เปนจดยอดของสามเหลยม ABC แลว sin 2

B มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 21

2/1

501 50

- 2) 21

2/1

501 50

+

3) 2/1

5021 50

+ * 4)

2/1

5021 50

- 25. รปสามเหลยม ABC ม a, b และ c เปนความยาวของดานตรงขามมม A, Bและ C ตามลาดบ ถา cos B = 4

1 และ (a + b + c)(a - b + c) = 30 แลว ac มคาเทากบขอใดตอไปน

* 1) 12 2) 20 3) 520 4) 3

40 26. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยม ซงม BCAˆ = 60° ลากเสนตรงจากจด A ไปพบดาน BC ทจด D โดย

ทาให DABˆ = 30° ถาระยะ BD ยาว 3 หนวย และระยะ AD ยาว 2 หนวยแลว ระยะ CD ยาวเทากบขอใดตอไปน

1) 334 2) 3

35 3) 967 * 4) 9

68

27. นายดายนอยบนสนามแหงหนงมองเหนยอดเสาธงเปนมมเงย 60° แตเมอเขาเดนตรงเขาไปหา เสาธงอก 20 เมตร เขามองเหนยอดเสาธงเปนมมเงย 75° ในขณะทเขามองเหนยอดเสาธงเปนมมเงย 60° นนเขายนอยหางจากเสาธงเทากบเทาใด

1) 10

+ 323 2 2) 10

+ 321 2 3) 10(2 + 2 3 ) * 4) 10(2 + 3 )

28. ให A, B และ C เปนจดยอดของรปสามเหลยม ABC และ A < B < C โดยท tan A ⋅ tan B ⋅ tan C = 3 + 32 และ tan B + tan C = 2 + 32 พจารณาขอความตอไปน ก. tan C = 2 + 3 ข. C = 12

5π ขอใดตอไปนถก * 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ผด และ ข. ถก 3) ก. ถก และ ข. ผด 4) ก. และ ข. ผด


29. ให θ เปนจานวนจรง ซงสอดคลองกบสมการ θ2tan

1 + θ2cot

1 + θ2sin

1 + θ2cos

1 = 7 แลว tan2 2θ

มคาเทาใด (ตอบ 8) 30. พจารณาขอความตอไปน ก. tan 14° + tan 76° = 2 cosec 28° ข. ถา x > 0 และ sin (2 arctan x) = 5

4 แลว x ∈

3 ,31

ขอใดตอไปนถกตอง * 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ผด และ ข. ถก 3) ก. ถก และ ข. ผด 4) ก. และ ข. ผด 31. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมซงมดานตรงขามมม A , B และ C ยาว 2a, 3a, 4a ตามลาดบ

ถา sin A = k แลว cot B + cot C มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 6k

1 2) 6k * 3) 3k

1 4) 3k


เวกเตอร (Vectors) บทนยาม ปรมาณทมแตขนาดเพยงอยางเดยว เรยกวา ปรมาณสเกลาร (scalar quantity) สวนปรมาณทมทงขนาดและทศทางเรยกวา ปรมาณเวกเตอร (vector quantity) หรอเรยกสนๆ วา เวกเตอร การเขยนสญลกษณแทนเวกเตอร เวกเตอรจาก A ไป B อานวา เวกเตอร เอบ เขยนแทนดวย 1) รปเรขาคณต

B

A 2) AB (เรยก A วา จดเรมตน (initial point) เรยก B วา จดสนสด (terminal point) ของเวกเตอร) 3) ถาพกดของ A เปน (x1, y1) และ B เปน (x2, y2) แลว

AB =

1212

y yx x

--

= (x2 - x1) iv + (y2 - y1) jv

4) ถาพกดของ A เปน (x1, y1, z1) และ B เปน (x2, y2, z2) แลว

AB =

121212

z z y y x x

---

= (x2 - x1) iv + (y2 - y1) jv + (z2 - z1) k

v

เมอ iv เปนเวกเตอร 1 หนวย ในทศ +x j

v เปนเวกเตอร 1 หนวย ในทศ +y k

v เปนเวกเตอร 1 หนวย ในทศ +z

ขนาดของเวกเตอร |AB| แทน ความยาวของสวนของเสนตรง AB หรอ BA หรอ ขนาดของเวกเตอรนนเอง

1) ถา AB = a iv + b jv แลว |AB| = 22 ba +

2) ถา AB = a iv + b jv + c k

v แลว |AB| = 222 cba ++


การเทากน และนเสธของเวกเตอร บทนยาม uv และ vv ขนานกน กตอเมอ เวกเตอรทงสองมทศทางเดยวกน หรอทศทางตรงกนขาม บทนยาม uv = vv กตอเมอ เวกเตอรทงสอง มขนาดเทากน และทศทางเดยวกน

ถา

1

1ba

=

2

2ba

แลว a1 = a2 และ b1 = b2

ถา

11

1

cba

=

22

2

cba

a1 = a2 และ b1 = b2 และ c1 = c2

บทนยาม นเสธของ uv (negative of uv ) คอ เวกเตอรทมขนาดเทากบขนาดของ uv แตมทศทางตรงกนขามกบทศทางของ uv เขยนแทนดวย - uv

- uv = -

ba

=

ba

--

= -a iv - b jv หรอ - uv = -

cba

=

cba

---

= -a iv - b jv - c k

v

เวกเตอรศนย (zero vector)

คอ เวกเตอรทมขนาดเปน 0 เขยนแทนดวย 0v =

00

หรอ 0v =

000

การบวกเวกเตอร ♥ เชงเรขาคณต

uv

vv vv

vu vv+

uv

vv u v vv+

uv

♥ เชงพชคณต

1

1ba

+

2

2ba

=

+

+

21

21 b baa

= (a1 + a2) iv + (b1 + b2) jv

11

1

cba

+

22

2

cba

=

+

+

+

2121

21

c c b ba a

= (a1 + a2) iv + (b1 + b2) jv + (c1 + c2) k

v

การลบเวกเตอร หมายถง การบวกเวกเตอรดวยนเสธการบวกของเวกเตอรตวลบ เชน uv - vv = uv + ( uv - vv ) ♥ เชงเรขาคณต

uv uv-

vv vv-

uv

)v(uvu vvv -- += vv-

♥ เชงพชคณต

1

1ba

-

2

2ba

=

21

21 b baa

--

= (a1 - a2) iv + (b1 - b2) jv

11

1

cba

-

22

2

cba

=

2121

21

c c b ba a

---

= (a1 - a2) iv + (b1 + b2) jv + (c1 - c2) k

v

การคณเวกเตอร 1. การคณเวกเตอรดวยสเกลาร

k

cba

=

kckbka

เชน 5

321

=

×××

3 52 51 5

=

15105

ให uv ≠ 0v และ a เปนจานวนจรง

♥ ถา a > 0 แลว a uv คอ เวกเตอรทมทศทางเดยวกบ uv และมขนาดเทากบ a เทาของ uv ♥ ถา a < 0 แลว a uv คอ เวกเตอรทมทศตรงขามกบ uv และมขนาดเทากบ |a| เทาของ uv ♥ ถา a = 0 แลว a uv = 0

v เชน 2 uv คอเวกเตอรทมทศทางเดยวกบเวกเตอร uv และมขนาดเปน 2 เทาของเวกเตอร uv -3 uv คอเวกเตอรทมทศตรงขามกบเวกเตอร uv และมขนาดเปน 3 เทาของเวกเตอร uv

ทฤษฎบทท 1 ให uv ≠ 0v และ vv ≠ 0

v uv ขนานกบ vv กตอเมอ มจานวนจรง a ≠ 0 ซงทาให uv = a vv ทฤษฎบทท 2 ให uv ≠ 0

v และ vv ≠ 0v และ uv ไมขนานกบ vv จะไดวา

ถา a uv + b vv = 0v แลว a = 0 และ b = 0


เวกเตอรหนงหนวย (unit vector) คอ เวกเตอรทมขนาดหนงหนวย เวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกบเวกเตอร uv คอเวกเตอร |u|

uvv

เวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกบเวกเตอร uv คอเวกเตอร - |u|uvv

เชน กาหนดให uv = 3 iv - 4 jv - k

v จะได | uv | = 222 1)( 4 3 -++ = 26

ดงนน เวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกบ uv คอ คอ 26

kj4i3vvv --

หรอ 263 iv -

264 j

v - 261 k

v

2. การคณเวกเตอรดวยเวกเตอร (ผลคณเชงสเกลาร (dot product))

uv ⋅ vv =

11

1

cba

⋅

22

2

cba

= a1a2 + b1b2 + c1c2

uv ⋅ vv = | uv || vv | cos θ เมอ θ เปนมมระหวาง uv และ vv เมอ uv และ vv มจดเรมตนเดยวกน | uv + vv |2 = | uv |2 + 2 uv ⋅ vv + | vv |2 | uv - vv |2 = | uv |2 - 2 uv ⋅ vv + | vv |2 สมบตทสาคญของผลคณเชงสเกลาร 1. ให uv , vv และ wv เปนเวกเตอรใดๆ ♥ uv ⋅ vv = vv ⋅ uv ♥ uv ⋅ ( vv + wv ) = uv ⋅ vv + uv ⋅ wv ♥ a( uv ⋅ vv ) = (a uv ) ⋅ vv = uv ⋅ (a vv ) ♥ 0

v ⋅ uv = 0

♥ uv ⋅ uv = uv 2 = | uv |2 ♥ iv ⋅ iv = k

v ⋅ kv

= jv

⋅ jv = 1

♥ iv ⋅ jv = iv ⋅ k

v = jv

⋅ kv

= 0 2. ให uv , vv เปนเวกเตอรทไมใชเวกเตอรศนย เวกเตอร uv ตงฉากกบเวกเตอร vv กตอเมอ uv ⋅ vv = 0


3. การคณเวกเตอรดวยเวกเตอร (ผลคณเชงเวกเตอร (cross product)) uv × vv อานวา เวกเตอรย ครอส เวกเตอรว (หาไดเฉพาะเวกเตอร 3 มตเทานน)

ถา uv =

11

1

cba

, vv =

22

2

cba

แลว uv × vv =

1221

3113

2332

ba baba baba ba

---

= 32

32 bba a

iv +

13

13 bba a

jv +

21

21 bba a

kv

| uv × vv | = | uv || vv | sin θ = พนทรปสเหลยมดานขนานทม uv และ vv เปนดานของรปสเหลยมนน ให uv , vv , rv เปนดานของทรงสเหลยมดานขนานแลว

โคไซนแสดงทศทาง (Direction Cosines) ถากาหนดจด P(a1, a2, a3) จะได OP =

321

aaa

cos α = 23

22

21

1

a a a

a

++, cos β =

23

22

21

2

a a a

a

++, cos γ =

23

22

21

3

a a a

a

++

α, β, γ คอ มมท OP ทากบแกน x, y, z ตามลาดบ เรยก cos α, cos β, cos γ วา “โคไซนระบทศทางของ OP ”

ปรมาตรของสเหลยมดานขนานทรงตน = | uv ⋅ ( vv × rv )|

uv

vv

v u vv ×

uv

vvrv


แบบฝกหด 1. กาหนดให ABC เปนสามเหลยมใดๆ และ E เปนจดททาให CE = 2 BA ถา BE = aCB + bCA เมอ

a, b เปนคาคงตวแลว b - a คอคาในขอใด 1) -1 2) 2 3) 3 *4) 5 2. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมมสมบตวา 5 |AB| = |BC| + |CA| ถา M และ N เปนจดแบงครง

ดาน BC และ AC ตามลาดบ แลวพจารณาขอความตอไปน ก. MN = 2

1 ( BC - AC ) ข. AM ⋅ BN = 0

ขอใดถก 1) ก. และ ข. ถก *2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด 3. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทม D เปนจดบนดาน AC และ F เปนจดบนดาน BC ถา AD = 4

1 AC , BF = 31 BC และ DF = a AB + b BC แลว b

a มคาเทาใด (ตอบ 9) 4. กาหนดให ABCD เปนรปสเหลยมดานขนาน, M เปนจดบนดาน AD ซง AM = 5

1 AD และ N เปนจด

บนเสนทแยงมม AC ซง AN = 61 AC ถา MN = a AB + b AD แลว a + b เทากบขอใดตอไปน

* 1) 122 2) 5

1 3) 31 4) 1

5. ให A, B และ C เปนจดยอดของรปสามเหลยมใดๆ พจารณาขอความตอไปน ก. AB + BC + CA = 0

v ข. (BC)2 ≤ (CA)2 + (AB)2 ขอใดถก 1) ก. และ ข. ถก * 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด 6. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมดานเทา และ D เปนจดบนดาน DC ซงทาให |BD| : |BC| = 1 : 3

พจารณาขอความตอไปน ก. AD3 = AB2 + BC ข. AD ⋅ BC = - 6

1 |BC| 2

ขอใดถก 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด *3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด 7. ให A, B และ C เปนจดสามจดทไมอยบนเสนตรงเดยวกน และ D เปนจดบนเสนตรง BC ททาให BD : DC

= 2 : 1 ถา |AD| 2 = a |AB| 2 + b |AC| 2 + c |ACAB| ⋅ โดยท a, b และ c เปนจานวนจรง และ AB ⋅ AC ≠ 0 แลว a2 + b2 + c2 มคาเทากบขอใด

1) 8131 2) 81

32 3) 2710 *4) 27

11


8. ให uv = iv + j3v , vv = i2v + jv ถา θ เปนมมระหวาง ( uv + vv ) และ ( uv - vv ) แลว cos θ มคาเทากบขอใด

*1) 5

1 2) 5

2 3) 51 4) 5

2 9. ถา | uv + vv | = 5 2 และ | uv - vv | = 26 แลว uv ⋅ vv เทากบขอใด 1) 3 *2) 6 3) 8 4) 12 10. ถา uv และ vv ทามมกน 60° และ | uv + vv | = 37 , | uv - vv | = 13 แลว | uv | + | vv |

มคาเทากบขอใด 1) 5 *2) 7 3) 37 4) 50 11. พจารณาขอความตอไปน เมอ uv และ vv เปนเวกเตอร ก. ถา | uv | = | vv | ≠ 0

v แลว ( uv - vv )( uv + vv ) = 0

ข. ถา |2 uv + vv | = | vv | แลว | uv | ⋅ ( uv + vv ) = 0 ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. และ ข. ถก * 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด 12. กาหนดให uv และ vv เปนเวกเตอรทมขนาดหนงหนวย ถาเวกเตอร uv + 2 vv ตงฉากกบเวกเตอร 2 uv + vv

แลว uv ⋅ vv เทากบขอใดตอไปน *1) - 5

4 2) 0 3) 51 4) 5

3 13. กาหนดให uv และ vv เปนเวกเตอรทไมเทากบเวกเตอรศนยซง uv ตงฉากกบ vv และ uv + vv ตงฉากกบ

uv - vv พจารณาขอความตอไปน ก. | uv | = | vv | ข. uv + 2 vv ตงฉากกบ 2 uv - vv ขอใดตอไปนเปนจรง * 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด 14. กาหนดให uv และ vv เปนเวกเตอรทมขนาดหนงหนวย ถาเวกเตอร 3 uv + vv ตงฉากกบเวกเตอร uv + 3 vv

แลวเวกเตอร 5 uv - vv มขนาดเทากบขอใดตอไปน 1) 3 หนวย 2) 3 2 หนวย 3) 4 หนวย * 4) 4 2 หนวย 15. กาหนดให uv และ vv เปนเวกเตอรซง | uv ⋅ vv | ≠ | uv || vv | ถา a(v 2u) 3u b(2u v)− + = +

r r r r r แลวคาของ a อยในชวงใดตอไปน

1)

21 0, * 2)

1 ,21 3)

23 0, 4)

1 ,23


16. กาหนดให uv และ vv ไมเปนเวกเตอรและ | uv + vv | = | uv - vv | ถา | vv | = 3

1 | uv | เปนมม

ระหวางเวกเตอร uv + vv และเวกเตอร uv - vv เทากบขอใดตอไปน 1) 30° 2) 45° * 3) 60° 4) 90° 17. ให A

r, Br

และ Cr

เปนเวกเตอร ซง |A|r

= 3, |B|r

= 2 และ |C|r

= 1 ถา Ar

+ Br

+ 4Cr

= 0r

แลว Ar

⋅ Br

+ Br

⋅ Cr

+ Cr

⋅ Ar

มคาเทากบขอใดตอไปน *1) - 2

5 2) -1 3) 0 4) 21

18. กาหนดให P(-8, 5), Q(-15, -19), R(1, -7) เปนจดบนระนาบ ถา vv = a iv + b j

v (a, b เปนจานวน

จรง) เปนเวกเตอรซงมทศทางขนานกบเสนตรงซงแบงครงมม RPQˆ แลว ba มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 2 2) -2 3) 112 * 4) - 11

2 19. กาหนดให uv = i3v + j4v ถา wv = iav + jbv โดยท wv มทศทางเดยวกนกบ uv และ | wv | = 10

แลว a + b เทากบเทาใด (ตอบ 14) 20. กาหนดให uv , vv และ wv เปนเวกเตอรทสอดคลองกบสมการ uv + 5 vv - 2wv = 0

v โดยท uv = 3 iv + j4v

และ uv ตงฉากกบ vv ถา θ เปนมมระหวาง uv และ wv แลวคาของ | wv |cos θ เทากบเทาใด (ตอบ 2.5)

21. ถา nvv = n1 iv + 2n

1 1 - jv เมอ n = 1, 2, 3, ..., 99 แลวคาของ ∑=

+

99

1n n1n |v v| vv - อยในชวงใด

1) (1, 1.2) 2) (1.2, 1.4) *3) (1.4, 1.6) 4) (1.6, 1.8) 22. กาหนดใหเวกเตอร

41 ตงฉากกบเวกเตอร

a 8

- และ

35 = b

41 + c

a 8

- ถา θ เปนมมระหวาง

เวกเตอร

0a และ

cb แลว cos2 θ เทากบเทาใด (ตอบ 0.8)

23. กาหนดทรงสเหลยมดานขนาน มจดยอดอยทจด O(0, 0, 0), A(1, 5, 7), B(2a, -b, -1) และ C(a, 3b, 2)

โดยท a และ b เปนจานวนเตม ถา OA ตงฉากกบฐานทประกอบดวย OB และ OC และ θ เปนมมระหวาง OB และ OC แลวขอใดตอไปนถก

1) sin θ = 735

2) |OB| |OC| = 21

3) พนทฐานของทรงสเหลยมดานขนานเทากบ 235 ตารางหนวย

*4) ปรมาตรของทรงสเหลยมดานขนานเทากบ 75 ลกบาศกหนวย


24. กาหนดให uv = iv + k3v

vv = 2 j + kxv เมอ x เปนจานวนจรง

wv = - i3v + jv - kv

ถา uv , vv และ wv อยในระนาบเดยวกน แลว x มคาเทาใด 1) -12 2) -8 3) 8 *4) 16 25. ให uv = iav + jb

v + k2v

= a และ vv = i2av - j3bv โดยท a, b เปนจานวนเตมบวก และ θ เปนมม

ระหวาง uv และ vv ถา | uv | = 3 และ cos θ = 31 แลว uv × vv มคาเทากบขอใดตอไปน

* 1) i6v + j8v - k10

v 2) - i6v - j8

v + k10v

3) i12v + j4

v - k10v

4) - i12v - j4v + k10

v


จานวนเชงซอน (Complex) 1. จานวนเชงซอน

เซต C = {(a, b)| a, b ∈ R} จะเรยกวา เซตของจานวนเชงซอน กตอเมอสาหรบทกๆ สมาชก (a, b) และ (c, d) ใน C 1. (a, b) = (c, d) กตอเมอ a = c และ b = d 2. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) 3. (a, b) ⋅ (c, d) = (ac - bd, ad + bc) จานวนเชงซอน (a, b) นยมเขยนแทนดวย a + bi เรยก a วา สวนจรง และเรยก b วา สวนจนตภาพ ขอสงเกต 1. c(a, b) = (ca, cb) 2. i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1 สงยคของจานวนเชงซอน กาหนดใหจานวนเชงซอน z = a + bi นยามสงยคของ z แทนดวย z คอ z = a - bi สมบต 1. (a + bi)(a - bi) = a2 + b2 2. 21 z z + = 1z + 2z 3. 21 z z - = 1z - 2z 4. 21 zz ⋅ = 1z ⋅ 2z 5.

2Zz

1 = 21

zz โดยท 2z ≠ 0

6. z + z = 2Re(z) เมอ Re(z) คอ สวนจรงของ z 7. z - z = 2Im(z) เมอ Im(z) คอ สวนจนตภาพของ z 8. z = z


คาสมบรณของจานวนเชงซอน กาหนดใหจานวนเชงซอน z = a + bi นยามคาสมบรณของ z แทนดวย |z| คอ |z| = 22 b a + สมบต 1. z z = |z|2 2. |z| = |-z| 3. |z1z2| = |z1||z2| 4.

21z

z =

21z

z , z2 ≠ 0 5. |z-1|= |z|-1 6. |z| = | z | 7. |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| 8. |z1 - z2| ≥ ||z1| - |z2|| 2. จานวนเชงซอนในรปเชงขว

ให z = a + bi โดยท z ≠ 0 และ θ เปนมมบวกทเลกทสดซง tan θ = ab จะไดวา รปเชงขวของ z

คอ z = |z|(cos θ + i sin θ) เรยก θ วา อารกวเมนต (argument) ของ z การคณและการหารจานวนเชงซอนในรปเชงขว กาหนดให z1, z2 เปนจานวนเชงซอนทไมใชศนย โดย z1 = |z1|(cos θ1 + i sin θ1) และ z2 = |z2|(cos θ2 + i sin θ2) จะไดวา 1. z1z2 = |z1||z2|(cos(θ1 + θ2) + i sin (θ1 + θ2)) 2.

21

zz = |z|

|z|21 (cos(θ1 - θ2) + i sin(θ1 - θ2))

3. n1z = |z1|n (cos nθ1 + i sin nθ1)

การแกสมการจานวนเชงซอน สาหรบจานวนเชงซอน z = |z|(cos θ + i sin θ) เมอ n ≥ 2 จะไดวา

n z =

πθπθ +++ n2k sin i n2k cos |z|n เมอ k = 0, 1, 2, ..., n - 1

กาหนดให f(x) = anxn + an-1 xn-1 + ... + a1x + a0 โดยท a0, a1, a2, ..., an ∈ R และ an ≠ 0 จะไดวา ถา f(z) = 0 แลว f( z ) = 0 ดวย นนคอ ถา z เปนคาตอบของสมการแลว z จะเปนคาตอบของสมการดวย


แบบฝกหด 1. กาหนดให S เปนเซตคาตอบของสมการ z2 + z + 1 = 0 เมอ z เปนจานวนเชงซอน เซตในขอใดตอไปน

เทากบเซต S 1) {-cos 120° - i sin 60°, cos 60° + i sin 60°} 2) {cos 120° + i sin 60°, -cos 60° + i sin 60°} 3) {-cos 120° - i sin 120°, -cos 60° + i sin 60°} 4) {cos 120° + i sin 120°, -cos 60° - i sin 60°} 2. กาหนดให z1 และ z2 เปนจานวนเชงซอนซง |z1 + z2|2 = 5 และ |z1 - z2|2 = 1 คาของ |z1|2 + |z2|2 เทากบขอใดตอไปน 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 3. กาหนดให z เปนจานวนเชงซอนทสอดคลองกบสมการ z4 + 1 = 0 คาของ

2 z1 z + เทากบขอใดตอไปน

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 4. กาหนดให z1,z2 เปนจานวนเชงซอนซง |z1 + z2| = 3 และ z1 ⋅ 2z = 3 + 4i คาของ |z1|2 + |z2|2 เทากบขอใดตอไปน 1) 3 2) 4 3) 5 4) 6 5. กาหนดให z เปนจานวนเชงซอนทสอดคลองกบ z3 - 2z2 + 2z = 0 และ z ≠ 0 ถาอารกวเมนตของ z อย

ในชวง

π

2 0, แลว 24

)z(z มคาเทากบขอใดตอไปน

1) -2i 2) 1 - i 3) 1 + i 4) 2i 6. กาหนดให w, z เปนจานวนเชงซอนซง w = z - 2i และ |w|2 = z + 6 ถาอารกวเมนตของ w อย

ในชวง

π

2 0, และ w = a + bi เมอ a, b เปนจานวนจรง แลว a + b มคาเทาใด

1) 2 2) 4 3) 6 4) 8

เฉลย 1. 4) 2. 3) 3. 2) 4. 1) 5. 1) 6. 2)


กาหนดการเชงเสน (Linear Programing)

1. กราฟอสมการเชงเสน

1. วาดกราฟสมการเชงเสน (โดยหาจดทสอดคลองกบสมการเชงเสนสองจด มกใชจดตดแกน X และจดตดแกน Y) 2. พจารณาอาณาบรเวณ โดยใชจดทไมอยบนเสนกราฟทดสอบ (มกใชจด (0, 0)) ถาจดททดสอบสอดคลองกบอสมการ จะไดกราฟเปนอาณาบรเวณทมจดนนอย ถาจดททดสอบขดแยงกบอสมการ จะไดกราฟเปนอาณาบรเวณทอยตรงขามกบบรเวณทมจดนนอย 3. พจารณาวาอสมการนนยอมรบการเทากนไดหรอไม โดยเลอกแทนดวยเสนทบ หรอเสนประใหสอดคลอง

2. กราฟของระบบอสมการเชงเสน

1. วาดกราฟของอสมการเชงเสน หาบรเวณทสอดคลองในทกๆ อสมการ (คออาณาบรเวณทซอนทบกน) เรยกอาณาบรเวณนนวา อาณาบรเวณทหาคาตอบได แลวหาพกดของมมของอาณาบรเวณทหาคาตอบได 2. ในกรณทระบบอสมการเชงเสนมหลายอสมการ ในการวาดกราฟของอสมการเชงเสน อาจตองมการหาพกดของจดตดของสองเสนกอน 3. การแกปญหากาหนดการเชงเสนโดยวธใชกราฟ

- ปญหากาหนดการเชงเสนประกอบดวย ฟงกชนจดประสงค (Objective Function) และอสมการขอจากด (Constraint Inequalities) - ผลเฉลยของปญหาจะเปนพกดทอยในบรเวณทหาคาตอบไดของระบบอสมการเชงเสนทไดมาจากอสมการขอจากด โดยเปนพกดททาใหฟงกชนมคาสงสดหรอตาสดตามฟงกชนจดประสงค - โดยการใชการเลอนของกราฟฟงกชนจดประสงคทมความชนคงท แตมระยะตดแกน Y ทเปลยนแปลงพบวาคาตอบทตองการจะอยทจดมมของอาณาบรเวณทหาคาตอบได

4. สรปขนตอนการแกปญหากาหนดการเชงเสน

1. สมมตตวแปร กาหนดฟงกชนจดประสงค และอสมการขอจากด 2. วาดกราฟของระบบอสมการเชงเสนทไดจากอสมการขอจากด แลวหาอาณาบรเวณทหาคาตอบได 3. หาพกดของจดมมของอาณาบรเวณทหาคาตอบได 4. นาจดมมทงหมดไปทดสอบกบฟงกชนจดประสงค โดยเลอกพกดททาใหคาของฟงกชนสงสดหรอตาสดตามทตองการ ขอสงเกต ในบางสถานการณปญหา ตองการคาตอบทเปนจานวนเตม แตถาพกดทเปนคาตอบไมใชจานวนเตมจะตองนาพกดทเปนจานวนเตมทอยใกลเคยงกบจดนน มาพจารณาหาพกดทใหคาทดทสดแทน

แบบฝกหด 1. ถา C เปนปรมาณทมคาขนกบคาของตวแปร x และ y ดวยความสมพนธ C = 3x + 5y เมอ x, y เปนไป

ตามเงอนไข 3x + 4y ≥ 5, x + 3y ≥ 3, x ≥ 0 และ y ≥ 0 แลวคาตาสดของ C ตามเงอนไขขางตน มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 521 2) 5

29 3) 425 4) 4

27 2. ถา P = 5x + 4y เมอ x และ y เปนไปตามเงอนไข x + 2y ≤ 40, 3x + 2y ≤ 60, x ≥ 0 และ y ≥ 0

แลวคาสงสดของ P เทากบขอใดตอไปน 1) 90 2) 100 3) 110 4) 115 3. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรงบวกซง a < b ถาคามากสดและคานอยสดของ P = 2x + y เมอ x, y

เปนไปตามเงอนไข a ≤ x + 2y ≤ b, x ≥ 0 และ y ≥ 0 มคาเทากบ 100 และ 10 ตามลาดบ แลว a + b มคาเทาใด

1) 70 2) 50 3) 30 4) 10

เฉลย 1. 2) 2. 3) 3. 1)

ลาดบและอนกรม (Sequence and Series)

1. ลาดบ

คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจานวนนบ n ตวแรก (ลาดบจากด) หรอเซตของจานวนนบ (ลาดบอนนต) การเขยนลาดบ เขยนได 3 แบบ คอ เขยนแบบเซต เขยนแบบแจกแจงเฉพาะคาของลาดบ เขยนแบบพจนทวไป ลมตของลาดบ 1. ลาดบทจะนามาพจารณาตองเปนลาดบอนนต 2. ลมตของลาดบ (an) มคาเปนจานวนจรง L เขยนแทนดวย nn

alim∞→

= L กตอเมอ เมอ n มคา

มากขน an จะมคาเขาใกลหรอเทากบ L ( nnalim

∞→ = L ↔ ∀∈ > 0 ∃n0 ∈ N, n ≥ n0 → |an - L| < ∈)

3. ถา nnalim

∞→ = L (L ∈ R) แลว จะกลาววา ลาดบ an ลเขา (converge) ส L และถาลาดบ (an)

ไมมลมตแลวเราจะกลาววา ลาดบ an ลออก (diverge) (ถาลมตของลาดบมคาแลว จะมไดคาเดยว) ทฤษฎบท กาหนดให c เปนคาคงตวใดๆ nn

alim∞→

= A, nnblim

∞→ = B

1. ∞→n

lim c = c 2.

∞→nlim c ⋅ an = cA

3.

∞→nlim (an + bn) = A + B

4.

∞→nlim (an ⋅ bn) = AB

5.

∞→nlim k n a = k A (เมอ k เปนคาคงทและทกเทอมมความหมาย)

6.

∞→nlim

nn

ba

= BA (เมอทกเทอมมความหมาย)

หมายเหต 1. ถา an = q(x)

p(x) โดยท p(x) และ q(x) เปนพหนาม

ถา deg p(x) = deg q(x) จะได nnalim

∞→ = B

A เมอ A และ B คอ สมประสทธของ x กาลงสงสด

ของพหนาม p(x) และ q(x) ตามลาดบ ถา deg p(x) > deg q(x) จะได nn

alim∞→

ลออก

ถา deg p(x) < deg q(x) จะได nnalim

∞→ = 0

2. ถา an อยในรปแบบของฟงกชนชกาลง ใหดงตวรวมและใชขอเทจจรงทวา nn

alim∞→

= 0 เมอ 0 < a < 1

3. ใชคอนจเกต ลาดบเลขคณต คอ ลาดบทมผลตางของพจนท n + 1 กบพจนท n เปนคาคงทเสมอ เรยกผลตางทคงทนวา ผลตางรวม แทนดวย d (d = an + 1 - an) พจนทวไปของลาดบเลขคณต an = a1 + (n - 1)d ลาดบเรขาคณต คอ ลาดบทมอตราสวนของพจนท n + 1 กบพจนท n เปนคาคงทเสมอ เรยกอตราสวนทคงทนวา

อตราสวนรวม แทนดวย r (r = n1n

aa + )

พจนทวไปของลาดบเรขาคณต an = a1 ⋅ rn-1 2. อนกรม คอลาดบของผลบวกยอย เรยก sn วาผลบวกยอย n พจนแรกของลาดบ (an)

อนกรมทเกดจากลาดบจากด เรยก อนกรมจากด sn = a1 + a2 + ... + an = ∑N

1=iia

อนกรมทเกดจากลาดบอนนต เรยก อนกรมอนนต nnslim

∞→= s∞ = a1 + a2 + ... = ∑

∞

1=i ia

โดยถา nnslim

∞→ มคา จะกลาววาอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบคาของลมตนน และถา nn

slim∞→

หา

คาไมไดจะกลาววาอนกรมลออก อนกรมเลขคณต ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต sn = 2

n (2a1 + (n - 1)d) = 2n (a1 + an)

อนกรมเรขาคณต ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต

sn = r1)r (1a n

1--

เมอ r ≠ 1 ผลบวกอนนตพจนของอนกรมเรขาคณต

nnslim

∞→ = ∑

∞

1=i ia = r1a1- กตอเมอ |r| < 1

nnslim

∞→ = ∑

∞

1=i ia ลออก กตอเมอ |r| ≥ 1

อนกรมผสม ใชเทคนคคณตลอดดวย r อนกรมทอยในรปเศษสวนยอย ปรบแตละพจนใชอยในรปเศษสวนยอย


อนกรมพ

∑∞

1=n pn1 ลเขา กตอเมอ p > 1

∑∞

1=n pn1 ลออก กตอเมอ p ≤ 1

สญลกษณแทนการบวก

1. ∑n

1=ic = nc

2. ∑

n

1=i icx = c ∑n

1=i ix 3. ∑ ±

n

1=i ii )y (x = ∑n

1=i ix ± ∑n

1=i iy 4. ∑

n

1=ii = 2

1)+n(n 5. ∑

n

1=i2i = 6

1) + 1)(2n +n(n

6. ∑n

1=i3i =

2n

1ii

∑=

= 41 (n(n + 1))2

ทฤษฎบท

1. ถา ∑∞

1=n na เปนอนกรมลเขา แลว nnalim

∞→ = 0 หรอ ถา nn

alim∞→

≠ 0 แลว ∑∞

1=n na ลออก

2. ถา ∑∞

1=n na และ ∑∞

1=n nb เปนอนกรมลเขา แลวสาหรบจานวนจรง c, d ใดๆ จะไดวา ∑ ±∞

1=i nn )db (ca

เปนอนกรมลเขาดวย โดยท ∑ ±∞

1=nnn )db (ca = ∑

∞

1=n nac ± ∑∞

1=n nbd

3. กาหนดให 0 ≤ an ≤ bn จะไดวา

ถา ∑∞

1=n nb ลเขา แลว ∑∞

1=n na จะลเขาดวย

ถา ∑∞

1=n na ลออก แลว ∑∞

1=n nb จะลออกดวย


แบบฝกหด

1. ถา ∞→n

lim1 a2n1 bn

22

-+ = 1 แลวผลบวกของอนกรม

n

1n 22 baab∑

∞

= +


1) 31 2) 3

2 3) 1 4) หาคาไมได

2. กาหนดให an เปนลาดบทสอดคลองกบ n2n

aa + = 2 สาหรบทกจานวนนบ n ถา 31 a

10

1 nn =

=∑

แลว ∑=

2552

1 nna เทากบขอใดตอไปน

1) 21275 - 1 2) 21276 - 1 3) 22551 - 1 4) 22552 - 1

3. ถา a1, a2, a3, ... เปนลาดบเรขาคณตซง 4 a1n

n ==∑∞

แลวคามากทสดทเปนไปไดของ a2 เทากบขอใด

ตอไปน 1) 4 2) 2 3) 1 4) หาคาไมไดเพราะ a2 มคามากไดอยางไมมขดจากด 4. กาหนดแบบรป 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, ... จานวนในพจนท 5060 ของรปแบบนมคา

เทากบขอใดตอไปน 1) 1 2) 10 3) 100 4) 1000 5. กาหนดให an เปนลาดบเลขคณตทสอดคลองกบเงอนไข

∞→nlim

naa 1n - = 5 ถา a9 + a5 = 100

แลว a100 เทากบขอใดตอไปน 1) 500 2) 515 3) 520 4) หาไมไดเพราะขอมลไมเพยงพอ 6. ถา A =

∞→nlim

++++ 3k

n ... 27 8 12n มคาเปนจานวนจรงบวกแลว แลวคาของ A เทากบขอใดตอไปน

1) 0 2) 2 3) 4 4) 8

7. ถา ∑∞

=2n 24 n n1 -

= A แลว ∑∞

=2n 2n1 มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 43 + A 2) 4

5 + A 3) 43 - A 4) 4

5 - A


8. กาหนดให an เปนลาดบซงสอดคลองกบเงอนไข na1 +

1na1+

= 1 สาหรบทกจานวนนบ n

ถา a1 + a2 + ... + a100 = 250 แลว |a2552 - 2.5| มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 1 + 5 2) 2 + 5 3) 25 4) 2 5

9. พจารณาขอความตอไปน

ก. ถาลาดบ an ลเขา แลวอนกรม ∑∞

=1n na ลเขา

ข. ถาอนกรม ∑∞

=1n na ลเขา แลวอนกรม ∑∞

+=

1n nn

2a 1 ลเขา

ขอใดตอไปนเปนจรง 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด

10. ถา an เปนลาดบเลขคณตซง

+

→∞ na alim2n

21 n

n- = 4 แลว 2

a a 917 - มคาเทาใด

1) 2 2 2) 2 2 3) 2 4) 22

11.

→ ++++++++

∞ 3 ...3

n n 27 8 13n ... 27n 12n 3nlim มคาเทาใด

1) 6 2) 5 3) 4 4) 3

เฉลย 1. 2) 2. 2) 3. 3) 4. 2) 5. 2) 6. 4) 7. 3) 8. 3) 9. 4) 10. 1) 11. 3)

แคลคลส (Calculus) 1. ลมตและความตอเนองของฟงกชน เมอ x มคาเขาใกลจานวนจรง a ทางดานซายของเสนจานวน (x < a) แลวคาของ f(x) เขาใกลจานวนจรง L จะกลาววา L เปนลมตซายของ f ท a แทนดวยสญลกษณ

-axlim→

f(x) = L1

เมอ x มคาเขาใกลจานวนจรง a ทางดานขวาของเสนจานวน (x > a) แลวคาของ f(x) เขาใกลจานวนจรง L จะกลาววา L เปนลมตขวาของ f ท a แทนดวยสญลกษณ

+→axlim f(x) = L2

ถาลมตทางซายและลมตทางขวาของฟงกชน f เทากน และมคาเทากบ L จะกลาววา ฟงกชน f มลมตเปน L ท a แทนดวยสญลกษณ

axlim→

f(x) = L

ถาลมตทางซายไมเทากบลมตทางขวา หรอลมตขางใดขางหนงหาคาไมได จะกลาววา ฟงกชน f ไมมลมตท a ทฤษฎบทของลมต กาหนดให a เปนจานวนจรงใดๆ f และ g เปนฟงกชนทมลมตทจด a จะไดวา 1. clim

ax→ = c เมอ c เปนคาคงตวใดๆ

2. xlim

ax→ = a

3. naxxlim

→ = an เมอ n ∈ N

4. cf(x)lim

ax→ = c f(x)lim

ax→ เมอ c เปนคาคงตวใดๆ

5. )( g(x) f(x)lim

ax±

→ = f(x)lim

ax→ ± g(x)lim

ax→

6. )( g(x)f(x)lim

ax⋅

→ = f(x)lim

ax→⋅ g(x)lim

ax→

7.

→ g(x)f(x)lim

ax = g(x)lim

f(x)lim

ax

ax

→

→ เมอ g(x)lim

ax→ ≠ 0

8. nax

)(f(x)lim (

→ =

n

a x f(x)lim

→ เมอ n ∈ N

9. nax

f(x)lim

→ = n

axf(x)lim

→ เมอ n ∈ N และ f(x)lim

ax→ ≥ 0

10. mn

ax)(f(x)lim (

→ =

mn

a x f(x)lim

→ เมอ n, m ∈ N และ f(x)lim

ax→ ≥ 0

11. ถา f เปนฟงกชนพหนาม นนคอ f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 เมอ a0, a1, a2, ..., an เปนคาคงตวโดย an ≠ 0 จะไดวา f(x)lim

ax→= f(a)


ความตอเนองของฟงกชน นยาม ให a เปนจานวนจรงใดๆ ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองทจด a กตอเมอ ฟงกชน f มสมบตตอไปน 1. f(x)lim

ax→ หาคาได

2. f(a) หาคาได 3. f(x)lim

ax→ = f(a)

2. อตราการเปลยนแปลงของฟงกชน นยาม ถา y = f(x) เปนฟงกชนใดๆ และ h เปนจานวนจรงทไมใชศนย อตราการเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x ในชวง x ถง x + h คอ h

f(x)h)+ f(x -

อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ใดๆ คอ hf(x)h)+ f(x lim

0h -

→

3. อนพนธของฟงกชน นยาม ถา y = f(x) เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจานวนจรง และ h

f(x)h) +f(x lim

0h -

→

หาคาได เรยกคาลมตทไดนวา อนพนธของฟงกชน f ท x แทนดวย f ′(x) , dxd f(x) และ dx

dy

ทฤษฎบทของอนพนธ 1. dx

dc = 0 เมอ c คอ คาคงตวใดๆ

2. dxdx = 1

3. dxd xn = nxn-1 เมอ n เปนจานวนจรงใดๆ

4. dxd [f(x) ± g(x)] = dx

d f(x) ± dxd g(x)

5. dxd cf(x) = c dx

d f(x) เมอ c คอ คาคงตวใดๆ

6. dxd [f(x)g(x)] = f(x) dx

d g(x) + g(x) dxd f(x)

7. dxd

g(x)f(x) = 2)(g(x)

g(x)dxd f(x) f(x)dx

dg(x) - เมอ g(x) ≠ 0

8. dxd gof(x) = dy

d g(y) dxd f(x) เมอ y = f(x) (กฎลกโซ (Chain rule))

9. dxd [f(x)]n = n[f(x)]n-1

dxd f(x)

อนพนธอนดบสงของฟงกชน นยาม ถา f′(x) หาอนพนธไดแลวจะเรยกอนพนธของ f′(x) วา อนพนธอนดบสองของ f แทนดวย f ″(x),

22

dxyd , 2

2

dxd f(x) ในทานองเดยวกนเราสามารถนยามอนพนธอนดบ 3, 4, ... ของฟงกชน ตลอดจนกาหนด

สญลกษณไดโดยวธเดยวกน การประยกตของอนพนธ ความชนของเสนสมผสโคง ถา f เปนสมการเสนโคง ความชนของเสนตรงทสมผสเสนโคงทจด (a, f(a)) คอ f ′(a) ฟงกชนเพมและฟงกชนลด กาหนดให f มโดเมนเปน Df ฟงกชน f เปนฟงกชนเพมบน (a, b) ⊂ Df ถา f ′(c) > 0 ทก c ∈ (a, b) และฟงกชน f เปนฟงกชนลดบน (a, b) ⊂ Df ถา f ′(c) < 0 ทก c ∈ (a, b) คาสดขดของฟงกชน กาหนดให f มโดเมนเปน Df ฟงกชน f มคาสงสดสมพทธทจด x = c ถามชวง (a, b) ⊂ Df และ c ∈ (a, b) ซง f (c) > f(x) สาหรบทกๆ x ในชวง (a, b) ท x ≠ c ฟงกชน f มคาตาสดสมพทธทจด x = c ถามชวง (a, b) ⊂ Df และ c ∈ (a, b) ซง f (c) < f(x) สาหรบทกๆ x ในชวง (a, b) ท x ≠ c นยาม ถา f ′(c) = 0 แลวเราจะเรยก c วา คาวกฤตของฟงกชน f และเรยกจด (c, f(c)) วา จดวกฤตของ f ทฤษฎบท กาหนดให f เปนฟงกชนตอเนองใดๆ บน (a, b) ⊂ Df และ c เปนคาวกฤตของ f แลว ถา f ″(c) < 0 แลว f(c) เปนคาสงสดสมพทธ ถา f″(c) > 0 แลว f(c) เปนคาตาสดสมพทธ โจทยปญหาคาสดขด ทาความเขาใจปญหาเพอสรางฟงกชน f(x) โดยให f(x) เปนสงทโจทยตองการทราบคาสดขด และตวแปร x คอสงทสงผลตอคาสดขดนน 4. การอนทเกรต นยาม ฟงกชน F เปนปฏยานพนธของฟงกชน f เมอ F ′(x) = f(x) สาหรบทกคา x ∈ Df ใช ∫ f(x)dx แทน F(x) + c เมอ c เปนคาคงตวใดๆ และเรยก ∫ f(x)dx วา อนทกรลไมจากดเขตของฟงกชน f ทฤษฎบท 1. ∫ kdx = kx + c เมอ k และ c เปนคาคงตว

2. ∫ xndx = 1+ nx 1+n

+ c เมอ n ≠ -1

3. ∫ kf(x)dx = k∫ f(x)dx เมอ k เปนคาคงตว 4. ∫ (f(x) ± g(x))dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx


อนทกรลจากดเขต นยาม ให f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] ถา F เปนฟงกชนทมอนพนธบนชวง [a, b] โดยท F ′(x) = f(x) แลว

∫b

af(x)dx = F(b) - F(a)

เรยก ∫b

af(x)dx วา อนทกรลจากดเขตของฟงกชน f บน [a, b] ใชสญลกษณ b

aF(x) แทน F(b) - F(a) ทฤษฎบท

1. ∫b

akf(x)dx = k ∫

ba

f(x)dx เมอ k เปนคาคงตว

2. dxg(x) f(x) )(b

a±∫ = ∫

b

af(x)dx ± ∫

b

ag(x)dx

3. ∫b

af(x)dx = ∫

c

af(x)dx + ∫

b

cf(x)dx เมอ c ∈ (a, b)

4. ∫b

af(x)dx = - ∫

a

bf(x)dx

พนททปดลอมดวยเสนโคง นยาม กาหนดใหฟงกชน f(x) ตอเนองบน [a, b] พนทปดลอมดวยเสนโคงของ f(x) จาก x = a ถง x = b หมายถง พนทของบรเวณทลอมรอบดวยกราฟของ f แกน X เสนตรง x = a และเสนตรง x = b ทฤษฎบท กาหนดใหฟงกชน f ตอเนองบน [a, b] และ A เปนพนททปดลอมดวยเสนโคงของ f จาก x = a ถง x = b จะหาไดจากสตรตอไปน

1. ถา f(x) ≥ 0 สาหรบทก x ในชวง [a, b] และ A = ∫b

af(x)dx

2. ถา f(x) ≤ 0 สาหรบทก x ในชวง [a, b] และ A = - ∫b

af(x)dx


แบบฝกหด 1. กาหนดให A แทนพนทของอาณาบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง y = 1 - x2 และแกน X

B แทนพนทของอาณาบรเวณทใตเสนโคง y = 4x2

เหนอแกน X จาก x = -c ถง x = c

คาของ c ททาให A = B เทากบขอใดตอไปน 1) 2 2) 2 3) 2 2 4) 4 2. กาหนดให f(x) = x4 - 3x2 + 7 f เปนฟงกชนเพมบนเซตในขอใดตอไปน 1) (-3, -2)U (2, 3) 2) (-3, -2)U (1, 2) 3) (-1, 0)U (2, 3) 4) (-1, 0)U (1, 2)

3. ถา f′(x) = 21

+3x

1 x

1 แลวคาของ 0h

lim→ f(4)h)f(4

f(1)h)f(1--

++ เทากบขอใดตอไปน

1) 1 2) 516 3) 5

7 4) 51

4. ถา f′(x) = 3x2 + x - 5 และ f(0) = 1 แลว ∫1

1 f(x)dx

- มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 35 2) 3

7 3) 32 4) 3

1 5. ถา f, g และ h สอดคลองกบ f(1) = g(1) = h(1) = 1 และ f′(1) = g′(1) = h′(1) = 2 แลวคาของ

(fg + h)′(1) เทากบขอใดตอไปน 1) 1 2) 2 3) 4 4) 6 6. เสนตรงซงตดตงฉากกบเสนสมผสของเสนโคง y = 2x3 -

x1 ทจด x = 1 คอเสนตรงในขอใดตอไปน

1) 13x - 2y - 11 = 0 2) 13x + 2y - 15 = 0 3) 2x - 13y - 11 = 0 4) 2x + 13y - 15 = 0 7. ถา f′(x) = x2 - 1 และ ∫

1

0f(x)dx = 0 แลว |f(1)| มคาเทากบเทาใด

1) 0.25 2) 0.50 3) 0.75 4) 1.00 8. ถา f(x) = ax2 + b x เมอ a และ b เปนจานวนจรงท b ≠ 0 ถา 2f′(1) = f(1) แลว (9)f'

f(4) มคาเทาใด

1) 8 2) 12 3) 16 4) 20 9. กาหนดให y = f(x) เปนฟงกชนซงมคาสงสดท x = 1 ถา f"(x) = -4 ทก x และ f(-1) + f(3) = 0 แลว f ม

คาสงสดเทาใด 1) 38 2) 28 3) 18 4) 8


เฉลย 1. 2) 2. 3) 3. 2) 4. 2) 5. 4) 6. 4) 7. 1) 8. 2) 9. 4)


วธเรยงสบเปลยน วธจดหม และความนาจะเปน (Permutation, Combination, and Probability)

1. หลกการเบองตนเกยวกบการนบ กฎการบวก ถาการทางานหนงอยางแบงออกเปน n กรณยอยโดยในแตละกรณเปนการทางานทเสรจสนจานวนวธในการทางานจะเทากบผลรวมของจานวนวธของทกกรณ กฎการคณ 1. ถางานททาแบงออกเปนสองขนตอน โดยงานขนตอนแรกเลอกทาได n1 วธ และในแตละวธในการเลอกทางานอยางแรกนสามารถเลอกทางานอยางทสองได n2 วธ จานวนวธทจะเลอกทางานชนน คอ n1n2 วธ 2. ถางานททาแบงออกเปน k ขนตอน โดยงานขนตอนแรกเลอกทาได n1 วธ และในแตละวธในการเลอกทางานอยางแรกนสามารถเลอกทางานอยางทสองได n2 วธ ในแตละวธในการเลอกทางานอยางทสองสามารถเลอกทางานอยางทสามได n3 วธ ฯลฯ จานวนวธทจะเลอกทางานชนน คอ n1n2n3 ... nk วธ นยาม กาหนดให n ∈ N n! = 1 × 2 × 3 × 4 × ... × n และ 0! = 1 2. วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม กฎขอท 1 จานวนวธเรยงสบเปลยนของสงของ n สงทแตกตางกนทงหมด เทากบ n! กฎขอท 2 จานวนวธเรยงสบเปลยนของสงของ n สงทแตกตางกนโดยนามาเรยงแค r สง (r ≤ n) คอ nPr = r)! (n

n!-

กฎขอท 3 จานวนวธเรยงสบเปลยนเชงวงกลมของสงของ n สงทแตกตางกนทงหมด เทากบ (n - 1)! กฎขอท 4 ถามสงของอย n สง ในจานวนนม n1 สงทเหมอนกนอยกลมทหนง n2 สงทเหมอนกนอยกลมทสอง M nk สงทเหมอนกนอยกลมท k โดยท n1 + n2 + ... + nk = n จานวนวธเรยงสบเปลยนของสงของทง n สง เทากบ !n ... !n!n

n!k21

กฎขอท 5 จานวนวธเลอกสงของ n สงทแตกตางกน ทละ r สง (r ≤ n) เทากบ

rn

= nCr =

r!r)! (nn!-

เทคนค การนบจานวนฟงกชน, คอมพลเมนท, การจดเรยงของใหตดกนโดยการมด


3. ความนาจะเปน การทดลองสม คอ การทดลองใดๆ ซงทราบวาผลลพธอาจเปนอะไรไดบาง แตไมสามารถทานายผลลวงหนาได แซมเปลสเปซ คอ เซตทมสมาชกเปนผลลพธทเปนไปไดทงหมดของการทดลองสม เหตการณ คอ สบเซตของแซมเปลสเปซ

ความนาจะเปนของเหตการณ E แทนดวย P(E) = n(S)n(E)

สมบตบางประการของความนาจะเปน 1. 0 ≤ P(E) ≤ 1 2. P(φ) = 0 3. P(S) = 1 4. P(E1U E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1I E2) 5. P(E1U E2U E3) = P(E1) + P(E2) + P(E3) - P(E1I E2) - P(E1I E3) - P(E2I E3) +

P(E1I E2I E3) 6. P(E) = 1 - P(E′) 4. ทฤษฎบททวนาม

(a + b)n =

0n anb0 +

1n an-1b1 +

2n an-2b2 + ... +

1 nn- a1bn-1 +

nn a0bn

เรยก

rn

วาสมประสทธทวนาม

ขอสงเกต 1. การกระจาย (a + b)n จะได n + 1 พจน 2. ในแตละพจนผลรวมของกาลงของ a และ b จะไดเทากบ n 3. พจนทวไปของการกระจาย (a + b)n Tr+1 =

rn

an-rbr


แบบฝกหด 1. กาหนดให A = {1, 2, 3, 4} และ B = {a, b, c} เซต S = {f|f : A → B เปนฟงกชนทวถง} มจานวน

สมาชกเทากบขอใดตอไปน 1) 12 2) 24 3) 36 4) 39 2. คณลง คณปา ลกชาย และลกสาว มาเยยมครอบครวเราซงม 4 คน คอ คณพอ คณแม ตวฉน และนองชาย ในการ

จดทนงรอบโตะอาหารกลมทม 8 ทนง โดยใหคณลงนงตดกบคณพอ คณปานงตดกบคณแม ลกชายของคณลงนงตดกบนองชายของฉน และลกสาวของคณลงนงตดกบฉน จะมจานวนวธจดไดเทากบขอใดตอไปน

1) 96 วธ 2) 192 วธ 3) 288 วธ 4) 384 วธ 3. ขาวสารบรรจถงแลวกองหนงประกอบดวย ขาวหอมมะล 4 ถง ขาวเสาไห 3 ถง ขาวขาวตาแหง 2 ถง และ

ขาวบสมาต 1 ถง สมหยบขาวจากกองนมา 4 ถง ความนาจะเปนทจะไดขาวครบทกชนด เทากบขอใดตอไปน

1) 354 2) 35

3 3) 52 4) 4

1 4. กตตและสมาน กบเพอนๆ รวม 7 คน ไปเทยวตางจงหวดดวยกน ในการคางแรมทมบานพก 3 หลง

หลงแรกพกได 3 คน สวนหลงทสองและหลงทสามพกไดหลงละ 2 คน ซงแตละหลงมความแตกตางกน พวกเขาจงตกลงทจะจบสลากวาใครจะไดพกทบานหลงใด ความนาจะเปนทกตตและสมานจะไดพกบานหลงเดยวกนในหลงทหนงหรอหลงทสาม เทากบขอใดตอไปน

1) 214 2) 21

5 3) 218 4) 21

10 5. กาหนดให n เปนจานวนนบ ในการสมหยบเลข n จานวนพรอมๆ กนจากเซต {1, 2, ..., 2n} ถาความนาจะเปน

ทจะไดเลขคทงหมดเทากบ 201 แลว ความนาจะเปนทจะไดเลขคเพยง 1 จานวนเทากบขอใดตอไปน

1) 201 2) 20

3 3) 209 4) 20

11 6. ตองการสรางจานวนคบวก 4 หลก จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 7, 8 โดยแตละจานวนทสรางขนไมมเลขโดดใน

หลกใดทซากนเลย จะมจานวนวธทสรางไดเทากบขอใดตอไปน 1) 180 2) 156 3) 144 4) 136 7. จานวนเตมทมคาตงแต 100 ถง 999 ทหารดวย 2 ลงตว แตหารดวย 3 ไมลงตว มจานวนเทากบขอใด

ตอไปน 1) 250 2) 283 3) 300 4) 303 8. ถงใบหนงบรรจลกกวาดรสสตรอเบอร 5 ลก รสชอคโกแลต 4 ลก รสกาแฟและรสมนทอยางละ 2 ลก หาก

สมหยบลกกวาดจากถงใบนมา 3 ลก ความนาจะเปนทจะหยบไดลกกวาดตางรสกนทงหมดเทากบขอใดตอไปน

1) 14357 2) 143

58 3) 14359 4) 143

60


9. กาหนดให A = {(0, n) | n = 1, 2, ..., 10} และ B = {(1, n) | n = 1, 2, ..., 10} ในการเลอกจดสองจดทแตกตางกนจากเซต A และอกหนงจดจากเซต B เพอเปนจดยอดของรปสามเหลยมบนระนาบ ความนาจะเปนจะไดรปสามเหลยมทมพนท 1 ตารางหนวย เทากบขอใดตอไปน

1) 458 2) 45

9 3) 4510 4) 45

11 10. ในลนชกมถงเทาสขาว 4 ค สดา 3 ค และสนาเงน 2 ค แตไมไดจดเรยงไวเปนคๆ ถาสมหยบถงเทามา 2

ขาง ความนาจะเปนทจะไดถงเทาสเดยวกนเทากบขอใดตอไปน 1) 2

1 2) 32 3) 153

43 4) 15349

11. ถงใบหนงบรรจลกแกวสแดง 5 ลก สเขยว 4 ลก และสเหลอง 3 ลก ถาหยบลกแกวจากถงทละลก 3 ครง

โดยไมใสคน แลวความนาจะเปนทจะหยบไดลกแกว ลกทหนง สอง และสาม เปนสแดง สเขยว และสเหลองตามลาดบเทากบขอใดตอไปน

1) 211 2) 22

1 3) 223 4) 25

3 12. ในการโยนลกเตา 2 ลกหนงครง ความนาจะเปนทจะไดแตมรวมเปน 7 โดยทมลกเตาลกหนงขนแตมไมนอย

กวา 4 เทากบขอใดตอไปน 1) 3

1 2) 41 3) 6

1 4) 121

13. มสงของซงแตกตางกนอย 8 ชน ตองแบงใหคน 2 คน คนหนงได 6 ชน และอกคนหนงได 2 ชน จะมจานวน

วธแบงกวธ 1) 56 2) 128 3) 270 4) 326 14. ในการแขงขนฟตบอลฤดกาลหนง มทมเขารวมการแขงขน 7 ทม จดแขงแบบพบกนหมด (แตละทมตองลง

แขงกบทมอนทกทม) จะตองจดการแขงขนอยางนอยกนด 1) 7 2) 14 3) 21 4) 28

เฉลย 1. 3) 2. 1) 3. 1) 4. 1) 5. 3) 6. 2) 7. 3) 8. 2) 9. 1) 10. 4) 11. 2) 12. 3) 13. 1) 14. 3)


สถต (Statistics)

1. ขอมล ขอมลทใชในการวเคราะหทางสถตมสองประเภท คอ ขอมลทไมไดแจกแจงความถ ซงจะเหนคาของขอมลทกตวและขอมลทแจกแจงความถ จะเหนเปนอนตรภาคชน ความกวางของอนตรภาพชน = ขอบบน - ขอบลาง

จดกงกลางอนตรภาคชน = ขอบบน + ขอบลาง 2

2. การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง 1. คาเฉลยเลขคณต, Mean, x

x ของขอมลทไมแจกแจงความถ x = N

N

1 iix∑

=

x ของขอมลทแจกแจงความถ x = N

K

1 iixif∑

=

ขอสงเกต 1. ∑=

N

1 iix = N x

2. )N

1 ixi(x ∑

=- = 0

3. 2)N

1 iai(x ∑

=- มคานอยทสดเมอ a = x

4. ถา x1, x2, x3, ... , xn มคาเฉลยเลขคณตเปน x x1 + k, x2 + k, x3 + k, ... , xn + k มคาเฉลยเลขคณตเปน x + k x1k, x2k, x3k, ..., xnk มคาเฉลยเลขคณตเปน x k 5. x รวม =

222211

N NxN xN

++

2. มธยฐาน, Median, Me Me สาหรบขอมลทไมแจกแจงความถ Me = คาของขอมลตาแหนงตรงกลาง (ตวท 2

1N + ) เมอเรยงลาดบขอมลแลว

Me สาหรบขอมลทแจกแจงความถ

Me = L + M

Lf

f 2N

∑-

I

ขอสงเกต 1. การหามธยฐานมสองขนตอน คอ หาตาแหนง และหาคาโดยใชสตรหรอการเทยบบญญตไตรยางค

2. ∑=

N

1 i|aix| - มคานอยสดเมอ a = Me

3. ฐานนยม, Mode, Mo Mo สาหรบขอมลทไมแจกแจงความถ Mo = คาของขอมลทมความถมากทสด Mo สาหรบขอมลทแจกแจงความถ Mo = จดกงกลางของชนทมความถสงสด (แบบหยาบ)

= L +

+ 211d d

d I (แบบละเอยด)

ขอสงเกต 1. ใชไดกบขอมลเชงคณภาพ 2. ถาแตละอนตรภาคชนมความกวางตางกน ตองถวงดวยนาหนกของความกวางดวย 4. ความสมพนธของ x , Me และ Mo

x = Me = Mo x > Me > Mo x < Me < Mo

โคงปกต โคงเบขวา โคงเบซาย


3. การวดตาแหนงของขอมล เราจะมองการวดตาแหนงของขอมลเปนเหมอนภาคขยายของการหามธยฐาน ซงมสองขนตอนคอ การหาตาแหนงและการหาคา 1. ควอรไทล (Quartiles) คอ การแบงขอมลออกเปน 4 สวนเทาๆ กน โดย Q1, Q2, และ Q3 คอ คะแนนของตวแบงทง 3 ตว Qr ของขอมลทไมแจกแจงความถ การหาตาแหนง : ตาแหนงของ Qr คอ 4

1)r(N +

การหาคา : ใชการเทยบบญญตไตรยางค Qr ของขอมลทแจกแจงความถ การหาตาแหนง : ตาแหนงของ Qr คอ 4

rN

การหาคา : Qr = L + ML

ff 4

rN

∑-

I

2. เดไซล (Deciles) คอ การแบงขอมลออกเปน 10 สวนเทาๆ กน โดย D1, D2, ..., D9 คอ คะแนนของตวแบงทง 9 ตว Dr ของขอมลทไมแจกแจงความถ การหาตาแหนง : ตาแหนงของ Dr คอ 10

1)r(N +

การหาคา : ใชการเทยบบญญตไตรยางค Dr ของขอมลทแจกแจงความถ การหาตาแหนง : ตาแหนงของ Dr คอ 10

rN

การหาคา : Dr = L + ML

ff 10

rN

∑-

I

3. เปอรเซนไทล (Percentiles) คอ การแบงขอมลออกเปน 100 สวนเทาๆ กน ม P1, P2, ..., P99 คอ คะแนนของตวแบงทง 99 ตว Pr ของขอมลทไมแจกแจงความถ การหาตาแหนง : ตาแหนงของ Pr คอ 100

1)r(N +

การหาคา : ใชการเทยบบญญตไตรยางค Pr ของขอมลทแจกแจงความถ การหาตาแหนง : ตาแหนงของ Pr คอ 100

rN

การหาคา : Pr = L + ML

ff 100

rN

∑-

I


4. การวดการกระจายของขอมล 1. การวดการกระจายสมบรณ (Absolute Variation) ใชเพอวดการกระจายของขอมลชดเดยว 1.1 พสย (Range) Range = xmax - xmin 1.2 สวนเบยงเบนควอรไทล (Quatile Deviation)

Q.D. = 2QQ 13 -

1.3 สวนเบยงเบนเฉลย (Mean Deviation)

M.D. = N

N

1 i|x ix|∑

=-

1.4 สวนเบยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)

S.D. = N

N

1 i

2)x i(x∑=

-

= N2x

N

1 i

2ix

-∑=

2. การวดการกระจายสมพทธ (Relative Variation) ใชเพอตองการเปรยบเทยบการกระจายของขอมลมากกวาหนงชด 2.1 สมประสทธพสย

สมประสทธพสย = minmaxminmax

x xxx

+

-

2.2 สมประสทธควอรไทล

สมประสทธควอรไทล = 1313

Q QQQ

+

-

2.3 สมประสทธสวนเบยงเบนเฉลย สมประสทธสวนเบยงเบนเฉลย = x

M.D.

2.4 สมประสทธการแปรผน สมประสทธการแปรผน = x

S.D.

ขอสงเกต 1. ความแปรปรวน (Variance) = S.D.2 = S2 2. S.D. ≥ 0 3. S.D. = 0 ↔ x1 = x2 = ... = xn = x 4. ถา x1, x2, ..., xn มสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน S.D. ความแปรปรวนเปน S.D.2 x1 + k, x2 + k, ..., xn + k มสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน S.D. ความแปรปรวนเปน S.D.2 x1k, x2k, ..., xnk มสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน S.D.|k| ความแปรปรวนเปน S.D.2k2

5. คามาตรฐาน zi = S.D.

xx i -

ขอสงเกต 1. ขอมลทมการแจกแจงปกตจะม x = Me = Mo 2. พนทใตโคงปกตเทากบ 1 หรอ 100% ซงคอปรมาณขอมลทงหมด 3. การแจกแจงปกตมาตรฐาน คอ การแจกแจงปกตทม x = 0 และ S.D. = 1 4. ถา z1, z2, z3, ..., zn จะม x = 0 และ S.D. = 1 5. คา z สามารถเปนไดทงบวก (xi > x ) และลบ (xi < x ) 6. zi = 0 ↔ xi = x 7. โดยมาก -3 < zi < 3 8. มความสมพนธระหวาง คะแนนมาตรฐาน, คะแนนดบ, คาเฉลยเลขคณต, สวนเบยงเบน-มาตรฐาน, พนทใตโคงปกตมาตรฐาน, ปรมาณขอมล, เปอรเซนไทล


แบบฝกหด 1. ขอมลชดหนงม 99 จานวน เรยงลาดบจากนอยไปมากไดเปน x1, x2, ..., x99 ถาคาเฉลยเลขคณตของขอมล

ชดนเทากบมธยฐาน แลวขอใดตอไปนถก

1) ∑=

49

1 iix = ∑

=

99

51 iix 2) ∑

=

49

1ii50 ) x (x - = ∑

=

99

51ii50 ) x (x -

3) ∑=

49

1 ii50 xx - = ∑

=

99

51 ii50 xx - 4) ∑

=

49

1i2

i50 ) x (x - = ∑=

99

51i2

i50 ) x (x - 2. โรงเรยนอนบาลแหงหนงมนกเรยน 80 คน โดยการแจกแจงของอายนกเรยนเปนดงตาราง

อาย (ป) 3.5 4 4.5 5 5.5 6

จานวนนกเรยน (คน) a 15 10 20 b 5 ถาคาเฉลยของอายนกเรยนมคา 4.5 ป แลวสวนเบยงเบนเฉลยของอายนกเรยนมคาเทากบขอใดตอไปน 1) 16

5 2) 167 3) 16

9 4) 1611

3. ถาตารางแจกแจงความถแสดงนาหนกของเดกจานวน 40 คน เปนดงน

นาหนก (กโลกรม) จานวน 9-11 15 12-14 5 15-17 5 18-20 10 21-23 5

ถา x แทนคาเฉลยของนาหนกเดกกลมน แลวขอใดตอไปนถก 1) x = 17.444 และมธยฐานนอยกวาฐานนยม 2) x = 14.875 และมธยฐานนอยกวาฐานนยม 3) x = 17.444 และมธยฐานมากกวาฐานนยม 4) x = 14.875 และมธยฐานมากกวาฐานนยม 4. ขอมลชดหนงมการแจกแจงปกต ถาหยบขอมล a, b, c, d มาคานวณคามาตรฐาน ปรากฏวาไดคาดงตาราง

ขอมล a b c d

คามาตรฐาน (z) -3 -0.45 0.45 1 ขอใดตอไปนถก 1) -a + 2b + 2c - 3d = 0 2) -a + b + c - 3d = 0 3) a - 2b + 3c + 2d = 0 4) a - b + c - d = 0


5. ขอมลความสงของนกเรยนชน ม.6 โรงเรยนแหงหนงมการแจกแจงปกต ถาจานวนนกเรยนทมความสง นอยกวา 140.6 เซนตเมตร มอย 3.01% และจานวนนกเรยนทมความสงมากกวาคามธยฐานแตนอยกวา 159.4 เซนตเมตรมอย 46.99% แลวจานวนนกเรยนทมความสงไมนอยกวา 155 เซนตเมตร แตไมเกน 160 เซนตเมตร มเปอรเซนตเทากบขอใดตอไปน เมอกาหนดตารางแสดงพนทใตเสนโคงปกตมาตรฐาน ระหวาง 0 ถง z เปนดงน

z 1.00 1.12 1.88 2.00

พนทใตเสนโคง 0.3413 0.3686 0.4699 0.4772 1) 12.86% 2) 13.14% 3) 15.87% 4) 13.59% 6. ถาความยาวรศมของวงกลม 10 วงมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 3 และมความแปรปรวนเทากบ 5 แลวผลรวม

ของพนทวงกลมทง 10 วงน มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 90π 2) 95π 3) 140π 4) 340π 7. กาหนดตารางแจกแจงความถแสดงความสงของนกเรยนในโรงเรยนแหงหนง เปนดงน

ความสง (เซนตเมตร) จานวนนกเรยน (คน)120-129 10 130-139 20 140-149 40 150-159 50 160-169 30

ขอใดตอไปนถก 1) มธยฐานของความสงมคานอยกวา 149 เซนตเมตร 2) ฐานนยมของความสงมคานอยกวา 147 เซนตเมตร 3) ควอรไทลท 3 ของความสงมคามากกวา 150 เซนตเมตร 4) เปอรเซนไทลท 20 ของความสงมคามากกวา 145 เซนตเมตร 8. จากการแจกแจงขอมลเงนเดอนของพนกงานบรษทแหงหนงพบวา

เดไซลท 1 3 5 7 9 เงนเดอน (บาท) 10,000 15,000 20,000 25,000 40,000

ถานายเอกและนายยศมเงนเดอนรวมกนเทากบ 40,000 บาท และมจานวนพนกงานทไดเงนเดอนมากกวา

นายยศอยประมาณ 30% ของพนกงานทงหมด แลวเปอรเซนตของจานวนพนกงานทไดเงนเดอนนอยกวานายเอกเทากบขอใดตอไปน

1) 10% 2) 30% 3) 50% 4) 70%


9. กาหนดใหขอมลชดหนงมการแจกแจงแบบปกต ถาหยบขอมล x และ y จากขอมลชดนมาพจารณา พบวา 13.14% ของขอมลมคามากกวา x และ x มากกวา y อย 2% ของสวนเบยงเบนมาตรฐาน แลวจานวนขอมล (คดเปนเปอรเซนต) ทมคานอยกวา y เทากบขอใดตอไปน เมอกาหนดตารางแสดงพนทใตเสนโคงปกตมาตรฐานระหวาง 0 ถง z เปนดงน

z 1.00 1.10 1.12 1.14 1.16

พนทใตเสนโคง 0.3413 0.3643 0.3686 0.3729 0.3770 1) 36.43% 2) 37.29% 3) 86.43% 4) 87.29% 10. คะแนนสอบวชาความถนดของนกเรยนกลมหนงมการแจกแจงปกต ถาผลรวมของคามาตรฐานของคะแนน

ของนายแดงและนายดาเทากบ 0 และผลรวมของคะแนนนายแดงและนายดาเปน 4 เทาของสวนเบยงเบนมาตรฐาน แลวสมประสทธของความแปรผนของคะแนนสอบของนกเรยนกลมนเทากบขอใดตอไปน

1) 0.5 2) 1 3) 1.5 4) 2 11. กาหนดใหความสงของคนกลมหนงมการแจกแจงแบบปกต ถามคนสงกวา 145 เซนตเมตร และ 165

เซนตเมตรอย 84.13% และ 15.87% ตามลาดบ แลวสมประสทธของความแปรผนของความสงของคนกลมนเทากบขอใดตอไปน

Z 1.00 1.12 1.14 1.16

พนทใตเสนโคงปกตมาตรฐานจาก 0 ถง z 0.3413 0.3686 0.3729 0.3770 1) 31

1 2) 312 3) 31

3 4) 314

12. กาหนดใหขอมลชดหนงมการแจกแจงปกต หยบขอมล x1, x2, x3 มาคานวณคามาตรฐานปรากฏวาไดคา

เปน z1, z2, z3 ตามลาดบ ถา z1 + z2 = z3 แลวคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนเทากบขอใดตอไปน 1) x1 + x2 - z3 2) x1 - x2 - x3 3) x3 - x2 - x1 4) x1 + x2 + x3 13. ขอมลชดหนงเรยงจากนอยไปมากเปนดงน 1, 4, x, y, 9 และ 10 ถามธยมฐานของขอมลชดนเทากบ

คาเฉลยเลขคณต และสวนเบยงเบนเฉลยคณตของขอมลชดนเทากบ 38 แลว y - x มคาเทาใด

1) 4.5 2) 4 3) 2.5 4) 2 14. ขอมลชดหนงม 5 จานวนและมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 12 ถาควอรไทลท 1 และ 3 ของขอมลชดนมคา

เทากบ 5 และ 20 ตามลาดบ แลวเดไซลท 5 ของขอมลชดนมคาเทาใด 1) 20 2) 15 3) 10 4) 5

เฉลย 1. 3) 2. 4) 3. 4) 4. 1) 5. 4) 6. 3) 7. 3) 8. 2) 9. 3) 10. 1) 11. 2) 12. 1) 13. 4) 14. 3)


ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล (Funtional Relation Between Data)

1. การวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล 1. ความสมพนธของตวแปรอสระและตวแปรตาม 2. การเขยนแผนภาพการกระจาย 2. ระเบยบวธกาลงสองนอยสด สมการเสนตรง : รปทวไปคอ y = mx + c สมการปกต

∑n

1=i iy = ∑n

1=i ixm + nc

iyn

1=i ix∑ = ∑n

1=i2ixm + c ∑

n

1=i ix สมการเสนพาราโบลา : รปทวไปคอ y = ax2 + bx + c สมการปกต

∑n

1=iiy = a ∑

n

1=i2ix + b ∑

n

1=iix + nc

iyn

1=iix∑ = a ∑

n

1=i3ix + b ∑

n

1=i2ix + c ∑

n

1=iix

in

1=i2ix y∑ = a ∑

n

1=i4ix + b ∑

n

1=i3ix + c ∑

n

1=i2ix

สมการเอกซโพเนนเชยล : รปทวไปคอ y = abx หรอ log y = log a + x log b สมการปกต

iyn

1=ilog ∑ = n log a + log b ∑

n

1=iix

iyn

1=i logix ∑ = log a ∑

n

1=iix + log b ∑

n

1=i2ix


3. ความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลทอยในรปอนกรมเวลา เราสามารถแทนขอมลทเปนตวแปรอสระซงเปนชวงเวลาทหางเทากนไดดงน ถาจานวนชวงเวลาทนามาสรางความสมพนธเปนจานวนค มกจะแทนดวย ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... โดยใหชวงเวลาทอยตรงการเปน 0 ถาจานวนชวงเวลาทนามาสรางความสมพนธเปนจานวนค มกจะแทนดวย ..., -5, -3, -1, 1, 3, 5, ... โดยใหชวงเวลาทอยตรงกลางเปน -1 และ 1 ขอสงเกต 1. รตวแปรอสระทานายตวแปรตาม ไมสามารถทานายกลบได (ถาจะทานายตองสลบตวแปรแลวสรางความสมพนธเชงฟงกชนใหม) 2. เมอจะทานายความสมพนธในรปอนกรมเวลา ตองแปลงขอมลกอน 3. สาหรบสมการรปเสนตรง ( x , y ) อยบนเสน 4. สาหรบสมการรปเสนตรง ∆y = m∆x


แบบฝกหด 1. ในการหาความสมพนธเชงฟงกชนระหวางคะแนนสอบวชาคณตศาสตร (X) และวชาฟสกส (Y) ของนกเรยน

100 คนของโรงเรยนแหงหนง ไดพจนตางๆ ทใชในการคานวณคาคงตวจากสมการปกตของความสมพนธเชงฟงกชนทมรปสมการเปน Y = a + bX ดงน

∑=

100

1 iix = ∑

=

100

1 iiy = 1000, ∑

=

100

1iii yx = 2000, ∑

=

100

1i2ix = 4000

ถาคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนายสมชายเทากบ 15 คะแนน แลวคะแนนสอบวชาฟสกส (โดยประมาณ) ของนายสมชายเทากบขอใดตอไปน

1) 16 คะแนน 2) 16.67 คะแนน 3) 17 คะแนน 4) 17.67 คะแนน 2. ในการหาความสมพนธเชงฟงกชนระหวางปรมาณสารปนเปอนชนดท 1 (X) และปรมาณสารปนเปอนชนดท 2

(Y) จากตวอยางอาหารจานวน 100 ตวอยาง พบวาความแปรปรวนของปรมาณสารชนดท 1 มคาเทากบ

1.75, คาเฉลยเลขคณตของปรมาณสารชนดท 2 มคาเทากบ 0.5, ∑=

100

1iii y x = 100 และ ∑

=

100

1i21 x = 200

ถาสมการปกตของความสมพนธเชงฟงกชนดงกลาวอยในรป Y = a + bX แลว เมอพบสารปนเปอนชนดท 1 อย 4 หนวย จะพบสารปนเปอนชนดท 2 (โดยประมาณ) เทากบขอใดตอไปน

1) 0.5 หนวย 2) 1 หนวย 3) 1.5 หนวย 4) 2 หนวย 3. กาหนดใหขอมล X และ Y มความพนธกนดงตารางตอไปน

X 1 2 3 3 Y 1 3 4 6

ถาสมการปกตของความสมพนธเชงฟงกชนดงกลาวอยในรป Y = a + bX แลวเมอ X = 10 คาของ Y

เทากบเทาใด 1) 8.5 2) 19 3) 22 4) 25.5

เฉลย 1. 2) 2. 4) 3. 2)

Brands math

Documents

Transcript of Brands math