Branching Process Edit

5/17/2018 Branching Process Edit - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/branching-process-edit 1/9

8. Branching ProcessesSetiap organisme sampai pada akhir masa hidupnya menghasilkan sejumlah keturunan secara random

dengan probabilita sbb:

Pr {ξ = k } = P k for k = 0, 1, … (8.1)

Dimana :

ξ : Jumlah keturunan

P k ≥ 0 and ∑= =

x

k k p

01

Kita asumsikan bahwa semua keturunan adalah saling independent satu sama lain, dan pada akhir

hidupnya masing-masing menghasilkan keturunan dengan probabilita yang sama (8.1).Proses X n adalah bentuk khusus Markov Chain yang dinamakan Branching Processes, dimana X nadalah jumlah populasi pada generasi ke-n. Sifat Markov dapat dijelaskan secara sederhana sbb:

Pada generasi ke-n ada sejumlah individu X n, secara independent menghasilkan keturunan)()(

1 .... n

X

n

nξ ξ ++ yang secara kumulatif menjadi generasi ke (n+1) sbb:

)()(

11 .... n

X

n

n n X ξ ξ ++=+ (8.2)

Contoh Branching ProcessesGenerasi

0

1

2

3

n

• Elektron Multipliers

• Neutron Chain Reaction

• Survival of Family Name

• Survival of Mutant Genes

Mean and Variance][ξ µ E Mean == ; dimana µ : rata-rata anak yang dilahirkan masing-masing individu.

][2 ξ σ Var Varian == ; dimana σ2 : varian jumlah anak yang dilahirkan masing masing individu.

Untuk X n , dengan kondisi X 0 = 1, berlaku : M(n) adalah rata-rata dari X n (Populasi generasi ke-n)

V(n) adalah varian dari X nSehingga :

)()1( n M n M µ =+

1

X o

= 1

k X ==)0(

11 ξ



112 1 −− +++= nn µ µ µ σ

dan

)()()1( 22 nV n M nV µ σ +=+

Rata-rata populasi M(n) akan meningkat secara geometrik jika µ > 1, akan menurun jika µ < 1, dan

akan konstan jika µ = 1.

Dalam kondisi X 0 = 1 maka :

M (0) = 1 dan V(0) = 0 µ µ == )0()1( M M

2M(1))2( µ µ == M

Secara Umum :nn M µ =)( dimana n = 0,1,2…

Sehingga,

)()()1( 22 nV n M nV µ σ +=+0)0( =V

2)1( σ =V 2222 )1()2( σµ µ σ µ µ σ +=+= V V

423222222 )2()3( µ σ µ σ µ σ µ µ σ ++=+= V V

Dan secara umum2212)( −−

+++=nnn

nV µ µ µ σ

Varian populasi V(n) akan meningkat secara geometrik jika µ > 1, meningkat linier jika µ = 1, danturun secara geometrik µ < 1

Probabilita Kepunahan ( Extinction Probabilities)Kepunahan populasi terjadi ketika jumlah populasi berkurang sampai menuju ke 0. Waktu kepunahan

yang bersifat random (N), dan waktu pertama kali punah (n), sehingga X n = 0. Dalam Markov Chain,0 adalah kondisi absorbing. Sehingga kita bisa menghitung probabilita kepunahan dengan

menggunakan First Step Analysis (FSA).

{ } { }0Pr Pr ==≤= nn X n N u

Sehingga diperoleh:

∑∞

=−=

0

1 )(k

k nk n u pu , n = 1,2,……

Contoh Soal

Anggap sebuah keluarga di suatu daerah tidak ada yang mempunyai anak sebanyak satu orang, tetapi

mempunyai probabilitas untuk tidak mempunyai anak sama sekali sebesar 0.45, akan mempunyai dua

anak sebesar 0.35, dan akan mempunyai tiga anak sebesar 0.2.

2

if µ =1

= −

µ

µ µ σ

-1

-1x

n

12

n

n

if µ ≠ 1



(a) Dapatkah penduduk daerah tersebut punah ?

- Jika tidak dapat, beri alasannya!

- Jika dapat, jawab pertanyaan berikut :i. Berapa probabilitasnya?

ii. Kapan kepunahan dengan probabilitas tersebut akan terjadi?

(b) Jika terdapat 5 keluarga dalam penduduk tersebut yang diamati (masing-masing) adalahindependent dalam mempunyai keturunan), tentukan jumlah keturunan 5 keluarga ini pada generasi

berikutnya!Jawab:

(a). k 0 2 3

p(k) 0.45 0.35 0.20

∑∞

=−=

0

1 ,)(k

k

nk n u pu n=1,2,…

,00 =u

∑∞

=−=

0

111 ,)(k

k

k u pu 45.0)0(*20.0)0(*35.0)0(*45.0 320

1 =++=u

∑

∞

=−= 0

122 ,)(k

k

k u pu 54.0)45.0(*20.0)45.0(*35.0)45.0(*45.0320

2 =++=u ..dst

n un n un

1 0.45 11 0.66

2 0.54 12 0.66

3 0.58 13 0.66

4 0.61 14 0.66

5 0.62 15 0.66

6 0.64 16 0.66

7 0.64 17 0.66

8 0.65 18 0.669 0.65 19 0.66

10 0.65 20 0.66

(i) Jika dilihat, bahwa nilai un akan stabil pada 0.66, sehingga dapat dikatakan bahwa

populasi akan punah dengan probabilita 0.66.

(ii) Kepunahan dengan probabilita 0.66akan terjadi setelah generasi ke-10

(b) X 0 = 5, ditanyakan jumlah populasi pada generasi ke-1 ( X 1)

1 2 3 4 5

0 2 3 0 2 3 0 2 3 0 2 3 0 2 3

∑==k k k i p E u )(.][ ξ ξ ξ

= 0 x 0.45 + 2 x 0.35 + 3 x 0.20 = 1.3 (rata-rata jumlah anak setiap keluarga pada generasi ke-1)

Karena ada 5 keluarga, maka jumlah pada generasi ke-1 (berikutnya adalah 5 x 1.3 = 6.5.)

3



9. Branching Processes And Generating Function

Jika suatu variabel random ξ merupakan bilangan integer nonnegative memiliki distribusi

probabilitas sebagai berikut :

Pr {ξ = k } = P k for k = 0, 1, … (9.1)

Maka fungsi pembangkit φ (s) dari variabel random ξ dengan distribusi { pk } dapat didefinisikan

sebagai berikut :

∑∞

=

==0

][)(k

k

k s p s E sξ φ for 0 ≤ s ≤ 1. (9.2)

Sifat umum fungsi pembangkit :

Pertama, hubungan antara fungsi probabilitas (9.1) dan fungsi pembangkit (9.2) dipetakan

satu-satu. Fungsi pembangkit dapat digunakan untuk mengetahui distribusinya. Hubungan antara

fungsi probabilitas { pk } dan fungsi pembangkit )( sφ dapat digambarkan sebagai berikut:

0

)(

!

1== sk

k

k ds

sd

k p

φ (9.3)

Sebagai contoh,

φ (s) = p0 + p1 s + p2 s2 + …,

dimana

p0 = φ (0)

dan

...,32)( 2

321 +++= s p s p pds

sd φ

dimana

01

)(== s

ds

sd p

φ

Kedua, jika ξ 1 , …, ξ n adalah variabel random yang mempunyai fungsi pembangkit φ 1(s), …,

φ n(s), maka penjumlahan X = ξ 1 + … + ξ n , secara sederhana mempunyai fungsi pembangkit φ x(s) = φ 1(s) φ 2(s) … φ n(s) ( 9.4)

Hasil yang sederhana ini membuat fungsi pembangkit sangat membantu dalam menyelesaikan

permasalahan yang menyertakan penjumlahan variabel random. Diharapkan fungsi pembangkit dapat

menjadi alat utama dalam analisis Branching processes.

Ketiga, moment suatu variabel random ξ yang bernilai integer nonnegative dapat diperoleh

dengan menurunkan fungsi pembangkit. Sebagai contoh, turunan pertama adalah:

...,32)( 2

321 +++= s p s p pds

sd φ

dimana

],[...32)(

3211 ξ φ

E p p pds

sd s =+++== ( 9.5)

Dan turunan kedua adalah

...,)3(4)2(32)( 2

4322

2

+++= s p s p pds

sd φ

4



dimana

...)3(4)2(32)(

43212

2

+++== p p pds

sd s

φ

].[][

)]1([)1(

2

2

ξ ξ

ξ ξ

E E

E pk k k

k

−=

−=−= ∑∞

=

kemudian

][)(

][ 12

22 ξ

φ ξ E

ds

sd E s += =

112

2)()(

== += s sds

sd

ds

sd φ φ

dan

22 ]}[{][][ ξ ξ ξ E E Var −=

2

1112

2 )()()(

−+= === s s s

ds

sd

ds

sd

ds

sd φ φ φ ( 9.6)

Contoh Jika ξ berdistribusi Poisson dengan rata-rata λ dimana

!}Pr{

k

ek p

k

k

λ λ ξ

−

=== untuk k= 0, 1,…..

maka

∑∞

=

−

==0 !

][)(k

k k

k

e s s E s

λ ξ λ

φ

∑∞

=

−=0 !

)(

k

k

k

se

λ λ

)1( s s eee −−− == λ λ λ untuk | s|<1.

Kemudian

;)( )1( se

ds

sd −−= λ λ φ

;)(

1 λ φ == sds

sd

;)( )1(2

2

2 se

ds

sd −−= λ λ φ

;)( 2

12

2

λ φ == s

ds

sd

Dari ( 9.5) dan ( 9.6) kita dapat memverifikasi bahwa

.)(][

,][

22 λ λ λ λ ξ

λ ξ

=−+=

=

Var

E

∞9.1. Generating Functions and Extinction Probabilities

Misalkan X n adalah suatu branching process dimana X n adalah ukuran populasi pada generasi ke-n.

Diasumsikan bahwa distribusi probabilita dari keturunan pk = Pr{ξ =k } mempunyai fungsi

pembangkit ∑==k k

k p s s E s .][)( ξ φ Jika un = Pr{X n = 0} adalah probabilitas kepunahan pada

generasi ke-n, kemudian mengacu pada (8.8) fungsi pembangkitnya menjadi

).()( 1

0

1 −

∞

=− == ∑ n

k

k

nk n uu pu φ

Dengan mengetahui fungsi pembangkit, kita dapat menghitung probabilitas kepunahan un dimulai

dengan u0 = 0, kemudian u1=φ (u0 ), u2 =φ (u1 ), dan seterusnya.

5



Contoh Probabilitas kepunahan ketika probabilitas tidak mempunyai keturunan p0 = ¼ dan

probabilitas mempunyai dua keturunan p2 = ¾ telah dihitung bagian 8.3. Kita sekarang memeriksa

kembali contoh tersebut menggunakan fungsi pembangkit )( sφ = ¼ + ¾ s2. Fungsi pembangkit ini

dapat digambarkan seperti pada gambar 9.1. Dari gambar tersebut jelas bahwa probabilitas

pepunahan meningkat menuju kepada solusi persamaan yang terkecil )(uu φ = . Hal ini kasus yang

paling umum terjadi. Jika ∞u menunjukkan solusi yang terkecil untuk )(uu φ = , maka ∞u

menyatakan probabilitas bahwa populasi akan punah pada waktu yang tidak terbatas, tetapi tertentuwaktunya. Kemungkinan lainnya adalah populasi tumbuh besar dengan tidak terbatas, dan ini terjadi

dengan probabilitas ∞− u1 .

Untuk contoh di atas, )( sφ = ¼ + ¾ s2, dan persamaan )(uu φ = adalah persamaan kuadrat

sederhana u= ¼ + ¾ u2, yang menghasilkan

3

1,1

6

12164=

−±=u

Gambar 9.1

Solusi yang lebih kecil adalah u∞ =1/3, yang akan dibandingkan dengan limit deretan ux yang telah

dihitung pada contoh di bagian 8.3.Mungkin saja terjadi u x = 1, yang berarti populasi pasti punah pada suatu waktu. Suatu contoh

dilukiskan pada gambar 9.2: distribusi keturunan adalah p0 = ¾ and p2 = ¼. Kita menyelesaikan u =

φ (u) = ¾ + ¼ u2 untuk mendapatkan

3,12

12164=

−±=u

Solusi yang lebih kecil adalah u x = 1, berarti populasi pasti punah.

Secara umum, kuncinya adalah apakah fungsi pembangkit )( sφ memotong garis 450 garis s s =)(φ

atau tidak, dan dapat ditentukan dari slope

1

)()1('

==

sds

sd φ φ

dari fungsi pembangkit pada s = 1. Jika slope kurang dari sama dengan satu, maka tidak terjadi

perpotongan, dan probabilitas populasi akan punah u∞ = 1. Pada sisi lain, jika slope φ ’(1) melebihi

satu, maka persamaan u = φ (u) mempunyai solusi lebih kecil dari satu dan kepunahan bukanlah

suatu peristiwa yang pasti terjadi.

Tetapi slope φ ’(1) dari suatu fungsi pembangkit pada s = 1 adalah rata-rata E [ξ ] distribusiyang berkaitan. Kita telah tiba pada kesimpulan penting sebagai berikut: jika rata-rata jumlah anak

E [ξ ] ≤ 1 maka u∞ = 1 dan kepunahan pasti terjadi. Jika E [ξ ] >1, maka u∞ < 1 dan populasi dapat

berkembang tak terbatas.

Untuk kasus E [ξ ] =1 menjadi perhatian khusus. E[ X n| X 0=1]= 1 untuk semua n, sehingga rata-rata

ukuran populasi tetap. Ini adalah suatu contoh sederhana di mana rata-rata ukuran populasi sendiritidak cukup menguraikan perilaku populasi.

9.2 Probability Generating Function And Sums Of Independent Random Variables

Misalkan ξ dan η adalah variabel random integer nonnegative yang mempunyai probabilitas fungsi pembangkit ( p.g.f.s)

φ (s) = E[sξ] dan ψ (s) = E[s

η] untuk | s| < 1

Probabilitas fungsi pembangkit dari penjumlahan ξ + η disederhanakan menjadi perkalian φ (s) dan

ψ (s) sebab

6



E[sξ + η

] = E[sξs

η]

= E[sξ] E[s

η] (karena ξ dan η independent) (9.7)

= φ (s) ψ (s)

Hal ini juga berlaku sebaliknya. Jika perkalian p.g.f.s dua variabel random independent adalah

suatu p.g.f. variabel random ketiga, maka variabel random ketiga sama dengan penjumlahan dualainnya.

Misalkan ξ1, ξ2,... variabel random integer nonnegative dan berdistribusi identik dan

independent dengan p.g.f. φ (s) = E[sξ]. Induksi langsung ( 9.7) menyebabkan penjumlahan ξ1 + … +ξm, mempunyai p.g.f.

E[sξ1 + … + ξm ] =[φ (s)]m (9.8)

Kita perluas hasil ini untuk menentukan p.g.f penjumlahan sejumlah variabel random independent.

Misalkan N variabel random yang bernilai bilangan integer nonnegative dan berdistribusi

independent pada ξ1, ξ2, … dengan p.g.f g N (s)= E[s N ], dan perhatikan random sum ( lihat II, Bagian

3).

X= ξ1 + … + ξ N

Misalkan h x(s) = E[s x ] adalah p.g.f untuk X, kita dapat menyatakan bahwa

h x(s) = g N [ φ (s) ] (9.9)

∑∞

===

0

}Pr{)(k

k x sk X sh

k

k n

sn N n N k X ∑ ∑∞

=

∞

=

==Ι==

0 0

}Pr{}Pr{

k

k n

n sn N n N k ∑ ∑∞

=

∞

=

==Ι=++=

0 0

1 }Pr{}...Pr{ ξ ξ

k

k n

n sn N k ∑ ∑∞

=

∞

=

==++=

0 0

1 }Pr{}...Pr{ ξ ξ

(karena N independen pada ξ 1 , ξ 2 , …)

)Pr{}...Pr{0 0

1 n N sk n k

k

n =

=++= ∑ ∑∞

=

∞

=

ξ ξ

)Pr{)(0

n N sn

n == ∑∞

=

φ mengunakan ( 9.8)

[ ])( s g nφ =

Dengan bantuan ( 9.9), persamaan dasar branching process )()(

11 .... n

X

n

n n X ξ ξ ++=+ (9.10)

Dapat dinyatakan dengan rata-rata fungsi pembangkit. Jika ][)( n X

n s E s =φ menjadi p.g.f ukuran

populasi X n pada generasi ke-n, asumsikan bahwa X 0=1, maka s s E s == ][)( 1

0φ dan

][)()(1

ξ φ φ s E s s == . Untuk memperoleh bentuk umum, kita menerapkan (9.9) untuk (9.10) untuk

menghasilkan

)]([)(1 s s nn φ φ φ =+ (9.11)

7



Bentuk ini dapat diiterasikan

[ ]{ })()( 11 s s nn φ φ φ φ −+ =

[ ]{ }

)(.... sφ φ φ =(9.12)

[ ])( snφ φ =kita memperoleh fungsi pembangkit untuk ukuran populasi X n, pada generasi n, jika diketahui X 0=1,

dengan substitusi yang berulang-ulang dalam probabilitas fungsi pembangkit pada distribusiketurunan.

Secara umum, p.g.f untuk ukuran populasi awal X 0 = k adalah

[ ]∑∞

=

===0

0 )(}|Pr{k

k

n

j

n s sk X j X φ (9.13)

tepatnya bahwa penjumlahan k garis keturunan yang independent. Dari perspektif ini, branching

process meningkat sebagai penjumlahan k independent branching processes, masing-masing untuk satu initial orangtua.

Contoh Misalkan φ (s)= q + ps, di mana 0 < p < 1 dan p + q = 1. Contoh branching processes

adalah proses kematian murni. Pada setiap periode masing-masing individu mati dengan probabilitas

q dan bertahan hidup dengan probabilitas p. Iterasi φ n(s) dalam kasus ini dapat ditentukan,

φ 2(s)=q+p.(q+ps)= 1-p2+p2s, secara umum, φ n(s)= 1-pn+pns. Jika kita mengikuti (9.13), p.g.f

generasi yang ke-n dimulai dari suatu ukuran populasi awal k adalah [ ] [ ] k nnk

n s p p s +−= 1)(φ

Distribusi probabilitas waktu T untuk kepunahan dapat ditentukan dari p.g.f sebagai berikut:

{ } { } { }k X X k X X k X nT nn ==−===== − 010 0Pr 0Pr )0(Pr

[ ] [ ] k

n

k

n )0()0( 1−−= φ φ k nk n p p )1()1(

1−−−−=

9.3 Multiple Branching Processes

Proses pertumbuhan populasi meliputi beberapa tahap kehidupan (seperti pemuda, orang dewasa

reproduktif, menjadi tua) dengan pola perilaku dan kelangsungan hidup berbeda. Kita bisamemperhatikan sejumlah contoh branching processes mengenai karakteristik ini.

Untuk contoh pertama, anggap bahwa suatu individu dewasa akan menghasilkan keturunan

mengikuti p.g.f φ (s). Jika suatu populasi individu yang belum dewasa masing-masing akan tumbuh

menjadi dewasa dengan probabilitas p dan kemudian bereproduksi secara independen dari anggota

populasi lain. Suatu individu belum dewasa tidak akan mencapai kedewasaan dan tidak akanmeninggalkan keturunan dengan probabilitas 1–p. Dengan probabilitas p seseorang akan menjadi

dewasa dan menghasilkan sejumlah keturunan, ditentukan menurut p.g.f φ (s). Oleh karena ituukuran distribusi keturunan (sama dengan p.g.f) individu belum dewasa memiliki dua ketidakpastian

yaitu:)()1( s p p φ +− (9.14)

Jika suatu sensus dilakukan pada individu dewasa, jumlah individu dewasa yang disokong olehindividu dewasa sekarang akan mempunyai p.g.f

)1( ps p +−φ (9.15)

hal yang perlu ditekankan bahwa p.g.f.s ( 9.14) dan ( 9.15) mempunyai rata-rata yang sama pφ ’(1)

tetapi umumnya variannya berbeda, yang pertama menjadi2))1('()1(')1(" φ φ φ −+ p

8

( n+1) iterasi



Dibandingkan dengan222 ))1('()1(')1(" φ φ φ p p p −+

Contoh. Contoh kedua mengacu (9.15), yang berlawanan dengan (9.14), yang menyatakan perbedaan pola kematian yang mempengaruhi suatu populasi. Kita menganggap kekuatan (stabilitas) suatu

populasi sebagai probabilitas survivorship tak berhingga = 1– probabilitas pasti punah.

Ketidakhadiran kematian jumlah keturunan x individu mempunyai p.g.f φ (s) Asumsikan,

konsisten dengan dalil suatu branching process, bahwa semua keturunan di dalam populasi bertindak

dengan bebas yang diatur oleh hukum probabilitas yang sama. Asumsikan juga suatu populasi orangdewasa ukuran x=k.. Kita memiliki tiga jenis kematian:a) kematian individu. Misalkan p probabilitas bertahan hidup dan bereproduksi, independent dari apa

yang terjadi pada individu lain. Dengan begitu kontribusi dari tiap keluarga kepada populasi orang

dewasa generasi yang berikutnya mengikuti suatu distribusi binomial dengan parameter (N,p), di

mana N adalah ukuran keturunan orangtua dengan p.g.f φ (s). p.g.f jumlah orang dewasa yang

disokong oleh orangtua tunggal adalah φ (q+ps),q=1-p, dan untuk populasi secara keseluruhan

adalah

[ ]k psq s )()(1 += φ ψ (9.16)

Kematian jenis ini dapat mencerminkan predation pada orang dewasa.

b) kematian keluarga. masing-masing keluarga independen dan survive dengan probabilitas p dandisapu bersih dengan probabilitas q= 1-p. Diketahui suatu ukuran keluarga sekarang ξ, ukuran litter

yang efektif adalah ξ dengan probabilitas p, dan 0 dengan probabilitas q. p.g.f orang dewasa di dalam

generasi mengikuti

[ ]k s pq s )()(2 φ ψ += (9.17)

kematian jenis ini mungkin mencerminkan predation atas pemuda atau atas sarang dan telor dalam

kasus burung-burung.c) kematian generasi. keseluruhan generasi survive dengan probabilitas p dan disapu bersih dengan

probabilitas q. Kematian jenis ini mungkin disebabkan bencana lingkungan ( seperti, kebakaran

hutan, banjir). p.g.f. ukuran populasi di generasi yang berikutnya adalah

k s pq s )]([)(3 φ ψ += (9.18)

Semua p.g.f.s. dari ( 9.16) sampai ( 9.18) mempunyai mean yang sama berarti tetapi variance yang

berbeda.

Hal yang menarik untuk menilai stabilitas yang relatif pada tiga model ini. Kita harus

membandingkan akar possitive yang paling kecil dari 3,2,1,)( == i s siψ ; yang ditandai dengan*

i s i=1,2,3.

Kita akan menunjukkan bahwa

)()()( 321 s s s ψ ψ ψ ≤≤Suatu fungsi f(x) adalah cembung dalam x jika untuk tiap-tiap x1 dan x2 dan 0<λ<1, maka

( )[ ] )()1()(1 2121 x f x f x x f λ λ λ λ −+≤−+ . Fungsi ∑∞

==

0)(

k

k

k for s p sφ 0<s<1, cembung dalam s,

karena untuk integer positif k, ( )[ ] k k k s s s s 2121 )1(1)( λ λ λ λ −+≤−+ for 0<λ, s1, s2<1, sekarang

[ ] [ ] [ ] )()()()1()()( 21 s s pq s pq psq sk k k

ψ φ φ φ φ ψ =+=+<+= , dan kemudian*

2

*

1 s s < , sehingga

model pertama lebih stabil daripada model kedua.

Amati lebih lanjut dari f(x)=xk , x>0 , [ ] [ ] )(1)()()( 32 sq s pq s p s k k k ψ φ φ ψ =×+<+= , dan

*

3

*

2 s s < ,

implikasinya, model kedua lebih stabil daripada model ketiga. Untuk membantu, kita dapat tulis*

3

*

2

*

1 s s s << .

9

Branching Process Edit

Documents

Transcript of Branching Process Edit