Booleova algebra i logički
Transcript of Booleova algebra i logički
Booleova algebra i logički
sklopovi (1)
Teme
• Logička ili Booleova algebra
• Digitalna računala
• Izjava
• Logička operacija NE (engl. NOT)
• Logička operacija I (engl. AND)
• Logička operacija ILI (engl. AND)
• Logička operacija implikacije
(c) L. Blagojević i D.Grundler 2009 2
Teme
• Logička operacija ekvivalencije
• Složene logičke operacije
• Osnovna pravila pojednostavljivanja
• De Morganova pravila
• Komutacija i distribucija
• Tautologija
• Kontradikcija
(c) L. Blagojević i D.Grundler 2009 3
Teme
• Normalne forme
• Konjunktivna normalna forma
• Disjunktivna normalna forma
(c) L. Blagojević i D.Grundler 2009 4
Logička ili Booleova algebra
• Logička ili Booleova algebra je sustav teorema koji rabe simboličku logiku da bi opisali skupove elemenata i odnose među njima
• Booleova algebra dobila je naziv prema svom tvorcu, engleskom matematičaru George Booleu (1815.-1864.)
(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 5
George Boole (1815.-1864.)
• U svom djelu Matematička analiza logike želio je matematički obraditi postupke deduktivnoga logičkog zaključivanja, pri čemu su ulazni podaci mogli imati samo dva stanja: točno i netočno
(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 6
Digitalna računala
• Razvojem digitalnih računala otkriveno je da je Booleova algebra vrlo dobro primjenjiva u konstruiranju i analizi rada računala jer takva računala također imaju samo dva stanja:
– Uključen – isključen
– Napon maksimalan – napon minimalan i sl.
(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 7
Izjava
• Osnovni element logičke algebre je IZJAVA.
• Izjava može biti istinita ili lažna.
• Izjave su:
(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 8
“Danas je vedar dan”
”Medvednica je viša od 1000
metara“
“1+1=3”.
Istinita izjava
• Istinitost izjave označava se pojmom "istina" ili engl. true.
• Zbog jednostavnosti i kratkoće istinitost izjave često se označava slovom T ili oznakom 1.
(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 9
= "Danas je subota” (1) P
Lažna izjava
• Lažnost izjave označava se pojmom "laž" ili engl. false.
• Zbog jednostavnosti i kratkoće lažnost izjave često se označava slovom F ili oznakom 0.
(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 10
= “Pročitao sam knjigu” (1) __
P
Logička operacija NE (engl. NOT)
• Logička operacija NE zove se još i negacija, a uključuje jedan operand i jedan operator.
• Negacija izjave nova je izjava, zasnovana na postojećoj izjavi, koja je lažna ako je postojeća izjava istinita, odnosno istinita je ako je postojeća izjava lažna.
(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 11
NE
Logička operacija NE (engl. NOT)
"Danas je subota"
(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 12
negacija
"Danas nije subota"
Logički operator NE (engl. NOT)
• Operator NE predočuje se jednim od simbola:
~ ili ¯ ili ’. • Rabit ćemo simbol ¯.
• Označimo li zbog kratkoće postojeću izjavu jednim slovom onda se negacija izjave označava s
(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 13
P
je negacija izjave __
P P
Tablica stanja ili tablica istinitosti
• Tablica stanja izražava odnose između operanda ovisno o logičkoj operaciji.
• Tablica stanja definicija je logičke operacije i mora sadržavati sva moguća stanja operanada i logičke operacije.
(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 14
Tablica stanja logičkog operatora NE
(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 15
1 0
0 1
P__
P
Logička operacija I (engl. AND)
• Logička operacija I naziva se konjunkcija.
• Uključuje dva operanda i jedan operator.
• Operator se naziva I (engl. AND)
• Cjelokupna logička operacija I istinita ako i samo ako su istinite obje izjave uključene u tu operaciju.
(c) L. Blagojević i D.Grundler 2009 16
Logički operator I (engl. AND)
• Operator I predočuje se jednim od simbola: ili ili .
• Rabit ćemo simbol .
• Rabe li se slova kao simbolički prikaz izjava, operacija I piše se:
i čita “P i Q”.
(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 17
QP
Tablica stanja logičkog operatora I
(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 18
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
P QP Q
Logička operacija ILI (engl. OR)
• Logička operacija ILI naziva se inkluzivna disjunkcija, a uključuje dva operanda i jedan operator.
• Operator se naziva ILI (engl. OR).
• Cjelokupna logička operacija ILI istinita ako je istinita bilo koja izjava uključena u tu operaciju.
(c) L. Blagojević i D.Grundler 2009 19
Logički operator ILI (engl. OR)
• Operator ILI predočuje se jednim od simbola ili ili +.
• Rabit ćemo simbol +.
• Operacija ILI piše se simbolički:
i čita “P ili Q”
(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 20
QP
Tablica stanja logičkog operatora ILI
(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 21
P Q P + Q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Složene logičke operacije
• Osnovne logičke operacije mogu se kombinirati u složene operacije, pa tako npr. možemo sastaviti složenu logičku operaciju:
"Danas je sunčan dan" ILI "Danas je oblačan dan" I "Iz oblaka pada kiša".
(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 22
Složene logičke operacije
• Zamijene li se izjave slovnim oznakama, ta logička operacija poprima oblik:
(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 23
RQP
Složene logičke operacije
• Često je složene logičke operacije moguće pojednostavniti služeći se nizom jednostavnih pravila.
• Pojednostavniti logičku operaciju znači smanjiti broj operanada u logičkoj operaciji ne mijenjajući pritom tablicu stanja te operacije.
(c) L. Blagojević i D.Grundler 2009 24
Osnovna pravila pojednostavljivanja
(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 25
QP)QP(P
P)QP(P
P1P
0PP
PPP
00P
__
__
Osnovna pravila pojednostavljivanja
(c) L. Blagojević i D.Grundler 2009 26
QP)QP(P
P)QP(P
11P
1PP
PPP
P0P
__
__
De Morganova pravila
(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 27
QPQP
QPQP
Komutacija i distribucija
(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 28
komutacija
distribucija
PQQP
PQQP
SQRQSPRP)SR()QP(
RPQP)RQ(P
Tautologija
• Složeni logički izraz čiji je rezultat istinit bez obzira na istinitost izjava od kojih se sastoji naziva se tautologija.
• U tablici stanja složenog izraza rezultat je uvijek istinit (T), tj. ima sve vrijednosti 1.
(c) L. Blagojević i D.Grundler 2009 29
Kontradikcija
• Složeni logički izraz čiji je rezultat lažan bez obzira na istinitost izjava od kojih se sastoji naziva se kontradikcija.
• U tablici stanja složenog izraza rezultat je uvijek lažan (F) tj. ima sve vrijednosti 0.
(c) L. Blagojević i D.Grundler 2009 30
Primjer 1. (pojednostavljivanje)
Pojednostavnimo logičku operaciju Y = A · B + A · B + A · C + C
1. korak (distribucija – izlučivanje A):
Y = A · (B + B) + A · C + C
2. korak (pravilo B + B = B):
Y = A · B + A · C + C
3. korak (distribucija – izlučivanje C)
Y = A · B + C · (A + 1)
4. korak (pravilo A + 1 = 1 i C · 1 = C )
Y = A · B + C
(c) L. Blagojević i D.Grundler 2009 31
Primjer 2. (tablica stanja)
Nacrtajmo tablicu stanja za logičku operaciju:
(c) L. Blagojević i D.Grundler 2009 32
BBAY
A B A A B
A B +B
0 0 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 1 0 0 1
Zadatak 1.
Pojednostavniti izraz i napisati tablicu stanja za logičku operaciju:
(c) L. Blagojević i D.Grundler 2009 33
QPQPQPY
Rješenje
(c) L. Blagojević i D.Grundler 2009 34
QPY
Tablica stanja za Zadatak 1.
(c) L. Blagojević i D.Grundler 2009 35
A
P Q P P + Q
0 0 1 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 1 0 1
Primjer 2. • Nacrtajmo tablicu stanja za logičku operaciju
Y= (A + B ) C
(c) L. Blagojević i D.Grundler 2009 36
A B C A + B
(A +B) C
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 1 1
1 0 0 1 0
1 0 1 1 1
1 1 0 1 0
1 1 1 1 1
Zadatak 2.
• Nacrtajte tablicu stanja za logičku operaciju:
Y= (A+B) (A+C)
(c) L. Blagojević i D.Grundler 2009 37
A B C A A + B A+C (A+B) (A+C)
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 0