Boolean algebra 2From Wikipedia, the free encyclopedia

Contents

1 2 2 real matrices 11.1 Profile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Equi-areal mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Functions of 2 2 real matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 2 2 real matrices as complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 2-valued morphism 52.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 3D projection 63.1 Orthographic projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Weak perspective projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3 Perspective projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.4 Diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.8 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 A-equivalence 114.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5 Absorption law 125.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6 Algebraic function 136.1 Algebraic functions in one variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6.1.1 Introduction and overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146.1.2 The role of complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146.1.3 Monodromy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

i

ii CONTENTS

6.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

7 Algebraic normal form 187.1 Common uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187.2 Performing operations within algebraic normal form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187.3 Converting to algebraic normal form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197.4 Formal representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

7.4.1 Recursively deriving multiargument Boolean functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

8 Algebraic vector bundle 21

9 Alternatization 229.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

9.1.1 Alternating bilinear map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229.1.2 Alternating bilinear form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229.1.3 Alternating multilinear form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239.1.4 Alternatization of a bilinear map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

9.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

10 Angle of parallelism 2510.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2610.2 Demonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2610.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

11 Antiautomorphism 2811.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2811.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

11.2.1 Involutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2911.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2911.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2911.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

12 Antilinear map 3012.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3012.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

CONTENTS iii

13 Asano contraction 3113.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3113.2 Location of zeroes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3113.3 Use . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3113.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

14 Balanced boolean function 3314.1 Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3314.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3314.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

15 Bent function 3415.1 Walsh transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3415.2 Definition and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3515.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3615.4 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3615.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3715.6 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

16 Head normal form 3916.1 Beta reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3916.2 Reduction strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3916.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4016.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

17 Biholomorphism 4117.1 Formal definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4117.2 Riemann mapping theorem and generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4117.3 Alternative definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4117.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

18 Bijection 4418.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4518.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

18.2.1 Batting line-up of a baseball team . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4518.2.2 Seats and students of a classroom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

18.3 More mathematical examples and some non-examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4618.4 Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4618.5 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4618.6 Bijections and cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4618.7 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4718.8 Bijections and category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4718.9 Generalization to partial functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

iv CONTENTS

18.10Contrast with . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4818.11See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4818.12Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4818.13References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4918.14External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

19 Bijection, injection and surjection 5019.1 Injection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5019.2 Surjection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5119.3 Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5219.4 Cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5219.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

19.5.1 Injective and surjective (bijective) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5319.5.2 Injective and non-surjective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5319.5.3 Non-injective and surjective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5319.5.4 Non-injective and non-surjective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

19.6 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5419.7 Category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5419.8 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5419.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5419.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

20 Binary decision diagram 5520.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

20.1.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5520.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5620.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5620.4 Variable ordering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5620.5 Logical operations on BDDs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5620.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5720.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5720.8 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5820.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

21 Bitwise operation 5921.1 Bitwise operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

21.1.1 NOT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5921.1.2 AND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5921.1.3 OR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6021.1.4 XOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6021.1.5 Mathematical equivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

21.2 Bit shifts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

CONTENTS v

21.2.1 Arithmetic shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6121.2.2 Logical shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6221.2.3 Rotate no carry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6221.2.4 Rotate through carry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6321.2.5 Shifts in C, C++, C# and Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6321.2.6 Shifts in Java . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6321.2.7 Shifts in Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

21.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6421.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6421.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6421.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

22 Blake canonical form 6622.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6622.2 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

23 Booles expansion theorem 6723.1 Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6723.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6723.3 Application to switching circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6723.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6823.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

24 Boolean algebra 6924.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6924.2 Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7024.3 Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

24.3.1 Basic operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7024.3.2 Derived operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

24.4 Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7124.4.1 Monotone laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7124.4.2 Nonmonotone laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7224.4.3 Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7224.4.4 Duality principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

24.5 Diagrammatic representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7324.5.1 Venn diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7324.5.2 Digital logic gates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

24.6 Boolean algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7524.6.1 Concrete Boolean algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7524.6.2 Subsets as bit vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7624.6.3 The prototypical Boolean algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7624.6.4 Boolean algebras: the definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

vi CONTENTS

24.6.5 Representable Boolean algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7724.7 Axiomatizing Boolean algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7824.8 Propositional logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

24.8.1 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7924.8.2 Deductive systems for propositional logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

24.9 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8024.9.1 Two-valued logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8024.9.2 Boolean operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

24.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8224.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8224.12Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8324.13External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

25 Boolean algebra (structure) 8425.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8525.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8525.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8525.4 Homomorphisms and isomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8625.5 Boolean rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8725.6 Ideals and filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8825.7 Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8825.8 Axiomatics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8825.9 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8925.10Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8925.11See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8925.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8925.13External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

26 Boolean algebras canonically defined 9226.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9226.2 Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9326.3 Truth tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9426.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

26.4.1 Bit vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9526.4.2 Power set algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9526.4.3 Representation theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9626.4.4 Other examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

26.5 Boolean algebras of Boolean operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9726.6 Axiomatizing Boolean algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9826.7 Underlying lattice structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9926.8 Boolean homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9926.9 Infinitary extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

CONTENTS vii

26.10Other definitions of Boolean algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10126.11See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10126.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

27 Boolean conjunctive query 10327.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10327.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

28 Boolean data type 10428.1 Generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10428.2 ALGOL, Java, and C# . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10428.3 Fortran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10528.4 Lisp and Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10528.5 Pascal, Ada, and Haskell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10528.6 C, C++, Objective-C, AWK, Perl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10528.7 Python, Ruby, and JavaScript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10628.8 SQL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10628.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10628.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

29 Boolean domain 10829.1 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10829.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10829.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

30 Boolean expression 11030.1 Boolean operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11030.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11030.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11030.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11030.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

31 Boolean function 11231.1 Boolean functions in applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11231.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11231.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

32 Boolean prime ideal theorem 11432.1 Prime ideal theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11432.2 Boolean prime ideal theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11532.3 Further prime ideal theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11632.4 The ultrafilter lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11632.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11632.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

viii CONTENTS

32.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11732.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

33 Boolean ring 11833.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11833.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11833.3 Relation to Boolean algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11833.4 Properties of Boolean rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11933.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12033.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12033.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

34 Boolean satisfiability problem 12134.1 Basic definitions and terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12134.2 Complexity and restricted versions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

34.2.1 Unrestricted satisfiability (SAT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12234.2.2 3-satisfiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12234.2.3 Exactly-1 3-satisfiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12334.2.4 2-satisfiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12434.2.5 Horn-satisfiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12434.2.6 XOR-satisfiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12534.2.7 Schaefers dichotomy theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

34.3 Extensions of SAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12534.4 Self-reducibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12634.5 Algorithms for solving SAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12634.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12734.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12734.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12734.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

34.9.1 SAT problem format . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12934.9.2 Online SAT solvers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12934.9.3 Offline SAT solvers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12934.9.4 SAT applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13034.9.5 Conferences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13034.9.6 Publications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13034.9.7 Benchmarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13034.9.8 Evaluation of SAT solvers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

35 Boolean-valued function 13135.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13135.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

36 Boolean-valued model 133

CONTENTS ix

36.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13336.2 Interpretation of other formulas and sentences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13336.3 Boolean-valued models of set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13436.4 Relationship to forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

36.4.1 Boolean-valued models and syntactic forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13536.4.2 Boolean-valued models and generic objects over countable transitive models . . . . . . . . . 135

36.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13636.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

37 Booleo 13737.1 The game . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13737.2 Play . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13737.3 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13837.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

38 Canonical normal form 13938.1 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13938.2 Minterms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

38.2.1 Indexing minterms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14038.2.2 Functional equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

38.3 Maxterms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14038.3.1 Indexing maxterms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14038.3.2 Functional equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

38.4 Dualization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14138.5 Non-canonical PoS and SoP forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14138.6 Application example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

38.6.1 Canonical and non-canonical consequences of NOR gates . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14138.6.2 Design trade-offs considered in addition to canonical forms . . . . . . . . . . . . . . . . . 14238.6.3 Top-down vs. bottom-up design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

38.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14338.8 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14338.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14338.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

39 Cantor algebra 14439.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

40 Carleman matrix 14540.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14540.2 Bell matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14640.3 Jabotinsky matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14640.4 Generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14640.5 Matrix properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

x CONTENTS

40.6 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14740.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14840.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

41 Carmichael function 14941.1 Numeric example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14941.2 Carmichaels theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14941.3 Hierarchy of results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15041.4 Properties of the Carmichael function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

41.4.1 Divisibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15041.4.2 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15041.4.3 Primitive m-th roots of unity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15041.4.4 Exponential cycle length . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15041.4.5 Average and typical value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15141.4.6 Lower bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15141.4.7 Small values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15141.4.8 Image of the function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

41.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15241.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15241.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

42 Chaff algorithm 15342.1 Implementations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15342.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15342.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

43 Circuit minimization for Boolean functions 15443.1 Purpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15443.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15443.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15543.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15543.5 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

44 Codomain 15744.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15844.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15944.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15944.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

45 Cohen algebra 16045.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

46 Collapsing algebra 16146.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

CONTENTS xi

46.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

47 Complete Boolean algebra 16247.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16247.2 Properties of complete Boolean algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16347.3 The completion of a Boolean algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16347.4 Free -complete Boolean algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16447.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16447.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

48 Conditioned disjunction 16548.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

49 Conjunctive normal form 16649.1 Examples and Non-Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16649.2 Conversion into CNF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16749.3 First-order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16749.4 Computational complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16749.5 Converting from first-order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16849.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16849.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16949.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16949.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

50 Consensus theorem 17050.1 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17050.2 Consensus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17050.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17050.4 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17150.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17150.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

51 Constant function 17251.1 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17251.2 Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17251.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17451.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

52 Converse implication 17552.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

52.1.1 Truth table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17552.1.2 Venn diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

52.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17552.3 Symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

xii CONTENTS

52.4 Natural language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17552.5 Boolean Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17652.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

53 Converse nonimplication 17753.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

53.1.1 Truth table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17753.1.2 Venn diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

53.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17753.3 Symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17753.4 Natural language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

53.4.1 Grammatical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17853.4.2 Rhetorical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17853.4.3 Colloquial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

53.5 Boolean algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17853.5.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

53.6 Computer science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17953.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17953.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

54 Conway base 13 function 18054.1 The Conway base 13 function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

54.1.1 Purpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18054.1.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18054.1.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

54.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18154.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

55 Correlation (projective geometry) 18255.1 In two dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18255.2 In three dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18255.3 In higher dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18255.4 Existence of correlations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18355.5 Special types of correlations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18355.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

56 Correlation immunity 18456.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18456.2 Results in cryptography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18456.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

57 Crystal Ball function 18557.1 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

CONTENTS xiii

58 DavisPutnam algorithm 18758.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18758.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

59 De Morgans laws 18959.1 Formal notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

59.1.1 Substitution form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19159.1.2 Set theory and Boolean algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19159.1.3 Engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19259.1.4 Text searching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

59.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19259.3 Informal proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

59.3.1 Negation of a disjunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19359.3.2 Negation of a conjunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

59.4 Formal proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19459.5 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19459.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19559.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19659.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

60 Derivative 19760.1 Differentiation and derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

60.1.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19960.1.2 Rigorous definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20060.1.3 Definition over the hyperreals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20060.1.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20160.1.5 Continuity and differentiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20160.1.6 The derivative as a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20160.1.7 Higher derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20360.1.8 Inflection point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

60.2 Notation (details) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20460.2.1 Leibnizs notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20460.2.2 Lagranges notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20560.2.3 Newtons notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20560.2.4 Eulers notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

60.3 Rules of computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20660.3.1 Rules for basic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20660.3.2 Rules for combined functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20760.3.3 Computation example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

60.4 Derivatives in higher dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20860.4.1 Derivatives of vector valued functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20860.4.2 Partial derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

xiv CONTENTS

60.4.3 Directional derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21060.4.4 Total derivative, total differential and Jacobian matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

60.5 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21360.6 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21360.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21460.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21460.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

60.9.1 Print . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21560.9.2 Online books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21560.9.3 Web pages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

61 Derivative algebra (abstract algebra) 21661.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

62 Diffeology 21762.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21762.2 Smooth manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21862.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21862.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

63 Differential coefficient 219

64 General existence theorem of discontinuous maps 22064.1 A linear map from a finite-dimensional space is always continuous . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22064.2 A concrete example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22164.3 A nonconstructive example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22164.4 General existence theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22264.5 Role of the axiom of choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22264.6 Closed operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22264.7 Impact for dual spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22364.8 Beyond normed spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22364.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22364.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

65 Disjunctive normal form 22565.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22665.2 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

66 Domain of a function 22766.1 Formal definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22866.2 Natural domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22866.3 Domain of a partial function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22866.4 Category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22866.5 Real and complex analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

CONTENTS xv

66.6 More examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22966.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22966.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

67 Effective domain 23067.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

68 Elasticity of a function 23168.1 Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23168.2 Estimating point elasticities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23268.3 Semi-elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23268.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23268.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

69 Embedding 23469.1 Topology and geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

69.1.1 General topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23469.1.2 Differential topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23469.1.3 Riemannian geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

69.2 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23569.2.1 Field theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23569.2.2 Universal algebra and model theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

69.3 Order theory and domain theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23669.4 Metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

69.4.1 Normed spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23669.5 Category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23669.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23769.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23769.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23769.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

70 Empty function 23970.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

71 Equiareal map 24071.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

72 Evasive Boolean function 24172.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

72.1.1 An example for a non-evasive boolean function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24172.1.2 A simple example for an evasive boolean function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

72.2 Binary zero-sum games . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24172.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

xvi CONTENTS

73 Exclusive or 24373.1 Truth table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24373.2 Equivalencies, elimination, and introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24373.3 Relation to modern algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24573.4 Exclusive or in English . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24573.5 Alternative symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24673.6 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24673.7 Computer science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

73.7.1 Bitwise operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24773.8 Encodings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24973.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24973.10Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24973.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

74 False (logic) 25074.1 In classical logic and Boolean logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25074.2 False, negation and contradiction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25074.3 Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25074.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25174.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

75 Field of sets 25275.1 Fields of sets in the representation theory of Boolean algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

75.1.1 Stone representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25275.1.2 Separative and compact fields of sets: towards Stone duality . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

75.2 Fields of sets with additional structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25375.2.1 Sigma algebras and measure spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25375.2.2 Topological fields of sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25375.2.3 Preorder fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25475.2.4 Complex algebras and fields of sets on relational structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

75.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25575.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25575.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

76 Formula game 25676.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

77 Free Boolean algebra 25777.1 A simple example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25777.2 Category-theoretic definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25777.3 Topological realization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25877.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25977.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

CONTENTS xvii

78 Function (mathematics) 26178.1 Introduction and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26378.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26478.3 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26578.4 Specifying a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

78.4.1 Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26678.4.2 Formulas and algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26678.4.3 Computability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

78.5 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26778.5.1 Image and preimage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26778.5.2 Injective and surjective functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26878.5.3 Function composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26878.5.4 Identity function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27078.5.5 Restrictions and extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27078.5.6 Inverse function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

78.6 Types of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27078.6.1 Real-valued functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27178.6.2 Further types of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

78.7 Function spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27178.7.1 Currying . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

78.8 Variants and generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27278.8.1 Alternative definition of a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27278.8.2 Partial and multi-valued functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27278.8.3 Functions with multiple inputs and outputs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27378.8.4 Functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

78.9 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27478.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27478.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27478.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27578.13Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27578.14External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

79 Function application 27779.1 Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27779.2 As an operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27779.3 Other instances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27879.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

80 Function composition 27980.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27980.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28080.3 Composition monoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

xviii CONTENTS

80.4 Functional powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28080.5 Alternative notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28380.6 Composition operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28380.7 In programming languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28380.8 Multivariate functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28380.9 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28480.10Typography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28480.11See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28480.12Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28580.13References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28580.14External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

81 Functional completeness 28681.1 Formal definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28681.2 Informal definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28681.3 Characterization of functional completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28781.4 Minimal functionally complete operator sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28781.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28881.6 In other domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28881.7 Set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28881.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28881.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

82 Functional decomposition 29082.1 Basic mathematical definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

82.1.1 Example: Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29082.1.2 Example: Decomposition of continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

82.2 Motivation for decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29182.3 Philosophical considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

82.3.1 Reductionist tradition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29182.3.2 Characteristics of hierarchy and modularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29282.3.3 Inevitability of hierarchy and modularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

82.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29282.4.1 Knowledge representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29382.4.2 Database theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29382.4.3 Machine learning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29382.4.4 Software architecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29382.4.5 Signal processing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29482.4.6 Systems engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

82.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29482.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29582.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

CONTENTS xix

83 General existence theorem of discontinuous maps 29883.1 A linear map from a finite-dimensional space is always continuous . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29883.2 A concrete example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29983.3 A nonconstructive example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29983.4 General existence theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30083.5 Role of the axiom of choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30083.6 Closed operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30083.7 Impact for dual spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30183.8 Beyond normed spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30183.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30183.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

84 Generalized Ozaki cost function 30384.1 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30384.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

85 Geometric transformation 30485.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30585.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30585.3 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

86 Glide reflection 30686.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30686.2 Glide reflection in cellular automata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30786.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30886.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30886.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

87 GoodmanNguyenvan Fraassen algebra 30987.1 Construction of the algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30987.2 Definition of the extended probability function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30987.3 P(A B) = P(B|A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31087.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

88 Graph of a function 31188.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

88.1.1 Functions of one variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31388.1.2 Functions of two variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31488.1.3 Normal to a graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

88.2 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31588.3 Tools for plotting function graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

88.3.1 Hardware . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31588.3.2 Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

xx CONTENTS

88.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31588.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31588.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

89 Head normal form 31689.1 Beta reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31689.2 Reduction strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31689.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31789.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

90 Herbrandization 31890.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31890.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

91 Herbrandization 32091.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32091.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

92 High-dimensional model representation 32292.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32292.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

93 History of the function concept 32393.1 Functions before the 17th century . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32393.2 The notion of function in analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

93.2.1 Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32393.2.2 Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32493.2.3 Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32493.2.4 Lobachevsky and Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32493.2.5 Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32593.2.6 Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

93.3 The logicians function prior to 1850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32693.4 The logicians function 18501950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

93.4.1 George Booles The Laws of Thought 1854; John Venns Symbolic Logic 1881 . . . . . . . . 32693.4.2 Freges Begriffsschrift 1879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32793.4.3 Peano 1889 The Principles of Arithmetic 1889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32893.4.4 Bertrand Russells The Principles of Mathematics 1903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32893.4.5 Evolution of Russells notion of function 19081913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

93.5 The formalists function": David Hilberts axiomatization of mathematics (19041927) . . . . . . . 32993.6 Development of the set-theoretic definition of function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

93.6.1 Russells paradox 1902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33093.6.2 Zermelos set theory (1908) modified by Skolem (1922) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33093.6.3 The WienerHausdorffKuratowski ordered pair definition 19141921 . . . . . . . . . . 331

CONTENTS xxi

93.6.4 Schnfinkels notion of function as a many-one correspondence 1924 . . . . . . . . . . 33193.6.5 Von Neumanns set theory 1925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33293.6.6 Bourbaki 1939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

93.7 Since 1950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33293.7.1 Notion of function in contemporary set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33293.7.2 Relational form of a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

93.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33393.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33793.10Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33993.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

94 Homeomorphism 34094.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34094.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

94.2.1 Non-examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34194.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34294.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34294.5 Informal discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34394.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34394.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34394.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

95 Homography (computer vision) 34495.1 3D plane to plane equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34495.2 Mathematical definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34695.3 Affine homography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34695.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34695.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34795.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

96 Homomorphic secret sharing 34896.1 Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34896.2 Example: decentralized voting protocol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

96.2.1 Features . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34996.2.2 Vulnerabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

96.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35096.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

97 Horizontal translation 35197.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35197.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

98 Horn clause 352

xxii CONTENTS

98.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35298.2 Logic programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35298.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35398.4 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

99 HubbardStratonovich transformation 35599.1 Calculation of resulting field theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35599.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

100Hypercomplex analysis 356100.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356100.2External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

101Identity function 358101.1Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359101.2Algebraic property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359101.3Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359101.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359101.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

102Material equivalence 360102.1Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360102.2Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

102.2.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360102.2.2 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361102.2.3 Origin of iff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

102.3Distinction from if and only if . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361102.4More general usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362102.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362102.6Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362102.7External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

103Implicant 363103.1Prime implicant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363103.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364103.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364103.4External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

104Implication graph 365104.1Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366104.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

105Inclusion (Boolean algebra) 367105.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

CONTENTS xxiii

106Inclusion map 368106.1Applications of inclusion maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369106.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369106.3Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369106.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

107Indicative conditional 370107.1Distinctions between the material conditional and the indicative conditional . . . . . . . . . . . . . 370107.2Psychology and indicative conditionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370107.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370107.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371107.5Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

108Injective function 372108.1Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373108.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374108.3Injections can be undone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377108.4Injections may be made invertible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377108.5Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377108.6Proving that functions are injective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378108.7See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378108.8Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379108.9References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379108.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

109Integral 380109.1History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

109.1.1 Pre-calculus integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381109.1.2 Newton and Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382109.1.3 Formalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382109.1.4 Historical notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

109.2Terminology and notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382109.3Interpretations of the integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383109.4Formal definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

109.4.1 Riemann integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386109.4.2 Lebesgue integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387109.4.3 Other integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

109.5Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389109.5.1 Linearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389109.5.2 Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390109.5.3 Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

109.6Fundamental theorem of calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

xxiv CONTENTS

109.6.1 Statements of theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392109.7Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

109.7.1 Improper integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .