Boletín Semestral Intg N°0 3 - ARITMETICA
Transcript of Boletín Semestral Intg N°0 3 - ARITMETICA
SOLUCIONARIO DE LA PRACTICA DIRIGIDA Ciclo Semianual Integral
1. ¿Cuántas cifras 5 como máximo hay que colocar a la derecha del número
hay que colocar a la derecha del número 2134 para que el resultado sea múltiplo de 9, sabiendo además, que dicha cantidad es menor que 87? a) 70 b) 75 c) 79 d) 85 e) 90 Resolución:
x cifras
213455...5 9 donde x < 87
Sabemos que para que un numeral sea múltiplo de 9 se aplica el algoritmo de la suma de cifras, debiendo ser esta múltiplo de 9; asi:
2 1 3 4 5 9x luego
10 5 9x
9 1 5 9x
9 5 9 1x
9 5 9 1 (36)x
9 9 7x
De ahí que: 9 7x
Por tanto el máximo valor que toma x es 79
Rpta. 79
2. Si: 8mnp y
o
( 2) 35m p pm . Halle el máximo valor de m+n+p
a) 18 b) 12 c) 16 d) 4 e) 21 Resolución:
Para que el numeral ( 2)m p pm sea múltiplo de 35, debe ser múltiplo
de 5 y de 7, entonces el valor de m debe ser 5 ó 0, pero m no puede ser 0 porque es cifra de primer lugar en ambos numerales, por lo que m=5.
Por otro lado, para que el numeral mnp sea múltiplo de 8, debe cumplir
que: o
4 2 8m n p , entonces:
o
20 2 8n p
o o
8 4 2 8n p
o o
8 2 8 4n p
o
2 8 4n p ……… (1)
Por otro lado, para que sea múltiplo de 7, debe cumplirse que:
o
3 2( 2) 7m p p m
o
5 4 7p
o
5 7 4p
o
5 7 4 (14)p
o
7 2p
Por lo que p tiene 2 valores 2 ó 9, pero no puede ser 9 porque (p+2) debe ser menor que 9, por lo que p=2 Al retomar la ecuación (1) y reemplazar el valor de p, se tiene:
o
2 2 8 4n o
2 8 6n o
4 3n
Por tanto n puede tomar los valores 1, 5, 7 Pero si piden el máximo valor, entonces n=7
Finalmente: 5 7 2 14m n p
Rpta. 14
3. Si
o
3 99 31a ba , ¿Cuánto se debe sumar como mínimo al número
abab para obtener un múltiplo de 7?
a) 1 b) 6 c) 3 d) 4 e) 5 Resolución: Si el numeral debe ser múltiplo de 99, entonces debe ser múltiplo de 9 y de 11, por lo que:
o
2 3 9 31a b o
2 9 31 3a b o
2 9 28a b o
2 9 1a b …….(1)
o
3 11 31a b a o
11 31 3a b a o o
11 6 11 5b
5b
Retomando entonces el valor de b para reemplazarlo en la ecuación (1), tenemos:
o
2 5 9 1a o
2 9 4a o
9 2a
7a
Entonces: 7575abab
Por lo que: o
7575 7x o o
7 1 7x
6x
Rpta. 6
4. Sea N abc un número de 3 cifras, tal que: 0
7abc ,
0
11cba y 0
9cab . Halle la suma de 3c+2ª+b.
a) 24 b) 26 c) 28 d) 30 e) 32 Resolución: Debemos tener en cuenta que tanto para múltiplos de 11 como para múltiplos de 9 se puede intercambiar el orden de las cifras sin alterar el módulo correspondiente, pero respetando ciertas condiciones:
Para múltiplos de 11, se pueden intercambiar las cifras que poseen el mismo signo, es decir solo las cifras afectadas por el signo positivo o solo las cifras para el signo negativo.
Para múltiplos de 9 no hay restricción alguna ya que al final solo importa la suma de las cifras.
Por lo que al final, se obtiene:
o
o
7
11
9o
abc
Así, al final se tiene que:
o
693abc
Por tanto, el único valor que puede tomar el numeral es 693, por lo que:
6a , 9b y 3c
Así: 3 2 30c a b
Rpta. 30
5. Si: 12
5 ... 9 4 4 8o o
cifras
aaaa a y b bb , halle b a
A) 8 B) 3 C) 2 D) 4 E) 1 Resolución:
CLAVE: D
6. Cuántos números de la forma 5ab son PESI con 24?
A) 60 B) 45 C) 30 D) 33 E) 32 Resolución:
CLAVE: D
5 11 9 4o
a
Criterio de 9
→ (9 2) 9 1o o
a
2 9 1
4
o
a →→
Criterio de 8
16 2 8o
b b
4 2 1
84
o
b bb
3 8
8
o
b →
Luego: 8 4 4b a
→
→
Por conjuntos:
Debemos encontrar la cantidad de
numerales que no son ni
35 24 2 .3ab PESI
3o
2o
5ab
34 16 17
3o
2o
6o x
No son ; 3o
2o
100
Luego:
50+17+x=100
X= 33
7. Si el número 42000....0n cifras
tiene 32 divisores múltiplos de 6, halle el
valor de n. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 Resolución:
CLAVE: C
242000....0 42.10n
ncifras
M
→
1 22 .3.5 .7 .......( . )n nM D C
2 23.2(2 .5 .7)n n
R
M
6
( ) ( ) 32oCD M CD R
( 1)( 1).2 32
5
n n
n
8. Si la diferencia de 18n con 18n-2 tiene 24 divisores, ¿cuántos de los divisores de 15n. 8n son compuestos? A) 156 B) 48 C) 72 D) 123 E) 160 Resolución:
CLAVE: A
9. Si la suma de los divisores positivos del número es 240, halle el valor de “n”.
A) 2 B) 4 C) 5
D) 1 E) 3
Resolución:
Si tenemos en cuenta que:
218 18n nM
Luego:
→
( ) 24
( 1)(2 3)2.2 24
( 1)(2 3) 6 3
CD M
n n
n n n
2 2 2 2 4
.
18 (18 1) 2 .3 .17.19n n n
D C
M
3 3 3 9 315 .18 2 .3 .5
( ) ( ) ( )
( ) 4 10 4 4
( ) 156
comp simples
comp
comp
N
piden
CD N CD N CD N
CD N
CD N
→
2406.13
13
24015
15
13
13
240
1
111
n
N
n
N
N
SD
SD
SD
Entonces: 3n
10. El número tiene tres divisores simples y la suma de sus
divisores pares es 372. Calcule A) 6 B) 7 C) 8 D) 5 E) 11
Resolución:
1
1
1 5 2
5 1
0 2 5 2 .5 2 2 .5
372
2 1 5 10 2 372
2 1 5 1
2 1 5 1 31 24 2 1 5 1
: 5 ; 1
tan : 0 2 5 1
n m n m
genera divisores pares
n m
n m
ab ab
luego la suma de divisores pares por dato
SDpares ab
comparado n m
por lo to ab
60
: 1 6 7lo quenos pide a b
CLAVE: B
11. Si , calcule la cantidad de los posibles valores
que toma A) 20 B) 26 C) 24
D) 22 E) 28
Resolución:
De los datos nos podemos dar cuenta que:
PESIsonqqabc
,,20:)(14
)20(14280
Entonces:
00
.64
52
71;...;11;10;9;8:
...4,71...14,7
100014100
q
q
q
valores
valorestomaq .24..
12. Al calcular el MCD de y por el algoritmo de Euclides, se obtuvieron los cocientes sucesivos b; b; 7 y 2, donde b es el MCD
de dichos números. Calcule el valor de A) 11 B) 12 C) 10
D) 14 E) 13
Resolución:
Si bnmabcdMCD )5;(
5
52:
5215
0
55
2
00
b
bentonces
nmbb
Reemplazando:
2000
3855
abcd
nm
13 nma
b b 7 2
bbb 15215 23 bb 215 2 b15 b2 b
b15 b2 b 0
13. ¿Cuántos pares de números naturales cumplen que la suma de
ellos sea 450 y su máximo común divisor sea 15? a) 7 b) 8 c) 5 d) 4 e) 6
Resolucion:
Piden: la cantidad de pares de numeros
Sean A y B
Si 𝑀𝐶𝐷 𝐴;𝐵 = 15 entonces
𝐴 = 15𝑝
𝐵 = 15𝑞 donde 𝑝 𝑦 𝑞 son PESI
1 29
3 27
7 23
11 19
13 17
5 pares
Ademas
𝐴 + 𝐵 = 450
15 𝑝 + 𝑞 = 450
Por lo tanto hay 5 pares
Rpta: C
14. Los números 2 ∙ 42𝑛 y 35 ∙ 15𝑛 tienen 3 divisores comunes múltiplos
de 7. ¿Cuántos divisores tiene el MCM de dichos números.
a) 64 b) 72 c) 84 d) 100 e) 144
Resolucion:
Piden: 𝐶𝐷(𝑀𝐶𝑀)
Si 𝐴 = 2𝑥42𝑛 = 2𝑛+1𝑥3𝑛𝑥7𝑛
𝐵 = 35𝑥15𝑛 = 3𝑛𝑥5𝑛+1𝑥7
𝑀𝐶𝐷 𝐴;𝐵 = 3𝑛𝑥7 = 7(3𝑛)
𝐶𝐷(𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛𝑒𝑠 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 7) = 𝐶𝐷(𝑀𝐶𝑑 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 7) = 𝑛 + 1 = 3 → 𝑛 = 2
Luego:
𝐴 = 23𝑥32𝑥72
𝐵 = 32𝑥53𝑥7
𝑀𝐶𝑀 𝐴;𝐵 = 23𝑥32𝑥53𝑥72
Entonces
𝐶𝐷(𝑀𝐶𝑀) = 4𝑥3𝑥4𝑥3 = 144 Rpta: E
15. Se quiere dividir en parcelas cuadradas iguales un terreno de forma rectangular, de lados 1288m y 952m, sin que sobre terreno. Luego, se desea cercarlas, de tal manera que exista un poste en cada esquina de las parcelas. Determine la menor cantidad de parcelas y la menor cantidad de postes que se necesitan para cercar dichas parcelas. a) 390 y 432 b) 392 y 431 c) 392 y 432 d) 391 y 432 e)
391 y 431
Resolucion:
Piden: menor cantidad de parcelas y postes
𝐿 = 𝑀𝐶𝐷 952; 1288 = 56 Luego
(𝑁° 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠) =𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 =
1288𝑥952
56𝑥56= 391
𝑁° 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑠 = 1288
56+ 1
952
56+ 1 = 432
Rpta: E
L L
952m
1288m
16. Se cumple que
0. 58𝑎𝑎𝑎 … 𝑥0. 5𝑎𝑎𝑎 … = 0.𝑎𝑏𝑏𝑏…
Calcular 𝑎 + 𝑏, ademas 𝑎 ≠ 2
a) 8 b) 7 c) 6 d) 4 e) 5
Resolucion:
Piden: 𝑎 + 𝑏
0. 58𝑎𝑎𝑎 … 𝑥0. 5𝑎𝑎𝑎 … = 0.𝑎𝑏𝑏𝑏…
0.58𝑎 𝑥0.5𝑎 = 0. 𝑎𝑏
58𝑎 − 58
900
5𝑎 − 5
90 =
𝑎𝑏 − 𝑎
90
522 + 𝑎 45 + 𝑎 = 900 9𝑎 + 𝑏 = 9
9 + 𝑎 9 + 𝑎 = 9 → 𝑎2 = 9 → 𝑎 = 3 𝑦 𝑏 = 1
Por lo tanto 𝑎 + 𝑏 = 4
Rpta: D
17. Reduzca la siguiente expresión0,58333..... 0,481481....
0,333... 0,9444...M
de
cómo respuesta la suma de los términos de la fracción irreductible que se obtiene al reducir M A) 10 B) 12 C) 15 D) 11 E) 13
Resolución:
583 58 481
0,58333..... 0, 481481.... 900 9993 94 90,333... 0,9444...
9 90
525 481 7 13 115
900 999 12 27 1083 85 1 17 23
9 90 3 18 18
5
6
M
M
M fraccion irreductible
Nos piden la suma de sus términos de M : 5 + 6 = 11 CLAVE: D
18. Si a una fracción irreductible se le suma su inversa, se obtiene el
número decimal 2,35 . Calcule la suma de los términos de la
fracción. A) 17 B) 11 C) 15 D) 13 E) 14 Resolución:
Seaa
fb
dicha fracción irreductible , nos piden a b
Por condición:
2 2
2 2
235 23 2122,35
90 90
106
45
106 45 9 ; 5
tan : 14
a b
b a
a b
ab
ambas son irreductibles
a b y ab entonces a b
por lo to a b
CLAVE: E 19. Se cumple que:
Calcule la suma de valores de a b A) 76 B) 84 C) 62 D) 50 E) 56 Resolución:
Nos piden la suma de valores de a b del dato , se tiene:
CLAVE: 84
3,418
5 11
a b
→ 11 5 3418 34 188
55 990 55
11 5 188
3 31 34
13 9 22
8 20 28
( ) 34 22 28 84
a b
a b
a b
a b
a b
suma devalores dea b
→
20. Se cumple que:
Calcular: a b c x
A) 17 B) 18 C) 16 D) 15 E) 14 Resolución: Del dato se divide 81 por 47, se obtiene: 81
1,72... 1; 7 247
a b y c
Reemplazando los valores de a , b y c en el dato inicial.
Finalmente lo que nos pide 1 + 7 + 2 + 8 = 18
21. En una reunión el 40% de los asistentes son mujeres. Luego de cierto tiempo , se retiran 20 mujeres y después llegan 12 parejas , con lo que ahora el número de varones representan el 75% de los presentes. Al inicio , ¿Cuál era la diferencia entre el número de varones y mujeres? A) 144 B) 72 C) 36 D) 12 E) 120
81, ....
47a bc x
.......9 .......7
81 172... 11,72...
47 999...9
81 (99...9) 47 (172... 1)
: 172... 1 ....7
8
xx
x
como x
x
Resolución: Por dato:
Al final por dato:
CLAVE: D
22. Un comerciante compra cierta cantidad de mercadería y vende el 40% de ella ganando el 10% ; el 35% del resto, perdiendo el 20%. ¿Cuál debe ser la ganancia en la venta de la mercadería restante para obtener una ganancia total de 5,65%? A) 12% B) 15% C) 12,5% D) 10% E) 10,25% Resolución:
N° varones
N° mujeres
N° total
iniciose van 20
mujeres
llegan 12
parejas
2k
3k
5k
2k-20 2k-8
3k 3k+12
5k+4
:
N°varones = 75% N°total
3k+12 3(5k+4)4
despejando : k = 12
porlotantoloquenospiden 3k - 2k=k= 12
CLAVE: B
23. Un comerciante , del total de artículos que tiene, vende el 30% más 10 artículos ; en una segunda venta, vende el 40% del resto menos 5 artículos ; y luego de esto , todavía le esta quedando por vender 83 artículos . ¿Qué tanto por ciento de sus artículos ha vendido? A) 55,8% B) 58,5% C) 41,5% D) 44,2% E) 48,5% Resolución:
1ra venta
Consideremos
Costo Total: S/ 100
Por dato:
Costo resto: S/ 60
2da venta 3ra venta
S/ 40 S/ 21 S/ 39
G1 = 10%(40)
= 4P=20%(21)
= 4,2G2= x%(39)
Gtotal = G1 + G2 – P = 5,65%(costo total)
↑ ↑ ↑ ↑
4 X%39 4,2 100
X%39= 5,85 X% = 15%
↑
CLAVE: B
24. Si la base de un triangulo rectángulo disminuye en x% , ¿En que tanto por ciento deberá aumentar su altura para que se duplique su área?
A) 100
100100
x
x
B) 100
50100
x
x
C) 100
100
x
x
D) 100100
100
x
x
E) 2 100
100
x
x
N° total
Consideremos:
º
% 100%º
N articulos
Pocentajede vendidosx
articulos vendidos N total
articulos
↑
100k
30k + 10 70k -10
(28k – 4)- 5 (42k – 6)+ 5
Dato:
(42k -6) + 5 = 83 → k = 2
N° articulos
que quedan
N° articulos
vendidos = 83 = 117
N° total = 200
117% 100% 58,5%
200x
Por lo tanto:
Resolución:
CLAVE: D
25. Un supermercado siempre ofrecía descuentos sucesivos del 20% y 15% en la venta de sus productos, pero decidió efectuar un único
Dato:
Inicio
b (100-x)%b
h (100+n)%h
Final
12
b hA
2A
2 1
2
2
100 % 100 %2
2 2
100 1002
100 100
:
100 1002 100100
100 100
A A
x b n h b h
x n
despejando
xn
x x
descuento equivalente a los que ofrecía. ¿Cuál es el valor de este descuento? (UNFV2007)
A) 22,5% B) 17;5% C) 32% D) 28% E) 35%
Resolución:
CLAVE: C
Descuento sucesivo del 20% y 15%
15%(80%)
Final 68%
-12% -20%
Queda 80% Inicio 100%
Descuento
único equivale = 32%