Bölüm 4 Sürekli Rassal Değişkenler
description
Transcript of Bölüm 4 Sürekli Rassal Değişkenler
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Olasılık Dağılımları
Sürekli Olasılık
Dağılımları
Binom
Poisson
Hipergeometrik
Olasılık Dağılımları
Kesikli Olasılık
Dağılımları
Tekdüze
Normal
Üstel
Bölüm. 3 Bölüm. 4
Bölüm 4-2
Sürekli Olasılık Dağılımları
Bir sürekli rassal değişken bir değer aralığındaki her hangi bir değeri göz önüne alan değişkendir bir nesnenin kalınlığı Bir işi tamamlamak için gerekli olan süre Bir çözeltinin sıcaklığı cm cinsinden yükseklik
Bunlar, ölçümün hassasiyetine bağlı olarak herhangi bir değeri alabilmektedirler.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-3
5.1
Birikimli Dağılım Fonksiyonu
Sürekli bir rassal X değişkeni için Birikimli Dağılım Fonksiyonu olarak F(x), X’in x’in her hangi bir değerini aşmadığını ifade etmektedir
a ve b, a<b olmak üzere X’in iki muhtemel değeri olsun. X’in a ve b arasında yer alma olasılığı aşağıdaki gibidir
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
x)P(XF(x)
F(a)F(b)b)XP(a
Bölüm 4-4
Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
Rassal değişken olan X’in Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu olarak f(x), aşağıdaki özelliklere sahiptir:
1. f(x) > 0 (x’in tüm değerleri için)2. X’in tüm değerleri için f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonu
altında kalan alanı 1,0’e eşittir.3. X’in iki değer arasında yer alma olasılığı, bu iki değer
arasındaki yoğunluk fonksiyonu altında kalan alandır
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-5
Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
Rassal değişken olan X’in Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu olarak f(x), aşağıdaki özelliklere sahiptir:
4. F(x0) birikimli olasılık fonksiyonu , minimum x’den x0’a kadar olan f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonu altında kalan alandır
xm rassal x değişkeninin minimum değeridirYrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
0
m
x
x0 f(x)dx)F(x
Bölüm 4-6
(devam)
Alan olarak Olasılık
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
a b x
f(x) P a x b( )≤
Eğri altındaki taralı alan X’in a ile b arasında yer alma olasılığıdır
≤P a x b( )<<=
(Her hangi bireysel değerin olasılığının sıfır olduğuna dikkat ediniz)
Bölüm 4-7
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Tekdüze Dağılım
Olasılık Dağılımı
Tekdüze
Normal
Üstel
Sürekli Olasılık Dağılımı
Bölüm 4-8
Tek düze dağılım
Tekdüze dağılım bir rassal değişkenin tüm muhtemel sonuçları için eşit olasılıklara sahip olduğu bir olasılık dağılımıdır.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
xmin xmaxx
f(x)Tekdüze yoğunluk fonksiyonu altında kalan toplam alan 1.0’dir.
Bölüm 4-9
Tek düze dağılım
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Sürekli Tekdüze Dağılım:
f(x) = yoğunluk fonksiyonunun herhangi bir x’deki değeria = x’in minimum değerib = x’in maksimum değeri
(devam)
1 eğer a x b iseb a
0 aksi halde
f(x) =
Bölüm 4-10
Tekdüze Dağılımın Özellikleri
Tekdüze dağılımın ortalaması
Varyans
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
2baμ
12a)-(bσ
22
Bölüm 4-11
Tekdüze Dağılım-Örnek
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Örnek: 2 ≤ x ≤ 6 aralığı boyunca tekdüze olasılık dağılımı :
2 6
0,25
f(x) = = 0,25 (2 ≤ x ≤ 6 için)6 - 21
x
f(x)4
262
2baμ
1.33312
2)-(612
a)-(bσ22
2
Bölüm 4-12
Sürekli Rassal Değişkenler için Beklenen Değerler
X’in μX olarak gösterilen ortalaması X’in beklenen değeri olarak tanımlanmaktadır
σX2 olarak gösterilen X’in varyansı (X - μX)2 rassal
değişkenin ortalamadan sapmalarının karelerinin beklenen değeri olarak tanımlanmaktadır
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
E(X)μX
])μE[(Xσ 2X
2X
Bölüm 4-13
Değişkenlerin Doğrusal Fonksiyonları
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
XW bμabX)E(aμ
2X
22W σbbX)Var(aσ
XW σbσ Bölüm 4-14
X’in ortalamasının μX ve varyansının σX2 olduğu
ve a ve b’lerin sabit olduğu W = a + bX doğrusal fonksiyonu için
O halde W’nun ortalaması aşağıdaki gibidir
Varyansı aşağıdaki gibidir
W’nun Standart sapması aşağıdaki gibidir
Değişkenlerin Doğrusal Fonksiyonları
Daha önceki sonuçların özel bir hali de standardize rassal değişkendir
burada ortalama 0 ve varyans 1’e eşittir.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
(devam)
X
X
σμXZ
Bölüm 4-15
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Normal Dağılım
Sürekli Olasılık
Dağılımları
Olasılık Dağılımları
Tekdüze
Normal
Üstel
Bölüm 4-16
5.3
‘Çan şeklinde’ Simetrik Ortalama, Ortanca ve Mod eşitttirKonum ortalama μ tarafından belirlenir, Yayılım standart sapma, σ tarafından belirlenir.
Rassal değişken+ ile arasında arasında yer alan sonsuz bir değer aralığına sahiptir
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Ortalama = Ortanca = Mod
x
f(x)
μ
σ
(devam)
Bölüm 4-17
Normal Dağılım
Normal dağılım geniş bir aralıktaki rassal değişkenleri yakın olarak yakınsar
Örneklem ortalamalarının dağılımları “büyük” bir örneklem verildiğinde bir normal dağılıma yakınsar
Olasılıkların hesabı doğrudan ve kolay bir şekilde gerçekleştirilir
Normal olasılık dağılımı bir dizi uygulama için iyi iş kararlarına yönlendirmektedir
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
(devam)
Bölüm 4-18
Normal Dağılım
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
μ ve σ, parametrelerini değiştirerek, farklı normal dağılımlar elde ederiz
Pek çok Normal Dağılım
Bölüm 4-19
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Normal Dağılımın Şekli
x
f(x)
μ
σ
μ’yü değiştirmek dağılımı sağa veya sola kaydırır.
σ’yı değiştirmek yayılımı artırır veya azaltır.
Ortalama μ ve varyans σ verildiğinde, normal dağılımı aşağıdaki gösterimle tanımlamaktayız
)σN(μ~X 2,
Bölüm 4-20
Normal Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
Normal olasılık yoğunluk fonksiyonun formülü aşağıdaki gibidir
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
e = 2,71828’e yaklaşan matematiksel sabitπ = 3,14159’ye yaklaşan matematiksel sabit μ = popülasyon ortalamasıσ = popülasyon standart sapmasıx = sürekli değişkenin < x < arasındaki herhangi bir değeri
22 /2σμ)(xe2π1f(x)
Bölüm 4-21
Birikimli Normal Dağılım
Ortalaması μ ve varyansı σ2 olan normal rassal bir X değişkeni için yani, X~N(μ, σ2), birikimli dağılım fonksiyonu aşağıdaki gibidir
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
)xP(X)F(x 00
x0 x0
)xP(X 0
f(x)
Bölüm 4-22
Normal Olasılıkların Bulunması
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
xbμa
Bir değer aralığı için olasılık eğri altında kalan ile ölçülmektedir.
F(a)F(b)b)XP(a
Bölüm 4-23
Normal Olasılıkların Bulunması
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
xbμa
xbμa
xbμa
(devam)
F(a)F(b)b)XP(a
a)P(XF(a)
b)P(XF(b)
Bölüm 4-24
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Standardize Normal Herhangi bir normal dağılım (herhangi bir ortalama
ve varyans değerine sahip olan) ortalaması 0 ve varyansı 1 olan standardize normal dağılıma (Z) dönüştürülebilmektedir
X’in ortalamasını çıkararak ve standart sapmasına bölerek X birimlerin Z birimlerine dönüştürülmesi gerekmektedir.
1)N(0~Z ,
σμXZ
Z
f(Z)
0
1
Bölüm 4-25
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Örnek
Eğer X ortalaması 100 ve standart sapması 50 olacak şekilde normal olarak dağılıyorsa, X = 200 için Z değeri;
Buradan X = 200’ün 100 2 standart sapma üzerinde (50 birimlik 2 kademe) yer aldığı görülmektedir
X μ 200 100Z 2,0σ 50
Bölüm 4-26
X ve Z birimlerin karşılaştırılması
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Z100
2,00200 X
Dağılımın aynı olduğuna, sadece ölçeğin değiştiğine dikkat ediniz. Problemi orijinal birimlerinde (X) ifade edebileceğimiz gibi standardize birimlerinde de (Z) ifade edebiliriz.
(μ = 100, σ = 50)
( μ = 0 , σ = 1)
Bölüm 4-27
Normal Olasılıkların Bulunması
σμaF
σμbF
σμbZ
σμaPb)XP(a
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
a b x
f(x)
σμb
σμa Z
µ
0
Bölüm 4-28
Eğri Altında Kalan Alan Olarak Olasılık
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
f(X)
Xμ
0.50.5
Eğri altında kalan toplam alan 1,0’dir ve eğri simetriktir, o zaman hem ortalamadan küçük olan hem de ortalamadan büyük olan kısım toplam alanın yarısıdır
P( X ) 1,0
P(μ X ) 0,5 P( X μ) 0,5
Bölüm 4-29
z-Tabloları İstatistik kitaplarında Standardize Normal Tablo
birikimli (kümülatif) normal dağılım fonksiyonu değerlerini göstermektedir
Verilen bir Z-değeri için, tablo F(a)’yı göstermektedir. Verilen bir Z-değeri için tablo F(a) değerini göstermektedir (eksi sonsuzdan a’ya kadar olan kısımdaki eğri altında kalan alandır)
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Z0 a
a)P(Z F(a)
Bölüm 4-30
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Standardize Normal Tablo
Z0 2,00
0,9772Örnek: P(Z < 2,00) = 0,9772
İstatistik kitaplarındaki z-tablosu herhangi bir a değeri için F(a) olasılığını vermektedir
Bölüm 4-31
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Z0-2,00
Example: P(Z < -2,00) = 1 – 0,9772 = 0,0228
Negatif Z-değerleri için ihtiyaç duyulan olasılığı bulmak üzere dağılımın simetrik olduğu olgusundan faydalanınız:
Z0 2,00
0,9772
0,0228
0,97720,0228
(devam)
Bölüm 4-32
Standardize Normal Tablo
Olasılıkları Bulmak için İzlenen Genel Prosedürler
Problem için normal eğriyi X için çiziniz.
X-değerlerini Z-değerlerine dönüştürünüz.
Birikimli (Kümülatif) Normal Tabloyu kullanınız.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
X normal olarak dağıldığında P(a < X < b) ‘yi bulmak için:
Bölüm 4-33
Normal Olasılıkların Bulunması
X’in ortalama değeri 8,0 ve standart sapması 5,0 olacak şekilde normal dağıldığını varsayınız
(X < 8,6)’yı bulunuz
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
X
8,68,0
Bölüm 4-34
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
X’in ortalama değeri 8,0 ve standart sapması 5,0 olacak şekilde normal dağıldığını varsayınız. P(X < 8,6)’yı bulunuz
Z0,12 0X8,6 8
μ = 8 σ = 10
μ = 0σ = 1
(devam)
X μ 8,6 8,0Z 0,12σ 5,0
P(X < 8,6) P(Z < 0,12)
Bölüm 4-35
Normal Olasılıkların Bulunması
Çözüm: P(Z < 0,12)’nin bulunması
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Z
0,12
z F(z)
.10 .5398
.11 .5438
.12 .5478
.13 .5517
F(0,12) = 0,5478
Standardize Normal Olasılık Tablosu (Bir kısmı)
0.00
= P(Z < 0,12)P(X < 8,6)
Bölüm 4-36
Üst Kuyruk Olasılıkları
X’in ortalama değeri 8,0 ve standart sapması 5,0 olacak şekilde normal dağıldığını varsayınız.
Şimdi P(X > 8,6)’yi bulunuz
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
X
8,68,0
Bölüm 4-37
Üst Kuyruk Olasılıkları Şimdi P(X > 8.6)’yi bulunuz…
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
(devam)
Z
0,12 0
Z
0,12
0,5478
0
1,000 1,0 – 0,5478 = 0,4522
P(X > 8,6) = P(Z > 0,12) = 1,0 - P(Z ≤ 0,12)
= 1,0 – 0,5478 = 0,4522
Bölüm 4-38
Bilinen bir Olasılık için X’in değerinin bulunması
Bilinen bir Olasılık için X’in değerinin bulunmasında izlenen adımlar:1. Bilinen olasılık için Z değerini bulunuz2. Aşağıdaki formülü kullanarak X’e dönüştürünüz:
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
ZσμX
Bölüm 4-39
Bilinen bir Olasılık için X’in değerinin bulunması
Örnek: X’in 8,0 ortalama ve 5,0 standart sapma değeri
ile normal dağıldığını varsayınız. Şimdi bu X’in altında kalan ve tüm değerlerin
%20’sini oluşturan X değerini bulunuz.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
X? 8,0
0,2000
Z? 0
(devam)
Bölüm 4-40
Alt Kuyruktaki %20 için Z değerinin bulunması
Alt kuyruktaki %20’lik alan -0.84’lük bir Z değeri ile uyumludur
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Standardize Normal Olasılık Tablosu (Bir kısmı)
X? 8,0
0,20
Z-0,84 0
1. Bilinen olasılık için Z değerinin bulunması
z F(z)
.82 .7939
.83 .7967
.84 .7995
.85 .8023
0,80
Bölüm 4-41
X değerinin bulunması2. X birimlere aşağıdaki formülü kullanarak dönüştürünüz:
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
8 0 0 84 5 03 80
X μ Zσ, ( , ) ,,
O halde ortalaması 8,0 ve standart sapması 5,0 olan bir dağılımın değerlerinin %20’si 3,80’den daha düşüktür
Bölüm 4-42
Normalliğin Değerlendirilmesi
Sürekli rassal değişkenlerin hepsi normal dağılım sergilemezler
Verilerin ne kadar bir normal dağılıma yaklaştığını değerlendirmek önemlidir
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-43
Normal Olasılık Grafiği Normal olasılık grafiği
Verileri en düşükten en yüksek değere doğru sıralayınız
Tüm değerler için birikimli (kümülatif) normal olasılıkları bulunuz
Gözlenen değerlere karşı birikimli (kümülatif) olasılıkların grafiğini inceleyeniz (birikimli (kümülatif) normal olasılıkları dikey eksende ve gözlenen değerler yatay eksende olacak şekilde çizilmelidir)
Grafiği doğrusallık kanıtı yönünden değerlendiriniz
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-44
Normal Olasılık Grafiği
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bir normal dağılımdan elde edilen bir normal olasılık grafiği yaklaşık olarak
doğrusal olacaktır:
0
100
Veriler
Yüzde
(devam)
Bölüm 4-45
Normal Olasılık Grafiği
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Sola çarpık Sağa çarpık
Tekdüze
0
100
Veriler
Yüz
de(devam)
Doğrusal olmayan grafikler normallikten sapmayı göstermektedir
0
100
Veriler
Yüz
de0
100
Veriler
Yüz
de
Bölüm 4-46
Binom Dağılımı için Normale Yaklaşma
Binom dağılımı hatırladığımızda: n bağımsız deneme Verilen herhangi bir deneyde başarı olasılığı = P
Rassal değişken X: Xi =1 eğer i’inci deneme “başarı” ise Xi =0 eğer i’inci deneme “hata” ise
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
nPμE(X)
P)nP(1-σVar(X) 2 Bölüm 4-47
Eğer n yeterince büyükse binom dağılımın şekli yaklaşık olarak normaldir
nP(1 – P) > 5 olduğu zaman normal binoma iyi bir yaklaşım sergiler
Bir binom dağılımdan Z’ye standardize ediniz:
Binom Dağılımı için Normale Yaklaşma
P)nP(1npX
Var(X)E(X)XZ
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
(devam)
Bölüm 4-48
Binom Dağılımı için Normale Yaklaşma
P)nP(1nPbZ
P)nP(1nPaPb)XP(a
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Her birinin başarı olasılığı P olmak üzere X n bağımsız denemedeki başarı sayısı olsun.
Eğer nP(1 - P) > 5 ise,
(devam)
Bölüm 4-49
Binom Yaklaşımına Örnek
76 80 80 80P(76 X 80) P Z200(0,4)(1 0,4) 200(0,4)(1 0,4)
P( 0,58 Z 0)F(0) F( 0,58)0,5000 0,2810 0,2190
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Seçmenlerin %40’ı A halk oylamasını destekliyor. n=200 örnek büyüklüğü için 76 ile 80 seçmenin bir destek gösterme olasılığı nedir?
E(X) = µ = nP = 200(0,40) = 80 Var(X) = σ2 = nP(1 – P) = 200(0,40)(1 – 0,40) = 48
(dikkat: nP(1 – P) = 48 > 5 )
Bölüm 4-50
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Üstel Dağılım
SürekliOlasılık
Dağılmları
Olasılık Dağılımları
Normal
Tekdüze
Üstel
Bölüm 4-51
Üstel Dağılım
Bir olayın iki farklı meydana gelişi arasındaki zamanın uzunluğunu (varışlar arasındaki süre) modellemek üzere kullanılır
Örnekler: Boşaltma iskelesine varan kamyonlar arasındaki süre Bir ATM makinesinde yapılan işlemler arasında geçen
süre Ana operatöre yapılan telefon çağrıları arasında geçen
süre
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-52
Üstel Dağılım
λtf(t) λ e t 0 olmak üzere
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Üstel rassal değişken t (t>0) bir olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahiptir
Burada birim zamanda meydana gelme sayısıdır t bir sonraki meydana gelme oluncaya dek olan zaman
birimi sayısıdır. e = 2,71828
t‘nin bir üstel olasılık dağılımı sergilediği ifade edilmektedir
(devam)
Bölüm 4-53
Üstel Dağılım Tek bir parametre olan ortalaması (lambda) ile
tanımlanır.
Birikimli (kümülatif) dağılım fonksiyonu (Bir varış süresinin bazı belirlenmiş olan t zamanından daha düşük olma olasılığı) aşağıdaki gibidir
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
te1F(t) λ
burada e = Yaklaşık olarak 2,71828 olan matematiksel sabit =Birim başına varış sayısı popülasyon ortalamasıt = t>0 olmak üzere sürekli değişkenin her hangi bir değeri
Bölüm 4-54
Üstel DağılımÖrnek
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Örnek: Müşteriler servis sayacına saatte 15 oranında varmaktadırlar. Ardışık müşteriler arasındaki varış süresinin üç dakikadan kısa olma olasılığı nedir?
Saat başına ortalama varış sayısı 15’tir, o halde = 15 Üç dakika 0,05 saattir P(varış süresi <0,05) = 1 – e- X = 1 – e-(15)(.05)= 0,5276 O halde, ardışık müşterilerin varış sürelerinin üç
dakikadan daha kısa olması %52,76’lık bir olasılığa sahiptir
Bölüm 4-55
Bileşik Birikimli (Kümülatif) Dağılım Fonksiyonları
X1, X2, . . .Xk sürekli rassal değişkenler olmak üzere
Onların Bileşik Birikimli (Kümülatif) Dağılım FonksiyonuF(x1, x2, . . .xk)
x1’in X1’den daha düşük olduğunu, x2’in X2’den daha düşük olduğunu vs tanımlamaktadır, yani
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
)xXxXxP(X)x,,x,F(x kk2211k21
Bölüm 4-56
Bileşik Birikimli (Kümülatif) Dağılım Fonksiyonları
Bireysel Birikimli dağılım fonksiyonlarıF(x1), F(x2), . . .,F(xk)
onların tekil dağılım fonksiyonları olarak anılmaktadırlar.
Rassal değişkenler bağımsızdır, (sadece) eğer;
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
(devam)
)F(x))F(xF(x)x,,x,F(x k21k21
Bölüm 4-57
Ortak Varyans(Kovaryans)
X ve Y ortalamaları μx ve μy olan sürekli değişkenler olmak üzere
(X - μx)(Y - μy)’in beklenen değeri X ve Y arasındaki kovaryans olarak anılmaktadır
Allternatif fakat eşdeğer bir ifade;
Eğer X ve Y bağımsız ise; o halde bunların arasındaki kovaryans 0’dır. Ancak ters her zaman doğru olmayabilir.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
)]μ)(YμE[(XY)Cov(X, yx
yxμμE(XY)Y)Cov(X,
Bölüm 4-58
Korelasyon
X ve Y bileşik olarak dağılmış olan rassal değişkenler olsun.
X ve Y arasındaki korelasyon aşağıdaki gibidir
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
YXσσY)Cov(X,Y)Corr(X,ρ
Bölüm 4-59
Rassal Değişkenlerin Toplamları
X1, X2, . . .Xk ortalamaları μ1, μ2,. . . μk ve varyansları σ1
2, σ22,. . ., σk
2 olan k adet rassal değişken olsun. O halde:
Toplamlarının ortalaması ortalamalarının toplamına eşittir
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
k21k21 μμμ)XXE(X
Bölüm 4-60
Rassal Değişkenlerin Toplamları X1, X2, . . .Xk ortalamaları μ1, μ2,. . . μk ve varyansları
σ12, σ2
2,. . ., σk2 olan k adet rassal değişken olsun.
Eğer rassal değişkenlerin her bir çifti arasındaki kovaryans 0 ise bunların toplamının varyansı, varyanslarının toplamına eşittir
Ancak, rassal değişkenlerin her bir çifti arasındaki kovaryans 0 değilse, toplamlarının varyansı aşağıdaki gibidir
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
2k
22
21k21 σσσ)XXVar(X
)X,Cov(X2σσσ)XXVar(X j
1K
1i
K
1iji
2k
22
21k21
(devam)
Bölüm 4-61
İki Rassal Değişken Arasındaki Fark
X ve Y gibi iki rassal değişken için
Farklarının ortalaması ortalamalarının farkına eşittir; yani:
Eğer X ve Y arasındaki kovaryans 0 ise, o halde farklarının varyansı aşağıdaki gibidir:
Eğer X ve Y arasındaki kovaryans 0 değilse, o halde farklarının varyansı aşağıdaki gibidir:
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
YX μμY)E(X
2Y
2X σσY)Var(X
Y)2Cov(X,σσY)Var(X 2Y
2X
Bölüm 4-62
Rassal Değişkenlerin Doğrusal Kombinasyonu
X ve Y gibi iki rassal değişkenin doğrusal kombinasyonu (a ve b sabit olmak üzere) aşağıdaki gibidir
W’ nun ortalaması aşağıdaki gibidir
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
bYaXW
YXW bμaμbY]E[aXE[W]μ
Bölüm 4-63
Rassal Değişkenlerin Doğrusal Kombinasyonu
W’ nun varyansı aşağıdaki gibidir
Korelasyon kullanıldığında,
Eğer X ve Y bileşik normal olarak dağılmış rassal değişkenler ise o halde W, doğrusal kombinasyonu da normal dağılım sergilemektedir
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Y)2abCov(X,σbσaσ 2Y
22X
22W
YX2Y
22X
22W σY)σ2abCorr(X,σbσaσ
(devam)
Bölüm 4-64
Örnek
İki iş aynı işçi tarafından yapılmalıdır. X = Birinci işi tamamlamak gereken dakikalar; μx = 20, σx
= 5 Y= İkinci işi tamamlamak gereken dakikalar; μy = 20, σy
= 8 X ve Y normal olarak dağılmışlardır ve bağımsızdırlar
Her iki işi tamamlamak için gerekli olan sürenin ortalaması ve standart sapması nedir?
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-65
Örnek X = Birinci işi tamamlamak gereken dakikalar; μx = 20, σx
= 5 Y= İkinci işi tamamlamak gereken dakikalar; μy = 20, σy
= 8 Her iki işi tamamlamak için gerekli olan sürenin ortalaması ve
standart sapması nedir?
X ve Y bağımsız olduğundan dolayı Cov(X,Y) = 0, yani
Standart sapma aşağıdaki gibidir
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
(devam)
YXW 503020μμμ YXW
89(8)(5) Y)2Cov(X,σσσ 222Y
2X
2W
9.43489σW
Bölüm 4-66